1. डिफरेंशियल समीकरण:

• एक समीकरण जो निर्भर और निर्भरी चरों और निर्भरी चरों के अवकलन को शामिल करता है उसे डिफरेंशियल समीकरण कहते हैं।

• दिए गए डिफरेंशियल समीकरण को करने के लिए अज्ञात समीकरण को खोजना या अंकित करना डिफरेंशियल समीकरण को हल करने या एकीकृत करने कहा जाता है।

• डिफरेंशियल समीकरण का समाधान उसकी प्राकृतिक भी कहलाता है, क्योंकि डिफरेंशियल समीकरण उससे प्राप्त एक संबंध के रूप में देखा जा सकता है।

2. डिफरेंशियल समीकरण का क्रम:

डिफरेंशियल समीकरण का क्रम उसमें पायी जाने वाली उच्चतम डिफरेंशियल संकेलन का क्रम है।

3. डिफरेंशियल समीकरण का डिग्री:

जो डिफरेंशियल समीकरण प्रतिभूतियों की बीजांकप्रस्तुति के रूप में लिखा जा सकता है, वह उसमें पायी जाने वाली उच्चतम क्रम-डिफरेंशियल संकेतिका डिग्री है,

इसके बाद सभी वंशों और भिन्नों का रूप संबंधित होता है, इस प्रकार डिफरेंशियल समीकरण:

डिफरेंशियल समीकरण

$$f(x, y)\left[\frac{d^{m} y}{d x^{m}}\right]^{p}+\phi(x, y)\left[\frac{d^{m-1} y}{d x^{m-1}}\right]^{q}+\ldots+ C=0$$

$m$ का क्रम है और $p$ का डिग्री है.

यह ध्यान दें कि डिफरेंशियल समीकरणमें $e^{y^{\prime \prime}}-x y^{\prime \prime}+y=0$ क्रम तीन है लेकिन डिग्री अस्तित्व नहीं है।

4. डिफरेंशियल समीकरण का निर्माण:

(4.1) यदि एक स्वतंत्र और निर्भरी मानों में समीकरण को दिया जाता है जिसमें कुछ क्षेत्रीय निर्धारित है, तो एक डिफरेंशियल समीकरण निम्नांकित तरीके से प्राप्त होती है:

• आगे पूछे गए स्वतंत्र परियोजना के साथ दिए गए समीकरण को स्वतंत्र परियोजना के स्वतंत्र परियोजना की संख्या से बार बार प्राचलित करें।

• स्वतंत्र मानों को समाप्त करें। उसका परिणामतः डिफरेंशियल समीकरण का आवश्यक समीकरण है।

ध्यान दें: एक डिफरेंशियल समीकरण कोई एक परिवार के रूप में प्रस्तुत करता है जो सामान्य गुणों को पूरा करने वाला है। इसे डिफरेंशियल समीकरण का ज्यामितिकीय व्याख्यान माना जा सकता है।

5. सामान्य और विशेष समाधान:

• एक डिफरेंशियल समीकरण का समाधान जिसमें अद्यावधिक संख्या के स्वतंत्र अनिश्चित संख्याओं को शामिल करता है, उसे सामान्य समाधान (या पूर्ण समाधान या पूर्ण प्राकृतिक), कहते हैं।

• एक विशेष समाधान कहा जाता है, जो स्वतंत्र अद्यावधिक संख्याओं को किसी समय तय करके आपूर्त किया जा सकता है।

6. प्राथमिक & प्रथम डिग्री डिफरेंशियल समीकरणों के प्राथमिक प्रकार:

PYQ-2023-Q5

(6.1) अलग अलग करने वाले चर:

(टाइप-1)

तब यदि डिफरेंशियल समीकरण को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: $$f(x) dx+g(y) d y=0$$ तो इसे भिन्न करने योग्य प्रकार कहा जाता है।

इसका एक सामान्य समाधान निम्नलिखित है: $$\int f(x) , dx + \int g(y) , dy = c$$ $$c$$ एक अनिश्चित सन्दर्भ है।

(टाइप-2)

विभेदक समीकरण

$$ \frac{dy}{dx} = f(ax + by + c), \quad b \neq 0 $$

के प्रतिस्थापन के द्वारा हल किया जा सकता है

$$ t = ax + by + c. $$

फिर समीकरण को t और x के चर प्रकार में घटाया जाता है, जिसे हल किया जा सकता है।

(6.2) समानार्थक समीकरण: PYQ-2023-Q2 PYQ-2023-Q8 PYQ-2023-Q9

इस प्रकार के समीकरण को समानार्थक कहा जाता है

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{f(x, y)}{\phi(x, y)}, $$

यहां $f(x, y) \ \text{और} \ \phi(x, y)$ x और y के अबद्ध कार्य हैं और समान डिग्री हैं, वे बौद्धिक हैं.

इस समीकरण को भी निम्न रूप में घटाया जा सकता है

$$ \frac{dy}{dx} = g\left(\frac{x}{y}\right) $$

और y=vx को डालकर इसे हल किया जाता है, जिससे निर्भर चर y को एक अन्य चर v में बदल दिया जाता है, जहां v कोई अज्ञात समांतराल कार्य है। विभेदक समीकरण प्राकृतिक चरों के साथ एक समीकरण में परिवर्ती हो जाता है।

(6.3) समानांतर समीकरणों को ×समानार्थक रूप में :

यदि $$\frac{dy}{dx}=\frac{a_1 x+b_1 y+c_1}{a_2 x+b_2 y+c_2}$$

जहां $a_1 b_2-a_2 b_1 \neq 0$, अर्थात $\frac{a_1}{b_1} \neq \frac{a_2}{b_2}$ तो

$$\mathrm{x}=\mathrm{u}+\mathrm{h}, \mathrm{y}=\mathrm{v}+\mathrm{k}$$ इस प्रकार की प्रतिस्थापन मनमाने संदर्भके $\mathrm{u}$ कर सकती हैं और $\mathrm{v}$ में नए चरों में एक समानार्थक चरणाधिन समीकरण। यहां $\mathrm{h}$ और $\mathrm{k}$ ऐसे अधाड़ी स्वतंत्र संदर्भ को जो की दिए गए समीकरण को समानार्थक बनाने के लिए चुना जा सकता हैं।

• यदि $\mathrm{a}_1 \mathrm{~b}_2-\mathrm{a}_2 \mathrm{~b}_1=0$ हो, तो $\mathrm{u}=\mathrm{a}_1 \mathrm{x}+\mathrm{b}_1 \mathrm{y}$ की प्रतिस्थापन आवेग्य समीकरण को विभाजय संदर्भके रूप में बदल देती हैं।

• यदि $b_1+a_2=0$ हो, तो आसानता से यह परिणाम प्राप्त करने के लिए एक सरल प्रतिस्थापन और $d(xy)$ के लिए $x dy+y dx &$ का प्रतिस्थापन करने के बाद टर्म द्वारा समांत्रित होता है।

• अभिकलन के रूप में : $y f(xy) dx+x g(xy) dy=0$ एक ऐसे समाप्त समीकरण में चरों को बाछित किया जा सकता है, जहां $xy=v$ में प्रतिस्थापन किया जा सकता है।

7. रैखिक अवकलनीय समीकरण:

एक ऐसी अवकलनीय समीकरण रेखिक कही जाती है, जब अवधारण चर और उसके विभेदक समर्थनक तप में मात्र पहले पद में हों और एक साथ गुणा नहीं किया जाते हों।

nवें क्रम की रेखिक विभाज्य समीकरण का रूप होता है;

$$a_0(x) \frac{d^n y}{dx^n}+a_1(x) \frac{d^{n-1} y}{dx^{n-1}}+\ldots \ldots \ldots+a_n(x)$$

y=\phi(x), जहां $a_0(x), a_1(x) \ldots a_n(x)$ को समांतरक कहा जाता है।

(7.1) पहली सम्प्रदायक रेखिक अवकलनीय समीकरण : PYQ-2023-Q1 PYQ-2023-Q4

कंटेंट की हिंदी संस्करण है: PYQ-2023-Q6 PYQ-2023-Q7 PYQ-2023-Q10

$\quad$ पहले पद के एक रैखिक