1. अंतलग कस्तरी समीकरण:

• $\quad$ उनकरीय और अनकरीय चरों और अनकरीय फर्कीयों के दरिवर्तियों को शामिल करने वाली समीकरण को अंतलग समीकरण कहा जाता है।

• $\quad$ दिए गए अंतलग समीकरण को संतुलित करने वाले अज्ञात संख्या की समाधान खोजना अंतलग समाधान कहलाता है।

• $\quad$ अंतलग समीकरण के समाधान को उसकी आदिम, क्योंकि अंतलग समीकरण उससे निष्कर्षित एक संबंध के रूप में माना जा सकता है।

2. अंतलग समीकरण की क्रम:

$\quad$ अंतलग समीकरण की क्रम उसमें पाए जाने वाले सबसे बड़े अंतलग प्रतिक में क्रम की है।

3. अंतलग समीकरण का डिग्री:

$\quad$ उस अंतलग समीकरण की डिग्री जिसे कि इसे रूप में लिखा जा सकता है प्राथमिक डिफरेंशियों में, उसमें पाए जाने वाले सबसे ऊँचे क्रम की प्राथमिक के डिग्री,

$\quad$ इसके बाद जब यह डिफरेंशियाज के संबंध में तत्व संबंधमुक्त और भ्रेष्ठवादों से मुक्त रूप में व्यक्त किया गया है, इससे संबंधित डिफरेंशियाज के संबंध पर कि,

$\quad$ इसलिए अंतलग समीकरण:

$\quad$ अंतलग समीकरण

$$f(x, y)\left[\frac{d^{m} y}{d x^{m}}\right]^{p}+\phi(x, y)\left[\frac{d^{m-1} y}{d x^{m-1}}\right]^{q}+\ldots+ C=0$$

$\quad$ इसकी क्रम $m$ और डिग्री $p$ है।

$\quad$ ध्यान दें कि अंतलग समीकरण में $e^{y^{\prime \prime}}-x y^{\prime \prime}+y=0$ क्रम तीन है लेकिन डिग्री अस्तित्व नहीं है।

4. अंतलग समीकरण गठन:

$\quad$ (4.1) यदि कोई स्वतंत्र और अनकरीय चरों में एक समीकरण है जिसमें कुछ अनिश्चित मान हैं, तो एक अंतलग समीकरण इस प्रकार प्राप्त होता है:

• $\quad$ देने गए समीकरण को स्वतंत्र चर के साथ व्यतिभिन्न करें (कहें $\mathrm{x}$ ) के संख्या बार साथ इतनी बार जितनी बार इसमें अनिश्चित मान हैं।

• $\quad$ अनिश्चित मान हटा दें। निक्रांती चाहिए अंतलग समीकरण है।

$\quad$ नोट : अंतलग समीकरण कोई विशिष्ट्त संपत्ती संतुलित करता है जिन्हें सभी कुछ साझा गुणों को संतुलित करने वाले कि समाधान है। इसे अंतलग समीकरण की ज्यामितिय पर का विवरण माना जा सकता है।

5. सामान्य और विशेष समाधान:

• $\quad$ एक अंतलग समीकरण का समाधान जिसमें कई स्वतंत्र नितानिमित संख्याओं का होता है जो अंतलग की क्रम के बराबर होता है, को सामान्य समाधान (या पूर्ण इंटीग्रल या पूर्ण आदिम) कहा जाता है।

• $\quad$ सामान्य प्राधानिक से विशेष समाधान प्राप्त करने के द्वारा स्वतंत्र नितानिमित को अंतलग समाधान कहते हैं।

6. प्राथमिक दर्जे और प्राथमिक डिग्री अंतलग समीकरणों के मौलिक प्रकार:

$\quad$ (6.1) चरों को अलग करने वाली:

$\quad$ प्रकार-1

$\quad$ यदि अंतलग समीकरण इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है $$f(x) dx+g(y) d y=0$$ तो इसे अलग करने वाला प्रकार कहलाता है।

$\quad$ इसका सामान्य समाधान दिया जाता है $$\int f(x) , dx + \int g(y) , dy = c$$ $\quad$ यह आविष्कार्य संख्या है।

$\quad$ प्रकार-2

$\quad$ अंतलग समीकरण

$$ \frac{dy}{dx} = f(ax + by + c), \quad b \neq 0 $$

अब, मुद्रण को विभाजित करने से आपकी समस्या समाधान नहीं होगा, आपको कला आमने-सामने करनी पड़ेगी। नवरात्रि मनाने-स्वरूप उठ बैठने की पर्याप्त सामग्री है। ध्यान से समझिए।

कंटेंट का hi संस्करण क्या है: $\quad$ समीकरण $\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\mathrm{Py}=\mathrm{Q} \mathrm{y}^{\mathrm{n}}$ को BERNOULI’S EQUATION कहा जाता है।

8. पथ :

$\quad$ एक ऐसा कर्व जो एक दिए गए कानून के अनुसार एक दी गई परिवार के हर सदस्य को कटता है, को दिया जाता है। उस दिए गए परिवार का एक प्रक्षेपी कहलाता है।

(8.1) अल्पस्वर प्रक्षेपी :

$\quad$ एक ऐसा कर्व जो अपने हर बिंदु पर दी गई परिवार के कर्व के साथ एक दायीं खंड का बनाता है, उसे उस परिवार का अल्पस्वर प्रक्षेपी कहा जाता है।

$\quad$ हम दिए गए परिवार का गणितीय समीकरण स्थापित करते हैं। इसे इस रूप में रखें $\mathrm{F}\left(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{y}^{\prime}\right)=0$

$\quad$ अल्पस्वर प्रक्षेपी का गणितीय समीकरण इस रूप में होता है

$$ F\left(x, y, \frac{-1}{y^{\prime}}\right)=0 $$

$\quad$ इस समीकरण का सामान्य निरूपण $\phi_1(x, y, C)=0$ अल्पस्वर प्रक्षेपी परिवार को देता है।

9. महत्वपूर्ण नोट्स:

$$x dy+y dx=d(xy)$$

$$\frac{x dy-y dx}{x^2}=d\left(\frac{y}{x}\right)$$

$$\frac{y dx-x dy}{y^2}=d\left(\frac{x}{y}\right)$$

$$\frac{x dy+y dx}{xy}=d(xy )$$

$$\frac{dx+dy}{x+y}=d(\ln (x+y))$$

$$\frac{x dy-y dx}{xy}=d(\ln \frac{y}{x})$$