1. समिकरण समितियों के नियम (समिति के गुणधर्म):

$\quad$ (1.1) संयोज्य नियम

$$A \cup B=B \cup A $$

$$ A \cap B=B \cap A$$

$\quad$ (1.2) सहयोगी नियम

$$(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C) $$ $$ (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C)$$

$\quad$ (1.3) वितरणीय नियम $$A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C) $$ $$ A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C)$$

$\quad$ (1.4) डी-मॉर्गन का नियम $$(A \cup B)^{\prime}=A^{\prime} \cap B^{\prime} $$ $$ (A \cap B)^{\prime}=A^{\prime} \cup B^{\prime}$$

$\quad$ (1.5) पहचान का नियम $$A \cap U=A $$ $$ A \cup \phi=A$$

$\quad$ (1.6) पूरक का नियम

$$A \cup A^{\prime}=U$$ $$ A \cap A^{\prime}=\phi$$ $$ \left(A^{\prime}\right)^{\prime}=A$$

$\quad$ (1.7) उदित नियम $$A \cap A=A$$ $$ A \cup A=A$$

2. समिति में तत्वों की संख्या पर कुछ महत्वपूर्ण परिणाम:

$\quad$ यदि $A, B, C$ सीमित समितियाँ हैं और $U$ सीमित विश्व समिति है, तो

$\quad$ (2.1) $$n(A \cup B)=n(A)+n(B)-n(A \cap B)$$

$\quad$ (2.2) $$\quad n(A-B)=n(A)-n(A \cap B)$$

$\quad$ (2.3) $$n(A \cup B \cup C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A \cap B)-n(B \cap C)-n(A \cap C)+n(A \cap B \cap C)$$

$\quad$ (2.4) समितियों $A, B, C$ में से बस दो में तत्वों की संख्या

$$n(A \cap B)+n(B \cap C)+n(C \cap A)-3 n(A \cap B \cap C)$$

$\quad$ (2.5) समितियों $A, B, C$ में से बस एक में तत्वों की संख्या $$ n(A)+n(B)+n(C)-2 n(A \cap B)-2 n(B \cap C)-2 n(A \cap C) +3 n(A \cap B \cap C) $$

$\quad$ (2.6) यदि $A$ में $n$ तत्व होते हैं, तो $P(A)$ में $2^n$ तत्व होते हैं

$\quad$ (2.7) किसी सीमित समिति में अविसंख्य संबंधों की कुल संख्या $2^n$ होती है

$\quad$ (2.8) एक सीमित समिति की यथार्थ संबंधित संख्या $2^n - 1$ होती है

$\quad$ (2.9) एक सीमित समिति की गैर-खाली संबंधित संख्या $2^n - 1$ होती है

3. सम्बन्ध के प्रकार:

$\quad$ (3.1) शून्य संबंध

$\quad$ यदि $\mathrm{A}$ एक सेट हो, तो $\phi \subseteq \mathrm{A} \times \mathrm{A}$ है और यह $\mathrm{A}$ पर एक संबंध है। इस संबंध को $\mathrm{A}$ पर शून्य या खाली संबंध कहा जाता है।

$\quad$ (3.2) सर्वसाधारण संबंध

$\quad$ यदि $\mathrm{A}$ एक सेट हो, तो $\mathrm{A} \times \mathrm{A} \subseteq \mathrm{A} \times \mathrm{A}$ होता है और यह $\mathrm{A}$ पर एक संबंध है। इस संबंध को $\mathrm{A}$ पर सर्वसाधारण संबंध कहा जाता है।

$\quad$ (3.3) पहचान संबंध

$\quad$ यदि $\mathrm{A}$ एक सेट हो, तो $\mathrm{I}_\mathrm{A}={(a, a): a \in \mathrm{A} }$ यह $\mathrm{A}$ पर पहचान संबंध कहलाता है।

$\quad$ अन्य शब्दों में, एक संबंध $\mathrm{I}_\mathrm{A}$ को पहचान संबंध कहा जाता है यदि $\mathrm{A}$ के प्रत्येक तत्व केवल अपने आप संबंधित होता है।

$\quad$ (3.4) पूरक संबंध

$\quad$ एक सेट $A$ पर एक संबंध $R$ को पूरित कहा जाता है यदि $A$ के प्रत्येक तत्व को उसी के साथ संबंधित होता है। इस प्रकार, एक सेट $A$ पर एक संबंध $R$ असंपूरित होता है यदि ऐसा कोई तत्व $a \in A$ हो जिसके लिए $(a, a) \notin R$ हो।

• आत्मप्रतिबिन्दी संबंध सूत्र

$$ N = 2^{n^2 - n} $$

जहां एन संख्या हैं रेफ्लेक्सिव संबंधों की और न संख्या हैं सेट में आइटम, वह न के तत्वों के सेट पर रेफ्लेक्सिव संबंधों की संख्या देता है।

• नोट

हर पहचान संबंध रेफ्लेक्सिव होता है लेकिन हर रेफ्लेक्सिव संबंध संभावित नहीं होता है।

(3.5) सममिति संबंध:

एक सेट A पर एक संबंध आर R को समैक संबंध कहा जाता है जब $(a, b) \in R$ तो $(b, a) \in R$ होता है सभी $a, b \in A$ के लिए। अर्थात, $a R b \Rightarrow b R$ तभी जब सभी $a, b \in A$ के लिए।

• सममिति संबंध की सूत्र

$$ N = 2^{\frac{n(n+1)}{2}} $$

जहां N संख्या हैं सममिति संबंधों की और n संख्या हैं सेट में आइटम, वह न के तत्वों के सेट पर सममिति संबंधों की संख्या देता है।

(3.6) अनुक्रमिक संबंध:

A कोई भी सेट हो। A पर एक संबंध R होता हैं तब वह एक अनुक्रमिक संबंध कहलाता हैं जब $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R$ तो $(a, c) \in R$ होता हैं सभी $a, b, c \in A$ के लिए। अर्थात, $a R b$ और $b R c \Rightarrow a R c$ तभी जब सभी $a, b, c \in A$ के लिए।

(3.7) समता संबंध:

एक सेट A पर एक संबंध R वह समता संबंध कहलाता हैं जब

• यह रेफ्लेक्सिव होता हैं अर्थात (a, a) $\in R$ होता हैं सभी $a \in A$ के लिए।

• यह समैक होता हैं अर्थात (a, b) $\in R \Rightarrow(b, a) \in R$ होता हैं सभी $a, b \in A$ के लिए।

• यह अनुक्रमिक होता हैं अर्थात (a, b) $\in R$ और (b, c) $\in R \Rightarrow(a, c) \in R$ होता हैं सभी $a, b \in A$ के लिए।

• A से A तक संबंध हैं जो संबंध एक सूक्ष्म समता होता हैं, उसकी संख्या $2^{\frac{n^2 - n}{2}}$ होती हैं।