इन दिनों प्राचीन और आधुनिक अध्ययन के बीच युद्ध के दिनों में, निश्चित रूप से कुछ बातें एक अध्ययन के लिए कही जानी चाहिए जो पाइथागोरस से शुरू नहीं होता है और ईन्स्टीन तक नहीं समाप्त होता है; लेकिन यह सबसे पुराना और सबसे नए है। - जीएच हार्डी

1.1 परिचय

समुच्चय की अवधारणा आधुनिक गणित के एक मूलभूत हिस्सा के रूप में कार्य करती है। आज इस अवधारणा का उपयोग गणित के लगभग हर शाखा में किया जाता है। समुच्चय रेशों और फलनों की अवधारणा को परिभाषित करने के लिए उपयोग किए जाते हैं। ज्यामिति, अनुक्रम, प्रायिकता, आदि के अध्ययन में समुच्चय के ज्ञान की आवश्यकता होती है।

समुच्चयों के सिद्धांत का विकास जर्मन गणितज्ञ गॉर्ग कैंटर (1845-1918) द्वारा किया गया। वह पहले त्रिकोणमितीय श्रेणी के समस्याओं पर काम करते समय समुच्चयों के साथ मिले। इस अध्याय में, हम समुच्चयों से संबंधित कुछ मूल निर्देशों और संचालनों के बारे में चर्चा करेंगे।

गॉर्ग कैंटर (1845-1918)

1.2 समुच्चय और उनके प्रतिनिधित्व

दैनिक जीवन में, हम अक्सर विशिष्ट प्रकार के वस्तुओं के संग्रहों के बारे में बोलते हैं, जैसे कि, एक कार्ड पैक, एक लोगों की भीड़, एक क्रिकेट टीम आदि। गणित में भी हम ऐसे संग्रहों के साथ मिलते हैं, उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्याओं, बिंदुओं, अभाज्य संख्याओं आदि के संग्रह। अधिक विशिष्ट रूप से, हम निम्नलिखित संग्रहों की जांच करते हैं:

(i) 10 से कम विषम प्राकृतिक संख्याएँ, अर्थात, $1,3,5,7,9$

(ii) भारत के नदियाँ

(iii) अंग्रेजी वर्णमाला में स्वर, अर्थात, a, e, i, o, u

(iv) विभिन्न प्रकार के त्रिभुज

(v) 210 के अभाज्य गुणनखंड, अर्थात, $2,3,5$ और 7

(vi) समीकरण का हल: $x^2-5 x+6=0$, अर्थात, 2 और 3।

हम ध्यान देते हैं कि उपरोक्त प्रत्येक उदाहरण एक वस्तुओं के अच्छी तरह से परिभाषित संग्रह है, इस अर्थ में कि हम एक दिए गए विशिष्ट वस्तु के एक दिए गए संग्रह के भाग होने या नहीं होने के बारे में निश्चित रूप से निर्णय ले सकते हैं। उदाहरण के लिए, हम कह सकते हैं कि नील नदी भारत के नदियों के संग्रह के भाग नहीं है। दूसरी ओर, गंगा नदी इस संग्रह के भाग है।

हम नीचे कुछ और उदाहरण देते हैं, जो विशेष रूप से गणित में उपयोग किए जाते हैं, जैसे कि:

$ \mathbf{N}$ : सभी प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय

$ \mathbf{Z}$ : सभी पूर्णांकों का समुच्चय

$ \mathbf{Q}$ : सभी परिमेय संख्याओं का समुच्चय

$ \mathbf{R}$ : वास्तविक संख्याओं का समुच्चय

$ \mathbf{Z}^{+}$: धनात्मक पूर्णांकों का समुच्चय

$ \mathbf{Q}^{+}$: धनात्मक परिमेय संख्याओं का समुचत

$ \mathbf{R}^{+}$: धनात्मक वास्तविक संख्याओं का समुच्चय।

ऊपर दिए गए विशेष समुच्चयों के चिह्न इस पाठ के दौरान बार-बार संदर्भित किए जाएंगे।

पुनः विश्व के पांच सबसे प्रसिद्ध गणितज्ञों के संग्रह अच्छी तरह से परिभाषित नहीं है, क्योंकि एक गणितज्ञ को सबसे प्रसिद्ध माने जाने के मानक व्यक्ति से व्यक्ति अलग-अलग हो सकते हैं। इसलिए, यह एक अच्छी तरह से परिभाषित संग्रह नहीं है।

हम कहेंगे कि एक समुच्चय एक वस्तुओं के अच्छी तरह से परिभाषित संग्रह है।

निम्नलिखित बिंदुओं को ध्यान में रखा जा सकता है :

(i) समुच्चय के वस्तुएं, तत्व और सदस्य एक शब्द के रूप में बराबर होते हैं।

(ii) समुच्चय आमतौर पर बड़े अक्षर A, B, C, X, Y, Z आदि द्वारा नोट किए जाते हैं।

(iii) समुच्चय के तत्व छोटे अक्षर $a, b, c, x, y, z$ आदि द्वारा प्रस्तुत किए जाते हैं।

यदि $a$ एक समुच्चय A का एक तत्व है, तो हम कहते हैं कि " $a$ A में सदृश है “। ग्रीक चिह्न $\in$ (ईप्सिलॉन) का उपयोग ‘सदृश है’ शब्द को दर्शाने के लिए किया जाता है। इसलिए, हम $a \in \mathrm{~A}$ लिखते हैं। यदि ’ $b$ ’ एक समुच्चय A का तत्व नहीं है, तो हम $b \notin \mathrm{~A}$ लिखते हैं और " $b$ A में सदृश नहीं है " पढ़ते हैं।

इसलिए, अंग्रेजी वर्णमाला में स्वरों के समुच्चय V में, $a \in \mathrm{~V}$ लेकिन $b \notin \mathrm{~V}$ है। 30 के अभाज्य गुणनखंडों के समुच्चय P में, $3 \in \mathrm{~P}$ लेकिन $15 \notin \mathrm{~P}$ है।

एक समुच्चय को प्रस्तुत करने के दो विधियाँ हैं :

(i) सूची या सारणी रूप

(ii) सेट-बिल्डर रूप।

(i) सूची रूप में, सेट के सभी तत्वों को सूचीबद्ध कर दिया जाता है, तत्वों के बीच कमान के चिह्न लगाए जाते हैं और ब्रैकेट { } में बंद कर दिया जाता है। उदाहरण के लिए, 7 से कम सभी सम धनात्मक पूर्णांकों के सेट को सूची रूप में $\{2,4,6\}$ के रूप में वर्णित किया जाता है। नीचे कुछ अतिरिक्त उदाहरण दिए गए हैं जिनमें सेट को सूची रूप में वर्णित किया गया है :

(a) 42 के विभाजक सभी प्राकृतिक संख्याओं के सेट को $\{1,2,3,6,7,14,21,42\}$ के रूप में वर्णित किया जाता है।

नोट - सूची रूप में, तत्वों के सूचीबद्ध क्रम के अर्थ नहीं होता। इसलिए, उपरोक्त सेट को $\{1,3,7,21,2,6,14,42\}$ के रूप में भी वर्णित किया जा सकता है।

(b) अंग्रेजी वर्णमाला में सभी स्वरों के समुच्चय $\{a, e, i, o, u\}$ है।

(c) विषम प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय को $\{1,3,5, \ldots\}$ द्वारा प्रस्तुत किया जाता है। डॉट्स हमें बताते हैं कि विषम संख्याओं की सूची अनंत तक जाती रहती है।

नोट - ध्यान दें कि समुच्चय को लिस्ट फॉर्म में लिखते समय एक तत्व को आमतौर पर दोहराया नहीं जाता है, अर्थात सभी तत्व अलग-अलग होते हैं। उदाहरण के लिए, शब्द ‘SCHOOL’ के बनने वाले वर्णों के समुच्चय $\{\mathrm{S}, \mathrm{C}, \mathrm{H}, \mathrm{O}, \mathrm{L}\}$ या $\{\mathrm{H}, \mathrm{O}, \mathrm{L}, \mathrm{C}, \mathrm{S}\}$ हो सकता है। यहाँ, तत्वों के सूचीबद्ध करने के क्रम के कोई महत्व नहीं होता।

(ii) समुच्चय-निर्माण रूप में, किसी समुच्चय के सभी तत्वों में एक अकेला सामान्य गुण होता है जो समुच्चय के बाहर किसी भी तत्व के द्वारा नहीं रखा जाता है। उदाहरण के लिए, समुच्चय $\{a, e, i, o, u\}$ में सभी तत्वों के एक अकेला सामान्य गुण होता है, अर्थात् प्रत्येक अक्षर अंग्रेजी वर्णमाला में एक अकार होता है, और कोई अन्य अक्षर इस गुण के अतिरिक्त नहीं रखता है। इस समुच्चय को V द्वारा नोट करते हुए, हम लिखते हैं

$ \mathrm{V}=\{x: x$ अंग्रेजी वर्णमाला में एक अकार है $\}$

यह ध्यान दें कि हम एक चिन्ह $x$ का उपयोग करके समुच्चय के तत्वों का वर्णन करते हैं (कोई अन्य चिन्ह जैसे अक्षर $y, z$ आदि भी उपयोग किए जा सकते हैं), जो एक चर चिन्ह $”:"$ के पीछे आता है। चर चिन्ह के पीछे, हम समुच्चय के तत्वों के विशिष्ट गुण का वर्णन करते हैं और फिर संपूर्ण वर्णन को ब्रैकेट में बंद कर देते हैं। उपरोक्त समुच्चय V के वर्णन को “अंग्रेजी वर्णमाला के अकार होने वाले सभी $x$ के समुच्चय” के रूप में पढ़ा जाता है। इस वर्णन में ब्रैकेट शब्द “सभी के समुच्चय” के लिए होते हैं, और चर चिन्ह शब्द “जैसे कि” के लिए होता है। उदाहरण के लिए, समुच्चय

$ \mathrm{A}=\{x: x$ एक प्राकृतिक संख्या है और $3 < x < 10\}$ को “सभी $x$ के समुच्चय” के रूप में पढ़ा जाता है जहां $x$ एक प्राकृतिक संख्या है और $x$ 3 और 10 के बीच स्थित है। अतः, संख्याएँ $4,5,6,7,8$ और 9 समुच्चय A के तत्व हैं।

यदि हम उपरोक्त (a), (b) और (c) में वर्णित समुच्चयों को रोस्टर रूप में क्रमशः $ \mathrm{A}, \mathrm{B}$, C द्वारा नोट करते हैं, तो A, B, C को समुच्चय-निर्माण रूप में निम्नलिखित रूप में भी प्रस्तुत किया जा सकता है:

$ \mathrm{A}=\{x: x$ एक प्राकृतिक संख्या है जो 42 को विभाजित करती है $\}$

$ \mathrm{B}=\{y: y$ अंग्रेजी वर्णमाला में एक स्वर है $\}$

$ \mathrm{C}=\{z: z$ एक विषम प्राकृतिक संख्या है $\}$

उदाहरण 1 समीकरण $x^2+x-2=0$ के समाधान समुच्चय को रोस्टर रूप में लिखिए।

हल दी गई समीकरण को लिखा जा सकता है

$(x-1)(x+2)=0, \text { अर्थात, } x=1,-2$

इसलिए, दी गई समीकरण के समाधान समुच्चय को रोस्टर रूप में लिखा जा सकता है $\{1,-2\}$।

उदाहरण 2 समुच्चय $\left\{x: x\right.$ एक धनात्मक पूर्णांक है और $\left.x^2<40\right\}$ को रोस्टर रूप में लिखिए।

हल आवश्यक संख्याएँ $1,2,3,4,5,6$ हैं। इसलिए, दिए गए समुच्चय को रोस्टर रूप में $\{1,2,3,4,5,6\}$ लिखा जा सकता है।

उदाहरण 3 समुच्चय $ \mathrm{A}=\{1,4,9,16,25, \ldots\}$ को समुच्चय-निर्माण रूप में लिखिए।

हल हम समुच्चय A को इस प्रकार लिख सकते हैं:

$\mathrm{A}=\{x: x \text { एक प्राकृतिक संख्या का वर्ग है }\}$

अथवा, हम इस प्रकार लिख सकते हैं:

$\mathrm{A}=\left\{x: x=n^2, \text { जहाँ } n \in \mathbf{N}\right\}$

उदाहरण 4 समुच्चय $\left\{\dfrac{1}{2}, \dfrac{2}{3}, \dfrac{3}{4}, \dfrac{4}{5}, \dfrac{5}{6}, \dfrac{6}{7}\right\}$ को समुच्चय-निर्माण रूप में लिखिए।

हल हम देख सकते हैं कि दिए गए समुच्चय के प्रत्येक अवयव के अंश के नामकरणकर्ता से एक कम होता है। इसके अलावा, अंश 1 से शुरू होते हैं और 6 तक सीमित होते हैं। अतः, समुच्चय-निर्माण रूप में दिया गया समुच्चय इस प्रकार है:

$\left\{x: x=\dfrac{n}{n+1}, \text { जहाँ } n \text { एक प्राकृतिक संख्या है और } 1 \leq n \leq 6\right\}$

उदाहरण 5 वाम पक्ष पर एक समुच्चय के रोस्टर रूप में वर्णित हर समुच्चय को दक्षिण पक्ष पर समुच्चय-निर्माण रूप में वर्णित समान समुच्चय के साथ मिलाएँ:

(i) $\{\mathrm{P}, \mathrm{R}, \mathrm{I}, \mathrm{N}, \mathrm{C}, \mathrm{A}, \mathrm{L}\} \quad$ (a) $\{x: x$ एक धनात्मक पूर्णांक है और 18 का एक भाजक है $\}$

(ii) $\{0\} \quad$ (b) $\left\{x: x\right.$ एक पूर्णांक है और $\left.x^2-9=0\right\}$

(iii) $\{1,2,3,6,9,18\} \quad$ (c) $\{x: x$ is an integer and $x+1=1\}$

(iv) $\{3,-3\} \quad$ (d) $\{x ; x$ is a letter of the word PRINCIPAL $\}$

हल चूंकि (d) में शब्द PRINCIPAL में 9 अक्षर हैं और दो अक्षर P और I दोहराए गए हैं, इसलिए (i) (d) के साथ मेल खाता है। इसी तरह, $x+1=1$ के अर्थ $x=0$ होता है, इसलिए (ii) (c) के साथ मेल खाता है। इसके अलावा, 1,2,3,6,9,18 सभी 18 के गुणक हैं और इसलिए (iii) (a) के साथ मेल खाता है। अंत में, $x^2-9=0$ के अर्थ $x=3,-3$ होता है और इसलिए (iv) (b) के साथ मेल खाता है।

1.3 खाली समुच्चय

मान लीजिए समुच्चय

$ \mathrm{A}=\{x: x \text { एक विद्यार्थी है जो वर्तमान में एक विद्यालय में कक्षा XI में अध्ययन कर रहा है }\}$

हम विद्यालय जा सकते हैं और वर्तमान में विद्यालय में कक्षा XI में अध्ययन कर रहे विद्यार्थियों की संख्या गिन सकते हैं। इस प्रकार, समुच्चय A में एक सीमित संख्या में तत्व हैं।

अब हम एक अन्य समुच्चय $B$ इस प्रकार लिखते हैं:

$ \mathrm{B}=\{x: x$ वर्तमान में दोनों कक्षा X और XI में अध्ययन कर रहा विद्यार्थी है $\}$

हम देख सकते हैं कि एक विद्यार्थी एक ही समय में दोनों कक्षा X और XI में अध्ययन नहीं कर सकता।

इसलिए, समुच्चय B में कोई भी तत्व नहीं है।

परिभाषा 1 एक समुच्चय जो कोई भी तत्व नहीं रखता है, खाली समुच्चय या शून्य समुच्चय या रिक्त समुच्चय कहलाता है।

इस परिभाषा के अनुसार, B एक खाली समुच्चय है जबकि A एक खाली समुच नहीं है। खाली समुच्चय को $\phi$ या $\{ \}$ चिह्न द्वारा नोट किया जाता है।

हम नीचे खाली समुच्चय के कुछ उदाहरण देते हैं।

(i) मान लीजिए $ \mathrm{A}=\{x: 1 < x < 2, x$ एक प्राकृतिक संख्या है $\}$. तो A एक खाली समुच्चय है, क्योंकि 1 और 2 के बीच कोई प्राकृतिक संख्या नहीं है।

(ii) $ \mathrm{B}=\left\{x: x^2-2=0\right.$ और $x$ एक परिमेय संख्या है $\}$. तो B एक खाली समुच्चय है क्योंकि समीकरण $x^2-2=0$ को कोई परिमेय मान $x$ द्वारा संतुष्ट नहीं किया जा सकता।

(iii) $ \mathrm{C}= \{ x: x$ एक विषम अभाज्य संख्या है जो 2 से बड़ी है $\}$. तब C एक खाली समुच्चय है, क्योंकि 2 एकमात्र सम अभाज्य संख्या है।

(iv) $ \mathrm{D}=\left\{x: x^2=4, x\right.$ विषम है $\}$. तब D एक खाली समुच्चय है, क्योंकि समीकरण $x^2=4$ को कोई विषम मान नहीं संतुष्ट करता।

1.4 समाप्त और असमाप्त समुच्चय

मान लीजिए $ \mathrm{A}=\{1,2,3,4,5\}, \quad \mathrm{B}=\{a, b, c, d, e, g\}$

और $ \mathrm{C}=\{$ विश्व के विभिन्न हिस्सों में रह रहे पुरुष $\}$

हम देखते हैं कि A में 5 तत्व हैं और $B$ में 6 तत्व हैं। C में कितने तत्व हैं? अब तक हम इसकी संख्या नहीं जानते, लेकिन यह कुछ प्राकृतिक संख्या हो सकती है जो बहुत बड़ी संख्या हो सकती है। एक समुच्चय $S$ के तत्वों की संख्या को हम उस समुच्चय के भिन्न तत्वों की संख्या कहते हैं और इसे $n$ (S) से दर्शाते हैं। यदि $n$ (S) एक प्राकृतिक संख्या है, तो S एक गैर-खाली समाप्त समुच्चय है।

संख्याओं के समुच्चय को विचार करें। हम देखते हैं कि इस समुच्चय के तत्वों की संख्या अंतिम नहीं है क्योंकि प्राकृतिक संख्याओं की अपरिमित संख्या होती है। हम कहते हैं कि प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय एक अपरिमित समुच्चय है। ऊपर दिए गए समुच्चय $A, B$ और $C$ अंतिम समुच्चय हैं और $n(\mathrm{~A})=5, n(\mathrm{~B})=6$ और $n(\mathrm{C})=$ कुछ अंतिम संख्या है।

परिभाषा 2 एक समुच्चय जो खाली हो या निश्चित संख्या में तत्वों से बना हो अंतिम कहलाता है, अन्यथा समुच्चय अपरिमित कहलाता है।

कुछ उदाहरण विचार करें:

(i) मान लीजिए W एक सप्ताह के दिनों के समुच्चय है। तब W एक समाप्त समुच्चय है।

(ii) मान लीजिए S समीकरण $x^2-16=0$ के हलों के समुच्चय है। तब S एक समाप्त समुच्चय है।

(iii) मान लीजिए G एक रेखा पर बिंदुओं के समुच्चय है। तब G असमाप्त समुच्चय है।

जब हम एक समुच्चय को सूची रूप में प्रस्तुत करते हैं, तो हम समुच्चय के सभी तत्वों को ब्रैकेट { } में लिखते हैं। एक असमाप्त समुच्चय के सभी तत्वों को ब्रैकेट { } में लिखना संभव नहीं होता क्योंकि ऐसे समुच्चय के तत्वों की संख्या समाप्त नहीं होती। अतः हम एक कुछ तत्वों को लिखकर तत्वों की संरचना को स्पष्ट रूप से दिखाने के लिए तीन डॉट्स (या तीन बिंदु) के साथ असमाप्त समुच्चय को सूची रूप में प्रस्तुत करते हैं।

उदाहरण के लिए, $\{1,2,3 \ldots\}$ प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है, $\{1,3,5,7, \ldots\}$ विषम प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है, $\{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3, \ldots\}$ पूर्णांकों का समुच्चय है। ये सभी समुच्चय अपरिमित हैं।

ध्यातव्य - सभी अपरिमित समुच्चय लिस्ट रूप में वर्णित नहीं किए जा सकते हैं। उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याओं का समुच्चय इस रूप में वर्णित नहीं किया जा सकता है, क्योंकि इस समुच्चय के तत्व कोई विशिष्ट पैटर्न के अनुसार नहीं आते हैं।

उदाहरण 6 निम्नलिखित में से कौन-कौन से समुच्चय समाप्त (finite) और कौन-कौन से अपरिमित (infinite) हैं :

(i) $\left\{x: x \in \mathrm{~N}\right.$ and $\left.(x-1)(x-2)=0 \right\}$

(ii) $\left\{x: x \in \mathrm{~N}\right.$ and $\left.x^2=4\right\}$

(iii) $\{x: x \in \mathrm{~N}$ and $2 x-1=0\}$

(iv) $\{x: x \in \mathrm{~N}$ and $x$ is prime $\}$

(v) $\{x: x \in \mathrm{~N}$ and $x$ is odd $\}$

हल (i) दिया गया समुच्चय $=\{1,2\}$. अतः, यह एक समाप्त समुच्चय है।

(ii) दिया गया समुच्चय $=\{2\}$. अतः, यह एक समाप्त समुच्चय है।

(iii) दिया गया समुच्चय $=\phi$. अतः, यह एक समाप्त समुच्चय है।

(iv) दिया गया समुच्चय सभी अभाज्य संख्याओं का समुच्चय है और अभाज्य संख्याओं का समुच्चय असमाप्त होता है। अतः दिया गया समुच्चय असमाप्त है।

(v) चूंकि विषम संख्याओं की संख्या अपरिमित है, अतः दिए गए समुच्चय अपरिमित है।

1.5 समान समुच्चय

दो समुच्चय A और B दिए गए हों, यदि A के प्रत्येक अवयव B के अवयव हों और B के प्रत्येक अवयव A के अवयव हों, तो समुच्चय A और B समान कहलाते हैं। स्पष्ट रूप से, दोनों समुच्चयों में ठीक उतने ही अवयव होते हैं।

परिभाषा 3 दो समुच्चय A और B तब समान कहलाते हैं जब वे ठीक उतने ही अवयव रखते हों और हम इसे $ \mathrm{A}=\mathrm{B} $ लिखते हैं। अन्यथा, समुच्चय असमान कहलाते हैं और हम इसे $A \neq B$ लिखते हैं।

हम निम्नलिखित उदाहरणों को ध्यान में रखते हैं :

(i) मान लीजिए $ \mathrm{A}=\{1,2,3,4\}$ और $ \mathrm{B}=\{3,1,4,2\}$. तो $ \mathrm{A}=\mathrm{B}$ है।

(ii) मान लीजिए A वह समुच्चय है जो 6 से कम सभी अभाज्य संख्याओं को लेता है और P वह समुच्चय है जो 30 के अभाज्य गुणनखंड हैं। तो $A$ और $P$ समान हैं, क्योंकि 30 के अभाज्य गुणनखंड 2, 3 और 5 हैं और ये सभी 6 से कम हैं।

नोट- एक समुच्चय में एक या अधिक तत्वों की दोहराना समुच्चय को बदल नहीं देता। उदाहरण के लिए, समुच्चय $ \mathrm{A}=\{1,2,3\}$ और $ \mathrm{B}=\{2,2,1,3,3\}$ समान हैं, क्योंकि A के प्रत्येक तत्व B में है और विपरीत भी। इस कारण हम आमतौर पर किसी समुच्चय का वर्णन करते समय कोई भी तत्व दोहराने की आवश्यकता नहीं महसूस करते।

उदाहरण 7 समान समुच्चयों के जोड़े खोजें, यदि कोई हो, और कारण दें:

$$ \begin{array}{ll} \mathrm{A}=\{0\}, & \mathrm{B}=\{x: x>15 \text { और } x<5\}, \\ \mathrm{C}=\{x: x-5=0\}, & \mathrm{D}=\left\{x: x^2=25\right\}, \\ \mathrm{E}=\left\{x: x \text { एक समीकरण } x^2-2 x-15=0 \text { का सम्पूर्ण धनात्मक मूल है } \right\} . \end{array} $$

हल $0 \in A$ और $0$ कोई भी समुच्चय B, C, D और E में नहीं है, इसलिए $ \mathrm{A} \neq \mathrm{B}, \mathrm{A} \neq \mathrm{C}, \mathrm{A} \neq \mathrm{D}, \mathrm{A} \neq \mathrm{E}$.

Since $ \mathrm{B}=\phi$ but none of the other sets are empty. Therefore $ \mathrm{B} \neq \mathrm{C}, \mathrm{B} \neq \mathrm{D}$ and $B \neq E$. Also $C=\{5\}$ but $-5 \in D$, hence $C \neq D$.

Since $E=\{5\}, C=E$. Further, $D=\{-5,5\}$ and $E=\{0\}$, we find that, $D \neq E$. Thus, the only pair of equal sets is C and E.

उदाहरण 8 निम्नलिखित में से कौन-से समुच्चय बराबर हैं? अपने उत्तर की व्याख्या करें।

(i) X, “ALLOY” में अक्षरों के समुच्चय और B, “LOYAL” में अक्षरों के समुच्चय।

(ii) $ \mathrm{A}=\left\{n: n \in \mathrm{Z}\right.$ and $\left.n^2 \leq 4\right\}$ और $ \mathrm{B}=\left\{x: x \in \mathrm{R}\right.$ and $\left.x^2-3 x+2=0\right\}$.

हल (i) हमें, $ \mathrm{X}=\{\mathrm{A}, \mathrm{L}, \mathrm{L}, \mathrm{O}, \mathrm{Y}\}, \mathrm{B}=\{\mathrm{L}, \mathrm{O}, \mathrm{Y}, \mathrm{A}, \mathrm{L}\}$. तब X और B समान समुच्चय हैं क्योंकि समुच्चय में तत्वों की दोहरान एक समुच्चय को बदल नहीं सकती। इसलिए,

$\mathrm{X}=\{\mathrm{A}, \mathrm{~L}, \mathrm{O}, \mathrm{Y}\}=\mathrm{B}$

(ii) $A=\{-2,-1,0,1,2\}, B=\{1,2\}$. क्योंकि $0 \in A$ और $0 \notin B, A$ और $B$ समान समुच्चय नहीं हैं।

1.6 उपसमुच्चय

मान लीजिए कि समुच्चय हैं : $ \mathrm{X}=$ आपके विद्यालय में सभी छात्रों का समुच्चय, $ \mathrm{Y}=$ आपकी कक्षा में सभी छात्रों का समुच्चय।

हम ध्यान देते हैं कि $Y$ के प्रत्येक अवयव $X$ का भी अवयव है; हम कहते हैं कि $Y$ $X$ का एक उपसमुच्चय है। $Y$ के $X$ के उपसमुच्चय होने के तथ्य को चिह्नों के माध्यम से $ \mathrm{Y} \subset \mathrm{X}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है। चिह्न $\subset$ का अर्थ है ‘उपसमुच्चय है’ या ‘समाहित है’।

परिभाषा 4 एक समुच्चय $A$ को एक समुच्चय $B$ का उपसमुच्चय कहा जाता है यदि $A$ के प्रत्येक अवयव $B$ का भी अवयव हो।

अन्य शब्दों में, $ \mathrm{A} \subset \mathrm{B}$ तभी होता है जब वह समय हो जब $a \in \mathrm{~A}$, तो $a \in \mathrm{~B}$. अक्सर " $\Rightarrow$ " चिह्न का उपयोग करके आसानी से अर्थ बताया जा सकता है। इस चिह्न का उपयोग करते हुए, हम समुच्चय के परिभाषा को इस प्रकार लिख सकते हैं:

$\mathrm{A} \subset \mathrm{~B} \text { यदि } a \in \mathrm{~A} \Rightarrow a \in \mathrm{~B}$

हम उपरोक्त कथन को " $A$ $B$ का एक उपसमुच्चय है यदि $a$ $A$ का एक तत्व है तो $a$ $B$ का भी एक तत्व है" के रूप में पढ़ते हैं। यदि A, B का उपसमुच्चय नहीं है, तो हम $ \mathrm{A} \not \subset \mathrm{B}$ लिखते हैं।

हम ध्यान दें सकते हैं कि $A$ के $B$ का उपसमुच्चय होने के लिए, सभी $A$ के तत्व $B$ में होना पर्याप्त है। संभव है कि $B$ के सभी तत्व $A$ में हों या न हों। यदि ऐसा हो कि $B$ के सभी तत्व $A$ में भी हों, तो हमें $B \subset A$ भी मिलेगा। इस स्थिति में, $A$ और $B$ समान समुच्चय हैं, ताकि हमें $A \subset B$ और $B \subset A \Leftrightarrow A=B$ मिलेगा, जहाँ " $\Leftrightarrow$ " दोनों दिशाओं में अपेक्षा के चिन्ह के लिए है और आमतौर पर “यदि और केवल यदि” (संक्षेप में “iff”) के रूप में पढ़ा जाता है।

उपरोक्त परिभाषा से यह निश्चित होता है कि प्रत्येक समुच्चय $A$ अपने आप में एक उपसमुच्चय है, अर्थात, $ \mathrm{A} \subset \mathrm{A}$. चूंकि खाली समुच्चय $\phi$ कोई भी तत्व नहीं है, हम सहमत होते हैं कि $\phi$ प्रत्येक समुच्चय का एक उपसमुच्चय है। अब हम कुछ उदाहरणों की ओर ध्यान आकर्षित करते हैं :

(i) परिमेय संख्याओं के समुच्चय $ \mathbf{Q}$ वास्तविक संख्याओं के समुच्चय $ \mathbf{R}$ का एक उपसमुच्चय है, और हम लिखते हैं $ \mathbf{Q} \subset \mathrm{R}$.

(ii) यदि A, 56 के सभी गुणनखंडों के समुच्चय है और B, 56 के सभी अभाज्य गुणनखंडों के समुच्चय है, तो B, A का एक उपसमुच्चय है और हम लिखते हैं $ \mathrm{B} \subset \mathrm{A}$.

(iii) मान लीजिए $ \mathrm{A}=\{1,3,5\}$ और $ \mathrm{B}= \{x: x$ एक विषम प्राकृतिक संख्या है जो 6 से कम है $\}$. तब $ \mathrm{A} \subset \mathrm{B}$ और $ \mathrm{B} \subset \mathrm{A}$ और अतः $ \mathrm{A}=\mathrm{B}$।

(iv) मान लीजिए $ \mathrm{A}=\{a, e, i, o, u\}$ और $ \mathrm{B}=\{a, b, c, d\}$। तब A, B का एक उपसमुच्चय नहीं है, और B, A का एक उपसमुच्चय भी नहीं है।

मान लीजिए A और B दो समुच्चय हैं। यदि $ \mathrm{A} \subset \mathrm{B}$ और $ \mathrm{A} \neq \mathrm{B}$, तो A को B का एक उपसमुच्चय कहा जाता है और B को A का एक आवरक समुच्चय कहा जाता है। उदाहरण के लिए,

$A=\{1,2,3\}$, $B=\{1,2,3,4\}$ का एक उपसमुच्चय है।

यदि एक समुच्चय A में केवल एक तत्व हो, तो हम इसे एकल तत्व वाला समुच्चय कहते हैं। इसलिए, $\{a\}$ एक एकल तत्व वाला समुच्चय है।

उदाहरण 9 समुच्चयों को विचार करें

$\phi, \mathrm{A}=\{1,3\}, \mathrm{B}=\{1,5,9\}, \mathrm{C}=\{1,3,5,7,9\}$

निम्नलिखित समुच्चय युग्म के बीच $\subset$ या $\not \subset$ चिन्ह को भरें:

(i) $\phi \ldots$ B

(ii) $ \mathrm{A} \ldots \mathrm{B}$

(iii) A . . C

(iv) $ \mathrm{B} \ldots \mathrm{C}$

हल (i) $\phi \subset \mathrm{B}$ क्योंकि $\phi$ प्रत्येक समुच्चय का उपसमुच्चय होता है।

(ii) $ \mathrm{A} \not \subset \mathrm{B}$ क्योंकि $3 \in \mathrm{~A}$ और $3 \notin \mathrm{~B}$

(iii) $ \mathrm{A} \subset \mathrm{C}$ क्योंकि $1,3 \in \mathrm{~A}$ भी C में स्थित हैं

(iv) $ \mathrm{B} \subset \mathrm{C}$ क्योंकि B के प्रत्येक तत्व C के तत्व हैं।

उदाहरण 10 मान लीजिए $ \mathrm{A}=\{a, e, i, o, u\}$ और $ \mathrm{B}=\{a, b, c, d\}$. A, B का उपसमुच्चय है? नहीं। (क्यों?) B, A का उपसमुच्चय है? नहीं। (क्यों?)

उदाहरण 11 मान लीजिए $ \mathrm{A}, \mathrm{B}$ और C तीन समुच्चय हैं। यदि $ \mathrm{A} \in \mathrm{B}$ और $ \mathrm{B} \subset \mathrm{C}$, तो क्या $A \subset C$ सत्य है? यदि नहीं, तो एक उदाहरण दीजिए।

हल नहीं। मान लीजिए $A=\{1\}, B=\{\{1\}, 2\}$ और $C=\{\{1\}, 2,3\}$। यहाँ $A \in B$ क्योंकि $A=\{1\}$ और $ \mathrm{B} \subset \mathrm{C}$. लेकिन $ \mathrm{A} \not \subset \mathrm{C}$ क्योंकि $1 \in \mathrm{~A}$ और $1 \notin \mathrm{C}$।

ध्यान दें कि किसी समुच्चय का एक तत्व कभी अपने आप का एक उपसमुच्चय नहीं हो सकता।

1.6.1 वास्तविक संख्याओं के समुच्चय के उपसमुच्चय

अनुच्छेद 1.6 में उल्लेख किया गया है कि $ \mathbf{R}$ के कई महत्वपूर्ण उपसमुच्चय होते हैं। हम नीचे इन उपसमुच्चयों के कुछ नाम देते हैं।

प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय $ \mathbf{N}=\{1,2,3,4,5, \ldots\}$

संख्याओं के समुच्चय $ \mathbf{Z}=\{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3, \ldots\}$

परिमेय संख्याओं के समुच्चय $ \mathbf{Q}=\bigg\{x: x=\dfrac{p}{q}, p, q \in \mathbf{Z}\bigg.$ और $\bigg.q \neq 0\bigg\}$

जिसे पढ़ा जाता है " $ \mathbf{Q}$ वह समुच्चय है जिसमें सभी संख्याएँ $x$ होती हैं जैसे कि $x$ भागफल $\dfrac{p}{q}$ के बराबर हो, जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक होते हैं और $q$ शून्य नहीं होता। $ \mathbf{Q}$ के सदस्यों में -5 $\bigg(\bigg.$ जिसे $-\dfrac{5}{1} \bigg.\bigg)$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $, \dfrac{5}{7}, 3 \dfrac{1}{2}$ $\bigg(\bigg.$ जिसे $\dfrac{7}{2} \bigg.\bigg)$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है और $-\dfrac{11}{3}$ शामिल हैं।

अपरिमेय संख्याओं के समुच्चय, $ \mathbf{T} $ द्वारा नोट किया जाता है, जो सभी अन्य वास्तविक संख्याओं से बना होता है।

इसलिए $\quad \mathbf{T}=\{x: x \in \mathbf{R}$ और $x \notin \mathbf{Q}\}$, अर्थात सभी वास्तविक संख्याएं जो परिमेय नहीं होती हैं।

$ \mathbf{T} $ के सदस्यों में $\sqrt{2}, \sqrt{5}$ और $\pi$ शामिल होते हैं।

इन समुच्चयों के बीच कुछ स्पष्ट संबंध हैं:

$\mathbf{N} \subset \mathbf{Z} \subset \mathbf{Q}, \mathbf{Q} \subset \mathbf{R}, \mathbf{T} \subset \mathbf{R}, \mathbf{N} \not \subset \mathbf{T}$

1.6.2 $R$ के उपसमुच्चय के रूप में अंतराल

एक $a, b \in \mathbf{R}$ और $a < b$ हो। तब वास्तविक संख्याओं के समुच्चय $\{y: a < y < b\}$ को खुला अंतराल कहते हैं और इसे $(a, b)$ से नोट करते हैं। सभी बिंदु $a$ और $b$ के बीच खुले अंतराल $(a, b)$ के हिस्से हैं लेकिन $a, b$ स्वयं इस अंतराल के हिस्से नहीं हैं।

उस अंतराल जो सिरों को भी शामिल करता है, बंद अंतराल कहलाता है और इसे $[a, b]$ से नोट करते हैं। इस प्रकार

$[a, b]=\{x: a \leq x \leq b\}$

हम एक अंतराल भी बना सकते हैं जो एक छोर पर बंद हो और दूसरे छोर पर खुला हो, अर्थात,

$[a, b)=\{x: a \leq x < b\}$ एक खुला अंतराल है $a$ से $b$ तक, जो $a$ को शामिल करता है लेकिन $b$ को नहीं।

$(a, b]=\{x: a < x \leq b\}$, $a$ से $b$ तक के खुले अंतराल है, जो $b$ को समावेश करता है लेकिन $a$ को नहीं।

इन नोटेशन्स के माध्यम से वास्तविक संख्या के समुच्चय के उपसमुच्चयों को एक अलग तरीके से निरूपित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि $ \mathrm{A}=(-3,5)$ और $ \mathrm{B}=[-7,9]$ है, तो $ \mathrm{A} \subset \mathrm{B}$. समुच्चय $[0, \infty)$ गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को निरूपित करता है, जबकि समुच्चय $(-\infty, 0)$ ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को निरूपित करता है। समुच्चय $(-\infty, \infty)$ एक रेखा के रूप में वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को निरूपित करता है, जो $-\infty$ से $\infty$ तक फैली होती है।

वास्तविक संख्या रेखा पर, ऊपर वर्णित विभिन्न प्रकार के अंतराल, $ \mathbf{R} $ के उपसमुच्चय के रूप में दिखाए गए हैं, चित्र 1.1 में।

चित्र 1.1

यहाँ, हम ध्यान देते हैं कि एक अंतराल में अपरिमित बिंदु होते हैं।

उदाहरण के लिए, समुच्चय $\{x: x \in \mathbf{R},-5 < x \leq 7\}$, समुच्चय-बन्दक रूप में लिखा जा सकता है, जो अंतराल के रूप में $(-5,7]$ के रूप में लिखा जा सकता है और अंतराल $[-3,5)$ समुच्चय-बन्दक रूप में $\{x:-3 \leq x < 5\}$ के रूप में लिखा जा सकता है।

संख्या $(b-a)$ को कोई भी अंतराल $(a, b),[a, b]$, $[a, b)$ या $(a, b]$ की लंबाई कहते हैं।

1.7 सार्वभौम समुच्चय

आम तौर पर, किसी विशेष संदर्भ में हम उस समुच्चय के तत्वों और उपसमुच्चयों से संबंधित होते हैं जो उस विशेष संदर्भ के लिए संबंधित होता है। उदाहरण के लिए, संख्या प्रणाली के अध्ययन में हम धनात्मक संख्याओं के समुच्चय और उसके उपसमुच्चयों जैसे सभी अभाज्य संख्याओं के समुच्चय, सभी सम संख्याओं के समुच्चय आदि के बारे में चर्चा करते हैं। इस बुनियादी समुच्चय को “सार्वभौम समुच्चय” कहते हैं। सार्वभौम समुच्चय को आमतौर पर U द्वारा नोट किया जाता है, और इसके सभी उपसमुच्चयों को A, B, C आदि अक्षरों द्वारा नोट किया जाता है।

उदाहरण के लिए, सभी पूर्णांकों के समुच्चय के लिए, सार्वत्रिक समुच्चय परिमाणीय संख्याओं के समुच्चय या, बर्बादी बात, वास्तविक संख्याओं के समुच्चय $ \mathbf{R} $ हो सकता है। एक अन्य उदाहरण में, मानव जनसंख्या अध्ययन में, सार्वत्रिक समुच्चय दुनिया में सभी लोगों के समुच्चय से बना होता है।

1.8 वेन आरेख

समुच्चयों के बीच अधिकांश संबंध वेन आरेख के माध्यम से प्रस्तुत किए जा सकते हैं, जो वेन आरेख के नामकरण के लिए एक अंग्रेज तर्कशास्त्री, जॉन वेन (1834-1883) के नाम पर है। ये आरेख आयतों और बंद वक्रों, आमतौर पर वृत्तों से बने होते हैं। सार्वत्रिक समुच्चय आमतौर पर एक आयत द्वारा प्रस्तुत किया जाता है और इसके उपसमुच्चय वृत्तों द्वारा।

वेन आरेख में, समुच्चय के तत्व उनके संगत वृत्तों में लिखे जाते हैं (चित्र 1.2 और 1.3)

उदाहरण 1 चित्र 1.2 में, $U=\{1,2,3, \ldots, 10\}$ वह सार्वत्रिक समुच्चय है जिसके लिए

$A=\{2,4,6,8,10\}$ एक उपसमुच्चय है।

चित्र 1.2

उदाहरण 2 चित्र 1.3 में, $U=\{1,2,3, \ldots, 10\}$ वह सार्वत्रिक समुच्चय है जिसके लिए

$A=\{2,4,6,8,10\}$ और $B=\{4,6\}$ उपसमुच्चय हैं, और इसके अलावा $B \subset A$ भी है।

चित्र 1.3

पाठ के अगले अंश में हम समुच्चयों के संयोजन, प्रतिच्छेदन और अंतर के बारे में बात करते हुए, पाठक वेन आरेख के व्यापक उपयोग को देखेंगे।

1.9 समुच्चयों पर संक्रियाएँ

पिछली कक्षाओं में हमने संख्याओं पर जोड़, घटाव, गुणन और विभाजन जैसी संक्रियाओं को कैसे करते हैं, इसके बारे में सीख चुके हैं। इन सभी संक्रियाओं में से प्रत्येक एक संख्या युग्म पर की जाती है ताकि एक अन्य संख्या प्राप्त हो। उदाहरण के लिए, हम 5 और 13 के संख्या युग्म पर जोड़ की संक्रिया करते हैं, तो हमें 18 नंबर प्राप्त होता है। फिर, 5 और 13 के संख्या युग्म पर गुणन की संक्रिया करते हैं, तो हमें 65 प्राप्त होता है।

उतने ही ऑपरेशन हैं, जिनके द्वारा दो समुच्चयों पर कार्य करने से एक नया समुच्चय बनता है। अब हम समुच्चयों पर कुछ ऑपरेशन परिभाषित करेंगे और उनके गुणों की जांच करेंगे। अब आगे, हम सभी समुच्चयों को किसी विश्व समुच्चय के उपसमुच्चय के रूप में संदर्भित करेंगे।

1.9.1 समुच्चयों का एकत्रीकरण

मान लीजिए A और B कोई दो समुच्चय हैं। A और B के एकत्रीकरण वह समुच्चय है जो A के सभी तत्वों और B के सभी तत्वों को शामिल करता है, सामान्य तत्वों को केवल एक बार शामिल किया जाता है। योग को चिह्न ’ $\cup$ ’ द्वारा निरूपित किया जाता है। चिह्नांकी रूप में, हम लिखते हैं $ \mathrm{A} \cup \mathrm{B} $ और आमतौर पर इसे ’ $A$ union $B$ ’ के रूप में पढ़ते हैं।

उदाहरण 12 मान लीजिए $A=\{2,4,6,8\}$ और $B=\{6,8,10,12\}$. $A \cup B$ ज्ञात कीजिए।

हल हमें $A \cup B=\{2,4,6,8,10,12\}$ मिलता है।

ध्यान दें कि $A \cup B$ लिखते समय सामान्य तत्व 6 और 8 केवल एक बार लिए गए हैं।

उदाहरण 13 मान लीजिए $ \mathrm{A}=\{a, e, i, o, u\}$ और $ \mathrm{B}=\{a, i, u\}$. सिद्ध कीजिए कि $ \mathrm{A} \cup \mathrm{B}=\mathrm{A}$

हल हमें, $ \mathrm{A} \cup \mathrm{B}=\{a, e, i, o, u\}=\mathrm{A}$ मिलता है।

इस उदाहरण से स्पष्ट है कि समुच्चय $A$ और इसके उपसमुच्चय $B$ के संघ केवल समुच्चय $A$ ही होता है, अर्थात यदि $ \mathrm{B} \subset \mathrm{A}$, तो $ \mathrm{A} \cup \mathrm{B}=\mathrm{A}$।

उदाहरण 14 मान लीजिए $ \mathrm{X}=\{$ राम, गीता, अकबर $\}$ कक्षा XI के छात्रों का समुच्चय है, जो स्कूल के हैकी टीम में हैं। मान लीजिए $Y=\{$ गीता, डेविड, अशोक $\}$ कक्षा XI के छात्रों का समुच्चय है, जो स्कूल के फुटबॉल टीम में हैं। $X \cup Y$ ज्ञात कीजिए और समुच्चय की व्याख्या कीजिए।

हल हमें, $ \mathrm{X} \cup \mathrm{Y}=\{$ राम, गीता, अकबर, डेविड, अशोक $\}$ प्राप्त होता है। यह कक्षा XI के छात्रों का समुच्चय है, जो हैकी टीम या फुटबॉल टीम या दोनों में हैं।

इस प्रकार, हम दो समुच्चयों के एकीकरण को निम्नलिखित तरह परिभाषित कर सकते हैं:

परिभाषा 5 दो समुच्चय $A$ और $B$ के संघ वह समुच्चय $C$ है जो उन सभी तत्वों को शामिल करता है जो या तो $A$ में हों या $B$ में हों (दोनों में शामिल तत्वों को भी)। प्रतीकों में, हम लिखते हैं:

$A \cup B=\{x: x \in A$ या $x \in B\}$

दो समुच्चयों के संघ को चित्र 1.4 में वेन आरेख द्वारा प्रस्तुत किया जा सकता है।

चित्र 1.4 में छायांकित भाग $A \cup B$ को प्रस्तुत करता है।

चित्र 1.4

के संघ के संचालन के कुछ गुण

(i) $A \cup B=B \cup A$ (संवृत्त नियम)

(ii) $(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C)$ (संयोजन नियम)

(iii) $A \cup \phi=A \quad$ (सरलता तत्व का नियम, $\phi$ के संघ का तत्व है)

(iv) $A \cup A=A \quad$ (अपवर्जी नियम)

(v) $U \cup A=U \quad$ (संघ के नियम)

1.9.2 समुच्चयों का प्रतिच्छेदन

समुच्चय A और B के प्रतिच्छेदन उन तत्वों के समुच्चय होता है जो दोनों $A$ और $B$ में सामान्य होते हैं। प्रतिच्छेदन को चिह्न ’ $\cap$ ’ द्वारा निरूपित किया जाता है। दो समुच्चय $A$ और $B$ के प्रतिच्छेदन वे सभी तत्व होते हैं जो दोनों A और B में स्थित होते हैं। चिह्नों के रूप में, हम लिखते हैं $ \mathrm{A} \cap \mathrm{B}=\{x: x \in \mathrm{~A}$ और $x \in \mathrm{~B}\}$.

उदाहरण 15 उदाहरण 12 में आए समुच्चय A और B को लें। $ \mathrm{A} \cap \mathrm{B}$ ज्ञात कीजिए।

हल हम देखते हैं कि 6, 8 ऐसे एकमात्र तत्व हैं जो दोनों $A$ और $B$ में सामान्य हैं। अतः $ \mathrm{A} \cap \mathrm{B}=\{6,8\}$।

उदाहरण 16 उदाहरण 14 में आए समुच्चय X और Y को लें। $ \mathrm{X} \cap \mathrm{Y}$ ज्ञात कीजिए।

हल हम देखते हैं कि तत्व ‘Geeta’ दोनों में सामान्य है। अतः, $ \mathrm{X} \cap \mathrm{Y}=\{$ Geeta $\}$।

उदाहरण 17 मान लीजिए $A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$ और $B=\{2,3,5,7\}$। $A \cap B$ ज्ञात कीजिए और इस प्रकार दिखाइए कि $ \mathrm{A} \cap \mathrm{B}=\mathrm{B}$।

हल हमारे पास $A \cap B=\{2,3,5,7\}=B$ है। हम ध्यान देते हैं कि $B \subset A$ और $A \cap B=B$ है।

परिभाषा 6 दो समुच्चय A और B के छेड़छाड़ वह समुच्चय है जो दोनों A और B में शामिल होते हैं। संकेतात्मक रूप से, हम लिखते हैं

$A \cap B=\{x: x \in A$ और $x \in B\}$

चित्र 1.5 में छायांकित भाग $A$ और $B$ के छेड़छाड़ को दर्शाता है।

चित्र 1.5

यदि $A$ और $B$ दो समुच्चय इस प्रकार है कि $A \cap B=\phi$, तो $A$ और $B$ को अलग-अलग समुच्चय कहते हैं।

उदाहरण के लिए, मान लीजिए $A=\{2,4,6,8\}$ और

$B=\{1,3,5,7\}$. तो $A$ और $B$ अलग-अलग समुच्चय हैं, क्योंकि A और B के कोई भी सामान तत्व नहीं हैं। अलग-अलग समुच्चयों को वेन आरेख के माध्यम से दिखाया जा सकता है, जैसा कि चित्र 1.6 में दिखाया गया है। उपरोक्त आरेख में, $A$ और $B$ अलग-अलग समुच्चय हैं।

चित्र 1.6

संयोजन के संचालन के कुछ गुण

(i) $A \cap B=B \cap A \quad$ (संवृत्त नियम)।

(ii) $(A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C) \quad$ (संयोजक नियम)।

(iii) $\phi \cap A=\phi, \cup \cap A=A \quad$ (φ और ∪ के नियम)।

(iv) $A \cap A=A \quad$ (अपवादी नियम)

(v) $A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C)$ (वितरण नियम) अर्थात, $\cap$ को $\cup$ पर वितरित किया जाता है।

इसे निम्नलिखित वेन आरेख से आसानी से समझा जा सकता है [चित्र 1.7 (i) से (v)]।

चित्र 1.7 (i) से (v)

1.9.3 समुच्चयों का अंतर

इस क्रम में समुच्चय A और B का अंतर वे तत्व होते हैं जो A में होते हैं लेकिन B में नहीं होते हैं। संकेतात्मक रूप से, हम A - B लिखते हैं और “A माइनस B” के रूप में पढ़ते हैं।

उदाहरण 18 मान लीजिए $A=\{1,2,3,4,5,6\}, B=\{2,4,6,8\}$। $A-B$ और $B-A$ ज्ञात कीजिए।

हल हम जानते हैं कि $A-B=\{1,3,5\}$, क्योंकि तत्व $1,3,5$ A में होते हैं लेकिन B में नहीं होते हैं और $B-A=\{8\}$, क्योंकि तत्व 8 B में होता है लेकिन A में नहीं होता है।

हम ध्यान देते हैं कि $A-B \neq B-A$।

उदाहरण 19 मान लीजिए $V=\{a, e, i, o, u\}$ और $B=\{a, i, k, u\}$। $V-B$ और $B-V$ ज्ञात कीजिए।

हल हम जानते हैं कि $V-B=\{e, o\}$, क्योंकि तत्व $e$, $o$ $V$ में हैं लेकिन $B$ में नहीं हैं और $B-V=\{k\}$, क्योंकि तत्व $k$ $B$ में है लेकिन $V$ में नहीं है।

हम ध्यान देते हैं कि $V-B \neq B-V$। सेट बिल्डर नोटेशन का उपयोग करके, हम अंतर के परिभाषा को इस प्रकार लिख सकते हैं:

$ \mathrm{A}-\mathrm{B}= \{x:x \in \mathrm{A और} x \notin \mathrm{B}\}$

दो सेटों A और B के अंतर को वेन आरेख द्वारा चित्रित किया जा सकता है, जैसा कि आकृति 1.8 में दिखाया गया है।

चित्र 1.8

शामिल क्षेत्र दो समुच्चय A और B के अंतर को प्रदर्शित करता है

टिप्पणी समुच्चय $ \mathrm{A}-\mathrm{B}, \hspace{1 mm} \mathrm{A} \bigcap \mathrm{B} \text{ और } \mathrm{B} - \mathrm{A}$ परस्पर अलग-अलग समुच्चय हैं, अर्थात इन तीनों में से किसी दो समुच्चयों के प्रतिच्छेदन शून्य समुच्चय होता है, जैसा कि चित्र 1.9 में दिखाया गया है

चित्र 1.9

1.10 समुच्चय का पूरक

मान लीजिए U एक सार्वत्रिक समुच्चय है जो सभी अभाज्य संख्याओं को शामिल करता है और A, U का उपसमुच्चय है जो 42 के गुणनखंड नहीं होने वाले सभी अभाज्य संख्याओं को शामिल करता है। इसलिए, $ \mathrm{A}=\{x: x \in \mathrm{U}$ और $x$ 42 का गुणनखंड नहीं है $\}$. हम देखते हैं कि $2 \in \mathrm{U}$ लेकिन $2 \notin \mathrm{~A}$, क्योंकि 2, 42 का एक गुणनखंड है। इसी तरह, $3 \in \mathrm{U}$ लेकिन $3 \notin \mathrm{~A}$, और $7 \in \mathrm{U}$ लेकिन $7 \notin \mathrm{~A}$. अब 2, 3 और 7, U के उन अकेले तत्व हैं जो A में नहीं हैं। इन तीन अभाज्य संख्याओं के समुच्चय, अर्थात, समुच्चय $\{2,3,7\}$, U के संदर्भ में A का पूरक कहलाता है और $A^{\prime}$ से नोट किया जाता है। इसलिए हम देखते हैं कि $A^{\prime}=\{2,3,7\}$.

$ \mathrm{A}^{\prime}=\{x: x \in \mathrm{U}$ और $x \notin \mathrm{~A}\}$. इससे निम्नलिखित परिभाषा प्राप्त होती है।

परिभाषा 7 मान लीजिए U एक सार्वत्रिक समुच्चय है और A, U का एक उपसमुच्चय है। तब A का संपूरक वे सभी तत्व हैं जो U के तत्व हैं लेकिन A के तत्व नहीं हैं। चिह्नित करने के लिए, हम $ \mathrm{A}^{\prime}$ को लिखते हैं जो U के संदर्भ में A के संपूरक को दर्शाता है। इस प्रकार,

$ \mathrm{A}^{\prime}=\{x: x \in \mathrm{U} \text { और } x \notin \mathrm{~A}\} \text {. स्पष्ट रूप से } \mathrm{A}^{\prime}=\mathrm{U}-\mathrm{A}$

हम ध्यान देते हैं कि एक समुच्चय A के पूरक को एक सामान्य समुच्चय $U$ और समुच्चय A के बीच अंतर के रूप में देखा जा सकता है।

उदाहरण 20 मान लीजिए $ \mathrm{U}=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$ और $ \mathrm{A}=\{1,3,5,7,9\}$. $ \mathrm{A}^{\prime}$ ज्ञात कीजिए।

हल हम ध्यान देते हैं कि $2,4,6,8,10$ वे एकमात्र तत्व हैं जो $U$ में हैं लेकिन A में नहीं हैं। अतः $\qquad \mathrm{A}^{\prime}=\{2,4,6,8,10\} .$

उदाहरण 21 मान लीजिए U एक सह-शिक्षित विद्यालय के कक्षा XI के सभी छात्रों का सामान्य समुच्चय है और A कक्षा XI में सभी लड़कियों का समुच्चय है। A’ ज्ञात कीजिए।

हल चूंकि A सभी लड़कियों का समुच्चय है, $ \mathrm{A}^{\prime}$ स्पष्ट रूप से कक्षा में सभी लड़कों का समुच्चय है।

नोट- यदि A विस्तारित समुच्चय U का एक उपसमुच्चय है, तो इसका पूरक $ \mathrm{A}^{\prime}$ भी $U$ का एक उपसमुच्चय होता है।

पुनः उदाहरण 20 में, हमें $A^{\prime}=\{2,4,6,8,10\}$ मिलता है।

अतः

$ \begin{aligned} \left(\mathrm{A}^{\prime}\right)^{\prime} & =\left\{x: x \in \mathrm{U} \text { and } x \notin \mathrm{~A}^{\prime}\right\} \\ & =\{1,3,5,7,9\}=\mathrm{A} \end{aligned} $

It is clear from the definition of the complement that for any subset of the universal set $U$, we have $\quad \left(A^{\prime}\right)^{\prime}=A$

Now, we want to find the results for $(\mathrm{A} \cup \mathrm{B})^{\prime}$ and $ \mathrm{A}^{\prime} \cap \mathrm{B}^{\prime}$ in the followng example.

उदाहरण 22 Let $U=\{1,2,3,4,5,6\}, A=\{2,3\}$ and $B=\{3,4,5\}$.

Find $A^{\prime}, B^{\prime}, A^{\prime} \cap B^{\prime}, A \cup B$ and hence show that $(A \cup B)^{\prime}=A^{\prime} \cap B^{\prime}$.

हल स्पष्ट $A^{\prime}=\{1,4,5,6\}, B^{\prime}=\{1,2,6\}$. अतः $A^{\prime} \cap B^{\prime}=\{1,6\}$

इसके अतिरिक्त $A \cup B=\{2,3,4,5\}$, इसलिए $(A \cup B)^{\prime}=\{1,6\}$

$(A \cup B)^{\prime}=\{1,6\}=A^{\prime} \cap B^{\prime}$

दिखाया जा सकता है कि उपरोक्त परिणाम सामान्य रूप से सत्य है। यदि $A$ और $B$ सामान्य समुच्चय $U$ के कोई दो उपसमुच्चय हैं, तो

$(A \cup B)^{\prime}=A^{\prime} \cap B^{\prime}$. इसी तरह, $(A \cap B)^{\prime}=A^{\prime} \cup B^{\prime}$. इन दोनों परिणामों को शब्दों में इस प्रकार कहा जाता है :

उपसेटों के संयोजन के पूरक, उनके पूरक के प्रतिच्छेदन होता है और दो समुच्चयों के प्रतिच्छेदन के पूरक, उनके पूरक के संयोजन होता है। ये डेमोर्गन के नियम कहलाते हैं। ये गणितज्ञ डेमोर्गन के नाम पर रखे गए हैं।

एक समुच्चय $A$ के पूरक $A^{\prime}$ को चित्र 1.10 में दिखाए गए वेन आरेख द्वारा प्रदर्शित किया जा सकता है।

चित्र 1.10

छायांकित भाग समुच्चय A के पूरक को प्रदर्शित करता है।

पूरक समुच्चयों के कुछ गुण

1. पूरक के कानून:

(i) $A \cup A^{\prime}=U$

(ii) $A \cap A^{\prime}=\phi$

2. डेमोर्गन के कानून:

(i) $(A \cup B)^{\prime}=A^{\prime} \cap B^{\prime}$

(ii) $(A \cap B)^{\prime}=A^{\prime} \cup B^{\prime}$

3. द्विपूरक कानून: $(A^{\prime})^{\prime}=A$

4. रिक्त समुच्चय और सार्वत्रिक समुच्चय के कानून $\phi^{\prime}= \cup$ और $ \cup^{\prime}=\phi$।

इन कानूनों को वेन आरेख के प्रयोग द्वारा सत्यापित किया जा सकता है।

अन्य उदाहरण

उदाहरण 23 “CATARACT” लिखने के लिए आवश्यक अक्षरों के समुच्चय और “TRACT” लिखने के लिए आवश्यक अक्षरों के समुच्चय के बराबर होने को सिद्ध करें।

हल मान लीजिए $X$ “CATARACT” में अक्षरों के समुच्चय है। तो

$X=\{C, A, T, R\}$

मान लीजिए $Y$ “TRACT” में अक्षरों के समुच्चय है। तो

$Y=\{T, R, A, C, T\}=\{T, R, A, C\}$

क्योंकि $X$ के प्रत्येक अवयव $Y$ में है और $Y$ के प्रत्येक अवयव $X$ में है। अतः $X=Y$।

उदाहरण 24 समुच्चय $\{-1,0,1\}$ के सभी उपसमुच्चयों को सूचित कीजिए।

हल मान लीजिए $ \mathrm{A}=\{-1,0,1\}$. A के तत्व नहीं वाले उपसमुच्चय खाली समुच्चय $\phi$ है। A के एक तत्व वाले उपसमुच्चय $\{-1\},\{0\},\{1\}$ हैं। A के दो तत्व वाले उपसमुच्चय $\{-1,0\},\{-1,1\},\{0,1\}$ हैं। A के तीन तत्व वाले उपसमूचय A खुद है। अतः A के सभी उपसमुच्चय $\phi,\{-1\},\{0\},\{1\},\{-1,0\},\{-1,1\}$, $\{0,1\}$ और $\{-1,0,1\}$ हैं।

उदाहरण 25 दिखाइए कि $ \mathrm{A} \cup \mathrm{B}=\mathrm{A} \cap \mathrm{B}$ से $ \mathrm{A}=\mathrm{B}$ निकलता है।

हल मान लीजिए $a \in \mathrm{~A}$. तब $a \in \mathrm{~A} \cup \mathrm{~B}$. क्योंकि $ \mathrm{A} \cup \mathrm{B}=\mathrm{A} \cap \mathrm{B}, a \in \mathrm{~A} \cap \mathrm{~B}$. इसलिए $a \in \mathrm{~B}$.

इसलिए, $ \mathrm{A} \subset \mathrm{B}$. इसी तरह, यदि $b \in \mathrm{~B}$, तब $b \in \mathrm{~A} \cup \mathrm{~B}$. क्योंकि

$ \mathrm{A} \cup \mathrm{B}=\mathrm{A} \cap \mathrm{B}, b \in \mathrm{~A} \cap \mathrm{~B} . \mathrm{इसलिए}, b \in \mathrm{~A}$. इसलिए, $ \mathrm{B} \subset \mathrm{A}$. इस प्रकार, $ \mathrm{A}=\mathrm{B}$

सारांश

इस अध्याय में समुच्चयों से संबंधित कुछ मूलभूत परिभाषाओं और संचालनों के बारे में चर्चा की गई है। नीचे इनका सार दिया गया है:

एक समुच्चय वह संग्रह होता है जो वस्तुओं के एक अच्छी तरह से परिभाषित संग्रह होता है।

• एक ऐसा समुच्चय जो कोई भी तत्व नहीं रखता खाली समुच्चय कहलाता है।

• एक ऐसा समुच्चय जो निश्चित संख्या में तत्वों से बना होता है, अंतिम समुच्चय कहलाता है, अन्यथा समुच्चय अपरिमित समुच्चय कहलाता है।

• दो समुच्चय A और B एक दूसरे के समान होते हैं यदि वे सटीक रूप से समान तत्वों के होते हैं।

• एक समुच्चय A, एक समुच्चय B का उपसमुच्चय कहलाता है, यदि A के प्रत्येक तत्व B के एक तत्व हो। अंतराल, $ \mathbf{R}$ के उपसमुच्चय होते हैं।

• दो समुच्चयों A और B का एकत्रितन वह समुच्चय होता है जो उन तत्वों को शामिल करता है जो या तो A में हो या B में हो।

• दो समुच्चयों A और B का प्रतिच्छेद वह समुच्चय होता है जो सभी उभयनिष्ठ तत्वों को शामिल करता है। दो समुच्चयों A और B के क्रमानुसार अंतर वह समुच्चय होता है जो उन तत्वों को शामिल करता है जो A में हो लेकिन B में नहीं हो।

• एक सार्व समुच्चय $U$ के उपसमुच्चय $A$ का पूरक वह समुच्चय होता है जो $U$ के उन तत्वों को शामिल करता है जो $A$ के तत्व नहीं होते।

• किसी भी दो समुच्चय A और $ \mathrm{B},(\mathrm{A} \cup \mathrm{B})^{\prime}=\mathrm{A}^{\prime} \cap \mathrm{B}^{\prime}$ और $(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})^{\prime}=\mathrm{A}^{\prime} \cup \mathrm{B}^{\prime}$

ऐतिहासिक टिप्पणी

समुच्चय सिद्धांत के आधुनिक सिद्धांत को मुख्य रूप से जर्मन गणितज्ञ गोर्ग कैंटर (1845-1918) द्वारा शुरू किया गया माना जाता है। उनके समुच्चय सिद्धांत पर पेपर 1874 से 1897 तक कई बार प्रकाशित हुए। उनके समुच्चय सिद्धांत के अध्ययन तब हुए जब वे त्रिकोणमितीय श्रृंखला के रूप के अध्ययन में लगे हुए थे $a_1 \sin x+a_2 \sin 2 x+a_3 \sin 3 x+\ldots$ वे 1874 में एक पेपर में प्रकाशित करते हैं कि वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को पूर्णांकों के समुच्चय के साथ एक-एक के संगत नहीं किया जा सकता। 1879 से आगे, वे कई पेपर प्रकाशित करते हैं जो अमूर्त समुच्चयों के विभिन्न गुणों को दिखाते हैं।

Cantor के काम को एक अन्य प्रसिद्ध गणितज्ञ Richard Dedekind (1831-1916) द्वारा अच्छी तरह से स्वीकृत किया गया था। लेकिन Kronecker (1810-1893) उन्हें अनंत समुच्चयों को सीमित समुच्चयों के तरह लेने के लिए आलोचना करते थे। एक अन्य जर्मन गणितज्ञ Gottlob Frege, सदी के आरंभ में, समुच्चय सिद्धांत को तर्क के सिद्धांत के रूप में प्रस्तुत करते थे। तब तक समुच्चय सिद्धांत के पूरे आधार कल्पना पर आधारित थे कि सभी समुच्चयों के समुच्चय के अस्तित्व की अनुमान। यह विख्यात अंग्रेज दार्शनिक Bertand Russell (1872-1970) द्वारा 1902 में दिखाया गया था कि सभी समुच्चयों के समुच्चय के अस्तित्व की कल्पना एक विरोधाभास के रूप में जानते हैं। इस विरोधाभास के रूप में रूसेल के विरोधाभास के रूप में प्रसिद्ध हो गया। Paul R.Halmos अपनी किताब ‘Naïve Set Theory’ में इसके बारे में लिखते हैं कि “कुछ भी सब कुछ शामिल नहीं कर सकता”।

रัสेल के विरोधाभास केवल समुच्चय सिद्धांत में उत्पन्न एक विरोधाभास नहीं था। बाद में कई गणितज्ञों और तर्कशास्त्रियों द्वारा कई विरोधाभास उत्पन्न हुए। इन सभी विरोधाभासों के परिणामस्वरूप, समुच्चय सिद्धांत के पहले अक्षयकरण 1908 में एर्नस्ट जर्मेलो द्वारा प्रकाशित किया गया। एब्राहम फ्रेनकल द्वारा 1922 में एक अन्य अक्षयकरण प्रस्तावित किया गया। जॉन वॉन न्यूमैन 1925 में रेगुलरिटी के अक्षय को स्पष्ट रूप से प्रस्तुत करते हैं। बाद में 1937 में पॉल बर्नास ने एक अधिक संतोषजनक अक्षयकरण के सेट को प्रस्तुत किया। कर्त गॉडेल ने अपने एकल ग्रंथ में 1940 में इन अक्षय के एक संशोधन किया। इसे वॉन न्यूमैन-बर्नास (VNB) या गॉडेल-बर्नास (GB) समुच्चय सिद्धांत के रूप में जाना जाता है।

हालांकि इन सभी कठिनाइयों के बावजूद, कैंटर के समुच्चय सिद्धांत का उपयोग आधुनिक गणित में किया जाता है। वास्तव में, आजकल गणित में अधिकांश अवधारणाएं और परिणाम समुच्चय सिद्धांत की भाषा में व्यक्त किए जाते हैं।