जहाँ गणितीय तर्क का उपयोग किया जा सकता है, उस स्थिति में किसी अन्य तर्क का उपयोग करना एक बहुत बेवकूफी होती है, जैसे कि जब आपके हाथ में एक बत्ती हो तो अँधेरे में कुछ खोजने की कोशिश करना। - जॉन अर्बथनोट

14.1 घटना

हमने यादृच्छिक प्रयोग एवं उस प्रयोग से संबंधित नमूना अंतरिक्ष के बारे में अध्ययन किया है। नमूना अंतरिक्ष एक प्रयोग से संबंधित सभी प्रश्नों के लिए एक सार्वत्रिक समुच्चय के रूप में कार्य करता है।

दो बार सिक्का उछालने के प्रयोग को विचार करें। एक संबंधित नमूना अंतरिक्ष है

$S={HH, HT, TH, TT}$.

अब मान लीजिए कि हम उन नतीजों पर ध्यान केंद्रित कर रहे हैं जो एकमात्र सिंह के घटने के संगत हैं। हम जानते हैं कि $HT$ और $TH$ एकमात्र तत्व हैं जो $S$ में इस घटना (संख्या) के घटने के संगत हैं। इन दो तत्वों द्वारा बना समुच्चय $E={HT, TH}$ है।

हम जानते हैं कि समुच्चय $E$ नमूना अंतरिक्ष $S$ का एक उपसमुच्चय है। इसी तरह, हम $S$ के उपसमुच्चयों के साथ घटनाओं के निम्नलिखित संगत अनुसार संबंध ज्ञात करते हैं।

$ \begin{array}{|l|l|} \hline \text{घटनाओं का वर्णन} & \text{$S$ के संगत उपसमुच्चय} \\

\hline \text{शीर्षक बराबर 2 है} & \mathrm{A}={\mathrm{TT}} \\ \text{शीर्षक कम से कम एक है} & \mathrm{B}={\mathrm{HT}, \mathrm{TH}, \mathrm{TT}} \\ \text{शीर्षक के संख्या एक से अधिक नहीं है} & \mathrm{C}={\mathrm{HT}, \mathrm{TH}, \mathrm{TT}} \\ \text{दूसरा फेंक शीर्ष नहीं है} & \mathrm{D}={\mathrm{HT}, \mathrm{TT}} \\ \text{शीर्षक के संख्या दो से अधिक नहीं है} & \mathrm{S}={\mathrm{HH}, \mathrm{HT}, \mathrm{TH}, \mathrm{TT}} \\ \text{शीर्षक के संख्या दो से अधिक है} & \phi \\

\hline \end{array} $

ऊपर के विवरण से स्पष्ट है कि नमूना अंतरिक्ष का एक उपसमुच्चय एक घटना से संबंधित होता है और एक घटना नमूना अंतरिक्ष के एक उपसमुच्चय से संबंधित होती है। इस प्रकार हम एक घटना को निम्नलिखित तरह परिभाषित करते हैं।

परिभाषा कोई भी नमूना अंतरिक्ष $S$ का उपसमुच्चय $E$ एक घटना कहलाता है।

14.1.1 घटना के घटने के अवलोकन

एक पासा फेंकने के प्रयोग को विचार करें। मान लीजिए $E$ घटना को दर्शाता है “एक संख्या 4 से कम आए”। यदि वास्तव में पासे पर ‘1’ आए तो हम कहते हैं कि घटना $E$ घटी है। वास्तव में, यदि परिणाम 2 या 3 हों तो हम कहते हैं कि घटना $E$ घटी है।

इस प्रकार, एक नमूना अंतरिक्ष $S$ के घटना $E$ कहा जाता है यदि प्रयोग के परिणाम $\omega$ ऐसा हो कि $\omega \in E$। यदि परिणाम $\omega$ ऐसा हो कि $\omega \notin E$, तो हम कहते हैं कि घटना $E$ नहीं हुई है।

14.1.2 घटनाओं के प्रकार

घटनाओं को उनके तत्वों के आधार पर विभिन्न प्रकारों में वर्गीकृत किया जा सकता है।

1. संभव और निश्चित घटनाएँ खाली समुच्चय $\phi$ और नमूना अंतरिक्ष $S$ घटनाओं का वर्णन करते हैं। वास्तव में $\phi$ को असंभव घटना कहा जाता है और $S$, अर्थात पूरा नमूना अंतरिक्ष, निश्चित घटना कहलाता है।

To understand these let us consider the experiment of rolling a die. The associated sample space is $ S={1,2,3,4,5,6} $

Let $E$ be the event " the number appears on the die is a multiple of 7". Can you write the subset associated with the event $E$ ?

Clearly no outcome satisfies the condition given in the event, i.e., no element of the sample space ensures the occurrence of the event $E$. Thus, we say that the empty set only correspond to the event $E$. In other words we can say that it is impossible to have a multiple of 7 on the upper face of the die. Thus, the event $E=\phi$ is an impossible event.

अब हम एक अन्य घटना $F$ “संख्या विषम या सम हो” लेते हैं। स्पष्ट रूप से $F={1,2,3,4,5,6}=,S$, अर्थात् अनुभाग के सभी परिणाम घटना $F$ के घटित होने के निश्चित हैं। इसलिए, घटना $F=S$ एक निश्चित घटना है।

2. सरल घटना यदि एक घटना $E$ एक नमूना अंतरिक्ष के केवल एक नमूना बिंदु के साथ हो, तो इसे सरल (या तत्वाधार) घटना कहते हैं। एक नमूना अंतरिक्ष में $n$ अलग-अलग तत्व हों, तो ठीक $n$ सरल घटनाएं होती हैं।

उदाहरण के लिए, दो सिक्कों के उछालने के प्रयोग में एक नमूना अंतरिक्ष होता है

अब हम एक अन्य घटना $F$ “संख्या विषम या सम हो” लेते हैं। स्पष्ट रूप से $F={1,2,3,4,5,6}=,S$, अर्थात् अनुभाग के सभी परिणाम घटना $F$ के घटित होने के निश्चित हैं। इसलिए, घटना $F=S$ एक निश्चित घटना है।

2. सरल घटना यदि एक घटना $E$ एक नमूना अंतरिक्ष के केवल एक नमूना बिंदु के साथ हो, तो इसे सरल (या तत्वाधार) घटना कहते हैं। एक नमूना अंतरिक्ष में $n$ अलग-अलग तत्व हों, तो ठीक $n$ सरल घटनाएं होती हैं।

उदाहरण के लिए, दो सिक्कों के उछालने के प्रयोग में एक नमूना अंतरिक्ष होता है

$ S={HH, HT, TH, TT} $

इस नमूना अंतरिक्ष के लिए चार सरल घटनाएँ हैं। ये निम्नलिखित हैं

$ E_1={HH}, E_2={HT}, E_3={TH} \text{ और } E_4={TT} $

3. संयुक्त घटना यदि एक घटना कई नमूना बिंदुओं के साथ होती है, तो इसे संयुक्त घटना कहते हैं।

उदाहरण के लिए, “एक सिक्का तीन बार उछालने” के प्रयोग में घटनाएँ

E: ‘एक शीर्ष के ठीक एक बार आया’
F: ‘कम से कम एक शीर्ष के आया’
G: ‘एक शीर्ष या उससे कम आया’ आदि

सभी संयुक्त घटनाएँ हैं। इन घटनाओं के साथ संबंधित $S$ के उपसमुच्चय हैं

$ \begin{aligned} & E={HTT, THT, TTH} \\ & F={HTT, THT, TTH, HHT, HTH, THH, HHH} \\ & G={TTT, \text{ THT, HTT, TTH }} \end{aligned} $

ऊपर के सभी उपसमुच्चय में एक से अधिक प्रायिकता बिंदु हैं, इसलिए वे सभी अटूट घटनाएं हैं।

14.1.3 घटनाओं के बीजगणित

समुच्चय अध्याय में, हमने दो या अधिक समुच्चयों को संयोजित करने के विभिन्न तरीकों के बारे में अध्ययन किया है, जैसे कि संयोजन, प्रतिच्छेदन, अंतर और समुच्चय का पूरक आदि। इसी तरह हम दो या अधिक घटनाओं को समान तरीकों से समुच्चय संकेतों का उपयोग करके संयोजित कर सकते हैं।

मान लीजिए A, B, C एक प्रयोग से संबंधित घटनाएँ हैं जिनका नमूना अंतरिक्ष S है।

इस प्रकार घटना A के संपूरक घटना ’not A’ है

$ A^{\prime}={HHH, HTT, THT, TTH, TTT} $

या $ \quad \quad \quad \quad A^{\prime}={\omega: \omega \in S \text{ और } \omega \notin A}=S-A . $

2. घटना ‘A या B’ याद रखें कि दो समुच्चयों A और B के संघ को A $\cup$ B से नोट करते हैं जो उन सभी तत्वों को शामिल करता है जो या तो A में होते हैं या B में होते हैं या दोनों में होते हैं।

जब समुच्चय $A$ और $B$ एक नमूना अंतरिक्ष से संबंधित घटनाएं होती हैं, तो ‘A $\cup B$’ घटना ‘या तो $A$ या $B$ या दोनों’ होती है। इस घटना ‘A $\cup B$’ को भी ‘A या B’ के रूप में जाना जाता है।

इसलिए $ \qquad \text{ घटना }^{\prime} A \text{ या } B^{\prime} =A \cup B$

$\qquad \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad ~~={\omega: \omega \in A \text{ या } \omega \in B}$

3. घटना ‘A और B’ हम जानते हैं कि दो समुच्चयों $A \cap B$ का प्रतिच्छेद उन तत्वों का समुच्चय होता है जो दोनों A और B में सामान्य होते हैं। अर्थात जो दोनों ‘A और B’ में समाहित होते हैं।

यदि $A$ और $B$ दो घटनाएं हैं, तो समुच्चय $A \cap B$ घटना ’ $A$ और $B$ ’ को दर्शाता है।

इसलिए, $ \quad A \cap B={\omega: \omega \in A \text{ और }\omega \in B} $

उदाहरण के लिए, ‘एक पासा दो बार फेंकने’ के प्रयोग में, मान लीजिए $A$ घटना है ‘पहली फेंक में 6 के स्कोर’ और $B$ घटना है ‘दोनों स्कोर का योग कम से कम 11 है’ तो

$ A={(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}, \text{ और } B={(5,6),(6,5),(6,6)} $

इसलिए $\quad A \cap B={(6,5),(6,6)}$

ध्यान दें कि समुच्चय $A \cap B={(6,5),(6,6)}$ घटना ‘पहली फेंक में 6 के स्कोर और दोनों स्कोर का योग कम से कम 11 है’ को प्रकट कर सकता है।

4. घटना ‘A लेकिन नहीं B’ हम जानते हैं कि A-B वह समुच्चय है जो उन तत्वों को शामिल करता है जो A में हैं लेकिन B में नहीं हैं। इसलिए, समुच्चय A-B घटना ‘A लेकिन नहीं B’ को प्रकट कर सकता है। हम जानते हैं कि

$ A-B=A \cap B^{\prime} $

उदाहरण 1 पासा फेंकने के प्रयोग को विचार करें। मान लीजिए A घटना है ‘अभाज्य संख्या प्राप्त करना’, B घटना है ‘विषम संख्या प्राप्त करना’। घटनाओं के प्रतिनिधित्व करने वाले समुच्चय लिखिए (i) A या B (ii) A और B (iii) A लेकिन नहीं B (iv) ‘नहीं A’।

हल यहाँ $\quad S={1,2,3,4,5,6}, A={2,3,5}$ और $B={1,3,5}$

स्पष्ट रूप से

(i) ‘A या $B ‘=A \cup B={1,2,3,5}$

(ii) ’ $A$ और $B ‘=A \cap B={3,5}$

(iii) ‘A लेकिन नहीं $B$ ’ $=A-B={2}$

(iv) ’ नहीं $A^{\prime}=A^{\prime}={1,4,6}$

14.1.4 परस्पर बर्बाद घटनाएँ

पासा फेंकने के प्रयोग में, नमूना अंतरिक्ष $S={1,2,3,4,5,6}$ है। घटनाओं का विचार करें, $A$ ‘एक विषम संख्या आती है’ और $B$ ‘एक सम संख्या आती है’

स्पष्ट रूप से घटना $A$ घटना $B$ को बर्बाद करती है और विपरीत भी। अन्य शब्दों में, कोई भी परिणाम नहीं है जो घटनाओं $A$ और $B$ के एक साथ घटने की गारंटी देता है। यहाँ

$A={1,3,5}$ और $B={2,4,6}$

स्पष्ट रूप से $A \cap B=\phi$, अर्थात् $A$ और $B$ अलग-अलग समुच्चय हैं।

सामान्य रूप से, दो घटनाएँ $A$ और $B$ परस्पर बर्बाद घटनाएँ कहलाती हैं यदि किसी एक के घटने से दूसरी घटना के घटने को बर्बाद कर देता है, अर्थात यदि वे एक साथ घट सकती हैं। इस मामले में समुच्चय $A$ और $B$ अलग-अलग होते हैं।

फिर से पासा फेंकने के प्रयोग में, घटना A ‘एक विषम संख्या आती है’ और घटना $B$ ‘एक संख्या 4 से कम आती है’ को विचार करें।

स्पष्ट रूप से $A={1,3,5}$ और $B={1,2,3}$

अब $3 \in A$ जैसे ही $3 \in B$ है

इसलिए, A और B एक दूसरे से अपवाद रहित घटनाएं नहीं हैं।

टिप्पणी एक नमूना अंतरिक्ष के सरल घटनाएं हमेशा एक दूसरे से अपवाद रहित होती हैं।

14.1.5 पूर्ण घटनाएं

पासा फेंकने के प्रयोग को विचार करें। हमारे पास $S={1,2,3,4,5,6}$ है। अब हम निम्नलिखित घटनाओं को परिभाषित करेंगे

$\qquad \quad$ A: ‘एक संख्या 4 से कम आती है’,

$\qquad \quad$ B: ‘एक संख्या 2 से बड़ी लेकिन 5 से कम आती है’

और $\quad~$ C: ‘एक संख्या 4 से बड़ी आती है’।

तब $A={1,2,3}, B={3,4}$ और $C={5,6}$ है। हम देखते हैं कि

$ \qquad A \cup B \cup C={1,2,3} \cup{3,4} \cup{5,6}=S . $

ऐसे घटनाएँ $A, B$ और $C$ को अनुप्रस्थ घटनाएँ कहते हैं। सामान्यतः, यदि $E_1, E_2, \ldots, E_n$ एक नमूना अंतरिक्ष $S$ की $n$ घटनाएँ हैं और यदि

$ E_1 \cup E_2 \cup E_3 \cup \ldots \cup E_n=\bigcup\limits_{i=1}^{n} E_i=S $

तो $E_1, E_2, \ldots, E_n$ को अनुप्रस्थ घटनाएँ कहते हैं। अन्य शब्दों में, घटनाएँ $E_1, E_2, \ldots, E_n$ अनुप्रस्थ कहलाती हैं यदि जब एक प्रयोग किया जाता है तो उनमें से कम से कम एक घटना निश्चित रूप से होती है।

अतः, यदि $E_i \cap E_j=\phi$ जब $i \neq j$ अर्थात्, घटनाएँ $E_i$ और $E_j$ एक-दूसरे से अलग हैं और $\bigcup\limits_{i=1}^{n} E_i=S$, तो घटनाएँ $E_1, E_2, \ldots, E_n$ को परस्पर अपवाद वाली और पूरक घटनाएँ कहते हैं।

अब हम कुछ उदाहरणों की चर्चा करते हैं।

उदाहरण 2 दो पासों को फेंका जाता है और पासों पर आने वाली संख्याओं के योग को ध्यान में रखा जाता है। इस प्रयोग से संबंधित निम्नलिखित घटनाओं को विचार करें:

$\qquad$ A: ‘योग सम है’।

$\qquad$ B: ‘योग 3 का गुणज है’।

$\qquad$ C: ‘योग 4 से कम है’।

$\qquad$ D : ‘योग 11 से अधिक है’।

इन घटनाओं के कौन से युग्म परस्पर अपवादी हैं?

हल नमूना अंतरिक्ष में 36 तत्व हैं $S={(x, y): x, y=1,2,3,4,5,6}$।

तब

$A= {(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)}$

$ B= {(1,2),(2,1),(1,5),(5,1),(3,3),(2,4),(4,2),(3,6),(6,3),(4,5),(5,4), (6,6)} $

$ C= {(1,1),(2,1),(1,2)} \text{ and } D={(6,6)} $

हम जांचते हैं कि

$ A \cap B={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,6)} \neq \phi $

इसलिए, $A$ और $B$ परस्पर अपवादी घटनाएँ नहीं हैं।

उसी तरह $A \cap C \neq \phi, A \cap D \neq \phi, B \cap C \neq \phi$ और $B \cap D \neq \phi$ है।

इसलिए, घटनाओं के युग्म $(A, C),(A, D),(B, C),(B, D)$ परस्पर अपवादी घटनाएँ नहीं हैं।

इसके अतिरिक्त $C \cap D=\phi$ और इसलिए $C$ और $D$ परस्पर अपवादी घटनाएँ हैं।

उदाहरण 3 एक सिक्का तीन बार उछाला जाता है, निम्नलिखित घटनाओं को ध्यान में रखें।

$\mathrm{A}$ : ‘कोई भी सिर नहीं आता’, $\mathrm{B}$ : ‘एक सिर आता है’ और $\mathrm{C}$ : ‘कम से कम दो सिर आते हैं’

क्या ये परस्पर अपवर्जी और पूर्ण घटनाओं का समुच्चय बनते हैं?

हल प्रयोग के नमूना अंतरिक्ष है

$S={HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT }$

और $A={TTT}, B={HTT, THT, TTH}, C={HHT, HTH, THH, HHH}$

अब

$\mathrm{A} \cup \mathrm{B} \cup \mathrm{C}={\mathrm{TTT}, \mathrm{HTT}, \mathrm{THT}, \mathrm{TTH}, \mathrm{HHT}, \mathrm{HTH}, \mathrm{THH}, \mathrm{HHH}}=\mathrm{S}$

इसलिए, $A, B$ और $C$ पूर्ण घटनाएं हैं।

इसके अतिरिक्त, $\quad A \cap B=\phi, A \cap C=\phi$ और $B \cap C=\phi$

इसलिए, घटनाएँ एक-दूसरे से अलग हैं, अर्थात वे परस्पर अपवाद हैं।

इसलिए, A, B और C परस्पर अपवाद और पूर्ण घटनाओं के समुच्चय का निर्माण करते हैं।

14.2 प्रायिकता के अक्षिक दृष्टिकोण

पिछले अनुभागों में, हम यादृच्छिक प्रयोग, नमूना अंतरिक्ष और इन प्रयोगों से संबंधित घटनाओं के बारे में चर्चा कर चुके हैं। हमारे दैनिक जीवन में हम घटनाओं के घटने की संभावना के बारे में कई शब्दों का उपयोग करते हैं। प्रायिकता सिद्धांत इन घटनाओं के घटने या न घटने की संभावना को मापने की कोशिश करता है।

पहले कक्षाओं में, हमने कुछ विधियों के अध्ययन किया है जिनके माध्यम से एक प्रयोग के कुल परिणामों के संख्या के ज्ञान के साथ एक घटना के संभावना का निर्धारण किया जा सकता है।

अक्सियोमातिक प्राकृतिक एक घटना के संभावना का एक अन्य तरीका है। इस तरीके में कुछ अक्सियोम या नियमों का वर्णन किया जाता है जिनके माध्यम से संभावना का निर्धारण किया जा सकता है।

मान लीजिए $S$ एक यादृच्छिक प्रयोग के नमूना अंतरिक्ष है। संभावना $P$ एक वास्तविक मान फलन है जिसका डोमेन $S$ का शक्ति समुच्चय है और रेंज अंतराल $[0,1]$ है जो निम्नलिखित अक्सियोमों के अनुसार संतुष्ट होता है

$\begin{matrix} \text{ (i) किसी भी घटना } E \text{ के लिए, } P(E) \geq 0 \qquad \text{ (ii) } P(S)=1\end{matrix} $

(iii) यदि $E$ और $F$ परस्पर अपवाद घटनाएँ हैं, तो $P(E \cup F)=P(E)+P(F)$।

(iii) से यह निष्कर्ष निकलता है कि $P(\phi)=0$। इसका सिद्ध करने के लिए, हम $F=\phi$ लेते हैं और ध्यान रखते हैं कि $E$ और $\phi$ अलग-अलग घटनाएँ हैं। अतः, अक्षय (iii) से हम प्राप्त करते हैं

$ P(E \cup \phi)=P(E)+P(\phi) \quad \text{ या } \quad P(E)=P(E)+P(\phi) \text{ अर्थात } P(\phi)=0 \text{। } $

मान लीजिए $S$ एक नमूना अंतरिक्ष है जिसमें परिणाम $\omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_n$ है, अर्थात,

$ S={\omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_n} $

प्रायिकता के अक्षिक निर्वचन से यह निम्नलिखित निष्कर्ष निकलता है

(i) $0 \leq P(\omega_i) \leq 1$ प्रत्येक $\omega_i \in S$ के लिए

(ii) $P(\omega_1)+P(\omega_2)+\ldots+P(\omega_n)=1$

(iii) किसी भी घटना $A$ के लिए, $P(A)=\sum P(\omega_i), \omega_i \in A$.

नोट - ध्यान दें कि एकल ${\omega_i}$ को तत्व घटना कहा जाता है और नोटेशन के सुविधा के लिए, हम $P(\omega_i)$ के रूप में $P({\omega_i})$ लिखते हैं।

उदाहरण के लिए, ‘मुद्दा उछालना’ प्रयोग में हम परिणाम $H$ और $T$ के लिए संख्या $\dfrac{1}{2}$ निर्धारित कर सकते हैं।

i.e. $ \quad \quad \quad \quad P(H)=\dfrac{1}{2} \text{ ~and } ~P(T)=\dfrac{1}{2} \quad \quad \quad \quad \ldots (1) $

स्पष्ट रूप से यह नियोजन दोनों स्थितियों को संतुष्ट करता है, अर्थात, प्रत्येक संख्या न तो शून्य से कम है और न ही एक से अधिक है और

$ P(H)+P(T)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1 $

इसलिए, इस स्थिति में हम कह सकते हैं कि $H$ की प्रायिकता $ \dfrac{1}{2} $ है, और $T$ की प्रायिकता $ \dfrac{1}{2} $ है

यदि हम $P(H)=\dfrac{1}{4}$ और $P(T)=\dfrac{3}{4}\quad \quad \quad \quad \ldots (2)$ लें

क्या यह नियोजन अक्षियमातिक प्रकृति के शर्तों को संतुष्ट करता है?

हां, इस मामले में, $H=\dfrac{1}{4}$ की प्रायिकता और $T=\dfrac{3}{4}$ की प्रायिकता है।

हम देखते हैं कि दोनों संयोजन (1) और (2) $H$ और $T$ की प्रायिकता के लिए वैध हैं।

वास्तव में, हम दोनों परिणामों के लिए संख्याएँ $p$ और $(1-p)$ निर्धारित कर सकते हैं जैसे कि $0 \leq p \leq 1$ और $P(H)+P(T)=p+(1-p)=1$

इस निर्धारण भी प्रायिकता के अक्षितिक दृष्टिकोण के दोनों स्थितियों को संतुष्ट करता है। इसलिए, हम कह सकते हैं कि एक प्रयोग के परिणामों के लिए प्रायिकता निर्धारित करने के कई तरीके (अधिक तो अपरिमित) हो सकते हैं। अब हम कुछ उदाहरणों की ओर ध्यान आकर्षित करते हैं।

उदाहरण 4 मान लीजिए कि एक नमूना अंतरिक्ष $S={\omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_6}$ है। निम्नलिखित में से कौन-से प्रतिद्वंद्वी घटनाओं के संभावनाओं के निर्धारण वैध हैं?

$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{घटनाएँ} & \omega_1 & \omega_2 & \omega_3 & \omega_4 & \omega_5 & \omega_6 \\ \hline (a) & \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{6} \\ (b) & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ (c) & \dfrac{1}{8} & \dfrac{2}{3} & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{3} & -\dfrac{1}{4} & -\dfrac{1}{3} \\

(d) & \dfrac{1}{12} & \dfrac{1}{12} & \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{6} & \dfrac{3}{2} \\ (e) & 0.1 & 0.2 & 0.3 & 0.4 & 0.5 & 0.6 \\ \hline \end{array} $

हल (a) स्थिति (i): प्रत्येक संख्या $p(\omega_i)$ धनात्मक है और एक से कम है। स्थिति (ii): प्रायिकताओं का योग

$ =\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}=1 $

इसलिए, नियोजन वैध है

(b) स्थिति (i): प्रत्येक संख्या $p(\omega_i)$ या तो 0 है या 1 है।

स्थिति (ii) प्रायिकताओं का योग $=1+0+0+0+0+0=1$

इसलिए, संचयन संभाव्यता के अनुरूप है

(c) स्थिति (i) $p(\omega_5)$ और $p(\omega_6)$ में से दो संभाव्यताएँ नकारात्मक हैं, अतः संचयन अमान्य है

(d) क्योंकि $p(\omega_6)=\dfrac{3}{2}>1$, अतः संचयन अमान्य है

(e) क्योंकि संभाव्यताओं का योग $=0.1+0.2+0.3+0.4+0.5+0.6=2.1$, अतः संचयन अमान्य है।

14.2.1 घटना की संभाव्यता

मान लीजिए $S$ एक प्रयोग के साथ संबंधित नमूना अंतरिक्ष है, जहाँ प्रयोग ‘एक मशीन द्वारा उत्पादित तीन क्रमागत पेन की जांच करना’ है और इन्हें अच्छा (अनुमानित) और खराब (दोषपूर्ण) के रूप में वर्गीकृत किया जाता है। इस जांच के परिणाम के रूप में हम 0, 1, 2 या 3 दोषपूर्ण पेन प्राप्त कर सकते हैं।

एक प्रयोग से संबंधित एक नमूना अंतरिक्ष है

$ S={BBB, BBG, BGB, GBB, BGG, GBG, GGB, GGG} $

जहाँ $B$ एक खराब या बुरा कलम को और $G$ एक अच्छा या सही कलम को दर्शाता है।

मान लीजिए कि परिणामों के लिए निम्नलिखित प्रायिकताएँ निर्धारित की गई हैं

$\begin{array}{lllllllll} \text{नमूना बिंदु:} & BBB & BBG & BGB & GBB & BGG & GBG & GGB & GGG \\ \\ \text{प्रायिकता: } & \dfrac{1}{8} & \dfrac{1}{8} & \dfrac{1}{8} & \dfrac{1}{8} & \dfrac{1}{8} & \dfrac{1}{8} & \dfrac{1}{8} & \dfrac{1}{8} \end{array}$

$

मान लीजिए घटना A: एकमात्र खराब पेन है और घटना B: दो या अधिक खराब पेन हैं।

इसलिए $~A={BGG, GBG, GGB}$ और $B={BBG, BGB, GBB, BBB}$

अब $\quad P(A)=\sum P(\omega_i), \forall \omega_i \in A$

$ \qquad=P(BGG)+P(GBG)+P(GGB)=\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{3}{8} $

और $\qquad \mathrm{P}(\mathrm{B})=\sum \mathrm{P}\left(\omega _{i}\right), \forall \omega _{i} \in \mathrm{B}$

$ \qquad =\mathrm{P}(\mathrm{BBG})+\mathrm{P}(\mathrm{BGB})+\mathrm{P}(\mathrm{GBB})+\mathrm{P}(\mathrm{BBB})=\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2} $

$

हम एक अन्य प्रयोग की बात करेंगे “मुद्रा के उछालने “दो बार”

इस प्रयोग के नमूना अंतरिक्ष $S={HH, HT, TH, TT}$ है

निम्नलिखित प्रायिकताओं को परिणामों के लिए निर्धारित करें

$ P(HH)=\dfrac{1}{4}, P(HT)=\dfrac{1}{7}, P(TH)=\dfrac{2}{7}, P(TT)=\dfrac{9}{28} $

स्पष्ट रूप से यह नियमों के अक्षितीय प्रायिकता अग्रिम के शर्तों को संतुष्ट करता है। अब, हम घटना $E$ की प्रायिकता ज्ञात करें: ‘दोनों उछाल एक ही परिणाम देते हैं’।

यहाँ $\quad \quad \quad \quad E={HH, TT}$

अब $\quad \quad \quad \quad P(E)=\Sigma P(w_i)$, सभी $w_i \in E$ के लिए

$ \qquad \qquad=P(HH)+P(TT)=\dfrac{1}{4}+\dfrac{9}{28}=\dfrac{4}{7} $

संख्या $F$ : ‘दो सिर के ठीक रूप से’, हमारे पास $F={HH}$

और $ \quad \quad \quad \quad P(F)=P(HH)=\dfrac{1}{4} $

14.2.2 समान संभावना वाले परिणामों की संभावना

एक प्रयोग के नमूना अंतरिक्ष को बराबर संभावना वाले परिणामों के लिए लें

$S={\omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_n}.$

मान लीजिए कि सभी परिणाम बराबर संभावना से हों, अर्थात, प्रत्येक सरल घटना के घटने की संभावना समान हो।

अर्थात, $ \quad \quad \quad \quad P(\omega_i)=p, \text{ for all } \omega_i \in S \text{ where } 0 \leq p \leq 1

$

$ \begin{aligned} \text{क्योंकि } \quad \quad \quad \quad & \sum _{i=1}^{n} P(\omega_i)=1 \text{ अर्थात, } p+p+\ldots+p(n \text{ बार })=1 \\ \text{या}\quad \quad \quad \quad & n p=1 \text{ अर्थात, } p=\dfrac{1}{n} \end{aligned} $

मान लीजिए $S$ एक नमूना अंतरिक्ष है और $E$ एक घटना है, जैसे कि $n(S)=n$ और $n(E)=m$। यदि प्रत्येक नतीजा समान संभावना वाला है, तो इसका अर्थ है कि

$ P(E)=\dfrac{m}{n} \quad=\dfrac{\text{ } E \text{ के पक्ष में नतीजों की संख्या}}{\text{ संभावित कुल नतीजों की संख्या}} $

14.2.3 घटना ’ $A$ या $B$ ’ की संभावना

अब हम घटना ‘A या B’ की प्रायिकता, अर्थात $P(A \cup B)$ ज्ञात करेंगे

मान लीजिए $A={HHT, HTH, THH}$ और $B={HTH, THH, HHH}$ तीन बार सिक्का उछालने से संबंधित दो घटनाएँ हैं

स्पष्ट रूप से $A \cup B={HHT, HTH, THH, HHH}$

अब $ \quad \quad \quad \quad P(A \cup B)=P(HHT)+P(HTH)+P(THH)+P(HHH) $

यदि सभी परिणाम समान रूप से संभावित हैं, तो

$ P(A \cup B)=\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2} $

इसके अलावा $ \quad \quad \quad \quad P(A)=P(HHT)+P(HTH)+P(THH)=\dfrac{3}{8} $

$

और $ \quad \quad \quad \quad P(B)=P(HTH)+P(THH)+P(HHH)=\dfrac{3}{8} $

इसलिए $ \quad \quad \quad \quad P(A)+P(B)=\dfrac{3}{3}{8}+\dfrac{3}{8}=\dfrac{6}{8} $

स्पष्ट है कि $ \quad \quad P(A \cup B) \neq P(A)+P(B)$

A और B दोनों में HTH और THH बिंदु उभयनिष्ठ हैं। $P(A)+P(B)$ की गणना में HTH और THH की प्रायिकताएँ, अर्थात् $A \cap B$ के तत्वों की प्रायिकताएँ दो बार शामिल कर ली गई हैं। इसलिए $P(A \cup B)$ की प्रायिकता प्राप्त करने के लिए हमें $P(A)+P(B)$ से $A \cap B$ में नमूना बिंदुओं की प्रायिकताओं को घटा देना होगा।

i.e. $ \qquad P(A \cup B) =P(A)+P(B)-\sum P(\omega_i),\forall \omega_i \in A \cap B$

$\qquad =P(A)+P(B)-P(A \cap B) $

इस प्रकार हम देखते हैं कि, $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)$

सामान्य रूप में, यदि $A$ और $B$ कोई भी दो घटनाएँ हैं जो एक यादृच्छिक प्रयोग से संबंधित हैं, तो किसी घटना की प्रायिकता के परिभाषा के अनुसार, हम निम्नलिखित प्राप्त करते हैं

$ P(A \cup B)=\sum p(\omega_i), \forall \omega_i \in A \cup B $

क्योंकि $\quad \quad \quad A\cup B = (A-B) \cup (A \cap B)\cup (B-A)$

हम निम्नलिखित प्राप्त करते हैं

$P(A \cup B)=[\sum P(\omega_i) \forall \omega_i \in(A-B)]+[\sum P(\omega_i) \forall \omega_i \in A \cap B]+[\sum P(\omega_i) \forall \omega_i \in B-A]$

(क्योंकि $A-B, A \cap B$ और $B-A$ परस्पर अपवादी हैं)

इसके अतिरिक्त $P(A)+P(B)=\left[\sum p(\omega_i) \forall \omega_i \in A\right]+\left[\sum p(\omega_i) \forall \omega_i \in B\right]$

$ \begin{aligned} = & {\left[\sum P(\omega_i) \forall \omega_i \in(A-B) \cup(A \cap B)\right]+\left[\sum P(\omega_i) \forall \omega_i \in(B-A) \cup(A \cap B)\right] } \\ = & {\left[\sum P(\omega_i) \forall \omega_i \in(A-B)\right]+\left[\sum P(\omega_i) \forall \omega_i \in(A \cap B)\right]+\left[\sum P(\omega_i) \forall \omega_i \in(B-A)\right]+}\\ & {\left[\sum P(\omega_i) \forall \omega_i \in(A \cap B)\right] } \\

= & P(A \cup B)+\left[\sum P(\omega_i) \forall \omega_i \in A \cap B\right] \quad[\text{using}(1)] \\ = & P(A \cup B)+P(A \cap B) . \end{aligned} $

इसलिए $\quad P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)$।

अलग-अलग, इसे निम्नलिखित तरीके से भी सिद्ध किया जा सकता है:

$A \cup B=A \cup(B-A)$, जहाँ $A$ और $B-A$ परस्पर अपवादी हैं,

और $B=(A \cap B) \cup(B-A)$, जहाँ $A \cap B$ और $B-A$ परस्पर अपवादी हैं।

प्रायिकता के अक्षय (iii) का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

$ \quad \quad \quad \quad P(A \cup B)=P(A)+P(B-A) \quad \quad \quad \quad \ldots(2)

$

और $ \quad \quad \quad \quad P(B)=P(A \cap B)+P(B-A) \quad \quad \quad \quad \ldots(3) $

(2) से (3) को घटाने पर देते हैं

$P(A \cup B) - P(B) = P(A) - P(A \cap B)$

$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) $

उपरोक्त परिणाम को वेन आरेख (चित्र 14.1) के माध्यम से भी जाँचा जा सकता है

चित्र 14.1

यदि $A$ और $B$ असंगत समुच्चय हैं, अर्थात वे परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं, तो $A \cap B=\phi$

इसलिए $ \qquad P(A \cap B)=P(\phi)=0 $

इसलिए, परस्पर अपवादी घटनाओं $A$ और $B$ के लिए हम निम्नलिखित प्राप्त करते हैं

$ \qquad \qquad P(A \cup B)=P(A)+P(B) $

जो कि प्रायिकता के अक्षय (iii) है।

14.2.4 घटना ‘नहीं $A$’ की प्रायिकता

मान लीजिए घटना $A={2,4,6,8}$ एक घटना है जो एक डेक के 10 कार्ड से एक कार्ड खींचने के प्रयोग से संबंधित है, जिनमें संख्या 1 से 10 लिखी हुई है। स्पष्ट रूप से नमूना अंतरिक्ष $S={1,2,3, \ldots, 10}$ है

यदि सभी परिणाम $1,2, \ldots, 10$ समान रूप से संभावित माने जाते हैं, तो प्रत्येक परिणाम की प्रायिकता $\dfrac{1}{10}$ होती है

अब $\qquad \qquad P(A) =P(2)+P(4)+P(6)+P(8)$

$\qquad \qquad \qquad=\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{\text{10}}+\dfrac{1}{10}=\dfrac{4}{10}=\dfrac{2}{5} $

इसके अतिरिक्त घटना ’ नहीं $A^{\prime}=A^{\prime}={1,3,5,7,9,10}$

अब $ \quad\quad\quad\quad P(A^{\prime})=P(1)+P(3)+P(5)+P(7)+P(9)+P(10) $

$ \qquad\qquad\qquad\qquad\quad=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5} $

इस प्रकार, $ \quad\quad\quad\quad P(A^{\prime})=\dfrac{3}{5}=1-\dfrac{2}{5}=1-P(A) $

इसके अतिरिक्त, हम जानते हैं कि $A^{\prime}$ और $A$ परस्पर अपवाद रहित और पूरक घटनाएं हैं, अर्थात,

$ \qquad A \cap A^{\prime}=\phi \text{ and } A \cup A^{\prime}=S $

या $\quad P(A \cup A^{\prime})=P(S)$

अब $\quad P(A)+P(A^{\prime})=1, \quad$ अक्षय (ii) और (iii) के द्वारा उपयोग करके।

या $\quad P(A^{\prime})=P(not A)=1-P(A)$

अब हम कुछ उदाहरण और अभ्यास प्रश्नों को विचार करते हैं जिनमें समान संभावना वाले परिणाम होते हैं, अन्यथा अपवाद के रूप में।

उदाहरण 5 52 कार्डों वाले एक अच्छी तरह से फैटे डेक से एक कार्ड निकाला जाता है। यदि प्रत्येक परिणाम समान संभावना वाला हो, तो निम्नलिखित के प्रायिकता की गणना कीजिए:

(i) एक डायमंड

(ii) एक एस नहीं

(iii) एक काला कार्ड (अर्थात, एक क्लब या एक स्पेड)

(iv) एक डायमंड नहीं

(v) एक काला कार्ड नहीं

हल जब एक कार्ड एक अच्छी तरह से मिश्रित 52 कार्ड के डेक से खींचा जाता है, तो संभावित परिणामों की संख्या 52 होती है।

(i) मान लीजिए A घटना है ‘खींचे गए कार्ड का डायमंड है’ स्पष्ट रूप से सेट $A$ में तत्वों की संख्या 13 है।

इसलिए, $\quad P(A)=\dfrac{13}{5 जी 2}=\dfrac{1}{4}$

अर्थात, डायमंड कार्ड की संभावना $=\dfrac{1}{4}$

(ii) हम मान लेते हैं कि घटना ‘खींचे गए कार्ड एक एस नहीं है’ B है

इसलिए ‘खींचे गए कार्ड एक एस नहीं है’ B’ होना चाहिए।

हम जानते हैं कि $\quad P(B^{\prime})=1-P(B)=1-\dfrac{4}{52}=1-\dfrac{1}{13}=\dfrac{12}{13}$

(iii) मान लीजिए $C$ घटना ‘खेले गए कार्ड काला कार्ड है’ को दर्शाता है। इसलिए, समुच्चय $C$ में तत्वों की संख्या $26$ है

अर्थात $\quad \quad P(C)=\dfrac{26}{53}=\dfrac{1}{2}$

इसलिए, काले कार्ड की प्रायिकता $=\dfrac{1}{2}$।

(iv) हम ऊपर (i) में मान लेते हैं कि $A$ घटना ‘खेले गए कार्ड डायमंड है’ है, इसलिए घटना ‘खेले गए कार्ड डायमंड नहीं है’ को $A’$ या ‘नोट ए’ से दर्शाया जा सकता है

अब $P(\text{नोट ए})=1-P(A)=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}$

(v) घटना ‘कार्ड लेने पर काला कार्ड नहीं है’ को $C^{\prime}$ या ’not $C$’ के रूप में दर्शाया जा सकता है।

हम जानते हैं कि $P(\text{not A})=1-P(C)=1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$

इसलिए, काले कार्ड के अलावा कार्ड की प्रायिकता $=\dfrac{1}{2}$

उदाहरण 6 एक बैग में 9 डिस्क हैं, जिनमें 4 लाल, 3 नीली और 2 पीली हैं। डिस्क के आकार और आकार में एक जैसे हैं। बैग से एक डिस्क यादृच्छिक रूप से निकाली जाती है। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यह (i) लाल हो, (ii) पीली हो, (iii) नीली हो, (iv) नीली नहीं हो, (v) या तो लाल या नीली हो।

हल सभी में 9 डिस्क हैं इसलिए संभावित परिणामों की कुल संख्या 9 है।

मान लीजिए घटनाएँ A, B, C इस प्रकार परिभाषित हैं

$\quad A$ : ‘खींची गई डिस्क लाल है’

$\quad B$ : ‘खींची गई डिस्क पीली है’

$\quad C$ : ‘खींची गई डिस्क नीली है’।

(i) लाल डिस्कों की संख्या $=4$, अर्थात $n(A)=4$

इसलिए $ \quad \quad \quad \quad P(A)=\dfrac{4}{9} $

(ii) पीली डिस्कों की संख्या $=2$, अर्थात $n(B)=2$

इसलिए, $\quad P(B)=\dfrac{2}{9}$

(iii) नीली डिस्कों की संख्या $=3$, अर्थात $n(C)=3$

इसलिए, $\quad P(C)=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}$

(iv) स्पष्ट रूप से घटना ‘नीला नहीं’ वह है ‘नहीं $C$’। हम जानते हैं कि $P($ नहीं $C)=1-P(C)$

इसलिए $\quad P(\text{नहीं } C)=1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$

(v) घटना ‘लाल या नीला’ को समुच्चय ‘A या C’ द्वारा वर्णित किया जा सकता है

क्योंकि, A और C परस्पर अपवाद घटनाएँ हैं, हम निम्नलिखित प्राप्त करते हैं

$ \qquad P(A \text{ या } C)=P(A \cup C)=P(A)+P(C)=\dfrac{4}{9}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{7}{9} $

उदाहरण 7 दो छात्र अनिल और अश्मा एक परीक्ष में उपस्थित हुए। अनिल के परीक्ष के उत्तीर्ण होने की प्रायिकता 0.05 है और अश्मा के परीक्ष के उत्तीर्ण होने की प्रायिकता 0.10 है। दोनों के परीक्ष के उत्तीर्ण होने की प्रायिकता 0.02 है। ज्ञात कीजिए कि

(a) अनिल और अशिमा दोनों परीक्षा में उत्तीर्ण नहीं होंगे।

(b) उनमें से कम से कम एक व्यक्ति परीक्षा में उत्तीर्ण नहीं होगा और

(c) उनमें से केवल एक व्यक्ति परीक्षा में उत्तीर्ण होगा।

हल मान लीजिए $E$ और $F$ क्रमशः अनिल और अशिमा के परीक्षा में उत्तीर्ण होने के घटनाओं को दर्शाते हैं। दिया गया है कि

$ \quad P(E)=0.05, P(F)=0.10 \text{ और } P(E \cap F)=0.02 $

तब

(a) घटना ‘अनिल और अशिमा दोनों परीक्षा में उत्तीर्ण नहीं होंगे’ को $E^{\prime} \cap F^{\prime}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

क्योंकि, $E^{\prime}$ ‘नहीं $E$’ है, अर्थात अनिल परीक्षा में उत्तीर्ण नहीं होगा और $F^{\prime}$ ‘नहीं $F$’ है, अर्थात अशिमा परीक्षा में उत्तीर्ण नहीं होगी।

Also $\quad E^{\prime} \cap F^{\prime}=(E \cup F)^{\prime}$ (Demorgan के नियम के अनुसार)

अब $\quad P(E \cup F)=P(E)+P(F)-P(E \cap F)$

या $\quad P(E \cup F)=0.05+0.10-0.02=0.13$

इसलिए $\quad P(E^{\prime} \cap F^{\prime})=P(E \cup F)^{\prime}=1-P(E \cup F)=1-0.13=0.87$

(b) $P$ (कम से कम एक उनमें से उत्तीर्ण नहीं होगा)

$\quad=1-P($ दोनों उत्तीर्ण होंगे $)$

$\quad=1-0.02=0.98$

(c) केवल एक उनमें से परीक्षा में उत्तीर्ण होने की घटना उस घटना के समान है जहां (अनिल उत्तीर्ण होगा, और अशिमा उत्तीर्ण नहीं होगी) या (अनिल उत्तीर्ण नहीं होगा और अशिमा उत्तीर्ण होगी)

will qualify) अर्थात, $E \cap F^{\prime}$ या $E^{\prime} \cap F$, जहाँ $E \cap F^{\prime}$ और $E^{\prime} \cap F$ परस्पर अपवादी हैं।

इसलिए, $P($ केवल एक व्यक्ति उत्तीर्ण होगा $) =P(E \cap F^{\prime}.$ या $.E^{\prime} \cap F)$

$ \begin{aligned} & =P(E \cap F^{\prime})+P(E^{\prime} \cap F)=P(E)-P(E \cap F)+P(F)-P(E \cap F) \\ & =0.05-0.02+0.10-0.32=0.11 \end{aligned} $

उदाहरण 8 दो पुरुषों और दो महिलाओं में से दो व्यक्तियों के एक समिति का चयन किया जाता है। समिति में (a) कोई पुरुष नहीं होगा? (b) एक पुरुष होगा? (c) दो पुरुष होंगे?

हल कुल व्यक्तियों की संख्या $=2+2=4$। इन चार व्यक्तियों में से दो को चुना जा सकता है ${ }^{4} C_2$ तरीकों से।

(a) दो व्यक्तियों के समिति में कोई पुरुष नहीं होना संभव है, जिसका अर्थ है कि समिति में दो महिलाएँ होंगी। दो महिलाओं में से दो को चुना जा सकता है ${ }^{2} C_2=1$ तरीकों से।

इसलिए $\quad P($ कोई पुरुष नहीं $)=\dfrac{{ }^{2} C_2}{{ }^{3} C_2}=\dfrac{1 \times 2 \times 1}{4 \times 3}=\dfrac{1}{6}$

(b) समिति में एक पुरुष होना संभव है, जिसका अर्थ है कि एक महिला होगी। 2 पुरुषों में से एक को चुना जा सकता है ${ }^{2} C_1$ तरीकों से और 2 महिलाओं में से एक को चुना जा सकता है ${ }^{2} C_1$ तरीकों से। मिलकर वे ${ }^{2} C_1 \times{ }^{2} C_1$ तरीकों से चुने जा सकते हैं।

इसलिए $\quad P($ एक आदमी $)=\dfrac{{ }^{2} C_1 \times{ }^{2} C_1}{{ }^{4} C_2}=\dfrac{2 \times 2}{2 \times 3}=\dfrac{2}{3}$

(c) दो आदमी को ${ }^{2} C_2$ तरीके से चुना जा सकता है।

इसलिए $ \quad\quad\quad\quad P(\text{ दो आदमी })=\dfrac{{ }^{2} C_2}{{ }^{4} C_2}=\dfrac{1}{{ }^{4} C_2}=\dfrac{1}{6} $

विविध उदाहरण

उदाहरण 9 अपने छुट्टियों पर वीना एक यादृच्छिक क्रम में चार शहरों (A, B, C और D) का दौरा करती है। वह ऐसा करने की क्या प्रायिकता है कि वह

(i) $\mathrm{A}$ $\mathrm{B}$ से पहले?

(ii) $\mathrm{A}$ $\mathrm{B}$ से पहले और $\mathrm{B}$ $\mathrm{C}$ से पहले?

(iii) $\mathrm{A}$ पहले और $\mathrm{B}$ आखिरी?

(iv) $\mathrm{A}$ या तो पहले या दूसरे?

(v) $\mathrm{A}$ $\mathrm{B}$ के ठीक पहले?

हल वीना चार शहरों A, $B, C$, या $D$ के दौरे करने के विन्यास (क्रम) की संख्या 4 ! है, अर्थात 24। अतः, $n(S)=24$। चूंकि प्रयोग के नमूना अंतरिक्ष में तत्वों की संख्या 24 है, इसलिए सभी इन नतीजों को समान रूप से संभावित माना जाता है। प्रयोग के एक नमूना अंतरिक्ष है

$\begin{aligned} S= & {ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB \\ & BACD, BADC, BDAC, BDCA, BCAD, BCDA \\ & CABD, CADB, CBDA, CBAD, CDAB, CDBA \\ & DABC, DACB, DBCA, DBAC, DCAB, DCBA } \end{aligned}$

(i) मान लीजिए घटना “उसके A के पहले B का दौरा होता है” को E द्वारा निरूपित किया जाता है

$\begin{aligned} \text{ इसलिए, } E= & {ABCD, CABD, DABC, ABDC, CADB, DACB \\ & ACBD, ACDB, ADBC, CDAB, DCAB, ADCB}\end{aligned}$

इसलिए $\quad P(E)=\dfrac{n(E)}{n(S)}=\dfrac{12}{24}=\dfrac{1}{2}$

(ii) मान लीजिए घटना “वीना A के पहले B के पहले C के पहले दौरा करती है” को F द्वारा निरूपित किया जाता है।

यहाँ $F={ABCD, DABC, ABDC, ADBC}$

इसलिए, $P(F)=\dfrac{n(F)}{n(S)}=\dfrac{4}{24}=\dfrac{1}{6}$

छात्रों को (iii), (iv) और (v) के मामले में प्रायिकता खोजने के लिए सलाह दी जाती है।

उदाहरण 10 एक अच्छी ढंग से फैशन किए गए 52 कार्डों के डेक से 7 कार्डों के हाथ खींचे जाने पर, इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए जबकि यह (i) सभी राजकुमार हो (ii) 3 राजकुमार हो (iii) कम से कम 3 राजकुमार हो।

हल कुल संभावित हाथों की संख्या $={ }^{52} C_7$

(i) 4 राजकुमारों वाले हाथों की संख्या $={ }^{4} C_4 \times{ }^{48} C_3$ (अन्य 3 कार्ड शेष 48 कार्डों में से चुने जाएंगे)

इसलिए $\quad P($ एक हाथ में 4 राजा होंगे $)=\dfrac{{ }^{4} C_4 \times{ }^{48} C_3}{{ }^{52} C_7}=\dfrac{1}{7735}$

(ii) 3 राजा और 4 गैर-राजा कार्ड वाले हाथों की संख्या $={ }^{4} C_3 \times{ }^{48} C_4$

इसलिए $\quad P(3$ राजा $)=\dfrac{{ }^{4} C_3 \times{ }^{48} C_4}{{ }^{52} C_7}=\dfrac{9}{1547}$

(iii) $P($ कम से कम 3 राजा $)=P(3$ राजा या 4 राजा $)$

$ \qquad=P(3 \text{ राजा })+P(4 \text{ राजा}) $

$ \qquad=\dfrac{9}{1547}+\dfrac{1}{7735}=\dfrac{46}{7735} $

उदाहरण 11 यदि A, B, C एक यादृच्छिक प्रयोग से संबंधित तीन घटनाएँ हैं, तो सिद्ध कीजिए कि

$ \begin{aligned} P(A \cup B \cup C) & =P(A)+P(B)+P(C)-P(A \cap B)-P(A \cap C) \\ & -P(B \cap C)+P(A \cap B \cap C) \end{aligned} $

हल $E=B \cup C$ लें तो

$ \qquad \begin{aligned} P(A \cup B \cup C) & =P(A \cup E) \\ & =P(A)+P(E)-P(A \cap E) \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1) \end{aligned} $

अब

$ \qquad \begin{aligned} P(E) & =P(B \cup C) \\ & =P(B)+P(C)-P(B \cap C) \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (2) \end{aligned} $

साथ ही $\quad A \cap E=A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C)$ [समुच्चयों के प्रतिच्छेदन के संगति योग के गुण का उपयोग करते हुए]।

इसलिए

$ P(A \cap E)=P(A \cap B)+P(A \cap C)-P[(A \cap B) \cap(A \cap C)] $

$ \qquad\qquad\quad=P(A \cap B)+P(A \cap C)-P[A \cap B \cap C] \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (3) $

(1) में (2) और (3) का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} P[A \cup B \cup C]= & P(A)+P(B)+P(C)-P(B \cap C) \\ & -P(A \cap B)-P(A \cap C)+P(A \cap B \cap C) \end{aligned} $

उदाहरण 12 एक रेले रेस में पांच टीम A, B, C, D और E हैं।

(a) A, B और C क्रमशः पहले, दूसरे और तीसरे स्थान पर खत्म हो जाए वाले प्रायिकता क्या है।

(b) A, B और C पहले तीन स्थानों में क्रम अपेक्षाकृत किसी भी क्रम में पहुँचे जाने की प्रायिकता क्या है? (मान लीजिए कि सभी समाप्ति क्रम समान संभावना वाले हैं)

हल यदि हम पहले तीन स्थानों में सभी समाप्ति क्रम के समान बर्बादी अंतर के सामने एक नमूना अंतर को लें, तो हमें ${ }^{5} P_3$, अर्थात $\dfrac{5 !}{(5-3) !}=5 \times 4 \times 3=60$ नमूना बिंदु मिलेंगे, जिनमें से प्रत्येक की प्रायिकता $\dfrac{1}{60}$ होगी।

(a) A, B और C क्रमशः पहले, दूसरे और तीसरे स्थान पर समाप्त होते हैं। इसके लिए केवल एक समाप्ति क्रम होता है, अर्थात $ABC$।

इसलिए $P(A, B$ और $C$ क्रमशः पहले, दूसरे और तीसरे स्थान पर खत्म हों $)=\dfrac{1}{60}$।

(b) A, B और C पहले तीन खत्मकर्ता हैं। $A, B$ और $C$ के लिए 3 ! व्यवस्थाएँ होंगी। इस घटना के संगत नमूना बिंदुओं की संख्या 3 ! होगी।

इसलिए $\quad P(A, B$ और $C$ पहले तीन खत्म हों $)=\dfrac{3 !}{60}=\dfrac{6}{60}=\dfrac{1}{10}$

सारांश

इस अध्याय में, हम प्रायिकता के अक्षितीय प्रकार के बारे में अध्ययन करते हैं। इस अध्याय के मुख्य विशेषताएँ निम्नलिखित हैं:

• संख्या: प्रयोग के नमूना अंतरिक्ष का एक उपसमुच्चय

• असंभव घटना: खाली समुच्चय

• निश्चित घटना: पूरा नमूना अंतरिक्ष

• संपूरक घटना या ‘नहीं घटना’: समुच्चय $A$ या $S - A$

• घटना $A$ या $B$: समुच्चय $A \cup B$

• घटना $A$ और $B$: समुच य $A \cap B$

• घटना $A$ और नहीं $B$: समुच्चय $A - B$

• परस्पर अपवाद घटना: यदि $A \cap B = \phi$ तो $A$ और $B$ परस्पर अपवाद घटनाएँ हैं

• पूर्ण एवं परस्पर अपवर्जी घटनाएँ: घटनाएँ $E_1, E_2, \ldots, E_n$ परस्पर अपवर्जी एवं पूर्ण कहलाती हैं यदि $E_1 \cup E_2 \cup \ldots \cup E_n=S$ एवं $E_i \cap E_j=\phi \forall i \neq j$

• प्रायिकता: नमूना बिंदु $\omega_i$ के साथ संगत संख्या $P(\omega_i)$ इस प्रकार होती है कि

  (i) $0 \leq P(\omega_i) \leq 1$

  ((ii) $\sum P(\omega_i)$ सभी $\omega_i \in S$ के लिए $=1$

  (iii) $P(A)=\sum P(\omega_i)$ सभी $\omega_i \in A$ के लिए। नंबर $P(\omega_i)$ को घटना $\omega_i$ की प्रायिकता कहते हैं

• समान संभावना वाले परिणाम: सभी परिणाम जिनकी संभावना समान हो

• एक घटना की संभावना: एक समाप्ति अंतरिक्ष के लिए जहां सभी परिणाम समान संभावना वाले हों, घटना की संभावना $P(A)=\dfrac{n(A)}{n(S)}$ होती है, जहां $n(A)=$ सेट $A$ में तत्वों की संख्या, $n(S)=$ सेट $S$ में तत्वों की संख्या है।

• यदि $A$ और $B$ कोई दो घटनाएं हैं, तो

  $ \begin{aligned} & P(A \text{ या } B)=P(A)+P(B)-P(A \text{ और } B) \\ & \text{ बराबरी से, } P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B) \end{aligned}

$

• यदि $A$ और $B$ परस्पर अपवादी हैं, तो $P(A$ या $B)=P(A)+P(B)$

• यदि $A$ कोई भी घटना है, तो

  $ P(\text{not A})=1-P(A) $

ऐतिहासिक टिप्पणी

प्रायिकता सिद्धांत जैसे कि अन्य कई गणित के शाखाओं के समान, व्यावहारिक विचारों से विकसित हुआ। इसकी उत्पत्ति 16 वीं शताब्दी में हुई जब एक इतालवी चिकित्सक और गणितज्ञ जेरोमे कार्डान (1501-1576) ने विषय पर पहली किताब “खेल के अवसरों की किताब” (Biber de Ludo Aleae) लिखी। यह किताब उनकी मृत्यु के बाद 1663 में प्रकाशित की गई।

1654 में, एक खेल के खिलाड़ी चैवलियर डे मेट्रे ने फ्रांस के प्रसिद्ध दार्शनिक और गणितज्ञ ब्लैज पास्कल (1623-1662) के पास एक निश्चित पासा समस्या के बारे में अपनी चिंता व्यक्त की। पास्कल इन समस्याओं में रुचि लेने लगे और उन्होंने प्रसिद्ध फ्रांसीसी गणितज्ञ पियरे डी फर्माट (1601-1665) के साथ चर्चा की। पास्कल और फर्माट दोनों ने समस्या को स्वतंत्र रूप से हल किया। इसके अलावा, पास्कल और फर्माट के अतिरिक्त, क्रिस्टियन ह्यूजेंस (1629-1665), एक डच गणितज्ञ, जे. बर्नूली (1654-1705), डी मोइवर (1667-1754), एक फ्रांसीसी गणितज्ञ पियरे लाप्लास (1749-1827), रूसी पी. एल. चे बिशेव (1821-1897), ए. ए. मार्कोव (1856-1922) और ए. एन. कोलमोगोरोव (1903-1987) ने संभावना सिद्धांत में उल्लेखनीय योगदान दिया। कोलमोगोरोव को संभावना के अक्षारिक सिद्धांत के लिए श्रेय दिया जाता है। उनकी किताब “संभावना के आधार” (1933 में प्रकाशित) में संभावना को एक समुच्चय फलन के रूप में परिचय दिया गया है और इसे एक क्लासिक माना जाता है।