गणित भौतिक अनुसंधान का अक्षय उपकरण है। - बेर्थेलोट

2.1 परिचय

गणित के बहुत सारे भाग में एक पैटर्न की खोज करना होता है - एक वस्तुओं के बीच एक पहचानने योग्य संबंध जो बदलते हुए मात्राओं के बीच होता है। हमारे दैनिक जीवन में हम बहुत सारे पैटर्न से गुजरते हैं जो भाई और बहन, पिता और पुत्र, शिक्षक और छात्र जैसे संबंधों को चिह्नित करते हैं। गणि में भी हम बहुत सारे संबंधों के साथ आते हैं जैसे कि संख्या $m$ संख्या $n$ से कम है, रेखा $l$ रेखा $m$ के समानांतर है, समुच्चय $A$ समुच्चय $B$ का उपसमुच्चय है। इन सभी में हम देखते हैं कि एक संबंध दो वस्तुओं के एक निश्चित क्रम में युग्म के बीच होता है। इस अध्याय में, हम सीखेंगे कि दो समुच्चयों के वस्तुओं के युग्म कैसे जोड़े जाते हैं और फिर इन युग्मों के बीच संबंध कैसे परिचय कराए जाते हैं। अंत में, हम विशेष संबंधों के बारे में सीखेंगे जो फलन के रूप में योग्य हो सकते हैं।

G.W.Leibnitz (1646-1716 A.D.)

मैथमेटिक्स में फंक्शन के अवधारणा काफी महत्वपूर्ण है क्योंकि यह एक मात्रा के दूसरी मात्रा के साथ गणितीय रूप से सटीक संगति के अवधारणा को पकड़ता है।

2.2 समुच्चयों के कार्तीय गुणन

मान लीजिए A एक 2 रंगों का समुच्चय है और B एक 3 वस्तुओं का समुच्चय है, अर्थात,

$ A={\text { red, blue }} \text { and } B={b, c, s} \text {, }

$

जहाँ $b, c$ और $s$ क्रमशः एक विशिष्ट बैग, जैकेट और शर्ट को दर्शाते हैं।

इन दो समुच्चयों से कितने रंगीन वस्तुओं के जोड़े बनाए जा सकते हैं?

एक बहुत ही आदेशित तरीके से आगे बढ़ते हुए, हम देख सकते हैं कि निम्नलिखित 6 अलग-अलग जोड़े होंगे:

(लाल, $b$ ), (लाल, $c$ ), (लाल, $s$ ), (नीला, $b$ ), (नीला, $c$ ), (नीला, $s$ )।

इस प्रकार, हमें 6 अलग-अलग वस्तुएँ मिलती हैं (चित्र 2.1)।

चित्र 2.1

हम अपने पहले क्लास से याद करते हैं कि किसी भी दो समुच्चय $P$ और $Q$ से लिए गए एक क्रमित युग्म एक ऐसा युग्म होता है जिसे छोटे कोष्ठक में लिखा जाता है और एक विशिष्ट क्रम में समूहित किया जाता है, अर्थात, $(p, q), p \in P$ और $q \in Q$। इससे निम्नलिखित परिभाषा आती है:

परिभाषा 1 दो गैर-शून्य समुच्चय $P$ और $Q$ दिए गए हों। कार्तीय गुणन $P \times Q$ वह समुच्चय होता है जो $P$ और $Q$ से लिए गए सभी क्रमित युग्मों को शामिल करता है, अर्थात,

$ P \times Q={(p, q): p \in P, q \in एक अर्थात, $P \times Q=\phi$

ऊपर दिए गए चित्र से हम नोट करते हैं कि

$A \times B={(red, b),($ red,$c),($ red,$s),($ blue,$b),($ blue,$c),($ blue,$s)}$.

फिर, दो समुच्चयों को विचार करें:

$A={DL, MP, KA}$, जहाँ DL, MP, KA क्रमशः दिल्ली, मध्य प्रदेश और कर्नाटक को प्रतिनिधित्व करते हैं और B $={01,02, 03 }$ वाहन लाइसेंस प्लेट के कोड को प्रतिनिधित्व करते हैं, जो DL, MP और KA द्वारा जारी किए गए वाहनों के लिए हैं।

यदि तीन राज्य, दिल्ली, मध्य प्रदेश और कर्नाटक, वाहन लाइसेंस प्लेट के कोड के लिए कोड बना रहे हों, जिसकी सीमा यह हो कि कोड समुच्चय $A$ के एक तत्व से शुरू हो, तो इन समुच्चयों से उपलब्ध जोड़े कौन-कौन से हैं और ऐसे कितने जोड़े होंगे (चित्र 2.2)?

चित्र 2.2

उपलब्ध युग्म हैं:$(\mathrm{DL}, 01),(\mathrm{DL}, 02),(\mathrm{DL}, 03),(\mathrm{MP}, 01),(\mathrm{MP}, 02)$, $(\mathrm{MP}, 03),(\mathrm{KA}, 01),(\mathrm{KA}, 02),(\mathrm{KA}, 03)$ और समुच्चय $A$ और समुच्चय $B$ के गुणन के द्वारा दिया गया है

$\mathrm{A} \times \mathrm{B}={(\mathrm{DL}, 01),(\mathrm{DL}, 02),(\mathrm{DL}, 03),(\mathrm{MP}, 01),(\mathrm{MP}, 02),(\mathrm{MP}, 03),(\mathrm{KA}, 01),(\mathrm{KA}, 02)$, $(\mathrm{KA}, 03)} \text {. }$

देखा जा सकता है कि कार्तीय गुणनफल में ऐसे 9 जोड़े होंगे, क्योंकि समुच्चय A और B में प्रत्येक में 3 तत्व हैं। इससे हमें 9 संभावित कोड मिलते हैं। ध्यान दें कि इन तत्वों के जोड़े बनाने के क्रम महत्वपूर्ण है। उदाहरण के लिए, कोड (DL, 01) (01, DL) के बराबर नहीं होगा।

अंत में, दो समुच्चय $A={a_1, a_2}$ और $B={b_1, b_2, b_3, b_4}$ (चित्र 2.3) के बारे में सोचें।

$A \times B={(a_1, b_1),(a_1, b_2),(a_1, b_3),(a_1, b_4),(a_2, b_1),(a_2, b_2),(a_2, b_3),(a_2, b_4)} .$

8 क्रमवार सदस्यों द्वारा बनाए गए आदेशित युग्म यदि A और B वास्तविक संख्याओं के समुच्चय के उपसमुच्चय हों, तो तल में बिंदुओं की स्थिति को प्रस्तुत कर सकते हैं और यह स्पष्ट है कि बिंदु (a₁, b₂) की स्थिति बिंदु (b₂, a₁) की स्थिति से भिन्न होगी।

चित्र 2.3

टिप्पणियाँ

(i) दो आदेशित युग्म के बराबर होने की शर्त है कि उनके संगत पहले तत्व बराबर हों और दूसरे तत्व भी बराबर हों।

(ii) यदि A में $p$ तत्व हैं और B में $q$ तत्व हैं, तो A × B में $p q$ तत्व होंगे, अर्थात, यदि $n(A)=p$ और $n(B)=q$, तो $n(A \times B)=p q$।

(iii) यदि A और B गैर-शून्य समुच्चय हैं और A या B में से कोई एक अपरिमित समुच्चय है, तो A × B भी अपरिमित समुच्चय होगा।

(iv) $A \times A \times A={(a, b, c): a, b, c \in A}$। यहाँ $(a, b, c)$ को क्रमित त्रिक कहा जाता है।

उदाहरण 1 यदि $(x+1, y-2)=(3,1)$, तो x और y के मान ज्ञात कीजिए।

हल क्रमित युग्म बराबर हैं, इसलिए संगत तत्व बराबर हैं।

इसलिए $ \quad x+1=3 \text { और } y-2=1 \text {। } $

हल करने पर हम प्राप्त करते हैं $\quad x=2$ और $y=3$।

उदाहरण 2 यदि $P={a, b, c}$ और $Q={r}$, तो समुच्चय $P \times Q$ और $Q \times P$ बनाइए।

क्या ये दोनों गुणनफल बराबर हैं?

हल कार्तीय गुणन के परिभाषा के अनुसार,

$ P \times Q={(a, r),(b, r),(c, r)} \text { और } Q \times P={(r, a),(r, b),(r, c)} $

कार्तीय युग्मों के बराबरता के परिभाषा के अनुसार, युग्म $(a, r)$ युग्म $(r, a)$ के बराबर नहीं है, इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $P \times Q \neq Q \times P$।

हालांकि, प्रत्येक समुच्चय में तत्वों की संख्या समान होगी।

उदाहरण 3 मान लीजिए $A={1,2,3}, B={3,4}$ और $C={4,5,6}$. ज्ञात कीजिए

$\qquad$ (i) $A \times(B \cap C)$ $\qquad$ (ii) $(A \times B) \cap(A \times C)$

$\qquad$ (iii) $A \times(B \cup C)$ $\qquad$ (iv) $(A \times B) \cup(A \times C)$

हल (i) दो समुच्चयों के प्रतिच्छेदन के परिभाषा के अनुसार, $(B \cap C)={4}$.

इसलिए, $A \times(B \cap C)={(1,4),(2,4),(3,4)}$.

(ii) अब $(A \times B)={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,3),(3,4)}$

and $(A \times C)={(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6)}$

इसलिए, $(A \times B) \cap(A \times C)={(1,4),(2,4),(3,4)}$.

(iii) क्योंकि, $\quad(B \cup C)={3,4,5,6}$,

हमें $\quad \mathrm{A} \times(\mathrm{B} \cup \mathrm{C})={(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,3)$, $(3,4),(3,5),(3,6)}$ प्राप्त होता है।

(iv) ऊपरी भाग (ii) में सेट $A \times B$ और $A \times C$ का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

$(A \times B) \cup(A \times C)={(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)$, $(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)}$.

उदाहरण 4 यदि $P={1,2}$, तो समुच्चय $P \times P \times P$ बनाइए।

हल हमें, $ P \times P \times P={(1,1,1),(1,1,2),(1,2,1),(1,2,2),(2,1,1),(2,1,2),(2,2,1)$, $(2,2,2)} $ प्राप्त होता है।

उदाहरण 5 यदि $\mathbf{R}$ सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है, तो कार्तीजियन गुणन $\mathbf{R} \times \mathbf{R}$ और $\mathbf{R} \times \mathbf{R} \times \mathbf{R}$ क्या प्रतिनिधित्व करते हैं?

हल कार्तीजियन गुणन $\mathbf{R} \times \mathbf{R}$ समुच्चय $\mathbf{R} \times \mathbf{R}={(x, y): x, y \in \mathbf{R}}$ को प्रतिनिधित्व करता है जो द्वि-विमीय अंतरिक्ष में सभी बिंदुओं के निर्देशांक को प्रतिनिधित्व करता है और कार्तीजियन गुणन $\mathbf{R} \times \mathbf{R} \times \mathbf{R}$ समुच्चय $\mathbf{R} \times \mathbf{R} \times \mathbf{R}={(x, y, z): x, y, z \in \mathbf{R}}$ को प्रतिनिधित्व करता है जो त्रि-विमीय अंतरिक्ष में सभी बिंदुओं के निर्देशांक को प्रतिनिधित्व करता है।

उदाहरण 6 यदि $A \times B={(p, q),(p, r),(m, q),(m, r)}$, तो $A$ और $B$ ज्ञात कीजिए।

हल

$A=\text { पहले तत्वों का समुच्चय }={p, m}$

$B=\text { दूसरे तत्वों का समुच्चय }={q, r}.$

2.1 संबंध

दो समुच्चय $P={a, b, c}$ और $Q={$ अली, भानु, बिनॉय, चंद्रा, दिव्या $}$ का विचार करें।

$P$ और $Q$ के कार्तीय गुणन के 15 क्रमित युग्म हो सकते हैं जो $P \times Q={$(a, अली), (a, भानु), (a, बिनॉय), …, (c, दिव्या) $}$ के रूप में सूचित किए जा सकते हैं।

चित्र 2.4

अब हम $P \times Q$ का एक उपसमुच्चय प्राप्त कर सकते हैं द्वारा एक संबंध $R$ को प्रत्येक क्रमित युग्म $(x, y)$ के पहले तत्व $x$ और दूसरे तत्व $y$ के बीच द्वारा परिभाषित करते हैं:

$R={(x, y): x$ नाम $y$ का पहला अक्षर है, $x \in P, y \in Q}$.

तब $R={$(a, Ali),(b, Bhanu),(b, Binoy),(c, Chandra $)}$

इस संबंध $R$ का एक आभासी प्रतिनिधित्व (जिसे बाल्टी आरेख कहा जाता है) चित्र 2.4 में दिखाया गया है।

परिभाषा 2 एक सम्बन्ध $R$, एक गैर-शून्य समुच्चय $A$ से एक गैर-शून्य समुच्चय $B$ में एक विकर्ण गुणन $A \times B$ का एक उपसमुच्चय होता है। यह उपसमुच्चय व्यवस्थित युग्मों $A \times B$ में पहले तत्व और दूसरे तत्व के बीच संबंध के वर्णन द्वारा प्राप्त किया जाता है। दूसरा तत्व पहले तत्व का चित्र कहलाता है।

परिभाषा 3 एक सम्बन्ध $R$ से समुच्चय $A$ से समुच्चय $B$ में सभी व्यवस्थित युग्मों के पहले तत्वों के समुच्चय को सम्बन्ध $R$ के क्षेत्र कहते हैं।

परिभ षा 4 एक सम्बन्ध $R$ से समुच्चय $A$ से समुच्चय $B$ में सभी दूसरे तत्वों के समुच्चय को सम्बन्ध $R$ के श्रेणी कहते हैं। पूरा समुच्चय $B$ को सम्बन्ध $R$ के कोडोमेन कहते हैं। ध्यान दें कि श्रेणी $\subset$ कोडोमेन होती है।

टिप्पणियाँ (i) एक संबंध बीजगणितीय रूप से या तो रोस्टर विधि या सेट-बिल्डर विधि द्वारा प्रस्तुत किया जा सकता है।

(ii) एक तीर आरेख एक संबंध का एक चित्रात्मक प्रस्तुति है।

उदाहरण 7 मान लीजिए $A={1,2,3,4,5,6}$। एक संबंध $R$ को $A$ से $A$ तक परिभाषित करें जो निम्नलिखित द्वारा दिया गया है:

$R={(x, y): y=x+1}$

(i) इस संबंध को एक तीर आरेख के द्वारा प्रदर्शित करें।

(ii) $R$ के डोमेन, कोडोमेन और रेंज को लिखिए।

हल (i) संबंध की परिभाषा के अनुसार,

$R={(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)}$।

संगत तीर आरेख चित्र 2.5 में दिखाया गया है।

(ii) हम देख सकते हैं कि डोमेन $={1,2,3,4,5}$

इसी तरह, रेंज $={2,3,4,5,6}$ और कोडोमेन $={1,2,3,4,5,6}$ है।

उदाहरण 8 चित्र 2.6 में समुच्चय $P$ और $Q$ के बीच एक संबंध दिखाया गया है। इस संबंध को (i) समुच्चय-निर्माण रूप में, (ii) रोस्टर रूप में लिखिए। इसका डोमेन और रेंज क्या है?

हल स्पष्ट है कि संबंध $R$ यह है कि “$x$ $y$ का वर्ग है”।

(i) समुच्चय-निर्माण रूप में, $R={(x, y): x$ $y$ का वर्ग है, $x \in P$, $y \in \mathbf{Q}}$

(ii) सूची रूप में, $R={(9,3)$, $(9,-3),(4,2),(4,-2),(25,5),(25,-5)}$

इस संबंध के डोमेन ${4,9,25}$ है।

इस संबंध के रेंज ${-2,2,-3,3,-5,5}$ है।

ध्यान दें कि तत्व 1, समुच्चय $P$ के किसी तत्व से संबंधित नहीं है। समुच्चय $Q$ इस संबंध का कोडोमेन है।

ध्यान दें - एक समुच्चय $A$ से एक समुच्चय $B$ में परिभाषित संबंधों की कुल संख्या $A \times B$ के संभावित सबसेट की संख्या होती है। यदि $n(A)=p$ और $n(B)=q$, तो $n(A \times B)=p q$ और संबंधों की कुल संख्या $2^{p q}$ होती है।

उदाहरण 9 मान लीजिए $A={1,2}$ और $B={3,4}$. A से B के संबंध की संख्या ज्ञात कीजिए।

हल हमें दिया गया है,

$ A \times B={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)} $

क्योंकि $n(A \times B)=4$, तो $A \times B$ के उपसमुच्चय की संख्या $2^{4}$ होगी। अतः A से B के संबंध की संख्या $2^{4}$ होगी।

टिप्पणी A से A के संबंध $R$ को A पर संबंध के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है।

2.4 फंक्शन

इस अनुच्छेद में, हम एक विशेष प्रकार के संबंध के बारे में अध्ययन करेंगे जिसे फंक्शन कहा जाता है। यह गणित में सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक है। हम एक फंक्शन को एक नियम के रूप में चित्रित कर सकते हैं, जो कुछ दिए गए तत्वों से नए तत्व उत्पन्न करता है। फंक्शन को दर्शाने के लिए कई शब्द जैसे ‘मैप’ या ‘मैपिंग’ का उपयोग किया जाता है।

परिभाषा 5 एक समुच्चय $A$ से एक समुच्चय $B$ के बीच एक संबंध $f$ को फंक्शन कहा जाता है यदि समुच्चय $A$ के प्रत्येक तत्व के समुच्चय $B$ में एक और केवल एक प्रतिबिम्ब हो।

दूसरे शब्दों में, एक फंक्शन $f$ एक गैर-खाली समुच्चय $A$ से एक गैर-खाली समुच्चय $B$ के बीच एक संबंध होता है जहां $f$ के डोमेन $A$ होता है और $f$ में कोई दो अलग-अलग क्रमित युग्म एक ही पहला तत्व रखते हैं।

यदि $f$ A से B तक एक फलन है और $(a, b) \in f$, तो $f(a)=b$, जहाँ $b$ को $a$ के तहत $f$ के प्रतिबिम्ब कहा जाता है और $a$ को $b$ के तहत $f$ के प्रतिक बिम्ब कहा जाता है।

A से B तक फलन $f$ को $f: A \rightarrow B$ द्वारा नोट किया जाता है।

पिछले उदाहरणों को देखने पर हम आसानी से देख सकते हैं कि उदाहरण 7 में संबंध एक फलन नहीं है क्योंकि तत्व 6 के कोई प्रतिबिम्ब नहीं है।

फिर भी, उदाहरण 8 में संबंध एक फलन नहीं है क्योंकि डोमेन में तत्व एक से अधिक प्रतिबिम्बों के साथ जुड़े हुए हैं। इसी तरह, उदाह में संबंध भी एक फलन नहीं है। (क्यों) नीचे दिए गए उदाहरणों में हम अधिक संबंध देखेंगे, जिनमें कुछ फलन होंगे और कुछ नहीं होंगे।

उदाहरण 10 मान लीजिए $\mathbf{N}$ प्राकृत संख्याओं के समुच्चय है और संबंध $R$, $N$ पर इस प्रकार परिभाषित है कि $R={(x, y): y=2 x, x, y \in \mathbf{N}}$।

$R$ का डोमेन, कोडोमेन और रेंज क्या है? क्या यह संबंध एक फ़ंक्शन है?

हल $R$ का डोमेन प्राकृत संख्याओं के समुच्चय $\mathbf{N}$ है। कोडोमेन भी $\mathbf{N}$ है। रेंज विषम प्राकृत संख्याओं के समुच्चय है।

क्योंकि प्रत्येक प्राकृत संख्या $n$ के एक और केवल एक प्रतिबिम्ब होता है, इस संबंध एक फ़ंक्शन है।

उदाहरण 11 नीचे दिए गए प्रत्येक संबंध की जांच करें और प्रत्येक स्थिति में बताएं कि यह फ़ंक्शन है या नहीं, और कारण दें?

(i) $R={(2,1),(3,1),(4,2)}$,

(ii) $R={(2,2),(2,4),(3,3),(4,4)}$

(iii) $R={(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),(6,7)}$

हल (i) क्योंकि 2, 3, 4 क्षेत्र के तत्व हैं जिनके अद्वितीय प्रतिबिम्ब हैं, इस संबंध $R$ एक फलन है।

(ii) क्योंकि समान पहला तत्व 2 दो अलग-अलग प्रतिबिम्ब 2 और 4 के संगत है, इस संबंध एक फलन नहीं है।

(iii) क्योंकि प्रत्येक तत्व के एक और केवल एक प्रतिबिम्ब है, इस संबंध एक फलन है।

परिभाषा 6 एक फलन जिसका परिसर या उसका कोई उपसमुच्चुक हो तो इसे वास्तविक मान फलन कहते हैं। इसके अतिरिक्त, यदि इसका क्षेत्र भी या तो $R$ हो या $R$ का एक उपसमुच्चुक हो तो इसे वास्तविक फलन कहते हैं।

उदाहरण 12 मान लीजिए $\mathbf{N}$ प्राकृत संख्याओं का समुच्चय है। एक वास्तविक मान फलन की परिभाषा कीजिए

$f: \mathbf{N} \rightarrow \mathbf{N}$ द्वारा $f(x)=2 x+1$. इस परिभाषा का उपयोग करते हुए, नीचे दिए गए तालिका को पूरा कीजिए।

$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline y & f(1)=\ldots & f(2)=\ldots & f(3)=\ldots & f(4)=\ldots & f(5)=\ldots & f(6)=\ldots & f(7)=\ldots \\ \hline \end{array} $

हल पूर्ण तालिका निम्नलिखित द्वारा दी गई है

$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}

\hline x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline y & f(1)=3 & f(2)=5 & f(3)=7 & f(4)=9 & f(5)=11 & f(6)=13 & f(7)=15 \\ \hline \end{array} $

2.4.1 कुछ फलन और उनके ग्राफ

(i) पहचान फलन मान लीजिए $\mathbf{R}$ वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। वास्तविक मान फलन $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ को परिभाषित करें जहाँ $y=f(x)=x$ प्रत्येक $x \in \mathbf{R}$ के लिए है। ऐसे फलन को पहचान फलन कहते हैं। यहाँ $f$ के डोमेन और संगति $\mathbf{R}$ है। ग्राफ चित्र 2.8 में दिखाए गए रूप में एक सीधी रेखा है। यह मूल बिंदु से गुजरती है।

चित्र 2.8

(ii) स्थिर फलन फलन $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ को $y=f(x)=c, x \in \mathbf{R}$ द्वारा परिभाषित करें जहाँ $c$ एक स्थिरांक है और प्रत्येक $x \in \mathbf{R}$. यहाँ $f$ के डोमेन $\mathbf{R}$ है और इसकी परिसर ${c}$ है।

चित्र 2.9

ग्राफ एक सीधी रेखा है जो $x$-अक्ष के समानांतर है। उदाहरण के लिए, यदि $f(x)=3$ प्रत्येक $x \in \mathbf{R}$ के लिए है, तो इसका ग्राफ चित्र 2.9 में दिखाए गए तरह एक सीधी रेखा होगा।

(iii) बहुपद फलन एक फलन $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ को बहुपद फलन कहा जाता है यदि प्रत्येक $x$ के लिए $\mathbf{R}$ में, $y=f(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^{2}+\ldots+a_{n} x^{n}$, जहाँ $n$ एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है और $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_{n} \in \mathbf{R}$ हैं।

फलन $f(x)=x^{3}-x^{2}+2$ और $g(x)=x^{4}+\sqrt{2} x$ कुछ उदाहरण हैं।

बहुपदीय फलन के बारे में, जबकि फलन $h$ जो $h(x)=x^{\dfrac{2}{3}}+2 x$ द्वारा परिभाषित होता है, एक बहुपदीय फलन नहीं है.(क्यों?)

उदाहरण 13 फलन $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ को $y=f(x)=x^{2}, x \in \mathbf{R}$ द्वारा परिभाषित करें। नीचे दिए गए तालिका को इस परिभाषा के आधार पर पूरा करें। इस फलन के डोमेन और रेंज क्या है? $f$ के ग्राफ को बनाएं।

$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -4 & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline y = f(x) = x^2 & & & & & & & & & \\ \end{array} $

\hline \end{array} $

हल पूर्ण तालिका नीचे दी गई है:

$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -4 & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline y = f(x) = x^2 & 16 & 9 & 4 & 1 & 0 & 1 & 4 & 9 & 16 \\ \hline \end{array} $

$f$ के डोमेन $={x: x \in \mathbf{R}}$. $f$ के रेंज $={x^{2}: x \in \mathbf{R}}$. $f$ के ग्राफ आकृति 2.10 द्वारा दिया गया है

उदाहरण 14 फलन $\boldsymbol{f}: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ का ग्राफ खींचिए, जो $f(x)=x^{3}, x \in \mathbf{R}$ द्वारा परिभाषित है।

हल हमारे पास है

$f(0)=0, f(1)=1, f(-1)=-1, f(2)=8, f(-2)=-8, f(3)=2,7 ; f(-3)=-27$, आदि।

इसलिए, $f={(x, x^{3}): x \in \mathbf{R}}$।

$f$ का ग्राफ चित्र 2.11 में दिया गया है।

चित्र 2.11

(iv) परिमेय फलन वे फलन होते हैं जिनके रूप में $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ होता है, जहाँ $f(x)$ और $g(x)$, एक डोमेन में परिभाषित $x$ के बहुपदीय फलन होते हैं, जहाँ $g(x) \neq 0$ होता है।

उदाहरण 15 एक वास्तविक मान फलन $f: \mathbf{R}-{0} \rightarrow \mathbf{R}$ को परिभाषित करें जो $f(x)=\dfrac{1}{x}$, $x \in \mathbf{R}-{0}$ द्वारा परिभाषित होता है। नीचे दिए गए तालिका को इस परिभाषा के आधार पर पूरा करें। इस फलन के डोमेन और परिसर क्या है?

$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1.5 & -1 & -0.5 & 0.25 & 0.5 & 1 & 1.5 & 2 \\ \hline \end{array} $

\hline y = \dfrac{1}{x} & … & … & … & … & … & … & … & … & … \\ \hline \end{array} $

हल पूर्ण तालिका नीचे दी गई है

$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1.5 & -1 & -0.5 & 0.25 & 0.5 & 1 & 1.5 & 2 \\ \hline y = \dfrac{1}{x} & -0.5 & -0.67 & -1 & -2 & 4 & 2 & 1 & 0.67 & 0.5 \\ \hline \end{array} $

क्षेत्रफल सभी वास्तविक संख्याएँ हैं जो 0 के अलावा और इसकी परिसर भी सभी वास्तविक संख्याएँ हैं जो 0 के अलावा हैं। $f$ के ग्राफ को आकृति 2.12 में दिया गया है।

चित्र 2.12

(v) मॉड्यूलस फ़ंक्शन फ़ंक्शन $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$, जो प्रत्येक $x \in \mathbf{R}$ के लिए $f(x)=|x|$ द्वारा परिभाषित होती है, मॉड्यूलस फ़ंक्शन कहलाती है। प्रत्येक गैर-ऋणात्मक मान के लिए $x$, $f(x)$ का मान $x$ के बराबर होता है। लेकिन ऋणात्मक मान के लिए $x$ के मान के ऋणात्मक मान $f(x)$ के बराबर होता है, अर्थात,

$f(x)=\begin{cases}x,x \geq 0 \\ -x, x <0 \end{cases}$

चित्र 2.13

(vi) साइनम फ़ंक्शन फ़ंक्शन $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$, जो निम्नलिखित द्वारा परिभाषित होती है

$ f(x)=\begin{cases} 1, \text { यदि } x>0 \\ 0, \text { यदि } x=0 \\ -1, \text { यदि } x<0 \end{cases} $

को साइनम फ़ंक्शन कहते हैं। साइनम फ़ंक्शन की डोमेन $\mathbf{R}$ होती है और रेंज समुच्चय ${-1,0,1}$ होता है। साइनम फ़ंक्शन के ग्राफ को चित्र 2.14 द्वारा दिया गया है।

चित्र 2.14 $ \quad f(x)=\dfrac{|x|}{x}, x^{\prime} \quad 0 \text { और } 0 \text { जब } x=0 $

(vii) सबसे बड़ा पूर्णांक फ़ंक्शन फ़ंक्शन $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$, जो $f(x)=[x], x \in \mathbf{R}$ द्वारा परिभाषित होता है, वह $x$ के सबसे बड़े पूर्णांक के मान लेता है, जो $x$ से कम या बराबर होता है। ऐसे फ़ंक्शन को सबसे बड़ा पूर्णांक फ़ंक्शन कहते हैं।

$[x]$ की परिभाषा से हम देख सकते हैं कि

$ \begin{aligned} & {[x]=-1 \text { जब }-1 \leq x<0} \\ & {[x]=0 \text { जब } 0 \leq x<1} \\

& {[x]=1 \text { for } 1 \leq x<2} \\ & {[x]=2 \text { for } 2 \leq x<3 \text { and }} \end{aligned} $

इतना ही आगे चलते जाएं।

फलन के ग्राफ को आकृति 2.15 में दर्शाया गया है।

आकृति 2.15

2.4.2 वास्तविक फलनों के बीजगणित

इस अनुच्छेद में, हम दो वास्तविक फलनों को कैसे जोड़ा जाता है, एक वास्तविक फलन को दूसरे से घटाया जाता है, एक वास्त फलन को एक अद्वितीय संख्या (यहां अद्वितीय संख्या का अर्थ एक वास्तविक संख्या है) से गुणा करना सीखेंगे, दो वास्तविक फलनों को कैसे गुणा करें और एक वास्तविक फलन को दूसरे वास्तविक फलन से विभाजित करें।

(i) दो वास्तविक फलनों का योग मान लीजिए $f: X \rightarrow \mathbf{R}$ और $g: X \rightarrow \mathbf{R}$ कोई दो वास्तविक फलन हैं, जहाँ $X \subset \mathbf{R}$. तब, हम निम्नलिखित द्वारा $(f+g): X \rightarrow \mathbf{R}$ परिभाषित करते हैं:

$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$, सभी $x \in \mathbf{X}$ के लिए।

(ii) एक वास्तविक फलन को दूसरे वास्तविक फलन से घटाना मान लीजिए $f: X \rightarrow \mathbf{R}$ और $g: X \rightarrow \mathbf{R}$ कोई दो वास्तविक फलन हैं, जहाँ $\mathbf{X} \subset \mathbf{R}$. तब, हम निम्नलिखित द्वारा $(f-g): X \rightarrow \mathbf{R}$ परिभाषित करते हैं:

$(f-g)(x)=f(x)-g(x)$, सभी $x \in X$ के लिए।

(iii) एक अदिश से गुणन मान लीजिए $f: X \rightarrow \mathbf{R}$ एक वास्तविक मान फलन है और $\alpha$ एक अदिश है। यहाँ अदिश शब्द का अर्थ एक वास्तविक संख्या होती है। तब गुणन $\alpha f$ एक फलन है $X$ से $\mathbf{R}$ में जो निम्नलिखित द्वारा परिभाषित होता है: $(\alpha f)(x) = \alpha f(x), x \in X$।

(iv) दो वास्तविक फलनों का गुणन दो वास्तविक फलन $f: \mathbf{X} \rightarrow \mathbf{R}$ और $g: X \rightarrow \mathbf{R}$ का गुणन (या गुणा) एक फलन $fg: X \rightarrow \mathbf{R}$ होता है जो निम्नलिखित द्वारा परिभाषित होता है: $(fg)(x) = f(x)g(x)$, सभी $x \in X$ के लिए।

यह भी pointwise multiplication कहलाता है।

(v) दो वास्तविक फलनों का भागफल मान लीजिए $f$ और $g$ दो वास्तविक फलन हैं जो $X \rightarrow \mathbf{R}$ से परिभाषित हैं, जहाँ $X \subset \mathbf{R}$. $f$ के $g$ द्वारा भागफल को $\dfrac{f}{g}$ से नोट किया जाता है और यह एक फलन है जो निम्नलिखित द्वारा परिभाषित है,

$\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$, जबकि $g(x) \neq 0, x \in X$

उदाहरण 16 मान लीजिए $f(x)=x^{2}$ और $g(x)=2 x+1$ दो वास्तविक फलन हैं। ज्ञात कीजिए

$ (f+g)(x),(f-g)(x),(f g)(x),\left(\dfrac{f}{g}\right)(x).

$

हल हमारे पास,

$ \begin{aligned} & (f+g)(x)=x^{2}+2 x+1,(f-g)(x)=x^{2}-2 x-1, \\ & (f g)(x)=x^{2}(2 x+1)=2 x^{3}+x^{2},\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)=\dfrac{x^{2}}{2 x+1}, x \neq-\dfrac{1}{2} \end{aligned} $

उदाहरण 17 मान लीजिए $f(x)=\sqrt{x}$ और $g(x)=x$ दो फलन हैं जो गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर परिभाषित हैं। $(f+g)(x),(f-g)(x),(f g)(x)$ और $\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)$ ज्ञात कीजिए।

हल हमारे पास

$ \begin{aligned} & (f+g)(x)=\sqrt{x}+x,(f-g)(x)=\sqrt{x}-x, \\ & (f g) x=\sqrt{x}(x)=x^{\dfrac{3}{2}} \text { और }\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{x}=x^{-\dfrac{1}{2}}, x \neq 0

\end{aligned} $

अतिरिक्त उदाहरण

उदाहरण 18 मान लीजिए $\mathbf{R}$ वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है।

वास्तविक फलन को परिभाषित कीजिए

$ f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R} \text { द्वारा } f(x)=x+10 $

और इस फलन के ग्राफ को बनाइए।

हल यहाँ $f(0)=10, f(1)=11, f(2)=12, \ldots$, $f(10)=20$, आदि, और

$f(-1)=9, f(-2)=8, \ldots, f(-10)=0$ आदि।

इसलिए, दी गई फलन के ग्राफ के आकार के रूप में चित्र 2.16 में दिखाया गया है।

चित्र 2.16

टिप्पणी फलन $f$ जो $f(x)=m x+c$, $x \in \mathbf{R}$ द्वारा परिभाषित होता है, को रैखिक फलन कहते हैं, जहाँ $m$ और $c$ स्थिरांक हैं। उपरोक्त फलन एक रैखिक फलन का उदाहरण है।

उदाहरण 19 मान लीजिए $R$ एक संबंध $\mathbf{Q}$ से $\mathbf{Q}$ पर परिभाषित है जो $R={(a, b): a, b \in \mathbf{Q}$ और $a-b \in \mathbf{Z}}$ द्वारा परिभाषित है। दिखाइए कि

(i) $(a, a) \in R$ सभी $a \in \mathbf{Q}$ के लिए

(ii) $(a, b) \in R$ अर्थात $(b, a) \in R$ के अर्थ में होता है

(iii) $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R$ अर्थात $(a, c) \in R$ के अर्थ में होता है

हल (i) क्योंकि, $a-a=0 \in \mathbf{Z}$, अतः $(a, a) \in R$ होता है।

(ii) $(a, b) \in R$ अर्थात $a-b \in \mathbf{Z}$ होता है। इसलिए, $b-a \in \mathbf{Z}$ होता है। अतः $(b, a) \in R$

(iii) $(a, b)$ और $(b, c) \in R$ अर्थात $a-b \in \mathbf{Z} . b-c \in \mathbf{Z}$ होता है। इसलिए, $a-c=(a-b)+(b-c) \in \mathbf{Z}$ होता है। अतः $(a, c) \in R$

उदाहरण 20 मान लीजिए $f={(1,1),(2,3),(0,-1),(-1,-3)}$ एक रैखिक फलन है $\mathbf{Z}$ से $\mathbf{Z}$ में। $f(x)$ ज्ञात कीजिए।

हल क्योंकि $f$ एक रैखिक फलन है, तो $f(x)=m x+c$। इसके अतिरिक्त, क्योंकि $(1,1),(0,-1) \in R$, तो $f(1)=m+c=1$ और $f(0)=c=-1$। इससे $m=2$ और $f(x)=2 x-1$ प्राप्त होता है।

उदाहरण 21 फलन $f(x)=\dfrac{x^{2}+3 x+5}{x^{2}-5 x+4}$ के डोमेन ज्ञात कीजिए।

हल क्योंकि $x^{2}-5 x+4=(x-4)(x-1)$, फलन $f$ सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है, बशर्ते $x=4$ और $x=1$ के अतिरिक्त। अतः $f$ का डोमेन $\mathbf{R}-{1,4}$ है।

उदाहरण 22 फलन $f$ निम्नलिखित द्वारा परिभाषित है

$ f(x)= \begin{cases}1-x, & x<0 \ 1 & , x=0 \ x+1, & x>0\end{cases} $

$ f(x) $ के ग्राफ को बनाइए।

हल यहाँ, $ f(x)=1-x, x<0 $, इससे हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} & f(-4)=1-(-4)=5 \\ & f(-3)=1-(-3)=4 \\ & f(-2)=1-(-2)=3 \\ & f(-1)=1-(-1)=2 ; \text { आदि} \end{aligned} $

और $ f(1)=2, f(2)=3, f(3)=4 $

$ f(4)=5 $ आदि $ f(x)=x+1, x>0 $ के लिए।

इस प्रकार, $ f $ के ग्राफ चित्र 2.17 में दिखाए गए हैं।

चित्र 2.17

सारांश

इस अध्याय में, हम अंतर्संबंध और फलनों के बारे में अध्ययन करते हैं। इस अध्याय के मुख्य विशेषताएँ निम्नलिखित हैं:

• क्रमित युग्म एक ऐसा युग्म जो विशेष क्रम में समूहित होता है।

• कार्तीय गुणनफल दो समुच्चय $A$ और $B$ के कार्तीय गुणनफल $A \times B$ निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

$\qquad A \times B={(a, b): a \in A, b \in B}$

$\qquad$ विशेष रूप से $ \mathbf{R} \times \mathbf{R}={(x, y): x, y \in \mathbf{R}}$
$\qquad$ और $ \mathbf{R} \times \mathbf{R} \times \mathbf{R}={(x, y, z): x, y, z \in \mathbf{R}}$

• यदि $(a, b)=(x, y)$, तो $a=x$ और $b=y$।

• यदि $n(A)=p$ और $n(B)=q$, तो $n(A \times B)=p q$।

• $\Delta A \times \phi=\phi$

• सामान्यतः $A \times B \neq B \times A$।

• संबंध एक संबंध $R$ एक समुच्चय $A$ से एक समुच्चय $B$ में एक कार्तीय गुणन $A \times B$ का एक उपसमुच्चय होता है, जो $A \times B$ के क्रमित युग्मों में पहले तत्व $x$ और दूसरे तत्व $y$ के बीच संबंध का वर्णन करता है।

• संबंध $R$ के तहत एक तत्व $x$ की छवि $y$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $(x, y) \in R$,

• संबंध $R$ के क्षेत्र एक संबंध $R$ में क्रमित युग्मों के सभी पहले तत्वों के समुच्चय होता है।

• संबंध $R$ की श्रेणी एक संबंध $R$ में क्रमित युग्मों के सभी दूसरे तत्वों के समुच्चय होती है।

• फ़ंक्शन एक समुच्चय $A$ से समुच्चय $B$ में फ़ंक्शन $f$ एक विशिष्ट प्रकार का संबंध होता है, जिसके लिए समुच्चय $A$ के प्रत्येक तत्व $x$ के समुच्चय $B$ में एक और केवल एक छवि $y$ होती है।
  हम $f: A \rightarrow B$ लिखते हैं, जहाँ $f(x)=y$।

• A, f के डोमेन है और B, f का कोडोमेन है।

• फलन के परिसर उसके प्रतिबिम्बों के समुच्चय होता है।

• एक वास्तविक फलन के डोमेन और परिसर दोनों वास्तविक संख्याओं के समुच्चय या उसके उपसमुच्चय होते हैं।

• फलनों के बीजगणित फलन $f: X \rightarrow \mathbf{R}$ और $g: X \rightarrow \mathbf{R}$ के लिए, हम निम्नलिखित लिख सकते हैं

$\qquad$ $ \begin{aligned} & (f+g)(x)=f(x)+g(x), x \in X \\ & (f-g)(x)=f(x)-g(n), x \in X \\ & (f . g)(x) \quad=f(x) \cdot g(x), x \in X \\ & (k f)(x) \quad=k(f(x)), x \in X, \text { जहाँ } k \text { एक वास्तविक संख्या है। } \\

$$ \left(\dfrac{f}{g}\right)(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}, x \in X, g(x) \neq 0 $$ $

ऐतिहासिक टिप्पणी

शब्द “FUNCTION” पहली बार लैटिन भाषा के मैनसूचन “Methodus tangentium inversa, seu de fuctionibus” में आया जो गॉटफ्रेड विलहेम लेब्निज (1646-1716) द्वारा 1673 में लिखा गया था; लेब्निज ने इस शब्द का उपयोग अनुकूलनात्मक अर्थ में किया। उन्होंने फंक्शन के संदर्भ में “गणितीय नौकरी” के रूप में सोचा - जहां “नौकर” केवल एक वक्र होता है।

5 जुलाई, 1698 को, जोहान बर्नूली ने लेब्निज को एक पत्र में शब्द function के विशेष अर्थ के उपयोग के लिए पहली बार निश्चित रूप से इस्तेमाल किया। उस महीने के अंत में, लेब्निज ने अपनी स्वीकृति दिखाई।

Function is found in English in 1779 in Chambers’ Cyclopaedia: “The term function is used in algebra, for an analytical expression any way compounded of a variable quantity, and of numbers, or constant quantities”