एक गणितज्ञ जानता है कि एक समस्या कैसे हल की जाए, लेकिन वह उसे हल नहीं कर सकता। - MILNE

3.1 परिचय

शब्द ‘त्रिकोणमिति’ ग्रीक शब्द ’trigon’ और ‘metron’ से उत्पन्न है और इसका अर्थ है ‘एक त्रिभुज के भुजाओं के मापन’। इस विषय का विकास मूल रूप से त्रिभुजों के साथ ज्यामितीय समस्याओं को हल करने के लिए किया गया था। यह समुद्री नौकायन के लिए समुद्री नाविकों द्वारा अध्ययन किया गया था, नए भू-भाग के मानचित्रण के लिए सर्वेक्षकों द्वारा और इंजीनियरों आदि द्वारा। वर्तमान में, त्रिकोणमिति कई क्षेत्रों में उपयोग किया जाता है, जैसे कि भूकंप विज्ञान की विज्ञान, विद्युत परिपथों के डिज़ाइन, परमाणु के अवस्था का वर्णन, समुद्र में ज्वार-भाटा की ऊँचाई का अनुमान लगाना, एक संगीतीय तन्न के विश्लेषण और कई अन्य क्षेत्रों में।

अर्यभट (476-550 ई.पू.)

पिछली कक्षाओं में, हमने न्यून कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपातों के अध्ययन किया है, जो समकोण त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात के रूप में होते हैं। हमने त्रिकोणमितीय पहचानों और त्रिकोणमितीय अनुपातों के उपयोग के अध्ययन के साथ-साथ ऊँचाई और दूरी से संबंधित समस्याओं के हल करने में उपयोग किया है। इस अध्याय में, हम त्रिकोणमितीय अनुपातों के अवधारणा को त्रिकोणमितीय फलनों में सामान्यीकृत करेंगे और उनके गुणों के अध्ययन करेंगे।

3.2 कोण

चित्र 3.1

कोण किसी रेखा के अपने प्रारंभिक बिंदु के चारों ओर घूमने के माप को कहते हैं। इस रेखा को प्रारंभिक भुजा कहते हैं और घूमने के बाद रेखा की अंतिम स्थिति को अंतिम भुजा कहते हैं। घूमने के केंद्र को शीर्ष कहते हैं। यदि घूमने की दिशा वृत्तीय घूमने के विपरीत होती है, तो कोण धनात्मक कहलाता है और यदि घूमने की दिशा वृत्तीय घूमने की दिशा में होती है, तो कोण ऋणात्मक कहलाता है (चित्र 3.1)।

कोण के मापदंड के माप उस घूमने की मात्रा को दर्शाता है जो आरंभिक भुजा से अंतिम भुजा तक पहुँचने के लिए किया जाता है। कोण के मापन के लिए कई इकाइयाँ हो सकती हैं। कोण की परिभाषा

चित्र 3.2

चित्र 3.2 एक इकाई को सुझाता है, अर्थात् एक पूर्ण घूमना जैसा कि चित्र 3.2 में आरंभिक भुजा की स्थिति में दिखाया गया है।

इसका उपयोग बड़े कोणों के लिए अक्सर आसान होता है। उदाहरण के लिए, हम कह सकते हैं कि एक तेजी से घूमते वाले पहिये को 15 पूर्ण घूमना प्रति सेकंड का कोण बनाता है। हम दो अन्य कोण मापन की इकाइयों का वर्णन करेंगे जो सबसे अधिक उपयोग में लाई जाती हैं, अर्थात् डिग्री माप और रेडियन माप।

3.2.1 डिग्री माप

यदि एक घूर्णन के शुरूआती भुजा से अंतिम भुजा तक का घूर्णन $\left(\dfrac{1}{360}\right)^{\text{th }}$ हो, तो कोण के माप को एक डिग्री कहा जाता है, जिसे $1^{\circ}$ लिखा जाता है। एक डिग्री 60 मिनट में विभाजित होता है, और एक मिनट 60 सेकंड में विभाजित होता है। एक डिग्री के एक छठार्ध को मिनट कहा जाता है, जिसे $1^{\prime}$ लिखा जाता है, और एक मिनट के एक छठार्ध को सेकंड कहा जाता है, जिसे $1^{\prime \prime}$ लिखा जाता है। इस प्रकार, $\quad 1^{\circ}=60^{\prime}, \quad 1^{\prime}=60^{\prime \prime}$

कुछ कोण जिनके माप $360^{\circ}, 180^{\circ}, 270^{\circ}, 420^{\circ},-30^{\circ},-420^{\circ}$ हैं, चित्र 3.3 में दिखाए गए हैं।

3.2.2 रेडियन माप

कोण के माप के लिए एक अन्य इकाई, रेडियन माप कहलाती है। एक इकाई वृत्त (त्रिज्या 1 इकाई के वृत्त) में 1 इकाई लंबाई के चाप द्वारा केंद्र पर बनाए गए कोण के माप को 1 रेडियन कहा जाता है। चित्र 3.4 (i) से (iv) में, $OA$ प्रारंभिक भुजा और $OB$ अंतिम भुजा है। चित्र वह कोण दिखाते हैं जिनके माप 1 रेडियन, -1 रेडईन, $1 \dfrac{1}{2}$ रेडियन और $-1 \dfrac{1}{2}$ रेडियन हैं।

चित्र 3.4 (i) - (iv)

हम जानते हैं कि त्रिज्या 1 इकाई के एक वृत्त की परिधि $2 \pi$ होती है। इसलिए, प्रारंभिक भुजा के एक पूर्ण चक्र द्वारा कोण $2 \pi$ रेडियन बनता है।

सामान्यतः, त्रिज्या $r$ के एक वृत्त में, लंबाई $r$ के एक चाप द्वारा केंद्र पर 1 रेडियन का कोण बनता है। यह बात अच्छी तरह से ज्ञात है कि एक वृत्त के बराबर चाप केंद्र पर बराबर कोण बनाते हैं। चूंकि त्रिज्या $r$ के एक वृत्त में, लंबाई $r$ के चाप द्वारा केंद्र पर 1 रेडियन का कोण बनता है, इसलिए लंबाई $l$ के चाप द्वारा केंद्र पर बने कोण की माप $\dfrac{l}{r}$ रेडियन होती है। इसलिए, यदि त्रिज्या $r$ के एक वृत्त में, लंबाई $l$ के चाप द्वारा केंब्र पर $\theta$ रेडियन का कोण बनता है, तो हमें $\theta=\dfrac{l}{r}~$ या $~l=r ~\theta$ मिलता है।

3.2.3 कोण और वास्तविक संख्याओं के बीच संबंध

एक इकाई वृत्त की धारणा करें जिसका केंद्र $O$ है। मान लीजिए $A$ वृत्त पर कोई बिंदु है। मान लीजिए $OA$ कोण का प्रारंभिक भुजा है। तब वृत्त के चाप की लंबाई कोण के रेडियन माप के बराबर होगी जो चाप केंद्र पर बनाती है। मान लीजिए रेखा $PAQ$ वृत्त के बिंदु $A$ पर स्पर्श रेखा है। मान लीजिए बिंदु $A$ वास्तविक संख्या शून्य को प्रतिनिधित्व करता है, $AP$ धनात्मक वास्तविक संख्या को और $AQ$ ऋणात्मक वास्त ख्या को प्रतिनिधित्व करता है (चित्र 3.5)। यदि हम रेखा $AP$ को वृत्त के अंतर्गत वृत्त के विपरीत दिशा में लपेटते हैं और $AQ$ को घड़ी की दिशा में लपेटते हैं, तो प्रत्येक वास्तविक संख्या एक रेडियन माप के साथ संबंधित होगी और विपरीत रूप से भी। इस प्रकार, रेडियन माप और वास्तविक संख्याएँ एक दूसरे के बराबर माने जा सकते हैं।

3.2.4 डिग्री और रेडियन के बीच संबंध चूंकि एक वृत्त केंद्र पर एक कोण बनाता है

चूंकि एक वृत्त केंद्र पर एक कोण बनाता है जिसका रेडियन माप $2 \pi$ है और जिसका डिग्री माप $360^{\circ}$ है, इसलिए निम्नलिखित निष्कर्ष निकलता है:

$ 2 \pi \text{ रेडियन }=360^{\circ} \quad \text{ या } \quad \pi \text{ रेडियन }=180^{\circ} `

$

ऊपर के संबंध के उपयोग द्वारा हम एक कोण के रेडियन माप को डिग्री माप के अनुसार और डिग्री माप को रेडियन माप के अनुसार व्यक्त कर सकते हैं। $\pi$ के अनुमानित मान के रूप में $\dfrac{22}{7}$ का उपयोग करते हुए, हम निम्नलिखित प्राप्त करते हैं:

$ 1 \text{ रेडियन }=\dfrac{180^{\circ}}{\pi}=57^{\circ} 16^{\prime} \text{ लगभग। } $

साथ ही $\quad 1^{\circ}=\dfrac{\pi}{180}$ रेडियन $=0.01746$ रेडियन लगभग।

कुछ सामान्य कोणों के डिग्री माप और रेडियन माप के बीच संबंध निम्नलिखित तालिका में दिया गया है:

$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}

\hline \text{डिग्री} & 30^\circ & 45^\circ & 60^\circ & 90^\circ & 180^\circ & 270^\circ & 360^\circ \\ \hline \text{रेडियन} & \dfrac{\pi}{6} & \dfrac{\pi}{4} & \dfrac{\pi}{3} & \dfrac{\pi}{2} & \pi & \dfrac{3\pi}{2} & 2\pi \\ \hline \end{array} $

नोटेशन की परंपरा

क्योंकि कोण डिग्री या रेडियन में मापे जाते हैं, हम यह परंपरा अपनाते हैं कि जब हम कोण $\theta^{\circ}$ लिखते हैं, तो हम उस कोण को दर्शाते हैं जिसका डिग्री माप $\theta$ होता है और जब हम कोण $\beta$ लिखते हैं, तो हम उस कोण को दर्शाते हैं जिसका रेडियन माप $\beta$ होता है।

ध्यान दें कि जब कोण रेडियन में व्यक्त किया जाता है, तो ‘रेडियन’ शब्द अक्सर छोड़ दिया जाता है। इसलिए, $\pi=180^{\circ}$ और $\dfrac{\pi}{4}=45^{\circ}$ लिखे जाते हैं, जिसके साथ यह समझ लिया जाता है कि $\pi$ और $\dfrac{\pi}{4}$ रेडियन माप हैं। इसलिए, हम कह सकते हैं कि

$ \begin{aligned} & \text{ रेडियन माप }=\dfrac{\pi}{18 डिग्री माप} \times \text{ डिग्री माप } \\ & \text{ डिग्री माप }=\dfrac{180}{\pi} \times \text{ रेडियन माप } \end{aligned} $

उदाहरण 1 $40^{\circ} 20^{\prime}$ को रेडियन माप में बदलें।

हल हम जानते हैं कि $180^{\circ}=\pi$ रेडियन।

इसलिए $\quad 40^{\circ} 20^{\prime}=40 \dfrac{1}{3}$ डिग्री $=\dfrac{\pi}{180} \times \dfrac{121}{3}$ रेडियन $=\dfrac{121 \pi}{540}$ रेडियन।

इसलिए $ \quad 40^{\circ} 20^{\prime}=\dfrac{121 \pi}{540} \text{ रेडियन।} $

उदाहरण 2 6 रेडियन को डिग्री माप में बदलें।

हल हम जानते हैं कि $\pi$ रेडियन $=180^{\circ}$।

इसलिए
$ \begin{aligned} 6 \text{ रेडियन } & =\dfrac{180}{\pi} \times 6 \text{ डिग्री }=\dfrac{1080 \times 7}{22} \text{ डिग्री } \\

& =343 \dfrac{7}{11} \text{ degree }=343^{\circ}+\dfrac{7 \times 60}{11} \text{ minute } \quad[\text{ क्योंकि } 1^{\circ}=60^{\prime}] \\ & =343^{\circ}+38^{\prime}+\dfrac{2}{11} \text{ minute } \quad[\text{ क्योंकि } 1^{\prime}=60^{\prime \prime}] \\ & =343^{\circ}+38^{\prime}+10.9^{\prime \prime} \quad=343^{\circ} 38^{\prime} 11^{\prime \prime} \text{ लगभग। } \end{aligned} $

इसलिए $\quad 6$ रेडियन $=343^{\circ} 38^{\prime} 11^{\prime \prime}$ लगभग।

उदाहरण 3 60° के केंद्रीय कोण द्वारा 37.4 सेमी लंबाई के चाप के वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए (उपयोग करें $\pi=\dfrac{22}{7}$)।

हल यहाँ $l=37.4 , \text{cm}$ और $\theta=60^{\circ}=\dfrac{60 \pi}{180}$ रेडियन $=\dfrac{\pi}{3}$

इसलिए, $r=\dfrac{l}{\theta}$ के द्वारा, हमें प्राप्त होता है

$ r=\dfrac{37.4 \times 3}{\pi}=\dfrac{37.4 \times 3 \times 7}{22}=35.7 , \text{cm} $

उदाहरण 4 एक घड़ी का मिनट का सुई $1.5 , \text{cm}$ लंबा है। 40 मिनट में इसके छोर कितनी दूर तक गति करता है? ($\pi=3.14$ का उपयोग करें।)

हल 60 मिनट में घड़ी का मिनट का सुई एक पूरा चक्र पूरा करता है। इसलिए, 40 मिनट में मिनट का सुई $\dfrac{2}{3}$ चक्र पूरा करता है। इसलिए, $\theta=\dfrac{2}{3} \times 360^{\circ}$ या $\dfrac{4 \pi}{3}$ रेडियन होता है। इसलिए, आवश्यक दूरी निम्नलिखित द्वारा दी जाती है

$ l=r \theta=1.5 \times \dfrac{4 \pi}{3} cm=2 \pi cm=2 \times 3.14 cm=6.28 cm . $

उदाहरण 5 यदि दो वृत्तों में समान चाप दोनों वृत्तों के केंद्र पर क्रमशः $65^{\circ}$ और $110^{\circ}$ के कोण बनाते हैं, तो उनकी त्रिज्याओं के अनुपात ज्ञात कीजिए।

हल मान लीजिए $r_1$ और $r_2$ दोनों वृत्तों की त्रिज्याएँ हैं। दिया गया है कि

$ \theta_1=65^{\circ}=\dfrac{\pi}{180} \times 65=\dfrac{13 \pi}{36} \text{ रेडियन } $

और $ \quad \theta_2=110^{\circ}=\dfrac{\pi}{180} \times 110=\dfrac{22 \pi}{36} \text{ रेडियन } $

मान लीजिए $l$ प्रत्येक चाप की लंबाई है। तब $l=r_1 \theta_1=r_2 \theta_2$, जो देता है

$ \dfrac{13 \pi}{36} \times r_1=\dfrac{22 \pi}{36} \times r_2 \text{, अर्थात } \dfrac{r_1}{r_2}=\dfrac{22}{13} $

अतः $\quad r_1: r_2=22: 13$।

3.3 त्रिकोणमितीय फलन

पिछली कक्षाओं में, हमने न्यून कोणों के लिए त्रिकोणमितीय अनुपातों के अध्ययन किया है जो एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात के रूप में होते हैं। अब हम त्रिकोणमितीय अनुपातों की परिभाषा को किसी भी कोण के लिए वृत्तीय माप के अनुसार विस्तारित करेंगे और उन्हें त्रिकोणमितीय फलन के रूप में अध्ययन करेंगे।

एक इकाई वृत्त की अवधारणा लें जिसका केंद्र निर्देशांक अक्षों के मूल बिंदु पर हो। मान लीजिए $P(a, b)$ एक ऐसा बिंदु है जो वृत्त पर स्थित है और कोण $AOP=x$ रेडियन है, अर्थात, चाप $AP=x$ की लंबाई है (चित्र 3.6)।

चित्र 3.6

हम $\cos x = a$ और $\sin x = b$ को परिभाषित करते हैं। क्योंकि $\triangle OMP$ एक समकोण त्रिभुज है, हम लिख सकते हैं $OM^{2} + MP^{2} = OP^{2}$ या $a^{2} + b^{2} = 1$। इस प्रकार, इकाई वृत्त पर किसी भी बिंदु के लिए हमें

$ a^{2}+b^{2}=1 \text{ या } \cos ^{2} x+\sin ^{2} x=1 $

एक पूर्ण चक्र केंद्र पर $2 \pi$ रेडियन का कोण बनाता है,

$\angle AOB=\dfrac{\pi}{2}$, $\angle AOC=\pi$ और $\angle AOD=\dfrac{3 \pi}{2}$. सभी ऐसे कोण जो $\dfrac{\pi}{2}$ के पूर्ण गुणज होते हैं, चतुर्थांशीय कोण कहलाते हैं। बिंदु A, B, C और D के निर्देशांक क्रमशः $(1,0),(0,1),(-1,0)$ और $(0,-1)$ हैं। अतः, चतुर्थांशीय कोण के लिए हम निम्नलिखित प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} & \cos 0^{\circ}=1 \quad \sin 0^{\circ}=0, \\

$$ \begin{aligned} & \cos \dfrac{\pi}{2}=0 \quad \sin \dfrac{\pi}{2}=1 \\ & \cos \pi=-1 \quad \sin \pi=0 \\ & \cos \dfrac{3 \pi}{2}=0 \quad \sin \dfrac{3 \pi}{2}=-1 \\ & \cos 2 \pi=1 \quad \sin 2 \pi=0 \end{aligned} $$

अब, यदि हम बिंदु $P$ से एक पूर्ण चक्र लेते हैं, तो हम फिर से उसी बिंदु $P$ पर वापस आ जाते हैं। इस प्रकार, हम देख सकते हैं कि यदि $x$ कोई भी $2 \pi$ का पूर्णांक गुणज बढ़ जाता है (या घट जाता है), तो साइन और कोसाइन फलन के मान बदल नहीं। इसलिए,

$$ \sin (2 n \pi+x)=\sin x, n \in \mathbf{Z}, \cos (2 n \pi+x)=\cos x, n \in \mathbf{Z} $$

$

इसके अतिरिक्त, $\sin x=0$, यदि $x=0, \pm \pi, \pm 2 \pi, \pm 3 \pi$, …, अर्थात् जब $x$ कोई पूर्णांक गुणा हो तो $\pi$ के होता है और $\cos x=0$, यदि $x= \pm \dfrac{\pi}{2}, \pm \dfrac{3 \pi}{2}, \pm \dfrac{5 \pi}{2}, \ldots$ अर्थात् $\cos x$ जब $x$ कोई विषम गुणा हो तो $\dfrac{\pi}{2}$ के होता है। इसलिए

$ \begin{aligned} & \sin x=0 \text{ अर्थात् } x=n \pi, \text{ जहाँ } n \text{ कोई भी पूर्णांक है } \\ & \cos x=0 \text{ अर्थात् } x=(2 n+1) \dfrac{\pi}{2} \text{, जहाँ } n \text{ कोई भी पूर्णांक है। } \end{aligned} $

$

हम अब अन्य त्रिकोणमितीय फलनों को साइन और कोसाइन फलनों के आधार पर परिभाषित करते हैं:

$\text{cosec} ~x=\dfrac{1}{\sin x}, x \neq n \pi$, जहाँ $n$ कोई भी पूर्णांक है।

$\sec x=\dfrac{1}{\cos x}, x \neq(2 n+1) \dfrac{\pi}{2}$, जहाँ $n$ कोई भी पूर्णांक है।

$\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}, x \neq(2 n+1) \dfrac{\pi}{2}$, जहाँ $n$ कोई भी पूर्णांक है।

$\cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}, x \neq n \pi$, जहाँ $n$ कोई भी पूर्णांक है।

हमने सभी वास्तविक $x$ के लिए $\sin ^{2} x+\cos ^{2} x=1$ को सिद्ध कर दिया है

इससे यह निर्वचित होता है कि

$ \begin{aligned}

& 1+\tan ^{2} x=\sec ^{2} x \qquad \text{(क्यों?)}\\ & 1+\cot ^{2} x=\text{cosec}^{2} x \qquad \text{(क्यों?)} \end{aligned} $

पिछली कक्षाओं में हमने $0^{\circ}$, $30^{\circ}, 45^{\circ}, 60^{\circ}$ और $90^{\circ}$ के लिए त्रिकोणमितीय अनुपातों के मानों के बारे में चर्चा की है। इन कोणों के लिए त्रिकोणमितीय फलनों के मान पिछली कक्षाओं में अध्ययन किए गए त्रिकोणमितीय अनुपातों के समान होते हैं। इसलिए, हमें निम्नलिखित तालिका मिलती है:

$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline & 0^\circ & \dfrac{\pi}{6} & \dfrac{\pi}{4} & \dfrac{\pi}{3} & \dfrac{\pi}{2} & \pi & \dfrac{3\pi}{2} & 2\pi \\

\hline \sin & 0 & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} & 1 & 0 & -1 & 0 \\ \hline \cos & 1 & \dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{2} & 0 & -1 & 0 & 1 \\ \hline \tan & 0 & \dfrac{1}{\sqrt{3}} & 1 & \sqrt{3} & \text{undefined} & 0 & \text{undefined} & 0 \\ \hline \end{array} $

$\text{cosec} ~x, \sec x$ और $\cot x$ के मान क्रमशः $\sin x$, $\cos x$ और $\tan x$ के मान के व्युत्क्रम होते हैं।

3.3.1 त्रिकोणमितीय फलनों के चिन्ह

बिंदु $P(a, b)$ इकाई वृत्त पर स्थित है जिसका केंद्र मूल बिंदु पर है और जिसके लिए $\angle AOP=x$ है। यदि $\angle AOQ=-x$ है, तो बिंदु $Q$ के निर्देशांक $(a,-b)$ होंगे (चित्र 3.7)।

चित्र 3.7

इसलिए $ \qquad \cos (-x)=\cos x $

और $\qquad$ $ \sin (-x)=-\sin x $

क्योंकि प्रत्येक बिंदु $P(a, b)$ इकाई वृत्त पर, $-1 \leq a \leq 1$ और

$-1 \leq b \leq 1$, हमें $-1 \leq \cos x \leq 1$ और $-1 \leq \sin x \leq 1$ सभी $x$ के लिए होता है। हम पिछली कक्षा में सीख चुके हैं कि पहले चतुर्थांश में $(0 < x < \dfrac{\pi}{2})$ $a$ और $b$ दोनों धनात्मक होते हैं, दूसरे चतुर्थांश में $(\dfrac{\pi}{2} < x < \pi)$ $a$ नकारात्मक होता है और $b$ धनात्मक होता है, तीसरे चतुर्थांश में $(\pi < x < \dfrac{3 \pi}{2})$ $a$ और $b$ दोनों नकारात्मक होते हैं और चौथे चतुर्थांश में $(\dfrac{3 \pi}{2} < x < 2 \pi)$ $a$ धनात्मक होता है और $b$ नकारात्मक होता है। इसलिए, $\sin x$ के लिए $0 < x < \pi$ में धनात्मक होता है और $\pi < x < 2 \pi$ में ऋणात्मक होता है। इसी तरह, $\cos x$ के लिए $0 < x < \dfrac{\pi}{2}$ में धनात्मक होता है, $\dfrac{\pi}{2} < x < \dfrac{3 \pi}{2}$ में ऋणात्मक होता है और $\dfrac{3 \pi}{2} < x < 2 \pi$ में भी धनात्मक होता है। इसी तरह, हम अन्य त्रिकोणमितीय फलनों के चतुर्थांशों में चिह्न निर्धारित कर सकते हैं। वास्तव में, हमें निम्नलिखित सारणी मिलती है।

$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline & \text{I} & \text{II} & \text{III} & \text{IV} \\ \hline \sin x & + & + & - & - \\ \hline \cos x & + & - & - & + \\ \hline \tan x & + & - & + & - \\ \hline \csc x & + & + & - & - \\ \hline \sec x & + & - & - & + \\ \hline \cot x & + & - & + & - \\ \hline \end{array} $

3.3.2 त्रिकोणमितीय फलनों के डोमेन और रेंज

साइन और कोसाइन फलनों के परिभाषा से, हम देखते हैं कि ये सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित हैं। इसके अतिरिक्त, हम देखते हैं कि प्रत्येक वास्तविक संख्या $x$ के लिए,

$ -1 \leq \sin x \leq 1 \text{ और }-1 \leq \cos x \leq 1 $

इसलिए, $y=\sin x$ और $y=\cos x$ के डोमेन सभी वास्तविक संख्याओं के समुच्चय है और रेंज अंतराल $[-1,1]$ है, अर्थात $-1 \leq y \leq 1$।

चूंकि $\text{cosec} ~x=\dfrac{1}{\sin x}$, $y=\text{cosec} ~x$ के डोमेन समुच्चय ${x: x \in \mathbf{R}$ और $x \neq n \pi, n \in \mathbf{Z}}$ है और रेंज समुच्चय ${y: y \in \mathbf{R}, y \geq 1$ या $y \leq-1}$ है। इसी तरह, $y=\sec x$ के डोमेन समुच्चय ${x: x \in \mathbf{R}.$ और $.x \neq(2 n+1) \dfrac{\pi}{2}, n \in \mathbf{Z}}$ है और रेंज समुच्चय ${y: y \in \mathbf{R}, y \leq-1$ या $y \geq 1}$ है। $y=\tan x$ के डोमेन समुच्चय ${x: x \in \mathbf{R}$ और $.x \neq(2 n+1) \dfrac{\pi}{2}, n \in \mathbf{Z}}$ है और रेंज सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। $y=\cot x$ के डोमेन समुच्चय ${x: x \in \mathbf{R}$ और $x \neq n \pi, n \in \mathbf{Z}}$ है और रेंज सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है।

हम यह भी देखते हैं कि पहले चतुर्थांश में, जैसे $x$ 0 से $\dfrac{\pi}{2}$ तक बढ़ता है, $\sin x$ 0 से 1 तक बढ़ता है, जैसे $x$ $\dfrac{\pi}{2}$ से $\pi$ तक बढ़ता है, $\sin x$ 1 से 0 तक घटता है। तीसरे चतुर्थांश में, जैसे $x$ $\pi$ से $\dfrac{3 \pi}{2}$ तक बढ़ता है, $\sin x$ 0 से -1 तक घटता है और अंत में, चौथे चतुर्थांश में, जैसे $x$ $\dfrac{3 \pi}{2}$ से $2 \pi$ तक बढ़ता है, $\sin x$ -1 से 0 तक बढ़ता है। इसी तरह, हम अन्य त्रिकोणमितीय फलनों के व्यवहार के बारे में चर्चा कर सकते हैं। वास्तव में, हमें निम्नलिखित तालिका है:

$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline & \text{I चतुर्थांश} & \text{II चतुर्थांश} & \text{III चतुर्थांश} & \text{IV चतुर्थांश} \\ \hline \sin & \text{0 से 1 तक बढ़ता है} & \text{1 से 0 तक घटता है} & \text{0 से -1 तक घटता है} & \text{-1 से 0 तक बढ़ता है} \\ \hline \cos & \text{1 से 0 तक घटता है} & \text{0 से -1 तक घटता है} & \text{-1 से 0 तक बढ़ता है} & \text{0 से 1 तक बढ़ता है} \\ \hline \tan & \text{0 से } \infty \text{ तक बढ़ता है} & \text{-} \infty \text{ से 0 तक बढ़ता है} & \text{0 से } \infty \text{ तक बढ़ता है} & \text{-} \infty \text{ से 0 तक बढ़ता है} \\

\hline \cot & \text{अपेक्षाकृत } \infty \text{ से 0 तक घटता है} & \text{अपेक्षाकृत 0 से } -\infty \text{ तक घटता है} & \text{अपेक्षाकृत } \infty \text{ से 0 तक घटता है} & \text{अपेक्षाकृत 0 से } -\infty \text{ तक घटता है} \\ \hline \sec & \text{अपेक्षाकृत 1 से } \infty \text{ तक बढ़ता है} & \text{अपेक्षाकृत } -\infty \text{ से -1 तक बढ़ता है} & \text{अपेक्षाकृत -1 से } -\infty \text{ तक घटता है} & \text{अपेक्षाकृत } \infty \text{ से 1 तक घटता है} \\ \hline \csc & \text{अपेक्षाकृत } \infty \text{ से 1 तक घटता है} & \text{अपेक्षाकृत 1 से } \infty \text{ तक बढ़ता है} & \text{अपेक्षाकृत } -\infty \text{ से -1 तक बढ़ता है} & \text{अपेक्षाकृत -1 से } -\infty \text{ तक घटता है} \\

\hline \end{array} $

अंक उपरोक्त तालिका में, कथन $\tan x$ 0 से $\infty$ (अपरिमित) बढ़ता है जब $0 < x < \dfrac{\pi}{2}$ केवल यह अर्थ है कि $\tan x$ बढ़ता है जब $x$ बढ़ता है जब $0 < x < \dfrac{\pi}{2}$ और $x$ के $\dfrac{\pi}{2}$ के निकट आने पर $\tan x$ अपरिमित धनात्मक मान धारण करता है। इसी तरह, चौथे चतुर्थांश में $cosec x$ के -1 से $-\infty$ (ऋणात्मक अपरिमित) घटते होने के कथन का अर्थ है कि $x \in(\dfrac{3 \pi}{2}, 2 \pi)$ के लिए $cosec x$ घटता है और $x$ के $2 \pi$ के निकट आने पर $cosec x$ अपरिमित नकारात्मक मान धारण करता है। $\infty$ और $-\infty$ के चिह्न केवल कुछ प्रकार के फलन और चर के व्यवहार को निर्दिष्ट करते हैं।

हमने पहले ही देखा है कि $\sin x$ और $\cos x$ के मान $2 \pi$ के अंतराल के बाद दोहराए जाते हैं। अतः, $cosec x$ और $\sec x$ के मान $2 \pi$ के अंतराल के बाद भी दोहराए जाएंगे।

अगले अनुच्छेद में हम देखेंगे कि $\tan (\pi+x)=\tan x$। अतः, $\tan x$ के मान $\pi$ के अंतराल के बाद दोहराए जाएंगे। क्योंकि $\cot x$ $\tan x$ का व्युत्क्रम होता है, इसलिए इसके मान $\pi$ के अंतराल के बाद भी दोहराए जाएंगे। इस ज्ञान और त्रिकोणमितीय फलनों के व्यवहार का उपयोग करके, हम इन फलनों के ग्राफ को बना सकते हैं। इन फलनों के ग्राफ नीचे दिए गए हैं :

उदाहरण 6 यदि $\cos x=-\dfrac{3}{5}, x$ तृतीय चतुर्थांश में स्थित है, तो अन्य पांच त्रिकोणमितीय फलन के मान ज्ञात कीजिए।

हल चूंकि $\cos x=-\dfrac{3}{5}$, हमें $\sec x=-\dfrac{5}{3}$ प्राप्त होता है

अब $\quad \sin ^{2} x+\cos ^{2} x=1$, अर्थात, $\sin ^{2} x=1-\cos ^{2} x$

या $ \quad \sin ^{2} x=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25} $

इसलिए $\quad \sin x= \pm \dfrac{4}{5}$

चूंकि $x$ तीसरे चतुर्थांश में स्थित है, $\sin x$ नकारात्मक होता है। अतः

$ \sin x=-\dfrac{4}{5} $

जो भी देता है

$ \text{cosec} ~ x=-\dfrac{5}{4} $

इसके अतिरिक्त, हमें यह भी मिलता है

$ \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}=\dfrac{4}{3} \text{ और } \cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}=\dfrac{3}{4} `

$

उदाहरण 7 यदि $\cot x=-\dfrac{5}{12}, x$ द्वितीय चतुर्थांश में स्थित है, तो अन्य पांच त्रिकोणमितीय फलन के मान ज्ञात कीजिए।

हल चूंकि $\cot x=-\dfrac{5}{12}$, हमें $\tan x=-\dfrac{12}{5}$ प्राप्त होता है।

अब $\quad \sec ^{2} x=1+\tan ^{2} x=1+\dfrac{144}{25}=\dfrac{169}{25}$

अतः

$ \sec x= \pm \dfrac{13}{5} $

क्योंकि $x$ द्वितीय चतुर्थांश में स्थित है, इसलिए $\sec x$ ऋणात्मक होगा। अतः

$ \sec x=-\dfrac{13}{5} $

जो भी देता है

$ \cos x=-\dfrac{5}{13} $

इसके अतिरिक्त, हमें

$ \sin x=\tan x \cos x=(-\dfrac{12}{5}) \times(-\dfrac{5}{13})=\dfrac{12}{13} `

$

और $\quad \text{cosec} x=\dfrac{1}{\sin x}=\dfrac{13}{12}$।

उदाहरण 8 $\sin \dfrac{31 \pi}{3}$ का मान ज्ञात कीजिए।

हल हम जानते हैं कि $\sin x$ के मान $2 \pi$ के अंतराल के बाद दोहराते हैं। अतः

$ \sin \dfrac{31 \pi}{3}=\sin (10 \pi+\dfrac{\pi}{3})=\sin \dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \text{। } $

उदाहरण 9 $\cos (-1710^{\circ})$ का मान ज्ञात कीजिए।

हल हम जानते हैं कि $\cos x$ के मान $2 \pi$ या $360^{\circ}$ के अंतराल के बाद दोहराते हैं। अतः,

$\cos (-1710^{\circ})=\cos (-1710^{\circ}+5 \times 360^{\circ})\\ `

=\cos (-1710^{\circ}+1800^{\circ})=\cos 90^{\circ}=0 . $

3.4 दो कोणों के योग और अंतर के त्रिकोणमितीय फलन

इस अनुच्छेद में, हम दो संख्याओं (कोणों) के योग और अंतर के त्रिकोणमितीय फलनों के व्यंजक निहित करेंगे और संबंधित व्यंजकों के बारे में बात करेंगे। इस संबंध में मूल नतीजे त्रिकोणमितीय पहचानों के रूप में जाने जाते हैं। हमने देखा है कि

1. $\sin (-x)=-\sin x$

2. $\cos (-x)=\cos x$

अब हम कुछ अतिरिक्त परिणाम सिद्ध करेंगे:

3. $\cos (x+y)=\cos x \cos y-\sin x \sin y$

मान लीजिए कि मूल बिंदु पर केंद्र वाला एक इकाई वृत्त है। मान लीजिए $x$ कोण $P_4 OP_1$ है और $y$ कोण $P_1 OP_2$ है। तब $(x+y)$ कोण $P_4 OP_2$ है। इसके अतिरिक्त, $(-y)$ कोण $P_4 OP_3$ है। अतः $P_1, P_2, P_3$ और $P_4$ के निर्देशांक $P_1(\cos x, \sin x)$, $P_2[\cos (x+y), \sin (x+y)], P_3[\cos (-y), \sin (-y)]$ और $P_4(1,0)$ होंगे (चित्र 3.14)।

चित्र 3.14

त्रिभुज $P_1 OP_3$ और $P_2 OP_4$ को विचार करें। वे समान हैं (क्यों?)। अतः $P_1 P_3$ और $P_2 P_4$ बराबर हैं।

दूरी सूत्र का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं

$$ \begin{aligned} P_1 P_3^{2} & =[\cos x-\cos (-y)]^{2}+[\sin x-\sin (-y)]^{2}. \\ & =(\cos x-\cos y)^{2}+(\sin x+\sin y)^{2} \\ & =\cos ^{2} x+\cos ^{2} y-2 \cos x \cos y+\sin ^{2} x+\sin ^{2} y+2 \sin x \sin y \\ $$

& =2-2(\cos x \cos y-\sin x \sin y) \quad(\text{ क्यों?) } \end{aligned} $

इसके अतिरिक्त, $\quad P_2 P_4{ }^{2}=[1-\cos (x+y)]^{2}+[0-\sin (x+y)]^{2}$

$ \begin{aligned} & =1-2 \cos (x+y)+\cos ^{2}(x+y)+\sin ^{2}(x+y) \\ & =2-2 \cos (x+y) \end{aligned} $

क्योंकि $P_1 P_3=P_2 P_4$, हमें $P_1 P_3^{2}=P_2 P_4{ }^{2}$ मिलता है।

इसलिए, $2-2(\cos x \cos y-\sin x \sin y)=2-2 \cos (x+y)$।

इसलिए $\cos (x+y)=\cos x \cos y-\sin x \sin y$

4. $\cos (x-y)=\cos x \cos y+\sin x \sin y$

समीकरण 3 में $y$ को $-y$ से बदल देने पर हमें प्राप्त होता है,

$ \begin{aligned} & \cos (x+(-y))=\cos x \cos (-y)-\sin x \sin (-y) \\ & \text{ या } \quad \cos (x-y)=\cos x \cos y+\sin x \sin y \end{aligned} $

5. $\cos (\dfrac{\pi}{2}-x)=\sin x$

यदि हम समीकरण (4) में $x$ को $\dfrac{\pi}{2}$ और $y$ को $x$ से बदल दें, तो हमें प्राप्त होता है

$ \cos (\dfrac{\pi}{3}-x)=\cos \dfrac{\pi}{2} \cos x+\sin \dfrac{\pi}{2} \sin x=\sin x $

6. $\sin (\dfrac{\pi}{2}-x)=\cos x$

समीकरण 5 का उपयोग करते हुए, हमें प्राप्त होता है

$ \sin (\dfrac{\pi}{2}-x)= \cos \left[\dfrac{\pi}{2}-\left (\dfrac{\pi}{2}-x \right)\right]=\cos x $

$

7. $\quad \sin (x+y)=\sin x \cos y+\cos x \sin y$

हम जानते हैं कि

$ \begin{aligned} \sin (x+y) & =\cos \left(\dfrac{\pi}{2}-(x+y)\right)=\cos \left((\dfrac{\pi}{3}-x)-y\right) \\ & =\cos (\dfrac{\pi}{2}-x) \cos y+\sin (\dfrac{\pi}{2}-x) \sin y \\ & =\sin x \cos y+\cos x \sin y \end{aligned} $

8. $\begin{aligned} \quad \sin (x-y) & =\sin x \cos y-\cos x \sin y \end{aligned} $ यदि हम समीकरण 7 में $y$ को $-y$ से बदल दें, तो हमें परिणाम प्राप्त होता है।

9. समीकरण 3, 4, 7 और 8 में $x$ और $y$ के उपयुक्त मान लेकर, हम निम्नलिखित परिणाम प्राप्त करते हैं:

$ \begin{aligned} \cos (\dfrac{\pi}{2}+x)=-\sin x & \sin (\dfrac{\pi}{2}+x)=\cos x \\ \cos (\pi-x)=-\cos x & \sin (\pi-x)=\sin x \end{aligned} $

$ \begin{aligned} \cos (\pi+x)=-\cos x & \sin (\pi+x)=-\sin x \\ \cos (2 \pi-x)=\cos x & \sin (2\pi-x)=-\sin x \end{aligned} $

$\tan x, \cot x, \sec x$ और $cosec x$ के लिए समान परिणाम $\sin x$ और $\cos x$ के परिणाम से प्राप्त किए जा सकते हैं।

10. यदि कोण $x, y$ और $(x+y)$ में से कोई भी कोण $\dfrac{\pi}{2}$ के विषम गुणज नहीं हो, तो

$

$$ \tan (x+y)=\dfrac{\tan x+\tan y}{1-\tan x \tan y} $$

क्योंकि $x, y$ और $(x+y)$ में से कोई भी विषम गुणज $\dfrac{\pi}{2}$ नहीं है, इसलिए $\cos x$, $\cos y$ और $\cos (x+y)$ शून्य नहीं हैं। अब

$$ \tan (x+y)=\dfrac{\sin (x+y)}{\cos (x+y)}=\dfrac{\sin x \cos y+\cos x \sin y}{\cos x \cos y-\sin x \sin y} \text{. } $$

अंश और हर को $\cos x \cos y$ से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है

$$ \begin{aligned} \tan (x+y) & =\dfrac{\dfrac{\sin x \cos y}{\cos x \cos y}+\dfrac{\cos x \sin y}{\cos x \cos y}}{\dfrac{\cos x \cos y}{\cos x \cos y}-\dfrac{\sin x \sin y}{\cos x \cos y}} \\ $$

& =\dfrac{\tan x+\tan y}{1-\tan x \tan y} \end{aligned} $

11. $\tan (x-y)=\dfrac{\tan x-\tan y}{1+\tan x \tan y}$

यदि हम समीकरण 10 में $y$ को $-y$ से बदल दें, तो हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} \tan (x-y) & =\tan [x+(-y)] \\ & =\dfrac{\tan x+\tan (-y)}{1-\tan x \tan (-y)}=\dfrac{\tan x-\tan y}{1+\tan x \tan y} \end{aligned} $

12. यदि कोण $x, y$ और $(x+y)$ में से कोई भी कोण $\pi$ का गुणज नहीं है, तो

$ \cot (x+y)=\dfrac{\cot x \cot y-1}{\cot y+\cot x} $

क्योंकि, $x, y$ और $(x+y)$ में से कोई भी कोण $\pi$ का गुणज नहीं है, हम पाते हैं कि $\sin x$ sin $y$ और $\sin (x+y)$ शून्य नहीं हैं। अब,

$ \cot (x+y)=\dfrac{\cos (x+y)}{\sin (x+y)}=\dfrac{\cos x \cos y-\sin x \sin y}{\sin x \cos y+\cos x \sin y} $

संख्यक और हर को $\sin x \sin y$ से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है

$ \cot (x+y)=\dfrac{\cot x \cot y-1}{\cot y+\cot x} $

13. $\cot (\boldsymbol{{}x}-\boldsymbol{{}y})=\dfrac{\cot \boldsymbol{{}x} \cot \boldsymbol{{}y}+\mathbf{1}}{\cot \boldsymbol{{}y}-\cot \boldsymbol{{}x}}$ यदि कोण $x, y$ और $x-y$ में से कोई भी कोण $\pi$ का गुणज नहीं हो।

यदि हम समीकरण 12 में $y$ को $-y$ से बदल दें, तो हमें परिणाम प्राप्त होता है।

14. $\cos 2 x=\cos ^{2} x-\sin ^{2} x=2 \cos ^{2} x-1=1-2 \sin ^{2} x=\dfrac{1-\tan ^{2} x}{1+\tan ^{2} x}$

हम जानते हैं कि

$ \cos (x+y)=\cos x \cos y-\sin x \sin y $

$y$ को $x$ से बदलकर, हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} \cos 2 x & =\cos ^{2} x-\sin ^{2} x \\ & =\cos ^{2} x-(1-\cos ^{2} x)=2 \cos ^{2} x-1 \end{aligned} $

फिर, $\quad \cos 2 x=\cos ^{2} x-\sin ^{2} x$

$ =1-\sin ^{2} x-\sin ^{2} x=1-2 \sin ^{2} x . $

हम लेते हैं

$ \cos 2 x=\cos ^{2} x-\sin ^{2} x=\dfrac{\cos ^{2} x-\sin ^{2} x}{\cos ^{2} x+\sin ^{2} x} $

$

अंश और हर को $\cos ^{2} x$ से विभाजित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ \cos 2 x=\dfrac{1-\tan ^{2} x}{1+\tan ^{2} x}, x \neq n \pi+\dfrac{\pi}{2} \text{, जहाँ } n \text{ एक पूर्णांक है } $

15. $\sin 2 x=2 \sin x \cos x=\dfrac{2 \tan x}{1+\tan ^{2} x} \quad x \neq n \pi+\dfrac{\pi}{2}$, जहाँ $n$ एक पूर्णांक है

हमारे पास है

$ \sin (x+y)=\sin x \cos y+\cos x \sin y $

$y$ को $x$ से बदल देने पर, हम प्राप्त करते हैं $\sin 2 x=2 \sin x \cos x$।

फिर $ \quad \sin 2 x=\dfrac{2 \sin x \cos x}{\cos ^{2} x+\sin ^{2} x} $

प्रत्येक पद को $\cos ^{2} x$ से विभाजित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ \sin 2 x=\dfrac{2 \tan x}{1+\tan ^{2} x} $

16. $\tan 2 x=\dfrac{2 \tan x}{1-\tan ^{2} x}$ यदि $2 x \neq n \pi+\dfrac{\pi}{2}$, जहाँ $n$ एक पूर्णांक है

हम जानते हैं कि

$ \tan (x+y)=\dfrac{\tan x+\tan y}{1-\tan x \tan y} $

$y$ को $x$ से बदल देने पर, हमें $\tan 2 x=\dfrac{2 \tan x}{1-\tan ^{2} x}$ प्राप्त होता है

17. $\sin 3 x=3 \sin x-4 \sin ^{3} x$

हम जानते हैं कि,

$ \begin{aligned} \sin 3 x & =\sin (2 x+x) \\ & =\sin 2 x \cos x+\cos 2 x \sin x \\ & =2 \sin x \cos x \cos x+(1-2 \sin ^{2} x) \sin x \\ & =2 \sin x(1-\sin ^{2} x)+\sin x-2 \sin ^{3} x \\ $

& =2 \sin x-2 \sin ^{3} x+\sin x-2 \sin ^{3} x \\ & =3 \sin x-4 \sin ^{3} x \end{aligned} $

18. $\cos 3 x=4 \cos ^{3} x-3 \cos x$

हम जानते हैं,

$ \begin{aligned} \cos 3 x & =\cos (2 x+x) \\ & =\cos 2 x \cos x-\sin 2 x \sin x \\ & =(2 \cos ^{2} x-1) \cos x-2 \sin x \cos x \sin x \\ & =(2 \cos ^{2} x-1) \cos x-2 \cos x(1-\cos ^{2} x) \\ & =2 \cos ^{3} x-\cos x-2 \cos x+2 \cos ^{3} x \\ & =4 \cos ^{3} x-3 \cos x . \end{aligned} $

19. $\tan 3 x=\dfrac{3 \tan x-\tan ^{3} x}{1-3 \tan ^{2} x}$ यदि $3 x \neq n \pi+\dfrac{\pi}{2}$, जहाँ $n$ एक पूर्णांक है

हमें $\tan 3 x=\tan (2 x+x)$

$ =\dfrac{\tan 2 x+\tan x}{1-\tan 2 x \tan x}=\dfrac{\dfrac{2 \tan x}{1-\tan ^{2} x}+\tan x}{1-\dfrac{2 \tan x \cdot \tan x}{1-\tan ^{2} x}} $

$ =\dfrac{2 \tan x+\tan x-\tan ^{3} x}{1-\tan ^{2} x-2 \tan ^{2} x}=\dfrac{3 \tan x-\tan ^{3} x}{1-3 \tan ^{2} x} $

20. $ \text{ (i) } \cos x+\cos y=2 \cos \dfrac{x+y}{2} \cos \dfrac{x-y}{2} $

(ii) $\cos x-\cos y=-2 \sin \dfrac{x+y}{2} \sin \dfrac{x-y}{2}$

(iii) $\sin x+\sin y=2 \sin \dfrac{x+y}{2} \cos \dfrac{x-y}{2}$

(iv) $\sin x-\sin y=2 \cos \dfrac{x+y}{2} \sin \dfrac{x-y}{2}$

हम जानते हैं कि

$\cos (x+y)=\cos x \cos y-\sin x \sin y \quad \qquad \qquad \qquad \ldots (1)$

और $\quad \cos (x-y)=\cos x \cos y+\sin x \sin y \qquad \qquad \ldots (2)$

(1) और (2) को जोड़कर और घटाकर, हम प्राप्त करते हैं

$ \cos (x+y)+\cos (x-y)=2 \cos x \cos y \quad \quad \qquad \qquad \ldots (3) $

और $\quad \cos (x+y)-\cos (x-y)=-2 \sin x \sin y \qquad \ldots (4)$

इसके अतिरिक्त $\sin (x+y)=\sin x \cos y+\cos x \sin y \quad \quad \qquad \ldots (5)$

and $\quad \sin (x-y)=\sin x \cos y-\cos x \sin y \quad \quad \qquad \ldots (6)$

(5) और (6) को जोड़कर और घटाकर, हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} & \sin (x+y)+\sin (x-y)=2 \sin x \cos y \quad \quad \quad \qquad \ldots (7) \\ & \sin (x+y)-\sin (x-y)=2 \cos x \sin y \quad \quad \quad \qquad \ldots (8) \end{aligned} $

मान लीजिए $x+y=\theta$ और $x-y=\phi$. इसलिए

$ x=\left(\dfrac{\theta+\phi}{2}\right) \text{ and } y=\left(\dfrac{\theta-\phi}{\ 2}\right) $

(3), (4), (7) और (8) में $x$ और $y$ के मान को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} & \cos \theta+\cos \phi=2 \cos \left(\dfrac{\theta+\phi}{2}\right) \cos \left(\dfrac{\theta-\phi}{2}\right) \\ & \cos \theta-\cos \phi=-2 \sin \left(\dfrac{\theta+\phi}{2}\right) \sin \left(\dfrac{\theta-\phi}{2}\right) \\ & \sin \theta+\sin \phi=2 \sin \left(\dfrac{\theta+\phi}{2}\right) \cos \left(\dfrac{\theta-\phi}{2}\right) \\ & \sin \theta-\sin \phi=2 \cos \left(\dfrac{\theta+\phi}{2}\right) \sin \left(\dfrac{\theta-\phi}{2}\right) \end{aligned} $

क्योंकि $\theta$ और $\phi$ कोई भी वास्तविक मान ले सकते हैं, हम $\theta$ को $x$ और $\phi$ को $y$ से बदल सकते हैं।

इस प्रकार, हमें प्राप्त होता है

$ \begin{aligned} & \cos x+\cos y=2 \cos \dfrac{x+y}{2} \cos \dfrac{x-y}{2} ; \cos x-\cos y=-2 \sin \dfrac{x+y}{2} \sin \dfrac{x-y}{2}, \\ & \sin x+\sin y=2 \sin \dfrac{x+y}{2} \cos \dfrac{x-y}{2} ; \sin x-\sin y=2 \cos \dfrac{x+y}{2} \sin \dfrac{x-y}{2} . \end{aligned} $

टिप्पणी 20 में दिए गए पहचानों के अंतर्गत, हम निम्नलिखित परिणाम सिद्ध कर सकते हैं:

21. (i) $2 \cos x \cos y=\cos (x+y)+\cos (x-y)$

(ii) $-2 \sin x \sin y=\cos (x+y)-\cos (x-y)$

(iii) $2 \sin x \cos y=\sin (x+y)+\sin (x-y)$

(iv) $2 \cos x \sin y=\sin (x+y)-\sin (x-y)$.

उदाहरण 10 सिद्ध कीजिए कि

$ 3 \sin \dfrac{\pi}{6} \sec \dfrac{\pi}{3}-4 \sin \dfrac{5 \pi}{6} \cot \dfrac{\pi}{4}=1 $

हल हमें दिया गया है

$ \begin{aligned} \text{ बाईं ओर } & =3 \sin \dfrac{\pi}{6} \sec \dfrac{\pi}{3}-4 \sin \dfrac{5 \pi}{6} \cot \dfrac{\pi}{4} \\ & =3 \times \dfrac{1}{2} \times 2-4 \sin \left(\pi-\dfrac{\pi}{6}\right) \times 1=3-4 \sin \dfrac{\pi}{6} \\ & =3-4 \times \dfrac{1}{2}=1=\text{ दाईं ओर } \end{aligned} $

उदाहरण 11 $\sin 15^{\circ}$ का मान ज्ञात कीजिए।

हल हमारे पास है

$ \begin{aligned} \sin 15^{\circ} & =\sin (45^{\circ}-30^{\circ}) \\ & =\sin 45^{\circ} \cos 30^{\circ}-\cos 4 ^{\circ} \sin 30^{\circ} \\ & =\dfrac{1}{\sqrt{2}} \times \dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{\sqrt{2}} \times \dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2 \sqrt{2}} . \end{aligned} $

उदाहरण 12 $\tan \dfrac{13 \pi}{12}$ का मान ज्ञात कीजिए।

हल हमारे पास है

$ \begin{aligned} \tan \dfrac{13 \pi}{12} & =\tan \left(\pi+\dfrac{\pi}{12}\right)=\tan \dfrac{\pi}{12}=\tan \left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{6}\right) \\

$$ & =\dfrac{\tan \dfrac{\pi}{4}-\tan \dfrac{\pi}{6}}{1+\tan \dfrac{\pi}{4} \tan \dfrac{\pi}{6}}=\dfrac{1-\dfrac{1}{\sqrt{3}}}{1+\dfrac{1}{\sqrt{3}}}=\dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}=2-\sqrt{3} \end{aligned} $$

उदाहरण 13 सिद्ध करें कि

$$ \dfrac{\sin (x+y)}{\sin (x-y)}=\dfrac{\tan x+\tan y}{\tan x-\tan y} . $$

हल हम जानते हैं कि

$$ \text{ बाईं ओर }=\dfrac{\sin (x+y)}{\sin (x-y)}=\dfrac{\sin x \cos y+\cos x \sin y}{\sin x \cos y-\cos x \sin y} $$

अंश और हर को $\cos x \cos y$ से विभाजित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ \text { बाईं ओर }=\dfrac{\sin (x+y)}{\sin (x-y)}=\dfrac{\tan x+\tan y}{\tan x-\tan y}=\text { दाईं ओर } $

उदाहरण 14 दिखाइए कि

$ \tan ~3x ~\tan ~2x ~\tan ~x=\tan ~3x - ~\tan ~2x - ~\tan ~x $

हल हम जानते हैं कि $3 x=2 x+x$

इसलिए, $\tan 3 x=\tan (2 x+x)$

या $\quad \tan ~3 x=\dfrac{\tan 2 x+\tan x}{1-\tan 2 x \tan x}$

या $ \quad \tan 3 x-\tan ~3 x ~\tan ~2 x ~\tan x=\tan ~2 x+\tan x $

या $ \quad \tan 3 x-\tan 2 x-\tan x=\tan ~3 x ~\tan ~2 x ~\tan x $

या $ \quad \tan ~3 x ~\tan ~2 x ~\tan x=\tan ~3 x-\tan 2 x-\tan x .

$

उदाहरण 15 सिद्ध कीजिए कि

$ \cos \left(\dfrac{\pi}{4}+x \right)+\cos \left(\dfrac{\pi}{4}-x \right)=\sqrt{2} \cos x $

हल पहचान 20(i) का उपयोग करते हुए, हमें प्राप्त होता है

$ \begin{aligned} \text{ बाईं ओर } & =\cos \left(\dfrac{\pi}{4}+x \right)+\cos \left(\dfrac{\pi}{4}-x \right) \\ & =2 \cos \left(\dfrac{\dfrac{\pi}{4}+x+\dfrac{\pi}{4}-x}{2}\right) \cos \left(\dfrac{\dfrac{\pi}{4}+x-(\dfrac{\pi}{4}-x)}{2}\right) \\ & =2 \cos \dfrac{\pi}{4} \cos x=2 \times \dfrac{1}{\sqrt{2}} \cos x=\sqrt{2} \cos x=\text{ दाईं ओर }

\end{aligned} $

उदाहरण 16 सिद्ध कीजिए कि $\dfrac{\cos 7 x+\cos 5 x}{\sin 7 x-\sin 5 x}=\cot x$

हल सूत्र 20 (i) और 20 (iv) का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

$ \text{ बायां हाथ के ओर }=\dfrac{2 \cos \dfrac{7 x+5 x}{2} \cos \dfrac{7 x-5 x}{2}}{2 \cos \dfrac{7 x+5 x}{2} \sin \dfrac{7 x-5 x}{2}}=\dfrac{\cos x}{\sin x}=\cot x=\text{ दायां हाथ के ओर } $

उदाहरण 17 सिद्ध कीजिए कि $=\dfrac{\sin 5 x-2 \sin 3 x+\sin x}{\cos 5 x-\cos x}=\tan x$

हल हम निम्नलिखित प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} \text{ बायां हाथ के ओर } & =\dfrac{\sin 5 x-2 \sin 3 x+\sin x}{\cos 5 x-\cos x}=\dfrac{\sin 5 x+\sin x-2 \sin 3 x}{\cos 5 x-\cos x} \\

$$ \begin{aligned} & =\dfrac{2 \sin 3 x \cos 2 x-2 \sin 3 x}{-2 \sin 3 x \sin 2 x}=-\dfrac{\sin 3 x(\cos 2 x-1)}{\sin 3 x \sin 2 x} \\ & =\dfrac{1-\cos 2 x}{\sin 2 x}=\dfrac{2 \sin ^{2} x}{2 \sin x \cos x}=\tan x=\text{ R.H.S. } \end{aligned} $$

विविध उदाहरण

उदाहरण 18 यदि $\sin x=\dfrac{3}{5}, \cos y=-\dfrac{12}{13}$, जहाँ $x$ और $y$ दोनों दूसरे चतुर्थांश में हैं, तो $\sin (x+y)$ का मान ज्ञात कीजिए।

हल हम जानते हैं कि

$ \begin{aligned} & \sin (x+y)=\sin x \cos y+\cos x \sin y \quad \quad \quad \quad \ldots (1) \\ \text{अब} \qquad & \cos ^{2} x=1-\sin ^{2} x=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25} \end{aligned} $

इसलिए $\quad \cos x= \pm \dfrac{4}{5}$।

क्योंकि $x$ द्वितीय चतुर्थांश में है, $\cos x$ नकारात्मक होता है।

अतः $\quad \cos x=-\dfrac{4}{5}$

अब $\quad \sin ^{2} y=1-\cos ^{2} y=1-\dfrac{144}{169}=\dfrac{25}{169}$

अर्थात $\quad \sin y= \pm \dfrac{5}{13}$।

क्योंकि $y$ द्वितीय चतुर्थांश में है, इसलिए $\sin y$ धनात्मक होता है। अतः $\sin y=\dfrac{5}{13}$। (1) में $\sin x, \sin y, \cos x$ और $\cos y$ के मान को बदलकर, हम प्राप्त करते हैं

$ \sin (x+y)=\dfrac{3}{5} \times \left(-\dfrac{12}{13}\right)+\left(-\dfrac{4}{5}\right) \times \dfrac{5}{13}=-\dfrac{36}{65}-\dfrac{20}{65}=-\dfrac{56}{65} $

उदाहरण 19 सिद्ध कीजिए कि

$ \cos 2 x \cos \dfrac{x}{2}-\cos 3 x \cos \dfrac{9 x}{2}=\sin 5 x \sin \dfrac{5 x}{2} $

हल हमें दिया गया है

L.H.S. $=\dfrac{1}{2}\left[2 \cos 2 x \cos \dfrac{x}{2}-2 \cos \dfrac{9 x}{2} \cos 3 x \right]$

$ \begin{aligned} =\dfrac{1}{2} \left[\cos \left(2 x+\dfrac{x}{2}\right)+\cos \left(2 x-\dfrac{x}{2}\right)-\cos \left(\dfrac{9 x}{2}+3 x \right)-\cos \left(\dfrac{9 x}{2}-3 x\right) \right]

$ \begin{aligned} =\dfrac{1}{2}\left[\cos \dfrac{5 x}{2}+\cos \dfrac{3 x}{2}-\cos \dfrac{15 x}{2}-\cos \dfrac{3 x}{2}\right]=\dfrac{1}{2}\left[\cos \dfrac{5 x}{2}-\cos \dfrac{15 x}{2}\right] \end{aligned} $

$ \begin{aligned} =\dfrac{1}{2} \left[-2 \sin \left {\dfrac{\dfrac{5 x}{2}+\dfrac{15 x}{2}}{2}\right } \sin \left{\dfrac{\dfrac{5 x}{2}-\dfrac{15 x}{2}}{2}\right } \right] \\ =-\sin 5 x \sin \left(-\dfrac{5 x}{2}\right)=\sin 5 x ~\sin \dfrac{5 x}{2}=\text{ R.H.S. } \end{aligned} $

$

उदाहरण 20 $\tan \dfrac{\pi}{8}$ का मान ज्ञात कीजिए।

हल मान लीजिए $x=\dfrac{\pi}{8}$. तब $2 x=\dfrac{\pi}{4}$.

अब $\quad \tan 2 x=\dfrac{2 \tan x}{1-\tan ^{2} x}$

या $ \qquad \tan \dfrac{\pi}{4}=\dfrac{2 \tan \dfrac{\pi}{8}}{1-\tan ^{2} \dfrac{\pi}{8}} $

मान लीजिए $y=\tan \dfrac{\pi}{8}$. तब $1=\dfrac{2 y}{1-y^{2}}$

या $\quad y^{2}+2 y-1=0$

अतः $ \qquad y=\dfrac{-2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}=-1 \pm \sqrt{2} $

क्योंकि $\dfrac{\pi}{8}$ पहले चतुर्थांश में स्थित है, $y=\tan \dfrac{\pi}{8}$ धनात्मक है। अतः

$ \tan \dfrac{\pi}{8}=\sqrt{2}-1 $

उदाहरण 21 यदि $\tan x=\dfrac{3}{4}, \pi < x < \dfrac{3 \pi}{2}$, तो $\sin \dfrac{x}{2}, \cos \dfrac{x}{2}$ और $\tan \dfrac{x}{2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

हल चूंकि $\pi < x < \dfrac{3 \pi}{2}, \cos x$ नकारात्मक है।

इसके अतिरिक्त $ \qquad \dfrac{\pi}{2}< \dfrac{x}{2} < \dfrac{3 \pi}{4} $

इसलिए, $\sin \dfrac{x}{2}$ धनात्मक है और $\cos \dfrac{x}{2}$ नकारात्मक है।

अब $ \qquad \sec ^{2} x=1+\tan ^{2} x=1+\dfrac{9}{16}=\dfrac{25}{16} $

इसलिए $ \qquad \cos ^{2} x=\dfrac{16}{25} \quad \text{ या } \cos x=-\dfrac{4}{5} \quad \text{ (क्यों?) }

$

अब $ \qquad 2 \sin ^{2} \dfrac{x}{2}=1-\cos x=1+\dfrac{4}{5}=\dfrac{9}{5} \text{. } $

इसलिए $ \qquad \sin ^{2} \dfrac{x}{2}=\dfrac{9}{10} $

या $ \qquad \sin \dfrac{x}{2}=\dfrac{3}{\sqrt{10}} \quad \text{ (क्यों?) } $

फिर $ \qquad 2 \cos ^{2} \dfrac{x}{2}=1+\cos x=1-\dfrac{4}{5}=\dfrac{1}{5} $

इसलिए $\quad \cos ^{2} \dfrac{x}{2}=\dfrac{1}{10}$

या $ \qquad \cos \dfrac{x}{2}=-\dfrac{1}{\sqrt{10}}(\text{ क्यों? }) $

इसलिए $\qquad \tan \dfrac{x}{2}=\dfrac{\sin \dfrac{x}{2}}{\cos \dfrac{x}{2}}=\dfrac{3}{\sqrt{10}} \times \left(\dfrac{-\sqrt{10}}{1}\right)=-3$.

उदाहरण 22 सिद्ध कीजिए कि $\cos ^{2} x+\cos ^{2}\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)+\cos ^{2}\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{3}{2}$।

हल हमें दिया गया है

$ \begin{aligned} \text{ बाईं ओर } & =\dfrac{1+\cos 2 x}{2}+\dfrac{1+\cos \left(2 x+\dfrac{2 \pi}{3}\right)}{2}+\dfrac{1+\cos \left(2 x-\dfrac{2 \pi}{3}\right)}{2} . \\ & =\dfrac{1}{2}\left[3+\cos 2 x+\cos \left(2 x+\dfrac{2 \pi}{3}\right)+\cos \left(2 x-\dfrac{2 \pi}{3}\right)\right] \\ & =\dfrac{1}{2}\left[3+\cos 2 x+2 \cos 2 x \cos \dfrac{2 \pi}{3}\right] \\ $

$$ \begin{aligned} & =\dfrac{1}{2}\left[3+\cos 2 x+2 \cos 2 x \cos \left(\pi-\dfrac{\pi}{3}\right)\right] \\ & =\dfrac{1}{2}\left[3+\cos 2 x-2 \cos 2 x \cos \dfrac{\pi}{3}\right] \\ & =\dfrac{1}{2}\left[3+\cos 2 x-\cos 2 x\right]=\dfrac{3}{2}=\text{ R.H.S. } \end{aligned} $$

सारांश

• यदि एक वृत्त के त्रिज्या $r$ हो, तथा एक चाप की लंबाई $l$ वृत्त के केंद्र पर $\theta$ रेडियन का कोण बनाती हो, तो $l=r \theta$

• कोण का रेडियन माप $=\dfrac{\pi}{180} \times$ डिग्री माप

• डिग्री माप $=\dfrac{180}{\pi} \times$ रेडियन माप

• $\cos ^{2} x+\sin ^{2} x=1$

• $1+\tan ^{2} x=\sec ^{2} x$

• $1+\cot ^{2} x=cosec^{2} x$

• $ \cos (2 n \pi+x)=\cos x$

• $ \sin (2 n \pi+x)=\sin x$

• $ \sin (-x)=-\sin x$

• $ \cos (-x)=\cos x$

• $ \cos (x+y)=\cos x \cos y-\sin x \sin y$

• $\cos (x-y)=\cos x \cos y+\sin x \sin y$

• $\cos (\dfrac{\pi}{2}-x)=\sin x$

• $\sin (\dfrac{\pi}{2}-x)=\cos x$

• $ \sin (x+y)=\sin x \cos y+\cos x \sin y$

• $ \sin (x-y)=\sin x \cos y-\cos x \sin y$

• $ \cos \left(\dfrac{\pi}{2}+x \right)=-\sin x$ $\qquad$ $ \sin \left((\dfrac{\pi}{2}+x \right)=\cos x$

$\qquad$ $\cos (\pi-x)=-\cos x$ $\qquad$ $ \sin (\pi-x)=\sin x$

$\qquad$ $\cos (\pi+x)=-\cos x$ $\qquad$ $\sin (\pi+x)=-\sin x$

$\qquad$ $\cos (2 \pi-x)=\cos x$ $\qquad$ $ \sin (2 \pi-x)=-\sin x$

• यदि कोण $x, y$ और $(x \pm y)$ में से कोई भी विषम गुणज $\dfrac{\pi}{2}$ नहीं हो, तो

$\qquad$ $\tan (x+y)=\dfrac{\tan x+\tan y}{1-\tan x \tan y}$

• $\tan (x-y)=\dfrac{\tan x-\tan y}{1+\tan x \tan y}$

• यदि कोण $x, y$ और $(x \pm y)$ में से कोई भी कोण $\pi$ का गुणज नहीं है, तो

$\qquad$ $ \cot (x+y)=\dfrac{\cot x \cot y-1}{\cot y+\cot x}$

• $\cot (x-y)=\dfrac{\cot x \cot y+1}{\cot y-\cot x}$

• $ \cos 2 x=\cos ^{2} x-\sin ^{2} x=2 \cos ^{2} x-1=1-2 \sin ^{2} x=\dfrac{1-\tan ^{2} x}{1+\tan ^{2} x}$

• $ \sin 2 x=2 \sin x \cos x=\dfrac{2 \tan x}{1+\tan ^{2} x}$

• $ \tan 2 x=\dfrac{2 \tan x}{1-\tan ^{2} x}$

• $ \sin 3 x=3 \sin x-4 \sin ^{3} x$

• $ \cos 3 x=4 \cos ^{3} x-3 \cos x$

• $ \tan 3 x=\dfrac{3 \tan x-\tan ^{3} x}{1-3 \tan ^{2} x}$

• (i) $\cos x+\cos y=2 \cos \dfrac{x+y}{2} \cos \dfrac{x-y}{2}$

$\qquad$ (ii) $\cos x-\cos y=-2 \sin \dfrac{x+y}{2} \sin \dfrac{x-y}{2}$

$\qquad$ (iii) $\sin x+\sin y=2 \sin \dfrac{x+y}{2} \cos \dfrac{x-y}{2}$

$\qquad$ (iv) $\sin x-\sin y=2 \cos \dfrac{x+y}{2} \sin \dfrac{x-y}{2}$

• (i) $2 \cos x \cos y=\cos (x+y)+\cos (x-y)$

$\qquad$ (ii) $-2 \sin x \sin y=\cos (x+y)-\cos (x-y)$

$\qquad$ (iii) $2 \sin x \cos y=\sin (x+y)+\sin (x-y)$

$\qquad$ (iv) $2 \cos x \sin y=\sin (x+y)-\sin (x-y)$.

ऐतिहासिक टिप्पणी

त्रिकोणमिति के अध्ययन को पहले भारत में शुरू किया गया था। प्राचीन भारतीय गणितज्ञ, आर्यभट्ट (476), ब्रह्मगुप्त (598), भास्कर एक (600) और भास्कर द्वितीय (1114) ने महत्वपूर्ण परिणाम प्राप्त किए। इस सभी ज्ञान को पहले भारत से मध्य पूर्व और फिर यूरोप तक जाने लगा। ग्रीक लोग भी त्रिकोणमिति के अध्ययन को शुरू कर चुके थे, लेकिन उनके अनुपात बहुत असंगत थे जिसके कारण जब भारतीय अनुपात के बारे में जानकारी मिली, तो इसे दुनिया भर में तुरंत अपनाया गया।

भारत में, आधुनिक त्रिकोणमितीय फलनों के पूर्वज, जिन्हें कोण के साइन के रूप में जाना जाता है, और साइन फलन के परिचय का प्रमुख योगदान सिद्धांत (संस्कृत खगोल विज्ञान के कार्य) के इतिहास के लिए है।

भास्कर एक (लगभग 600) ने $90^{\circ}$ से अधिक कोणों के साइन फलन के मान खोजने के लिए सूत्र दिए। सोलहवीं शताब्दी के मलयालम कार्य युक्तिभाषा (अवधि) में $\sin (A+B)$ के विस्तार के लिए एक साबित दिया गया है। भास्कर द्वितीय ने $18^{\circ}, 36^{\circ}, 54^{\circ}, 72^{\circ}$, आदि के साइन या कोसाइन के सटीक व्यंजक दिए हैं।

The symbols $\sin ^{-1} x, \cos ^{-1} x$, etc., for arc $\sin x$, arc $\cos x$, etc., were suggested by the astronomer Sir John F.W. Hersehel (1813) The names of Thales (about 600 B.C.) is invariably associated with height and distance problems. He is credited with the determination of the height of a great pyramid in Egypt by measuring shadows of the pyramid and an auxiliary staff (or gnomon) of known height, and comparing the ratios:

$ \dfrac{H}{S}=\dfrac{h}{s}=\tan (\text{ sun’s altitude })

$

थेल्स के अतिरिक्त, उन्हें समान त्रिभुजों की भुजाओं के समानुपात के माध्यम से समुद्र में जहाज की दूरी की गणना भी कहा जाता है। समानता गुणधर्म का उपयोग करके ऊंचाई और दूरी से संबंधित समस्याएं अतीत के भारतीय कार्यों में भी पाई जाती हैं।