गणित एक शास्त्र है जिसमें एक ही तरह के बयान कई अलग-अलग तरीकों से कहे जाते हैं। - मैक्सवेल

5.1 परिचय

पिछली कक्षाओं में हमने एक चर और दो चर वाले समीकरणों के अध्ययन किया है और कुछ कथन प्रश्नों को समीकरण के रूप में अनुवाद करके हल किया है। अब एक प्राकृतिक प्रश्न उठता है: ‘क्या हमें हमेशा एक कथन प्रश्न को समीकरण के रूप में अनुवाद करना संभव है? उदाहरण के लिए, आपकी कक्षा में सभी छात्रों की ऊँचाई $160 ~cm$ से कम है। आपकी कक्षा में अधिकतम 60 मेज या कुर्सियाँ या दोनों हो सकती हैं। यहाँ हमें कुछ कथन मिलते हैं जिनमें ’ $<$ ’ (कम से कम) के चिह्न, ‘>’ (अधिक से अधिक), ’ $\leq$ ’ (कम से कम या बराबर) और $\geq$ (अधिक से अधिक या बराबर) के चिह्न शामिल होते हैं जो असमिकाएँ कहलाते हैं।

इस अध्याय में, हम एक और दो चरों में रैखिक असमानताओं के अध्ययन करेंगे। असमानताओं के अध्ययन का अधिकांश विज्ञान, गणित, सांख्यिकी, अर्थशास्त्र, मनोविज्ञान आदि क्षेत्रों में समस्याओं के हल करने में बहुत उपयोग होता है।

5.2 असमानताएँ

निम्नलिखित स्थितियों को ध्यान में रखें:

(i) रावि बाजार जाते हुए ₹ 200 ले जाते हैं चावल खरीदने के लिए, जो $1 किलो$ के पैकेट में उपलब्ध है। एक पैकेट चावल की कीमत ₹ 30 है। यदि $x$ चावल के पैकेटों की संख्या को दर्शाता है, जो वह खरीदता है, तो उसके द्वारा खर्च की गई कुल राशि ₹ $30 x$ होती है। क्योंकि वह केवल पैकेट में चावल खरीद सकता है, इसलिए वह ₹ 200 की पूरी राशि खर्च नहीं कर सकता है। (क्यों?) अतः

$ 30 x < 200 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1) $

स्पष्ट रूप से कथन (i) एक समीकरण नहीं है क्योंकि इसमें समानता का चिह्न शामिल नहीं है। (ii) रेश्मा के पास ₹ 120 है और वह कुछ पुस्तकें और कलम खरीदना चाहती है। एक पुस्तक की कीमत ₹ 40 है और एक कलम की कीमत ₹ 20 है। इस स्थिति में, यदि $x$ पुस्तकों की संख्या को और $y$, रेश्मा द्वारा खरीदी गई कलमों की संख्या को दर्शाता है, तो उसके द्वारा खर्च की गई कुल राशि ₹ $(40 x+20 y)$ होगी और हमारे पास है

$ 40 x+20 y \leq 120 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (2)

$

इस मामले में कुल खर्च की गई राशि ₹ 120 तक हो सकती है। ध्यान दें कि कथन (2) में दो कथन हैं

$ \text{ और } \quad \begin{aligned} & 40 x+20 y<120 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (3) \\ & 40 x+20 y=120 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (4) \end{aligned} $

कथन (3) एक समीकरण नहीं है, अर्थात यह एक असमिका है जबकि कथन (4) एक समीकरण है।

परिभाषा 1 दो वास्तविक संख्याओं या दो बीजगणितीय व्यंजकों के बीच ’ $<$’, ‘>’, ’ $\leq$ ’ या ’ $\geq$ ’ चिह्न द्वारा संबंध बनाने से एक असमिका बनती है।

ऊपर के (1), (2) और (3) जैसे कथन असमानताएँ हैं।

$3<5 ; 7>5$ संख्यात्मक असमानताओं के उदाहरण हैं जबकि

$x < 5 ; y>2 ; x \geq 3, y \leq 4$ वर्णमाला असमानताओं के कुछ उदाहरण हैं।

$3 < 5 < 7$ (5 बराबर 3 से बड़ा और 7 से छोटा है), $3 \leq x < 5$ (x बराबर या 3 से बड़ा है और 5 से छोटा है) और $2 < y \leq 4$ द्विअसमानताओं के उदाहरण हैं। कुछ अधिक असमानताओं के उदाहरण नीचे दिए गए हैं:

$ \begin{aligned} & a x+b < 0 \hspace{5.1cm} \text{(5)}\ `

& a x+b > 0 \hspace{5.1cm} \text{(6)}\\ & a x+b \leq 0 \hspace{5.1cm} \text{(7)}\\ & a x+b \geq 0 \hspace{5.1cm} \text{(8)}\\ & a x+b y < c \hspace{5cm} \text{(9)}\\ & a x+b y > c \hspace{5cm} \text{(10)}\\ & a x+b y \leq c \hspace{5cm} \text{(11)}\\ & a x+b y \geq c \hspace{5cm} \text{(12)}\\ & a x^{2}+b x+c \leq 0 \hspace{4.1cm} \text{(13)}\\ & a x^{2}+b x+c > 0 \hspace{4.1cm} \text{(14)} \end{aligned} $

(5), (6), (9), (10) और (14) ऐसे असमानताएँ हैं जो सख्त असमानताएँ हैं, जबकि (7), (8), (11), (12) और (13) ऐसे असमानताएँ हैं जो कमजोर असमानताएँ हैं। (5) से (8) के असमानताएँ एक चर $x$ के लिए रैखिक असमानताएँ हैं जब $a \neq 0$ हो, जबकि (9) से (12) के असमानताएँ दो चर $x$ और $y$ के लिए रैखिक असमानताएँ हैं जब $a \neq 0, b \neq 0$ हो। (13) और (14) रैखिक नहीं हैं (इसके बजाय, ये एक चर $x$ के लिए द्विघात असमानताएँ हैं जब $a \neq 0)$।

इस अध्याय में हम एक और दो चर वाले रैखिक असमिकाओं के अध्ययन के लिए सीमित रहेंगे।

5.3 एक चर वाली रैखिक असमिकाओं के बीजगणितीय समाधान और उनका आलेखीय प्रतिनिधित्व

हम अनुच्छेद 6.2 में दी गई असमिका (1), अर्थात $30 x < 200$ का अध्ययन करें। ध्यान दें कि यहाँ $x$ चावल के पैकेटों की संख्या को दर्शाता है।
स्पष्ट रूप से, $x$ एक नकारात्मक पूर्णांक या भिन्न नहीं हो सकता। इस असमिका के बायां पक्ष (L.H.S.) $30 x$ है और दायां पक्ष (RHS) 200 है। अतः हमें प्राप्त होता है

$ \begin{aligned} & \text{ जब } x=0 \text{, बाईं ओर }=30(0)=0<200(\text{ दाईं ओर }) \text{, जो सही है। } \\ & \text{ जब } x=1 \text{, बाईं ओर }=30(1)=30<200 \text{ (दाईं ओर), जो सही है। } \\ & \text{ जब } x=2 \text{, बाईं ओर }=30(2)=60<200 \text{, जो सही है। } \\ & \text{ जब } x=3 \text{, बाईं ओर }=30(3)=90<200 \text{, जो सही है। } \\ & \text{ जब } x=4 \text{, बाईं ओर }=30(4)=120<200 \text{, जो सही है। } \\ & \text{ जब } x=5 \text{, बाईं ओर }=30(5)=150<200 \text{, जो सही है। } \\

& \text{ जब } x=6 \text{, बाईं ओर का मान }=30(6)=180<200 \text{, जो सत्य है। } \\ & \text{ जब } x=7 \text{, बाईं ओर का मान }=30(7)=210<200 \text{, जो असत्य है। } \end{aligned} $

ऊपर की स्थिति में, हम देखते हैं कि उन मानों के लिए, जो ऊपर के असमिका को सत्य कथन बनाते हैं, $x$ के मान $0,1,2,3,4,5,6$ हैं। इन मानों के लिए, जो ऊपर के असमिका को सत्य कथन बनाते हैं, इन्हें असमिका के हल कहते हैं और समुच्चय ${0,1,2,3,4,5,6}$ इसका हल समुच्चय कहलाता है।

इसलिए, एक चर वाली असमिका के कोई भी हल एक चर के मान होते हैं जो इसे एक सत्य कथन बनाते हैं।

हमने ऊपर दिए गए असमिका के समाधान के लिए प्रयास और त्रुटि विधि का उपयोग किया है जो बहुत कम कुशल विधि है। स्पष्ट रूप से, यह विधि समय लेती है और कभी-कभी असंभव हो सकती है। हमें असमिका के समाधान के लिए कुछ बेहतर या प्रणालित तकनीकों की आवश्यकता होती है। इससे पहले कि हम असमिका के समाधान के लिए ऐसी तकनीकें बनाएं, हमें नंबरिक असमिकाओं के कुछ अतिरिक्त गुणों के बारे में जानना चाहिए और असमिका के समाधान के दौरान इन गुणों को नियम के रूप में अपनाना चाहिए।

आप याद करेंगे कि रैखिक समीकरणों के समाधान के दौरान हमने निम्नलिखित नियमों का पालन किया:

नियम 1 समीकरण के दोनों ओर बराबर संख्या जोड़ी जा सकती है (या घटाई जा सकती है)।

नियम 2 समीकरण के दोनों ओर किसी भी गैर-शून्य संख्या से गुणा (या भाग) किया जा सकता है।

असमानता को हल करते समय, हम फिर से इसी नियम का पालन करते हैं, लेकिन एक अंतर के साथ: जब हम असमानता के दोनों ओर एक नकारात्मक संख्या से गुणा (या भाग) करते हैं, तो असमानता के चिह्न को उलट देना पड़ता है (अर्थात, ‘<’ को ‘>’ में बदल देते हैं, $\leq$ को $\geq$ में बदल देते हैं आदि)। यह तथ्यों से स्पष्ट है कि

$$ \begin{aligned} & 3>2 \text{ जबकि }-3<-2 \\ & -8<-7 \text{ जबकि }(-8)(-2)>(-7)(3), \text{ अर्थात } 16>14 . $$

\end{aligned} $

इसलिए, हम एक असमिका को हल करने के लिए निम्नलिखित नियम बता सकते हैं:

नियम 1 असमिका के दोनों ओर समान संख्या जोड़ी जा सकती है (या घटाई जा सकती है) बिना असमिका के चिह्न के प्रभाव के।

नियम 2 असमिका के दोनों ओर एक ही धनात्मक संख्या से गुणा (या विभाजन) किया जा सकता है। लेकिन जब दोनों ओर एक ही नकारात्मक संख्या से गुणा (या विभाजन) किया जाता है, तो असमिका के चिह्न के विपरीत हो जाता है।

अब, हम कुछ उदाहरणों को ध्यान में रखते हुए देखें।

उदाहरण 1 $30 x < 2 जब

(i) $x$ एक प्राकृतिक संख्या है, $\qquad$ (ii) $x$ एक पूर्णांक है।

हल हमें $30 x < 200$ दिया गया है

या $\quad \dfrac{30 x}{30}<\dfrac{200}{30}$ (नियम 2), अर्थात $x < 20 / 3$।

(i) जब $x$ एक प्राकृतिक संख्या है, इस स्थिति में निम्नलिखित $x$ के मान बयान के सत्य होते हैं।

$ x=1,2,3,4,5,6 $

असमिका के समाधान समुच्चय ${1,2,3,4,5,6}$ है।

(ii) जब $x$ एक पूर्णांक है, तो दी गई असमिका के समाधान निम्नलिखित हैं

$ \ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6 $

असमिका के समाधान समुच्चय $ { \ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6 } $ है।

उदाहरण 2 $5 x-3<3 x+1$ को हल करें जब

(i) $x$ एक पूर्णांक है, $\qquad$ (ii) $x$ एक वास्तविक संख्या है।

हल हमें, $5 x-3<3 x+1$ दिया है

या $\quad \quad$ $5 x-3+3<3 x+1+3$ $\quad \quad \quad$ (नियम 1)

या $\quad \quad$ $5 x < 3 x+4$

या $\quad \quad$ $5 x-3 x < 3 x+4-3 x$ $\quad \quad \quad \quad$ (नियम 2)

या $\quad \quad$ $2 x < 4$

या $\quad \quad$ $x < 2$ $\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad$ (नियम 3)

(i) जब $x$ एक पूर्णांक है, तो दिए गए असमिका के समाधान हैं

$ \ldots,-4,-3,-2,-1,0,1 $

(ii) जब $x$ एक वास्तविक संख्या हो, तो असमिका के हल $x < 2$ होते हैं, अर्थात् सभी वास्तविक संख्याएँ $x$ जो 2 से कम हों। अतः असमिका के हल समुच्चय $x \in(-\infty, 2)$ होता है।

हमने असमिकाओं के हलों को प्राकृत संख्याओं के समुच्चय, पूर्णांकों के समुच्चय और वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में विचार किया है। अब आगे अनुच्छेद में असमिकाओं के हल वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में हल किए जाएँगे, अतिरिक्त बताए बिना।

उदाहरण 3 $4 x+3<6 x+7$ को हल कीजिए।

हल हमें, $\quad 4 x+3<6 x+7$

या $\quad 4 x-6 x < 6 x+4-6 x$

या $\quad-2 x < 4 \quad$ या $x>-2$

अर्थात, सभी वास्तविक संख्याएँ जो -2 से बड़ी हैं, दी गई असमिका के हल हैं। अतः, हल समुच्चय $(-2, \infty)$ है।

उदाहरण 4 $\dfrac{5-2 x}{3} \leq \dfrac{x}{6}-5$ को हल कीजिए।

हल हमें

$\quad \quad \quad \quad$ $\dfrac{5-2 x}{3} \leq \dfrac{x}{6}-5$

या $\quad \quad \quad \quad$ $2(5-2 x) \leq x-30 \text {. }$

या $\quad \quad \quad \quad$ $10-4 x \leq x-30$

or $\quad \quad \quad \quad$ $-5 x \leq-40 \text {, i.e., } x \geq 8$

अतः, सभी वास्तविक संख्याएँ $x$ जो 8 या उससे अधिक हों, दी गई असमिका के हल हैं, अर्थात, $x \in[8, \infty)$.

उदाहरण 5 $7 x+3<5 x+9$ को हल कीजिए। हल के ग्राफ को संख्या रेखा पर दिखाइए।

हल हमें $7 x+3<5 x+9$ मिलता है या $2 x < 6$ या $x < 3$

हल के ग्राफ को चित्र 5.1 में दिखाया गया है।

चित्र 5.1

उदाहरण 6 $\dfrac{3 x-4}{2} \geq \dfrac{x+1}{4}-1$ को हल करें। संख्या रेखा पर हल के आलोक में आरेख बनाएं।

हल हमारे पास है

$ \dfrac{3 x-4}{2}\geq\dfrac{x+1}{4}-1$

$ \text{या} \quad \dfrac{3 x-4}{2} \geq \dfrac{x-3}{4} $

$ \text{या} \quad 2(3 x-4) \geq(x-3) $

या $\quad \quad \quad \quad$ $6 x-8 \geq x-3$

या $\quad \quad \quad \quad$ $5 x \geq 5$

या $\quad \quad \quad \quad$ $x \geq 1$

हल के आलोक में आरेख चित्र 5.2 में दिया गया है।

चित्र 5.2

उदाहरण 7 कक्षा XI के एक छात्र द्वारा पहले और दूसरे टर्मिनल परीक्षा में प्राप्त अंक क्रमशः 62 और 48 हैं। उसे वार्षिक परीक्षा में कम से कम कितने अंक प्राप्त करने होंगे ताकि औसत अंक कम से कम 60 हो जाए?

हल मान लीजिए $x$ छात्र द्वारा वार्षिक परीक्षा में प्राप्त अंक हैं। तो

$ \dfrac{62+48+x}{3} \geq 60 $

या $\quad \quad \quad \quad 110+x \geq 180$

या $\quad \quad \quad \quad$ $x \geq 70$

इस प्रकार, छात्र को औसत अंक कम से कम 60 होने के लिए वार्षिक परीक्षा में कम से कम 70 अंक प्राप्त करने होंगे।

उदाहरण 8 10 से बड़े दो क्रमागत विषम प्राकृतिक संख्याएँ ज्ञात कीजिए, जिनका योग 40 से कम हो।

हल मान लीजिए $x$ दो क्रमागत विषम प्राकृतिक संख्याओं में से छोटी संख्या है, तो दूसरी संख्या $x+2$ होगी। तब, हमें निम्नलिखित होना चाहिए:

$ \begin{aligned} x > 10 \qquad \text{…..(1)} \end{aligned} $

$ \begin{aligned} \text{ और } x > 10 \qquad \text{…..(2)} \end{aligned} $

(2) को हल करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$ \begin{aligned} 2 x+2 < 40 \end{aligned} $

अर्थात, $x < 19 \qquad \text{…..(3)}$

(1) और (3) से, हम प्राप्त करते हैं

$ 10 < x < 19 $

क्योंकि $x$ एक विषम संख्या है, $x$ के मान 11, 13, 15 और 17 हो सकते हैं। इसलिए, आवश्यक संभावित युग्म $(11,13),(13,15),(15,17),(17,19)$ होंगे

अलग-अलग उदाहरण

उदाहरण 9 $-8 \leq 5 x-3<7$ को हल कीजिए।

हल इस मामले में, हमें दो असमानताएँ, $-8 \leq 5 x-3$ और $5 x-3<7$ हैं, जिन्हें हम एक साथ हल करेंगे। हमें $-8 \leq 5 x-3<7$ मिलता है

or $\quad-5 \leq 5 x < 10 \qquad$ $ \text{ or } \quad-1 \leq x < 2 $

उदाहरण 10 $-5 \leq \dfrac{5-3 x}{2} \leq 8$ को हल करें।

हल हमें $\quad-5 \leq \dfrac{5-3 x}{2} \leq 8$ मिलता है

या $\quad-10 \leq 5-3 x \leq 16 \quad$ या $\quad-15 \leq-3 x \leq 11$

या $\quad 5 \geq x \geq-\dfrac{11}{3}$

जो $\dfrac{-11}{3} \leq x \leq 5$ के रूप में लिखा जा सकता है

उदाहरण 11 असमिकाओं के तंत्र को हल करें:

$ \begin{aligned} & 3 x-7<5+x \quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(1) \\ & 11-5 x \leq 1 \quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(2)

\end{aligned} $

और संख्या रेखा पर हल को प्रस्तुत करें।

हल असमिका (1) से, हमें प्राप्त होता है

$ 3 x - 7 < 5 + x $

या $ \quad x < 6 \quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(3)$

साथ ही, असमिका (2) से, हमें प्राप्त होता है

$ 11-5 x \leq 1 $

या $ \quad - 5 x \leq-10 \quad \text{ अर्थात } x \geq 2 \quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(4)$

अगर हम असमिकाओं (3) और (4) के ग्राफ को संख्या रेखा पर खींचते हैं, तो हम देखते हैं कि दोनों के सामान्य मान $x$ को चित्र 5.3 में बोल्ड रेखा द्वारा दर्शाया गया है।

चित्र 5.3

इस प्रकार, समीकरण प्रणाली के हल वास्तविक संख्याएँ $x$ हैं जो 2 और 6 के बीच हैं, अर्थात, $2 \leq x < 6$

उदाहरण 12 एक प्रयोग में, हाइड्रोक्लोरिक अम्ल के एक विलयन को $30^{\circ}$ और $35^{\circ}$ सेल्सियस के बीच बनाए रखना है। डिग्री फ़ेहरेनहाइट में तापमान की श्रेणी क्या होगी, यदि परिवर्तन सूत्र $C=\dfrac{5}{9} \quad(F-32)$ द्वारा दिया गया है, जहाँ $C$ और $F$ क्रमशः डिग्री सेल्सियस और डिग्री फ़ेहरेनहाइट में तापमान को प्रस्तुत करते हैं।

हल यह दिया गया है कि $30 < C < 35$।

दिए गए $ C=\dfrac{5}{9}(F-32), \text{ हम प्राप्त करते हैं } $ $ 30<\dfrac{5}{3}(F-32)<35 $

या $\quad\quad\quad$ $ \dfrac{9}{5} \times(30) < (F-32) < \dfrac{9}{5} \times(35) $

$ \begin{matrix} \text{ या } & 54 < (F-32) < 63 \\ \text{ या } & 86 < F < 95 . \end{matrix} $

इस प्रकार, तापमान की आवश्यक श्रेणी $86^{\circ} F$ और $95^{\circ} F$ के बीच है।

उदाहरण 13 एक निर्माता के पास 600 लीटर के एक $12%$ अम्ल के घोल के बराबर है। इसमें कितने लीटर के $30%$ अम्ल के घोल को मिलाया जाए ताकि परिणामी मिश्रण में अम्ल की मात्रा $15%$ से अधिक लेकिन $18%$ से कम हो जाए?

हल मान लीजिए $x$ लीटर $30 %$ अम्ल के घोल को मिलाना होगा। तब कुल मिश्रण $=(x+600)$ लीटर होगा

$\begin{array}{ll} \text { इसलिए } & 30 % x+12 % \text { के } 600 \text { का } > 15 % \text { के } (x+600) \ \text { और } & 30 % x+12 % \text { के } 600 <18 % \text { के } (x+600) \end{array}$

$ \begin{array}{ll} \text{या} & \dfrac{30 x}{100}+\dfrac{12}{100}(600) > \dfrac{15}{100}(x+600) \\ \\ \text{और} & \dfrac{30 x}{100}+\dfrac{12}{100}(600) < \dfrac{18}{100}(x+600) \\ \\ \text{या}& 30 x+7200 > 15 x+9000 \\

\text{and} & 30 x+7200 < 18 x+10800 \\ \text{or} & 15 x>1800 \text{ and } 12 x < 3600 \\ \text{or} & x>120 \text{ and } x < 300, \\ \text{i.e.} & 120 < x < 300 \end{array} $

अतः, अम्ल के $30 %$ समाधान के लीटर की संख्या 120 लीटर से अधिक होगी लेकिन 300 लीटर से कम होगी।

सारांश

• दो वास्तविक संख्याओं या दो बीजगणितीय व्यंजकों के बीच $<,>, \leq$ या $\geq$ चिह्नों द्वारा संबंध बनाने से असमिका बनती है।

• एक समीकरण के दोनों ओर समान संख्याएँ जोड़ी जा सकती हैं (या घटाई जा सकती हैं)।

• एक असमिका के दोनों ओर एक ही धनात्मक संख्या से गुणा (या विभाजन) किया जा सकता है। लेकिन जब दोनों ओर एक ही नकारात्मक संख्या से गुणा (या विभाजन) किया जाता है, तो असमिका उलट जाती है।

• वे $x$ के मान जो एक असमिका को सत्य बयान बनाते हैं, असमिका के हल कहलाते हैं।

• एक संख्या रेखा पर $x < a$ (या $x > a$) को प्रस्तुत करने के लिए, संख्या $a$ पर एक चकती बनाएं और संख्या $a$ के बाईं ओर (या दाईं ओर) एक गहरा रेखा खींचें।

• संख्या रेखा पर $x \leq a$ (या $x \geq a$) को प्रस्तुत करने के लिए, संख्या $a$ पर एक काला वृत्त बनाएं और संख्या $x$ के बाईं (या दाईं) ओर के रेखा को काला करें।