प्रत्येक खोज के बॉडी गणितीय रूप में होती है क्योंकि हमें कोई अन्य दिशा नहीं होती - डार्विन

6.1 परिचय

मान लीजिए आपके पास एक टूक बॉक्स है जिसका नंबर लॉक है। नंबर लॉक में 4 व्हील होते हैं जिनमें से प्रत्येक 0 से 9 तक के 10 अंक लेबल किए गए होते हैं। लॉक को खोलने के लिए 4 विशिष्ट अंकों को एक विशिष्ट क्रम में व्यवस्थित करना होता है जिसमें दोहराव नहीं होता। कहीं-कहीं, आप इस विशिष्ट अंक क्रम को भूल गए हैं। आपको केवल पहला अंक जो 7 है याद है। लॉक खोलने के लिए, आपको 3-अंक के कितने क्रम की जांच करनी पड़ सकती है? इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, आप तुरंत सभी संभावित व्यवस्थाओं की सूची बना सकते हैं जिनमें 9 शेष अंकों में से 3 अंक लिए गए होते हैं। लेकिन, इस विधि काफी बोरिंग हो सकती है, क्योंकि संभावित क्रमों की संख्या बहुत बड़ी हो सकती है। यहां, इस अध्याय में, हम कुछ मूल गणना तकनीकें सीखेंगे जो

जैकब बर्नूली (1654-1705)

हमें वास्तव में 3 अंकों के व्यवस्थाओं के सूचीबद्ध करने के बिना इस प्रश्न का उत्तर देने में सक्षम करेंगे। वास्तव में, ये तकनीकें वस्तुओं के व्यवस्थाक्रम और चयन के विभिन्न तरीकों की संख्या निर्धारित करने में उपयोगी होंगी बिना उन्हें वास्तव में सूचीबद्ध किए बिना। एक पहले कदम के रूप में, हम एक सिद्धांत की जांच करेंगे जो इन तकनीकों के अध्ययन के लिए सबसे मूलभूत है।

6.2 गणना के मूल सिद्धांत

हम निम्नलिखित समस्या को विचार करें। मोहन के 3 जीन्स और 2 शर्ट हैं। वह एक जीन्स और एक शर्ट के कितने अलग-अलग जोड़े के साथ अपने आपको ढ़ला सकता है? एक जीन्स का चयन 3 तरीकों से किया जा सकता है, क्योंकि 3 जीन्स उपलब्ध हैं। इसी तरह, एक शर्ट का चयन 2 तरीकों से किया जा सकता है। प्रत्येक जीन्स के चयन के लिए एक शर्ट के 2 चयन होते हैं। इसलिए, एक जीन्स और एक शर्ट के 3 × 2 = 6 जोड़े होते हैं।

हम तीन जीन्स को $P_1, P_2, P_3$ और दो शर्ट को $S_1, S_2$ के नाम दे सकते हैं। तब, इन छह संभावनाओं को चित्र 6.1 में दर्शाया गया है।

चित्र 6.1

आइए हम एक ऐसी ही प्रकार की समस्या के बारे में सोचें।

सबनम के 2 विद्यालय के बैग, 3 टिफिन बॉक्स और 2 पानी के बोतल हैं। उन्हें इन वस्तुओं को कितने तरीकों से ले जाया जा सकता है (प्रत्येक के एक चुनकर)।

एक विद्यालय के बैग को 2 अलग-अलग तरीकों से चुना जा सकता है। एक विद्यालय के बैग के चुने जाने के बाद, एक टिफिन बॉक्स को 3 अलग-अलग तरीकों से चुना जा सकता है। इसलिए, विद्यालय के बैग और टिफिन बॉक्स के 2 × 3 = 6 जोड़े होते हैं। इन जोड़ों में से प्रत्येक के लिए, एक पानी के बोतल को 2 अलग-अलग तरीकों से चुना जा सकता है।

इसलिए, सबनम इन वस्तुओं को स्कूल ले जाने के $6 \times 2=12$ अलग-अलग तरीके हैं। यदि हम 2 स्कूल बैग को $B_1, B_2$, तीन टिफिन बॉक्स को $T_1, T_2, T_3$ और दो पानी के बोतल को $W_1, W_2$ कहें, तो इन संभावनाओं को आकृति 6.2 में दर्शाया जा सकता है।

आकृति 6.2

वास्तव में, ऊपर बताए गए प्रकार की समस्याओं को हल करने के लिए निम्नलिखित सिद्धांत के अनुप्रयोग से किया जाता है, जिसे गणना के मूल सिद्धांत, या सरलता से गुणन सिद्धांत कहा जाता है, जो कहता है कि

“यदि एक घटना $m$ अलग-अलग तरीकों से हो सकती है, जिसके बाद एक अन्य घटना $n$ अलग-अलग तरीकों से हो सकती है, तो दिए गए क्रम में घटनाओं के कुल घटनाओं की संख्या $m \times n$ होती है।”

उपरोक्त सिद्धांत को किसी भी समाप्त घटनाओं की संख्या के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, 3 घटनाओं के लिए सिद्धांत इस प्रकार है:

‘यदि एक घटना $m$ अलग-अलग तरीकों से हो सकती है, जिसके बाद एक अन्य घटना $n$ अलग-अलग तरीकों से हो सकती है, जिसके बाद एक तीसरी घटना $p$ अलग-अलग तरीकों से हो सकती है, तो दिए गए क्रम में घटनाओं के कुल घटनाओं की संख्या $m \times n \times p$ होती है।’

पहली समस्या में, पैंट और शर्ट पहनने के आवश्यक तरीकों की संख्या निम्नलिखित घटनाओं के क्रमानुसार घटनाओं के विभिन्न तरीकों की संख्या थी:

(i) पैंट का चयन करने की घटना

(ii) शर्ट का चयन करने की घटना।

दूसरी समस्या में, आवश्यक तरीकों की संख्या निम्नलिखित घटनाओं के क्रमानुसार घटनाओं के विभिन्न तरीकों की संख्या थी:

(i) स्कूल बैग का चयन करने की घटना

(ii) टिफिन बॉक्स का चयन करने की घटना

(iii) पानी के बोतल का चयन करने की घटना।

यहाँ, दोनों मामलों में, प्रत्येक समस्या में घटनाएँ विभिन्न संभावित क्रम में हो सकती हैं। लेकिन, हमें किसी एक संभावित क्रम का चयन करना होगा और इस चुने गए क्रम में घटनाओं के घटित होने के विभिन्न तरीकों की संख्या गिननी होगी।

उदाहरण 1 शब्द ROSE के अक्षरों से, बिना दोहराएँ, 4 अक्षर वाले शब्दों की संख्या ज्ञात कीजिए।

हल 4 खाली स्थान $\square \square \square \square$ को 4 अक्षरों द्वारा भरने के तरीकों की संख्या ऐतनी ही होगी जितनी कि शब्दों की संख्या है, जहाँ दोहराव की अनुमति नहीं है। पहला स्थान 4 अक्षरों में से किसी एक अक्षर द्वारा 4 तरीकों से भरा जा सकता है। इसके बाद, दूसरा स्थान बचे हुए 3 अक्षरों में से किसी एक अक्षर द्वारा 3 तरीकों से भरा जा सकता है। इसके बाद, तीसरा स्थान 2 तरीकों से भरा जा सकता है और चौथा स्थान 1 तरीके से भरा जा सकता है। इस प्रकार, गुणन सिद्धांत के अनुसार, 4 खाली स्थानों को भरने के तरीकों की संख्या $4 \times 3 \times 2 \times 1=24$ है। अतः, आवश्यक शब्दों की संख्या 24 है।

नोट - अगर अक्षरों की दोहराव की अनुमति होती, तो कितने शब्द बनाए जा सकते हैं? एक आसानी से समझा जा सकता है कि प्रत्येक चार खाली स्थान को क्रमागत रूप से 4 अलग-अलग तरीकों से भरा जा सकता है। इसलिए, आवश्यक शब्दों की संख्या $=4 \times 4 \times 4 \times 4=256$ होगी।

उदाहरण 2 4 अलग-अलग रंग के झंडों के दिए गए अगर एक संकेत के लिए 2 झंडों की आवश्यकता होती है, जो एक दूसरे के नीचे होते हैं, तो कितने अलग-अलग संकेत बनाए जा सकते हैं?

हल इतने संकेत होंगे जितने तरीकों से 4 अलग-अलग रंग के झंडों द्वारा 2 खाली स्थान $\begin{array}{|l|} \hline \quad \ \hline \ \hline \end{array}$ क्रमागत रूप से भरे जा सकते हैं। ऊपर के खाली स्थान को 4 अलग-अलग तरीकों से 4 झंडों में से किसी एक द्वारा भरा जा सकता है; इसके बाद, नीचे के खाली स्थान को बचे हुए 3 अलग-अलग झंडों में से किसी एक द्वारा 3 अलग-अलग तरीकों से भरा जा सकता है। इसलिए, गुणन प्रमेय के अनुसार, आवश्यक संकेतों की संख्या $=4 \times 3=12$ होगी।

उदाहरण 3 $1,2,3,4,5$ अंकों से कितनी 2 अंकीय सम संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, यदि अंक दोहराए जा सकें?

हल 2 खाली स्थान $\square \square$ को दिए गए 5 अंकों द्वारा क्रमानुसार भरने के तरीकों की संख्या इतनी ही होगी जितनी 2 अंकीय सम संख्याओं की संख्या होगी। इस मामले में, हम इकाई के स्थान को भरना शुरू करते हैं, क्योंकि इस स्थान के लिए विकल्प केवल 2 और 4 हैं और इसे 2 तरीकों से किया जा सकता है; इसके बाद, दहाई के स्थान को 5 अलग-अलग तरीकों से भरा जा सकता है क्योंकि अंक दोहराए जा सकते हैं। अतः, गुणन प्रमेय के अनुसार, आवश्यक 2 अंकीय सम संख्याओं की संख्या $2 \times 5$, अर्थात् 10 है।

उदाहरण 4 एक ऊर्ध्वाधर झंडा खंड पर कम से कम 2 झंडा एक दूसरे के नीचे लगाकर बनाए जा सकने वाले विभिन्न संकेतों की संख्या ज्ञात कीजिए, यदि 5 अलग-अलग झंडा उपलब्ध हैं।

हल एक संकेत 2 झंडा, 3 झंडा, 4 झंडा या 5 झंडा से बना सकता है। अब, हम 2 झंडा वाले संकेतों, 3 झंडा वाले संकेतों, 4 झंडा वाले संकेतों और 5 झंडा वाले संकेतों की संख्या के अलग-अलग तरीकों की गणना करेंगे और फिर उनकी संख्या को जोड़ देंगे।

2 झंडा वाले संकेतों की संख्या उतनी होगी जितने तरीकों से 5 उपलब्ध झंडा द्वारा $\begin{array}{|l|} \hline \quad \ \hline \ \hline \end{array}$ में 2 खाली स्थान लगाए जा सकते हैं। गुणन नियम के अनुसार, तरीकों की संख्या $5 \times 4=20$ होगी।

उतने ही 3 झंग चिह्न होंगे जितने तरीके होंगे 5 झंगों द्वारा $\begin{array}{|l|} \hline \quad \ \hline \ \hline \ \hline \end{array}$ के 3 खाली स्थानों को क्रमानुसार भरे जाने के।

तरीकों की संख्या $5 \times 4 \times 3=60$ है।

इसी तरह जारी रखते हुए, हम ज्ञात करते हैं कि

4 झंग चिह्न की संख्या $=5 \times 4 \times 3 \times 2=120$

और 5 झंग चिह्न की संख्या $=5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1=120$

इसलिए, आवश्यक संकेतों की संख्या $=20+60+120+120=320$ है।

6.3 क्रम

पिछले अनुच्छेद के उदाहरण 1 में, हम वास्तव में अक्षरों के विभिन्न संभावित व्यवस्थाओं की गणना कर रहे हैं, जैसे कि ROSE, REOS, … आदि। यहाँ, इस सूची में प्रत्येक व्यवस्था अन्य से भिन्न है। अन्य शब्दों में, अक्षरों के लेखन के क्रम महत्वपूर्ण है। प्रत्येक व्यवस्था को 4 अलग-अलग अक्षरों के सभी अक्षरों के साथ लिए गए क्रम कहा जाता है। अब, यदि हमें शब्द NUMBER के अक्षरों से बनाए गए 3-अक्षर शब्दों की संख्या ज्ञात करनी हो, जो अर्थ रहित हो सकते हैं, और जहाँ अक्षरों की दोहराना अनुमत नहीं है, तो हमें व्यवस्थाओं NUM, NMU, MUN, NUB, … आदि की गणना करनी होगी। यहाँ, हम अक्षरों के 6 अलग-अलग अक्षरों के 3 अक्षरों के साथ लिए गए क्रम की गणना कर रहे हैं। आवश्यक शब्दों की संख्या $=6 \times 5 \times 4=120$ (गुणन के सिद्धांत का उपयोग करके)।

अगर अक्षरों की दोहराई जाने दी जाए, तो आवश्यक शब्दों की संख्या $6 \times 6 \times 6=216$ होती।

परिभाषा 1 एक परमुत्व एक निश्चित क्रम में कुछ या सभी वस्तुओं की व्यवस्था होती है।

निम्नलिखित उपविभाग में, हम इन प्रश्नों के उत्तर तुरंत देने के लिए आवश्यक सूत्र प्राप्त करेंगे।

6.3.1 सभी वस्तुएँ अलग-अलग होने पर परमुत्व

प्रमेय 1 $n$ अलग-अलग वस्तुओं के $r$ वस्तुओं के परमुत्व की संख्या, जहाँ $0 < r \leq n$ और वस्तुएँ दोहराई नहीं जाती है, $n(n-1)(n-2) \ldots(n-r+1)$ होती है, जिसे ${ }^{n} P_r$ से दर्शाया जाता है।

प्रमाण $r$ खाली स्थानों $ \underset{\leftarrow r \text{ खाली स्थान} \rightarrow}{\Large{\square \square \square \cdots }} \Large{\square}$ को $n$ वस्तुओं द्वारा भरने के तरीकों की संख्या उतनी ही होगी जितने तरीके होंगे जिनसे खाली स्थान भरे जा सकें। पहला स्थान $n$ तरीकों से भरा जा सकता है; इसके बाद, दूसरा स्थान $(n-1)$ तरीकों से भरा जा सकता है, इसके बाद तीसरा स्थान $(n-2)$ तर भरा जा सकता है,…, $r$ वां स्थान $(n-(r-1))$ तरीकों से भरा जा सकता है। अतः, क्रमागत रूप से $r$ खाली स्थान भरने के तरीकों की संख्या $n(n-1)(n-2) \ldots(n-(r-1))$ या $n(n-1)(n-2) \ldots(n-r+1)$ होती है।

इस व्यंजक ${ }^{n} P$ के लिए अधिक जटिल है और हमें एक नोटेशन की आवश्यकता है जो इस व्यंजक के आकार को कम करने में सहायता करे। $n$! (फैक्टोरियल $n$ या $n$ फैक्टोरियल के रूप में पढ़ा जाता है) हमारी मदद करता है। निम्नलिखित पाठ में हम जानेंगे कि $n$! का वास्तविक अर्थ क्या है।

6.3.2 फैक्टोरियल नोटेशन

$ n $! के नोटेशन का अर्थ पहले $ n $ प्राकृतिक संख्याओं के गुणनफल को दर्शाता है, अर्थात, गुणन $ 1 \times 2 \times 3 \times \ldots \times (n-1) \times n $ को $ n $! के रूप में लिखा जाता है। हम इस संकेत को ’ $ n $ फैक्टोरियल’ के रूप में पढ़ते हैं। इस प्रकार, $ 1 \times 2 \times 3 \times 4 \ldots \times (n-1) \times n = n $!

$ \begin{aligned} & 1=1 ! \\ & 1 \times 2=2 ! \\ & 1 \times 2 \times 3=3 ! \\ & 1 \times 2 \times 3 \times 4=4 \text{ ! और इस प्रकार आदि। } \end{aligned} $

हम $0 !=1$ को परिभाषित करते हैं

हम $5 !=5 \times 4 !=5 \times 4 \times 3 !=5 \times 4 \times 3 \times 2$ ! लिख सकते हैं

$ \qquad \qquad \qquad =5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \text{ ! } $

स्पष्ट रूप से, किसी प्राकृतिक संख्या $n$ के लिए

$ \begin{array}{rlrl} n ! & =n(n-1) ! & \\ & =n(n-1)(n-2) ! & & \text { [ यदि } n \geq 2] \\ & =n(n-1)(n-2)(n-3) ! & & \text { [ यदि } n \geq 3]

\end{array} $

और इसी तरह।

उदाहरण 5 मूल्यांकन करें

(i) 5 !

(ii) 7 !

(iii) $7 !-5$ !

हल

(i) $5 !=1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5=120$

(ii) 7 ! $=1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7=5040$

और

(iii) $7 !-5 !=5040-120=4920$.

उदाहरण 6 गणना करें

(i) $\dfrac{7 !}{5 !}$

(ii) $\dfrac{12 !}{(10 !)(2 !)}$

हल

(i) हम जानते हैं $\dfrac{7 !}{5 !}=\dfrac{7 \times 6 \times 5 !}{5 !}=7 \times 6=42$

और

(ii) $\dfrac{12 !}{(10 !)(2 !)}=\dfrac{12 \times 11 \times(10 !)}{(10 !) \times(2)}=6 \times 11=66$.

उदाहरण 7 $\dfrac{n !}{r !(n-r) !}$ का मूल्यांकन करें, जब $n=5, r=2$।

हल हमें $\dfrac{5 !}{2 !(5-2) !}$ (क्योंकि $n=5, r=2$) का मूल्यांकन करना है।

हम जानते हैं कि $\quad \dfrac{5 !}{2 !(5-2) !}=\dfrac{5 !}{2 ! \times 3 !}=\dfrac{5 \times 4}{2}=10$

उदाहरण 8 यदि $\dfrac{1}{8 !}+\dfrac{1}{9 !}=\dfrac{x}{10 !}$, तो $x$ ज्ञात करें।

हल हमें $\dfrac{1}{8 !}+\dfrac{1}{9 \times 8 !}=\dfrac{x}{10 \times 9 \times 8 !}$ दिया गया है।

इसलिए $1+\dfrac{1}{9}=\dfrac{x}{10 \times 9}$ या $\dfrac{10}{9}=\dfrac{x}{10 \times 9}$

So $ \ x=100 . $

6.3.3 ${ }^{n} P_r$ के सूत्र का व्युत्पन्न

$ { }^{n} P_r=\dfrac{n !}{(n-r) !}, 0 \leq r \leq n $

अब हम वह चरण पर वापस जाएंगे जहां हमने निम्नलिखित सूत्र की गणना की थी:

$ { }^{n} P_r=n(n-1)(n-2) \ldots(n-r+1) $

अंश और हर को $(n-r)(n-r-1) \ldots 3 \times 2 \times 1$ से गुणा करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ { }^{n} P_r=\dfrac{n(n-1)(n-2) \ldots(n-r+1)(n-r)(n-r-1) \ldots 3 \times 2 \times 1}{(n-r)(n-r-1) \ldots 3 \times 2 \times 1}=\dfrac{n !}{(n-r) !}, $

अतः $\quad \quad \quad$ $ { }^{n} P_r=\dfrac{n !}{(n-r) !} \text{, जहाँ } 0 < r \leq n $

यह ${ }^{n} P_r$ के लिए एक बहुत ही सुविधाजनक व्यंजक है, जो पिछले व्यंजक की तुलना में बहुत अधिक उपयोगी है।

विशेष रूप से, जब $r=n$ हो, तो ${ }^{n} P_n=\dfrac{n !}{0 !}=n$ !

क्रमपरिवर्तन की गणना केवल कुछ या सभी वस्तुओं के एक साथ व्यवस्था के तरीकों की संख्या की गणना है। कोई भी वस्तु न लेना बाकी सभी वस्तुओं को छोड़ देना बराबर है और हम जानते हैं कि इस तरह करने के केवल एक तरीका होता है। अतः, हम लिख सकते हैं:

$ { }^{n} P_0=1=\dfrac{n !}{n !}=\dfrac{n !}{(n-0) !} \quad \quad \quad \quad \quad\quad\quad \ldots(1) $

इसलिए, सूत्र (1) $r=0$ के लिए भी लागू होता है।

इसलिए $\quad \quad \quad$ $ { }^{n} P_r=\dfrac{n !}{(n-r) !}, 0 \leq r \leq n. $

प्रमेय 2 $n$ अलग-अलग वस्तुओं के $r$ बार लेने के व्यवस्थाओं की संख्या, जहां पुनरावृत्ति की अनुमति हो, $n^{r}$ होती है।

उपपत्ति प्रमेय 1 की उपपत्ति के बहुत समान है और पाठक के द्वारा स्वयं खोजने के लिए छोड़ दी गई है।

यहां, हम पिछले अनुच्छेद के कुछ समस्याओं को ${ }^{n} P_r$ के सूत्र का उपयोग करके हल कर रहे हैं ताकि इसके उपयोग की उपयोगिता को दिखाया जा सके।

In Example 1 , the required number of words $={ }^{4} P_4=4 !=24$. Here repetition is not allowed. If repetition is allowed, the required number of words would be $4^{4}=256$.

The number of 3-letter words which can be formed by the letters of the word NUMBER $={ }^{6} P_3=\dfrac{6 !}{3 !}=4 \times 5 \times 6=120$. Here, in this case also, the repetition is not allowed. If the repetition is allowed, the required number of words would be $6^{3}=216$.

The number of ways in which a Chairman and a Vice-Chairman can be chosen from amongst a group of 12 persons assuming that one person can not hold more than one position, clearly

$ { }^{12} P_2=\dfrac{12 !}{10 !}=11 \times 12 = 132 $.

6.3.4 जब सभी वस्तुएँ अलग-अलग न हों

मान लीजिए हमें शब्द “ROOT” के अक्षरों को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या ज्ञात करनी हो। इस मामले में, शब्द के अक्षर सभी अलग-अलग नहीं हैं। यहाँ 2 “O” हैं, जो एक ही प्रकार के हैं। चंद्रमा आवश्यकता के लिए, हम तात्कालिक रूप से इन 2 “O” को अलग-अलग मान लें, जैसे कि $O_1$ और $O_2$। इस मामले में, 4 अलग-अलग अक्षरों के सभी अक्षरों के साथ व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या 4 ! होगी। मान लीजिए इन व्यवस्थाओं में से एक है, जैसे $RO_1 O_2 T$। इस व्यवस्था के संगत, हमें 2 ! व्यवस्थाएँ $RO_1 O_2 T$ और $RO_2 O_1 T$ होंगी, जो यदि $O_1$ और $O_2$ को अलग-अलग नहीं माना जाए, अर्थात यदि $O_1$ और $O_2$ दोनों स्थानों पर एक ही “O” हों, तो ठीक एक ही व्यवस्था होंगी।

इसलिए, आवश्यक संयोजनों की संख्या $=\dfrac{4 !}{2 !}=3 \times 4=12$।

$O_1, O_2$ अलग-अलग होने पर संयोजन। $\qquad$ $O_1, O_2$ समान $O$ होने पर संयोजन।

$\left.\begin{array}{l} \mathrm{RO}_1 \mathrm{O}_2 \mathrm{T} \\ \mathrm{RO}_2 \mathrm{O}_1 \mathrm{T}\end{array}\right] \hspace{3cm} \longrightarrow{\hspace{3cm}} \mathrm{ROOT}$

$\left.\begin{array}{l} \mathrm{RO}_1 \mathrm{O}_2 \mathrm{T} \\ \mathrm{RO}_2 \mathrm{O}_1 \mathrm{T}\end{array}\right] \hspace{3cm} \longrightarrow{\hspace{3cm}} \mathrm{ROOT}$

$\left.\begin{array}{l} \mathrm{RO}_1 \mathrm{T} \mathrm{O}_2 \\ \mathrm{RO}_2 \mathrm{T} \mathrm{O}_1\end{array}\right] \hspace{3cm} \longrightarrow{\hspace{3cm}} \mathrm{ROTO}$

$\left.\begin{array}{l} \mathrm{T} \mathrm{O}_1 \mathrm{RO}_2 \\ \mathrm{TO}_2 \mathrm{R} \mathrm{O}_1\end{array}\right] \hspace{3cm} \longrightarrow{\hs

$\left.\begin{array}{l} \mathrm{TRO}_1 \mathrm{O}_2 \\ \mathrm{TRO}_2 \mathrm{O}_1\end{array}\right] \hspace{3cm} \longrightarrow{\hspace{3cm}} \mathrm{TROO}$

$\left.\begin{array}{l} \mathrm{O}_1 \mathrm{O}_2 \mathrm{RT} \\ \mathrm{O}_2 \mathrm{O}_1 \text { TR }\end{array}\right] \hspace{3cm} \longrightarrow{\hspace{3cm}} \mathrm{OORT}$

$\left.\begin{array}{c} \mathrm{O}_1 \mathrm{RO}_2 \mathrm{~T} \\ \mathrm{O}_2 \mathrm{RO}_1 \mathrm{~T}\end{array}\right] \hspace{3cm} \longrightarrow{\hs

$\left.\begin{array}{c} \mathrm{O}_1 \mathrm{TO}_2 \mathrm{R} \\ \mathrm{O}_2 \mathrm{TO}_1 \mathrm{R}\end{array}\right] \hspace{3cm} \longrightarrow{\hspace{3cm}} \mathrm{OTOR}$

$\left.\begin{array}{lll} \mathrm{O}_1 \mathrm{R} \mathrm{TO}_2 \\ \mathrm{O}_2 \mathrm{R} \mathrm{T} \mathrm{O}_1\end{array}\right] \hspace{3cm} \longrightarrow{\hspace{3cm}} \mathrm{ORTO}$

$\left.\begin{array}{c} \mathrm{O}_1 \mathrm{TR}_2 \mathrm{O}_2 \\ \mathrm{O}_2 \mathrm{TRO}_1\end{array}\right] \hspace{3cm} \longrightarrow{\hspace{3cm}} \mathrm{OTRO}$

$\left.\begin{array}{c} \mathrm{O}_1 \mathrm{O}_2 \text { TR } \\ \mathrm{O}_2 \mathrm{O}_1 \text { TR }\end{array}\right] \hspace{3cm} \longrightarrow{\hspace{3cm}} \mathrm{OOTR}$

अब हम शब्द INSTITUTE के अक्षरों को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या ज्ञात करें। इस मामले में 9 अक्षर हैं, जिनमें I दो बार आता है और $T$ तीन बार आता है।

संकल्पनात्मक रूप से, हम इन अक्षरों को अलग-अलग मान लें और उन्हें $I_1, I_2, T_1, T_2, T_3$ के रूप में नाम दें। इस मामले में, 9 अलग-अलग अक्षरों के सभी अक्षरों के साथ व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या 9 ! होती है। एक ऐसी व्यवस्था लें, जैसे $I_1 NT_1 SI_2 T_2 UE_3$। यहां यदि $I_1, I_2$ अलग-अलग नहीं हैं

और यदि $T_1, T_2, T_3$ एक साथ नहीं हैं, तो $I_1, I_2$ को 2 ! तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है और $T_1, T_2, T_3$ को 3 ! तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। इसलिए, $2 ! \times 3$ ! के प्रतिस्थापन इस चुने गए प्रतिस्थापन $I_1 NT_1 SI_2 T_2 UET_3$ के संगत प्रतिस्थापन होंगे। इसलिए, अलग-अलग प्रतिस्थापन की कुल संख्या $\dfrac{9 !}{2 ! 3 !}$ होगी।

हम निम्नलिखित प्रमेय कह सकते हैं (उपपत्ति के बिना):

प्रमेय 3 $n$ वस्तुओं के प्रतिस्थापन की संख्या, जहां $p$ वस्तुएं समान प्रकार की हों और शेष सभी अलग-अलग हों $=\dfrac{n !}{p !}$.

वास्तव में, हमें एक अधिक सामान्य प्रमेय है।

प्रमेय 4 $n$ वस्तुओं के व्यवस्थाओं की संख्या, जहाँ $p_1$ वस्तुएँ एक प्रकार की हैं, $p_2$ दूसरे प्रकार की हैं, …, $p_k$ $k^{\text{th}}$ प्रकार की हैं और शेष, यदि कोई हों, अलग-अलग प्रकार की हैं, है $\dfrac{n !}{p_1 ! p_2 ! \ldots p_k !}$।

उदाहरण 9 शब्द ALLAHABAD के अक्षरों के व्यवस्थाओं की संख्या ज्ञात कीजिए।

हल यहाँ, 9 वस्तुएँ (अक्षर) हैं, जिनमें 4A’s, 2 L’s और शेष सभी अलग-अलग हैं।

इसलिए, आवश्यक व्यवस्थाओं की संख्या

$=\dfrac{9 !}{4 ! 2 !}=\dfrac{5 \times 6 \times 7 \times 8 \times 9}{2}=7560$

उदाहरण 10 1 से 9 तक के अंकों का उपयोग करके कितने 4 अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, यदि अंकों की पुनरावृत्ति नहीं की जाए?

हल यहाँ क्रम महत्वपूर्ण है, उदाहरण के लिए 1234 और 1324 दो अलग-अलग संख्याएँ हैं। इसलिए, 4 अंकीय संख्याओं की संख्या 9 अलग-अलग अंकों के 4 अंकीय क्रमचयों के बराबर होगी।

इसलिए, आवश्यक 4 अंकीय संख्याएँ $={ }^{9} P_4=\dfrac{9 !}{(9-4) !}=\dfrac{9 !}{5 !}=9 \times 8 \times 7 \times 6=3024$।

उदाहरण 11 100 और 1000 के बीच कितनी संख्याएँ $0,1,2,3,4,5$ अंकों के साथ बनाई जा सकती हैं, यदि अंकों की पुनरावृत्ति नहीं की जाए?

हल 100 और 1000 के बीच की हर संख्या एक 3-अंकीय संख्या है। हम पहले 6 अंकों के 3 अंकों के व्यवस्थाओं की गणना करनी होगी। इस संख्या को ${ }^{6} P_3$ के रूप में लिखा जा सकता है। लेकिन, इन व्यवस्थाओं में 0 के 100 के स्थान पर आने वाली व्यवस्थाएँ भी शामिल होंगी। उदाहरण के लिए, $092, 042, \ldots$ आदि ऐसी संख्याएँ हैं जो वास्तव में 2-अंकीय संख्याएँ हैं और इसलिए ${ }^{6} P_3$ से इन व्यवस्थाओं की संख्या को घटाकर आवश्यक संख्या प्राप्त की जा सकती है। इन व्यवस की संख्या प्राप्त करने के लिए हम 0 को 100 के स्थान पर रखते हैं और शेष 5 अंकों के 2 अंकों के व्यवस्थाओं की गणना करते हैं। इस संख्या को ${ }^{5} P_2$ के रूप में लिखा जा सकता है। इसलिए

The required number $\quad={ }^{6} P_3-{ }^{5} P_2=\dfrac{6 !}{3 !}-\dfrac{5 !}{3 !}$

$ \qquad \qquad \qquad \qquad =4 \times 5 \times 6-4 \times 5=100 $

उदाहरण 12 ऐसे $n$ का मान ज्ञात कीजिए जो कि

(i) ${ }^{n} P_5=42{ }^{n} P_3, n > 4$

(ii) $\dfrac{{ }^{n} P_4}{{ }^{n-1} P_4}=\dfrac{5}{3}, n > 4$

हल (i) दिया गया है कि

$ { }^{n} \mathrm{P} _{5}=42{ }^{n} \mathrm{P} _{3} $

या $\quad $ $n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)=42 n(n-1)(n-2)$

क्योंकि $\quad $ $n > 4 \quad$ इसलिए $n(n-1)(n-2) \neq 0$

इसलिए, दोनों ओर को $n(n-1)(n-2)$ से विभाजित करने पर हम प्राप्त करते हैं

$\begin{array}{ll} {} & (n-3(n-4)=42 \\ \text{या}\quad\quad & n^{2}-7 n-30=0 \\ \text{या} & n^{2}-10 n+3 n-30 \\ \text{या} & (n-10)(n+3)=0 \\ \text{या} & n-10=0 \text{ या } \quad n+3=0 \\ \text{या} & n=10 \quad \text{ या } \quad n=-3 \end{array}$

क्योंकि $n$ नकारात्मक नहीं हो सकता, इसलिए $n=10$।

(ii) दिया गया है कि $\dfrac{{ }^{n} P _4}{{ }^{n-1} P _4}=\dfrac{5}{3}$

इसलिए $\quad \quad 3 n(n-1)(n-2)(n-3)=5(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)$

या $\quad \quad3 n=5(n-4) \quad[$ क्योंकि $(n-1)(n-2)(n-3) \neq 0, n>4]$

या $\quad \quad n=10$.

उदाहरण 13 $r$ ज्ञात कीजिए, यदि $5{ }^{4} P_r=6{ }^{5} P _{r-1}$.

हल हमें $5{ }^{4} P_r=6{ }^{5} P _{r-1}$ दिया है

या $ \quad\quad5 \times \dfrac{4 !}{(4-r) !}=6 \times \dfrac{5 !}{(5-r+1) !} $

या $ \quad\quad\dfrac{5 !}{(4-r) !}=\dfrac{6 \times 5 !}{(5-r+1)(5-r)(5-r-1) !} $

या $\quad(6-r)(5-r)=6$

या $\quad r^{2}-11 r+24=0$

या $\quad r^{2}-8 r-3 r+24=0$

या $\quad(r-8)(r-3)=0$

या $\quad r=8$ या $r=3$.

अतः $\quad r=8,3$.

उदाहरण 14 शब्द DAUGHTER के अक्षरों से बनाए जा सकने वाले अलग-अलग 8-अक्षर विन्यासों की संख्या ज्ञात कीजिए ताकि

(i) सभी स्वर एक साथ आएं

(ii) सभी स्वर एक साथ न आएं।

हल (i) शब्द DAUGHTER में 8 अलग-अलग अक्षर हैं, जिनमें 3 स्वर हैं, अर्थात् A, U और E। क्योंकि स्वर एक साथ आएं हैं, हम इन्हें एक अक्षर के रूप में मान सकते हैं (AUE)। इस एक अक्षर के साथ 5 शेष अक्षर (वस्तुएं) को 6 वस्तुओं के रूप में गिना जाएगा। फिर हम इन 6 वस्तुओं के सभी समय के प्रतिस्थापन की गणना करेंगे। इस संख्या को ${ }^{6} P_6=6$ ! होगी। इन प्रतिस्थापन में से प्रत्येक के लिए, हमें तीन स्वर A, U, E के सभी समय के प्रतिस्थापन के 3 ! प्रतिस्थापन होंगे। अतः गुणन के सिद्धांत के अनुसार, आवश्यक प्रतिस्थापन की संख्या $=6 ! \times 3 !=4320$ होगी।

(ii) यदि हम उन व्यवस्थाओं की संख्या गणना करनी पड़े जिनमें सभी स्वर एक साथ नहीं हों, तो हम पहले सभी 8 अक्षरों की सभी संभावित व्यवस्थाओं की गणना करनी पड़ेगी, जो 8 ! के तरीके से की जा सकती है। फिर, हम इस संख्या से उन व्यवस्थाओं की संख्या को घटा देंगे जिनमें स्वर हमेशा एक साथ होते हैं।

इसलिए, आवश्यक संख्या

$ \begin{aligned} 8 !-6 ! \times 3 ! & =6 !(7 \times 8-6) \\ & =2 \times 6 !(28-3) \\ & =50 \times 6 !=50 \times 720=36000 \end{aligned} $

उदाहरण 15 4 लाल, 3 पीले और 2 हरे डिस्क कितने तरीकों से एक पंक्ति में व्यवस्थित की जा सकती हैं यदि एक ही रंग के डिस्क अद्वितीय नहीं हों?

हल कुल डिस्कों की संख्या $4+3+2=9$ है। 9 डिस्कों में से, 4 पहले प्रकार की (लाल), 3 दूसरे प्रकार की (पीली) और 2 तीसरे प्रकार की (हरी) हैं।

इसलिए, व्यवस्थाओं की संख्या $\dfrac{9 !}{4 ! 3 ! 2 !}=1260$ है।

उदाहरण 16 शब्द INDEPENDENCE के अक्षरों के व्यवस्थाओं की संख्या ज्ञात कीजिए। इन व्यवस्थाओं में,

(i) P से शुरू होने वाली व्यवस्थाएँ

(ii) सभी स्वर हमेशा एक साथ होने वाली व्यवस्थाएँ

(iii) सभी स्वर हमेशा एक साथ न होने वाली व्यवस्थाएँ

(iv) I से शुरू होने वाली और P से समाप्त होने वाली व्यवस्थाएँ

हल 12 अक्षर हैं, जिनमें $N$ 3 बार, $E$ 4 बार और D 2 बार आता है और बाकी सभी अलग-अलग हैं। इसलिए

अभीष्ट व्यवस्था की संख्या $=\dfrac{12 !}{3 ! 4 ! 2 !}=1663200$

(i) मान लीजिए $P$ बाईं ओर अंतिम स्थान पर निश्चित है, फिर हम शेष 11 अक्षरों की व्यवस्था गिनते हैं। इसलिए, अभीष्ट शब्दों की संख्या जो $P$ से शुरू होते हैं

$ =\dfrac{11 !}{3 ! 2 ! 4 !}=138600. $

(ii) दिए गए शब्द में 5 अक्षर हैं, जो 4 Es और 1 I हैं। क्योंकि वे हमेशा एक साथ आते हैं, हम उन्हें एक वस्तु के रूप में अस्थायी रूप से लेंगे $ \ \begin{array}{|l|}\hline EEEEI \\ \hline \end{array} \ $। इस एक वस्तु के साथ 7 शेष वस्तुओं के लिए 8 वस्तुएं होंगी। इन 8 वस्तुओं, जिनमें $3 Ns$ और $2 Ds$ हैं, को $\dfrac{8 !}{3 ! 2 !}$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। इन व्यवस्थाओं में से प्रत्येक के लिए, 5 अक्षर E, E, E, E और I को $\dfrac{5 !}{4 !}$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। अतः, गुणन प्रमेय के अनुसार, अभीष्ट व्यवस्था की संख्या

$ =\dfrac{8 !}{3 ! 2 !} \times \dfrac{5 !}{4 !}=16800 $

(iii) आवश्यक व्यवस्था की संख्या $=$ कोई भी प्रतिबंध न होने वाली कुल व्यवस्था की संख्या - जहां सभी स्वर एक साथ आएं वाली व्यवस्था की संख्या।

$ =1663200-16800=1646400 $

(iv) हम बाहरी सिरों पर I और P को निश्चित कर लें (I बाएं सिरे पर और P दाएं सिरे पर)। हमें 10 अक्षर बच जाते हैं।

इसलिए, आवश्यक व्यवस्था की संख्या $ =\dfrac{10 !}{3 ! 2 ! 4 !}=12600 $

6.4 संयोजन

अब हम मान लें कि 3 लॉन्डन टेनिस खिलाड़ियों के एक समूह है $X, Y, Z$। 2 खिलाड़ियों के एक टीम के गठन के लिए बताएं कि कितने तरीकों से इसे किया जा सकता है? $X$ और $Y$ के टीम के अलग-अलग होंगे या नहीं? यहाँ क्रम महत्वपूर्ण नहीं है। वास्तव में, टीम के गठन के केवल 3 संभावित तरीके हैं।

चित्र 6.3

ये XY, YZ और ZX (चित्र 6.3) हैं।

यहाँ, प्रत्येक चयन तीन अलग-अलग वस्तुओं में से दो के साथ एक संयोजन कहलाता है। एक संयोजन में क्रम महत्वपूर्ण नहीं होता।

अब कुछ अधिक उदाहरण भी विचार करें।

एक कमरे में बारह व्यक्ति मिलते हैं और प्रत्येक अपने सभी अन्य व्यक्तियों के साथ हाथ मिलाता है। हम बताना चाहते हैं कि हाथ मिलाने की संख्या कैसे निर्धारित की जाए। $X$ के $Y$ से हाथ मिलाना और $Y$ के $X$ से हाथ मिलाना दो अलग-अलग हाथ मिलाने नहीं होगा। यहाँ क्रम महत्वहीन है। हाथ मिलाने की संख्या 12 अलग-अलग वस्तुओं में से दो के संयोजन के बराबर होगी।

सात बिंदुएँ एक वृत्त पर स्थित हैं। इन बिंदुओं को युग्म बनाकर कितने चोर्ड बन सकते हैं? इन बिंदुओं के युग्म बनाने से जितने चोर्ड बनेंगे, उतने ही संयोजन होंगे।

अब, हम एक सूत्र प्राप्त करते हैं जिसके द्वारा $n$ अलग-अलग वस्तुओं के $r$ वस्तुओं के संयोजन की संख्या ज्ञात की जा सकती है, जिसे ${ }^{n} C_r$ से नोट किया जाता है।

मान लीजिए हमें 4 अलग-अलग वस्तुएँ A, B, C और D हैं। यदि हम इनमें से 2 वस्तुएँ लेकर संयोजन बनाना चाहते हैं, तो ये संयोजन $AB, AC, AD, BC, BD, CD$ होंगे। यहाँ, $AB$ और $BA$ एक ही संयोजन हैं क्योंकि क्रम संयोजन को बदल नहीं देता। इसलिए इस सूची में $BA, CA, DA, CB, DB$ और $DC$ को शामिल नहीं किया गया है। 4 अलग-अलग वस्तुओं के 2 वस्तुओं के संयोजन की संख्या 6 होती है, अर्थात ${ }^{4} C_2=6$।

प्रत्येक सूची में संयोजन के संगत, हम 2! परमुत्व प्राप्त कर सकते हैं क्योंकि प्रत्येक संयोजन में 2 वस्तुएं हो सकती हैं जो 2! तरीकों से व्यवस्थित की जा सकती हैं। इसलिए, परमुत्व की संख्या $={ }^{4} C_2 \times 2$!.

दूसरी ओर, 4 अलग-अलग वस्तुओं के 2 वस्तुओं के परमुत्व की संख्या $={ }^{4} P_2$ होती है।

इसलिए $\quad { }^{4} P_2= ^{4} C_2 \times 2 !$ या $\dfrac{4 !}{(4-2) ! 2 !}= ^{4} C_2$

अब, मान लीजिए कि हमें 5 अलग-अलग वस्तुएं A, B, C, D, E हैं। 3 वस्तुएं लेकर संयोजन बनाना हो, तो ये संयोजन $ABC, ABD, ABE, BCD, BCE$, $CDE, ACE, ACD, ADE, BDE$ होंगे। प्रत्येक इन ${ }^{5} C_3$ संयोजन के लिए 3! परमुत्व होते हैं, क्योंकि प्रत्येक संयोजन में तीन वस्तुएं होती हैं जो 3! तरीकों से व्यवस्थित की जा सकती हैं। इसलिए, परमुत्व की कुल संख्या $={ }^{5} C_3 \times 3$! होती है।

इसलिए $\quad{ }^{5} P_3={ }^{5} C_3 \times 3$ ! या $\quad \dfrac{5 !}{(5-3) ! 3 !}={ }^{5} C_3$

इन उदाहरणों से निम्नलिखित प्रमेय के बीच संबंध को दिखाया जाता है, जो प्रतिस्थापन और संयोजन के बीच संबंध दिखाती है:

प्रमेय 5 ${ }^{n} P_r={ }^{n} C_r r!, 0 < r \leq n$.

उपपत्ति प्रत्येक ${ }^{n} C_r$ संयोजन के लिए, हमें $r$! प्रतिस्थापन होते हैं, क्योंकि प्रत्येक संयोजन में $r$ वस्तुएं $r$ ! तरीकों से व्यवस्थित की जा सकती हैं।

इसलिए, $n$ अलग-अलग वस्तुओं के $r$ वस्तुओं के लेने के कुल प्रतिस्थापन की संख्या ${ }^{n} C_r \times r !$ होती है। दूसरी ओर, यह ${ }^{n} P_r$ होता है।

इसलिए

$ { }^{n} P_r={ }^{n} C_r \times r !, 0 < r \leq n $

टिप्पणियाँ 1. उपरोक्त से $\dfrac{n !}{(n-r) !}={ }^{n} C_r \times r !$, अर्थात $\quad{ }^{n} C_r=\dfrac{n !}{r !(n-r) !}$।

विशेष रूप से, यदि $r=n,{ }^{n} C_n=\dfrac{n !}{n ! 0 !}=1$।

2. हम ${ }^{n} C_0=1$ परिभाषित करते हैं, अर्थात $n$ अलग-अलग वस्तुओं के कुछ भी न लेने के संयोजन की संख्या 1 मानी जाती है। संयोजन की गणना केवल कुछ या सभी वस्तुओं के चयन के तरीकों की संख्या की गणना होती है। कुछ भी न चुनना सभी वस्तुओं को छोड़ देना बराबर होता है और हम जानते हैं कि इस तरह करने का केवल एक तरीका होता है। इस तरह हम ${ }^{n} C_0=1$ परिभाषित करते हैं।

3. जैसे कि $\dfrac{n !}{0 !(n-0) !}=1={ }^{n} C_0$, सूत्र ${ }^{n} C_r=\dfrac{n !}{r !(n-r) !}$ $r=0$ के लिए भी लागू होता है।

इसलिए

$ { }^{n} C_r=\dfrac{n !}{r !(n-r) !}, 0 \leq r \leq n . $

4. $\quad{ }^{n} C _{n-r}=\dfrac{n !}{(n-r) !(n-(n-r)) !}=\dfrac{n !}{(n-r) ! r !}={ }^{ n} C_r$,

अर्थात, $n$ वस्तुओं में से $r$ वस्तुओं का चयन करना, $n-r$ वस्तुओं के अस्वीकृत करने के समान होता है।

5. $\quad{ }^{n} C_a={ }^{n} C_b \Rightarrow a=b$ या $a=n-b$, अर्थात, $n=a+b$

प्रमेय 6 ${ }^{n} C_r+{ }^{n} C _{r-1}={ }^{n+1} C_r$

प्रमाण हमें $\quad{ }^{n} C_r+{ }^{n} C _{r-1}=\dfrac{n !}{r !(n-r) !}+\dfrac{n !}{(r-1) !(n-r+1) !}$

$ \begin{aligned} & =\dfrac{n !}{r \times(r-1) !(n-r) !}+\dfrac{n !}{(r-1) !(n-r+1)(n-r) !} \\ & =\dfrac{n !}{(r-1) !(n-r) !} \Big[\dfrac{1}{r}+\dfrac{1}{n-r+1}\Big] \\ & =\dfrac{n !}{(r-1) !(n-r) !} \times \dfrac{n-r+1+r}{r(n-r+1)}=\dfrac{(n+1) !}{r !(n+1-r) !}={ }^{n+1} C_r \end{aligned} $

उदाहरण 17 यदि ${ }^{n} C_9={ }^{n} C_8$, तो ${ }^{n} C _{17}$ ज्ञात कीजिए।

हल हमें ${ }^{n} C_9={ }^{n} C_8$ दिया है

i.e., $\quad \dfrac{n !}{9 !(n-9) !}=\dfrac{n !}{(n-8) ! 8 !}$

या $ \quad\quad\quad \dfrac{1}{9}=\dfrac{1}{n-8} \text{ या } n-8=9 \text{ या } n=17 $

इसलिए $ \quad \quad { }^{n} C _{17}={ }^{17} C _{17}=1 . $

उदाहरण 18 2 पुरुष और 3 महिलाओं के समूह से 3 व्यक्तियों की एक समिति बनानी है। इसे कितने तरीकों से किया जा सकता है? इन समितियों में से कितनी समितियाँ 1 पुरुष और 2 महिलाओं की होंगी?

हल यहाँ क्रम महत्वपूर्ण नहीं है। इसलिए, हम संयोजनों की गणना करनी होगी। इतनी समितियाँ होंगी जितने 5 अलग-अलग व्यक्तियों के 3 व्यक्तियों के संयोजन होते हैं। इसलिए, आवश्यक तरीकों की संख्या $={ }^{5} C_3=\dfrac{5 !}{3 ! 2 !}=\dfrac{4 \times 5}{2}=10$।

अब, 2 पुरुषों में से 1 पुरुष को ${ }^{2} C_1$ तरीकों से चुना जा सकता है और 3 महिलाओं में से 2 महिलाओं को ${ }^{3} C_2$ तरीकों से चुना जा सकता है। इसलिए, आवश्यक समितियों की संख्या

$ ={ }^{2} C_1 \times{ }^{3} C_2=\dfrac{2 !}{1 ! 1 !} \times \dfrac{3 !}{2 ! 1 !}=6 $

उदाहरण 19 52 खेल के कार्डों के पैक से 4 कार्ड चुनने के तरीकों की संख्या क्या है? इनमें से

(i) चार कार्ड समान सूट के हैं,

(ii) चार कार्ड चार अलग-अलग सूटों के हैं,

(iii) चार कार्ड चेहरे के कार्ड हैं,

(iv) दो लाल कार्ड और दो काले कार्ड हैं,

(v) कार्ड एक ही रंग के होंगे?

हल 52 कार्ड में से 4 कार्ड चुनने के तरीके 52 अलग-अलग चीजों में से 4 के संयोजन के बराबर होंगे। इसलिए

अभीष्ट तरीकों की संख्या $ ={ }^{52} \mathrm{C}_{4}=\dfrac{52 !}{4 ! 48 !}=\dfrac{49 \times 50 \times 51 \times 52}{2 \times 3 \times 4}=270725 $

(i) चार सेट होते हैं: डायमंड, क्लब, स्पेड और हर्ट और प्रत्येक सेट में 13 कार्ड होते हैं। इसलिए, 4 डायमंड चुनने के तरीके ${ }^{13} C_4$ होंगे। इसी तरह, 4 क्लब चुनने के तरीके ${ }^{13} C_4$ होंगे, 4 स्पेड चुनने के तरीके ${ }^{13} C_4$ होंगे और 4 हर्ट चुनने के तरीके ${ }^{13} C_4$ होंगे। इसलिए

आवश्यक संख्या के तरीके $={ }^{13} C_4+{ }^{13} C_4+{ }^{13} C_4+{ }^{13} C_4$.

$ =4 \times \dfrac{13 !}{4 ! 9 !}=2860 $

(ii) प्रत्येक सूट में 13 कार्ड होते हैं।

इसलिए, 13 डायमंड कार्ड में से 1 कार्ड चुनने के ${ }^{13} C_1$ तरीके होते हैं, 13 हार्ट कार्ड में से 1 कार्ड चुनने के ${ }^{13} C_1$ तरीके होते हैं, 13 क्लब कार्ड में से 1 कार्ड चुनने के ${ }^{13} C_1$ तरीके होते हैं, 13 स्पेड कार्ड में से 1 कार्ड चुनने के ${ }^{13} C_1$ तरीके होते हैं। अतः, गुणन प्रमेय के अनुसार, आवश्यक संख्या के तरीके

$ ={ }^{13} C_1 \times{ }^{13} C_1 \times{ }^{13} C_1 \times{ }^{13} C_1=13^{4} $

(iii) 12 फेस कार्ड हैं और इन 12 कार्ड में से 4 कार्ड चुने जाने हैं। इसे ${ }^{12} C_4$ तरीकों से किया जा सकता है। अतः, आवश्यक तरीकों की संख्या $=\dfrac{12 !}{4 ! 8 !}=495$।

(iv) 26 लाल कार्ड और 26 काले कार्ड हैं। अतः, आवश्यक तरीकों की संख्या

$ \begin{aligned} & ={ }^{26} \mathrm{C} _{2} \times{ }^{26} \mathrm{C} _{2} \\ & =\dfrac{26 !}{2 ! 24 !}^{2}=(325)^{2}=105625 \end{aligned} $

$

(v) 26 लाल कार्ड में से 4 लाल कार्ड के चयन के तरीके ${ }^{26} C_4$ हैं। 26 काले कार्ड में से 4 काले कार्ड के चयन के तरीके ${ }^{26} C_4$ हैं।

इसलिए, आवश्यक तरीकों की संख्या $={ }^{26} C_4+{ }^{26} C_4$ $ =2 \times \dfrac{26 !}{4 ! 22 !}=29900 . $

अलग-अलग उदाहरण

उदाहरण 20 शब्द INVOLUTE के अक्षरों से, 3 अक्षरों और 2 व्यंजनों के शब्द, जो अर्थ रहित या अर्थ वाले हो सकते हैं, कितने तरीके से बनाए जा सकते हैं?

हल शब्द INVOLUTE में 4 अक्षर हैं, जो I, O, E, U हैं, और 4 व्यंजन हैं, जो N, V, L और T हैं।

4 में से 3 अक्षरों के चयन के तरीके $ { }^{4} C_3 = 4 $ हैं।

4 में से 2 व्यंजनों के चयन के तरीके $ { }^{4} C_2 = 6 $ हैं।

इसलिए, 3 अक्षरों और 2 व्यंजनों के संयोजन की संख्या $ 4 \times 6 = 24 $ है।

अब, इन 24 संयोजन में से प्रत्येक में 5 अक्षर हैं जो आपस में 5! तरीकों से व्यवस्थित किए जा सकते हैं। इसलिए, आवश्यक अलग-अलग शब्दों की संख्या $ 24 \times 5! = 2880 $ है।

उदाहरण 21 एक समूह में 4 लड़कियाँ और 7 लड़के हैं। 5 सदस्यों की एक टीम के चयन के कितने तरीके हो सकते हैं यदि टीम में (i) कोई लड़की नहीं हो ? (ii) कम से कम एक लड़का और एक लड़की हो ? (iii) कम से कम 3 लड़कियाँ हो ?

हल (i) क्योंकि, टीम में कोई लड़की नहीं होगी, इसलिए केवल लड़कों का चयन किया जाएगा। 7 लड़कों में से 5 लड़कों का चयन ${ }^{7} C_5$ तरीकों से किया जा सकता है। इसलिए, आवश्यक तरीकों की संख्या $={ }^{7} C_5=\dfrac{7 !}{5 ! 2 !}=\dfrac{6 \times 7}{2}=21$

(ii) क्योंकि, प्रत्येक टीम में कम से कम एक लड़का और एक लड़की होगी। इसलिए, टीम में

(a) 1 लड़का और 4 लड़कियाँ

(b) 2 लड़के और 3 लड़कियाँ

(c) 3 लड़के और 2 लड़कियाँ

(d) 4 लड़के और 1 लड़कियाँ।

1 लड़का और 4 लड़कियाँ को ${ }^{7} C_1 \times{ }^{4} C_4$ तरीकों से चुना जा सकता है।

2 लड़के और 3 लड़कियाँ को ${ }^{7} C_2 \times{ }^{4} C_3$ तरीकों से चुना जा सकता है।

3 लड़के और 2 लड़कियाँ को ${ }^{7} C_3 \times{ }^{4} C_2$ तरीकों से चुना जा सकता है।

4 लड़के और 1 लड़कियाँ को ${ }^{7} C_4 \times{ }^{4} C_1$ तरीकों से चुना जा सकता है।

इसलिए, आवश्यक तरीकों की संख्या

$ \begin{aligned} & ={ }^{7} C_1 \times{ }^{4} C_4+{ }^{7} C_2 \times{ }^{4} C_3+{ }^{7} C_3 \times{ }^{4} C_2+{ }^{7} C_4 \times{ }^{4} C_1 \\

& =7+84+210+140=441 \end{aligned} $

(iii) क्योंकि, टीम में कम से कम 3 लड़कियाँ होनी चाहिए, टीम में निम्नलिखित में से कोई एक हो सकती है

(a) 3 लड़कियाँ और 2 लड़के, या

(b) 4 लड़कियाँ और 1 लड़का।

ध्यान दें कि टीम में सभी 5 लड़कियाँ नहीं हो सकती, क्योंकि, समूह में केवल 4 लड़कियाँ हैं।

3 लड़कियाँ और 2 लड़के को चुना जा सकता है ${ }^{4} C_3 \times{ }^{7} C_2$ तरीकों से।

4 लड़कियाँ और 1 लड़का को चुना जा सकता है ${ }^{4} C_4 \times{ }^{7} C_1$ तरीकों से।

इसलिए, आवश्यक तरीकों की संख्या

$ ={ }^{4} C_3 \times{ }^{7} C_2+{ }^{4} C_4 \times{ }^{7} C_1=84+7=91

$

उदाहरण 22 शब्द AGAIN के सभी अक्षरों का उपयोग करके बनाए जा सकने वाले शब्दों की संख्या ज्ञात कीजिए, जो अर्थ रहे या न रहे। यदि इन शब्दों को एक शब्दकोश के अनुसार लिखा जाता है, तो $50^{\text{वां}}$ शब्द कौन-सा होगा?

हल शब्द AGAIN में 5 अक्षर हैं, जिनमें A दो बार आता है। अतः आवश्यक शब्दों की संख्या $=\dfrac{5 !}{2 !}=60$ है।

$A$ से शुरू होने वाले शब्दों की संख्या प्राप्त करने के लिए, हम अक्षर A को बाएं छोर पर निश्चित करते हैं, फिर हम शेष 4 अक्षरों को सभी लेकर बारी-बारी से व्यवस्थित करते हैं। इन 4 अक्षरों के 4 बार लेने के व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या चार अलग-अलग वस्तुओं के चार बार लेने के व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या के बराबर होती है। अतः $A$ से शुरू होने वाले शब्दों की संख्या $=4 !=24$ है। फिर, $G$ से शुरू होने वाले शब्दों की संख्या $=\dfrac{4 !}{2 !}=12$ है क्योंकि $G$ को बाएं छोर पर रखने के बाद हमें A, A, I और N बच जाते हैं। इसी तरह, अगले अक्षर I से शुरू होने वाले शब्दों की संख्या भी 12 है। अब तक प्राप्त शब्दों की कुल संख्या $=24+12+12=48$ है। $49^{\text{वां}}$ शब्द NAAGI होगा।

$50^{\text{th }}$ शब्द NAAIG है।

उदाहरण 23 $1,2,0,2,4,2,4$ अंकों का उपयोग करके बनाए गए संख्याओं में 1000000 से बड़ी कितनी संख्याएँ बन सकती हैं?

हल क्योंकि, 1000000 एक 7 अंकी संख्या है और उपयोग किए जाने वाले अंकों की संख्या भी 7 है। इसलिए, गिनी जाने वाली संख्याएँ केवल 7 अंकी होंगी। इसके अलावा, संख्याएँ 1000000 से बड़ी होनी चाहिए, इसलिए वे 1, 2 या 4 से शुरू हो सकती हैं।

$1$ से शुरू होने वाली संख्याओं की संख्या $=\dfrac{6 !}{3 ! 2 !}=\dfrac{4 \times 5 \times 6}{2}=60$, जब 1 बाएँ छोर पर निश्चित हो जाता है, तो बचे हुए अंक $0,2,2,2$, 4,4 होते हैं, जिनमें $3,2$ और $2,4$ होते हैं।

कुल संख्याएँ जो 2 से शुरू होती हैं $=\dfrac{6 !}{2 ! 2 !}=\dfrac{3 \times 4 \times 5 \times 6}{2}=180$

और कुल संख्याएँ जो 4 से शुरू होती हैं $=\dfrac{6 !}{3 !}=4 \times 5 \times 6=120$

इसलिए, आवश्यक संख्याएँ $=60+18 रुपये+120=360$।

एल्टरनेटिव विधि

7-अंकीय व्यवस्थाओं की संख्या, स्पष्ट रूप से $\dfrac{7 !}{3 ! 2 !}=420$ है। लेकिन, यह व्यवस्थाएँ भी शामिल करेगी जिनमें बाएँ छोर पर 0 होता है। ऐसी व्यवस्थाओं की संख्या $\dfrac{6 !}{3 ! 2 !}$ (बाएँ छोर पर 0 निश्चित करके) $=60$ है।

इसलिए, आवश्यक संख्या के संख्या $=420-60=360$।

नोट - यदि सूची में एक या एक से अधिक अंक दोहराए गए हों, तो इसका अर्थ होगा कि किसी भी संख्या में अंकों का उपयोग सूची में दिए गए अंकों के बराबर बार बार किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, उपरोक्त उदाहरण में 1 और 0 केवल एक बार उपयोग किए जा सकते हैं जबकि 2 और 4 क्रमशः तीन बार और दो बार उपयोग किए जा सकते हैं।

उदाहरण 24 5 लड़कियों और 3 लड़कों को एक पंक्ति में कितने तरीकों से बैठाया जा सकता है ताकि कोई दो लड़के एक साथ न बैठे?

हल हम पहले 5 लड़कियों को बैठाएं। इसे 5 ! तरीकों से किया जा सकता है। प्रत्येक ऐसी व्यवस्था के लिए, तीन लड़कों को केवल क्रॉस चिह्नित स्थानों पर बैठाया जा सकता है।

$ \times G \times G \times G \times G \times G \times . $

6 क्रॉस चिह्नित स्थान हैं और तीन लड़के ${ }^{6} P_3$ तरीकों से बैठ सकते हैं। अतः, गुणन सिद्धांत के अनुसार, कुल तरीकों की संख्या

$ \begin{aligned} & =5 ! \times{ }^{6} P_3=5 ! \times \dfrac{6 !}{3 !} \\ & =4 \times 5 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6=14400 . \end{aligned} $

सारांश

• गणना के मूल सिद्धांत: यदि एक घटना $m$ अलग-अलग तरीकों से हो सकती है, जिसके बाद एक अन्य घटना $n$ अलग-अलग तरीकों से हो सकती है, तो दिए गए क्रम में घटनाओं की कुल संख्या $m \times n$ होती है।

• $n$ अलग-अलग वस्तुओं के $r$ वस्तुओं के व्यवस्थाओं की संख्या, जहां पुनरावृत्ति नहीं होती, ${ }^{n} P_r$ से नोट की जाती है और इसे ${ }^{n} P_r=\dfrac{n !}{(n-r) !}$ द्वारा दिया जाता है, जहां $0 \leq r \leq n$ होता है।

• $n !=1 \times 2 \times 3 \times \ldots \times n$

• $n !=n \times(n-1)$ !

• $n$ अलग-अलग वस्तुओं के $r$ वस्तुओं के साथ व्यवस्थाओं की संख्या, जहाँ पुनरावर्तन की अनुमति हो, $n^{r}$ होती है।

• $n$ वस्तुओं के सभी वस्तुओं के साथ व्यवस्थाओं की संख्या, जहाँ $p_1$ वस्तुएं पहले प्रकार की हों, $p_2$ वस्तुएं दूसरे प्रकार की हों, $\ldots, p_k$ वस्तुएं $k^{\text{th}}$ प्रकार की हों और शेष, यदि कोई हों, तो सभी अलग-अलग हों, $\dfrac{n !}{p_1 ! p_2 ! \ldots p_k !}$ होती है।

• $n$ अलग-अलग वस्तुओं के $r$ वस तुओं के संयोजनों की संख्या, जिसे ${ }^{n} C_r$ से नोट किया जाता है, ${ }^{n} C_r==\dfrac{n !}{r !(n-r) !}, 0 \leq r \leq n$ द्वारा दिया जाता है।

ऐतिहासिक टिप्पणी

प्रतिस्थापन और संयोजन के अवधारणाओं का इतिहास भारत में जैन धर्म के उदय तक वापस जा सकता है और यह शायद उससे भी पहले हो सकता है। लेकिन इसका श्रेय जैन धर्म के लोगों को जाता है जिन्होंने इस विषय को गणित के एक स्वतंत्र विषय के रूप में अपने नाम विकल्प के तहत ले आया था।

जैन धर्म के बीच, महावीर (लगभग 850 ईसवी) विश्व के पहले गणितज्ञ माने जाते हैं जिन्हें प्रतिस्थापन और संयोजन के सामान्य सूत्रों के प्रदान के लिए श्रेय दिया जाता है।

6 वीं शताब्दी ईसा पूर्व में, सुश्रुत अपने चिकित्सा कार्य सुश्रुत संहिता में कहते हैं कि 6 अलग-अलग रसों से, एक-एक के रूप में, दो-दो के रूप में, आदि के आधार पर 63 संयोजन बनाए जा सकते हैं। पिंगला, एक तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व के संस्कृत विद्वान, अपने कार्य छंद सूत्र में एक निश्चित संख्या के अक्षरों के आधार पर एक-एक के रूप में, दो-दो के रूप में, आदि के संयोजन की संख्या निर्धारित करने की विधि प्रस्तुत करते हैं। भास्कराचार्य (जन्म 1114 ईसवी) अपने प्रसिद्ध कार्य लीलावती में प्रतिस्थापन और संयोजन के विषय को अपने नाम अंक पाश के तहत ले आये थे। इसके अलावा, महावीर द्वारा पहले से ही प्रदान किए गए सामान्य सूत्रों ${ }^{n} C_r$ और ${ }^{n} P_r$ के अलावा, भास्कराचार्य इस विषय के कई महत्वपूर्ण प्रमेय और परिणाम भी प्रस्तुत करते हैं।

बाहरी भारत में, क्रम और संयोजन के विषय के अध्ययन के आरंभिक चरण चीन में थे, जहां प्रसिद्ध “ई-किंग” (परिवर्तन की किताब) में देखे जा सकते हैं। इस कार्य के लगभग समय को बताना कठिन है, क्योंकि 213 ई. पू. में एक राजा ने देश में सभी किताबों और मैनुस्क्रिप्ट को जलाने का आदेश दिया था, जिसके बावजूद यह पूरी तरह से कार्यान्वित नहीं किया गया था। ग्रीक और बाद में लैटिन लेखकों ने भी क्रम और संयोजन के सिद्धांत पर कुछ बिखरे हुए कार्य किए थे।

कुछ अरबी और हिब्रू लेखकों ने खगोल विज्ञान के अध्ययन में क्रम और संयोजन के अवधारणाओं का उपयोग किया। उदाहरण के लिए, रबी बेन एजरा ने ज्ञात ग्रहों के संयोजन की संख्या की गणना की, जो दो दो करके, तीन तीन करके आदि के रूप में थी। यह लगभग 1140 के आसपास था। यह दिखाई दे रहा है कि रबी बेन एजरा ने

संयोजन ${ }^{n} C_r$ के लिए सूत्र। हालांकि, उन्हें यह ज्ञात था कि ${ }^{n} C_r={ }^{n} C _{n-r}$ विशिष्ट मान $n$ और $r$ के लिए। 1321 में, एक अन्य हीब्रू लेखक लेवी बेन जरोन ने ${ }^{n} P_r,{ }^{n} P_n$ और ${ }^{n} C_r$ के सामान्य सूत्र के लिए सूत्र प्रस्तुत किए।

संयोजन और प्रतिस्थापन के विषय के लिए पहली किताब “Ars Conjectandi” है, जिसे स्विटजरलैंड के एक व्यक्ति जैकब बर्नूली (1654 - 1705) द्वारा लिखा गया था और उनकी मृत्यु के बाद 1713 में प्रकाशित किया गया था। इस किताब में आज के रूप में जाने जाने वाले प्रतिस्थापन और संयोजन के सिद्धांत के लिए आधारभूत विवरण दिए गए हैं।