8.1 परिचय

गणित में, शब्द “अनुक्रम” का उपयोग सामान्य अंग्रेजी में उसी तरह से किया जाता है। जब हम कहते हैं कि किसी वस्तुओं के संग्रह को एक अनुक्रम में सूचीबद्ध किया गया है, तो हम आमतौर पर इसके तात्पर्य यह होता है कि संग्रह ऐसे क्रम में व्यवस्थित है कि इसका पहला सदस्य, दूसरा सदस्य, तीसरा सदस्य आदि चिन्हित होते हैं। उदाहरण के लिए, मनुष्यों या बैक्टीरिया की जनसंख्या अलग-अलग समय पर एक अनुक्रम बनाती है। कई वर्षों के लिए बैंक में जमा किए गए धन एक अनुक्रम बनाते हैं। कुछ वस्तुओं के अवमूल्यन मूल्य एक अनुक्रम में होते हैं। अनुक्रम मनुष्य गतिविधियों के कई क्षेत्रों में महत्वपूर्ण अनुप्रयोग रखते हैं।

फिबोनैकि (1175-1250)

विशेष पैटर्न के अनुसार अनुक्रम बोले जाते हैं, जिन्हें प्रगति कहते हैं। पिछली कक्षा में हमने समांतर श्रेणी (A.P.) के बारे में अध्ययन किया था। इस अध्याय में, अलग-अलग विषयों पर अधिक चर्चा करेंगे; समांतर माध्य, गुणोत्तर माध्य, समांतर माध्य और गुणोत्तर माध्य के बीच संबंध, तथा अंकगणितीय श्रेणी के रूप में $n$ पदों तक के क्रमागत प्राकृतिक संख्याओं के योग, $n$ पदों तक के क्रमागत प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों के योग और $n$ पदों तक के क्रमागत प्राकृतिक संख्याओं के घनों के योग के बारे में भी अध्ययन करेंगे।

8.2 अनुक्रम

हम निम्नलिखित उदाहरणों के बारे में सोचें:

मान लीजिए कि एक निर्माण के अंतर 30 वर्ष है, हमें 300 वर्षों में एक व्यक्ति के वंशजों, अर्थात पिता, माता, दादा, दादी, बुआ, बुआ आदि की संख्या ज्ञात करनी है।

यहां, कुल वंश के अंतर $= \dfrac{300}{30} = 10$

पहले, दूसरे, तीसरे, …, दसवें वंश के व्यक्ति के वंशजों की संख्या $2, 4, 8, 16, 32, \ldots, 1024$ है। ये संख्याएँ उस अनुक्रम कहलाती हैं जिसे हम अनुक्रम कहते हैं।

हम 10 को 3 से विभाजित करते समय विभिन्न चरणों में प्राप्त क्रमवार भागफलों के बारे में सोचें। इस प्रक्रिया में हमें $3, 3.3, 3.33, 3.333, \ldots$ आदि प्राप्त होते हैं। ये भी एक अनुक्रम बनाते हैं। एक अनुक्रम में विभिन्न संख्याएँ उसके पद कहलाती हैं। हम एक अनुक्रम के पदों को $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots$ आदि द्वारा दर्शाते हैं, जहां अंतर्गत सूचकांक पद की स्थिति को दर्शाता है। अनुक्रम के $n^{\text{th}}$ पद अनुक्रम के $n^{\text{th}}$ स्थान पर वर्णित संख्या होती है और इसे $a_n$ द्वारा दर्शाया जाता है। अनुक्रम के $n^{\text{th}}$ पद को अनुक्रम का सामान्य पद भी कहा जाता है।

इसलिए, उपरोक्त व्यक्ति के पूर्वजों के अनुक्रम के शब्दों के अर्थ हैं:

$ a_1=2, a_2=4, a_3=8, \ldots, a _{10}=1024. $

उसी तरह, क्रमागत भागफल के उदाहरण में

$ a_1=3, a_2=3.3, a_3=3.33, \ldots, a_6=3.33333 \text{, आदि। } $

एक अनुक्रम जिसमें अंतिम संख्या में शब्द होते हैं, एक अंतिम अनुक्रम कहलाता है। उदाहरण के लिए, पूर्वजों का अनुक्रम एक अंतिम अनुक्रम है क्योंकि इसमें 10 शब्द होते हैं (एक निश्चित संख्या)।

एक अनुक्रम को अनंत कहा जाता है, यदि यह एक अंतिम अनुक्रम नहीं है। उदाहरण के लिए, ऊपर उल्लेखित क्रमागत भागफल का अनुक्रम एक अनंत अनुक्रम है, अनंतता के अर्थ में क्योंकि यह कभी समाप्त नहीं होता।

अक्सर, एक नियम को बीजगणितीय सूत्र के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जो एक अनुक्रम के विभिन्न पदों को दर्शाता है। उदाहरण के लिए, सम प्राकृतिक संख्याओं के अनुक्रम $2,4,6, \ldots$ को विचार करें।

यहाँ

$ \begin{array}{ll} a_1=2=2 \times 1 & a_2=4=2 \times 2 \\ a_3=6=2 \times 3 & a_4=8=2 \times 4 \\ \ldots & \ldots & \ldots \\ \ldots & \ldots & \ldots \end{array} $

$a_{23}=46=2 \times 23, a_{24}=48=2 \times 24$, आदि।

वास्तव में, हम देखते हैं कि इस अनुक्रम का $n^{\text{th }}$ पद $a_n=2 n$ के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ $n$ एक प्राकृतिक संख्या है। इसी तरह, विषम प्राकृतिक संख्याओं के अनुक्रम $1,3,5, \ldots$ में $n^{\text{th }}$ पद को $a_n=2 n-1$ के रूप में दिया जाता है, जहाँ $n$ एक प्राकृतिक संख्या है। कुछ मामलों में, संख्याओं के एक व्यवस्था जैसे $1,1,2,3,5,8, .$. कोई दृश्य पैटर्न नहीं दिखाई देता है, लेकिन अनुक्रम को निम्नलिखित पुनरावृति संबंध द्वारा उत्पन्न किया जाता है

$ \begin{aligned} & a_1=a_2=1 \\ & a_3=a_1+a_2 \\ & a_n=a _{n-2}+a _{n-1}, n>2 \end{aligned} $

इस अनुक्रम को फिबोनैकि अनुक्रम कहते हैं।

अभाज्य संख्याओं के अनुक्रम $2,3,5,7, \ldots$ में, हम देखते हैं कि $n^{\text{th }}$ अभाज्य संख्या के लिए कोई सूत्र नहीं होता। ऐसे अनुक्रम केवल वाक्यात्मक वर्णन द्वारा वर्णित किया जा सकता है।

हर अनुक्रम में, हम उम्मीद नहीं कर सकते कि इसके पद एक विशिष्ट सूत्र द्वारा आवश्यक रूप से दिए जाएंगे। हालांकि, हम अपने पदों $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots$ के क्रमागत उत्पादन के लिए एक सिद्धांतात्मक योजना या नियम की उम्मीद कर सकते हैं।

ऊपर के आधार पर, एक अनुक्रम एक फ़ंक्शन के रूप में देखा जा सकता है, जिसका डोमेन प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय या इसका कोई उपसमुच्चय होता है। कभी-कभी, हम $a_n$ के लिए फ़ंक्शन के रूप में a(n) का उपयोग करते हैं।

8.3 श्रेणी

मान लीजिए $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n$ एक दिया गया अनुक्रम है। तब, व्यंजक

$ a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n + \ldots $

दिए गए अनुक्रम के संगत श्रेणी कहलाती है। श्रेणी अंतिम या अनंत होती है, जितना कि दिया गया अनुक्रम अंतिम या अनंत होता है। श्रेणियाँ अक्सर छोटे रूप में, जिसे सिग्मा नोटेशन कहा जाता है, ग्रीक अक्षर $\sum$ (सिग्मा) के माध्यम से प्रस्तुत की जाती हैं, जो योग के संबंध में संकेत देता है। इस प्रकार, श्रेणी $a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n$ संक्षिप्त रूप में लिखी जाती है

as $\sum_{k=1}^{n} a_k$.

Remark जब श्रेणी का उपयोग किया जाता है, तो इसका अर्थ उसके सूचित योग को नहीं बल्कि श्रेणी के योग को लेते हैं। उदाहरण के लिए, $1+3+5+7$ चार पदों वाली एक अंतिम श्रेणी है। जब हम “श्रेणी के योग” शब्द का उपयोग करते हैं, तो हम उस संख्या को ताकिया जाता है जो पदों को जोड़ने से प्राप्त होती है, श्रेण, का योग 16 है।

अब हम कुछ उदाहरणों की ओर ध्यान आकर्षित करते हैं।

उदाहरण 1 निम्नलिखित श्रृंखलाओं में से प्रत्येक के पहले तीन पद लिखिए जो नीचे दिए गए हैं:

(i) $a_n=2 n+5, \qquad \qquad$ (ii) $a_n=\dfrac{n-3}{4}$.

हल (i) यहाँ $a_n=2 n+5$

$n=1,2,3$ के लिए प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ a_1=2(1)+5=7, a_2=9, a_3=11 $

इसलिए, आवश्यक पद 7, 9 और 11 हैं।

(ii) यहाँ $a_n=\dfrac{n-3}{4}$. इसलिए, $a_1=\dfrac{1-3}{4}=-\dfrac{1}{2}, a_2=-\dfrac{1}{4}, a_3=0$

अतः, पहले तीन पद $-\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{4}$ और 0 हैं।

उदाहरण 2 अनुक्रम $a_n=(n-1)(2-n)(3+n)$ द्वारा परिभाषित किए गए अनुक्रम का $20^{\text{th}}$ पद क्या है?

हल $n=20$ रखने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} a _{20} & =(20-1)(2-20)(3+20) \\

& =19 \times(-18) \times(23)
=-7866 . \end{aligned} $

उदाहरण 3 मान लीजिए क्रम $a_n$ निम्नलिखित तरह परिभाषित है:

$ a_1=1, a_n=a _{n-1}+2 \text{ for } n \geq 2 \text{. } $

पहले पांच पद ज्ञात कीजिए और संगत श्रेणी लिखिए।

हल हमारे पास है

$ \begin{aligned} & a_1=1, a_2=a_1+2=1+2=3, a_3=a_2+2=3+2=5, \\ & a_4=a_3+2=5+2=7, a_5=a_4+2=7+2=9 . \end{aligned} $

अतः, क्रम के पहले पांच पद $1,3,5,7$ और 9 हैं। संगत श्रेणी $1+3+5+7+9+\ldots$ है।

8.4 ज्यामितीय श्रेणी (G. P.)

हम निम्नलिखित श्रेणियों को विचार करते हैं:

(i) $2,4,8,16, \ldots, \qquad \qquad $ (ii) $\dfrac{1}{9}, \dfrac{-1}{27}, \dfrac{1}{81}, \dfrac{-1}{243}\qquad \qquad $(iii) $.01, .0001, .000001, \ldots$

इन सभी श्रेणियों में शब्दों की तरह आगे बढ़ते कैसे हैं? हम ध्यान देते हैं कि पहले शब्द के अलावा, प्रत्येक शब्द निश्चित क्रम में आगे बढ़ता है।

(i) इसमें हम देखते हैं $a_1=2, \dfrac{a_2}{a_1}=2, \dfrac{a_3}{a_2}=2, \dfrac{a_4}{a_3}=2$ आदि।

(ii) इसमें हम देखते हैं $a_1=\dfrac{1}{9}, \dfrac{a_2}{a_1}=\dfrac{1}{3}, \dfrac{a_3}{a_2}=\dfrac{1}{3}, \dfrac{a_4}{a_3}=\dfrac{1}{3}$ आदि।

उतना ही, अपशब्द (iii) में शब्द कैसे बढ़ते हैं? यह देखा गया है कि प्रत्येक मामले में, पहले शब्द के अतिरिक्त प्रत्येक शब्द अपने ठीक पहले शब्द के साथ एक स्थिर अनुपात रखता है। (i) में, यह स्थिर अनुपात 2 है; (ii) में, यह $-\dfrac{1}{3}$ है और (iii) में, यह स्थिर अनुपात 0.01 है। ऐसी अनुक्रम गणितीय अनुक्रम या गणितीय प्रगति के रूप में जाने जाते हैं, जिन्हें संक्षेप में G.P. कहा जाता है।

एक अनुक्रम $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots$ गणितीय प्रगति कहलाता है, यदि प्रत्येक शब्द शून्य नहीं हो और $\dfrac{a_{k+1}}{a_k}=r$ (स्थिर), $k \geq 1$ के लिए।

$ a_1 = a $ के द्वारा छोड़कर, हमें एक गुणोत्तर श्रेणी, $ a, ar, ar^{2}, ar^{3}, \ldots $ प्राप्त होती है, जहाँ $ a $ को पहला पद कहा जाता है और $ r $ को गुणोत्तर श्रेणी का सामान्य अनुपात कहा जाता है। उपरोक्त (i), (ii) और (iii) में गुणोत्तर श्रेणी के सामान्य अनुपात क्रमशः $ 2, -\dfrac{1}{3} $ और 0.01 हैं।

समांतर श्रेणी के मामले में जैसे, एक गुणोत्तर श्रेणी में बहुत सारे पद होने पर $ n^{\text{th}} $ पद या $ n $ पदों के योग की गणना करना बिना आगामी अनुच्छेद में विकसित करेंगे जो फॉर्मूला के उपयोग के बिना कठिन होगा। हम इन फॉर्मूला के साथ निम्नलिखित संकेतन का उपयोग करेंगे:

$ \begin{aligned} & a=\text{ पहला पद, } r=\text{ सार्व अनुपात, } l=\text{ अंतिम पद, } \\ & n=\text{ पदों की संख्या, } \\ & S_n=\text{ पहले } n \text{ पदों का योग। } \end{aligned} $

8.4.1 $a$ G.P. का सामान्य पद

मान लीजिए कि हमें एक G.P. के बारे में सोच रहे हैं जिसका पहला गैर-शून्य पद ’ $a$ ’ और सार्व अनुपात ’ $r$ ’ है। इसके कुछ पद लिखिए। दूसरा पद $a$ को $r$ से गुणा करके प्राप्त किया जाता है, इसलिए $a_2 = a r$। इसी तरह, तीसरा पद $a_2$ को $r$ से गुणा करके प्राप्त किया जाता है। इसलिए, $a_3 = a_2 r = a r^{2}$, आदि।

हम नीचे इन और कुछ अतिरिक्त शब्दों को लिखते हैं।

$1^{\text{st }}$ शब्द $=a_1=a=a r^{1-1}, 2^{\text{nd }}$ शब्द $=a_2=a r=a r^{2-1}, 3^{\text{rd }}$ शब्द $=a_3=a r^{2}=a r^{3-1}$ $4^{\text{th }}$ शब्द $=a_4=a r^{3}=a r^{4-1}, 5^{\text{th }}$ शब्द $=a_5=a r^{4}=a r^{5-1}$

क्या आपको एक पैटर्न दिखाई दे रहा है? $16^{\text{th }}$ शब्द क्या होगा?

$ a _{16}=a r^{16-1}=a r^{15} $

इसलिए, पैटर्न से स्पष्ट है कि G.P. के $n^{\text{th }}$ शब्द को $a_n=a r^{n-1}$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए, $a$, G.P. को $a, a r, a r^{2}, a r^{3}, \ldots a r^{n-1} ; a, a r, a r^{2}, \ldots, a r^{n-1} \ldots ;$ के रूप में लिखा जा सकता है, क्रमशः G.P. क्रमशः सीमित या असीमित हो।

सीरीज $a+a r+a r^{2}+\ldots+a r^{n-1}$ या $a+a r+a r^{2}+\ldots+a r^{n-1}+\ldots$ क्रमशः सीमित या असीमित गुणोत्तर सीरीज कहलाती हैं।

8.4.2. $a$ G.P. के $n$ पदों के योग

एक G.P. के पहला पद $a$ हो और सार्व अनुपात $r$ हो। मान लीजिए $S_n$ एक G.P. के पहले $n$ पदों के योग है। तब

$ S_n=a+a^{n}+a r^{2}+\ldots+a r^{n-1} \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1) $

केस 1 यदि $r=1$, तो हमें $S_n=a+a+a+\ldots+a(n$ पद $)=n a$ प्राप्त होता है

केस 2 यदि $r \neq 1$, तो (1) को $r$ से गुणा करने पर हमें प्राप्त होता है

$ r S_n=a r+a r^{2}+a r^{3}+\ldots+a r^{n} \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (2) $

(1) से (2) को घटाने पर, हमें प्राप्त होता है $(1-r) S_n=a-a r^{n}=a(1-r^{n})$

इससे हमें प्राप्त होता है $ \qquad \mathrm{S} n=\dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r} \text { or } \mathrm{S} _{n}=\dfrac{a\left(r^{n}-1\right)}{r-1} $

उदाहरण 4 G.P. $5,25,125, \ldots$ के $10^{\text{th }}$ और $n^{\text{th }}$ पद ज्ञात कीजिए।

हल यहाँ $a=5$ और $r=5$ है। इसलिए, $a _{10}=5(5)^{10-1}=5(5)^{9}=5^{10}$

और $a_n=a r^{n-1}=5(5)^{n-1}=5^{n}$.

उदाहरण 5 G.P., 2,8,32,… आदि के $n$ पदों में से कौन-सा पद 131072 है?

हल मान लीजिए 131072 दी गई G.P. का $n^{\text{वाँ}}$ पद है। यहाँ $a=2$ और $r=4$ है।

इसलिए $\quad 131072=a_n=2(4)^{n-1}$ या $65536=4^{n-1}$

इससे $\quad 4^{8}=4^{n-1}$ प्राप्त होता है।

इसलिए $n-1=8$, अर्थात $n=9$। अतः 131072 G.P. का $9^{\text{वाँ}}$ पद है।

उदाहरण 6 एक G.P. में, $3^{\text{वाँ}}$ पद 24 और $6^{\text{वाँ}}$ पद 192 है। $10^{\text{वाँ}}$ पद ज्ञात कीजिए।

हल यहाँ, $a_3=a r^{2}=24 \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1)$

and $ \quad \quad a_6=a r^{5}=192 \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (2) $

(2) को (1) से विभाजित करने पर, हमें $r=2$ प्राप्त होता है। $r=2$ को (1) में समाप्त करने पर, हमें $a=6$ प्राप्त होता है।

अतः $a _{10}=6(2)^{9}=3072$।

उदाहरण 7 गुणोत्तर श्रेणी $1+\dfrac{2}{3}+\dfrac{4}{9}+\ldots$ के पहले $n$ पदों के योग और पहले 5 पदों के योग ज्ञात कीजिए।

हल यहाँ $a=1$ और $r=\dfrac{2}{3}$ है। अतः

$ S_n=\dfrac{a(1-r^{n})}{1-r}=\dfrac{[1-(\dfrac{2}{3})^{n}]}{1-\dfrac{2}{3}}=3[1-(\dfrac{2}{3})^{n}] $

विशेष रूप से, $\quad S_5=3[1-(\dfrac{2}{3})^{5}]=3 \times \dfrac{211}{243}=\dfrac{211}{81}$।

उदाहरण 8 G.P. $3, \dfrac{3}{2}, \dfrac{3}{4}, \ldots$ के कितने पदों की आवश्यकता होगी ताकि उनका योग $\dfrac{3069}{512}$ हो?

हल मान लीजिए $n$ आवश्यक पदों की संख्या है। दिया गया है कि $a=3, r=\dfrac{1}{2}$ और $S_n=\dfrac{3069}{512}$

क्योंकि $ \quad \quad \quad S_n=\dfrac{a(1-r^{n})}{1-r} $

इसलिए $ \quad \quad \quad \dfrac{3069}{512}=\dfrac{3(1-\dfrac{1}{2^{n}})}{1-\dfrac{1}{2}}=6(1-\dfrac{1}{2^{n}}) $

या $ \quad \quad \quad \dfrac{3069}{3072}=1-\dfrac{1}{2^{n}} $

या $\quad \quad \quad \dfrac{1}{2^{n}} =1-\dfrac{3069}{3072}=\dfrac{3}{3072}=\dfrac{1}{1024}$

or $\quad \quad \quad2^{n} =1024=2^{10}, \text{ जिससे } n=10$

उदाहरण 9 एक गुणोत्तर श्रेणी (G.P.) के पहले तीन पदों का योग $\dfrac{13}{12}$ है और उनका गुणनफल -1 है। सार्व अनुपात और पद ज्ञात कीजिए।

हल मान लीजिए $\dfrac{a}{r}, a$, ar गुणोत्तर श्रेणी के पहले तीन पद हैं। तो

$ \dfrac{a}{r}+a r+a=\dfrac{13}{2} \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1) $

और $\quad(\dfrac{a}{r})(a)(a r)=-1 \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (2) $

(2) से, हमें $a^{3}=-1$, अर्थात $a=-1$ (केवल वास्तविक मूलों को ध्यान में रखते हुए) प्राप्त होता है।

$ a = -1 $ को समीकरण (1) में बदलते हुए, हम प्राप्त करते हैं

$ -\dfrac{1}{r}-1-r=\dfrac{13}{12} \text{ या } 12 r^{2}+25 r+12=0 \text{. } $

यह $ r $ के लिए एक द्विघात समीकरण है, हल करने पर हमें $ r = -\dfrac{3}{4} $ या $ -\dfrac{4}{3} $ प्राप्त होता है।

इसलिए, G.P. के तीन पद हैं: $ \dfrac{4}{3}, -1, \dfrac{3}{4} $ जब $ r = \dfrac{-3}{4} $ और $ \dfrac{3}{4}, -1, \dfrac{4}{3} $ जब $ r = \dfrac{-4}{3} $,

उदाहरण 10 7, 77, 777, 7777, … अनुक्रम के $ n $ पदों का योग ज्ञात कीजिए।

हल यह एक G.P. नहीं है, हालांकि हम इसे G.P. से संबंधित लिख सकते हैं द्वारा पदों को लिखते हैं

$ a = -1 $ को समीकरण (1) में बदलते हुए, हम प्राप्त करते हैं

$ -\dfrac{1}{r}-1-r=\dfrac{13}{12} \text{ या } 12 r^{2}+25 r+12=0 \text{. } $

यह $ r $ के लिए एक द्विघात समीकरण है, हल करने पर हमें $ r = -\dfrac{3}{4} $ या $ -\dfrac{4}{3} $ प्राप्त होता है।

इसलिए, G.P. के तीन पद हैं: $ \dfrac{4}{3}, -1, \dfrac{3}{4} $ जब $ r = \dfrac{-3}{4} $ और $ \dfrac{3}{4}, -1, \dfrac{4}{3} $ जब $ r = \dfrac{-4}{3} $,

उदाहरण 10 7, 77, 777, 7777, … अनुक्रम के $ n $ पदों का योग ज्ञात कीजिए।

हल यह एक G.P. नहीं है, हालांकि हम इसे G.P. से संबंधित लिख सकते हैं द्वारा पदों को लिखते हैं

$ S_n=7+77+777+7777+\ldots \text{ to } n \text{ terms } $

$ \begin{aligned} & =\dfrac{7}{9}[9+99+999+9999+\ldots \text{ to } n \text{ term }] \\ & =\dfrac{7}{9}[(10-1)+(10^{2}-1)+(10^{3}-1)+(10^{4}-1)+\ldots n \text{ terms }] \\ & =\dfrac{7}{9}[(10+10^{2}+10^{3}+\ldots n \text{ terms })-(1+1+1+\ldots n \text{ terms })] \\ & =\dfrac{7}{9} \left[ \dfrac{10(10^{n}-1)}{10-1}-n\right]=\dfrac{7}{9}\left[\dfrac{10(10^{n}-1)}{9}-n \right] . \end{aligned} $

उदाहरण 11 एक व्यक्ति के 2 पिता, 4 दादा-नाना, 8 पूर्वज, आदि होते हैं। उसके अपने से पहले दस पीढ़ियों में उसके पूर्वजों की संख्या ज्ञात कीजिए।

हल यहाँ $a=2, r=2$ और $n=10$

योग के सूत्र का उपयोग करते हुए $\quad S_n=\dfrac{a(r^{n}-1)}{r-1}$

हमारे पास $ \quad\quad\quad\quad S_{10}=2(2^{10}-1)=2046 $

अतः, व्यक्ति के पूर्व वंशजों की संख्या 2046 है।

8.4.3 गुणोत्तर अपवाद (G.M.)

दो धनात्मक संख्याओं $a$ और $b$ का गुणोत्तर अपवाद संख्या $\sqrt{a b}$ होती है। इसलिए, 2 और 8 का गुणोत्तर अपवाद 4 है। हम देखते हैं कि तीन संख्याएँ $2,4,8$ एक गुणोत्तर श्रेणी (G.P.) के क्रमागत पद हैं। इससे दो संख्याओं के गुणोत्तर अपवाद के अवधारणा के सामान्यीकरण को दर्शाया जाता है।

दिए गए कोई भी दो धनात्मक संख्याएँ $a$ और $b$ हों, तो हम उनके बीच किसी भी संख्या को जोड़ सकते हैं ताकि परिणामी अनुक्रम एक गुणोत्तर श्रेणी (G.P.) बन जाए।

मान लीजिए $G_1, G_2, \ldots, G_n$ धनात्मक संख्याओं $a$ और $b$ के बीच $n$ संख्याएँ हैं जैसे कि $a, G_1, G_2, G_3, \ldots, G_n, b$ एक G.P. हो। इसलिए, $b$ अनुक्रम का $(n+2)^{\text{th}}$ पद है, तो हम लिख सकते हैं:

$$ b=a r^{n+1}, \quad \text{ या } \quad r=\left(\dfrac{b}{a}\right)^{\dfrac{1}{n+1}} \text{. } $$

इसलिए $G_1=a r=a\left(\dfrac{b}{a}\right)^{\dfrac{1}{n+1}}, G_2=a r^{2}=a\left(\dfrac{b}{a}\right)^{\dfrac{2}{n+1}}, G_3=a r^{3}=a\left(\dfrac{b}{a}\right)^{\dfrac{3}{n+1}}$,

$ G_n=a r^{n}=a(\dfrac{b}{a})^{\dfrac{n}{n+1}} $

उदाहरण 12 1 और 256 के बीच तीन संख्याएँ डालें ताकि परिणामी अनुक्रम एक गुणोत्तर श्रेणी (G.P.) हो।

हल मान लीजिए $G_1, G_2, G_3$ 1 और 256 के बीच तीन संख्याएँ हैं जैसे कि

$1, G_1, G_2, G_3, 256$ एक G.P. है।

इसलिए $\quad 256=r^{4}$ देता है $r= \pm 4$ (केवल वास्तविक मूलों को लेते हुए)

$ r=4 $ के लिए, हमें $G_1=a r=4, G_2=a r^{2}=16, G_3=a r^{3}=64$ मिलते हैं।

इसी तरह, $ r=-4 $ के लिए, संख्याएँ $-4, 16$ और -64 हैं।

अतः, हम 1 और 256 के बीच 4, 16, 64 डाल सकते हैं ताकि परिणामी अनुक्रम G.P. में हो।

8.5 A.M. और G.M. के बीच संबंध

मान लीजिए $A$ और $G$ दो दिए गए धनात्मक वास्तविक संख्याओं $a$ और $b$ के क्रमशः A.M. और G.M. हैं। तब

$ A=\dfrac{a+b}{2} \text{ और } G=\sqrt{a b} $

इस प्रकार हमें प्राप्त होता है

$ \begin{aligned} A-G & =\dfrac{a+b}{2}-\sqrt{a b}=\dfrac{a+b-2 \sqrt{a b}}{2} \\ & =\dfrac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}}{2} \geq 0 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1) \end{aligned} $

(1) से, हमें संबंध $A \geq G$ प्राप्त होता है।

उदाहरण 13 दो धनात्मक संख्याओं $a$ और $b$ के A.M. और G.M. क्रमशः 10 और 8 हैं, तो संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

हल दिया गया है कि A.M. $=\dfrac{a+b}{2}=10 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1)$

और $ \text{ G.M. }=\sqrt{a b}=8 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (2) $

(1) और (2) से, हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} & a+b=20 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (3)\ & a b=64 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (4) \end{aligned} $

(3), (4) में से $a$ और $b$ के मान को पहचानकर पहचान $(a-b)^{2}=(a+b)^{2}-4 a b$ में रखने पर, हम प्राप्त करते हैं

$(a-b)^{2}=400-256=144$

or $\quad \quad \quad a-b= \pm 12 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (5)$

(3) और (5) को हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ a=4, b=16 \text{ or } a=16, b=4 $

इस प्रकार, संख्याएँ $a$ और $b$ क्रमशः 4,16 या 16,4 हैं।

विविध उदाहरण

उदाहरण 14 यदि $a, b, c, d$ और $p$ अलग-अलग वास्तविक संख्याएँ हैं जैसे कि $(a^{2}+b^{2}+c^{2}) p^{2}-2(a b+b c+c d) p+(b^{2}+c^{2}+d^{2}) \leq 0$, तो दिखाइए कि $a, b, c$ और $d$ एक गुणोत्तर श्रेणी में हैं।

हल दिया गया है कि

$ (a^{2}+b^{2}+c^{2}) p^{2}-2(a b+b c+c d) p+(b^{2}+c^{2}+d^{2}) \leq 0 \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1) $

लेकिन बायां पक्ष

$ =(a^{2} p^{2}-2 a b p+b^{2})+(b^{2} p^{2}-2 b c p+c^{2})+(c^{2} p^{2}-2 c d p+d^{2}), $

जो देता है $(a p-b)^{2}+(b p-c)^{2}+(c p-d)^{2} \geq 0 \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (2)$

क्योंकि वास्तविक संख्याओं के वर्गों का योग अऋणक होता है, इसलिए, (1) और (2) से,

हमें प्राप्त होता है, $\quad(a p-b)^{2}+(b p-c)^{2}+(c p-d)^{2}=0$

या $ \quad a p-b=0, b p-c=0, c p-d=0

$

इसका अर्थ है कि $\dfrac{b}{a}=\dfrac{c}{b}=\dfrac{d}{c}=p$

अतः $a, b, c$ और $d$ एक गुणोत्तर श्रेणी (G.P.) में हैं।

सारांश

• एक श्रेणी के अर्थ में, हम किसी नियम के अनुसार निश्चित क्रम में संख्याओं की व्यवस्था को समझते हैं। इसके अतिरिक्त, हम एक श्रेणी को एक फलन के रूप में परिभाषित करते हैं जिसका डोमेन प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय या इस प्रकार के कुछ उपसमुच्चय ${1,2,3, \ldots . k}$ होता है। एक श्रेणी में एक सीमित संख्या में पद हों तो इसे सीमित श्रेणी कहते हैं। एक श्रेी को असीमित कहते हैं यदि यह एक सीमित श्रेणी नहीं हो।

• मान लीजिए $a_1, a_2, a_3, \ldots$ एक अनुक्रम है, तो $a_1+a_2+a_3+\ldots$ इस अनुक्रम के योग के रूप में व्यक्त किया गया है जिसे श्रेणी कहते हैं। एक श्रेणी को समाप्त श्रेणी कहा जाता है यदि इसमें अंकित पदों की संख्या समाप्त हो।

• एक अनुक्रम को गुणोत्तर श्रेणी या G.P. कहा जाता है, यदि इसके किसी भी पद के अपने पूर्ववर्ती पद के अनुपात के समान होता है। इस नियत गुणक को सामान्य अनुपात कहते हैं। आमतौर पर, हम एक G.P. के पहले पद को $a$ और इसके सामान्य अनुपात को $r$ से दर्शाते हैं। G.P. के सामान्य या $n^{\text{th}}$ पद को $a_n = a r^{n-1}$ द्वारा दिया जाता है।

The sum $S_n$ of the first $n$ terms of G.P. is given by
$\qquad \mathrm{S} _{n}=\dfrac{a\left(r^{n}-1\right)}{r-1}$ or $\dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$ if $r \neq 1$

• The geometric mean (G.M.) of any two positive numbers $a$ and $b$ is given by $\sqrt{a b}$ i.e., the sequence $a, G, b$ is G.P.

Historical Note

उस समय के आंकड़ों के आधार पर पता चलता है कि बाबylonians, लगभग 4000 साल पहले, अंकगणितीय और गुणोत्तर श्रेणियों के बारे में जानते थे। बोथियस (510) के अनुसार, अंकगणितीय और गुणोत्तर श्रेणियों के बारे में ज्ञान प्राचीन ग्रीक लेखकों द्वारा था। भारतीय गणितज्ञों में, आर्यभट्ट (476) ने अपने प्रसिद्ध कार्य आर्यभटीयम में, लगभग 499 में लिखे गए, प्राकृतिक संख्याओं के वर्ग और घनों के योग के सूत्र के लिए पहली बार सूत्र दिया। उन्होंने एक अंकगणितीय श्रेणी के पहले $p^{\text{th }}$ पद से $n$ पदों के योग के सूत्र के बारे में भी बताया। भारतीय गणितज्ञ ब्रह्मगुप्ता (598), महावीर (850) और भास्कर (1114-1185) ने भी वर्ग और घनों के योग के बारे में विचार किया। गणित में महत्वपूर्ण अनुप्रयोगों वाले एक अन्य विशिष्ट प्रकार की श्रेणी, जिसे फिबोनैकि श्रेणी कहा जाता है, के बारे में इटालवी गणितज्ञ लेओनार्डो फिबोनैकि (1170-1250) द्वारा खोज किया गया। सातवीं सदी में श्रेणियों के विशिष्ट रूपों में वर्गीकरण के दौर का अवलोकन किया गया। 1671 में जेम्स ग्रेगरी ने अपरिमित श्रेणी के शब्द का उपयोग अपरिमित श्रेणी से संबंधित किया। श्रेणी और श्रेणियों से संबंधित अवधारणाओं के उचित रूप से सूत्रीकरण के लिए बीजगणितीय और समुच्चय सिद्धांत के उच्च गुणवत्ता वाले उपकरणों के विकास के माध्यम से ही संभव हुआ।