ज्योमेट्री, एक तार्किक प्रणाली के रूप में, बच्चों को अपने आपके आत्मा के शक्ति के बारे में अहसास कराने के एक तरीका और एक सबसे मजबूत तरीका है। - एच। फ्रीडेंटहल

9.1 परिचय

हम पहले कक्षाओं से द्विविमीय निर्देशांक ज्योमेट्री के साथ परिचित हैं। मुख्य रूप से, यह बीजगणित और ज्योमेट्री के संयोजन है। बीजगणित के उपयोग द्वारा ज्योमेट्री के एक प्रणालीक अध्ययन के लिए पहली बार प्रसिद्ध फ्रांसीसी दार्शनिक और गणितज्ञ रेने डेकार्ट द्वारा अपनी किताब ‘La Géométry’ में किया गया था, जो 1637 में प्रकाशित किया गया था। इस किताब ने एक वक्र के समीकरण की अवधारणा और संबंधित विश्लेषणात्मक विधियों को ज्योमेट्री के अध्ययन में प्रमुख बना दिया। इस परिणाम के रूप में विश्लेषण और ज्योमेट्री के संयोजन को अब विश्लेषणात्मक ज्योमेट्री के रूप में संदर्भित किया जाता है। पहले कक्षाओं में हम निर्देशांक ज्योमेट्री के अध्ययन की शुरुआत करते हैं, जहाँ हम निर्देशांक अक्ष, निर्देशांक तल, तल में बिंदुओं के आलेखन, दो बिंदुओं के बीच दूरी, खंडन सूत्र, आदि के बारे में अध्ययन करते हैं। इन सभी अवधारणाओं को निर्देशांक ज्योमेट्री के मूल आधार माना जाता है।

René Descartes (1596 -1650)

हमें पिछली कक्षाओं में किए गए निर्देशांक ज्यामिति का एक छोटा सा उल्लेख करते हैं। फिर भी, XY-तल में बिंदुओं $(6,-4)$ और $(3,0)$ के स्थान को आकृति 9.1 में दिखाया गया है।

चित्र 9.1

हम ध्यान दे सकते हैं कि बिंदु $(6,-4)$ धनात्मक $x$-अक्ष के अनुदिश $y$-अक्ष से 6 इकाई की दूरी पर है और ऋणात्मक $y$-अक्ष के अनुदिश $x$-अक्ष से 4 इकाई की दूरी पर है। इसी तरह, बिंदु $(3,0)$ धनात्मक $x$-अक्ष के अनुदिश $y$-अक्ष से 3 इकाई की दूरी पर है और $x$-अक्ष से शून्य दूरी पर है। सूत्र:

हमने वहां निम्नलिखित महत्वपूर्ण सूत्र भी अध्ययन किए थे:

I. बिंदु $P(x_1, y_1)$ और $Q(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी है

$ PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}} `

$

उदाहरण के लिए, बिंदुओं $(6,-4)$ और $(3,0)$ के बीच की दूरी है

$ \sqrt{(3-6)^{2}+(0+4)^{2}}=\sqrt{9+16}=5 \text{ इकाई। } $

II. बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ को मिलाने वाले रेखाखंड के एक बिंदु के निर्देशांक, जो बिंदुओं के बीच $m: n$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है, हैं $\left(\dfrac{m x_2+n x_1}{m+n}, \dfrac{m y_2+n y_1}{m+n}\right)$।

उदाहरण के लिए, बिंदुओं A $(1,-3)$ और $B(-3,9)$ को मिलाने वाले रेखाखंड के बिंदु के निर्देशांक, जो बिंदुओं के बीच $1: 3$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है, निम्नलिखित द्वारा दिए गए हैं $x=\dfrac{1 .(-3)+3.1}{1+3}=0$ $\text{ और } y=\dfrac{1.9+3 \cdot(-3)}{1+3}=0$

III. विशेष रूप से, यदि $m=n$, तो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ को मिलाने वाले रेखा खंड के मध्य-बिंदु के निर्देशांक $\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{3}\right)$ होते हैं।

IV. त्रिभुज का क्षेत्रफल, जिसके शीर्ष $(x_{1}, y_1),(x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ हैं, है

$\dfrac{1}{2}\left|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)\right| .$

उदाहरण के लिए, बिंदुओं $(4,4),(3,-2)$ और $(-3,16)$ के त्रिभुज का क्षेत्रफल है

$ \dfrac{1}{2}|4(-2-16)+3(16-4)+(-3)(4+2)|=\dfrac{|-54|}{2}=27 `

$

टिप्पणी यदि त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल शून्य है, तो बिंदु $A, B$ और $C$ एक सरल रेखा पर स्थित होते हैं, अर्थात वे संरेख होते हैं।

इस अध्याय में, हम निर्देशांक ज्यामिति के अध्ययन को आगे बढ़ाएंगे ताकि सबसे सरल ज्यामितीय आकृति - सरल रेखा के गुणधर्मों का अध्ययन कर सकें। इसके बावजूद इसकी सरलता के बावजूद, रेखा ज्यामिति की एक महत्वपूर्ण अवधारणा है और हमारे दैनिक अनुभव में बहुत सारे रोचक और उपयोगी तरीकों से प्रवेश करती है। मुख्य ध्यान रेखा को बीजगणितीय रूप से प्रस्तुत करने पर है, जिसके लिए ढलान सबसे महत्वपूर्ण है।

9.2 रेखा की प्रतिशत ढलान

एक समतल में एक रेखा $x$-अक्ष के साथ दो कोण बनाती है, जो पूरक होते हैं। रेखा $l$ द्वारा धनात्मक $x$-अक्ष की दिशा के साथ बनाया गया कोण (मान लीजिए) $\theta$ जो वृहद घड़ी के विपरीत दिशा में मापा जाता है, रेखा की ढलान कहलाता है। स्पष्ट रूप से $0^{\circ} \leq \theta \leq 18 डिग्री$ (चित्र 9.2)।

${}$

हम देखते हैं कि $x$-अक्ष के समानांतर रेखाएँ, या $x$-अक्ष के साथ संपाती रेखाएँ, $0^{\circ}$ के झुकाव के अनुरूप होती हैं। एक ऊर्ध्वाधर रेखा (जो $y$-अक्ष के समानांतर या उसके साथ संपाती हो) का झुकाव $90^{\circ}$ होता है।

परिभाषा 1 यदि $\theta$ एक रेखा $l$ का झुकाव है, तो $\tan \theta$ को रेखा $l$ की प्रवृत्ति या ढलान कहते हैं।

एक रेखा की प्रवृत्ति जिसका झुकाव $90^{\circ}$ हो, अनिर्धारित होती है। एक रेखा की प्रवृत्ति $m$ से दर्शाई जाती है।

इस प्रकार, $m=\tan \theta, \theta \neq 9 डिग्री$ यह देखा जा सकता है कि $x$-अक्ष की प्रवृत्ति शून्य होती है और $y$-अक्ष की प्रवृत्ति अनिर्धारित होती है।

9.2.1 रेखा की प्रतिशत ढलान जब रेखा पर कोई दो बिंदुओं के निर्देशांक दिए गए हों

हम जानते हैं कि जब हमें एक रेखा पर दो बिंदु दिए गए हों, तो रेखा पूरी तरह से निर्धारित हो जाती है। इसलिए, हम रेखा की प्रतिशत ढलान को रेखा पर दो बिंदुओं के निर्देशांक के अनुसार ज्ञात करेंगे।

मान लीजिए $P(x_1, y_1)$ और $Q(x_2, y_2)$ एक ऐसी रेखा $l$ पर दो बिंदु हैं जिसकी झुकाव कोण $\theta$ है। स्पष्ट रूप से, $x_1 \neq x_2$ अन्यथा रेखा $x$-अक्ष के लंबवत हो जाएगी और इसकी प्रतिशत ढलान परिभाषित नहीं होगी। रेखा $l$ की झुकाव कोण एक न्यून कोण या एक अधिक कोण हो सकता है। हम इन दो स्थितियों को लेकर चलते हैं।

कोण $ \theta $ न्यून होने की स्थिति:

चित्र 9.3 में

(i), $ \angle MPQ=\theta \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1) $

इसलिए, रेखा $ l $ की ढलान $ m=\tan \theta $ है।

लेकिन $ \triangle MPQ $ में, हम लिख सकते हैं $ \tan \theta=\dfrac{MQ}{MP}=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (2) $

समीकरण (1) और (2) से, हमें प्राप्त होता है

$ m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} $

केस II जब कोण $\theta$ अधिक कोण हो:

चित्र 9.3 में

(ii), हमें $\angle MPQ=18,0^{\circ}-\theta$ प्राप्त होता है।

इसलिए, $\theta=180^{\circ}-\angle MPQ$ होता है।

अब, रेखा $l$ की ढलान $m=\tan \theta$ होती है।

$ \begin{aligned} & =\tan \left(180^{\circ}-\angle \mathrm{MPQ}\right) \\ & =-\tan \angle \mathrm{MPQ} \\ & =-\dfrac{\mathrm{MQ}}{\mathrm{MP}}=-\dfrac{y _{2}-y _{1}}{x _{1}-x _{2}}=\dfrac{y _{2}-y _{1}}{x _{2}-x _{1}} .

\end{aligned} $

इसलिए, हम देखते हैं कि दोनों मामलों में बिंदु $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ से गुजरने वाली रेखा की ढलान $m$ निम्नलिखित द्वारा दी जाती है $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.

9.2.2 ढलान के आधार पर रेखाओं के समांतरता और लंबता की शर्तें

एक समतल में, मान लीजिए कि ऊर्ध्वाधर रेखाएँ $l_1$ और $l_2$ क्रमशः $m_1$ और $m_2$ ढलान रखती हैं। मान लीजिए उनके झुकाव कोण क्रमशः $\alpha$ और $\beta$ हैं।

यदि रेखा $\boldsymbol{l_1}$, $\boldsymbol{l_2}$ (चित्र 9.4) के समांतर है, तो उनके झुकाव कोण बराबर होते हैं, अर्थात,

चित्र 9.4

$ \alpha=\beta, \text{ और इसलिए, } \tan \alpha=\tan \beta $

इसलिए $\quad m _{1}=m _{2}$, अर्थात, उनके ढलान समान हैं।

विपरीत रूप से, यदि दो रेखाओं $l_1$ और $l_2$ के ढलान समान हैं, अर्थात,

$ m_1=m_2 $

तो $ \quad \tan \alpha=\tan \beta \text{। } $

तंगतन फ़ंक्शन के गुणधर्म (0° और 180° के बीच) के कारण, $\alpha=\beta$।

इसलिए, रेखाएँ समांतर हैं।

इसलिए, दो असमान्तर रेखाएँ $l_1$ और $l_2$ समांतर होंगी यदि और केवल यदि उनके ढलान समान हों।

यदि रेखाएँ $ \boldsymbol{l_1 } $ और $\boldsymbol{l_2 } $ लंबवत हों (चित्र 9.5), तो $\beta=\alpha+90^{\circ}$ होता है।

चित्र 9.5

इसलिए, $\quad \tan \beta=\tan (\alpha+90^{\circ})$

$ =-\cot \alpha=-\dfrac{1}{\tan \alpha} $

अर्थात, $\quad m_2=-\dfrac{1}{m_1}$ या $\quad m_1 m_2=-1$

विपरीत रूप से, यदि $m_1 m_2=-1$, अर्थात $\tan \alpha \tan \beta=-1$.

तब $\tan \alpha=-\cot \beta=\tan (\beta+90^{\circ})$ या $\tan (\beta-90^{\circ})$

इसलिए, $\alpha$ और $\beta$ में $90^{\circ}$ का अंतर होता है।

इसलिए, रेखाएँ $l_1$ और $l_2$ एक दूसरे के लंबवत होती हैं।

अतः, दो ऐसी रेखाएँ जो ऊर्ध्वाधर नहीं हों, एक दूसरे के लंबवत होती हैं यदि और केवल यदि उनके ढलान एक दूसरे के ऋणात्मक प्रतिलोम हों।

i.e., $\quad m_2=-\dfrac{1}{m_1}$ या, $m_1 m_2=-1$।

हम निम्नलिखित उदाहरण को ध्यान में रखते हुए चलते हैं।

उदाहरण 1 रेखाओं के ढलान ज्ञात कीजिए:

(a) बिंदुओं $(3,-2)$ और $(-1,4)$ से गुजरती हुई,

(b) बिंदुओं $(3,-2)$ और $(7,-2)$ से गुजरती हुई,

(c) बिंदुओं $(3,-2)$ और $(3,4)$ से गुजरती हुई,

(d) $x$-अक्ष के धनात्मक दिशा के साथ $60^{\circ}$ का झुकाव करती हुई।

हल (a) बिंदुओं $(3,-2)$ और $(-1,4)$ से गुजरती रेखा का ढलान है

$ m=\dfrac{4-(-2)}{-1-3}=\dfrac{6}{-4}=-\dfrac{3}{2} `

$

(b) बिंदुओं $(3,-2)$ और $(7,-2)$ के माध्यम से रेखा की प्रवणता है

$ m=\dfrac{-2-(-2)}{7-3}=\dfrac{0}{4}=0 $

(c) बिंदुओं $(3,-2)$ और $(3,4)$ के माध्यम से रेखा की प्रवणता है

$ m=\dfrac{4-(-2)}{3-3}=\dfrac{6}{0} \text{, जो परिभाषित नहीं है। } $

(d) रेखा का झुकाव $\alpha=60^{\circ}$ है। अतः रेखा की प्रवणता है

$ m=\tan 60^{\circ}=\sqrt{3} \text{। } $

9.2.3 दो रेखाओं के बीच कोण

जब हम एक तल में एक से अधिक रेखाओं के बारे में सोचते हैं, तो हम देखते हैं कि ये रेखाएँ या तो प्रतिच्छेद करती हैं या समांतर होती हैं। यहाँ हम दो रेखाओं के बीच कोण के बारे में उनकी प्रवणताओं के आधार पर चर्चा करेंगे।

Let $L_1$ और $L_2$ दो ऐसी रेखाएँ हों, जिनके ढलान $m_1$ और $m_2$ हों, क्रमशः। यदि $\alpha_1$ और $\alpha_2$ रेखाओं $L_1$ और $L_2$ के झुकाव हों, क्रमशः। तो

$ m_1=\tan \alpha_1 \text{ और } m_2=\tan \alpha_2 . $

हम जानते हैं कि जब दो रेखाएँ एक दूसरे के साथ प्रतिच्छेद करती हैं, तो वे दो जोड़े विपरीत कोण बनाती हैं जैसे कि किसी भी दो संलग्न कोणों के योग $18 डिग्री$ होता है। मान लीजिए $\theta$ और $\phi$ रेखाओं $L_1$ और $L_2$ के बीच संलग्न कोण हों (चित्र 9.6)। तो

$ \theta=\alpha_2-\alpha_1 \text{ और } \alpha_1, \alpha_2 \neq 90^{\circ} \text{। } $

इसलिए $\tan \theta=\tan (\alpha_2-\alpha_1)=\dfrac{\tan \alpha_2-\tan \alpha_1}{1+\tan \alpha_1 \tan \alpha_2}=\dfrac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2} \quad(.$ जैसे $.1+m_1 m_2 \neq 0)$ और $\phi=180^{\circ}-\theta$

ताकि $\tan \phi=\tan (180^{\circ}-\theta)=-\tan \theta=-\dfrac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2}$, जैसे $1+m_1 m_2 \neq 0$

अब, दो मामले उत्पन्न होते हैं:

मामला I यदि $\dfrac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2}$ धनात्मक है, तो $\tan \theta$ धनात्मक होगा और $\tan \phi$ नकारात्मक होगा, जिसका अर्थ है कि $\theta$ न्यूनकोण होगा और $\phi$ अधिककोण होगा।

केस II यदि $\dfrac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2}$ नकारात्मक है, तो $\tan \theta$ नकारात्मक होगा और $\tan \phi$ धनात्मक होगा, जिसका अर्थ है कि $\theta$ अधिक कोण होगा और $\phi$ न्यून कोण होगा।

इसलिए, रेखाओं $L_1$ और $L_2$ के बीच न्यून कोण (कहें $\theta$ ) जो कि क्रमशः $m_1$ और $m_2$ प्रतिशत हैं, निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

$ \tan \theta=\left|\dfrac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2}\right|, \text{ क्योंकि } 1+m_1 m_2 \neq 0 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots(1) $

अधिक कोण (कहें $\phi$ ) को निम्नलिखित द्वारा ज्ञात किया जा सकता है $\phi=18 डिग्री - \theta$।

उदाहरण 2 यदि दो रेखाओं के बीच का कोण $\dfrac{\pi}{4}$ है और एक रेखा का ढलान $\dfrac{1}{2}$ है, तो दूसरी रेखा का ढलान ज्ञात कीजिए।

हल हम जानते हैं कि दो रेखाओं के बीच न्यून कोण $\theta$ जो ढलान $m_1$ और $m_2$ वाली रेखाओं के बीच होता है, निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है

$\quad \tan \theta=\left|\dfrac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2} \right| \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots(1)$

मान लीजिए $~m_1=\dfrac{1}{2}, m_2=m$ और $\theta=\dfrac{\pi}{4}$।

अब, (1) में इन मानों को रखने पर हमें प्राप्त होता है

$ \tan \dfrac{\pi}{4}=\left|\dfrac{m-\dfrac{1}{2}}{1+\dfrac{1}{2} m}\right| \text{ या } 1=\left|\dfrac{m-\dfrac{1}{2}}{1+\dfrac{1}{2} m}\right| `

$

जो कि $\quad \dfrac{m-\dfrac{1}{2}}{1+\dfrac{1}{2} m}=1$ या $\dfrac{m-\dfrac{1}{2}}{1+\dfrac{1}{2} m}=-1$ देता है।

इसलिए $m=3$ या $m=-\dfrac{1}{3}$ है।

अतः दूसरी रेखा की प्रवणता 3 या $-\dfrac{1}{3}$ है। आकृति 9.7 दो उत्तरों के कारण को समझाती है।

आकृति 9.7

उदाहरण 3 बिंदुओं $(-2,6)$ और $(4,8)$ से गुजरने वाली रेखा, बिंदुओं $(8,12)$ और $(x, 24)$ से गुजरने वाली रेखा के लंबवत है। $x$ का मान ज्ञात कीजिए।

हल बिंदुओं $(-2,6)$ और $(4,8)$ के माध्यम से रेखा की ढलान है

$ m_1=\dfrac{8-6}{4-(-2)}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3} $

बिंदुओं $(8,12)$ और $(x, 24)$ के माध्यम से रेखा की ढलान है

$ m_2=\dfrac{24-12}{x-8}=\dfrac{12}{x-8} $

क्योंकि दो रेखाएँ लंब एक दूसरे पर हैं, $m_1 m_2=-1$, जिससे प्राप्त होता है

$ \dfrac{1}{3} \times \dfrac{12}{x-8}=-1 \text{ या } x=4 \text{। } $

9.3 रेखा के समीकरण के विभिन्न रूप

हम जानते हैं कि तल में प्रत्येक रेखा इस पर अपरिमित बिंदुओं को धारण करती है। रेखा और बिंदुओं के बीच इस संबंध के कारण हम निम्नलिखित समस्या के समाधान की खोज करते हैं:

दी गई रेखा पर दिया गया बिंदु कैसे कहा जा सकता है? इसका उत्तर यह हो सकता है कि दी गई रेखा के लिए हमें रेखा पर स्थित बिंदुओं के लिए एक निश्चित स्थिति होनी चाहिए। मान लीजिए $P(x, y)$ XY-तल में एक अस्थिर बिंदु है और $L$ दी गई रेखा है। रेखा $L$ के समीकरण के लिए, हम बिंदु $P$ के लिए एक कथन या स्थिति का निर्माण करना चाहते हैं जो जब $P$ रेखा $L$ पर होता है तो सत्य होता है, अन्यथा असत्य होता है। निश्चित रूप से, यह कथन केवल $x$ और $y$ के चर वाले एक बीजगणितीय समीकरण होता है। अब, हम विभिन्न स्थितियों में रेखा के समीकरण के बारे में चर्चा करेंगे।

9.3.1 क्षैतिज एवं ऊर्ध्वाधर रेखाएँ

यदि एक क्षैतिज रेखा $L$ $x$-अक्ष से $a$ दूरी पर है, तो रेखा पर स्थित प्रत्येक बिंदु की भुजा $a$ या $-a$ होती है [चित्र 9.8 (a)]। अतः रेखा $L$ का समीकरण $y = a$ या $y = -a$ होता है। चिन्ह के चयन के लिए रेखा की स्थिति पर निर्भर करता है, जैसे रेखा $y$-अक्ष के ऊपर या नीचे हो। इसी तरह, $y$-अक्ष से $b$ दूरी पर एक ऊर्ध्वाधर रेखा का समीकरण $x = b$ या $x = -b$ होता है [चित्र 9 आठ (b)]।

उदाहरण 4 $(-2,3)$ से गुजरते हुए एवं अक्षों के समानांतर रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए।

चित्र 9.9

हल रेखाओं की स्थिति चित्र 9.9 में दिखाई गई है। एक रेखा जो $x$-अक्ष के समानांतर है, उसके पर बिंदुओं के $y$-निर्देशांक हमेशा 3 होते हैं, अतः $(-2,3)$ से गुजरते हुए $x$-अक्ष के समानांतर रेखा का समीकरण $y=3$ है। इसी तरह, $(-2,3)$ से गुजरते हुए $y$-अक्ष के समानांतर रेखा का समीकरण $x=-2$ है।

9.3.2 बिंदु-ढलान रूप

मान लीजिए कि $P_0(x_0, y_0)$ एक अनुकूल रेखा $L$ पर एक निश्चित बिंदु है, जिसकी ढलान $m$ है। मान लीजिए $P(x, y)$ रेखा $L$ पर कोई अस्थायी बिंदु है (चित्र 9.10)।

चित्र 9.10

तब, परिभाषा के अनुसार, रेखा $L$ की ढलान द्वारा दी गई है

$ m=\dfrac{y-y_0}{x-x_0} \text{, अर्थात } y-y_0=m(x-x_0) \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1)

$

क्योंकि बिंदु $P_0(x_0, y_0)$ तथा सभी बिंदु $(x, y)$ रेखा $L$ पर समीकरण (1) को संतुष्ट करते हैं और तल में कोई अन्य बिंदु समीकरण (1) को संतुष्ट नहीं करता। अतः समीकरण (1) वास्तविक रूप से दी गई रेखा $L$ का समीकरण है।

इसलिए, बिंदु $(x, y)$ एक निश्चित बिंदु $(x_0, y_0)$ से गुजरने वाली ढलान $m$ वाली रेखा पर स्थित होता है, यदि और केवल यदि इसके निर्देशांक समीकरण

$ y-y_0=m(x-x_0) $

को संतुष्ट करते हैं।

उदाहरण 5 $(-2,3)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसकी ढलान -4 है।

हल यहाँ $m=-4$ तथा दिया गया बिंदु $(x_0, y_0)$ है $(-2,3)$।

ऊपर दिए गए ढलान-अपवाह रूप सूत्र (1) के अनुसार, दी गई रेखा का समीकरण है

$y-3=-4(x+2)$ या

$4 x+y+5=0$, जो आवश्यक समीकरण है।

9.3.3 दो बिंदु रूप

मान लीजिए रेखा $L$ दो दिए गए बिंदुओं $P_1(x_1, y_1)$ और $P_2(x_2, y_2)$ से गुजरती है। मान लीजिए $P(x, y)$ रेखा $L$ पर कोई सामान्य बिंदु है (चित्र 9.11)।

चित्र 9.11

तीन बिंदु $P_1, P_2$ और $P$ संरेख हैं, इसलिए हम लिख सकते हैं

चित्र 9.11 में $P_1 P=$ $P_1 P_2$ की ढलान

$ \text{ अर्थात, } \quad \dfrac{y-y_1}{x-x_1}=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}, \quad \text{ या } \quad y-y_1=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1) \text{. } $

इस प्रकार, बिंदु $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण निम्नलिखित है

$ y-y_1=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1) \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (2) $

उदाहरण 6 बिंदु $(1,-1)$ और $(3,5)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण लिखिए।

हल यहाँ $x_1=1, y_1=-1, x_2=3$ और $y_2=5$ है। रेखा के समीकरण के लिए दो बिंदु रूप (2) का उपयोग करते हुए, हमें प्राप्त होता है

$ y-(-1)=\dfrac{5-(-1)}{3-1}(x-1) $

या $ -3 x+y+4=0 \text{, जो अभीष्ट समीकरण है। } $

9.3.4 ढलान-अंतः स्थल रूप

कभी-कभी हमें एक रेखा इसके ढलान और एक अक्ष पर अंतः स्थल के साथ ज्ञात होती है। अब हम ऐसी रेखाओं के समीकरण ज्ञात करेंगे।

केस I मान लीजिए एक रेखा $L$ ढलान $m$ के साथ $y$-अक्ष के एक बिंदु पर $c$ की दूरी पर काटती है (चित्र 9.12)। दूरी $c$ को रेखा $L$ का $y$-अंतः स्थल कहते हैं। स्पष्ट रूप से, रेखा जहां $y$-अक्ष को काटती है वहां के बिंदु के निर्देशांक $(0, c)$ होते हैं। इस प्रकार, $L$ का ढलान $m$ है और यह एक निश्चित बिंदु $(0, c)$ से गुजरती है। अतः, बिंदु-ढलान रूप के अनुसार, रेखा $L$ का समीकरण है

चित्र 9.12

$y-c=m(x-0)\quad$ या $\quad y=m x+c$

इस प्रकार, रेखा पर बिंदु $(x, y)$ तब और केवल तब रेखा पर स्थित होगा जबकि रेखा की प्रतिशत दर $m$ और $y$-अक्ष पर अंतर्वेध $c$ हो:

$ y=m x+c \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots(3) $

ध्यान दें कि $c$ का मान धनात्मक या ऋणात्मक होगा, जबकि अंतर्वेध $y$-अक्ष के धनात्मक या ऋणात्मक भाग पर किया जाता है।

केस II मान लीजिए रेखा $L$ ढलान $m$ के साथ $x$-अक्ष के अन्तर्वेध $d$ करती है। तो $L$ का समीकरण है

$ y=m(x-d) \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots(4) $

छात्र इस समीकरण को अपने द्वारा उसी विधि के द्वारा केस I के जैसे निर्माण कर सकते हैं।

उदाहरण 7 लिखिए रेखाओं के समीकरण जिनके लिए $\tan \theta=\dfrac{1}{2}$, जहाँ $\theta$ रेखा के झुकाव है और (i) $y$-अक्ष का अन्तर्वेध $-\dfrac{3}{2}$ है (ii) $x$-अक्ष का अन्तर्वेध 4 है।

हल (i) यहाँ, रेखा का ढलान $m=\tan \theta=\dfrac{1}{2}$ है और $y$ - अन्तर्वेध $c=-\dfrac{3}{2}$ है।

इसलिए, ढलान-अंतः स्थल रूप (3) के अनुसार, रेखा का समीकरण है

$ y=\dfrac{1}{2} x-\dfrac{3}{2} \text{ या } 2 y-x+3=0 \text{, } $

जो आवश्यक समीकरण है।

(ii) यहाँ, हमें $m=\tan \theta=\dfrac{1}{2}$ और $d=4$ है।

इसलिए, ढलान-अंतः स्थल रूप (4) के अनुसार, रेखा का समीकरण है

$ y=\dfrac{1}{2}(x-4) \text{ या } 2 y-x+4=0 \text{, } $

जो आवश्यक समीकरण है।

9.3.5 अंतः स्थल रूप

मान लीजिए एक रेखा L अक्षों पर $x$-अंतः स्थल $a$ और $y$-अंतः स्थल $b$ बनाती है। स्पष्ट रूप से $L$ बिंदु $(a, 0)$ पर $x$-अक्ष को और बिंदु $(0, b)$ पर $y$-अक्ष को मिलती है (चित्र 9.13)। रेखा के समीकरण के दो बिंदु रूप के अनुसार, हमें प्राप्त होता है

चित्र 9.13

$y-0=\dfrac{b-0}{0-a}(x-a)\quad$ या $\quad a y=-b x+a b$,

अर्थात, $\quad \dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1$

इस प्रकार, $x$-अक्ष और $y$-अक्ष क्रमशः $a$ और $b$ के अपवर्तन करने वाली रेखा का समीकरण है

$ \dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (5) $

उदाहरण 8 $x$-अक्ष और $y$-अक्ष क्रमशः -3 और 2 के अपवर्तन करने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

हल यहाँ $a=-3$ और $b=2$ है। प्रतिच्छेद रूप (ऊपर 5) के अनुसार, रेखा का समीकरण है

$ \dfrac{x}{-3}+\dfrac{y}{2}=1 \quad \text{ या } \quad 2 x-3 y+6=0 $

किसी भी रूप के समीकरण $A x+B y+C=0$, जहाँ $A$ और $B$ एक साथ शून्य नहीं होते, को सामान्य रेखीय समीकरण या सामान्य रेखा का समीकरण कहा जाता है।

9.4 एक बिंदु से एक रेखा की दूरी

एक बिंदु के एक रेखा से दूरी उस लंब की लंबाई होती है जो बिंदु से रेखा तक खींची गई हो। मान लीजिए $L: A x+By+C=0$ एक रेखा है, जिसकी दूरी बिंदु $P(x_1, y_1)$ से $d$ है। बिंदु $P$ से रेखा $L$ पर लंब PM खींचिए (चित्र 9.14)। यदि रेखा

चित्र 9.14

$x$- और $y$- अक्षों को क्रमशः बिंदुओं $Q$ और $R$ पर काटती है। तब, बिंदुओं के निर्देशांक $Q\left(-\dfrac{C}{A}, 0 \right)$ और $R\left(0,-\dfrac{C}{B}\right)$ हैं। इस प्रकार, त्रिभुज $P Q R$ का क्षेत्रफल निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

$ \text{ क्षेत्रफल }(\Delta PQR)=\dfrac{1}{2} PM \cdot QR \text{, जो } PM=\dfrac{2 क्षेत्रफल(\Delta PQR)}{QR} \quad \quad \quad \ldots (1) $

इसके अतिरिक्त, क्षेत्रफल $(\Delta PQR)=\dfrac{1}{2}\left|x_1\left(0+\dfrac{C}{B}\right)+\left(-\dfrac{C}{A}\right)\left(-\dfrac{C}{B}-y_1\right)+0(y_1-0)\right|$

$ =\dfrac{1}{2}\left|x_1 \dfrac{C}{B}+y_1 \dfrac{C}{A}+\dfrac{C^{2}}{AB}\right| $

या $\quad$ 2 क्षेत्रफल $~(\Delta PQR)=\left|\dfrac{C}{AB}\right| \cdot \left|A _{x_1}+B y_1+C \right|$, और

$ QR=\sqrt{(0+\dfrac{C}{A})^{2}+(\dfrac{C}{B}-0)^{2}}=\left|\dfrac{C}{AB}\right| \sqrt{A^{2}+B^{2}} $

$

मान लीजिए कि क्षेत्रफल $(\triangle PQR)$ और $QR$ के मान समीकरण (1) में रखे जाएं, तो हम प्राप्त करते हैं

$ PM=\dfrac{|A x_1+B y_1+C|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}} $

या $ \qquad d=\dfrac{|A x_1+B y_1+C|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}} . $

इस प्रकार, एक रेखा $A x+B y+C=0$ के बिंदु $(x_1, y_1)$ से लंब दूरी $(d)$ द्वारा दी जाती है

$ d=\dfrac{|A x_1+B y_1+C|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}} . $

9.4.1 दो समांतर रेखाओं के बीच की दूरी

हम जानते हैं कि दो समांतर रेखाओं के ढलान बराबर होते हैं। अतः, दो समांतर रेखाओं को निम्न रूप में लिया जा सकता है

$\quad \quad \quad\quad y=m x+c_1 \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1)$

and $\quad \quad \quad y=m x+c_2 \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (2)$

रेखा (1) एक्स-अक्ष को बिंदु $A\left(-\dfrac{c_1}{m}, 0 \right)$ पर काटेगी, जैसा कि आकृति 9.15 में दिखाया गया है।

आकृति 9.15

दो रेखाओं के बीच की दूरी बिंदु A से रेखा (2) पर लंब की लंबाई के बराबर होती है। अतः रेखाओं (1) और (2) के बीच की दूरी है

$ \dfrac{\left|(-m)(-\dfrac{c_1}{m})+(-c_2)\right|}{\sqrt{1+m^{2}}} \text{ या } d=\dfrac{|c_1-c_2|}{\sqrt{1+m^{2}}} \text{. } $

इस प्रकार, समानांतर रेखाओं $y=m x+c_1$ और $y=m x+c_2$ के बीच की दूरी $d$ निम्नलिखित द्वारा दी जाती है

$ d=\dfrac{|c_1-c_2|}{\sqrt{1+m^{2}}} $

यदि रेखाएँ सामान्य रूप में दी गई हैं, अर्थात् $A x+B y+C_1=0$ और $A x+B y+C_2=0$,

तो उपरोक्त सूत्र के रूप में यह $d=\dfrac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$ हो जाएगा

छात्र स्वयं इसे निकाल सकते हैं।

उदाहरण 9 बिंदु $(3,-5)$ की रेखा $3 x-4 y-26=0$ से दूरी ज्ञात कीजिए।

हल दी गई रेखा $3 x-4 y-26=0$ है

दी गई रेखा को सामान्य रेखा समीकरण $A x+B y+C=0$ के साथ तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ A=3, B=-4 \text{ ~और } ~C=-2 $

दिया गया बिंदु $(x_1, y_1)=(3,-5)$. दी गई रेखा से दिए गए बिंदु की दूरी है

$ d=\dfrac{|A x_1+B y_1+C|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}=\dfrac{|3.3+(-4)(-5)-26|}{\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}}=\dfrac{3}{5} . $

उदाहरण 10 समांतर रेखाओं $3 x-4 y+7=0$ और $3 x-4 y+5=0$ के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए

हल यहाँ $A=3, B=-4, C_1=7$ और $C_2=5$ है। अतः, आवश्यक दूरी है

$ d=\dfrac{|7-5|}{\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}}=\dfrac{2}{5} $

अन्य उदाहरण

उदाहरण 11 यदि रेखाएँ $2 x+y-3=0,5 x+k y-3=0$ और $3 x-y-2=0$ संगत हों, तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

हल तीन रेखाएँ संगत कहलाती हैं, यदि वे एक बिंदु से गुजरती हों, अर्थात कोई दो रेखाओं के प्रतिच्छेद बिंदु तीसरी रेखा पर स्थित हो। यहाँ दी गई रेखाएँ हैं

$ \begin{aligned} & 2 x+y-3=0 \quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(1) \\ & 5 x+k y-3=0 \quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(2) \\ & 3 x-y-2=0 \quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(3) \end{aligned} $

(1) और (3) को परस्पर गुणन विधि द्वारा हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ \dfrac{x}{-2-3}=\dfrac{y}{-9+4}=\dfrac{1}{-2-3} \quad \text{ या } \quad x=1, y=1 \text{।} $

इसलिए, दोनों रेखाओं के प्रतिच्छेद बिंदु $(1,1)$ है। चूंकि ऊपर दी गई तीन रेखाएँ संगत हैं, बिंदु $(1,1)$ समीकरण $(2)$ को संतुष्ट करेगा ताकि

$ 5.1+k .1-3=0 \text{ या } k=-2 \text{। } $

उदाहरण 12 बिंदु $P(4,1)$ से रेखा $4 x-y=0$ की दूरी ज्ञात कीजिए, जो धनात्मक $x$-अक्ष के साथ $135^{\circ}$ के कोण बनाने वाली रेखा के अनुदिश मापी गई हो।

हल दी गई रेखा $4 x-y=0 \quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(1)$

रेखा (1) से बिंदु $P(4,1)$ की दूरी ज्ञात करने के लिए हमें दोनों रेखाओं के प्रतिच्छेद बिंदु को ज्ञात करना होगा। इसके लिए हम पहले दूसरी रेखा का समीकरण ज्ञात करेंगे (चित्र 9.16)। दूसरी रेखा की प्रतिलोम ढलान $\tan 135^{\circ}=-1$ है। बिंदु $P(4,1)$ से होकर ढलान -1 वाली रेखा का समीकरण निम्नलिखित है

चित्र 9.16

$ y-1=-1(x-4) \text{ या } x+y-5=0 \quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(2) $

(1) और (2) को हल करने पर, हमें $x=1$ और $y=4$ मिलता है, तो दोनों रेखाओं के प्रतिच्छेद बिंदु $Q(1,4)$ है। अब, रेखा (1) की बिंदु $P(4,1)$ से दूरी रेखा (2) के अनुदिश = बिंदुओं $P(4,1)$ और $Q(1,4)$ के बीच की दूरी है।

$ =\sqrt{(1-4)^{2}+(4-1)^{2}}=3 \sqrt{2} \text{ इकाई। } $

उदाहरण 13 मान लीजिए कि सीधी रेखाएँ एक बिंदु के लिए तल के दर्पण के रूप में कार्य करती हैं, तो बिंदु $(1,2)$ के रेखा $x-3 y+4=0$ में छवि ज्ञात कीजिए।

हल मान लीजिए $Q(h, k)$ बिंदु $P(1,2)$ की रेखा

$ x-3 y+4=0 \quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(1) $

के संबंध में छवि है।

इसलिए, रेखा (1) रेखाखंड PQ के लंब अक्ष के बराबर है (चित्र 9.17)।

अतः रेखा $PQ=\dfrac{-1}{\text{ रेखा } x-3 y+4=0 \text{ का ढलान}}$,

ताकि $\dfrac{k-2}{h-1}=\dfrac{-1}{\dfrac{1}{3}} \quad$ या $\quad 3 h+k=5\quad \quad\quad\quad\quad\ldots(2)$

और $PQ$ का मध्य-बिंदु, अर्थात बिंदु $\left(\dfrac{h+1}{2}, \dfrac{k+2}{3}\right)$ समीकरण (1) को संतुष्ट करेगा, ताकि

$ \dfrac{h+1}{2}-3(\dfrac{k+2}{2})+4=0~ \text{ या } ~h-3 k=-3 \quad \quad\quad\quad\quad\ldots(3) $

(2) और (3) को हल करने पर, हमें $h=\dfrac{6}{5}$ और $k=\dfrac{7}{5}$ प्राप्त होते हैं।

अतः रेखा (1) में बिंदु $(1,2)$ का प्रतिबिम्ब $\left(\dfrac{6}{5}, \dfrac{7}{5}\right)$ है।

उदाहरण 14 सिद्ध कीजिए कि रेखाओं $y=m_1 x+c_1, y=m_2 x+c_2$ और $x=0$ द्वारा बने त्रिभुज का क्षेत्रफल $\dfrac{(c_1-c_2)^{2}}{2|m_1-m_2|}$ होता है।

हल दी गई रेखाएँ हैं

$y=m_1 x+c_1 \quad \quad\quad\quad\quad\ldots(1)$

$y=m_2 x+c_2\quad \quad\quad\quad\quad\ldots(2)$

$x=0\quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(3)$

हम जानते हैं कि रेखा $y=m x+c$ रेखा $x=0$ ( $y$-अक्ष) को बिंदु $(0, c)$ पर मिलती है। अतः रेखाओं (1) से (3) द्वारा बने त्रिभुज के दो शीर्ष $P(0, c_1)$ और $Q(0, c_2)$ हैं (चित्र 9.18)।

चित्र 9.18

तीसरा शीर्ष समीकरण (1) और (2) को हल करके प्राप्त किया जा सकता है। समीकरण (1) और (2) को हल करने पर हम प्राप्त करते हैं

$ x=\dfrac{(c_2-c_1)}{(m_1-m_2)} \text{ और } y=\dfrac{(m_1 c_2-m_2 c_1)}{(m_1-m_2)} $

इसलिए, त्रिभुज का तीसरा शीर्ष $R\left(\dfrac{(c_2-c_1)}{(m_1-m_2)}, \dfrac{(m_1 c_2-m_2 c_1)}{(m_1-m_2)}\right)$ होता है।

अब, त्रिभुज का क्षेत्रफल है

$ =\dfrac{1}{2}\left|0\left(\dfrac{m_1 c_2-m_2 c_1}{m_1-m_2}-c_2\right)+\dfrac{c_2-c_1}{m_1-m_2}(c_2-c_1)+0\left(c_1-\dfrac{m_1 c_2-m_2 c_1}{m_1-m_2}\right)\right|=\dfrac{(c_2-c_1)^{2}}{2|m_1-m_2|} $

उदाहरण 15 एक रेखा इस प्रकार है कि इसके दो रेखाओं $5 x-y+4=0$ और $3 x+4 y-4=0$ के बीच के खंड का मध्यबिंदु बिंदु $(1,5)$ पर है। इसका समीकरण प्राप्त कीजिए।

हल दी गई रेखाएँ हैं

$5 x-y+4=0 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1)$

$3 x+4 y-4=0 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots(2)$

लगातार आवश्यक रेखा रेखाओं (1) और (2) को बिंदुओं $(\alpha_1, \beta_1)$ और $(\alpha_2, \beta_2)$ पर काटती है, क्रमशः (चित्र 9.19)। इसलिए

चित्र 9.19

$ \begin{aligned} & 5 \alpha_1-\beta_1+4=0~ \text{ और } \\ & 3 \alpha_2+4 \beta_2-4=0 \end{aligned} $

या $\quad \beta_1=5 \alpha_1+4~$ और $~\beta_2=\dfrac{4-3 \alpha_2}{4}$.

हमें दिया गया है कि आवश्यक रेखा के खंड के बिंदु $(\alpha_1, \beta_1)$ और $(\alpha_2, \beta_2)$ के बीच के मध्य बिंदु $(1,5)$ है। इसलिए

$ \dfrac{\alpha_1+\alpha_2}{2}=1~ \text{ और } ~\dfrac{\beta_1+\beta_2}{2}=5 \text{, } $

या $\quad \alpha_1+\alpha_2=2 \text{ और } \dfrac{5 \alpha_1+4+\dfrac{4-3 \alpha_2}{4}}{2}=5 \text{, }$

या $\quad \alpha _1+\alpha _2=2 ~\text{ और } ~20 \alpha_1-3 \alpha _2=20 \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (3)$

(3) में समीकरणों को $\alpha_1$ और $\alpha_2$ के लिए हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ \alpha_1=\dfrac{26}{23} \text{ और } \alpha_2=\dfrac{20}{23} \text{ और इसलिए, } \beta_1=5 \cdot \dfrac{26}{23}+4=\dfrac{222}{23} \text{। } $

आवश्यक रेखा का समीकरण जो $(1,5)$ और $(\alpha_1, \beta_1)$ से गुजरती है

$ y-5=\dfrac{\beta_1-5}{\alpha_1-1}(x-1) \text{ या } y-5=\dfrac{\dfrac{222}{23}-5}{\dfrac{26}{23}-1}(x-1) $

या $ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad 107 x-3 y-92=0 $

जो आवश्यक रेखा का समीकरण है।

उदाहरण 16 दिखाइए कि एक गतिशील बिंदु के पथ जो दो रेखाओं $3 x-2 y=5$ और $3 x+2 y=5$ से बराबर दूरी पर हो, एक सीधी रेखा है।

हल दिए गए रेखाएँ हैं

$ \begin{aligned} & \quad\quad \quad 3 x-2 y=5 \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \ldots (1)\\ & \text{ और } \quad 3 x+2 y=5 \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \ldots(2) \end{aligned} $

मान लीजिए $(h, k)$ कोई बिंदु है, जिसकी रेखाओं (1) और (2) से दूरी समान है। इसलिए

$ \dfrac{|3 h-2 k-5|}{\sqrt{9+4}}=\dfrac{|3 h+2 k-5|}{\sqrt{9+3}} \text{ या }|3 h-2 k-5|=|3 h+2 k-5|, $

जो $3 h-2 k-5=3 h+2 k-5$ या $-(3 h-2 k-5)=3 h+2 k-5$ देता है।

इन दो संबंधों को हल करने पर हमें $k=0$ या $h=\dfrac{5}{3}$ प्राप्त होता है। इसलिए, बिंदु $(h, k)$ समीकरण $y=0$ या $x=\dfrac{5}{3}$ को संतुष्ट करता है, जो सीधी रेखाएँ हैं। अतः, रेखाओं (1) और (2) से समान दूरी पर स्थित बिंदु के पथ एक सीधी रेखा है।

सारांश

• एक ऐसी नॉन-वर्टिकल रेखा के ढलान $(m)$ जो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ से गुजरती है, $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}, \quad x_1 \neq x_2$ द्वारा दिया जाता है।

• यदि एक रेखा $x$-अक्ष के धनात्मक दिशा से कोण $\alpha$ बनाती है, तो रेखा के ढलान को $m=\tan \alpha, \alpha \neq 90^{\circ}$ द्वारा दिया जाता है।

• स्तरीय रेखा की प्रवणता शून्य होती है और ऊर्ध्वाधर रेखा की प्रवणता अनिर्धारित होती है।

• दो रेखाओं $L_1$ और $L_2$ के बीच एक न्यून कोण (मान लीजिए $\theta$ ) जो कि उनकी प्रवणताओं $m_1$ और $m_2$ के बराबर होती है, निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

$ \qquad \tan \theta=\left|\dfrac{m _{2}-m _{1}}{1+m _{1} m _{2}}\right|, 1+m _{1} m _{2} \neq 0 $.

• दो रेखाएँ समांतर होती हैं यदि और केवल यदि उनकी प्रवणताएँ बराबर होती हैं।

• दो रेखाएँ लंब होती हैं यदि और केवल यदि उनकी प्रवणताओं का गुणनफल -1 होता है।

• तीन बिंदु A, B और C संरेख होते हैं, यदि और केवल यदि $AB$ की प्रवणता $BC$ के बराबर होती है।

• $x$-अक्ष से $a$ दूरी पर स्थित क्षैतिज रेखा का समीकरण $y=a$ या $y=-a$ होता है।

• $y$-अक्ष से $b$ दूरी पर स्थित ऊर्ध्वाधर रेखा का समीकरण $x=b$ या $x=-b$ होता है।

• बिंदु $(x, y)$, एक निश्चित बिंदु $(x_o, y_o)$ से गुजरने वाली तथा ढलान $m$ वाली रेखा पर स्थित होता है, यदि और केवल यदि इसके निर्देशांक समीकरण $y-y_0=m(x-x_0)$ को संतुष्ट करते हैं।

• बिंदु $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $y-y_1=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)$ द्वारा दिया जाता है।

• ढलान $m$ और $y$-अक्ष पर अन्तः छेद $c$ वाली रेखा पर बिंदु $(x, y)$ तभी स्थित होता है, जब $y=m x+c$ सत्य हो।

• एक रेखा जो ढाल $m$ के साथ हो और $x$-अक्ष पर $d$ अंतराल बनाए, तो रेखा का समीकरण $y = m(x - d)$ होता है।

• $x$-अक्ष और $y$-अक्ष पर क्रमशः $a$ और $b$ अंतराल बनाने वाली रेखा का समीकरण $\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1$ होता है।

• रूप $A x + B y + C = 0$ के किसी भी समीकरण को जहां $A$ और $B$ दोनों शून्य नहीं हों, सामान्य रैखिक समीकरण या रेखा का सामान्य समीकरण कहा जाता है।

• एक बिंदु $(x_1, y_1)$ से रेखा $A x + B y + C = 0$ की लम्ब दूरी $(d)$ निम्नलिखित द्वारा दी जाती है: $d = \dfrac{|A x_1 + B y_1 + C|}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}$।

• समानांतर रेखाओं $A x+B y+C_1=0$ और $A x+B y+C_2=0$ के बीच की दूरी $d=\dfrac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$ द्वारा दी गई है।