गणितीय आविष्कार की गति का शक्ति तर्क नहीं होता बल्कि कल्पना के द्वारा होता है। - ए. डी. एमोर्गन

11.1 परिचय

कक्षा XI में, द्विविमीय विश्लेषणात्मक ज्यामिति और त्रिविमीय ज्यामिति के परिचय के अध्ययन के दौरान, हम केवल कार्तीय विधियों के अंतर्गत सीमित रहे। इस किताब के पिछले अध्याय में, हमने सदिशों के कुछ मूल संकल्पों के अध्ययन किया है। अब हम त्रिविमीय ज्यामिति के अध्ययन के लिए सदिश बीजगणित का उपयोग करेंगे। इस त्रिविमीय ज्यामिति के इस दृष्टिकोण का उद्देश्य यह है कि इसके अध्ययन को सरल और सुंदर बनाया जा सके।

इस अध्याय में, हम दो बिंदुओं के बीच एक रेखा के दिशा अनुपात और दिशा अनुपात के अध्ययन करेंगे, तथा अलग-अलग स्थितियों में अंतरिक रेखा और समतल के समीकरणों के बारे में चर्चा करेंगे, दो रेखाओं के बीच कोण, दो समतलों के बीच कोण, एक रेखा और एक समतल के बीच कोण, दो असंगत रेखाओं के बीच न्यूनतम दूरी और एक बिंदु से एक समतल की दूरी के बारे में अध्ययन करेंगे। उपरोक्त अधिकांश परिणाम सदिश रूप में प्राप्त किए गए हैं। फिर भी, हम इन परिणामों को कार्तीय रूप में भी परिवर्तित करेंगे जो कभी-कभी स्थिति के अधिक स्पष्ट ज्यामितीय और विश्लेषणात्मक चित्र को प्रस्तुत करते हैं।

लिओनहार्ड यूलर $(\mathbf{1 7 0 7 - 1 7 8 3 })$

11.2 एक रेखा के दिशा अनुपात और दिशा अनुपात

अध्याय 10 से याद करें कि यदि एक दिशा रेखा $L$ मूल बिंदु से गुजरती है और $x, y$ और $z$-अक्षों के साथ कोण $\alpha, \beta$ और $\gamma$ बनाती है, जिन्हें दिशा कोण कहते हैं, तो इन कोणों के कोसाइन, अर्थात, $\cos \alpha, \cos \beta$ और $\cos \gamma$ को दिशा कोसाइन कहते हैं।

यदि हम $L$ की दिशा को उलट दें, तो दिशा कोणों को उनके पूरक के साथ बदल दिया जाता है, अर्थात, $\pi-\alpha, \pi-\beta$ और $\pi-\gamma$। इस प्रकार, दिशा कोसाइन के चिह्न उलट जाते हैं।

चित्र 11.1

ध्यान दें कि अंतरिक अंतरिक एक रेखा को दो विपरीत दिशाओं में बढ़ाया जा सकता है और इसलिए इसके दो सेट दिशा कोसाइन होते हैं। एक दी गई रेखा के लिए एक अद्वितीय सेट दिशा कोसाइन के लिए, हमें दी गई रेखा को एक दिशित रेखा के रूप में लेना होता है। इन अद्वितीय दिशा कोसाइन को $l, m$ और $n$ द्वारा नोट किया जाता है।

टिप्पणी यदि अंतरिक एक रेखा मूल बिंदु से गुजरती नहीं है, तो इसके दिशा कोसाइन खोजने के लिए हम मूल बिंदु से गुजरती एक रेखा खींचते हैं और दी गई रेखा के समानांतर हो। अब मूल बिंदु से एक दिशित रेखा लें और इसके दिशा कोसाइन खोजें क्योंकि दो समानांतर रेखाओं के दिशा कोसाइन के सेट एक ही होते हैं।

किसी रेखा के दिशा कोसाइन के अनुपात में तीन संख्याएं रेखा के दिशा अनुपात कहलाती हैं। यदि $l, m, n$ दिशा कोसाइन हैं और $a, b, c$ दिशा अनुपात हैं, तो $a = \lambda l, b = \lambda m$ और $c = \lambda n$ होते हैं, जहां $\lambda$ कोई शून्य नहीं होने वाला वास्तविक संख्या होती है।

नोट कुछ लेखक दिशा अनुपात को दिशा संख्या के रूप में भी कहते हैं।

मान लीजिए $a, b, c$ एक रेखा के दिशा अनुपात हैं और $l, m$ और $n$ रेखा के दिशा कोसाइन (d.c’s) हैं। तो

$$ \dfrac{l}{a}=\dfrac{m}{b}=\dfrac{n}{c}=k \text{ (कहे बिना), } k \text{ एक स्थिरांक है। } $$

इसलिए $$ \qquad l = a k, m = b k, n = c k \qquad \qquad \qquad \ldots(1) $$

लेकिन $$ \qquad l^{2}+m^{2}+n^{2}=1 $$

इसलिए $$ \qquad k^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})=1 $$

या $$ \qquad k= \pm \dfrac{1}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}} $$

इसलिए, (1) से रेखा के d.c.’s हैं

$$ \qquad l= \pm \dfrac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}, m= \pm \dfrac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}, n= \pm \dfrac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}} $$

जहां, $k$ के चिह्न के अनुसार, $l, m$ और $n$ के लिए धनात्मक या ऋणात्मक चिह्न लिया जाता है।

किसी रेखा के लिए, यदि $a, b, c$ रेखा के दिशा अनुपात हैं, तो $k a, k b, k c ; k \neq 0$ एक दिशा अनुपात के सेट भी होते हैं। इसलिए, किसी रेखा के कोई दो दिशा अनुपात के सेट एक दूसरे के समानुपाती होते हैं। इसके अलावा, किसी रेखा के लिए अपरिमित रूप से कई दिशा अनुपात के सेट हो सकते हैं।

11.2.1 दो बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा के दिशा अनुपात

क्योंकि दो दिए गए बिंदुओं से एक और केवल एक रेखा गुजरती है, हम दो दिए गए बिंदुओं $P(x_1, y_1, z_1)$ और $Q(x_2, y_2, z_2)$ से गुजरने वाली रेखा के दिशा अनुपात निर्धारित कर सकते हैं (चित्र 11.2 (a))।

चित्र 11.2

मान लीजिए $l, m, n$ रेखा PQ के दिशा अनुपात हैं और यह अक्षों $x, y$ और $z$ के साथ क्रमशः कोण $\alpha, \beta$ और $\gamma$ बनाती है।

$P$ और $Q$ से $XY$-तल पर लंब खींचकर बिंदुओं $R$ और $S$ पर मिले। $P$ से $QS$ पर लंब खींचकर बिंदु $N$ पर मिले। अब, समकोण त्रिभुज $PNQ$ में, $\angle PQN = \gamma$ (चित्र 11.2 (b)) है।

इसलिए, $\qquad \cos \gamma = \dfrac{\mathrm{NQ}}{\mathrm{PQ}} = \dfrac{z _{2}-z _{1}}{\mathrm{PQ}}$

उसी तरह $\qquad \quad \cos \alpha = \dfrac{x _{2}-x _{1}}{\mathrm{PQ}} \text { और } \cos \beta = \dfrac{y _{2}-y _{1}}{\mathrm{PQ}}$

इसलिए, बिंदुओं $P(x_1, y_1, z_1)$ और $Q(x_2, y_2, z_2)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड के दिशा अनुपात हैं

$ \qquad \dfrac{x_2-x_1}{PQ}, \dfrac{y_2-y_1}{PQ}, \dfrac{z_2-z_1}{PQ} $

जहाँ $ \qquad PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}+(z_2-z_1)^{2}} $

नोट बिंदुओं $P(x_1, y_1, z_1)$ और $Q(x_2, y_2, z_2)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड के दिशा अनुपात के रूप में लिए जा सकते हैं

$ x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1 \text{ या } x_1-x_2, y_1-y_2, z_1-z_2 $

उदाहरण 1 यदि एक रेखा $x, y$ और $z$-अक्ष के धनात्मक दिशा के साथ क्रमशः $90^{\circ}, 60^{\circ}$ और $30^{\circ}$ के कोण बनाती है, तो इसके दिशा अनुपात ज्ञात कीजिए।

हल मान लीजिए रेखा के दिशा अनुपात $l, m, n$ हैं। तो $l = \cos 90^{\circ} = 0, m = \cos 60^{\circ} = \dfrac{1}{2}$, $n = \cos 30^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$।

उदाहरण 2 यदि एक रेखा के दिशा अनुपात 2, -1, -2 हैं, तो इसके दिशा अनुपात ज्ञात कीजिए।

हल दिशा अनुपात हैं

$ \qquad \dfrac{2}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}}, \dfrac{-1}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}}, \dfrac{-2}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}} $

$

या $\qquad \dfrac{2}{3}, \dfrac{-1}{3}, \dfrac{-2}{3}$

उदाहरण 3 दो बिंदुओं $(-2,4,-5)$ और $(1,2,3)$ से गुजरने वाली रेखा के दिशा अनुपात ज्ञात कीजिए।

हल हम जानते हैं कि दो बिंदुओं $P(x_1, y_1, z_1)$ और $Q(x_2, y_2, z_2)$ से गुजरने वाली रेखा के दिशा अनुपात निम्नलिखित होते हैं

$ \qquad \dfrac{x_2-x_1}{PQ}, \dfrac{y_2-y_1}{PQ}, \dfrac{z_2-z_1}{PQ} $

जहाँ $ \qquad PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}+(z_2-z_1)^{2}} $

यहाँ $~P$ बिंदु $(-2,4,-5)$ और $Q$ बिंदु $(1,2,3)$ है।

इसलिए $ \qquad P Q=\sqrt{(1-(-2))^{2}+(2-4)^{2}+(3-(-5))^{2}}=\sqrt{77} $

इस प्रकार, दो बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा के दिशा अनुपात हैं

$ \qquad \dfrac{3}{\sqrt{77}}, \dfrac{-2}{\sqrt{77}}, \dfrac{8}{\sqrt{77}} $

उदाहरण 4 $x, y$ और $z$-अक्ष के दिशा अनुपात ज्ञात कीजिए।

हल $x$-अक्ष क्रमशः $x, y$ और $z$-अक्ष के साथ $0^{\circ}, 90^{\circ}$ और $90^{\circ}$ के कोण बनाता है। इसलिए, $x$-अक्ष के दिशा अनुपात $\cos 0^{\circ}, \cos 90^{\circ}, \cos 90^{\circ}$ अर्थात $1,0,0$ हैं। इसी तरह, $y$-अक्ष और $z$-अक्ष के दिशा अनुपात क्रमशः $0,1,0$ और $0,0,1$ हैं।

उदाहरण 5 दिखाइए कि बिंदु A $(2,3,-4), B(1,-2,3)$ और $C(3,8,-11)$ संरेख हैं।

हल बिंदुओं A और B को जोड़ने वाली रेखा के दिशा अनुपात हैं

$\qquad 1-2,-2-3,3+4$ अर्थात $-1,-5,7$।

बिंदुओं B और C को जोड़ने वाली रेखा के दिशा अनुपात हैं

$\qquad 3-1,8+2,-11-3$, अर्थात $2,10,-14$।

स्पष्ट रूप से, AB और BC के दिशा अनुपात आनुपातिक हैं, इसलिए AB, BC के समानांतर है। लेकिन बिंदु B दोनों AB और BC के लिए सामान्य है। इसलिए, A, B, C संरेख बिंदु हैं।

11.3 अंतरिक अक्ष में एक रेखा का समीकरण

हम ने कक्षा XI में दो आयामों में रेखा के समीकरण के अध्ययन किया है, अब हम अंतरिक अक्ष में एक रेखा के सदिश और कार्तीय समीकरण के अध्ययन करेंगे।

$\quad$ एक रेखा को निर्धारित करने के लिए यह ज्ञात होना आवश्यक है कि

(i) यह एक दिए गए बिंदु से गुजरती है और दिए गए दिशा के साथ होती है, या

(ii) यह दो दिए गए बिंदुओं से गुजरता है।

11.3.1 एक दिए गए बिंदु से गुजरने वाली एक रेखा का समीकरण और एक दिए गए सदिश $\vec{b}$ के समांतर

मान लीजिए $\vec{a}$ एक आयताकार निर्देशांक पद्धति के मूल बिंदु $O$ के संबंध में दिए गए बिंदु $A$ का स्थिति सदिश है। मान लीजिए $l$ वह रेखा है जो बिंदु $A$ से गुजरती है और एक दिए गए सदिश $\vec{b}$ के समांतर है। मान लीजिए $\vec{r}$ रेखा पर किसी भी बिंदु $P$ का स्थिति सदिश है (चित्र 11.3)।

तब $\overrightarrow{{}AP}$ सदिश $\vec{b}$ के समांतर है, अर्थात $\overrightarrow{{}AP} = \lambda \vec{b}$, जहाँ $\lambda$ कोई वास्तविक संख्या है।

लेकिन $ \qquad \qquad \overrightarrow{{}AP} = \overrightarrow{{}OP} - \overrightarrow{{}OA} $

अर्थात $\qquad \qquad \lambda \vec{b} = \vec{r} - \vec{a}$

विपरीत रूप से, प्रत्येक $\lambda$ के मान के लिए, इस समीकरण से रेखा पर बिंदु $P$ का स्थिति सदिश प्राप्त होता है। अतः रेखा का सदिश समीकरण निम्नलिखित है

$ \begin{aligned} \vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b} \hspace{8cm} \ldots(1) \end{aligned} $

टिप्पणी यदि $\vec{b} = a \hat{i} + b \hat{j} + c \hat{k}$, तो $a, b, c$ रेखा के दिशा अनुपात होते हैं और विपरीत, यदि $a, b, c$ एक रेखा के दिशा अनुपात हों, तो $\vec{b} = a \hat{i} + b \hat{j} + c \hat{k}$ रेखा के समांतर होगा। यहाँ, $b$ को $|\vec{b}|$ से भ्रमित नहीं होना चाहिए।

सदिश समीकरण से कार्तीय रूप के उत्पादन का उदाहरण

मान लीजिए दिए गए बिंदु $A$ के निर्देशांक $(x_1, y_1, z_1)$ हैं और रेखा के दिशा अनुपात $a, b, c$ हैं। मान लीजिए किसी बिंदु $P$ के निर्देशांक $(x, y, z)$ हैं। तब

$ \overrightarrow{{}r} = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k} ; \overrightarrow{{}a} = x_1 \hat{i} + y_1 \hat{j} + z_1 \hat{k} $

और $ \vec{b} = a \hat{i} + b \hat{j} + c \hat{k} $

(1) में इन मानों को प्रतिस्थापित करके और $\hat{i}, \hat{j}$ और $\hat{k}$ के गुणांक की तुलना करके, हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} x=x _{1}+\lambda a ; \quad y=y _{1}+\lambda b ;\quad z=z _{1}+ \lambda c \hspace{8cm} \ldots(2) \end{aligned} $

इनको रेखा के प्रामाणिक समीकरण कहते हैं। (2) से पैरामीटर $\lambda$ को बर्बाद करने पर हमें प्राप्त होता है

$ \begin{aligned} \dfrac{x-x _{1}}{a}=\dfrac{y-y _{1}}{b}=\dfrac{z-z _{1}}{c} \hspace{8cm} \ldots(3) \end{aligned} $

यह रेखा का कार्तीय समीकरण है।

ध्यान दें यदि $l, m, n$ रेखा के दिशा अनुपात हों, तो रेखा का समीकरण है

$ \qquad \dfrac{x-x_1}{l}=\dfrac{y-y_1}{m}=\dfrac{z-z_1}{n} $

उदाहरण 6 बिंदु $(5,2,-4)$ से गुजरती हुई तथा सदिश $3 \hat{i}+2 \hat{j}-8 \hat{k}$ के समानांतर रेखा के सदिश एवं कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए।

हल हमें दिया गया है

$ \vec{a}=5 \hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k} \text{ और } \vec{b}=3 \hat{i}+2 \hat{j}-8 \hat{k} $

इसलिए, रेखा का सदिश समीकरण है

$ \vec{r}=5 \hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}+\lambda(3 \hat{i}+2 \hat{j}-8 \hat{k}) $

अब, $\vec{r}$ रेखा पर किसी बिंदु $P(x, y, z)$ के स्थिति सदिश है।

इसलिए, $\quad x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}=5 \hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}+\lambda(3 \hat{i}+2 \hat{j}-8 \hat{k})$

$ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad=(5+3 \lambda) \hat{i}+(2+2 \lambda) \hat{j}+(-4-8 \lambda) \hat{k} $

$\lambda$ को बर्बाद करने पर हमें प्राप्त होता है

$ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \dfrac{x-5}{3}=\dfrac{y-2}{2}=\dfrac{z+4}{-8} $

जो रेखा का कार्तीय रूप में समीकरण है।

11.4 दो रेखाओं के बीच कोण

मान लीजिए $L_1$ और $L_2$ दो रेखाएँ हैं जो मूल बिंदु से गुजरती हैं तथा जिनके दिशा अनुपात $a_1, b_1, c_1$ और $a_2, b_2, c_2$ हैं। मान लीजिए $P$ रेखा $L_1$ पर एक बिंदु है तथा $Q$ रेखा $L_2$ पर एक बिंदु है। चित्र 11.6 में दिखाए गए दिशात्मक रेखाओं $OP$ और $OQ$ को विचार कीजिए। मान लीजिए $\theta$ रेखाओं $OP$ और $OQ$ के बीच न्यून कोण है। अब याद रखिए कि दिशात्मक रेखाखंड $OP$ और $OQ$ दो सदिश हैं जिनके घटक $a_1, b_1, c_1$ और $a_2, b_2, c_2$ हैं। इसलिए, इनके बीच कोण $\theta$ निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

$\qquad \qquad \qquad \qquad \cos \theta=\left|\dfrac{a _{1} a _{2}+b _{1} b _{2}+c _{1} c _{2}}{\sqrt{a _{1}^{2}+b _{1}^{2}+c _{1}^{2}} \sqrt{a _{2}^{2}+b _{2}^{2}+c _{2}^{2}}}\right|\hspace{8cm} \ldots(1)$

लाइनों के बीच कोण के लिए $\sin \theta$ के रूप में दिया गया है

$ \begin{aligned} \sin \theta & =\sqrt{1-\cos ^{2} \theta} \\ & =\sqrt{1-\dfrac{(a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2)^{2}}{(a_1^{2}+b_1^{2}+c_1^{2})(a_2^{2}+b_2^{2}+c_2^{2})}} \\ & =\dfrac{\sqrt{(a_1^{2}+b_1^{2}+c_1^{2})(a_2^{2}+b_2^{2}+c_2^{2})-(a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2)^{2}}}{\sqrt{(a_1^{2}+b_1^{2}+c_1^{2})} \sqrt{(a_2^{2}+b_2^{2}+c_2^{2})}} \\ & =\dfrac{\sqrt{(a_1 b_2-a_2 b_1)^{2}+(b_1 c_2-b_2 c_1)^{2}+(c_1 a_2-c_2 a_1)^{2}}}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}+c_1^{2}} \sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}+c_2^{2}}}\hspace{4cm} \ldots(2) \end{aligned} $

नोट यदि रेखाएँ $L_1$ और $L_2$ मूल बिंदु से नहीं गुजरती हैं, तो हम $L_1$ और $L_2$ के समानांतर रेखाओं $L_1^{\prime}$ और $L_2^{\prime}$ को ले सकते हैं जो मूल बिंदु से गुजरती हैं।

यदि रेखाओं $L_1$ और $L_2$ के लिए दिशा अनुपात के बजाय दिशा अनुपात, अर्थात, $l_1, m_1, n_1$ के लिए $L_1$ और $l_2, m_2, n_2$ के लिए $L_2$ दिया गया है, तो (1) और (2) निम्न रूप ले लेते हैं:

$ \cos \theta=|l_1 l_2+m_1 m_2+n_1 n_2| \quad(\text{ क्योंकि } l_1^{2}+m_1^{2}+n_1^{2}=1=l_2^{2}+m_2^{2}+n_2^{2})\hspace{3cm} \ldots(3) $

और $ \quad \sin \theta=\sqrt{(l_1 m_2-l_2 m_1)^{2}-(m_1 n_2-m_2 n_1)^{2}+(n_1 l_2-n_2 l_1)^{2}}\hspace{4cm} \ldots(4) $

दिशा अनुपात $a_1, b_1, c_1$ और $a_2, b_2, c_2$ वाली दो रेखाएँ हैं

(i) लंबवत हैं अर्थात यदि $\theta=90^{\circ}$ द्वारा (1)

$ \qquad \qquad \qquad a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2=0 $

(ii) समांतर हैं अर्थात यदि $\theta=0$ द्वारा (2)

$\qquad \qquad \qquad\dfrac{\boldsymbol{a} _{\mathbf{1}}}{\boldsymbol{a} _{2}}=\dfrac{\boldsymbol{b} _{\mathbf{1}}}{\boldsymbol{b} _{\mathbf{2}}}=\dfrac{\boldsymbol{c} _{\mathbf{1}}}{\boldsymbol{c} _{\mathbf{2}}}$

अब, हम दो रेखाओं के बीच कोण ज्ञात करेंगे जब उनके समीकरण दिए गए हों। यदि $\theta$ न्यून कोण है तो रेखाओं $\vec{r}=\vec{a} _{1}+\lambda \vec{b} _{1}$ और $\vec{r}=\vec{a} _{2}+\mu \vec{b} _{2}$ के बीच कोण है। कार्तीय रूप में, यदि $\theta$ रेखाओं के बीच कोण है, तो

then $ \qquad \qquad\cos \theta =\left|\dfrac{\vec{b}_1 \cdot \vec{b}_2}{\left|\vec{b}_1\right|\left|\vec{b}_2\right|}\right|
$

$ \qquad\dfrac{x-x_1}{a_1}=\dfrac{y-y_1}{b_1}=\dfrac{z-z_1}{c_1} \hspace{4cm} \ldots(1) $

and $ \qquad\dfrac{x-x_2}{a_2}=\dfrac{y-y_2}{b_2}=\dfrac{z-z_2}{c_2} \hspace{4cm} \ldots(2) $

where, $a_1, b _{1,} c_1$ and $a _{2,}, b_2, c_2$ are the direction ratios of the lines (1) and (2), respectively, then

$ \qquad \qquad \cos \theta=\left|\dfrac{a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}+c_1^{2}} \sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}+c_2^{2}}}\right| $

उदाहरण 7 दिए गए रेखाओं के बीच कोण ज्ञात कीजिए

$ \qquad \qquad \vec{r}=3 \hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}+\lambda(\hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}) $

and $ \qquad \vec{r}=5 \hat{i}-2 \hat{j}+\mu(3 \hat{i}+2 \hat{j}+6 \hat{k}) $

हल यहाँ $ \vec{b} _ {1}=\hat{i} + 2 \hat{j} + 2 \hat{k} $ और $ \vec{b} _ {2}=3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 6 \hat{k} $

दो रेखाओं के बीच कोण $\theta$ निम्नलिखित द्वारा दिया गया है

$ \qquad \qquad\begin{aligned} \cos \theta & = \left|\dfrac{ \vec{b} _ {1} \cdot \vec{b} _ {2}}{| \vec{b} _ {1}|| \vec{b} _ {2}|}\right| = \left|\dfrac{(\hat{i} + 2 \hat{j} + 2 \hat{k}) \cdot(3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 6 \hat{k})}{\sqrt{1 + 4+ 4} \sqrt{9 + 4 + 36}}\right| \\ & =\left|\dfrac{3+4+12}{3 \times 7}\right|=\dfrac{19}{21} \end{aligned} $

इसलिए $ \qquad \theta=\cos ^{-1}\left(\dfrac{19}{21}\right) $

उदाहरण 8 दिए गए रेखाओं के बीच कोण ज्ञात कीजिए

$ \qquad \qquad\dfrac{x+3}{3}=\dfrac{y-1}{5}=\dfrac{z+3}{4}$

and $\qquad\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y-4}{1}=\dfrac{z-5}{2}$

हल पहली रेखा के दिशा अनुपात 3, 5, 4 हैं और दूसरी रेखा के दिशा अनुपात $1,1,2$ हैं। यदि $\theta$ उनके बीच कोण है, तो

$ \qquad \cos \theta=\left|\dfrac{3.1+5.1+4.2}{\sqrt{3^{2}+5^{2}+4^{2}} \sqrt{1^{2}+1^{2}+2^{2}}}\right|=\dfrac{16}{\sqrt{50} \sqrt{6}}=\dfrac{16}{5 \sqrt{2} \sqrt{6}}=\dfrac{8 \sqrt{3}}{15} $

इसलिए, आवश्यक कोण $\cos ^{-1}\left(\dfrac{8 \sqrt{3}}{15}\right)$ है।

11.5 दो रेखाओं के बीच सबसे छोटी दूरी

अगर अंतरिक अंतरिक दो रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो उनके बीच सबसे छोटी दूरी शून्य होती है। इसके अलावा, अगर अंतरिक दो रेखाएँ समांतर होती हैं, तो उनके बीच सबसे छोटी दूरी लंब दूरी होती है, अर्थात एक रेखा पर बिंदु से दूसरी रेखा पर खींचे गए लंब की लंबाई होती है।

इसके अलावा, अंतरिक में ऐसी रेखाएँ हो सकती हैं जो एक-दूसरे के साथ प्रतिच्छेद नहीं करती हैं और समांतर भी नहीं होती हैं। वास्तव में, ऐसे दो रेखाओं के जोड़ को असमतलीय कहा जाता है और उन्हें असमतल रेखाएँ कहा जाता है। उदाहरण के लिए, हम एक कमरे को विचार करते हैं जिसका आकार $x, y$ और $z$-अक्ष के अनुदिश क्रमशः 1, 3, 2 इकाई हो। चित्र 11.5

चित्र 11.5

ऊपरी छत पर विकर्ण रेखा जो लाइन GE है और लाइन DB जो एक कोने से गुजरती है जो बिंदु A के ऊपर वाले छत के ऊपर गुजरती है और दीवार के विकर्ण रूप से नीचे जाती है। ये रेखाएँ असमतल रेखाएँ हैं क्योंकि वे समांतर नहीं हैं और भी नहीं मिलती हैं।

दो रेखाओं के बीच सबसे छोटी दूरी का अर्थ एक रेखा पर एक बिंदु और दूसरी रेखा पर एक बिंदु के बीच जोड़ होता है जिसकी लंबाई न्यूनतम होती है। असमतल रेखाओं के बीच सबसे छोटी दूरी की रेखा दोनों रेखाओं के लंबवत होती है।

11.5.1 दो असमतल रेखाओं के बीच दूरी

हम अब दो असमतल रेखाओं के बीच सबसे छोटी दूरी को निम्नलिखित तरीके से निर्धारित करते हैं: मान लीजिए $l_1$ और $l_2$ दो असमतल रेखाएँ हैं जिनके समीकरण (चित्र 11.6)

और $ \qquad \vec{r} = \vec{a} _ {1}+\lambda \vec{b} _ {1} \hspace{4cm} \ldots(1)$

$\qquad \quad \vec{r} = \vec{a} _ {2}+\mu \vec{b} _ {2} \hspace{4.2cm} \ldots(2) $

किसी बिंदु $ S $ को $l_ {1} $ पर ले लीजिए जिसका स्थिति सदिश $ \overrightarrow{{}a}_ {1} $ है और $ T $ को $ l_ {2} $ पर ले लीजिए जिसका स्थिति सदिश $ \overrightarrow{{}a}_ {2} $ है। तब सबसे छोटी दूरी वाले सदिश के परिमाण के बराबर होगा जो ST के लंबाई के अनुदिश प्रक्षेप के परिमाण के बराबर होता है (देखें 10.6.2)।

If $\overrightarrow{{}PQ}$ is the shortest distance vector between $l_1$ and $l_2$, then it being perpendicular to both $ \vec{b} _1$ and $ \vec{b} _2$, the unit vector $\hat{n}$ along $\overrightarrow{{}PQ}$ would therefore be

Fig 11.6

$ \qquad \hat{n} = \dfrac{ \vec{b} _ {1} \times \vec{b} _ {2}}{| \vec{b} _ {1} \times \vec{b} _ {2}|} \hspace{4cm} \ldots(3) $

Then $ \qquad\overrightarrow{{}PQ}=d \hat{n} $

where, $d$ is the magnitude of the shortest distance vector. Let $\theta$ be the angle between $\overrightarrow{{}ST}$ and $\overrightarrow{{}PQ}$. Then

$ \begin{aligned} PQ & = ST|\cos \theta| \\ \text{But} \qquad\cos \theta & = \left|\dfrac{\overrightarrow{{}PQ} \cdot \overrightarrow{{}ST}}{|\overrightarrow{{}PQ}||\overrightarrow{{}ST}|}\right| \\ & = \left|\dfrac{d \hat{n} \cdot( \vec{a} _ {2}- \vec{a} _ {1})}{d ST}\right| \quad(\text{ since } \overrightarrow{{}ST}= \vec{a} _ {2}- \vec{a} _ {1}) \\ & = \left|\dfrac{( \vec{b} _ {1} \times \vec{b} _ {2}) \cdot( \vec{a} _ {2}- \vec{a} _ {1})}{ST| \vec{b} _ {1} \times \vec{b} _ {2}|}\right|\quad[\text{ From }(3)] \end{aligned} $

Hence, the required shortest distance is

$\qquad \quad d = PQ = ST|\cos \theta|$

or $\qquad \boldsymbol{{}d} = \left|\dfrac{(\overrightarrow{{}b}_ {1} \times \overrightarrow{{}b}_ {2}) \cdot( \vec{a} _ {2} \times \vec{a} _ {1})}{| \vec{b} _ {1} \times \vec{b} _ {2}|}\right| $

Cartesian form

The shortest distance between the lines

$ \qquad \qquad l _{1}: \dfrac{x-x _{1}}{a _{1}}=\dfrac{y-y _{1}}{b _{1}}=\dfrac{z-z _{1}}{c _{1}} $

and $ \qquad l _{2}: \dfrac{x-x _{2}}{a _{2}}=\dfrac{y-y _{2}}{b _{2}}=\dfrac{z-z _{2}}{c _{2}} $

is $ \qquad \left|\dfrac{\left|\begin{array}{ccc} x _{2}-x _{1} & y _{2}-y _{1} & z _{2}-z _{1} \\ a _{1} & b _{1} & c _{1} \\ a _{2} & b _{2} & c _{2}

$$ \left|\dfrac{\left|\begin{array}{ccc} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ b _{1} & b _{2} & b _{3} \ c _{1} & c _{2} & c _{3} \end{array}\right|}{\sqrt{\left(b _{1} c _{2}-b _{2} c _{1}\right)^{2}+\left(c _{1} a _{2}-c _{2} a _{1}\right)^{2}+\left(a _{1} b _{2}-a _{2} b _{1}\right)^{2}}}\right| $$

11.5.2 समानांतर रेखाओं के बीच दूरी

यदि दो रेखाएँ $l_1$ और $l_2$ समानांतर हैं, तो वे समतलीय होती हैं। मान लीजिए रेखाएँ निम्नलिखित रूप में दी गई हैं

$$ \qquad \vec{r}=\vec{a} _{1}+\lambda \vec{b} \hspace{4cm} \ldots(1) $$

$$ \qquad\vec{r}=\vec{a} _{2}+\mu \vec{b} \hspace{4cm} \ldots(2) $$

जहाँ, $ \vec{a} _1$ बिंदु $S$ पर स्थिति सदिश है जो $l_1$ पर स्थित है और $ \vec{a} _2$ बिंदु $T$ पर स्थिति सदिश है जो $l_2$ पर स्थित है चित्र 11.7।

क्योंकि $l_1, l_2$ समतलीय हैं, यदि $T$ से $l_1$ पर लंब का पाद $P$ है, तो रेखाओं $l_1$ और $l_2$ के बीच दूरी $|TP|$ होती है।

चित्र 11.7

मान लीजिए $\theta$ सदिशों $\overrightarrow{{}ST}$ और $\vec{b}$ के बीच कोण है।

तब

$$ \qquad \vec{b} \times \overrightarrow{{}ST}=(|\vec{b}||\overrightarrow{{}ST}| \sin \theta) \hat{n} \hspace{4cm} \ldots(3) $$

जहाँ $\hat{n}$ रेखाओं $l_1$ और $l_2$ के समतल के लंब एकक सदिश है।

लेकिन

$$ \qquad \qquad \overrightarrow{{}ST} = \vec{a} _2 - \vec{a} _1 $$

इसलिए, (3) से हम प्राप्त करते हैं

$$ \begin{matrix} & \qquad \vec{b} \times ( \vec{a} _2 - \vec{a} _1) = \vec{b} , |PT| \hat{n} \quad (\text{क्योंकि } PT = ST \sin \theta) \\ \text{i.e.,} & |\vec{b} \times ( \vec{a} _2 - \vec{a} _1)| = |\vec{b}| , |PT| \cdot 1 \quad (\text{क्योंकि } |\hat{n}| = 1) \end{matrix} $$

इसलिए, दी गई समानांतर रेखाओं के बीच दूरी है

$$ \qquad \qquad=|\overrightarrow{{}\mathbf{P T}}| = \left|\dfrac{\vec{b} \times(\vec{a} _ {2}-\vec{a} _ {1})}{|\vec{b}|}\right| $$

उदाहरण 9 रेखाओं $l_1$ और $l_2$ के बीच सबसे छोटी दूरी ज्ञात कीजिए जिनके सदिश समीकरण निम्नलिखित हैं

$$ \qquad \qquad\vec{r} =\hat{i}+\hat{j}+\lambda(2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k})\hspace{4cm} \ldots(1) $$

$ \text{ और } \qquad \vec{r} =2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}+\mu(3 \hat{i}-5 \hat{j}+2 \hat{k})\hspace{4cm} \ldots(2) $

हल (1) और (2) की तुलना $\vec{r} = \vec{a} _ {1} + \lambda \vec{b} _ {1} $ और $ \overrightarrow{{}r} = \overrightarrow{{}a} _ {2} + \mu \overrightarrow{{}b} _ {2} $ के साथ करते हुए,

हम प्राप्त करते हैं $\qquad a _{1}=\hat{i}+\hat{j}, b _{1}=2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$

$\qquad \qquad \quad a _{2}=2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k} \text { और } b _{2}=3 \hat{i}-5 \hat{j}+2 \hat{k}$

इसलिए $\qquad a _{2}-a _{1}=\hat{i}-\hat{k}$

और $\qquad b _{1} \times b _{2}=(2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) \times(3 \hat{i}-5 \hat{j}+2 \hat{k})$

$ \qquad \qquad \qquad \quad=\left|\begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & 1 \\ 3 & -5 & 2 \end{array}\right|=3 \hat{i}-\hat{j}-7 \hat{k} $

इसलिए, $ \qquad\left|b _{1} \times b _{2}\right|=\sqrt{9+1+49}=\sqrt{59} $

इसलिए, दिए गए रेखाओं के बीच न्यूनतम दूरी द्वारा दी गई है

$ \qquad d=\left|\dfrac{(\overrightarrow{{}b}_ {1} \times \overrightarrow{{}b}_ {2}) \cdot(\overrightarrow{{}a}_ {2}-\overrightarrow{{}a}_ {1})}{|\overrightarrow{{}b}_ {1} \times \overrightarrow{{}b}_ {2}|}\right|=\dfrac{|3-0+7|}{\sqrt{59}}=\dfrac{10}{\sqrt{59}} $

उदाहरण 10 $l_1$ और $l_2$ के बीच दूरी ज्ञात कीजिए जो निम्नलिखित द्वारा दी गई है

$ \begin{aligned} & \vec{r}=\hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}+\lambda(2 \hat{i}+3 \hat{j}+6 \hat{k}) \\ \text{ और } \qquad& \vec{r}=3 \hat{i}+3 \hat{j}-5 \hat{k}+\mu(2 \hat{i}+3 \hat{j}+6 \hat{k}) \end{aligned} $

हल दोनों रेखाएँ समांतर हैं (क्यों?) हम रखते हैं

$ \qquad \overrightarrow{{}a}_ {1}=\hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}, \overrightarrow{{}a}_ {2}=3 \hat{i}+3 \hat{j}-5 \hat{k} \text{ और } \vec{b}=2 \hat{i}+3 \hat{j}+6 \hat{k} $

इसलिए, रेखाओं के बीच दूरी द्वारा दी गई है

$ \qquad \begin{aligned} & d =\left|\dfrac{\vec{b} \times( \vec{a} _ {2}- \vec{a} _ {1})}{|\vec{b}|}\right| =\left|\dfrac{ \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 6 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} }{\sqrt{4+9+36}}\right| \\ `

\text{या} \quad &=\dfrac{\left|-9 \hat{i}+14 \hat{j}-4 \hat{k}\right|}{\sqrt{49}}=\dfrac{\sqrt{293}}{\sqrt{49}}=\dfrac{\sqrt{293}}{7} \\ \end{aligned} $

सारांश

• एक रेखा के दिशा कोसाइन एक रेखा के निर्देशांक अक्ष के धनात्मक दिशाओं से बनाए गए कोणों के कोसाइन होते हैं।

• यदि $l, m, n$ एक रेखा के दिशा कोसाइन हों, तो $l^{2}+m^{2}+n^{2}=1$ होता है।

• दो बिंदुओं $P(x_1, y_1, z_1)$ और $Q(x_2, y_2, z_2)$ को जोड़ने वाली रेखा के दिशा कोसाइन होते हैं

$ \qquad \dfrac{x_2-x_1}{PQ}, \dfrac{y_2-y_1}{PQ}, \dfrac{z_2-z_1}{PQ} $

$\qquad$ जहाँ $PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}+(z_2-z_1)^{2}}$

• एक रेखा के दिशा अनुपात एक रेखा के दिशा कोसाइन के समानुपाती संख्याएं होती हैं।

• यदि $l, m, n$ एक रेखा के दिशा कोसाइन हों और $a, b, c$ एक रेखा के दिशा अनुपात हों, तो

$ \qquad l=\dfrac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}} ; m=\dfrac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}} ; n=\dfrac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}} $

• असंगत रेखाएं अंतरिक अक्ष के बिना समानांतर या प्रतिच्छेद करने वाली रेखाएं होती हैं। वे अलग-अलग समतलों में स्थित होती हैं।

• असंगत रेखाओं के बीच कोण एक बिंदु (अधिक उपयुक्त रूप से मूल बिंदु से) से खींचे गए दो प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं के बीच कोण होता है, जो दोनों असंगत रेखाओं के समानांतर होती हैं।

• यदि $l_1, m_1, n_1$ और $l_2, m_2, n_2$ दो रेखाओं के दिशा कोसाइन हों; और $\theta$ दोनों रेखाओं के बीच न्यून कोण हो, तो

$ \qquad \cos \theta=\left|l_1 l_2+m_1 m_2+n_1 n_2\right| $

• यदि $a_1, b_1, c_1$ और $a_2, b_2, c_2$ दो रेखाओं के दिशा अनुपात हों और $\theta$ दोनों रेखाओं के बीच न्यून कोण हो, तो

$ \qquad \cos \theta=\left|\dfrac{a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}+c_1^{2}} \sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}+c_2^{2}}}\right| $

• एक रेखा के सदिश समीकरण जो दिए गए बिंदु से गुजरती है जिसका स्थिति सदिश $\vec{a}$ है और दिए गए सदिश $\vec{b}$ के समांतर होती है, है $\vec{r}=\vec{a}+\lambda \vec{b}$।

• एक बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाली रेखा के समीकरण जिसके दिशा अनुपात $l, m, n$ हैं, है

$ \qquad \dfrac{x-x_1}{l}=\dfrac{y-y_1}{m}=\dfrac{z-z_1}{n} $

• दो बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा के सदिश समीकरण जिनके स्थिति सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ हैं, है $\vec{r}=\vec{a}+\lambda(\vec{b}-\vec{a})$।

• यदि $\theta$ दो रेखाओं $\vec{r}= \vec{a} _ {1}+\lambda \vec{b} _ {1}$ और $\vec{r}= \vec{a} _ {2}+\lambda \vec{b} _ {2}$ के बीच न्यून कोण है, तो

$\qquad\cos \theta=\left|\dfrac{ \vec{b} _ {1} \cdot \vec{b} _ {2}}{| \vec{b} _ {1}|| \vec{b} _ {2}|}\right|$

• यदि $\dfrac{x-x_1}{l_1}=\dfrac{y-y_1}{m_1}=\dfrac{z-z_1}{n_1}$ और $\dfrac{x-x_2}{l_2}=\dfrac{y-y_2}{m_2}=\dfrac{z-z_2}{n_2}$

$\qquad$ दो रेखाओं के समीकरण हैं, तो दोनों रेखाओं के बीच न्यून कोण द्वारा दिया गया है $\cos \theta=|l_1 l_2+m_1 m_2+n_1 n_2|$।

• दो विषम रेखाओं के बीच सबसे छोटी दूरी दोनों रेखाओं के लंबवत रेखाखंड है।

• दो विषम रेखाओं $\vec{r}= \vec{a} _ {1}+\lambda \vec{b} _ {1}$ और $\vec{r}= \vec{a} _ {2}+\mu \vec{b} _ {2}$ के बीच सबसे छोटी दूरी है

$ \qquad \left|\dfrac{( \vec{b} _ {1} \times \vec{b} _ {2}) \cdot( \vec{a} _ {2}- \vec{a} _ {1})}{| \vec{b} _ {1} \times \vec{b} _ {2}|}\right| $

• रेखाओं के बीच दूरी: $\dfrac{x-x_1}{a_1}=\dfrac{y-y_1}{b_1}=\dfrac{z-z_1}{c_1}$ और $ \dfrac{x-x_2}{a_2}=\dfrac{y-y_2}{b_2}=\dfrac{z-z_2}{c_2} \text{ है }$

$ \qquad \dfrac{ \begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} }{\sqrt{(b_1 c_2-b_2 c_1)^{2}+(c_1 a_2-c_2 a_1)^{2}+(a_1 b_2-a_2 b_1)^{2}}} $

• समांतर रेखाओं $\vec{r}= \vec{a} _ {1}+\lambda \vec{b}$ और $\vec{r}= \vec{a} _ {2}+\mu \vec{b}$ के बीच दूरी है

$\qquad \left|\dfrac{\vec{b} \times( \vec{a} _ {2}- \vec{a} _ {1})}{|\vec{b}|}\right|$