दुनिया में खराब गणित के लंबे समय तक ठहरे हुए स्थान नहीं होते … । गणितीय सुंदरता को परिभाषित करना बहुत कठिन हो सकता है, लेकिन यह किसी भी प्रकार की सुंदरता के लिए भी बराबर सच है, हम एक सुंदर कविता के बारे में ठीक तौर पर क्या अर्थ होता है नहीं जान सकते, लेकिन इसके बावजूद हम जब उसे पढ़ते हैं तो एक बार फिर उसे चिन्हित कर सकते हैं। - जी. एच. हार्डी

1.1 परिचय

याद रखें कि संबंध और फ़ंक्शन, डोमेन, को-डोमेन और रेंज की अवधारणा कक्षा XI में अलग-अलग प्रकार के विशिष्ट वास्तविक मान फ़ंक्शन और उनके ग्राफ के साथ परिचित कराई गई थी। गणित में “संबंध” शब्द की अवधारणा अंग्रेजी भाषा में संबंध शब्द के अर्थ से ली गई है, जिसके अनुसार दो वस्तुओं या मात्राओं के बीच एक पहचान या जुड़ाव होने पर वे एक-दूसरे से संबंधित होते हैं। मान लीजिए A एक विद्यालय के कक्षा XII के छात्रों का समुच्चय है और B उसी विद्यालय के कक्षा XI के छात्रों का समुच्चय है। तब A से B के लिए कुछ संबंध के उदाहरण हैं:

लेजून डिरिचलेट (1805-1859)

(i) $\{(a, b) \in \mathrm{A} \times \mathrm{B}: a$ के भाई है $b\}$,

(ii) $\{(a, b) \in \mathrm{A} \times \mathrm{B}: a$ की बहन है $b\}$,

(iii) $\{(a, b) \in \mathrm{A} \times \mathrm{B}$ : $a$ की आयु $b$ की आयु से अधिक है \},

(iv) $\{(a, b) \in \mathrm{A} \times \mathrm{B}$ : $a$ द्वारा अंतिम परीक्षा में प्राप्त कुल अंक $b$ द्वारा अंतिम परीक्षा में प्राप्त कुल अंक से कम है \},

(v) $\{(a, b) \in \mathrm{A} \times \mathrm{B}$ : $a$ और $b$ एक ही स्थान पर रहते हैं \}। हालांकि, इससे अलग रखते हुए, हम गणितीय रूप से A से B के लिए एक संबंध R को A × B का कोई भी असंगत समुच्चय के रूप में परिभाषित करते हैं।

यदि $(a, b) \in \mathrm{R}$, तो हम कहते हैं कि $a$ संबंध R के तहत $b$ से संबंधित है और हम इसे $a \mathrm{R} b$ के रूप में लिखते हैं। सामान्य रूप से, $(a, b) \in \mathrm{R}$, हम यह नहीं जांचते कि $a$ और $b$ के बीच कोई पहचान या जुड़ाव है। जैसा कक्षा XI में देखा गया है, फ़ंक्शन संबंध के एक विशिष्ट प्रकार होते हैं।

इस अध्याय में, हम विभिन्न प्रकार के संबंध और फलन, फलनों का संगठन, व्युत्क्रमणीय फलन और द्विआधारी संचालन के बारे में अध्ययन करेंगे।

1.2 संबंध के प्रकार

इस अनुच्छेद में, हम विभिन्न प्रकार के संबंधों के बारे में अध्ययन करना चाहते हैं। हम जानते हैं कि समुच्चय A में एक संबंध A का एक उपसमुच्चय होता है $ \mathrm{A} \times \mathrm{A}$. इसलिए, खाली समुच्चय $\phi$ और $ \mathrm{A} \times \mathrm{A}$ दो अत्यंत संबंध हैं। उदाहरण के लिए, समुच्चय $A=\{1,2,3,4\}$ में एक संबंध $R$ द्वारा दिया गया है $ \mathrm{R}=\{(a, b): a-b=10\}$. यह खाली समुच्चय है, क्योंकि कोई भी युग्म $(a, b)$ स्थिति $a-b=10$ को संतुष्ट नहीं करता है।

इसी तरह, $ \mathrm{R}^{\prime}=\{(a, b):|a-b| \geq 0\}$ एक पूर्ण समुच्चय $ \mathrm{A} \times \mathrm{A}$ है, क्योंकि A के सभी युग्म $(a, b)$ अवयव $|a-b| \geq 0$ को संतुष्ट करते हैं। इन दो अत्यंत उदाहरणों से हम निम्नलिखित परिभाषाओं के लिए पहुंच गए हैं।

परिभाषा 1 समुच्चय A में एक संबंध R खाली संबंध कहलाता है, यदि A का कोई भी अवयव किसी अवयव के साथ संबंधित नहीं होता, अर्थात, $ \mathrm{R}=\phi \subset \mathrm{A} \times \mathrm{A}$।

परिभाषा 2 समुच्चय A में एक संबंध R विश्वविद्यालय संबंध कहलाता है, यदि A का प्रत्येक अवयव A के प्रत्येक अवयव से संबंधित होता है, अर्थात, $ \mathrm{R}=\mathrm{A} \times \mathrm{A}$।

दोनों खाली संबंध और विश्वविद्यालय संबंध कभी-कभी अत्यंत संबंध कहलाते हैं।

उदाहरण 1 मान लीजिए A एक लड़कों के विद्यालय के सभी छात्रों का समुच्चय है। दिखाइए कि A में एक संबंध R जो $ \mathrm{R}=\{(a, b): a$ बहन है $b\}$ द्वारा दिया गया है खाली संबंध है और $ \mathrm{R}^{\prime}=\{(a, b)$ : $a$ और $b$ के ऊंचाई के बीच अंतर 3 मीटर से कम है $\}$ विश्वविद्यालय संबंध है।

हल चूंकि विद्यालय लड़कों का है, इसलिए विद्यालय के कोई छात्र अपने विद्यालय के किसी छात्र की बहन नहीं हो सकते। इसलिए, $ \mathrm{R}=\phi$, जो दिखाता है कि R खाली संबंध है। यह भी स्पष्ट है कि विद्यालय के किसी भी दो छात्रों के ऊंचाई के बीच अंतर 3 मीटर से कम होना चाहिए। यह दिखाता है कि $ \mathrm{R}^{\prime}=\mathrm{A} \times \mathrm{A}$ विश्वविद्यालय संबंध है।

टिप्पणी कक्षा XI में हमने एक संबंध को प्रस्तुत करने के दो तरीके, अर्थात रेस्टर विधि और सेट बिल्डर विधि देखे हैं। हालांकि, समुच्चय $\{1,2,3,4\}$ में एक संबंध $R$ जो $R$ $=\{(a, b): b=a+1\}$ द्वारा परिभाषित होता है, अनेक लेखकों द्वारा $a$ $ \mathrm{R}$ $b$ अगर और केवल अगर $b=a+1$ के रूप में भी व्यक्त किया जाता है। हम इस संकेतन का उपयोग भी कर सकते हैं, जब भी आवश्यकता हो।

यदि $(a, b) \in \mathrm{R}$, तो हम कहते हैं कि $a$ $b$ से संबंधित है और हम इसे $a$ $ \mathrm{R}$ $b$ के रूप में दर्शाते हैं।

गणित में सबसे महत्वपूर्ण संबंधों में से एक, जो गणित में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है, एक समतुल्यता संबंध है। समतुल्यता संबंध के अध्ययन के लिए हम सबसे पहले तीन प्रकार के संबंधों, अर्थात स्व-संबंधी, सममिति और प्रतिलोम विशिष्टता के बारे में विचार करते हैं।

परिभाषा 3 समुच्चय $A$ में एक संबंध $R$ को

(i) स्व-संबंधी कहा जाता है, यदि $(a, a) \in \mathrm{R}$, प्रत्येक $a \in \mathrm{~A}$ के लिए,

(ii) सममिति कहा जाता है, यदि $\left(a_1, a_2\right) \in \mathrm{R}$ तो $\left(a_2, a_1\right) \in \mathrm{R}$, सभी $a_1, a_2 \in \mathrm{~A}$ के लिए।

(iii) प्रतिलोम विशिष्टता कहा जाता है, यदि $\left(a_1, a_2\right) \in \mathrm{R}$ और $\left(a_2, a_3\right) \in \mathrm{R}$ तो $\left(a_1, a_3\right) \in \mathrm{R}$, सभी $a_1, a_2$, $a_3 \in \mathrm{~A}$ के लिए।

परिभाषा 4 समुच्चय $A$ में एक संबंध $R$ को समतुल्यता संबंध कहा जाता है यदि $R$ स्व-संबंधी, सममिति और प्रतिलोम विशिष्टता हो।

उदाहरण 2 मान लीजिए $T$ तल में सभी त्रिभुजों का समुच्चय है और $R$ एक संबंध है $T$ में जो $R=\left\{\left(T_1, T_2\right): T_1\right.$ समान है $\left.T_2\right\}$ द्वारा परिभाषित होता है। दिखाइए कि $R$ एक समतुल्यता संबंध है।

हल $R$ स्व-संबंधी है, क्योंकि प्रत्येक त्रिभुज अपने आपसे समान होता है। अतः, $\left(T_1, T_2\right) \in R \Rightarrow T_1$ समान है $T_2 \Rightarrow T_2$ समान है $T_1 \Rightarrow\left(T_2, T_1\right) \in R$। इसलिए, $R$ सममिति है। इसके अतिरिक्त, $\left(T_1, T_2\right),\left(T_2, T_3\right) \in R \Rightarrow T_1$ समान है $T_2$ और $T_2$ समान है $T_3 \Rightarrow T_1$ समान है $T_3 \Rightarrow\left(T_1, T_3\right) \in R$। अतः, $R$ एक समतुल्यता संबंध है।

उदाहरण 3 मान लीजिए $L$ तल में सभी रेखाओं का समुच्चय है और $R$ एक ऐसा संबंध $L$ में परिभाषित है जो $R=\left{\left(L_1, L_2\right): L_1\right.$ लंब है $\left.L_2\right}$ है। दिखाइए कि $R$ सममित है लेकिन आत्मसंबंधी और प्रतिलोम नहीं है।

हल $R$ आत्मसंबंधी नहीं है, क्योंकि एक रेखा $L_1$ अपने आप पर लंब नहीं हो सकती, अर्थात, ( $L_1, L_1$ ) $\notin R$. R सममित है क्योंकि $\left(\mathrm{L}_1, \mathrm{~L}_2\right) \in \mathrm{R}$

$ \Rightarrow \quad \mathrm{L}_1 \text { लंब है } \mathrm{L}_2 $

$ \Rightarrow \quad L_2 \text { लंब है } L_1 $

$ \Rightarrow \quad\left(L_2, L_1\right) \in R $

$R$ प्रतिलोम नहीं है। वास्तव में, यदि $L_1$ लंब है $L_2$ और $L_2$ लंब है $L_3$, तो $L_1$ कभी भी $L_3$ के लंब नहीं हो सकता। वास्तव में, $L_1$ $L_3$ के समांतर है, अर्थात, $\left(L_1, L_2\right) \in R,\left(L_2, L_3\right) \in R$ लेकिन $\left(L_1, L_3\right) \notin R$.

उदाहरण 4 समुच्चय $\{1,2,3\}$ में एक संबंध $R$ दिया गया है जो $ \mathrm{R}=\{(1,1),(2,2)$, $(3,3),(1,2),(2,3)\}$ है। दिखाइए कि $R$ आत्मसंबंधी है लेकिन सममित और प्रतिलोम नहीं है।

हल R आत्मसंबंधी है, क्योंकि $(1,1),(2,2)$ और $(3,3)$ R में हैं। अतः, R सममित नहीं है, क्योंकि $(1,2) \in R$ लेकिन $(2,1) \notin R$. इसी तरह, $R$ प्रतिलोम नहीं है, क्योंकि $(1,2) \in R$ और $(2,3) \in R$ लेकिन $(1,3) \notin \mathrm{R}$.

उदाहरण 5 पूर्णांकों के समुच्चय $ \mathbf{Z}$ में एक संबंध $R$ दिया गया है जो $ \mathrm{R}=\{(a, b): 2 \text { विभाजित करता है } a-b\}$ है। दिखाइए कि $R$ एक तुलनात्मक संबंध है।

हल $R$ आत्मसंबंधी है, क्योंकि 2 $(a-a)$ को विभाजित करता है सभी $a \in \mathbf{Z}$ के लिए। आगे, यदि $(a, b) \in \mathrm{R}$, तो 2 $a-b$ को विभाजित करता है। अतः, 2 $b-a$ को विभाजित करता है। इसलिए, $(b, a) \in \mathrm{R}$, जो दिखाता है कि R सममित है। इसी तरह, यदि $(a, b) \in \mathrm{R}$ और $(b, c) \in \mathrm{R}$, तो $a-b$ और $b-c$ 2 द्वारा विभाजित होते हैं। अब, $a-c=(a-b)+(b-c)$ सम संख्या है (क्यों?)। इसलिए, $(a-c)$ 2 द्वारा विभाजित होता है। यह दिखाता है कि R प्रतिलोम है। इसलिए, R $ \mathbf{Z}$ में एक तुलनात्मक संबंध है।

उदाहरण 5 में ध्यान दें कि सभी सम संख्याएँ शून्य के साथ संबंधित हैं, क्योंकि $(0, \pm 2),(0, \pm 4)$ आदि, R में हैं और कोई विषम संख्या शून्य के साथ संबंधित नहीं है, क्योंकि $(0, \pm 1),(0, \pm 3)$ आदि, R में नहीं हैं। इसी तरह, सभी विषम संख्याएँ एक के साथ संबंधित हैं और कोई भी सम संख्या एक के साथ संबंधित नहीं है। अतः, सभी सम संख्याओं के समुच्चय E और सभी विषम संख्याओं के समुच्चय O, $ \mathbf{Z}$ के उपसमुच्चय हैं जो निम्न शर्तों को संतुष्ट करते हैं:

(i) E के सभी तत्व एक दूसरे से संबंधित हैं और O के सभी तत्व एक दूसरे से संबंधित हैं।

(ii) E के कोई भी तत्व O के किसी भी तत्व से संबंधित नहीं है और विपरीत भी।

(iii) E और O अलग-अलग हैं और $ \mathbf{Z}=\mathrm{E} \cup \mathrm{O}$ है।

उपसमुच्चय E को शून्य के संबंधित तुल्यता वर्ग कहा जाता है और [0] से दर्शाया जाता है। इसी तरह, O एक के संबंधित तुल्यता वर्ग है और [1] से दर्शाया जाता है। ध्यान दें कि $[0] \neq[1],[0]=[2 r]$ और $[1]=[2 r+1], r \in \mathbf{Z}$ है। वास्तव में, ऊपर देखे गए बातें किसी भी तुल्यता संबंध R के लिए सत्य हैं। एक असंगत समुच्चय X में एक असंगत संबंध R दिया गया है, तो R, X को परस्पर अलग-अलग उपसमुच्चयों $ \mathrm{A}_i$ में विभाजित करता है जिन्हें X के विभाजन या उपसमुच्चय कहा जाता है जो निम्न शर्तों को संतुष्ट करते हैं:

(i) सभी $ \mathrm{A}_i$ के तत्व एक दूसरे से संबंधित हैं, सभी $i$ के लिए।

(ii) कोई भी $ \mathrm{A}_i$ के तत्व $ \mathrm{A}_j$ के किसी भी तत्व से संबंधित नहीं है, जहाँ $i \neq j$।

(iii) $\cup \mathrm{A}_j=\mathrm{X}$ और $ \mathrm{A}_i \cap \mathrm{~A}_j=\phi$, जहाँ $i \neq j$।

उपसमुच्चय $ \mathrm{A}_i$ को तुल्यता वर्ग कहा जाता है। स्थिति के दिलचस्प हिस्सा यह है कि हम विपरीत भी जा सकते हैं। उदाहरण के लिए, समुच्चय $ \mathbf{Z}$ के विभाजन को तीन परस्पर अलग-अलग उपसमुच्चयों $ \mathrm{A}_1, \mathrm{~A}_2$ और $ \mathrm{A}_3$ के द्वारा दिया गया है जिनका संयोजन $ \mathbf{Z}$ है जहाँ

$$ \begin{aligned} & \mathrm{A}_1=\{x \in \mathbf{Z}: x \text { एक तीन का गुणज है}\}=\{\ldots,-6,-3,0,3,6, \ldots\} \\ & \mathrm{A}_2=\{x \in \mathbf{Z}: x-1 \text { एक तीन का गुणज है}\}=\{\ldots,-5,-2,1,4,7, \ldots\} \\

$$ & \mathrm{A}_3=\{x \in \mathbf{Z}: x-2 \text { is a multiple of } 3\}=\{\ldots,-4,-1,2,5,8, \ldots\} \end{aligned} $$

$ \mathbf{Z}$ में एक संबंध R दिया गया है जो $ \mathrm{R}=\{(a, b): 3$ द्वारा $a-b$ विभाजित होता है $\}$ द्वारा परिभाषित है। उदाहरण 5 में उपयोग किए गए तर्कों के समान तर्कों का उपयोग करके हम दिखा सकते हैं कि R एक समतुल्यता संबंध है। इसके अतिरिक्त, $ \mathrm{A}_1$ सभी पूर्णांकों के समुच्चय के बराबर है जो $ \mathbf{Z}$ में शून्य के संबंधित हैं, $ \mathrm{A}_2$ सभी पूर्णांकों के समुच्चय के बराबर है जो 1 के संबंधित हैं और $ \mathrm{A}_3$ सभी पूर्णांकों के समुच्चय के बराबर है जो 2 के संबंधित हैं। इसलिए, $A_1=[0], A_2=[1]$ और $A_3=[2]$. वास्तव में, $ \mathrm{A}_1=[3 r], \mathrm{A}_2=[3 r+1]$ और $ \mathrm{A}_3=[3 r+2]$, सभी $r \in \mathbf{Z}$ के लिए।

उदाहरण 6 मान लीजिए R एक समुच्चय $ \mathrm{A}=\{1,2,3,4,5,6,7\}$ में परिभाषित संबंध है जो $ \mathrm{R}=\{(a, b)$ : $a$ और $b$ दोनों विषम या सम हैं $\}$ द्वारा परिभाषित है। दिखाइए कि R एक समतुल्यता संबंध है। इसके अतिरिक्त, दिखाइए कि समुच्चय $\{1,3,5,7\}$ के सभी तत्व एक दूसरे से संबंधित हैं और समुच्चय $\{2,4,6\}$ के सभी तत्व एक दूसरे से संबंधित हैं, लेकिन समुच्चय $\{1,3,5,7\}$ के कोई भी तत्व समुच्चय $\{2,4,6\}$ के कोई भी तत्व से संबंधित नहीं है।

हल किसी भी तत्व $a$ के लिए A में, $a$ और $a$ दोनों विषम या सम होना चाहिए, ताकि $(a, a) \in \mathrm{R}$. इसके अतिरिक्त, $(a, b) \in \mathrm{R} \Rightarrow$ $a$ और $b$ दोनों विषम या सम होना चाहिए $\Rightarrow (b, a) \in \mathrm{R}$. इसी तरह, $(a, b) \in \mathrm{R}$ और $(b, c) \in \mathrm{R} \Rightarrow$ सभी तत्व $a, b, c$ एक साथ विषम या सम होना चाहिए $\Rightarrow (a, c) \in \mathrm{R}$. इसलिए, R एक समतुल्यता संबंध है। इसके अतिरिक्त, समुच्चय $\{1,3,5,7\}$ के सभी तत्व एक दूसरे से संबंधित हैं, क्योंकि इस समुच्चय के सभी तत्व विषम हैं। इसी तरह, समुच्चय $\{2,4,6\}$ के सभी तत्व एक दूसरे से संबंधित हैं, क्योंकि इनमें से सभी सम हैं। इसके अतिरिक्त, समुच्चय $\{1,3,5,7\}$ के कोई भी तत्व समुच्चय $\{2,4,6\}$ के कोई भी तत्व से संबंधित नहीं हो सकते, क्योंकि समुच्चय $\{1,3,5,7\}$ के तत्व विषम हैं, जबकि समुच्चय $\{2,4,6\}$ के तत्व सम हैं।

1.3 फलनों के प्रकार

फलन के अवधारणा के साथ-साथ कुछ विशेष फलन जैसे अंतर्रक फलन, स्थिर फलन, बहुपद फलन, परिमाण फलन, चिह्न फलन आदि एवं उनके ग्राफ के बारे में कक्षा XI में चर्चा की गई है।

दो फलनों के योग, व्यवकलन, गुणन एवं भाग के बारे में भी अध्ययन किया गया है। क्योंकि फलन के अवधारणा का महत्वपूर्ण स्थान गणित में है तथा अन्य विषयों में भी, हम अपने पिछले अध्ययन के बाद फलन के अध्ययन को बढ़ाए लेंगे। इस अनुच्छेद में हम विभिन्न प्रकार के फलनों के बारे में अध्ययन करेंगे।

मान लीजिए कि निम्न आरेखों द्वारा दिए गए फलन $f_1, f_2, f_3$ और $f_4$ हैं। चित्र 1.2 में हम देखते हैं कि $X_1$ के भिन्न तत्वों के अंतर्गत $f_1$ के प्रतिबिम्ब भिन्न हैं, लेकिन $X_1$ के दो भिन्न तत्व 1 और 2 के अंतर्गत $f_2$ के प्रतिबिम्ब समान है, अर्थात $b$ है। इसके अतिरिक्त, $X_2$ में कुछ तत्व जैसे $e$ और $f$ ऐसे नहीं हैं जो $X_1$ के किसी भी तत्व के अंतर्गत $f_1$ के प्रतिबिम्ब हों, जबकि $X_3$ के सभी तत्व $X_1$ के किसी तत्व के अंतर्गत $f_3$ के प्रतिबिम्ब हैं। उपरोक्त अवलोकन से निम्न परिभाषाएं निकलती हैं:

परिभाषा 5 एक फलन $f: \mathrm{X} \rightarrow \mathrm{Y}$ एक-एक (या प्रतिचित्रण या injective) कहलाता है, यदि $X$ के भिन्न तत्वों के अंतर्गत $f$ के प्रतिबिम्ब भिन्न हों, अर्थात, प्रत्येक $x_1, x_2 \in \mathrm{X}$ के लिए, $f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)$ के अर्थ में $x_1=x_2$ हो। अन्यथा, $f$ को अनेक-एक (या many-one) कहते हैं।

चित्र 1.2 (i) और (iv) में दिए गए फलन $f_1$ और $f_4$ एक-एक हैं और चित्र 1.2 (ii) और (iii) में दिए गए फलन $f_2$ और $f_3$ अनेक-एक हैं।

परिभाषा 6 एक फलन $f: \mathrm{X} \rightarrow \mathrm{Y}$ यदि $Y$ के प्रत्येक तत्व $X$ के किसी तत्व के अंतर्गत $f$ के प्रतिबिम्ब हो, तो उसे उपरोक्त (या सरल या surjective) कहते हैं, अर्थात, प्रत्येक $y \in \mathrm{Y}$ के लिए, $X$ में कोई तत्व $x$ ऐसा हो कि $f(x)=y$ हो।

फंक्शन $f_3$ और $f_4$ आकृति 1.2 (iii), (iv) में आकृति पर आधारित हैं और फंक्शन $f_1$ आकृति 1.2 (i) में आकृति पर आधारित नहीं है क्योंकि $X_2$ में तत्व $e, f$ कोई भी तत्व $ \mathrm{X}_1$ के तहत $f_1$ के छवि नहीं हैं।

आकृति 1.2 (i) से (iv)

टिप्पणी $f: \mathrm{X} \rightarrow \mathrm{Y}$ आकृति पर आधारित होगी यदि और केवल यदि $f$ के परिसर $ \mathrm{Y}$ के बराबर हो।

परिभाषा 7 एक फंक्शन $f: \mathrm{X} \rightarrow \mathrm{Y}$ एक-एक और आकृति पर आधारित (या बाइजेक्टिव) कहलाता है यदि $f$ एक-एक और आकृति पर आधारित दोनों है।

आकृति 1.2 (iv) में फंक्शन $f_4$ एक-एक और आकृति पर आधारित है।

उदाहरण 7 मान लीजिए A एक विद्यालय में कक्षा X के सभी 50 छात्रों का समुच्चय है। मान लीजिए $f: \mathrm{A} \rightarrow \mathbf{N}$ एक फंक्शन है जो छात्र $x$ के लिए $f(x)=$ छात्र $x$ की लेखांकन संख्या द्वारा परिभाषित है। दिखाइए कि $f$ एक-एक है लेकिन आकृति पर आधारित नहीं है।

हल कक्षा के कोई दो अलग छात्र एक ही लेखांकन संख्या नहीं रख सकते। इसलिए, $f$ एक-एक होगा। हम बिना किसी खोए बराबरी के मान लें कि छात्रों की लेखांकन संख्या 1 से 50 तक है। इसका अर्थ है कि $51 \mathrm{in} \mathbf{N}$ कक्षा के किसी छात्र की लेखांकन संख्या नहीं है, इसलिए 51 कोई भी तत्व $X$ के तहत $f$ के छवि नहीं हो सकता। इसलिए, $f$ आकृति पर आधारित नहीं है।

उदाहरण 8 दिखाइए कि फंक्शन $f: \mathbf{N} \rightarrow \mathbf{N}$, जो $f(x)=2 x$ द्वारा परिभाषित है, एक-एक है लेकिन आकृति पर आधारित नहीं है।

हल फंक्शन $f$ एक-एक है, क्योंकि $f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right) \Rightarrow 2 x_1=2 x_2 \Rightarrow x_1=x_2$. इसके अतिरिक्त, $f$ आकृति पर आधारित नहीं है, क्योंकि $1 \in \mathbf{N}$ के लिए कोई भी $x$ ऐसा नहीं है जो $f(x)=2 x=1$ को संतुष्ट करे।

उदाहरण 9 दिखाइए कि फंक्शन $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$, जो $f(x)=2 x$ द्वारा परिभाषित है, एक-एक और आकृति पर आधारित है। हल $f$ एक-एक है, क्योंकि $f(x_{1})=f(x_{2}) \Rightarrow 2 x_{1}=2 x_{2} \Rightarrow x_{1}=x_{2}$. इसके अतिरिक्त, दिया गया कोई भी वास्तविक संख्या $y$ इस प्रकार है कि $R$ में $y$ के लिए $R$ में $\dfrac{y}{2}$ ऐसा अस्तित्व है कि $f(\dfrac{y}{2})=2 .(\dfrac{y}{2})=y$. इसलिए, $f$ आकृति पर आधारित है।

उदाहरण 10 सिद्ध कीजिए कि फलन $f: \mathbf{N} \rightarrow \mathbf{N}$, जो $f(1)=f(2)=1$ और $x>2$ के लिए $f(x)=x-1$ द्वारा परिभाषित है, एकैकी नहीं है लेकिन आच्छादक है।

हल $f$ एकैकी नहीं है, क्योंकि $f(1)=f(2)=1$। लेकिन $f$ आच्छादक है, क्योंकि कोई भी $y \in \mathbf{N}, y \neq 1$ लेकर $x$ को $y+1$ चुना जा सकता है ताकि $f(y+1)=y+1-1=y$। इसके अलावा $1 \in \mathbf{N}$ के लिए हमें $f(1)=1$ मिलता है।

उदाहरण 11 सिद्ध कीजिए कि फलन $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$, जो $f(x)=x^2$ द्वारा परिभाषित है, एकैकी नहीं और आच्छादक भी नहीं है।

हल क्योंकि $f(-1)=1=f(1)$, इसलिए $f$ एकैकी नहीं है। इसके अलावा, सह-दोमेन $ \mathbf{R}$ में तत्व $-2$ कोई भी डोमेन $ \mathbf{R}$ में तत्व $x$ के प्रतिबिम्ब नहीं है (क्यों?)। अतः $f$ आच्छादक भी नहीं है।

उदाहरण 12 सिद्ध कीजिए कि $f: \mathbf{N} \rightarrow \mathbf{N}$, जो निम्नलिखित द्वारा परिभाषित है

$ f(x)=\begin{aligned} & x+1, \text { यदि } x \text { विषम है } \\ & x-1, \text { यदि } x \text { सम है } \end{aligned} $

एकैकी और आच्छादक दोनों है।

हल मान लीजिए $f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)$. ध्यान दें कि यदि $x_1$ विषम है और $x_2$ सम है, तो हमें $x_1+1=x_2-1$, अर्थात $x_2-x_1=2$ प्राप्त होता है, जो संभव नहीं है। इसी तरह, $x_1$ सम हो और $x_2$ विषम हो के संभावना को भी इसी तरह के तर्क के द्वारा नकारा जा सकता है। अतः $x_1$ और $x_2$ दोनों या तो विषम होंगे या सम होंगे। मान लीजिए कि $x_1$ और $x_2$ दोनों विषम हैं। तब $f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right) \Rightarrow x_1+1=x_2+1 \Rightarrow x_1=x_2$. इसी तरह, यदि $x_1$ और $x_2$ दोनों सम हैं, तो भी $f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right) \Rightarrow x_1-1=x_2-1 \Rightarrow x_1=x_2$. अतः $f$ एकैकी है। इसके अलावा, सह-दोमेन $ \mathbf{N}$ में कोई विषम संख्या $2 r+1$ डोमेन $ \mathbf{N}$ में $2 r+2$ के प्रतिबिम्ब है और कोई भी सम संख्या $2 r$ सह-दोमेन $ \mathbf{N}$ में डोमेन $ \mathbf{N}$ में $2 r-1$ के प्रतिबिम्ब है। अतः $f$ आच्छादक है।

उदाहरण 13 सिद्ध कीजिए कि एक आच्छादक फलन $f:\{1,2,3\} \rightarrow\{1,2,3\}$ हमेशा एकैकी होता है।

हल मान लीजिए $f$ एकैकी नहीं है। तब डोमेन में दो तत्व, मान लीजिए 1 और 2 के प्रतिबिम्ब कोडोमेन में समान होते हैं। इसके अतिरिक्त, $f$ के तहत 3 का प्रतिबिम्ब केवल एक तत्व हो सकता है। अतः, कोडोमेन $\{1,2,3\}$ में प्रतिबिम्ब समुच्चय के अधिकतम दो तत्व हो सकते हैं, जो दिखाते हैं कि $f$ आच्छादक नहीं है, एक विरोधाभास है। अतः, $f$ एकैकी होना चाहिए।

उदाहरण 14 सिद्ध कीजिए कि एक एकैकी फलन $f:\{1,2,3\} \rightarrow\{1,2,3\}$ हमेशा आच्छादक होता है।

हल क्योंकि $f$ एकैकी है, तो $\{1,2,3\}$ के तीन तत्व अलग-अलग कोडोमेन $\{1,2,3\}$ के तीन तत्वों पर चले जाएंगे। अतः, $f$ आच्छादक होना चाहिए।

टिप्पणी उदाहरण 13 और 14 में उल्लेखित परिणाम एक असंगत अंग तंत्र X के लिए भी सत्य हैं, अर्थात, एक एकैकी फलन $f: \mathrm{X} \rightarrow \mathrm{X}$ आवश्यक रूप से आच्छादक होता है और एक आच्छादक फलन $f: \mathrm{X} \rightarrow \mathrm{X}$ आवश्यक रूप से एकैकी होता है, प्रत्येक अंग तंत्र X के लिए। इसके विपरीत, उदाहरण 8 और 10 दिखाते हैं कि एक अनंत समुच्चय के लिए यह सत्य नहीं हो सकता है। वास्तव में, यह एक अंग तंत्र और अनंत समुच्चय के बीच एक विशिष्ट अंतर है।

1.4 फलनों का संयोजन और व्युत्क्रम फलन

परिभाषा 8 मान लीजिए $f: \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B}$ और $g: \mathrm{B} \rightarrow \mathrm{C}$ दो फलन हैं। तब $f$ और $g$ के संयोजन को $g o f$ द्वारा नोट किया जाता है जो फलन $g o f: \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{C}$ द्वारा परिभाषित किया जाता है जो निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

$ g o f(x)=g(f(x)), \forall x \in \mathrm{~A} . $

उदाहरण 15 मान लीजिए $f:\{2,3,4,5\} \rightarrow\{3,4,5,9\}$ और $g:\{3,4,5,9\} \rightarrow\{7,11,15\}$ फलन हैं जो निम्नलिखित रूप में परिभाषित हैं $f(2)=3, f(3)=4, f(4)=f(5)=5$ और $g(3)=g(4)=7$ और $g(5)=g(9)=11$। $g o f$ ज्ञात कीजिए।

हल हमें $\operatorname{gof}(2)=g(f(2))=g(3)=7, \operatorname{gof}(3)=g(f(3))=g(4)=7$, $g o f(4)=g(f(4))=g(5)=11$ और $g o f(5)=g(5)=11$ मिलता है।

उदाहरण 16 यदि $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ और $g: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ द्वारा $f(x)=\cos x$ और $g(x)=3 x^2$ दिया गया है, तो $g o f$ और $f o g$ ज्ञात कीजिए। दिखाइए कि $g o f \neq f o g$ है।

हल हमें $\operatorname{gof}(x)=g(f(x))=g(\cos x)=3(\cos x)^2=3 \cos ^2 x$ मिलता है। इसी तरह, $f o g(x)=f(g(x))=f\left(3 x^2\right)=\cos \left(3 x^2\right)$। ध्यान दें कि $3 \cos ^2 x \neq \cos 3 x^2$, $x=0$ के लिए। अतः, gof $\neq f$ fog है।

परिभाषा 9 एक फलन $f: \mathrm{X} \rightarrow \mathrm{Y}$ उत्कृत फलन कहलाता है, यदि एक फलन $g: \mathrm{Y} \rightarrow \mathrm{X}$ ऐसा मौजूद हो कि $g o f=\mathrm{I}{\mathrm{X}}$ और $f o g=\mathrm{I}{\mathrm{Y}}$ हो। फलन $g$ को $f$ के व्युत्क्रम फलन के रूप में जाना जाता है और $f^{-1}$ द्वारा नोट किया जाता है।

इसलिए, यदि $f$ उत्कृत फलन है, तो $f$ एक-एक और परिसंचारी होना चाहिए और विलोम रूप से, यदि $f$ एक-एक और परिसंचारी है, तो $f$ उत्कृत फलन होना चाहिए। इस तथ्य की महत्वपूर्ण मदद उत्कृत फलन होने के लिए एक फलन $f$ के उत्कृत फलन होने की प्रमाणिकरण में आती है, विशेष रूप से जब वास्तविक व्युत्क्रम फलन $f$ की गणना नहीं करनी पड़ती हो।

उदाहरण 17 मान लीजिए $f: \mathbf{N} \rightarrow \mathrm{Y}$ एक फलन है जो $f(x)=4 x+3$ द्वारा परिभाषित है, जहाँ, $ \mathrm{Y}=\{y \in \mathbf{N}: y=4 x+3$ के लिए कुछ $x \in \mathbf{N}\}$. दिखाइए कि $f$ उत्कृत फलन है। व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए।

हल एक अस्पष्ट तत्व $y$ को $Y$ में लें। $Y$ की परिभाषा के अनुसार, $y=4 x+3$, कुछ $x$ के लिए डोमेन $ \mathbf{N}$ में। यह दिखाता है कि $x=\dfrac{(y-3)}{4}$. फलन $g: \mathrm{Y} \rightarrow \mathbf{N}$ को इस प्रकार परिभाषित करें:

$g(y)=\dfrac{(y-3)}{4}$. अब, $g o f(x)=g(f(x))=g(4 x+3)=\dfrac{(4 x+3-3)}{4}=x$ और $f o g(y)=f(g(y))=f\left(\dfrac{(y-3)}{4}\right)=\dfrac{4(y-3)}{4}+3=y-3+3=y$. यह दिखाता है कि $g o f=\mathrm{I}{\mathrm{N}}$ और $f o g=\mathrm{I}{\mathrm{Y}}$, जो इस बात को दर्शाता है कि $f$ उत्कृत फलन है और $g$ फलन $f$ का व्युत्क्रम है।

विविध उदाहरण

उदाहरण 18 यदि $R_1$ और $R_2$ एक समुच्चय $A$ में समतुल्यता संबंध हैं, तो दिखाइए कि $R_1 \cap R_2$ भी एक समतुल्यता संबंध है।

हल क्योंकि $ \mathrm{R}_1$ और $ \mathrm{R}_2$ समतुल्यता संबंध हैं, इसलिए $(a, a) \in \mathrm{R}_1$, और $(a, a) \in \mathrm{R}_2 \forall a \in \mathrm{~A}$. यह बताता है कि $(a, a) \in \mathrm{R}_1 \cap \mathrm{R}_2, \forall a$, जो दिखाता है कि $ \mathrm{R}_1 \cap \mathrm{R}_2$ स्वतुल्य है। आगे, $(a, b) \in \mathrm{R}_1 \cap \mathrm{R}_2 \Rightarrow(a, b) \in \mathrm{R}_1$ और $(a, b) \in \mathrm{R}_2 \Rightarrow(b, a) \in \mathrm{R}_1$ और $(b, a) \in \mathrm{R}_2 \Rightarrow$ ( $b, a) \in \mathrm{R}_1 \cap \mathrm{R}_2$, इसलिए $ \mathrm{R}_1 \cap \mathrm{R}_2$ सममिति है। इसी तरह, $(a, b) \in \mathrm{R}_1 \cap \mathrm{R}_2$ और $(b, c) \in \mathrm{R}_1 \cap \mathrm{R}_2 \Rightarrow(a, c) \in \mathrm{R}_1$ और $(a, c) \in \mathrm{R}_2 \Rightarrow(a, c) \in \mathrm{R}_1 \cap \mathrm{R}_2$. यह दिखाता है कि $ \mathrm{R}_1 \cap \mathrm{R}_2$ संक्रमणीय है। इसलिए, $ \mathrm{R}_1 \cap \mathrm{R}_2$ एक समतुल्यता संबंध है।

उदाहरण 19 मान लीजिए R, समुच्चय A पर एक संबंध है जो धनात्मक पूर्णांक के क्रमित युग्मों के समुच्चय पर परिभाषित है और $(x, y) \mathrm{R}(u, v)$ अगर और केवल अगर $x v=y u$ हो। दिखाइए कि R एक समतुल्यता संबंध है।

हल स्पष्ट रूप से, $(x, y) \mathrm{R}(x, y), \forall(x, y) \in \mathrm{A}$, क्योंकि $x y=y x$. यह दिखाता है कि R स्वतुल्य है। आगे, $(x, y) \mathrm{R}(u, v) \Rightarrow x v=y u \Rightarrow u y=v x$ और इसलिए $(u, v) \mathrm{R}(x, y)$. यह दिखाता है कि R सममिति है। इसी तरह, $(x, y) \mathrm{R}(u, v)$ और $(u, v) \mathrm{R}(a, b) \Rightarrow x v=y u$ और $u b=v a \Rightarrow x v \dfrac{a}{u}=y u \dfrac{a}{u} \Rightarrow x v \dfrac{b}{v}=y u \dfrac{a}{u} \Rightarrow x b=y a$ और इसलिए $(x, y) \mathrm{R}(a, b)$. इसलिए, R संक्रमणीय है। इसलिए, R एक समतुल्यता संबंध है।

उदाहरण 20 मान लीजिए $ \mathrm{X}=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$. मान लीजिए $ \mathrm{R}_1$ X में एक संबंध है जो $ \mathrm{R}_1=\{(x, y): x-y$ 3 से विभाज्य है $\}$ द्वारा परिभाषित है और $ \mathrm{R}_2$ X में एक अन्य संबंध है जो $ \mathrm{R}_2=\{(x, y):\{x, y\} \subset\{1,4,7\}\}$ या $\{x, y\} \subset\{2,5,8\}$ या $\left.\{x, y\} \subset\{3,6,9\}\right\}$ द्वारा परिभाषित है। दिखाइए कि $ \mathrm{R}_1=\mathrm{R}_2$.

हल ध्यान दें कि समुच्चय $\{1,4,7\},\{2,5,8\}$ और $\{3,6,9\}$ की विशेषता यह है कि इन समुच्चयों के किसी भी दो तत्वों के बीच अंतर 3 के एक गुणज होता है। इसलिए, $(x, y) \in \mathrm{R}1 \Rightarrow x-y$ 3 के एक गुणज होता है $\Rightarrow\{x, y\} \subset\{1,4,7\}$ या $\{x, y\} \subset\{2,5,8\}$ या $\{x, y\} \subset\{3,6,9\} \Rightarrow(x, y) \in \mathrm{R}2$. इसलिए, $ \mathrm{R}1 \subset \mathrm{R}2$. इसी तरह, $\{x, y\} \in \mathrm{R}2 \Rightarrow\{x, y\}$ $\subset\{1,4,7\}$ या $\{x, y\} \subset\{2,5,8\}$ या $\{x, y\} \subset\{3,6,9\} \Rightarrow x-y$ 3 से विभाज्य होता है $\Rightarrow\{x, y\} \in R{1}$. इससे स्पष्ट होता है कि $R{2} \subset R{1}$. इसलिए, $R{1}=R{2}$।

उदाहरण 21 मान लीजिए $f: \mathrm{X} \rightarrow \mathrm{Y}$ एक फलन है। X में एक संबंध R इस प्रकार परिभाषित करें: $ \mathrm{R}=\{(a, b): f(a)=f(b)\}$. जांच करें कि R एक तुलनीय संबंध है या नहीं।

हल प्रत्येक $a \in \mathrm{X},(a, a) \in \mathrm{R}$, क्योंकि $f(a)=f(a)$, जो दिखाता है कि R स्व-तुलनीय है। इसी तरह, $(a, b) \in \mathrm{R} \Rightarrow f(a)=f(b) \Rightarrow f(b)=f(a) \Rightarrow(b, a) \in \mathrm{R}$. इसलिए, R सममिति है। आगे, $(a, b) \in \mathrm{R}$ और $(b, c) \in \mathrm{R} \Rightarrow f(a)=f(b)$ और $f(b)=f(c) \Rightarrow f(a)$ $=f(c) \Rightarrow(a, c) \in \mathrm{R}$, जो दिखाता है कि R संक्रमणीय है। इसलिए, R एक तुलनीय संबंध है।

उदाहरण 22 समुच्चय $ \mathrm{A}=\{1,2,3\}$ से अपने आप में एक-एक फलन की संख्या ज्ञात कीजिए।

हल $\{1,2,3\}$ से अपने आप में एक-एक फलन तीन चिह्नों $1,2,3$ पर एक प्रतिस्थापन होता है। इसलिए, $\{1,2,3\}$ से अपने आप में एक-एक फलन की कुल संख्या तीन चिह्नों $1,2,3$ पर एक प्रतिस्थापन की कुल संख्या के बराबर होती है, जो $3!=6$ होती है।

उदाहरण 23 मान लीजिए $ \mathrm{A}=\{1,2,3\}$. फिर दिखाइए कि जो संबंध $( 1,2 )$ और $(2,3)$ को शामिल करते हैं और जो अपने आप में संक्रमणीय और संयोजक लेकिन सममिति नहीं होते हैं, उनकी संख्या तीन है।

हल न्यूनतम संबंध $ \mathrm{R}_1$ जो $(1,2)$ और $(2,3)$ को शामिल करता है और जो अपने आप में संक्रमणीय और संयोजक लेकिन सममिति नहीं होता है, वह $\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3),(1,3)\}$ है। अब, यदि हम $R_1$ में जोड़ा $(2,1)$ करके $R_2$ प्राप्त करते हैं, तो संबंध $R_2$ अपने आप में संक्रमणीय और संयोजक लेकिन सममिति नहीं होता है। इसी तरह, हम $R_1$ में $(3,2)$ जोड़कर $R_3$ प्राप्त कर सकते हैं। हालांकि, हम $R_1$ में दो जोड़े $(2,1),(3,2)$ या एक जोड़ा $(3,1)$ को एक साथ जोड़ नहीं सकते हैं, क्योंकि इससे हमें अन्य जोड़े को जोड़ना पड़ता है ताकि संक्रमणीयता बनी रहे, जिसके परिणामस्वरूप संबंध सममिति भी बन जाता है, जो आवश्यक नहीं है। इसलिए, अभीष्ट संबंधों की कुल संख्या तीन है।

उदाहरण 24 सिद्ध कीजिए कि समुच्चय $\{1,2,3\}$ में तुलनीय संबंधों की संख्या जो $(1,2)$ और $(2,1)$ को शामिल करते हैं, दो है।

हल सबसे छोटा तुलनीय संबंध $ \mathrm{R}_1$ जो $(1,2)$ और $(2,1)$ को शामिल करता है, $\{(1,1)$, $(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)\}$ है। अब हमें केवल 4 जोड़े बचे हैं अर्थात $(2,3),(3,2)$, $(1,3)$ और $(3,1)$. यदि हम $R_1$ में कोई एक जोड़ा, जैसे $(2,3)$ जोड़ दें, तो सममिति के कारण हमें $(3,2)$ को भी जोड़ना पड़ेगा और अब संक्रमण के कारण हमें $(1,3)$ और $(3,1)$ को भी जोड़ना पड़ेगा। इस प्रकार, $R_1$ से बड़ा एकमात्र तुलनीय संबंध सार्वत्रिक संबंध है। इससे स्पष्ट है कि $(1,2)$ और $(2,1)$ को शामिल करते हुए तुलनीय संबंधों की कुल संख्या दो है।

उदाहरण 25 एकता फलन $ \mathrm{I}{\mathrm{N}}: \mathbf{N} \rightarrow \mathbf{N}$ जो $ \mathrm{I}{\mathrm{N}}(x)=x \forall x \in \mathbf{N}$ द्वारा परिभाषित है। सिद्ध कीजिए कि यद्यपि $ \mathrm{I}{\mathrm{N}}$ आच्छादक है, लेकिन $ \mathrm{I}{\mathrm{N}}+\mathrm{I}_{\mathrm{N}}: \mathbf{N} \rightarrow \mathbf{N}$ जो निम्नलिखित द्वारा परिभाषित है

$ \left(\mathrm{I}{\mathrm{N}}+\mathrm{I}{\mathrm{N}}\right)(x)=\mathrm{I}{\mathrm{N}}(x)+\mathrm{I}{\mathrm{N}}(x)=x+x=2 x \text { आच्छादक नहीं है। } $

हल स्पष्ट रूप से $I_N$ आच्छादक है। लेकिन $I_N+I_N$ आच्छादक नहीं है, क्योंकि हम निर्देशक में 3 जैसे एक तत्व का अस्तित्व देख सकते हैं जहां कोई भी $x$ डोमेन में ऐसा नहीं है कि $\left(\mathrm{I}{\mathrm{N}}+\mathrm{I}{\mathrm{N}}\right)(x)=2 x=3$ हो।

उदाहरण 26 एक फलन $f:\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right] \rightarrow \mathbf{R}$ जो $f(x)=\sin x$ द्वारा परिभाषित है और $g:\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right] \rightarrow \mathbf{R}$ जो $g(x)=\cos x$ द्वारा परिभाषित है। सिद्ध कीजिए कि $f$ और $g$ एकैकी हैं, लेकिन $f+g$ एकैकी नहीं है।

हल किसी भी दो भिन्न तत्व $x_1$ और $x_2$ के लिए $\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]$ में $\sin x_1 \neq \sin x_2$ और $\cos x_1 \neq \cos x_2$ है, इसलिए दोनों $f$ और $g$ एकैकी हैं। लेकिन $(f+g)(0)=\sin 0+\cos 0=1$ और $(f+g)\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\sin \dfrac{\pi}{2}+\cos \dfrac{\pi}{2}=1$ है। इसलिए $f+g$ एकैकी नहीं है।

सारांश

इस अध्याय में, हम विभिन्न प्रकार के संबंध और समतुल्यता संबंध, फलनों के संयोजन, उलटनीय फलन और द्विआधारी संक्रियाओं के बारे में अध्ययन करते हैं। इस अध्याय के मुख्य विषय निम्नलिखित हैं:

• रिक्त संबंध X में एक संबंध R जो $ \mathrm{R}=\phi \subset \mathrm{X} \times \mathrm{X} $ के रूप में दिया गया है।

• सार्वत्रिक संबंध X में एक संबंध R जो $ \mathrm{R}=\mathrm{X} \times \mathrm{X} $ के रूप में दिया गया है।

• एक रूपांतरण R जो X में एक संबंध है जहाँ $(a, a) \in \mathrm{R} \forall a \in \mathrm{X}$ है।

• सममिति संबंध R जो X में एक संबंध है जो $(a, b) \in \mathrm{R}$ के अर्थ में $(b, a) \in \mathrm{R}$ होता है।

• एक प्रतिलोम संबंध R जो X में एक संबंध है जो $(a, b) \in \mathrm{R}$ और $(b, c) \in \mathrm{R}$ के अर्थ में $(a, c) \in \mathrm{R}$ होता है।

• एक समतुल्यता संबंध R जो X में एक संबंध है जो रूपांतरण, सममिति और प्रतिलोम तीनों गुणों के अंतर्गत होता है।

• एक समतुल्यता वर्ग $[a]$ जो $a \in \mathrm{X}$ के लिए एक समतुल्यता संबंध R में एक उपसमुच्चय है जो X में सभी तत्व $b$ को जो $a$ से संबंधित होते हैं उन्हें शामिल करता है।

• एक फलन $f: \mathrm{X} \rightarrow \mathrm{Y}$ एक एकैक फलन (या प्रतिचित्रण) होता है यदि $f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right) \Rightarrow x_1=x_2 \forall x_1, x_2 \in \mathrm{X}$ होता है।

• एक फलन $f: \mathrm{X} \rightarrow \mathrm{Y}$ एक आच्छादक फलन (या सुप्रतिचित्रण) होता है यदि कोई भी $y \in \mathrm{Y}$ दिया गया हो तो ऐसा $x \in \mathrm{X}$ अवस्थित होता है जहाँ $f(x)=y$ होता है।

• एक फलन $f: \mathrm{X} \rightarrow \mathrm{Y}$ एक एकैक और आच्छादक (या आच्छादक एकैक) होता है यदि $f$ एकैक और आच्छादक दोनों होता है।

• एक अंतिम समुच्चय X के लिए, एक फलन $f: \mathrm{X} \rightarrow \mathrm{X}$ एकैक (क्रमशः आच्छादक) होता है यदि और केवल यदि $f$ आच्छादक (क्रमशः एकैक) होता है। यह एक अंतिम समुच्चय की विशिष्ट गुणधर्म है। यह अनंत समुच्चय के लिए सत्य नहीं होता।

ऐतिहासिक टिप्पणी

फलन की अवधारणा लंबे समय तक विकसित हुई है, जो शुरू में R. Descartes (1596-1650) से शुरू हुई, जिन्होंने अपने कार्य “Geometrie” (1637) में शब्द ‘फलन’ का उपयोग किया जिसका अर्थ एक चर $x$ के कुछ धनात्मक पूर्णांक घात $x^n$ था जब वे वृत्तीय वक्रों जैसे हाइपरबोला, पैराबोला और एलिप्स के अध्ययन में थे। James Gregory (1636-1675) अपने कार्य “Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura” (1667) में फलन को अन्य मात्राओं के अनुक्रमिक बीजगणितीय संचालन या किसी अन्य संचालन द्वारा प्राप्त एक मात्रा के रूप में विचार करते हैं। बाद में G. W. Leibnitz (1646-1716) अपने कार्य “Methodus tangentium inversa, seu de functionibus” (1673) में शब्द ‘फलन’ का उपयोग करते हैं जिसका अर्थ एक वक्र पर बिंदु से बिंदु तक बदलती मात्रा होती है जैसे वक्र पर बिंदु के निर्देशांक, वक्र की ढलान, वक्र के बिंदु पर स्पर्शरेखा और अभिलम्ब। हालांकि, अपने कार्य “Historia” (1714) में Leibnitz शब्द ‘फलन’ का उपयोग करते हैं जिसका अर्थ एक चर पर निर्भर मात्रा होती है। वह पहले व्यक्ति थे जिन्होंने ‘x के फलन’ शब्द का उपयोग किया। John Bernoulli (1667-1748) ने 1718 में शब्द $ \phi x $ का उपयोग करके x के फलन को दर्शाया। लेकिन फलन को दर्शाने के लिए चिन्हों जैसे $f, \mathrm{~F}, \phi, \psi \ldots$ के सामान्य रूप के उपयोग को Leonhard Euler (1707-1783) ने 1734 में अपने कार्य “Analysis Infinitorium” के पहले हिस्से में किया। बाद में, Joeph Louis Lagrange (1736-1813) ने 1793 में अपने कार्य “Theorie des functions analytiques” के प्रकाशन किया, जहाँ उन्होंने विश्लेषणात्मक फलन के बारे में चर्चा की और विभिन्न x के फलनों के लिए अवधारणा $f(x), \mathrm{F}(x)$, $\phi(x)$ आदि का उपयोग किया। बाद में, Lejeunne Dirichlet (1805-1859) ने फलन की परिभाषा दी जो अभी तक समुच्चय सिद्धांत के अनुसार फलन की परिभाषा देने से पहले उपयोग में थी। वर्तमान में हमारे पास विशिष्ट समुच्चय सिद्धांत के अनुसार फलन की परिभाषा जो जर्मन गोर्ग कैंटर (1845-1918) द्वारा समुच्चय सिद्धांत के विकास के बाद दी गई थी।