सामान्य गणित, मूल रूप से, स्वयं स्पष्ट बातों की विज्ञान है। - फेलिक्स क्लाइन

2.1 परिचय

अध्याय 1 में, हम अध्ययन कर चुके हैं कि एक फलन $f$ का व्युत्क्रम $f^{-1}$, यदि $f$ एक-एक और आच्छादक हो, तो मौजूद होता है। कई फलन एक-एक या आच्छादक या दोनों नहीं होते हैं और इसलिए हम उनके व्युत्क्रमों के बारे में बात नहीं कर सकते हैं। कक्षा XI में हम अध्ययन कर चुके हैं कि त्रिकोणमितीय फलन अपने प्राकृतिक डोमेन और संगत रेंज पर एक-एक और आच्छादक नहीं होते हैं और इसलिए उनके व्युत्क्रम नहीं मौजूद होते हैं। इस अध्याय में, हम त्रिकोणमितीय फलन के डोमेन और रेंज पर बाधा लगाने के बारे में अध्ययन करेंगे जो उनके व्युत्क्रम के अस्तित्व की गारंटी देती है और उनके आचरण के बारे में ग्राफिकल प्रस्तुतियों के माध्यम से अवलोकन करेंगे। इसके अलावा, कुछ मूलभूत गुणों के बारे में भी चर्चा की जाएगी।

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन कलन में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं क्योंकि वे कई समाकलों को परिभाषित करते हैं। व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन के अवधारणा का उपयोग विज्ञान और इंजीनियरिंग में भी किया जाता है।

आर्यभट्टा (476-550 ई. स.)

2.2 मूल अवधारणाएं

कक्षा XI में, हम त्रिकोणमितीय फलन के बारे में अध्ययन कर चुके हैं, जो निम्नलिखित तरीके से परिभाषित होते हैं:

साइन फलन, अर्थात, साइन : $ \mathbf{R} \rightarrow[-1,1] $

कोसाइन फलन, अर्थात, $\cos : \mathbf{R} \rightarrow[-1,1]$

तांगेंट फलन, अर्थात, $\tan : \mathbf{R}-\left{x: x=(2 n+1) \dfrac{\pi}{2}, n \in \mathbf{Z}\right} \rightarrow \mathbf{R}$

कोटेंट फलन, अर्थात, $\cot : \mathbf{R}-{x: x=n \pi, n \in \mathbf{Z}} \rightarrow \mathbf{R}$

सेकेंट फलन, अर्थात, sec : $ \mathbf{R}-\left{x: x=(2 n+1) \dfrac{\pi}{2}, n \in \mathbf{Z}\right} \rightarrow \mathbf{R}-(-1,1)$

कोसेकेंट फलन, अर्थात, $\operatorname{cosec}: \mathbf{R}-{x: x=n \pi, n \in \mathbf{Z}} \rightarrow \mathbf{R}-(-1,1)$

हमने अध्याय 1 में भी सीखा है कि यदि $f: \mathrm{X} \rightarrow \mathrm{Y}$ इस प्रकार हो कि $f(x)=y$ एक-एक और आच्छादक हो, तो हम एक अद्वितीय फलन $g: \mathrm{Y} \rightarrow \mathrm{X}$ परिभाषित कर सकते हैं जैसे कि $g(y)=x$, जहाँ $x \in \mathrm{X}$ और $y=f(x), y \in \mathrm{Y}$. यहाँ, $g$ का डोमेन $=$ $f$ के रेंज और $g$ के रेंज $=$ $f$ के डोमेन होता है। फलन $g$ को $f$ के व्युत्क्रम कहा जाता है और $f^{-1}$ से नोट किया जाता है। इसके अलावा, $g$ भी एक-एक और आच्छादक होता है और $g$ का व्युत्क्रम $f$ होता है। इसलिए, $g^{-1}=\left(f^{-1}\right)^{-1}=f$. हम भी यह जानते हैं:

$$ \begin{aligned} & \left(f^{-1} \circ f\right)(x)=f^{-1}(f(x))=f^{-1}(y)=x \\ \text{and}\quad& \left(f \circ f^{-1}\right)(y)=f\left(f^{-1}(y)\right)=f(x)=y \end{aligned} $$

साइन फलन के डोमेन सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है और रेंज $[-1,1]$ के बंद अंतराल है। यदि हम इसके डोमेन को $\left[\dfrac{-\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$ के रूप में सीमित कर दें, तो यह एक-एक और उपरोपरि (onto) फलन बन जाता है जिसकी रेंज $[-1,1]$ है। वास्तव में, साइन फलन को किसी भी अंतराल $\left[\dfrac{-3 \pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right],\left[\dfrac{-\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right],\left[\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3 \pi}{2}\right]$ आदि पर सीमित कर देने पर यह एक-एक हो जाता है और इसकी रेंज $[-1,1]$ होती है। इसलिए, हम इन अंतरालों में से प्रत्येक में साइन फलन के व्युत्क्रम को परिभाषित कर सकते हैं। हम इस व्युत्क्रम फलन को $\sin ^{-1}$ (आर्क साइन फलन) के रूप में दर्शाते हैं। इस प्रकार, $\sin ^{-1}$ एक फलन है जिसका डोमेन $[-1,1]$ है और रेंज कोई भी अंतराल $\left[\dfrac{-3 \pi}{2}, \dfrac{-\pi}{2}\right],\left[\dfrac{-\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$ या $\left[\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3 \pi}{2}\right]$ आदि हो सकता है। प्रत्येक ऐसे अंतराल के संगत, फलन $\sin ^{-1}$ के एक शाखा होती है। रेंज $\left[\dfrac{-\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$ वाली शाखा मुख्य मान शाखा कहलाती है, जबकि अन्य अंतराल रेंज वाली शाखाएं $\sin ^{-1}$ के अलग-अलग शाखाएं होती हैं। जब हम फलन $\sin ^{-1}$ के बारे में बात करते हैं, तो हम इसे एक फलन के रूप में लेते हैं जिसका डोमेन $[-1,1]$ है और रेंज $\left[\dfrac{-\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$ है। हम इसे इस रूप में लिखते हैं: $\sin ^{-1}:[-1,1] \rightarrow\left[\dfrac{-\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$

व्युत्क्रम फलन की परिभाषा से यह निम्नलिखित निष्कर्ष निकलता है: $\sin \left(\sin ^{-1} x\right)=x$ यदि $-1 \leq x \leq 1$ और $\sin ^{-1}(\sin x)=x$ यदि $-\dfrac{\pi}{2} \leq x \leq \dfrac{\pi}{2}$. इसके अलावा, यदि $y=\sin ^{-1} x$, तो $\sin y=x$ होता है।

टिप्पणियाँ

(i) हम जानते हैं कि अध्याय 1 में, यदि $y=f(x)$ एक व्युत्क्रम योग्य फलन है, तो $x=f^{-1}(y)$. इसलिए, $\sin ^{-1}$ फलन के ग्राफ को मूल फलन के ग्राफ से $x$ और $y$ अक्षों को आपस में बदलकर प्राप्त किया जा सकता है, अर्थात यदि $(a, b)$ साइन फलन के ग्राफ पर एक बिंदु है, तो $(b, a)$ व्युत्क्रम फलन के ग्राफ पर संगत बिंदु होता है। इसलिए, फलन $y=\sin ^{-1} x$ के ग्राफ को $y=\sin x$ के ग्राफ से $x$ और $y$ अक्षों को आपस में बदलकर प्राप्त किया जा सकता है। फलन $y=\sin x$ और $y=\sin ^{-1} x$ के ग्राफ चित्र 2.1 (i), (ii), (iii) में दिए गए हैं। चित्र 2.1 (i) में $y=\sin ^{-1} x$ के ग्राफ के गहरा हिस्सा मुख्य मान शाखा को प्रदर्शित करता है।

(ii) यह दिखाया जा सकता है कि व्युत्क्रम फलन के ग्राफ को मूल फलन के ग्राफ के रूप में रेखा $y=x$ के अनुदिश दर्पण (अर्थात, प्रतिबिम्ब) के रूप में प्राप्त किया जा सकता है। इसे देखने के लिए $y=\sin x$ और $y=\sin ^{-1} x$ के ग्राफ को एक ही अक्षों पर दिखाया गया है (चित्र 2.1 (iii))।

जैसे कि साइन फलन, कोसाइन फलन भी एक फलन है जिसकी डोमेन सभी वास्तविक संख्याओं के समुच्चय है और रेंज $[-1,1]$ के समुच्चय है। यदि हम कोसाइन फलन के डोमेन को $[0, \pi]$ के रूप में सीमित कर दें, तो यह एक-एक और उपरोक्त फलन बन जाता है जिसकी रेंज $[-1,1]$ है। वास्तव में, कोसाइन फलन को कोई भी अंतराल $[-\pi, 0],[0, \pi],[\pi, 2 \pi]$ आदि पर सीमित कर देने पर यह बाइजेक्टिव फलन बन जाता है जिसकी रेंज $[-1,1]$ है। इसलिए, हम इन अंतरालों में से प्रत्येक में कोसाइन फलन के व्युत्क्रम को परिभाषित कर सकते हैं। हम इस व्युत्क्रम फलन को $\cos ^{-1}$ (अर्क कोसाइन फलन) के रूप में दर्शाते हैं। इस प्रकार, $\cos ^{-1}$ एक फलन है जिसकी डोमेन $[-1,1]$ है और रेंज कोई भी अंतराल $[-\pi, 0],[0, \pi],[\pi, 2 \pi]$ आदि हो सकती है। प्रत्येक ऐसे अंतराल के संगत, फलन $\cos ^{-1}$ के एक शाखा प्राप्त होती है। रेंज $[0, \pi]$ वाली शाखा को फलन $\cos ^{-1}$ की मुख्य मान शाखा कहा जाता है। हम लिखते हैं

$$ \cos ^{-1}:[-1,1] \rightarrow[0, \pi] $$

$y=\cos ^{-1} x$ द्वारा दिये गए फलन के ग्राफ को $y=\sin ^{-1} x$ के ग्राफ के बारे में चर्चा के तरह एक ही तरीके से खींचा जा सकता है। $y=\cos x$ और $y=\cos ^{-1} x$ के ग्राफ चित्र 2.2 (i) और (ii) में दिए गए हैं।

चित्र 2.2 (i)

चित्र 2.2 (ii)

अब हम $\operatorname{cosec}^{-1} x$ और $\sec ^{-1} x$ के बारे में निम्नलिखित तरीके से चर्चा करेंगे:

क्योंकि, $\operatorname{cosec} x=\dfrac{1}{\sin x}$, तो cosec फलन के डोमेन उस समुच्चय है ${x: x \in \mathbf{R}$ और $x \neq n \pi, n \in \mathbf{Z}}$ और रेंज उस समुच्चय है ${y: y \in \mathbf{R}, y \geq 1$ या $y \leq-1}$ अर्थात, समुच्चय $ \mathbf{R}-(-1,1)$. इसका अर्थ है कि $y=\operatorname{cosec} x$ सभी वास्तविक मान ले सकता है अपवाद $-1 < y < 1$ और $\pi$ के पूर्णांक गुणक के लिए अपरिभाषित है। यदि हम cosec फलन के डोमेन को $\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]-{0}$ पर सीमित कर दें, तो यह अपने रेंज के साथ एकैक और उपरिपूरक हो जाता है, जो समुच्चय $ \mathbf{R}-(-1,1)$ है। वास्तव में, cosec फलन को किसी भी अंतराल $\left[\dfrac{-3 \pi}{2}, \dfrac{-\pi}{2}\right]-{-\pi},\left[\dfrac{-\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]-{0}$, $\left[\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3 \pi}{2}\right]-{\pi}$ आदि पर सीमित कर दें, तो यह आच्छादक फलन हो जाता है और इसका रेंज सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय $ \mathbf{R}-(-1,1)$ होता है।

इसलिए $\operatorname{cosec}^{-1}$ को एक फलन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जिसका डोमेन $ \mathbf{R}-(-1,1)$ है और रेंज कोई भी अंतराल $\left[\dfrac{-3 \pi}{2}, \dfrac{-\pi}{2}\right]-{-\pi},\left[\dfrac{-\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]-{0},\left[\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3 \pi}{2}\right]-{\pi}$ आदि हो सकता है। रेंज $\left[\dfrac{-\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]-{0}$ के संगत फलन को $\operatorname{cosec}^{-1}$ के मुख्य मान शाखा कहा जाता है। इसलिए हमारे पास मुख्य शाखा है:

$$ \operatorname{cosec}^{-1}: \mathbf{R}-(-1,1) \rightarrow\left[\dfrac{-\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]-{0} $$

$y=\operatorname{cosec} x$ और $y=\operatorname{cosec}^{-1} x$ के ग्राफ चित्र 2.3 (i), (ii) में दिए गए हैं।

इसके अलावा, क्योंकि $\sec x=\dfrac{1}{\cos x}$, तो $y=\sec x$ के डोमेन उस समुच्चय है $ \mathbf{R}-\left{x: x=(2 n+1) \dfrac{\pi}{2}\right.$, $n \in \mathbf{Z}}$ और रेंज उस समुच्चय है $ \mathbf{R}-(-1,1)$. इसका अर्थ है कि sec (सेकेंट फलन) सभी वास्तविक मान ले सकता है अपवाद $-1 < y < 1$ और $\dfrac{\pi}{2}$ के विषम गुणक के लिए अपरिभाषित है। यदि हम secant फलन के डोमेन को $[0, \pi]-\left{\dfrac{\pi}{2}\right}$ पर सीमित कर दें, तो यह अपने रेंज के साथ एकैक और उपरिपूरक हो जाता है, जो समुच्चय $ \mathbf{R}-(-1,1)$ है। वास्तव में, secant फलन को किसी भी अंतराल $[-\pi, 0]-\left{\dfrac{-\pi}{2}\right},[0, \pi]-\left{\dfrac{\pi}{2}\right},[\pi, 2 \pi]-\left{\dfrac{3 \pi}{2}\right}$ आदि पर सीमित कर दें, तो यह आच्छादक फलन हो जाता है और इसका रेंज $ \mathbf{R}-{-1,1}$ होता है। इसलिए $\sec ^{-1}$ को एक फलन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जिसका डोमेन $ \mathbf{R}-(-1,1)$ है और रेंज कोई भी अंतराल $[-\pi, 0]-\left{\dfrac{-\pi}{2}\right},[0, \pi]-\left{\dfrac{\pi}{2}\right},[\pi, 2 \pi]-\left{\dfrac{3 \pi}{2}\right}$ आदि हो सकता है। इन अंतरालों में से प्रत्येक के संगत, फलन $ \mathrm{sec}^{-1}$ के अलग-अलग शाखा प्राप्त होते हैं।

शाखा $[0, \pi]-\left{\dfrac{\pi}{2}\right}$ को फलन $ \mathrm{sec}^{-1}$ की मुख्य मान शाखा कहते हैं। इस प्रकार हम निम्नलिखित प्राप्त करते हैं

$$ \sec ^{-1}: \mathbf{R}-(-1,1) \rightarrow[0, \pi]-\left{\dfrac{\pi}{2}\right} $$

फलन $y=\sec x$ और $y=\sec ^{-1} x$ के ग्राफ चित्र 2.4 (i), (ii) में दिए गए हैं।

अंत में, हम अब $\tan ^{-1}$ और $\cot ^{-1}$ के बारे में चर्चा करते हैं।

हम जानते हैं कि tan फलन (तंगत फलन) के डोमेन समुच्चय $\left{x: x \in \mathbf{R}\right.$ और $\left.x \neq(2 n+1) \dfrac{\pi}{2}, n \in \mathbf{Z}\right}$ है और रेंज $ \mathbf{R}$ है। इसका अर्थ है कि tan फलन $\dfrac{\pi}{2}$ के विषम गुणकों के लिए अपरिभाषित होता है। यदि हम तंगत फलन के डोमेन को $\left(\dfrac{-\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)$ में सीमित कर दें, तो इसके रेंज $ \mathbf{R}$ होगा और यह एकॉन एंड ऑनो फलन होगा। वास्तव में, तंगत फलन को कोई भी अंतराल $\left(\dfrac{-3 \pi}{2}, \dfrac{-\pi}{2}\right),\left(\dfrac{-\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right),\left(\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3 \pi}{2}\right)$ आदि पर सीमित कर देने पर यह बाइजेक्टिव फलन होता है और इसका रेंज $ \mathbf{R}$ होता है। इसलिए $\tan ^{-1}$ को एक फलन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसका डोमेन $ \mathbf{R}$ है और रेंज कोई भी अंतराल $\left(\dfrac{-3 \pi}{2}, \dfrac{-\pi}{2}\right),\left(\dfrac{-\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right),\left(\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3 \pi}{2}\right)$ आदि हो सकता है। इन अंतरालों के कारण फलन $\tan ^{-1}$ के विभिन्न शाखाएँ बनती हैं। रेंज $\left(\dfrac{-\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)$ वाली शाखा को फलन $\tan ^{-1}$ की मुख्य मान शाखा कहते हैं।

इस प्रकार हम निम्नलिखित प्राप्त करते हैं

$$ \tan ^{-1}: \mathbf{R} \rightarrow\left(\dfrac{-\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right) $$

फलन $y=\tan x$ और $y=\tan ^{-1} x$ के ग्राफ चित्र 2.5 (i), (ii) में दिए गए हैं।

हम जानते हैं कि cot फलन (कोटैंजेंट फलन) के डोमेन का समुच्चय ${x: x \in \mathbf{R}$ और $x \neq n \pi, n \in \mathbf{Z}}$ है और रेंज $ \mathbf{R}$ है। इसका अर्थ है कि कोटैंजेंट फलन $\pi$ के पूर्णांक गुणकों के लिए अपरिभाषित होता है। यदि हम कोटैंजेंट फलन के डोमेन को $(0, \pi)$ में सीमित कर दें, तो यह अपने रेंज $ \mathbf{R}$ के साथ आपेक्षिक एकैक आच्छादक होता है। वास्तव में, कोटैंजेंट फलन कोई भी अंतराल $(-\pi, 0),(0, \pi),(\pi, 2 \pi)$ आदि पर सीमित कर दें, तो यह अपने रेंज $ \mathbf{R}$ के साथ आपेक्षिक एकैक आच्छादक होता है। इसलिए $\cot ^{-1}$ को एक फलन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसका डोमेन $ \mathbf{R}$ हो और रेंज कोई भी अंतराल $(-\pi, 0),(0, \pi),(\pi, 2 \pi)$ आदि हो। इन अंतरालों के कारण फलन $\cot ^{-1}$ के विभिन्न शाखाएँ बनती हैं। जिस फलन का रेंज $(0, \pi)$ होता है, उसे फलन $\cot ^{-1}$ की मुख्य मान शाखा कहा जाता है। हम इस प्रकार प्राप्त करते हैं:

$$ \cot ^{-1}: \mathbf{R} \rightarrow(0, \pi) $$

$y=\cot x$ और $y=\cot ^{-1} x$ के ग्राफ चित्र 2.6 (i), (ii) में दिए गए हैं।

निम्नलिखित तालिका व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन (मुख्य मान शाखाएँ) के साथ उनके डोमेन और रेंज को देती है।

$ \begin{array}{|lllll|} \hline \sin ^{-1} & : & {[-1,1]} & \rightarrow & {\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]} \ \hline \cos ^{-1} & : & {[-1,1]} & \rightarrow & {[0, \pi]} \ \hline \operatorname{cosec}^{-1} & : & \mathbf{R}-(-1,1) & \rightarrow & {\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]-{0}} \ \hline \sec ^{-1} & : & \mathbf{R}-(-1,1) & \rightarrow & {[0, \pi]-\left{\dfrac{\pi}{2}\right}} \ \hline \tan ^{-1} & : & \mathbf{R} & \rightarrow & \left(\dfrac{-\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right) \ \hline \cot ^{-1} & : & \mathbf{R} & \rightarrow & (0, \pi) \ \hline \end{array} $

नोट

1. $\sin ^{-1} x$ को $(\sin x)^{-1}$ से भ्रमित नहीं होना चाहिए। वास्तव में $(\sin x)^{-1}=\dfrac{1}{\sin x}$ होता है और अन्य त्रिकोणमितीय फलनों के लिए भी इसी तरह होता है।

2. कोई भी व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन के शाखा का उल्लेख नहीं किया गया हो, तो हम उस फलन की मुख्य मान शाखा का अंतर्भूत होते हैं।

3. व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन के मान जो मुख्य शाखा के परिसर में होते हैं, उस व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन के मुख्य मान कहलाते हैं।

अब हम कुछ उदाहरणों की चर्चा करते हैं:

उदाहरण 1 $\sin ^{-1}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$ का मुख्य मान ज्ञात कीजिए।

हल मान लीजिए $\sin ^{-1}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=y$. तब, $\sin y=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$.

हम जानते हैं कि $\sin ^{-1}$ के मुख्य मान शाखा के परिसर $\left(\dfrac{-\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)$ होता है और $\sin \left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$. अतः $\sin ^{-1}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$ का मुख्य मान $\dfrac{\pi}{4}$ होता है।

उदाहरण 2 $\cot ^{-1}\left(\dfrac{-1}{\sqrt{3}}\right)$ का मुख्य मान ज्ञात कीजिए।

हल मान लीजिए $\cot ^{-1}\left(\dfrac{-1}{\sqrt{3}}\right)=y$. तब,

$$ \cot y=\dfrac{-1}{\sqrt{3}}=-\cot \left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\cot \left(\pi-\dfrac{\pi}{3}\right)=\cot \left(\dfrac{2 \pi}{3}\right) $$

हम जानते हैं कि $\cot ^{-1}$ के मुख्य मान शाखा के परिसर $(0, \pi)$ होता है और $\cot \left(\dfrac{2 \pi}{3}\right)=\dfrac{-1}{\sqrt{3}}$.

अतः $\cot ^{-1}\left(\dfrac{-1}{\sqrt{3}}\right)$ का मुख्य मान $\dfrac{2 \pi}{3}$ होता है।

2.3 व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों के गुण

इस अनुच्छेद में, हम व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों के कुछ महत्वपूर्ण गुण सिद्ध करेंगे। यहाँ यह ध्यान देने योग्य है कि ये परिणाम संगत व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों के मुख्य मान शाखा के परिसर में और जहाँ वे परिभाषित होते हैं तब सत्य होते हैं। कुछ परिणाम व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों के प्रांत के सभी मानों के लिए सत्य नहीं हो सकते हैं। वास्तव में, वे केवल व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों के परिभाषित होने वाले कुछ मानों $x$ के लिए सत्य होते हैं। हम इन मानों $x$ के बारे में विस्तार से चर्चा नहीं करेंगे क्योंकि इस चर्चा की विस्तार इस पाठ्य पुस्तक के सीमा के बाहर है।

याद रखें कि यदि $y=\sin ^{-1} x$, तो $x=\sin y$ और यदि $x=\sin y$, तो $y=\sin ^{-1} x$. यह निम्नलिखित के बराबर है

$$ \sin \left(\sin ^{-1} x\right)=x, x \in[-1,1] \text { और } \sin ^{-1}(\sin x)=x, x \in\left[\dfrac{-\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right] $$

क्षेत्र के उपयुक्त मानों के लिए अन्य त्रिकोणमितीय फलनों के लिए भी समान परिणाम प्राप्त होते हैं।

अब हम कुछ उदाहरणों की ओर ध्यान आकर्षित करते हैं।

उदाहरण 3 सिद्ध करें कि

(i) $\sin ^{-1}\left(2 x \sqrt{1-x^2}\right)=2 \sin ^{-1} x,-\dfrac{1}{\sqrt{2}} \leq x \leq \dfrac{1}{\sqrt{2}}$

(ii) $\sin ^{-1}\left(2 x \sqrt{1-x^2}\right)=2 \cos ^{-1} x, \dfrac{1}{\sqrt{2}} \leq x \leq 1$

हल

(i) मान लीजिए $x=\sin \theta$. तब $\sin ^{-1} x=\theta$. हम लिखते हैं

$$ \begin{aligned} \sin ^{-1}\left(2 x \sqrt{1-x^2}\right) & =\sin ^{-1}\left(2 \sin \theta \sqrt{1-\sin ^2 \theta}\right) \\ & =\sin ^{-1}(2 \sin \theta \cos \theta)=\sin ^{-1}(\sin 2 \theta)=2 \theta \\ & =2 \sin ^{-1} x \end{aligned} $$

(ii) मान लीजिए $x=\cos \theta$, तब ऊपर की तरह प्रक्रिया करते हुए, हम प्राप्त करते हैं, $\sin ^{-1}\left(2 x \sqrt{1-x^2}\right)=2 \cos ^{-1} x$

उदाहरण 4 $\tan ^{-1} \dfrac{\cos x}{1-\sin x}, \dfrac{-3 \pi}{2} < x < \dfrac{\pi}{2}$ को सरलतम रूप में व्यक्त करें।

हल हम लिखते हैं

$$ \begin{aligned} \tan ^{-1}\left(\dfrac{\cos x}{1-\sin x}\right) & =\tan ^{-1}\left[\dfrac{\cos ^2 \dfrac{x}{2}-\sin ^2 \dfrac{x}{2}}{\cos ^2 \dfrac{x}{2}+\sin ^2 \dfrac{x}{2}-2 \sin \dfrac{x}{2} \cos \dfrac{x}{2}}\right] \\ & =\tan ^{-1}\left[\dfrac{\left(\cos \dfrac{x}{2}+\sin \dfrac{x}{2}\right)\left(\cos \dfrac{x}{2}-\sin \dfrac{x}{2}\right)}{\left(\cos \dfrac{x}{2}-\sin \dfrac{x}{2}\right)^2}\right] \\ & =\tan ^{-1}\left[\dfrac{\cos \dfrac{x}{2}+\sin \dfrac{x}{2}}{\cos \dfrac{x}{2}-\sin \dfrac{x}{2}}\right]=\tan ^{-1}\left[\dfrac{1+\tan \dfrac{x}{2}}{1-\tan \dfrac{x}{2}}\right] \\ & =\tan ^{-1}\left[\tan \left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{x}{2}\right)\right]=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{x}{2} \end{aligned} $$

उदाहरण 5 $\cot ^{-1}\left(\dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}}\right), x>1$ को सरलतम रूप में व्यक्त करें।

हल मान लीजिए $x=\sec \theta$, तो $\sqrt{x^2-1}=\sqrt{\sec ^2 \theta-1}=\tan \theta$

इसलिए, $\cot ^{-1} \dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}}=\cot ^{-1}(\cot \theta)=\theta=\sec ^{-1} x$, जो सरलतम रूप है।

विविध उदाहरण

उदाहरण 6 $\sin ^{-1}\left(\sin \dfrac{3 \pi}{5}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए

हल हम जानते हैं कि $\sin ^{-1}(\sin x)=x$. इसलिए, $\sin ^{-1}\left(\sin \dfrac{3 \pi}{5}\right)=\dfrac{3 \pi}{5}$

लेकिन $\dfrac{3 \pi}{5} \notin\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$, जो $\sin ^{-1} x$ के मुख्य शाखा है

हालांकि $\sin \left(\dfrac{3 \pi}{5}\right)=\sin \left(\pi-\dfrac{3 \pi}{5}\right)=\sin \dfrac{2 \pi}{5}$ और $\dfrac{2 \pi}{5} \in\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$

इसलिए $\sin ^{-1}\left(\sin \dfrac{3 \pi}{5}\right)=\sin ^{-1}\left(\sin \dfrac{2 \pi}{5}\right)=\dfrac{2 \pi}{5}$

सारांश

• व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों के डोमेन और रेंज (मुख्य मान शाखा) निम्नलिखित तालिका में दिए गए हैं:

$ \begin{array}{|l|c|c|} \hline \text { फलन } & \text { डोमेन } & \begin{array}{c} \text { रेंज } \\ \text { (मुख्य मान शाखा) } \end{array} \\ \hline y=\sin ^{-1} x & {[-1,1]} & {\left[\dfrac{-\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]} \\ \hline y=\cos ^{-1} x & {[-1,1]} & {[0, \pi]} \\ \hline y=\operatorname{cosec}^{-1} x & \mathbf{R}-(-1,1) & {\left[\dfrac{-\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]-{0}} \\ \hline y=\sec ^{-1} x & \mathbf{R}-(-1,1) & {[0, \pi]-\left{\dfrac{\pi}{2}\right}} \\ \hline y=\tan ^{-1} x & \mathbf{R} & \left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right) \\ \hline y=\cot ^{-1} x & \mathbf{R} & (0, \pi) \\

\hline \end{array} $

• $\sin ^{-1} x$ को $(\sin x)^{-1}$ से गलत नहीं माना जाना चाहिए। वास्तव में $(\sin x)^{-1}=\dfrac{1}{\sin x}$ होता है और अन्य त्रिकोणमितीय फलनों के लिए भी इसी तरह होता है।

• क्षेत्र के उपयुक्त मानों के लिए, हम निम्नलिखित देख सकते हैं:

• $y=\sin ^{-1} x \Rightarrow x=\sin y$

• $\sin \left(\sin ^{-1} x\right)=x$

• $\sin ^{-1}(\sin x)=x$

• $x=\sin y \Rightarrow y=\sin ^{-1} x$

• $\sin ^{-1}(\sin x)=x$

ऐतिहासिक टिप्पणी

त्रिकोणमिति के अध्ययन को पहले भारत में शुरू किया गया था। प्राचीन भारतीय गणितज्ञ, आर्यभट्ट (476 ई. स.), ब्रह्मगुप्त (598 ई. स.), भास्कर एक (600 ई. स.) और भास्कर द्वितीय (1114 ई. स.) ने त्रिकोणमिति के महत्वपूर्ण परिणाम प्राप्त किए थे। इस सभी ज्ञान को भारत से अरब तक और फिर उसे यूरोप तक पहुंचाया गया। ग्रीक लोग भी त्रिकोणमिति के अध्ययन को शुरू कर चुके थे, लेकिन उनकी दृष्टि बहुत असंगत थी जिसके कारण जब भारतीय दृष्टि के बारे में जानकारी मिली तो इसे दुनिया भर में तुरंत अपनाया गया।

भारत में, आधुनिक त्रिकोणमितीय फलनों के पूर्वज, जिन्हें कोण के साइन के रूप में जाना जाता है, और साइन फलन के परिचय के लिए एक बड़ी योगदान भारतीय ग्रंथों (संस्कृत खगोल विज्ञान के कार्य) सिद्धांतों द्वारा दिया गया है।

भास्कर एक (लगभग 600 ई. स.) ने अधिक $90^{\circ}$ के कोणों के साइन फलन के मान निकालने के सूत्र प्रस्तुत किए। सोलहवीं शताब्दी के मलयालम कार्य यूक्तिभाषा में $\sin (\mathrm{A}+\mathrm{B})$ के विस्तार के लिए एक साबित विधि है। भास्कर द्वितीय ने $18^{\circ}, 36^{\circ}, 54^{\circ}, 72^{\circ}$, आदि के साइन या कोसाइन के ठीक-ठीक व्यंजक दिए।

$\sin ^{-1} x, \cos ^{-1} x$ आदि के चिह्न $\operatorname{arc} \sin x, \operatorname{arc} \cos x$ आदि के लिए खगोलविद जॉन एफ. वी. हर्सेल (1813) द्वारा सुझाये गए थे। थेल्स के नाम को लगभग 600 ई. स. के लगभग अविस्मरणीय रूप से ऊंचाई और दूरी के समस्याओं के साथ जोड़ दिया गया है। उन्हें एक बड़े पिरामिड की ऊंचाई के निर्धारण के लिए धन्यवाद दिया जाता है, जिसमें उन्होंने पिरामिड और एक अतिरिक्त छोटे छड़ के छाया को मापकर और जाने वाली ऊंचाई के अनुपात की तुलना करके इसकी ऊंचाई निर्धारित की।

$$ \dfrac{\mathrm{H}}{\mathrm{~S}}=\dfrac{h}{s}=\tan (\text { sun’s altitude }) $$

थेल्स के लिए समुद्र में एक जहाज की दूरी की गणना त्रिभुज के भुजाओं के समानुपात के माध्यम से की गई थी। समानता गुणधर्म का उपयोग करके ऊंचाई और दूरी से संबंधित समस्याएं अतीत के भारतीय कार्यों में भी पाई जाती हैं।