गणित की आधारशिला उसकी स्वतंत्रता में है। - कैंटर

3.1 परिचय

मैट्रिक्स के ज्ञान की आवश्यकता गणित के विभिन्न शाखाओं में होती है। मैट्रिक्स गणित के सबसे सामर्थ्यपूर्ण उपकरणों में से एक है। इस गणितीय उपकरण के उपयोग अन्य सीधे विधियों की तुलना में हमारे काम को बहुत अधिक सरल बनाते हैं। मैट्रिक्स के अवधारणा के विकास रैखिक समीकरणों के निर्देशों के लिए संक्षिप्त और सरल विधियों के प्राप्त करने के प्रयास के परिणाम है। मैट्रिक्स केवल रैखिक समीकरणों के गुणांक के रूप में उपयोग किए जाते हैं, लेकिन मैट्रिक्स के उपयोग इस उपयोग से बहुत अधिक है। मैट्रिक्स नोटेशन और संचालन व्यक्तिगत कंप्यूटर के इलेक्ट्रॉनिक स्प्रेडशीट प्रोग्राम में उपयोग किए जाते हैं, जो विभिन्न क्षेत्रों में व्यवसाय और विज्ञान में उपयोग किए जाते हैं, जैसे बजट तैयारी, बिक्री प्रोजेक्ट, लागत अनुमान, प्रयोग के परिणामों के विश्लेषण आदि। इसके अलावा, कई भौतिक संचालन, जैसे विस्तार, घूर्णन और एक तल में प्रतिबिम्ब, मैट्रिक्स द्वारा गणितीय रूप से प्रस्तुत किए जा सकते हैं। मैट्रिक्स क्रिप्टोग्राफी में भी उपयोग किए जाते हैं। यह गणितीय उपकरण विज्ञान के कुछ शाखाओं में न केवल उपयोग किए जाते हैं, बल्कि आनुवंशिकता, अर्थशास्त्र, समाजशास्त्र, आधुनिक मनोविज्ञान और औद्योगिक प्रबंधन में भी उपयोग किए जाते हैं।

इस अध्याय में, हम अपने अध्ययन के आधार पर मैट्रिक्स और मैट्रिक्स बीजगणित के मूलभूत बातों के साथ परिचित होने में रुचि लेंगे।

3.2 मैट्रिक्स

मान लीजिए हम यह जानना चाहते हैं कि राधा के 15 नोटबुक हैं। हम इसे [15] के रूप में व्यक्त कर सकते हैं, जहां समझ लें कि [ ] के अंदर की संख्या राधा के नोटबुक की संख्या है। अब, यदि हम यह व्यक्त करना चाहते हैं कि राधा के 15 नोटबुक और 6 पेन हैं। हम इसे $\begin{bmatrix}15 & 6\end{bmatrix}$ के रूप में व्यक्त कर सकते हैं, जहां समझ लें कि [ ] के अंदर पहली संख्या राधा के नोटबुक की संख्या है जबकि दूसरी संख्या राधा के पेन की संख्या है। अब हम मान लें कि हम राधा और उसके दो दोस्त फैज़ा और सिमरन के नोटबुक और पेन के संपत्ति के जानकारी को व्यक्त करना चाहते हैं, जो निम्नलिखित है:

$ \begin{array}{llllll} \text { राधा } & \text { के } & 15 & \text { नोटबुक } & \text { और } & 6 \text { कलम, } \\ \text { फैज़िया } & \text { के } & 10 & \text { नोटबुक } & \text { और } & 2 \text { कलम, } \\ \text { सिमरन } & \text { के } & 13 & \text { नोटबुक } & \text { और } & 5 \text { कलम। } \end{array} $

अब यह निम्नलिखित तालिका के रूप में व्यवस्थित किया जा सकता है:

$ \begin{array}{lcc} & \text { नोटबुक } & \text { कलम } \\ \text { राधा } & 15 & 6 \\ \text { फैज़िया } & 10 & 2 \\ \text { सिमरन } & 13 & 5 \end{array} $

या

$ \begin{array}{} & \text { राधा } & \text { फैज़िया } & \text { सिमरन } \\ \text { नोटबुक } & 15 & 10 & 13 \\ \text { कलम } & 6 & 2 & 5 \\ \end{array} $

जो निम्नलिखित रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

पहली व्यवस्था में पहले स्तम्भ के प्रविष्टियाँ राधा, फैज़िया और सिमरन के नोटबुक की संख्या को प्रदर्शित करती हैं, और दूसरे स्तम्भ के प्रविष्टियाँ राधा, फैज़िया और सिमरन के कलम की संख्या को प्रदर्शित करती हैं। इसी तरह, दूसरी व्यवस्था में, पहले पंक्ति के प्रविष्टियाँ राधा, फैज़िया और सिमरन के नोटबुक की संख्या को प्रदर्शित करती हैं। दूसरी पंक्ति के प्रविष्टियाँ राधा, फैज़िया और सिमरन के कलम की संख्या को प्रदर्शित करती हैं। इस तरह की व्यवस्था या प्रदर्शन को आमतौर पर एक मैट्रिक्स कहा जाता है। रूपांतरण रूप से, हम मैट्रिक्स को निम्नलिखित तरह परिभाषित करते हैं:

परिभाषा 1 मैट्रिक्स एक क्रमिक आयताकार आव्यूह होता है जिसमें संख्याएँ या फलन होते हैं। संख्याएँ या फलन मैट्रिक्स के तत्व या प्रविष्टियाँ कहलाते हैं।

हम मैट्रिक्स को बड़े अक्षरों द्वारा नोट करते हैं। निम्नलिखित कुछ मैट्रिक्स के उदाहरण हैं:

$ A=\begin{bmatrix} -2 & 5 \\ 0 & \sqrt{5} \\ 3 & 6 \end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix} 2+i & 3 & -\frac{1}{2} \\ 3.5 & -1 & 2 \\ \sqrt{3} & 5 & \frac{5}{7} \end{bmatrix}, C=\begin{bmatrix} 1+x & x^{3} & 3 \\ \cos x & \sin x+2 & \tan x \end{bmatrix} $

ऊपर दिए गए उदाहरण में, तत्वों की क्षैतिज रेखाएँ मैट्रिक्स के पंक्तियों को बनाती हैं और तत्वों की ऊर्ध्वाधर रेखाएँ मैट्रिक्स के स्तंभों को बनाती हैं। इसलिए $A$ में 3 पंक्तियाँ और 2 स्तंभ हैं, $B$ में 3 पंक्तियाँ और 3 स्तंभ हैं जबकि $C$ में 2 पंक्तियाँ और 3 स्तंभ हैं।

3.2.1 मैट्रिक्स का क्रम

एक मैट्रिक्स जो $m$ पंक्तियों और $n$ स्तंभों का हो इसे $m \times n$ के क्रम की मैट्रिक्स या बस $m \times n$ मैट्रिक्स (पढ़ें $m$ बाय $n$ मैट्रिक्स) कहा जाता है। इसलिए ऊपर दिए गए मैट्रिक्स के उदाहरण के संदर्भ में, हम $A$ को $3 \times 2$ मैट्रिक्स, $B$ को $3 \times 3$ मैट्रिक्स और $C$ को $2 \times 3$ मैट्रिक्स कहेंगे। हम देख सकते हैं कि $A$ में $3 \times 2=6$ तत्व हैं, $B$ और $C$ क्रमशः 9 और 6 तत्व हैं।

सामान्य रूप से, एक $m \times n$ मैट्रिक्स के निम्नलिखित आयताकार बमैट्रिक्स होता है:

$ \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2j} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & a_{i3} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & \cdots & a_{mj} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} _{m \times n} $

या $ A=[a_{i j}]_{m \times n}, 1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n \quad i, j \in N $

इसलिए $i^{\text {th }}$ पंक्ति में तत्व $a_{i 1}, a_{i 2}, a_{i 3}, \ldots, a_{i n}$ होते हैं, जबकि $j^{\text {th }}$ स्तंभ में तत्व $a_{1 j}, a_{2 j}, a_{3 j}, \ldots, a_{m j}$ होते हैं,

सामान्य रूप से $a_{i j}$, वह तत्व होता है जो $i^{\text {th }}$ पंक्ति और $j^{\text {th }}$ स्तंभ में स्थित होता है। हम इसे $A$ के $(i, j)^{\text {th }}$ तत्व के रूप में भी कह सकते हैं। एक $m \times n$ मैट्रिक्स में तत्वों की संख्या $m n$ के बराबर होती है।

नोट इस पाठ्यक्रम में

1. हम $A=[a_{i j}]_{m \times n}$ के रूप में नोटेशन का अनुसरण करेंगे ताकि $A$ के आकार $m \times n$ की आव्यूह हो।

2. हम केवल उन आव्यूहों को ध्यान में रखेंगे जिनके तत्व वास्तविक संख्याएँ या वास्तविक मान लेने वाले फलन हों।

हम एक तल में किसी बिंदु $(x, y)$ को एक आव्यूह (स्तंभ या पंक्ति) के रूप में भी प्रस्तुत कर सकते हैं, जैसे $\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix}$ (या $.[x, y]$)। उदाहरण के लिए बिंदु $P(0,1)$ को आव्यूह के रूप में प्रस्तुत कर सकते हैं:

$ \mathbf{P}=\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \text { या } \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix} $

ध्यान दें कि इस तरह से हम एक बंद आयताकार आकृति के शीर्षों को आव्यूह के रूप में भी प्रस्तुत कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, एक चतुर्भुज $ABCD$ के शीर्ष $A (1,0), B(3,2), C(1,3), D(-1,2)$ हैं।

अब, चतुर्भुज $ABCD$ को आव्यूह रूप में प्रस्तुत कर सकते हैं:

इस प्रकार, आव्यूह का उपयोग तल में ज्यामितीय आकृतियों के शीर्षों को प्रस्तुत करने के लिए किया जा सकता है।

अब, हम कुछ उदाहरणों की ओर ध्यान दें।

उदाहरण 1 तीन कारखानों I, II और III में पुरुष और महिला कार्यकर्ताओं की संख्या के संबंध में निम्नलिखित जानकारी दी गई है:

$ \begin{array}{} & \text { पुरुष कार्यकर्ता } & \text { महिला कार्यकर्ता } \\ \text { I } & 30 & 25 \\ \text { II } & 25 & 31 \\ \text { III } & 27 & 26 \\ \end{array} $

उपरोक्त जानकारी को $3 \times 2$ आव्यूह के रूप में प्रस्तुत करें। तीसरी पंक्ति और दूसरे स्तम्भ में तत्व क्या प्रस्तुत करता है?

हल जानकारी को $3 \times 2$ आव्यूह के रूप में निम्नलिखित तरीके से प्रस्तुत किया जा सकता है:

$ A=\begin{bmatrix} 30 & 25 \\ 25 & 31 \\ 27 & 26 \end{bmatrix} $

तीसरी पंक्ति और दूसरे स्तम्भ में तत्व कारखाना $III$ में महिला कार्यकर्ताओं की संख्या को प्रस्तुत करता है।

उदाहरण 2 यदि एक आव्यूह में 8 तत्व हैं, तो इसके संभावित क्रम क्या हो सकते हैं?

हल हम जानते हैं कि यदि एक आव्यूह का क्रम $m \times n$ है, तो इसमें $m n$ तत्व होते हैं। इसलिए, 8 तत्व वाले आव्यूह के सभी संभावित क्रम के लिए हम विभिन्न प्राकृतिक संख्याओं के क्रमित युग्म खोजेंगे, जिनका गुणनफल 8 हो।

इसलिए, सभी संभावित क्रमित युग्म $(1,8),(8,1),(4,2),(2,4)$ हैं

इसलिए, संभावित क्रम $1 \times 8,8 \times 1,4 \times 2,2 \times 4$ हैं

उदाहरण 3 एक $3 \times 2$ मैट्रिक्स बनाएं जिसके तत्व $a_{i j}=\dfrac{1}{2}|i-3 j|$ द्वारा दिए गए हों।

हल सामान्य रूप से एक $3 \times 2$ मैट्रिक्स $A=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32}\end{bmatrix}$ द्वारा दिया जाता है।

$\text{अब }\qquad \quad$ $a_{i j}=\dfrac{1}{2}|i-3 j|, i=1,2,3 \text { और } j=1,2$

$\text{इसलिए }\quad a_{11}=\dfrac{1}{2}|1-3 \times 1|=1 \quad a_{12}=\dfrac{1}{2}|1-3 \times 2|=\dfrac{5}{2}$

$ \qquad \qquad \quad \text{ \ } \begin{matrix} a_{21}= \dfrac{1}{2}|2-3 \times 1|=\dfrac{1}{2} & a_{22}=\dfrac{1}{2}|2-3 \times 2|=2 \\ a_{31} =\dfrac{1}{2}|3-3 \times 1|=0 & a_{32} =\dfrac{1}{2}|3-3 \times 2|=\dfrac{3}{2} \end{matrix} $

इसलिए आवश्यक मैट्रिक्स $A=\begin{bmatrix}1 & \dfrac{5}{2} \\ \dfrac{1}{2} & 2 \\ 0 & \dfrac{3}{2}\end{bmatrix}$ द्वारा दिया जाता है।

3.3 मैट्रिक्स के प्रकार

इस अनुच्छेद में, हम विभिन्न प्रकार के मैट्रिक्स के बारे में चर्चा करेंगे।

(i) स्तंभ मैट्रिक्स

एक मैट्रिक्स को स्तंभ मैट्रिक्स कहा जाता है यदि इसमें केवल एक स्तंभ हो।

उदाहरण के लिए, $A=\begin{bmatrix}{0} \\ \sqrt{3} \\ -1 \\ 1 / 2\end{bmatrix}$ एक $4 \times 1$ के क्रम का स्तंभ मैट्रिक्स है।

सामान्य रूप से, $A=[a_{i j}]_{m \times 1}$ एक $m \times 1$ के क्रम का स्तंभ मैट्रिक्स है।

(ii) पंक्ति मैट्रिक्स

एक मैट्रिक्स को पंक्ति मैट्रिक्स कहा जाता है यदि इसमें केवल एक पंक्ति हो।

उदाहरण के लिए, $B=[\begin{bmatrix}-\frac{1}{2} & \sqrt{5} & 2 & 3\end{bmatrix}]_{1 \times 4}$ एक पंक्ति मैट्रिक्स है।

सामान्य रूप से, $B=[b_{i j}]_{1 \times n}$ एक $1 \times n$ के क्रम का पंक्ति मैट्रिक्स है।

(iii) वर्ग मैट्रिक्स

एक मैट्रिक्स जिसमें पंक्तियों की संख्या स्तंभों की संख्या के बराबर हो, एक वर्ग मैट्रिक्स कहलाता है। इसलिए, एक $m \times n$ मैट्रिक्स को वर्ग मैट्रिक्स कहा जाता है यदि $m=n$ और इसे ’n’ के क्रम का वर्ग मैट्रिक्स कहा जाता है।

उदाहरण के लिए $A=\begin{bmatrix}3 & -1 & 0 \\ \dfrac{3}{2} & 3 \sqrt{2} & 1 \\ 4 & 3 & -1\end{bmatrix}$ एक 3 के क्रम का वर्ग मैट्रिक्स है।

सामान्य रूप से, $A=[a_{i j}]_{m \times m}$ एक वर्ग आव्यूह होता है जिसका क्रम $m$ होता है।

नोट यदि $A=[a_{i j}]$ एक वर्ग आव्यूह हो जिसका क्रम $n$ हो, तो तत्व (एंट्री) $a_{11}, a_{22}, \ldots, a_{n n}$ कहलाते हैं आव्यूह A के विकर्ण के घटक।

इसलिए, यदि $A=\begin{bmatrix}1 & -3 & 1 \\ 2 & 4 & -1 \\ 3 & 5 & 6\end{bmatrix}$.

तो आव्यूह A के विकर्ण के तत्व 1, 4, 6 हैं।

(iv) विकर्ण आव्यूह

एक वर्ग आव्यूह $B=[b_{ij}]_ {m\times m} $ विकर्ण आव्यूह कहलाता है यदि इसके सभी विकर्ण के बाहर के तत्व शून्य हों, अर्थात एक आव्यूह $B=[b_{ij}]_ {m\times m} $ विकर्ण आव्यूह कहलाता है यदि $b_{i j}=0$, जब $i \neq j$ हो।

उदाहरण के लिए, $A=[4], B=\begin{bmatrix}-1 & 0 \\ 0 & 2\end{bmatrix}, C=\begin{bmatrix}-1.1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix}$, क्रमशः क्रम 1, 2, 3 के विकर्ण आव्यूह हैं।

(v) अदिश आव्यूह

एक विकर्ण आव्यूह अदिश आव्यूह कहलाता है यदि इसके विकर्ण के तत्व समान हों, अर्थात एक वर्ग आव्यूह $B=[b_{i j}]_{n \times n}$ अदिश आव्यूह कहलाता है यदि

$ \begin{aligned} & b_{i j}=0, \quad \text { जब } i \neq j \\ & b_{i j}=k, \quad \text { जब } i=j, \text { किसी नियत संख्या } k \text { के लिए }. \end{aligned} $

उदाहरण के लिए

$A=[3], \quad B=\begin{bmatrix}-1 & 0 \\ 0 & -1\end{bmatrix}, \quad C=\begin{bmatrix}\sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{3} & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{3}\end{bmatrix}$

क्रमशः क्रम 1, 2 और 3 के अदिश आव्यूह हैं।

(vi) एकक आव्यूह

एक वर्ग आव्यूह जिसमें विकर्ण के तत्व सभी 1 होते हैं और बाकी सभी तत्व शून्य होते हैं, एकक आव्यूह कहलाता है। अन्य शब्दों में, वर्ग आव्यूह $A=[a_{i j}]{n \times n}$ एकक आव्यूह होता है, यदि $a{ij}=\begin{cases}1 & \text { जब } & i=j \\ 0 & \text { जब } & i \neq j\end{cases}.$.

हम आव्यूह के क्रम $n$ के एकक आव्यूह को $I_{n}$ से दर्शाते हैं। जब क्रम संदर्भ से स्पष्ट हो जाता है, तो हम इसे सिर्फ $I$ से दर्शाते हैं।

उदाहरण के लिए [1], $\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$ क्रमशः क्रम 1, 2 और 3 के एकक आव्यूह हैं।

ध्यान दें कि एक अदिश आव्यूह जब $k=1$ होता है तो एक तत्सम आव्यूह होता है। लेकिन प्रत्येक तत्सम आव्यूह एक अदिश आव्यूह होता है।

(vii) शून्य आव्यूह

एक आव्यूह शून्य आव्यूह या शून्य आव्यूह कहलाता है यदि इसके सभी तत्व शून्य हों।

उदाहरण के लिए, $[0],\begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix},[0,0]$ सभी शून्य आव्यूह हैं। हम शून्य आव्यूह को $O$ से दर्शाते हैं। इसका क्रम संदर्भ से स्पष्ट हो जाएगा।

3.3.1 आव्यूहों के समानता

परिभाषा 2 दो आव्यूह $A=[a_{i j}]$ और $B=[b_{i j}]$ कहलाते हैं यदि

(i) वे समान क्रम के हों

(ii) $A$ के प्रत्येक तत्व $B$ के संगत तत्व के बराबर हो, अर्थात $a_{i j}=b_{i j}$ सभी $i$ और $j$ के लिए।

उदाहरण के लिए, $\begin{bmatrix}2 & 3 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$ और $\begin{bmatrix}2 & 3 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$ समान आव्यूह हैं लेकिन $\begin{bmatrix}3 & 2 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$ और $\begin{bmatrix}2 & 3 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$ असमान आव्यूह हैं। संकेतात्मक रूप से, यदि दो आव्यूह $A$ और $B$ समान हैं, तो हम $A=B$ लिखते हैं।

$ \text { यदि }\begin{bmatrix} x & y \\ z & a \\ b & c \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1.5 & 0 \\ 2 & \sqrt{6} \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \text {, तो }$ $x=-1.5, y=0, z=2, a=\sqrt{6}, b=3, c=2 $

उदाहरण 4 यदि $\begin{bmatrix}x+3 & z+4 & 2 y-7 \\ -6 & a-1 & 0 \\ b-3 & -21 & 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & 6 & 3 y-2 \\ -6 & -3 & 2 c+2 \\ 2 b+4 & -21 & 0\end{bmatrix}$

$a, b, c, x, y$ और $z$ के मान ज्ञात कीजिए।

हल चूंकि दिए गए आव्यूह समान हैं, इसलिए उनके संगत तत्व बराबर होने चाहिए। संगत तत्वों की तुलना करने पर हमें प्राप्त होता है

$ \begin{matrix} & x+3=0, & z+4=6 & 2 y-7=3 y-2 \\ & a-1=-3, & 0=2 c+2 & b-3=2 b+4 \text {, } \end{matrix} $

सरलीकरण करने पर हमें प्राप्त होता है

$ a=-2, b=-7, c=-1, x=-3, y=-5, z=2 $

उदाहरण 5 निम्न समीकरण से $a, b, c$ और $d$ के मान ज्ञात कीजिए:

$ \begin{bmatrix} 2 a+b & a-2 b \\ 5 c-d & 4 c+3 d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 4 & -3 \\ 11 & 24 \end{bmatrix} $

हल दो आव्यूहों के समानता के आधार पर संगत तत्वों के बराबर होने के कारण हमें प्राप्त होता है

$ \begin{matrix} 2 a+b=4 & 5 c-d=11 \\ a-2 b=-3 & 4 c+3=24 \end{matrix} $

इन समीकरणों को हल करने पर हम प्राप्त करते हैं

$ a=1, b=2, c=3 \text { और } d=4 $

3.4 मैट्रिक्स पर ऑपरेशन

इस अनुच्छेद में, हम मैट्रिक्स पर कुछ ऑपरेशन, अर्थात, मैट्रिक्स के योग, मैट्रिक्स के एक अदिश गुणन, मैट्रिक्स के अंतर और गुणन को परिचय कराएंगे।

3.4.1 मैट्रिक्स के योग

मान लीजिए फातिमा स्थान A और B पर दो कारखाने हैं। प्रत्येक कारखाना लड़कों और लड़कियों के लिए खेल के जूते तीन अलग-अलग कीमत श्रेणियों में उत्पादित करता है, जिन्हें 1, 2 और 3 के रूप में चिह्नित किया गया है। प्रत्येक कारखाने द्वारा उत्पादित मात्रा नीचे दिए गए मैट्रिक्स के रूप में प्रस्तुत की जाती है:

मान लीजिए फातिमा जानना चाहती है कि प्रत्येक कीमत श्रेणी में कुल उत्पादन क्या है। तब कुल उत्पादन

श्रेणी 1 में: लड़कों के लिए $(80+90)$, लड़कियों के लिए $(60+50)$

श्रेणी 2 में: लड़कों के लिए $(75+70)$, लड़कियों के लिए $(65+55)$

श्रेणी 3 में: लड़कों के लिए $(90+75)$, लड़कियों के लिए $(85+75)$

इसे एक मैट्रिक्स रूप में निम्नलिखित रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है: $\begin{bmatrix}80+90 & 60+50 \\ 75+70 & 65+55 \\ 90+75 & 85+75\end{bmatrix}$.

इस नए मैट्रिक्स को ऊपर दिए गए दो मैट्रिक्स का योग कहा जाता है। हम देखते हैं कि दो मैट्रिक्स का योग एक मैट्रिक्स होता है जो दिए गए मैट्रिक्स के संगत तत्वों को जोड़कर प्राप्त किया जाता है। इसके अतिरिक्त, दोनों मैट्रिक्स के आकार समान होना आवश्यक होता है।

इसलिए, यदि $A=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\end{bmatrix}$ एक $2 \times 3$ मैट्रिक्स है और $B=\begin{bmatrix}b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23}\end{bmatrix}$ एक अन्य $2 \times 3$ मैट्रिक्स है। तब, हम $A+B=\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & a_{13}+b_{13} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & a_{23}+b_{23}\end{bmatrix}$ परिभाषित करते हैं।

सामान्य रूप से, यदि $A=[a_{i j}]$ और $B=[b_{i j}]$ दो ऐसी मैट्रिक्स हैं जो एक ही क्रम, कहिए $m \times n$ के हों, तो दोनों मैट्रिक्स A और B के योग को परिभाषित करते हैं एक मैट्रिक्स $= [c _{ij}] _{m \times n} $, जहां $ c _{i j} = a _{ij} + b _{ij} $, सभी संभावित $i$ और $j$ के मान के लिए।

उदाहरण 6 दिया गया है $A=\begin{bmatrix}\sqrt{3} & 1 & -1 \\ 2 & 3 & 0\end{bmatrix}$ और $B=\begin{bmatrix}2 & \sqrt{5} & 1 \\ -2 & 3 & \frac{1}{2}\end{bmatrix}$, $A+B$ ज्ञात कीजिए।

क्योंकि A, B के एक ही क्रम $2 \times 3$ हैं। अतः A और B के योग को परिभाषित किया जा सकता है और इसे निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है:

$ A+B=\begin{bmatrix} 2+\sqrt{3} & 1+\sqrt{5} & 1-1 \\ 2-2 & 3+3 & 0+\dfrac{1}{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2+\sqrt{3} & 1+\sqrt{5} & 0 \\ 0 & 6 & \dfrac{1}{2} \end{bmatrix} $

नोट

1. हम यह बल देते हैं कि यदि A और B के एक ही क्रम नहीं हों, तो A + B परिभाषित नहीं होता। उदाहरण के लिए, यदि $A=\begin{bmatrix}2 & 3 \\ 1 & 0\end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 1\end{bmatrix}$, तो $A+B$ परिभाषित नहीं होता।

2. हम देख सकते हैं कि मैट्रिक्स के योग एक ही क्रम वाले मैट्रिक्स के समुच्चय पर द्विआधारी संक्रिया का एक उदाहरण है।

3.4.2 मैट्रिक्स के एक अदिश के द्वारा गुणन

अब मान लीजिए कि फातिमा ने कारखाना A में सभी श्रेणियों में उत्पादन को दोगुना कर दिया है (3.4.1 के संदर्भ में देखें)।

पहले उत्पादन (मानक इकाइयों में) कारखाना A द्वारा निम्नलिखित था:

संशोधित उत्पादन कारखाना $A$ द्वारा नीचे दिया गया है:

इसे मैट्रिक्स रूप में निम्नलिखित द्वारा प्रस्तुत किया जा सकता है: $\begin{bmatrix}160 & 120 \\ 150 & 130 \\ 180 & 170\end{bmatrix}$. हम देखते हैं कि नई मैट्रिक्स पहली मैट्रिक्स के प्रत्येक तत्व को 2 से गुणा करके प्राप्त की गई है।

सामान्य रूप से, हम एक मैट्रिक्स के एक अदिश के द्वारा गुणन को निम्नलिखित तरीके से परिभाषित कर सकते हैं: यदि $ A=[a_{ij}]_{m\times n} $ एक मैट्रिक्स है और k एक अदिश है, तो k A एक अन्य मैट्रिक्स है जो प्राप्त किया जाता है जब प्रत्येक तत्व को अदिश k से गुणा कर दिया जाता है।

अन्य शब्दों में, $ kA = k[a_{ij}]_ {m\times n} $ $ =[k(a _{ij})] _{m\times n} $ अर्थात, $ kA $ के $ (i,j)^{th} $ तत्व $ ka _ {ij} $ होता है जहाँ i और j के सभी संभावित मान हैं

उदाहरण के लिए, यदि $A=\begin{bmatrix}3 & 1 & 1.5 \\ \sqrt{5} & 7 & -3 \\ 2 & 0 & 5\end{bmatrix}$, तो

$\qquad \qquad \quad 3 A=3\begin{bmatrix} 3 & 1 & 1.5 \\ \sqrt{5} & 7 & -3 \\ 2 & 0 & 5 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 9 & 3 & 4.5 \\ 3 \sqrt{5} & 21 & -9 \\ 6 & 0 & 15 \end{bmatrix} $

मैट्रिक्स का नकारात्मक मैट्रिक्स के नकारात्मक को $-A$ से नोट किया जाता है। हम $-A=(-1) A$ के रूप में परिभाषित करते हैं।

$ \begin{aligned} \text{उदाहरण के लिए, मान लीजिए} \quad A & =\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -5 & x \end{bmatrix}, \text { तो }-A \text { निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है } \\ -A & =(-1) A=(-1)\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -5 & x \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -3 & -1 \\ 5 & -x \end{bmatrix} \end{aligned} $

मैट्रिक्स के अंतर यदि $A=[a_{i j}], B=[b_{i j}]$ एक ही क्रम के दो मैट्रिक्स हैं, कहिए $m \times n$, तो अंतर $A-B$ एक मैट्रिक्स $D=[d_{i j}]$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,

जहाँ $d_{i j}=a_{i j}-b_{i j}$, जहाँ i और j के सभी संभावित मान हैं। अन्य शब्दों में, $D=A-B=A+(-1) B$, अर्थात मैट्रिक्स $A$ और मैट्रिक्स $-B$ के योग।

उदाहरण 7 यदि $A=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1\end{bmatrix}$ और $B=\begin{bmatrix}3 & -1 & 3 \\ -1 & 0 & 2\end{bmatrix}$, तो $2 A-B$ ज्ञात कीजिए।

हल हम देखते हैं

$ \begin{aligned} & 2 A-B=2 \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 3 & -1 & 3 \\ -1 & 0 & 2 \end{bmatrix} \\ & =\begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 6 & 2 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -3 & 1 & -3 \\ 1 & 0 & -2 \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} 2-3 & 4+1 & 6-3 \\ 4+1 & 6+0 & 2-2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1 & 5 & 3 \\ 5 & 6 & 0 \end{bmatrix} \end{aligned} $

3.4.3 मैट्रिक्स जोड़ के गुणधर्म

मैट्रिक्स के जोड़ के निम्नलिखित गुणधर्म होते हैं:

(i) संवृत्ति कानून यदि $A=[a_{i j}], B=[b_{i j}]$ एक ही क्रम के दो मैट्रिक्स हैं, कहिए $m \times n$, तो $A+B=B+A$।

$ \begin{aligned} \text{अब} \quad `

A+B & =[a_{i j}]+[b_{i j}]=[a_{i j}+b_{i j}] \\ & =[b_{i j}+a_{i j}] \text { (संख्याओं के जोड़ के साहचारी गुण है) } \\ & =([b_{i j}]+[a_{i j}])=B+A \end{aligned} $

(ii) साहचारी नियम किसी भी तीन आव्यूह $A=[a_{i j}], B=[b_{i j}], C=[c_{i j}]$ के लिए, जिनका क्रम समान हो, कहा जाता है $m \times n,(A+B)+C=A+(B+C)$.

$ \begin{aligned} \text{अब} \quad (A+B)+C & =([a_{i j}]+[b_{i j}])+[c_{i j}] \\ & =[a_{i j}+b_{i j}]+[c_{i j}]=[(a_{i j}+b_{i j})+c_{i j}] \\ & =[a_{i j}+(b_{i j}+c_{i j})] \qquad \qquad \qquad (\text { क्यों? }) \\ & =[a_{i j}]+[(b_{i j}+c_{i j})]=[a_{i j}]+([b_{i j}]+[c_{i j}])=A+(B+C) \end{aligned} $

(iii) एडिटिव पहचान के अस्तित्व मान लीजिए $A=[a_{i j}]$ एक $m \times n$ आव्यूह है और $O$ एक $m \times n$ शून्य आव्यूह है, तो $A+O=O+A=A$. अन्य शब्दों में, $O$ आव्यूह जोड़ के लिए एडिटिव पहचान है।

(iv) एडिटिव विपरीत के अस्तित्व मान लीजिए $A=[a_{ij}]{m \times n}$ कोई भी आव्यूह है, तो हम एक अन्य आव्यूह के रूप में इसका निम्नलिखित है $-A=[-a{ij}]_{m \times n}$ इस प्रकार कि $A+(-A)=(-A)+A=O$. इसलिए $-A$ आव्यूह $A$ का एडिटिव विपरीत है या $A$ का नकारात्मक है।

3.4.4 आव्यूह के अद्वितीय गुणन के गुण

यदि $A=[a_{i j}]$ और $B=[b_{i j}]$ दो आव्यूह हैं, जिनका क्रम समान हो, कहा जाता है $m \times n$, और $k$ और $l$ अद्वितीय हैं, तो

(i) $k(A+B)=k A+k B$, (ii) $(k+l) A=k A+l A$

(iii) $k(A+B)=k([a_{i j}]+[b_{i j}])$

$\qquad \qquad \quad \begin{aligned} & =k[a_{i j}+b_{i j}]=[k(a_{i j}+b_{i j})]=[(k a_{i j})+(k b_{i j})] \\ & =[k a_{i j}]+[k b_{i j}]=k[a_{i j}]+k[b_{i j}]=k A+k B \end{aligned} $

(iv) $(k+l) A=(k+l)[a_{i j}]$

$\qquad \qquad \quad =[(k+l) a_{i j}]+[k a_{i j}]+[l a_{i j}]=k[a_{i j}]+l[a_{i j}]=k A+l A $

उदाहरण 8 यदि $A=\begin{bmatrix}8 & 0 \\ 4 & -2 \\ 3 & 6\end{bmatrix}$ और $B=\begin{bmatrix}2 & -2 \\ 4 & 2 \\ -5 & 1\end{bmatrix}$, तो आव्यूह $X$ ज्ञात कीजिए जैसे कि $2 A+3 X=5 B$।

हल हम जानते हैं $2 A+3 X=5 B$

या $\hspace{17 mm}$ $ 2 A+3 X-2 A=5 B-2 A $

या $\hspace{17 mm}$ $2 A-2 A+3 X=5 B-2 A$ $\quad \quad$ (आव्यूह जोड़ के साहचारी गुण है)

या $\hspace{17 mm}$ $O+3 X=5 B-2 A$ $\hspace{17 mm}$(– 2A, 2A का योगात्मक विपरीत है)

या $\hspace{17 mm}$ $3 X=5 B-2 A$ $\hspace{25 mm}$(O, योगात्मक तत्व है)

या $\hspace{19 mm}$ $X=\dfrac{1}{3}(5 B-2 A)$

$ X=\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix}5\begin{bmatrix} 2 & -2 \\ 4 & 2 \\ -5 & 1 \end{bmatrix}-2\begin{bmatrix} 8 & 0 \\ 4 & -2 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}\end{pmatrix}=\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix}\begin{bmatrix} 10 & -10 \\ 20 & 10 \\ -25 & 5 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -16 & 0 \\ -8 & 4 \\ -6 & -12 \end{bmatrix}\end{pmatrix} $

$ \quad =\dfrac{1}{3}\begin{bmatrix} 10-16 & -10+0 \\ 20-8 & 10+4 \\ -25-6 & 5-12 \end{bmatrix}=\dfrac{1}{3}\begin{bmatrix} -6 & -10 \\ 12 & 14 \\ -31 & -7 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -2 & \dfrac{-10}{3} \\ 4 & \dfrac{14}{3} \\ \dfrac{-31}{3} & \dfrac{-7}{3} \end{bmatrix} $

उदाहरण 9 $X$ और $Y$ ज्ञात कीजिए, यदि $X+Y=\begin{bmatrix}5 & 2 \\ 0 & 9\end{bmatrix}$ और $X-Y=\begin{bmatrix}3 & 6 \\ 0 & -1\end{bmatrix}$।

हल हमें $(X+Y)+(X-Y)=\begin{bmatrix}5 & 2 \\ 0 & 9\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}3 & 6 \\ 0 & -1\end{bmatrix}$ है।

$ \begin{gathered} \text{या} \hspace{14mm} (X+X)+(Y-Y)=\begin{bmatrix} 8 & 8 \\ 0 & 8 \end{bmatrix} \Rightarrow 2 X=\begin{bmatrix} 8 & 8 \\ 0 & 8 \end{bmatrix}\\ \end{gathered} $

$ \begin{gathered} \text{या} \hspace{14mm} \qquad \qquad \qquad \qquad X=\frac{1}{2}\begin{bmatrix} 8 & 8 \\ 0 & 8 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 4 & 4 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} \end{gathered} $

$ \text{इसके अलावा} \hspace{12mm} (X+Y)-(X-Y)=\begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 0 & 9 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 3 & 6 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} $

$ \text{या} \hspace{17mm} (X-X)+(Y+Y)=\begin{bmatrix} 5-3 & 2-6 \\ 0 & 9+1 \end{bmatrix} \Rightarrow 2 Y=\begin{bmatrix} 2 & -4 \\ 0 & 10 \end{bmatrix} $

$ \text{या} \qquad \qquad \qquad \qquad \hspace{17mm} Y=\dfrac{1}{2}\begin{bmatrix} 2 & -4 \\ 0 & 10 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 5 \end{bmatrix} $

उदाहरण 10 निम्नलिखित समीकरण से $x$ और $y$ के मान ज्ञात कीजिए:

या $\hspace{17 mm}$ $O+3 X=5 B-2 A$ $\hspace{17 mm}$(– 2A, 2A का योगात्मक विपरीत है)

या $\hspace{17 mm}$ $3 X=5 B-2 A$ $\hspace{25 mm}$(O, योगात्मक तत्व है)

या $\hspace{19 mm}$ $X=\dfrac{1}{3}(5 B-2 A)$

$ X=\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix}5\begin{bmatrix} 2 & -2 \\ 4 & 2 \\ -5 & 1 \end{bmatrix}-2\begin{bmatrix} 8 & 0 \\ 4 & -2 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}\end{pmatrix}=\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix}\begin{bmatrix} 10 & -10 \\ 20 & 10 \\ -25 & 5 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -16 & 0 \\ -8 & 4 \\ -6 & -12 \end{bmatrix}\end{pmatrix} $

$ \quad =\dfrac{1}{3}\begin{bmatrix} 10-16 & -10+0 \\ 20-8 & 10+4 \\ -25-6 & 5-12 \end{bmatrix}=\dfrac{1}{3}\begin{bmatrix} -6 & -10 \\ 12 & 14 \\ -31 & -7 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -2 & \dfrac{-10}{3} \\ 4 & \dfrac{14}{3} \\ \dfrac{-31}{3} & \dfrac{-7}{3} \end{bmatrix} $

उदाहरण 9 $X$ और $Y$ ज्ञात कीजिए, यदि $X+Y=\begin{bmatrix}5 & 2 \\ 0 & 9\end{bmatrix}$ और $X-Y=\begin{bmatrix}3 & 6 \\ 0 & -1\end{bmatrix}$।

हल हमें $(X+Y)+(X-Y)=\begin{bmatrix}5 & 2 \\ 0 & 9\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}3 & 6 \\ 0 & -1\end{bmatrix}$ है।

$ \begin{gathered} \text{या} \hspace{14mm} (X+X)+(Y-Y)=\begin{bmatrix} 8 & 8 \\ 0 & 8 \end{bmatrix} \Rightarrow 2 X=\begin{bmatrix} 8 & 8 \\ 0 & 8 \end{bmatrix}\\ \end{gathered} $

$ \begin{gathered} \text{या} \hspace{14mm} \qquad \qquad \qquad \qquad X=\frac{1}{2}\begin{bmatrix} 8 & 8 \\ 0 & 8 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 4 & 4 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} \end{gathered} $

$ \text{इसके अलावा} \hspace{12mm} (X+Y)-(X-Y)=\begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 0 & 9 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 3 & 6 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} $

$ \text{या} \hspace{17mm} (X-X)+(Y+Y)=\begin{bmatrix} 5-3 & 2-6 \\ 0 & 9+1 \end{bmatrix} \Rightarrow 2 Y=\begin{bmatrix} 2 & -4 \\ 0 & 10 \end{bmatrix} $

$ \text{या} \qquad \qquad \qquad \qquad \hspace{17mm} Y=\dfrac{1}{2}\begin{bmatrix} 2 & -4 \\ 0 & 10 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 5 \end{bmatrix} $

उदाहरण 10 निम्नलिखित समीकरण से $x$ और $y$ के मान ज्ञात कीजिए:

$ 2\begin{bmatrix} x & 5 \\ 7 & y-3 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 3 & -4 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 7 & 6 \\ 15 & 14 \end{bmatrix} $

हल हमें दिया गया है

$ 2\begin{bmatrix} x & 5 \\ 7 & y-3 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 3 & -4 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 7 & 6 \\ 15 & 14 \end{bmatrix} \Rightarrow\begin{bmatrix} 2 x & 10 \\ 14 & 2 y-6 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 3 & -4 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 7 & 6 \\ 15 & 14 \end{bmatrix} $

$\begin{aligned} & \text { या }\begin{bmatrix} 2 x+3 & 10-4 \\ 14+1 & 2 y-6+2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 7 & 6 \\ 15 & 14 \end{bmatrix} \Rightarrow\begin{bmatrix} 2 x+3 & 6 \\ 15 & 2 y-4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 7 & 6 \\ 15 & 14 \end{bmatrix} \\ & \text { या } \quad 2 x+3=7 \quad \text { और } \quad 2 y-4=14 \quad \text { (क्यों?) } \\ & \text { या } \quad 2 x=7-3 \quad \text { और } \quad 2 y=18 \\ & \text { या } \hspace{11mm} x=\frac{4}{2} \quad \text { और } \quad y=\frac{18}{2} \\ & \text { अर्थात } \hspace{11mm} x=2 \quad \text { और } \quad y=9 \text {. } \end{aligned} $

उदाहरण 11 दो किसान रामकिशन और गुरचरण सिंह केवल तीन प्रकार के चावल की खेती करते हैं, जिनके नाम बसमती, परमल और नौरा हैं। इन चावल के विक्रय (रुपये में) दोनों किसानों द्वारा सितंबर और अक्टूबर महीने में निम्नलिखित आव्यूह $A$ और $B$ द्वारा दिया गया है।

सितंबर विक्रय (रुपये में) $ A=\begin{bmatrix} \text { बसमती } & \text { परमल } & \text { नौरा } \\ 10,000 & 20,000 & 30,000 \\ 50,000 & 30,000 & 10,000 \end{bmatrix} \begin{matrix} & \text{} \\ & \text{रामकिशन} \\ & \text{गुरचरण सिंह} \end{matrix} $

अक्टूबर विक्रय (रुपये में) $ B=\begin{bmatrix} \text { बसमती } & \text { परमल } & \text { नौरा } \\ 5000 & 10,000 & 6000 \\ 20,000 & 10,000 & 10,000 \end{bmatrix}
\begin{matrix} & \text{} \\ & \text{रामकिशन} \\ & \text{गुरचरण सिंह} \end{matrix} $

(i) प्रत्येक किसान के लिए सितंबर और अक्टूबर महीने में प्रत्येक प्रकार के चावल के संयुक्त विक्रय ज्ञात कीजिए।

(ii) सितंबर से अक्टूबर में बिक्री में कमी की गणना करें।

(iii) यदि दोनों किसान ग्रांट बिक्री पर 2% का लाभ प्राप्त करते हैं, तो उनके लाभ की गणना करें और अक्टूबर में प्रत्येक किसान के लिए प्रत्येक विविधता के लिए लाभ की गणना करें।

हल

(i) प्रत्येक किसान के लिए प्रत्येक विविधता के सितंबर और अक्टूबर में संयुक्त बिक्री निम्नलिखित द्वारा दी गई है

$ A+B=\begin{bmatrix} \text { Basmati } & \text { Permal } & \text { Naura } \\ 15,000 & 30,000 & 36,000 \\ 70,000 & 40,000 & 20,000 \end{bmatrix} \begin{matrix} & \text{} \\ & \text{Ramkishan} \\ & \text{Gurucharan Singh} \end{matrix} $

(ii) सितंबर से अक्टूबर में बिक्री में परिवर्तन निम्नलिखित द्वारा दिया गया है

$ A-B=\begin{bmatrix} \text { Basmati } & \text { Permal } & \text { Naura } \\ 5000 & 10,000 & 24,000 \\ 30,000 & 20,000 & 0 \end{bmatrix} \begin{matrix} & \text{} \\ & \text{Ramkishan} \\ & \text{Gurucharan Singh} \end{matrix} $

(iii) $2 %$ of $B=\dfrac{2}{100} \times B=0.02 \times B$

$ \hspace{18mm} =0.02\begin{bmatrix} \text { Basmati } & \text { Permal } & \text { Naura } \\ 5000 & 10,000 & 6000 \\ 20,000 & 10,000 & 10,000 \end{bmatrix} \begin{matrix} & \text{} \\ & \text{Ramkishan} \\ & \text{Gurucharan Singh} \end{matrix} $

$ \hspace{18mm} =\begin{bmatrix} \text { Basmati } & \text { Permal } & \text { Naura } \\ 100 & 200 & 120 \\ 400 & 200 & 200 \end{bmatrix} \begin{matrix} & \text{} \\ & \text{Ramkishan} \\ & \text{Gurucharan Singh} \end{matrix} $

इस प्रकार, अक्टूबर में Ramkishan को प्रत्येक राइस विविधता के विक्रय में ₹ 100, ₹ 200 और ₹ 120 के लाभ के रूप में प्राप्त होता है, और Gurucharan Singh को प्रत्येक राइस विविधता के विक्रय में ₹ 400, ₹ 200 और ₹ 200 के लाभ के रूप में प्राप्त होता है।

3.4.5 आव्यूहों के गुणन

मान लीजिए Meera और Nadeem दो दोस्त हैं। Meera 2 कलम और 5 कहानी किताब खरीदना चाहती है, जबकि Nadeem 8 कलम और 10 कहानी किताब खरीदना चाहता है। वे दोनों एक दुकान जाते हैं और दुकान के द्वारा दिए गए दाम निम्नलिखित हैं:

$ \text { कलम - ₹ } 5 \text { प्रति, कहानी किताब - ₹ } 50 \text { प्रति। } $

प्रत्येक के द्वारा कितना धन खर्च करना पड़ेगा? स्पष्ट रूप से, Meera को ₹ $(5 \times 2+50 \times 5)$ अर्थात ₹ 260 की आवश्यकता होगी, जबकि Nadeem को $(8 \times 5+50 \times 10)$ ₹, अर्थात ₹ 540 की आवश्यकता होगी। आव्यूह प्रतिनिधित्व के रूप में, हम उपरोक्त जानकारी को निम्नलिखित रूप में लिख सकते हैं:

$ \begin{array}{ccc} \text { आवश्यकताएँ } & \text{ प्रति इकाई की कीमत (रुपये में) } & \text{ आवश्यक धन (रुपये में) } \\ \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 8 & 10 \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} 5 \\ 50 \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} 5 \times 2+5 \times 50 \\ 8 \times 5+10 \times 50 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}260 \\ 540\end{bmatrix} \end{array} $

मान लीजिए कि वे दूसरे दुकान से दरों के बारे में पूछताछ करते हैं, जिसके अनुसार निम्नलिखित दरें दी गई हैं:

$ \text { कलम -}\text{ ₹ } 4 \text { प्रति, कहानी किताब -}\text{ ₹ } 40 \text { प्रति. } $

अब, मीरा और नादीम द्वारा खरीद के लिए आवश्यक धन क्रमशः $\text{₹ } (4 \times 2+40 \times 5)=\text{₹} 208$ और $\text{₹ } (8 \times 4+10 \times 40)=\text{ ₹ } 432$ होगा।

फिर, उपरोक्त जानकारी को निम्नलिखित रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है:

$ \begin{array}{ccc} \text { आवश्यकताएँ } & \text{ प्रति इकाई की कीमत (रुपये में) } & \text{ आवश्यक धन (रुपये में) } \\ \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 8 & 10 \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} 4 \\ 40 \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} 4\times 2+40\times 5 \\ 8\times 4+10\times 40 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}208 \\ 432\end{bmatrix} \end{array} $

अब, दोनों मामलों में जानकारी को संयोजित करके और आगे बढ़ाकर आव्यूहों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

$ \begin{array}{ccc} \text { आवश्यकताएँ } & \text{ प्रति इकाई की कीमत (रुपये में) } & \text{ आवश्यक धन (रुपये में) } \\ \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 8 & 10 \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} 5 & 4 \\ 50 & 40 \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} 5 \times 2+5 \times 50 & 4 \times 2+40 \times 40 \\ 8\times5+10\times50 & 8\times4+10\times40\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 260 & 208 \\ 540 & 432 \end{bmatrix} \end{array} $

उपरोक्त एक आव्यूह गुणन का उदाहरण है। हम देखते हैं कि, दो आव्यूहों A और B के गुणन के लिए, A के स्तम्भों की संख्या B के पंक्तियों की संख्या के बराबर होनी चाहिए। इसके अतिरिक्त, गुणन आव्यूह के तत्वों के लिए, हम A की पंक्तियों और B के स्तम्भों को लेते हैं, उन्हें तत्व-द्वारा गुणन करते हैं और योग लेते हैं। रूपांतरण रूप में, हम आव्यूह गुणन को निम्नलिखित रूप में परिभाषित करते हैं:

उत्पाद दो मैट्रिक्स A और B के बीच तब परिभाषित होता है जब A के स्तम्भों की संख्या B के पंक्तियों के बराबर हो। मान लीजिए $A=[a_{i j}]$ एक $m \times n$ मैट्रिक्स है और $B=[b_{j k}]$ एक $n \times p$ मैट्रिक्स है। तब मैट्रिक्स $A$ और $B$ के उत्पाद मैट्रिक्स $C$ होता है जिसका क्रम $m \times p$ है। मैट्रिक्स $C$ के $(i, k)^{\text {th }}$ तत्व $c_{i k}$ के लिए हम $A$ की $i^{t h}$ पंक्ति और $B$ की $k^{\text {th}}$ स्तम्भ लेते हैं, उन्हें तत्वों के गुणन करते हैं और सभी इन गुणन के योग को लेते हैं। अन्य शब्दों में, यदि $A=[a _ {ij}] _ {m \times n}, B = [b _ {jk} ]_ {n \times p} $, तो $A$ की $i^{th}$ पंक्ति $[a _ {i1} a_{i2} \ldots a _ {in}]$ होती है और $B$ की $k^{th}$ स्तम्भ $\begin{bmatrix}{c}b_{1 k} \\ b_{2 k} \\ \vdots \\ b_{n k}\end{bmatrix}$ होती है, तो $c_{i k}=a_{i 1} b_{1 k}+a_{i 2} b_{2 k}+a_{i 3} b_{3 k}+\ldots+a_{i n} b_{n k}=\sum_{j=1}^{n} a_{i j} b_{j k}$.

मैट्रिक्स $C=[c_{i k}]_{m \times p}$ $A$ और $B$ का उत्पाद होता है।

उदाहरण के लिए, यदि $C=\begin{bmatrix}1 & -1 & 2 \\ 0 & 3 & 4\end{bmatrix}$ और $D=\begin{bmatrix}2 & 7 \\ -1 & 1 \\ 5 & -4\end{bmatrix}$, तो उत्पाद $C D$ परिभाषित होता है और इसे $C D=\begin{bmatrix}1 & -1 & 2 \\ 0 & 3 & 4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2 & 7 \\ -1 & 1 \\ 5 & -4\end{bmatrix}$ द्वारा दिया जाता है। यह एक $2 \times 2$ मैट्रिक्स है जिसमें प्रत्येक प्रविष्टि कुछ पंक्ति के गुणन के योग होती है जो कुछ स्तम्भ के संगत प्रविष्टियों के साथ होती है। ये चार गणनाएँ हैं

उदाहरण 12 यदि $A=\begin{bmatrix}6 & 9 \\ 2 & 3\end{bmatrix}$ और $B=\begin{bmatrix}2 & 6 & 0 \\ 7 & 9 & 8\end{bmatrix}$, तो $AB$ ज्ञात कीजिए।

हल मैट्रिक्स A में 2 स्तम्भ हैं जो B की पंक्तियों की संख्या के बराबर हैं। अतः AB परिभाषित है। अब

$\begin{aligned} AB & =\begin{bmatrix} 6(2)+9(7) & 6(6)+9(9) & 6(0)+9(8) \\ 2(2)+3(7) & 2(6)+3(9) & 2(0)+3(8) \end{bmatrix} \\ `

& =\begin{bmatrix} 12+63 & 36+81 & 0+72 \\ 4+21 & 12+27 & 0+24 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 75 & 117 & 72 \\ 25 & 39 & 24 \end{bmatrix} \end{aligned} $

टिप्पणी यदि $AB$ परिभाषित है, तो $BA$ आवश्यक रूप से परिभाषित नहीं हो सकता। उपरोक्त उदाहरण में $AB$ परिभाषित है लेकिन $BA$ परिभाषित नहीं है क्योंकि $B$ के 3 स्तम्भ हैं जबकि $A$ के केवल 2 (नहीं 3) पंक्तियाँ हैं। यदि $A, B$ क्रमशः $m \times n, k \times l$ आव्यूह हैं, तो दोनों $AB$ और $BA$ परिभाषित होंगे केवल तभी जब $n=k$ और $l=m$ हो। विशेष रूप से, यदि दोनों $A$ और $B$ एक ही क्रम के वर्ग आव्यूह हैं, तो दोनों $AB$ और $BA$ परिभाषित होंगे।

आव्यूह गुणन के अतिरिक्त गुणों के असामान्यता

अब हम एक उदाहरण के माध्यम से देखेंगे कि यदि $AB$ और $BA$ दोनों परिभाषित हों, तो आवश्यक रूप से $AB = BA$ नहीं हो सकता।

उदाहरण 13 यदि $A=\begin{bmatrix}1 & -2 & 3 \\ -4 & 2 & 5\end{bmatrix}$ और $B=\begin{bmatrix}2 & 3 \\ 4 & 5 \\ 2 & 1\end{bmatrix}$, तो $AB$, $BA$ ज्ञात कीजिए। दिखाइए कि $AB \neq BA$।

हल चूंकि $A$ एक $2 \times 3$ आव्यूह है और $B$ एक $3 \times 2$ आव्यूह है। अतः $AB$ और $BA$ दोनों परिभाषित हैं और क्रमशः $2 \times 2$ और $3 \times 3$ के आव्यूह हैं। ध्यान दें कि

$\begin{aligned} & AB=\begin{bmatrix}{rcc} 1 & -2 & 3 \\ -4 & 2 & 5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2-8+6 & 3-10+3 \\ -8+8+10 & -12+10+5 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & -4 \\ 10 & 3 \end{bmatrix} \\ \text{और } & BA=\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 \\ -4 & 2 & 5 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2-12 & -4+6 & 6+15 \\ 4-20 & -8+10 & 12+25 \\ 2-4 & -4+2 & 6+5 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -10 & 2 & 21 \\ -16 & 2 & 37 \\ -2 & -2 & 11 \end{bmatrix} \end{aligned} $

स्पष्ट रूप से $AB \neq BA$

उपरोक्त उदाहरण में दोनों $AB$ और $BA$ अलग-अलग क्रम के हैं और अतः $AB \neq BA$ है। लेकिन कोई व्यक्ति सोच सकता है कि यदि वे एक ही क्रम के हों तो आवश्यक रूप से $AB$ और $BA$ समान हो सकते हैं। लेकिन ऐसा नहीं है, यहाँ हम एक उदाहरण देते हैं जो दिखाता है कि यदि $AB$ और $BA$ एक ही क्रम के हों तो भी वे समान नहीं हो सकते।

उदाहरण 14 यदि $A=\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{bmatrix}$ और $B=\begin{bmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}$, तो $A B=\begin{bmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{bmatrix}$।

और $ BA=\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} . \text { स्पष्ट रूप से } AB \neq BA . $

इसलिए आव्यूह गुणन आदान-प्रदान नहीं होता।

नोट यह नहीं मतलब है कि $AB \neq BA$ हर आव्यूह युग्म $A, B$ के लिए जहाँ $AB$ और $BA$ परिभाषित हों। उदाहरण के लिए,

यदि $A=\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 2\end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix}3 & 0 \\ 0 & 4\end{bmatrix}$, तो $A B=B A=\begin{bmatrix}3 & 0 \\ 0 & 8\end{bmatrix}$

ध्यान दें कि एक ही क्रम के विकर्ण आव्यूहों के गुणन आदान-प्रदान होता है।

दो गैर-शून्य आव्यूहों के गुणन के रूप में शून्य आव्यूह

हम जानते हैं कि, वास्तविक संख्याओं $a, b$ के लिए यदि $a b=0$, तो या तो $a=0$ या $b=0$ होता है। लेकिन आव्यूहों के लिए यह सत्य नहीं हो सकता, हम एक उदाहरण के माध्यम से इसकी जांच करेंगे।

उदाहरण 15 यदि $A=\begin{bmatrix}0 & -1 \\ 0 & 2\end{bmatrix}$ और $B=\begin{bmatrix}3 & 5 \\ 0 & 0\end{bmatrix}$, तो $A B$ ज्ञात कीजिए।

हल हम जानते हैं $AB=\begin{bmatrix}0 & -1 \\ 0 & 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3 & 5 \\ 0 & 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}$।

इसलिए, यदि दो आव्यूहों का गुणन शून्य आव्यूह हो, तो आवश्यक रूप से एक आव्यूह शून्य आव्यूह नहीं होना आवश्यक है।

3.4.6 आव्यूह गुणन के गुण

आव्यूहों के गुणन के निम्नलिखित गुण होते हैं, जिनकी उपपत्ति के बिना कथन करेंगे।

1. साहचर्य कानून किसी तीन आव्यूह $A, B$ और $C$ के लिए, हम जानते हैं $(AB) C=A(BC)$, जब दोनों ओर के व्यंजक परिभाषित हों।

2. वितरण कानून तीन आव्यूह $A, B$ और $C$ के लिए।

(i) $A(B+C)=AB+AC$

(ii) $(A+B) C=AC+BC$, जब दोनों ओर के व्यंजक परिभाषित हों।

3. गुणन के अस्तित्व तत्व प्रत्येक वर्ग आव्यूह $A$ के लिए, समान क्रम के एक तत्व आव्यूह का अस्तित्व होता है जैसे कि $IA=AI=A$।

अब, हम उदाहरणों के माध्यम से इन गुणों की जांच करेंगे।

उदाहरण 16 यदि $A=\begin{bmatrix}1 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & 3 \\ 3 & -1 & 2\end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix}1 & 3 \\ 0 & 2 \\ -1 & 4\end{bmatrix}$ और $C=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 & -4 \\ 2 & 0 & -2 & 1\end{bmatrix}$, तो $A(BC),(AB) C$ ज्ञात कीजिए और दिखाइए कि $(AB) C=A(BC)$।

हल हम रखते हैं $A B=\begin{bmatrix}1 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & 3 \\ 3 & -1 & 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 3 \\ 0 & 2 \\ -1 & 4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1+0+1 & 3+2-4 \\ 2+0-3 & 6+0+12 \\ 3+0-2 & 9-2+8\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2 & 1 \\ -1 & 18 \\ 1 & 15\end{bmatrix}$

$(AB)(C)=\begin{bmatrix}2 & 1 \\ -1 & 18 \\ 1 & 15\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 & -4 \\ 2 & 0 & -2 & 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2+2 & 4+0 & 6-2 & -8+1 \\ -1+36 & -2+0 & -3-36 & 4+18 \\ 1+30 & 2+0 & 3-30 & -4+15\end{bmatrix}$

$\hspace{15mm}=\begin{bmatrix}4 & 4 & 4 & -7 \\ 35 & -2 & -39 & 22 \\ 31 & 2 & -27 & 11\end{bmatrix}$

$\text{अब } BC=\begin{bmatrix}1 & 3 \\ 0 & 2 \\ -1 & 4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 & -4 \\ 2 & 0 & -2 & 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1+6 & 2+0 & 3-6 & -4+3 \\ 0+4 & 0+0 & 0-4 & 0+2 \\ -1+8 & -2+0 & -3-8 & 4+4\end{bmatrix}$

$ \hspace{15mm} =\begin{bmatrix} 7 & 2 & -3 & -1 \\ 4 & 0 & -4 & 2 \\ 7 & -2 & -11 & 8 \end{bmatrix} $

$ \text{इसलिए } \hspace{5mm} A(BC)=\begin{bmatrix}1 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & 3 \\ 3 & -1 & 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}7 & 2 & -3 & -1 \\ 4 & 0 & -4 & 2 \\ 7 & -2 & -11 & 8\end{bmatrix}$

$ \hspace{31mm} \begin{aligned} & =\begin{bmatrix} 7+4-7 & 2+0+2 & -3-4+11 & -1+2-8 \\ 14+0+21 & 4+0-6 & -6+0-33 & -2+0+24 \\ 21-4+14 & 6+0-4 & -9+4-22 & -3-2+16 \end{bmatrix} \\ & =\begin{bmatrix} 4 & 4 & 4 & -7 \\ 35 & -2 & -39 & 22 \\ 31 & 2 & -27 & 11 \end{bmatrix} . \text { स्पष्ट रूप से, (AB) C =A (BC) } \end{aligned} $

उदाहरण 17 यदि $A=\begin{bmatrix}0 & 6 & 7 \\ -6 & 0 & 8 \\ 7 & -8 & 0\end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 0\end{bmatrix}, C=\begin{bmatrix}2 \\ -2 \\ 3\end{bmatrix}$

$AC, BC$ और $(A+B) C$ की गणना करें। इसके अलावा, यह सत्यापित करें कि $(A+B) C=AC+BC$

हल अब, $A+B=\begin{bmatrix}0 & 7 & 8 \\ -5 & 0 & 10 \\ 8 & -6 & 0\end{bmatrix}$

$ \text{इसलिए} \hspace{2mm} \quad(A+B) C=\begin{bmatrix}0 & 7 & 8 \\ -5 & 0 & 10 \\ 8 & -6 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2 \\ -2 \\ 3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0-14+24 \\ -10+0+30 \\ 16+12+0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}10 \\ 20 \\ 28\end{bmatrix}$

$ \text{फरी} \hspace{4mm} \quad AC=\begin{bmatrix}0 & 6 & 7 \\ -6 & 0 & 8 \\ 7 & -8 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2 \\ -2 \\ 3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0-12+21 \\ -12+0+24 \\ 14+16+0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}9 \\ 12 \\ 30\end{bmatrix}$

$ \text{और} \hspace{10mm} \quad BC=\begin{bmatrix}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2 \\ -2 \\ 3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0-2+3 \\ 2+0+6 \\ 2-4+0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 \\ 8 \\ -2\end{bmatrix}$

$ \text{तो} \hspace{2mm} \quad AC+BC=\begin{bmatrix}9 \\ 12 \\ 30\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1 \\ 8 \\ -2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}10 \\ 20 \\ 28\end{bmatrix}$

$\text{स्पष्ट रूप से, } \qquad (A+B) C=AC+BC$

उदाहरण 18 यदि $A=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 3 & -2 & 1 \\ 4 & 2 & 1\end{bmatrix}$, तो दिखाइए कि $A^{3}-23 A-40 I=O$

हल हमें $A^{2}=A \cdot A=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 3 & -2 & 1 \\ 4 & 2 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 3 & -2 & 1 \\ 4 & 2 & 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}19 & 4 & 8 \\ 1 & 12 & 8 \\ 14 & 6 & 15\end{bmatrix}$

$ \text{तो} \hspace{20mm} A^{3}=A A^{2}=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & -2 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 19 & 4 & 8 \\ 1 & 12 & 8 \\ 14 & 6 & 15 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 63 & 46 & 69 \\ 69 & -6 & 23 \\ 92 & 46 & 63 \end{bmatrix} $

$ \begin{aligned} \text{अब} \hspace{8mm} A^{3}-23 A-40 I & =\begin{bmatrix} 63 & 46 & 69 \\ 69 & -6 & 23 \\ 92 & 46 & 63 \end{bmatrix}-23\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & -2 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \end{bmatrix}-40\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \\ & =\begin{bmatrix} 63 & 46 & 69 \\ 69 & -6 & 23 \\ 92 & 46 & 63 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -23 & -46 & -69 \\ -69 & 46 & -23 \\ -92 & -46 & -23 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -40 & 0 & 0 \\ 0 & -40 & 0 \\ 0 & 0 & -40 \end{bmatrix} \\ & =\begin{bmatrix} 63-23-40 & 46-46+0 & 69-69+0 \\ 69-69+0 & -6+46-40 & 23-23+0 \\

92-92+0 & 46-46+0 & 63-23-40 \end{bmatrix} \\ & =\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}=O \end{aligned} $

उदाहरण 19 एक विधानसभा चुनाव में, एक राजनीतिक समूह ने एक सार्वजनिक संबंध फर्म को अपने उम्मीदवार के लिए टेलीफोन, घर के दौरा और चिट्ठी द्वारा प्रचार करने के लिए नियुक्त किया। प्रति संपर्क की लागत (पैसे में) मैट्रिक्स $A$ में दी गई है:

$ A=\begin{bmatrix} Cost\text{ }per\text{ }contact \\ 40 \\ 100 \\ 50 \end{bmatrix} \begin{matrix} & \text{} \\ & \text{टेलीफोन} \\ & \text{घर के दौरा} \\ & \text{चिट्ठी} \end{matrix} $

दो शहरों $X$ और $Y$ में प्रत्येक प्रकार के संपर्क की संख्या निम्नलिखित द्वारा दी गई है:

$\hspace{2mm}$

$B=\begin{bmatrix} टेलीफोन & घर के दौरा & चिट्ठी \\1000 & 500 & 5000 \\ 3000 & 1000 & 10,000\end{bmatrix} \begin{matrix} & \text{} \\ & \rightarrow\text{X} \\ & \rightarrow\text{Y} \end{matrix} $

दो शहरों $X$ और $Y$ में समूह द्वारा कुल खर्च ज्ञात कीजिए।

हल हमारे पास है

$\begin{aligned} BA & =\begin{bmatrix} 40,000+50,000+250,000 \\ 120,000+100,000+500,000 \end{bmatrix} \begin{matrix} & \rightarrow\text{X} \\ & \rightarrow\text{Y} \end{matrix} \\ & =\begin{bmatrix} 340,000 \\ 720,000 \end{bmatrix} \begin{matrix} & \rightarrow\text{X} \\ & \rightarrow\text{Y} \end{matrix} \end{aligned} $

इसलिए, दो शहरों में समूह द्वारा कुल खर्च 340,000 पैसे और 720,000 पैसे है, अर्थात् $\text{ ₹ } 3400$ और $\text{ ₹ } 7200$, क्रमशः।

3.5 मैट्रिक्स के ट्रांसपोज

इस अनुच्छेद में, हम मैट्रिक्स के ट्रांसपोज और सममित तथा विषम सममित मैट्रिक्स जैसे विशेष प्रकार के मैट्रिक्स के बारे में सीखेंगे।

परिभाषा 3 यदि $A=[a_{i j}]$ एक $m \times n$ मैट्रिक्स हो, तो मैट्रिक्स A के पंक्तियों और स्तम्भों को आपस में बदल देने से प्राप्त मैट्रिक्स को A के ट्रांसपोज कहते हैं। मैट्रिक्स A के ट्रांसपोज को $A^{\prime}$ या $(A^{T})$ द्वारा नोट किया जाता है। अन्य शब्दों में, यदि $A=[a _{i j}] _{m \times n}$, तो $A^{\prime}=[a _{j i}] _{n \times m}$. उदाहरण के लिए,

$ \begin{aligned} & \text{यदि } \mathrm{A}=\left[\begin{array}{cr} 3 & 5 \\ \sqrt{3} & 1 \\ 0 & \dfrac{-1}{5} \end{array}\right] _{3 \times 2} \text {, तो } \mathrm{A}^{\prime}=\left[\begin{array}{ccc} 3 & \sqrt{3} & 0 \\ 5 & 1 & \dfrac{-1}{5} \end{array}\right] _{2 \times 3} \end{aligned} $

3.5.1 आव्यूहों के व्युत्क्रम के गुण

अब हम आव्यूहों के व्युत्क्रम के निम्नलिखित गुणों को बिना साबित किए बताते हैं। इनकी जांच करने के लिए उपयुक्त उदाहरण लेकर सकते हैं। किसी भी आव्यूह A और B के लिए, जहाँ आव्यूहों के क्रम उपयुक्त हों, हम निम्नलिखित गुणों को प्राप्त करते हैं:

(i) $(A^{\prime})^{\prime}=A$, $\hspace{26mm}$ (ii) $(k A)^{\prime}=k A^{\prime}$ (जहाँ $k$ कोई भी स्थिरांक है)

(iii) $(A+B)^{\prime}=A^{\prime}+B^{\prime}$ $\hspace{10mm}$ (iv) $(A B)^{\prime}=B^{\prime} A^{\prime}$

उदाहरण 20 यदि $A=\begin{bmatrix}3 & \sqrt{3} & 2 \\ 4 & 2 & 0\end{bmatrix}$ और $B=\begin{bmatrix}2 & -1 & 2 \\ 1 & 2 & 4\end{bmatrix}$, तो सत्यापित करें कि

(i) $(A^{\prime})^{\prime}=A$, $\hspace{25mm}$ (ii) $(A+B)^{\prime}=A^{\prime}+B^{\prime}$,

(iii) $(k B)^{\prime}=k B^{\prime}$, जहाँ $k$ कोई भी स्थिरांक है।

हल

(i) हम जानते हैं कि

$ A=\begin{bmatrix} 3 & \sqrt{3} & 2 \\ 4 & 2 & 0 \end{bmatrix} \Rightarrow A^{\prime}=\begin{bmatrix} 3 & 4 \\ \sqrt{3} & 2 \\ 2 & 0 \end{bmatrix} \Rightarrow(A^{\prime})^{\prime}=\begin{bmatrix} 3 & \sqrt{3} & 2 \\ 4 & 2 & 0 \end{bmatrix}=A $

इसलिए $\quad(A^{\prime})^{\prime}=A$

(ii) हम जानते हैं कि

$ A=\begin{bmatrix} 3 & \sqrt{3} & 2 \\ 4 & 2 & 0 \end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix} 2 & -1 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{bmatrix} \Rightarrow A+B=\begin{bmatrix} 5 & \sqrt{3}-1 & 4 \\ 5 & 4 & 4 \end{bmatrix} $

$\text{इसलिए }\quad(A+B)^{\prime}=\begin{bmatrix}5 & 5 \\ \sqrt{3}-1 & 4 \\ 4 & 4\end{bmatrix}$

$\text{अब }\qquad \qquad \qquad A^{\prime}=\begin{bmatrix}3 & 4 \\ \sqrt{3} & 2 \\ 2 & 0\end{bmatrix}, B^{\prime}=\begin{bmatrix}2 & 1 \\ -1 & 2 \\ 2 & 4\end{bmatrix}$,

$\text{इसलिए} \qquad \qquad \quad A^{\prime}+B^{\prime}=\begin{bmatrix}5 & 5 \\ \sqrt{3}-1 & 4 \\ 4 & 4\end{bmatrix}$

इसलिए $\quad(A+B)^{\prime}=A^{\prime}+B^{\prime}$

(iii) हमारे पास है

$ \qquad \qquad k B=k\begin{bmatrix} 2 & -1 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 k & -k & 2 k \\ k & 2 k & 4 k \end{bmatrix} $

$\text{तब } \quad(k B)^{\prime}=\begin{bmatrix}2 k & k \\ -k & 2 k \\ 2 k & 4 k\end{bmatrix}=k\begin{bmatrix}2 & 1 \\ -1 & 2 \\ 2 & 4\end{bmatrix}=k B^{\prime}$

$ \text{इसलिए } \quad (k B)^{\prime}=k B^{\prime} $

उदाहरण 21 यदि $A=\begin{bmatrix}-2 \\ 4 \\ 5\end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix}1 & 3 & -6\end{bmatrix}$, तो सत्यापित करें कि $(A B)^{\prime}=B^{\prime} A^{\prime}$।

हल हमारे पास है

$\qquad \qquad A=\begin{bmatrix} -2 \\ 4 \\ 5 \end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix} 1 & 3 & -6 \end{bmatrix} $

$ \text{तब } \quad AB=\begin{bmatrix} -2 \\ 4 \\ 5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 3 & -6 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -2 & -6 & 12 \\ 4 & 12 & -24 \\ 5 & 15 & -30 \end{bmatrix} $

$\begin{aligned} \text{अब } \quad & A^{\prime}=\begin{bmatrix} -2 & 4 & 5 \end{bmatrix}, B^{\prime}=\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ -6 \end{bmatrix} \\ & B^{\prime} A^{\prime}=\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ -6 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -2 & 4 & 5 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -2 & 4 & 5 \\ -6 & 12 & 15 \\ 12 & -24 & -30 \end{bmatrix}=(AB)^{\prime} \end{aligned} $

$ \text{स्पष्ट रूप से} (AB)^{\prime}=B^{\prime} A^{\prime} $

3.6 सममिति और विषम सममिति आव्यूह

परिभाषा 4 एक वर्ग आव्यूह $A=[a_{i j}]$ को सममिति कहा जाता है यदि $A^{\prime}=A$, अर्थात $[a_{i j}]=[a_{j i}]$ सभी संभावित $i$ और $j$ के मान के लिए।

$ \text { उदाहरण के लिए } A=\begin{bmatrix} \sqrt{3} & 2 & 3 \\ 2 & -1.5 & -1 \\ 3 & -1 & 1 \end{bmatrix} \text { एक सममिति आव्यूह है क्योंकि } A^{\prime}=A $

परिभाषा 5 एक वर्ग आव्यूह $A=[a_{i j}]$ को विषम सममिति आव्यूह कहा जाता है यदि $A^{\prime}=-A$, अर्थात $a_{j i}=-a_{i j}$ सभी संभावित $i$ और $j$ के मान के लिए। अब, यदि हम $i=j$ रखते हैं, तो हमें $a_{i i}=-a_{i i}$ प्राप्त होता है। अतः $2 a_{i i}=0$ या $a_{i i}=0$ सभी $i$ के लिए।

इसका अर्थ है कि एक विषम सममिति आव्यूह के सभी विकर्ण तत्व शून्य होते हैं।

उदाहरण के लिए, आव्यूह $B=\begin{bmatrix}0 & e & f \\ -e & 0 & g \\ -f & -g & 0\end{bmatrix}$ एक विषम सममित आव्यूह है क्योंकि $B^{\prime}=-B$

अब, हम सममित और विषम सममित आव्यूहों के कुछ परिणाम सिद्ध करेंगे।

प्रमेय 1 किसी भी वर्ग आव्यूह $A$ के लिए, जिसके प्रवेश वास्तविक संख्याएँ हों, $A+A^{\prime}$ एक सममित आव्यूह होता है और $A-A^{\prime}$ एक विषम सममित आव्यूह होता है।

उपपत्ति $\text{मान लीजिए}$ $B=A+A^{\prime}$, तो

$ \qquad \qquad \begin{aligned} B^{\prime} & =(A+A^{\prime})^{\prime} \\ & =A^{\prime}+(A^{\prime})^{\prime}(\text { क्योंकि }(A+B)^{\prime}=A^{\prime}+B^{\prime}) \\ & =A^{\prime}+A(\text { क्योंकि }(A^{\prime})^{\prime}=A) \\ & =A+A^{\prime}(\text { क्योंकि } A+B=B+A) \\ & =B \end{aligned} $

$\text{इसलिए}$ $B=A+A^{\prime}$ एक सममित आव्यूह है

$ \text{अब मान लीजिए} \quad C=A-A^{\prime} $

$ \qquad \qquad \begin{aligned} C^{\prime} & =(A-A^{\prime})^{\prime}=A^{\prime}-(A^{\prime})^{\prime} \quad \text { (क्यों?) } \\ & =A^{\prime}-A \quad(\text { क्यों?) } \\ & =-(A-A^{\prime})=-C \end{aligned} $

$ \text{इसलिए} \hspace{1mm} C=A-A^{\prime} \text { एक विषम सममित आव्यूह है। } $

प्रमेय 2 कोई भी वर्ग आव्यूह एक सममित और एक विषम सममित आव्यूह के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

उपपत्ति मान लीजिए A एक वर्ग आव्यूह है, तो हम लिख सकते हैं

$ A=\dfrac{1}{2}(A+A^{\prime})+\dfrac{1}{2}(A-A^{\prime}) $

प्रमेय 1 से हम जानते हैं कि $(A+A^{\prime})$ एक सममित आव्यूह है और $(A-A^{\prime})$ एक विषम सममित आव्यूह है। क्योंकि किसी भी आव्यूह $A$ के लिए, $(k A)^{\prime}=k A^{\prime}$, इसलिए $\dfrac{1}{2}(A+A^{\prime})$ एक सममित आव्यूह है और $\dfrac{1}{2}(A-A^{\prime})$ एक विषम सममित आव्यूह है। इस प्रकार, कोई भी वर्ग आव्यूह एक सममित और एक विषम सममित आव्यूह के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

उदाहरण 22 आव्यूह $B=\begin{bmatrix}2 & -2 & -4 \\ -1 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & -3\end{bmatrix}$ को एक सममित और एक विषम सममित आव्यूह के योग के रूप में व्यक्त करें।

हल यहाँ

$ \qquad \quad B^{\prime}=\begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -2 & 3 & -2 \\ -4 & 4 & -3

\end{bmatrix} $

$ \text{मान लीजिए } \hspace{6mm} P=\dfrac{1}{2}(B+B^{\prime})=\dfrac{1}{2}\begin{bmatrix} 4 & -3 & -3 \\ -3 & 6 & 2 \\ -3 & 2 & -6 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 & \dfrac{-3}{2} & \dfrac{-3}{2} \\ \dfrac{-3}{2} & 3 & 1 \\ \dfrac{-3}{2} & 1 & -3 \end{bmatrix} $

$ \text{अब } \hspace{5mm} P^{\prime}=\begin{bmatrix} 2 & \dfrac{-3}{2} & \dfrac{-3}{2} \\ \dfrac{-3}{2} & 3 & 1 \\ \dfrac{-3}{2} & 1 & -3 \end{bmatrix}=P $

$ \text{इसलिए } \quad P=\dfrac{1}{2}(B+B^{\prime}) \text { एक सममिति आव्यूह है। } $

$ \text{इसके अतिरिक्त, मान लीजिए } Q=\dfrac{1}{2}(B-B^{\prime})=\dfrac{1}{2}\begin{bmatrix}0 & -1 & -5 \\ 1 & 0 & 6 \\ 5 & -6 & 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & \dfrac{-1}{2} & \dfrac{-5}{2} \\ \dfrac{1}{2} & 0 & 3 \\ \dfrac{5}{2} & -3 & 0\end{bmatrix} $

$ \text{तब } \hspace{4mm} Q^{\prime}=\begin{bmatrix} 0 & \frac{1}{2} & \frac{5}{3} \\ \frac{-1}{2} & 0 & -3 \\ \frac{-5}{2} & 3 & 0 \end{bmatrix}=-Q $

$ \text{इसलिए } \hspace{4mm} Q=\dfrac{1}{2}(B-B^{\prime}) \text { एक विषम सममिति आव्यूह है। } $

$ \text{अब } P+Q=\begin{bmatrix} 2 & \dfrac{-3}{2} & \dfrac{-3}{2} \\ \dfrac{-3}{2} & 3 & 1 \\ \dfrac{-3}{2} & 1 & -3 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 0 & \dfrac{-1}{2} & \dfrac{-5}{2} \\ \dfrac{1}{2} & 0 & 3 \\ \dfrac{5}{2} & -3 & 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 & -2 & -4 \\ -1 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & -3 \end{bmatrix}=B $

इसलिए, B एक सममिति आव्यूह और एक विषम सममिति आव्यूह के योग के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है।

3.7 व्युत्क्रमी आव्यूह

परिभाषा 6 यदि $A$ एक कोटि $m$ के वर्ग आव्यूह है, और एक अन्य वर्ग आव्यूह $B$ भी उसी कोटि $m$ के हो, जैसे कि $AB=BA=I$, तो $B$ को $A$ के व्युत्क्रम आव्यूह कहा जाता है और इसे $A^{-1}$ द्वारा नोट किया जाता है। ऐसे मामले में $A$ को व्युत्क्रमी आव्यूह कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, मान लीजिए $A=\begin{bmatrix}2 & 3 \\ 1 & 2\end{bmatrix}$ और $B=\begin{bmatrix}2 & -3 \\ -1 & 2\end{bmatrix}$ दो आव्यूह हैं।

$ \begin{aligned} \text{अब} \qquad \quad AB & =\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \\ & =\begin{bmatrix} 4-3 & -6+6 \\ 2-2 & -3+4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}=I \end{aligned} $

$ \text{इसके अलावा} \qquad \quad BA=\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}=I$. इसलिए $B$ $A$ का व्युत्क्रम है, अर्थात $B=A^{-1}$ और $A$ $B$ का व्युत्क्रम है, अर्थात $A=B^{-1}$

ध्यान दें

1. आयताकार आव्यूह के व्युत्क्रम आव्यूह नहीं हो सकता, क्योंकि उत्पाद $BA$ और $AB$ के निर्माण और बराबर होने के लिए आव्यूह $A$ और $B$ एक ही कोटि के वर्ग आव्यूह होना आवश्यक है।

2. यदि $B$ $A$ का व्युत्क्रम है, तो $A$ भी $B$ का व्युत्क्रम है।

प्रमेय 3 (व्युत्क्रम की अद्वितीयता) एक वर्ग आव्यूह के व्युत्क्रम, यदि वह मौजूद हो, तो अद्वितीय होता है। सिद्ध करना है कि एक वर्ग आव्यूह $A=[a_{i j}]$ के दो व्युत्क्रम $B$ और $C$ हो सकते हैं। हम दिखाएंगे कि $B=C$ है।

क्योंकि $B$ $A$ का व्युत्क्रम है

$ AB=BA=I \qquad\text{…(1)} $

क्योंकि $C$ भी $A$ का व्युत्क्रम है

$ AC=CA=I \qquad\text{…(2)} $

$ \text{इसलिए} \quad B=BI=B(AC)=(BA) C=IC=C $

प्रमेय 4 यदि $A$ और $B$ एक ही कोटि के व्युत्क्रमी आव्यूह हैं, तो $(A B)^{-1}=B^{-1} A^{-1}$ होता है।

सिद्ध करना आव्यूह के व्युत्क्रम की परिभाषा से हम लिख सकते हैं

$\qquad \qquad \quad(\mathrm{AB}) (\mathrm{AB})^{-1}=1$

$ \text{या} \qquad A^{-1}(AB)(AB)^{-1}=A^{-1} I \quad (\text { दोनों ओर } A^{-1} \text{ से पहले गुणा करने पर}) $

$ \text{या} \qquad (A^{-1} A) B(A B)^{-1}=A^{-1} \hspace{5.5mm}(A^{-1} I=A^{-1} \text{ के कारण}) $

$ \text{या} \qquad \qquad \hspace{2.5mm} IB (A B)^{-1}=A^{-1}$

$ \text{या} \qquad \qquad \hspace{4.5mm} B(AB)^{-1}=A^{-1}$

$ \text{या} \qquad \quad \hspace{1.5mm} B^{-1} B(AB)^{-1}=B^{-1} A^{-1} $

$ \text{या} \qquad \qquad \hspace{5mm} I(AB)^{-1}=B^{-1} A^{-1}$

$ \text{इसलिए} \qquad \hspace{7.5mm} (AB)^{-1}=B^{-1} A^{-1}$

अन्य उदाहरण

उदाहरण 23 यदि $A=\begin{bmatrix}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta\end{bmatrix}$, तो सिद्ध कीजिए कि $A^{n}=\begin{bmatrix}\cos n \theta & \sin n \theta \\ -\sin n \theta & \cos n \theta\end{bmatrix}, n \in \mathbf{N}$।

हल हम गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके परिणाम को सिद्ध करेंगे।

$\begin{aligned} \text{हम जानते हैं} \quad & P(n): \text { यदि } A=\begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \text {, तो } A^{n}=\begin{bmatrix} \cos n \theta & \sin n \theta \\ -\sin n \theta & \cos n \theta \end{bmatrix}, n \in \mathbf{N} \\ & P(1): A=\begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \text {, इसलिए } A^{1}=\begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \end{aligned} $

$ \text{इसलिए,} $ परिणाम $n=1$ के लिए सत्य है।

मान लीजिए कि परिणाम $n=k$ के लिए सत्य है। इसलिए

$ P(k): A=\begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \text {, तो } A^{k}=\begin{bmatrix} \cos k \theta & \sin k \theta \\ -\sin k \theta & \cos k \theta \end{bmatrix} $

अब, हम दिखाएंगे कि परिणाम $n=k+1$ के लिए भी सत्य है।

$\begin{aligned} \text{अब } \qquad A^{k+1} & =A \cdot A^{k}=\begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \cos k \theta & \sin k \theta \\ -\sin k \theta & \cos k \theta \end{bmatrix} \\ & =\begin{bmatrix} \cos \theta \cos k \theta-\sin \theta \sin k \theta & \cos \theta \sin k \theta+\sin \theta \cos k \theta \\ -\sin \theta \cos k \theta+\cos \theta \sin k \theta & -\sin \theta \sin k \theta+\cos \theta \cos k \theta \end{bmatrix} \\ & =\begin{bmatrix} \cos (\theta+k \theta) & \sin (\theta+k \theta) \\ -\sin (\theta+k \theta) & \cos (\theta+k \theta) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \cos (k+1) \theta & \sin (k+1) \theta \\ -\sin (k+1) \theta & \cos (k+1) \theta \end{bmatrix} \end{aligned}

$

अतः, $n=k+1$ के लिए परिणाम सत्य है। अतः, गणितीय आगमन के सिद्धांत के अनुसार, हमारे पास $A^{n}=\begin{bmatrix}\cos n \theta & \sin n \theta \\ -\sin n \theta & \cos n \theta\end{bmatrix}$, सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए सत्य है।

उदाहरण 24 यदि $A$ और $B$ एक ही कोटि के सममित आव्यूह हैं, तो सिद्ध कीजिए कि $AB$ सममित होगा यदि और केवल यदि $A$ और $B$ अपने आपस में अद्वितीय हों, अर्थात $AB=BA$।

हल चूंकि $A$ और $B$ दोनों सममित आव्यूह हैं, इसलिए $A^{\prime}=A$ और $B^{\prime}=B$ है।

$ \text{मान लीजिए } \qquad AB$ सममित है, तो $(AB)^{\prime}=AB$

$ \begin{aligned} \text{लेकिन } \qquad (AB)^{\prime} & =B^{\prime} A^{\prime}=BA(\text { क्यों? }) \end{aligned} $

$ \begin{aligned} \text{अतः} \hspace{2mm} BA =AB \end{aligned} $

$\text{विपरीत रूप से, }$ यदि $AB=BA$, तो हम दिखाएंगे कि $AB$ सममित है।

$ \begin{aligned} \text{अब } \qquad \quad (AB)^{\prime} & =B^{\prime} A^{\prime} \\ & =B A(\text { क्योंकि } A \text { और } B \text { सममित हैं }) \\ & =AB \end{aligned} $

$\text{अतः}$ $AB$ सममित है।

उदाहरण 25 मान लीजिए $A=\begin{bmatrix}2 & -1 \\ 3 & 4\end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix}5 & 2 \\ 7 & 4\end{bmatrix}, C=\begin{bmatrix}2 & 5 \\ 3 & 8\end{bmatrix}$. एक आव्यूह $D$ ज्ञात कीजिए जैसे कि $CD-AB=O$।

हल चूंकि $A, B, C$ सभी कोटि 2 के वर्ग आव्यूह हैं, और $CD - AB$ परिभाषित है, इसलिए $D$ कोटि 2 का वर्ग आव्यूह होना चाहिए।

$ \begin{aligned} \text{मान लीजिए} & D=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} . \text { तब } CD-AB=0 \text { देता है } \\ & {\begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 8 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 7 & 4 \end{bmatrix}=O} \\ \text{या } & {\begin{bmatrix} 2 a+5 c & 2 b+5 d \\ 3 a+8 c & 3 b+8 d \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 43 & 22 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}} \\ \text{या } & {\begin{bmatrix} 2 a+5 c-3 & 2 b+5 d \\ 3 a+8 c-43 & 3 b+8 d-22 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}} \end{aligned} $

0 & 0 \end{bmatrix}} \end{aligned} $

मैट्रिक्स के बराबर होने के कारण, हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{matrix} 2 a+5 c-3=0 \hspace{6mm}\text{(…1)}\\ 3 a+8 c-43=0 \hspace{5mm}\text{(…2)}\\ 2 b+5 d=0 \hspace{13mm}\text{(…3)}\\ 3 b+8 d-22=0 \hspace{5mm}\text{(…4)} \end{matrix} $

$ \text{अतः } \quad D=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -191 & -110 \\ 77 & 44 \end{bmatrix} $

सारांश

• एक मैट्रिक्स एक संख्याओं या फलनों के क्रमिक आवृत्ति वाली आयताकार सूची होती है।

• एक मैट्रिक्स जो $m$ पंक्तियों और $n$ स्तम्भों के बराबर होती है, $m \times n$ के क्रम की मैट्रिक्स कहलाती है।

• $[a_{i j}]_{m \times 1}$ एक स्तंभ मैट्रिक्स होती है।

• $[a_{i j}]_{1 \times n}$ एक पंक्ति मैट्रिक्स होती है।

• एक $m \times n$ मैट्रिक्स एक वर्ग मैट्रिक्स होती है यदि $m=n$ हो।

• $A=[a _{i j}] _{m \times m}$ एक विकर्ण मैट्रिक्स होती है यदि $a _{i j}=0$, जब $i \neq j$ हो।

• $A=[a_{ij}]_{n \times n}$ एक अद्वितीय मैट्रिक्स होती है यदि $a _ {i j}=0$, जब $i \neq j, a _ {ij}=k$, ($k$ कोई निश्चित स्थिरांक है), जब $i=j$ हो।

• $A=[a _{ij}] _{n \times n}$ एक तत्समक मैट्रिक्स होती है, यदि $a _{i j}=1$, जब $i=j, a _{i j}=0$, जब $i \neq j$ हो।

• एक शून्य मैट्रिक्स के सभी तत्व शून्य होते हैं।

• $A=[a_ {i j}]=[b_ {i j}]=B$ यदि (i) A और B एक ही क्रम में हों, (ii) $a_{i j}=b_{i j}$ सभी संभावित $i$ और $j$ के मानों के लिए हो।

• $k A=k[a_ {i j}]_ {m \times n}=[k(a_{i j})] _{m \times n}$

• $-A=(-1) A$

• $A-B=A+(-1) B$

• $A+B=B+A$

• $(A+B)+C=A+(B+C)$, जहां $A, B$ और $C$ एक ही क्रम में हों।

• $k(A+B)=k A+k B$, जहां $A$ और $B$ एक ही क्रम में हों, $k$ एक स्थिरांक है।

• $ (k+l) A=k A+l A$, जहां $k$ और $l$ स्थिरांक हैं।

• यदि $A=[a_ {i j}]_ {m \times n}$ और $B=[b_ {j k}]_ {n \times p}$, तो $AB=C=[c_ {i k}]_ {m \times p}$, जहां $c_ {i k}=\sum_ {j=1}^{n} a_ {i j} b_{j k}$

• (i) $A(BC)=(AB) C$, (ii) $A(B+C)=AB+AC$, (iii) $(A+B) C=AC+BC$

• यदि $A=[a_ {i j}]_ {m \times n}$, तो $A^{\prime}$ या $A^{T}=[a_ {j i}]_ {n \times m}$

• (i) $(A^{\prime})^{\prime}=A$, (ii) $(k A)^{\prime}=k A^{\prime}$, (iii) $(A+B)^{\prime}=A^{\prime}+B^{\prime}$, (iv) $(AB)^{\prime}=B^{\prime} A^{\prime}$

• $A$ सममिति आव्यूह होता है यदि $A^{\prime}=A$।

• $A$ एक विरोधाभासी सममिति आव्यूह होता है यदि $A^{\prime}=-A$।

• कोई भी वर्ग आव्यूह एक सममिति आव्यूह और एक विरोधाभासी सममिति आव्यूह के योग के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है।

• यदि $A$ और $B$ दो वर्ग आव्यूह हैं जैसे कि $AB=BA=I$, तो $B$ $A$ के प्रतिलोम आव्यूह होता है और $A^{-1}$ के रूप में नोट किया जाता है और $A$ $B$ के प्रतिलोम होता है।

• एक वर्ग आव्यूह के प्रतिलोम, यदि वह मौजूद हो, अद्वितीय होता है।