सभी गणितीय सत्य अपेक्षाकृत और स्थितिगत होते हैं - C.P. STEINMETZ

4.1 परिचय

पिछले अध्याय में, हमने आव्यूह और आव्यूह के बीजगणित के बारे में अध्ययन किया है। हमने यह भी सीखा है कि एक बीजगणितीय समीकरण के तंत्र को आव्यूह के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इसका अर्थ है, एक रैखिक समीकरण के तंत्र जैसे

$ \begin{aligned} & a _{1} x+b _{1} y=c _{1} \\ & a _{2} x+b _{2} y=c _{2} \end{aligned} $

को इस रूप में व्यक्त किया जा सकता है $\begin{bmatrix}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}c_1 \\ c_2\end{bmatrix}$. अब, इस समीकरण तंत्र के एक अद्वितीय हल के अस्तित्व का निर्धारण करने वाली संख्या $a_1 b_2-a_2 b_1$ है। (याद रखें कि यदि $\dfrac{a_1}{a_2} \neq \dfrac{b_1}{b_2}$ या, $a_1 b_2-a_2 b_1 \neq 0$, तो रैखिक समीकरण के तंत्र के एक अद्वितीय हल होता है)। समीकरण तंत्र के अद्वितीय हल के निर्धारण करने वाली संख्या $a_1 b_2-a_2 b_1$ आव्यूह $A=\begin{vmatrix}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2\end{vmatrix}$ के साथ संबंधित है और इसे आव्यूह A का निश्चायक या det A कहते हैं। निश्चायक इंजीनियरिंग, विज्ञान, अर्थशास्त्र, सामाजिक विज्ञान आदि में व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं।

इस अध्याय में, हम तीन तक के निश्चायक के अध्ययन करेंगे, जिनमें वास्तविक प्रविष्टियाँ होंगी। हम निश्चायक के विभिन्न गुणों, उपांग, सहखण्ड और निश्चायक के उपयोग के बारे में अध्ययन करेंगे, जिसके द्वारा एक त्रिकोण के क्षेत्रफल की गणना की जा सकती है, एक वर्ग आव्यूह के अनुबंध और व्युत्क्रम की गणना की जा सकती है, रैखिक समीकरण तंत्र के संगत और असंगत होने के बारे में अध्ययन करेंगे और दो या तीन चर वाले रैखिक समीकरण तंत्र के हल के लिए आव्यूह के व्युत्क्रम का उपयोग करेंगे।

4.2 निश्चायक

हर वर्ग आव्यूह $A=[a _{i j}]$ के क्रम $n$ के लिए, हम एक संख्या (वास्तविक या काल्पनिक) के साथ संबंधित हो सकते हैं, जिसे वर्ग आव्यूह A का निश्चायक कहते हैं, जहाँ $a _{i j}=(i, j)^{\text{th }}$ आव्यूह A का तत्व है।

यह एक फ़ंक्शन के रूप में सोचा जा सकता है जो प्रत्येक वर्ग आव्यूह को एक अद्वितीय संख्या (वास्तविक या समिश्र) से संबंधित करता है। यदि $M$ वर्ग आव्यूहों के समुच्चय है, $K$ वास्तविक या समिश्र संख्याओं के समुच्चय है और $f: M \to K$ इस प्रकार परिभाषित है कि $f(A)=k$, जहाँ $A \in M$ और $k \in K$, तो $f(A)$ को $A$ के निर्णयक कहा जाता है। इसे भी $|A|$ या $det A$ या $\Delta$ द्वारा नोट किया जाता है।

यदि $A=\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$, तो $A$ के निर्णयक को $|A|=\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=det(A)$ के रूप में लिखा जाता है।

टिप्पणियाँ

(i) आव्यूह $A$ के लिए, $|A|$ को $A$ के निर्णयक के रूप में पढ़ा जाता है और नहीं $A$ के मापांक के रूप में।

(ii) केवल वर्ग आव्यूहों के निर्णयक होते हैं।

4.2.1 एक आव्यूह के निर्णयक जो एक के क्रम का हो

मान लीजिए $A=[a]$ एक के क्रम का आव्यूह है, तो $A$ के निर्णयक को $a$ के बराबर परिभाषित किया जाता है।

4.2.2 दो क्रम के आव्यूह के निर्णयक

$\text{मान लीजिए}\qquad A=\begin{bmatrix} a _{11} & a _{12} \\ a _{21} & a _{22} \end{bmatrix} \text{ एक } 2 \times 2 \text{ क्रम का आव्यूह है}, $

तो $A$ के निर्णयक को निम्नलिखित रूप में परिभाषित किया जाता है:

$ det(A)=|A|=\Delta=\begin{vmatrix} a _{11} & & a _{12} \\ a _{21} & & a _{22} \end{vmatrix}=a _{11} a _{22}-a _{21} a _{12} $

उदाहरण 1 $\begin{vmatrix}2 & 4 \\ -1 & 2\end{vmatrix}$ का मूल्यांकन करें।

हल हमें $\begin{vmatrix}2 & 4 \\ -1 & 2\end{vmatrix}=2(2)-4(-1)=4+4=8$ मिलता है।

उदाहरण 2 $\begin{vmatrix}x & x+1 \\ x-1 & x\end{vmatrix}$ का मूल्यांकन करें।

हल हमें

$ \begin{vmatrix} x & x+1 \\ x-1 & x \end{vmatrix}=x(x)-(x+1)(x-1)=x^{2}-(x^{2}-1)=x^{2}-x^{2}+1=1 $

4.2.3 तीन गुना तीन के आव्यूह के निर्णयक

तीन क्रम के आव्यूह के निर्णयक को द्वितीय क्रम के निर्णयकों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है। इसे एक निर्णयक के पंक्ति (या स्तंभ) के अनुसार विस्तार के रूप में जाना जाता है। तीन क्रम के निर्णयक के विस्तार के छह तरीके होते हैं जो तीन पंक्तियों $(R_1, R_2$ और $R_3)$ और तीन स्तंभों $(C_1, C_2$ और $C_3)$ के प्रत्येक के संगत होते हैं और नीचे दिखाए गए तरीके से समान मूल्य देते हैं।

निर्णयक के वर्ग आव्यूह $A=[a _{i j}] _{3 \times 3}$ के लिए विचार करें।

$\text{i.e.,}\qquad |A|=\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} & a _{13} \\ a _{21} & a _{22} & a _{23} \\ a _{31} & a _{32} & a _{33} \end{vmatrix} $

पहली पंक्ति $(\mathbf{R} _1)$ के अनुसार विस्तार

चरण 1 पहले तत्व $ a _ {11}$ को $\mathbf{R} _ {1}$ के साथ $(-1)^{(1+1)}[(-1)^{\text{प्रतीक विचारण के योग } a _ {11}}]$ गुणा करें और $|A|$ के पहली पंक्ति $(R_1)$ और पहले स्तंभ $(C _ {1})$ के तत्वों को हटाकर प्राप्त द्वितीय कोटि के सारणिक के साथ $a _ {11}$ के रूप में जो $ R _ {1} $ और $ C _ {1} $ में है, विस्तार करें,

$\text{i.e.,}\qquad (-1)^{1+1} a _{11}\left|\begin{array}{ll} a _{22} & a _{23} \\ a _{32} & a _{33} \end{array}\right| $

चरण 2 $R_1$ के दूसरे तत्व $a _{12}$ को $(-1)^{1+2}[(-1)^{\text{प्रतीक विचारण के योग } a _{12}}]$ गुणा करें और $|A|$ के पहली पंक्ति $(R_1)$ और दूसरे स्तंभ $(C_2)$ के तत्वों को हटाकर प्राप्त द्वितीय कोटि के सारणिक के साथ $a _{12}$ के रूप में जो $R_1$ और $C_2$ में है, विस्तार करें,

i.e., $\quad(-1)^{1+2} a _{12}\begin{vmatrix}a _{21} & a _{23} \\ a _{31} & a _{33}\end{vmatrix}$

चरण 3 $R_1$ के तीसरे तत्व $a _{13}$ को $(-1)^{1+3}[(-1)^{\text{प्रतीक विचारण के योग } a _{13}}]$ गुणा करें और $|A|$ के पहली पंक्ति $(R_1)$ और तीसरे स्तंभ $(C_3)$ के तत्वों को हटाकर प्राप्त द्वितीय कोटि के सारणिक के साथ $a _{13}$ के रूप में जो $R_1$ और $C_3$ में है, विस्तार करें,

i.e., $\quad(-1)^{1+3} a _{13}\begin{vmatrix}a _{21} & a _{22} \\ a _{31} & a _{32}\end{vmatrix}$

चरण 4 अब निर्णय के विस्तार के रूप में, अर्थात् $|A|$ को ऊपर के चरण 1, 2 और 3 में प्राप्त तीन शब्दों के योग के रूप में लिखा गया है

$ \begin{aligned} & \operatorname{det} \mathrm{A}=|\mathrm{A}|=(-1)^{1+1} a _{11}\left|\begin{array}{ll} a _{22} & a _{23} \\ a _{32} & a _{33} \end{array}\right|+(-1)^{1+2} \quad a _{12}\left|\begin{array}{ll} a _{21} & a _{23} \\ a _{31} & a _{33} \end{array}\right| +(-1)^{1+3} a _{13}\left|\begin{array}{ll} a _{21} & a _{22} \\ a _{31} & a _{32} \end{array}\right| \end{aligned} $

$ \begin{aligned} \text{or} \quad |\mathrm{A}|= & a _{11}\left(a _{22} a _{33}-a _{32} a _{23}\right)-a _{12}\left(a _{21} a _{33}-a _{31} a _{23}\right) +a _{13}\left(a _{21} a _{32}-a _{31} a _{22}\right) \\

= & a _{11} a _{22} a _{33}-a _{11} a _{32} a _{23}-a _{12} a _{21} a _{33}+a _{12} a _{31} a _{23}+a _{13} a _{21} a _{32} -a _{13} a _{31} a _{22}\hspace{3cm}\text{…(1)} \end{aligned} $

ध्यान दें हम सभी चार चरणों को एक साथ लागू करेंगे।

दूसरे पंक्ति के अनुदिश विस्तार $(\mathbf{R} _2)$

$ |A|=\begin{vmatrix} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} \\ a_ {21} & a_ {22} & a_ {23} \\ a_ {31} & a_ {32} & a_ {33} \end{vmatrix} $

$R_2$ के अनुदिश विस्तार करने पर, हमें प्राप्त होता है

$ \begin{aligned} |A|= & (-1)^{2+1} a _{21}\begin{vmatrix} a _{12} & a _{13} \\ a _{32} & a _{33} \end{vmatrix}+(-1)^{2+2} a _{22}\begin{vmatrix} a _{11} & a _{13} \\ a _{31} & a _{33} \end{vmatrix} +(-1)^{2+3} a _{23}\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} \\ a _{31} & a _{32} \end{vmatrix} \\ = & -a _{21}(a _{12} a _{33}-a _{32} a _{13})+a _{22}(a _{11} a _{33}-a _{31} a _{13}) -a _{23}(a _{11} a _{32}-a _{31} a _{12}) \\ |A|= & -a _{21} a _{12} a _{33}+a _{21} a _{32} a _{13}+a _{22} a _{11} a _{33}-a _{22} a _{31} a _{13}-a _{23} a _{11} a _{32} +a _{23} a _{31} a _{12} \\ = & a _{11} a _{22} a _{33}-a _{11} a _{23} a _{32}-a _{12} a _{21} a _{33}+a _{12} a _{23} a _{31}+a _{13} a _{21} a _{32} -a _{13} a _{31} a _{22}\hspace{3.5cm}\text{…(2)} \end{aligned} $

पहले स्तंभ के अनुदिश विस्तार $(C_1)$

$ |A|=\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} & a _{13} \\ a _{21} & a _{22} & a _{23} \\ a _{31} & a _{32} & a _{33} \end{vmatrix} $

$C_1$ के अनुदिश विस्तार करने पर, हमें प्राप्त होता है

$ \begin{aligned} |A|= & a _{11}(-1)^{1+1}\begin{vmatrix} a _{22} & a _{23} \\ a _{32} & a _{33} \end{vmatrix}+a _{21}(-1)^{2+1}\begin{vmatrix} a _{12} & a _{13} \\ a _{32} & a _{33} \end{vmatrix} +a _{31}(-1)^{3+1}\begin{vmatrix} a _{12} & a _{13} \\ a _{22} & a _{23} \end{vmatrix} \\ = & a _{11}(a _{22} a _{33}-a _{23} a _{32})-a _{21}(a _{12} a _{33}-a _{13} a _{32})+a _{31}(a _{12} a _{23}-a _{13} a _{22})

\end{aligned} $ $ \begin{aligned} |A|= & a _{11} a _{22} a _{33}-a _{11} a _{23} a _{32}-a _{21} a _{12} a _{33}+a _{21} a _{13} a _{32}+a _{31} a _{12} a _{23} -a _{31} a _{13} a _{22} \\ = & a _{11} a _{22} a _{33}-a _{11} a _{23} a _{32}-a _{12} a _{21} a _{33}+a _{12} a _{23} a _{31}+a _{13} a _{21} a _{32} -a _{13} a _{31} a _{22}\hspace{3.5cm}\text{…(3)} \end{aligned} $

स्पष्ट रूप से, (1), (2) और (3) में $|A|$ के मान बराबर हैं। पाठक को अपने आप जांच करना होगा कि $R_3, C_2$ और $C_3$ के अनुदिश विस्तार करके प्राप्त $|A|$ के मान (1), (2) या (3) में प्राप्त मान के बराबर हैं।

इसलिए, किसी भी पंक्ति या स्तम्भ के अनुदिश निश्चितांक के विस्तार से प्राप्त मान समान होता है।

टिप्पणियाँ

(i) सुगम गणना के लिए, हम उस पंक्ति या स्तम्भ के अनुदिश निश्चितांक के विस्तार करेंगे जिसमें अधिकतम शून्य तत्व हों।

(ii) विस्तार के समय, $(-1)^{i+j}$ के बजाय हम +1 या -1 के अनुसार $(i+j)$ के सम या विषम होने पर गुणा कर सकते हैं।

(iii) मान लीजिए $A=\begin{bmatrix}2 & 2 \\ 4 & 0\end{bmatrix}$ और $B=\begin{bmatrix}1 & 1 \\ 2 & 0\end{bmatrix}$. तब, आसानी से जांच कर सकते हैं कि $A=2 B$ है। इसके अलावा $|A|=0-8=-8$ और $|B|=0-2=-2$ है।

ध्यान दें कि, $|A|=4(-2)=2^{2}|B|$ या $|A|=2^{n}|B|$, जहाँ $n=2$ वर्ग आव्यूह $A$ और $B$ का क्रम है।

सामान्य रूप से, यदि $A=k B$ है जहाँ $A$ और $B$ क्रम $n$ के वर्ग आव्यूह हैं, तो $|A|=k^{n}$ $|B|$, जहाँ $n=1,2,3$ है।

उदाहरण 3 निश्चितांक $\Delta=\begin{vmatrix}1 & 2 & 4 \\ -1 & 3 & 0 \\ 4 & 1 & 0\end{vmatrix}$ का मान ज्ञात कीजिए।

हल ध्यान दें कि तीसरे स्तम्भ में दो प्रविष्टियाँ शून्य हैं। इसलिए तीसरे स्तम्भ $(C_3)$ के अनुदिश विस्तार करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} \Delta & =4\begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 4 & 1 \end{vmatrix}-0\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 1 \end{vmatrix}+0\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} \\ & =4(-1-12)-0+0=-52 \end{aligned} $

उदाहरण 4 निश्चितांक $\Delta=\begin{vmatrix}0 & \sin \alpha & -\cos \alpha \\ -\sin \alpha & 0 & \sin \beta \\ \cos \alpha & -\sin \beta & 0\end{vmatrix}$ का मान ज्ञात कीजिए।

हल $R_1$ के अनुदिश विस्तार करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} \Delta & =0\begin{vmatrix} 0 & \sin \beta \\ -\sin \beta & 0 \end{vmatrix}-\sin \alpha\begin{vmatrix} -\sin \alpha & \sin \beta \\ \cos \alpha & 0 \end{vmatrix}-\cos \alpha\begin{vmatrix} -\sin \alpha & 0 \\ \cos \alpha & -\sin \beta \end{vmatrix} \\ & =0-\sin \alpha(0-\sin \beta \cos \alpha)-\cos \alpha(\sin \alpha \sin \beta-0) \\ & =\sin \alpha \sin \beta \cos \alpha-\cos \alpha \sin \alpha \sin \beta=0 \end{aligned} $

उदाहरण 5 $x$ के मान ज्ञात कीजिए जिनके लिए $\begin{vmatrix}3 & x \\ x & 1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}3 & 2 \\ 4 & 1\end{vmatrix}$ हो।

हल हमें $\begin{vmatrix}3 & x \\ x & 1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}3 & 2 \\ 4 & 1\end{vmatrix}$ दिया गया है

अर्थात $\qquad 3-x^{2}=3-8$

$\text{अर्थात}\qquad \begin{aligned} x^{2} & =8 \\ \end{aligned} $

इसलिए $\qquad\ x= \pm 2 \sqrt{2}$

4.3 त्रिभुज का क्षेत्रफल

पिछली कक्षाओं में हमने अध्ययन किया है कि जिनके शीर्ष $(x_1, y_1),(x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ हैं त्रिभुज का क्षेत्रफल व्यक्ति करने वाले समीकरण $\dfrac{1}{2}[x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)]$ द्वारा दिया गया है। अब इस व्यंजक को निम्नलिखित रूप में एक निर्धारक के रूप में लिखा जा सकता है

$ \Delta=\dfrac{1}{2}\left|\begin{array}{lll} x _{1} & y _{1} & 1 \\ x _{2} & y _{2} & 1 \\ x _{3} & y _{3} & 1 \end{array}\right|\hspace{3cm}\text{…(1)} $

टिप्पणियाँ

(i) क्षेत्रफल एक धनात्मक राशि होती है, इसलिए हमें समीकरण (1) में निर्धारक के अनुसार मान के अंतर्गत धनात्मक मान का उपयोग करना होता है।

(ii) यदि क्षेत्रफल दिया गया है, तो गणना के लिए निर्धारक के धनात्मक और ऋणात्मक मान दोनों का उपयोग करें।

(iii) तीन संरेख बिंदुओं द्वारा बने त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होता है।

उदाहरण 6 शीर्ष $(3,8),(-4,2)$ और $(5,1)$ वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल त्रिभुज का क्षेत्रफल निम्नलिखित द्वारा दिया गया है

$ \begin{aligned} \Delta & =\dfrac{1}{2}\left|\begin{array}{rrr} 3 & 8 & 1 \\ -4 & 2 & 1 \\

5 & 1 & 1 \end{array}\right| \\ & =\dfrac{1}{2}[3(2-1)-8(-4-5)+1(-4-10)] \\ & =\dfrac{1}{2}(3+72-14)=\dfrac{61}{2} \end{aligned} $

उदाहरण 7 निश्चायक के प्रयोग द्वारा बिंदुओं $A(1,3)$ और $B(0,0)$ को मिलाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए तथा $k$ का मान ज्ञात कीजिए यदि $D(k, 0)$ एक ऐसा बिंदु है जिसके लिए त्रिभुज ABD का क्षेत्रफल 3 वर्ग इकाई है।

हल मान लीजिए $P(x, y)$ रेखा $AB$ पर कोई बिंदु है। तब, त्रिभुज ABP का क्षेत्रफल शून्य होता है (क्यों?)। अतः

$ \dfrac{1}{2}\left|\begin{array}{lll} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ x & y & 1 \end{array}\right|=0 $

$\text{इससे प्राप्त होता है}\qquad \dfrac{1}{2}(y-3 x)=0 \text { या } y=3 x $

जो अभीष्ट रेखा $AB$ का समीकरण है।

इसके अतिरिक्त, चूंकि त्रिभुज ABD का क्षेत्रफल 3 वर्ग इकाई है, हमें निम्नलिखित मिलता है

$ \dfrac{1}{2}\begin{vmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ k & 0 & 1 \end{vmatrix}= \pm 3 $

इससे, $\dfrac{-3 k}{2}= \pm 3$, अर्थात $k=\mp 2$।

4.4 छोटे आव्यूह और सहखण्ड

इस अनुच्छेद में, हम निश्चायक के विस्तार को छोटे आव्यूह और सहखण्ड के प्रयोग द्वारा संक्षिप्त रूप में लिखना सीखेंगे।

परिभाषा 1 निश्चायक के एक तत्व $a _{i j}$ का छोटा आव्यूह उस निश्चायक के आव्यूह से बना निश्चायक है जिसमें तत्व $a _{i j}$ के स्थान पर $i$ वां पंक्ति और $j$ वां स्तम्भ हटा दिए गए हैं। एक तत्व $a _{i j}$ का छोटा आव्यूह $M _{i j}$ से निरूपित किया जाता है।

टिप्पणी एक निश्चायक के एक तत्व का छोटा आव्यूह जिसकी कोटि $n(n \geq 2)$ है, एक निश्चायक है जिसकी कोटि $n-1$ है।

उदाहरण 8 निश्चायक $\Delta=\begin{vmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{vmatrix}$ में तत्व 6 का छोटा आव्यूह ज्ञात कीजिए।

हल चूंकि 6 दूसरी पंक्ति और तीसरे स्तम्भ में है, इसका छोटा आव्यूह $M _{23}$ निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

$ M _{23}=\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 7 & 8 \end{vmatrix}=8-14=-6 \text{ (जो } \Delta \text{ में } R_2 \text{ और } C_3 \text{ हटाकर प्राप्त किया जाता है) } $

परिभाषा 2 एक तत्व $a _{i j}$ का सहखण्ड $A _{i j}$ निम्नलिखित द्वारा परिभाषित किया जाता है

$ A _{i j}=(-1)^{i+j} M _{i j} \text{, जहां } M _{i j} \text{ तत्व } a _{i j} \text{ का छोटा आव्यूह है } \text{। }

$

उदाहरण 9 निश्चायक $\begin{vmatrix}1 & -2 \\ 4 & 3\end{vmatrix}$ के सभी तत्वों के माइनर और सहखण्ड ज्ञात कीजिए।

हल तत्व $a _{i j}$ का माइनर $M _{i j}$ होता है

यहाँ $a _{11}=1$. इसलिए $M _{11}=$ माइनर $a _{11}=3$

$ \begin{aligned} & \mathrm{M} _{12}=\text { तत्व } a _{12} \text{ का माइनर } =4 \\ & \mathrm{M} _{21}=\text { तत्व } a _{21} \text{ का माइनर } =-2 \\ & \mathrm{M} _{22}=\text { तत्व } a _{22} \text{ का माइनर } =1 \end{aligned} $

अब, $a _{i j}$ का सहखण्ड $A _{i j}$ होता है। इसलिए

$ \begin{aligned} & A _{11}=(-1)^{1+1} \quad M _{11}=(-1)^{2}(3)=3 \\ & A _{12}=(-1)^{1+2} \quad M _{12}=(-1)^{3}(4)=-4 \\ & A _{21}=(-1)^{2+1} \quad M _{21}=(-1)^{3}(-2)=2 \\ & A _{22}=(-1)^{2+2} \quad M _{22}=(-1)^{4}(1)=1 \end{aligned} $

उदाहरण 10 निश्चायक $ \Delta=\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} & a _{13} \\ a _{21} & a _{22} & a _{23} \\ a _{31} & a _{32} & a _{33} \end{vmatrix} $ के तत्व $a _{11}, a _{21}$ के माइनर और सहखण्ड ज्ञात कीजिए।

हल माइनर और सहखण्ड के परिभाषा के अनुसार, हम निम्नलिखित प्राप्त करते हैं:

तत्व $a _{11}$ का माइनर $M _{11}=\begin{vmatrix}a _{22} & a _{23} \\ a _{32} & a _{33}\end{vmatrix}=a _{22} a _{33}-a _{23} a _{32}$
तत्व $a _{11}$ का सहखण्ड $A _{11}=(-1)^{1+1} \quad M _{11}=a _{22} a _{33}-a _{23} a _{32}$
तत्व $a _{21}$ का माइनर $M _{21}=\begin{vmatrix}a _{12} & a _{13} \\ a _{32} & a _{33}\end{vmatrix}=a _{12} a _{33}-a _{13} a _{32}$
तत्व $a _{21}$ का सहखण्ड $A _{21}=(-1)^{2+1} \quad M _{21}=(-1)(a _{12} a _{33}-a _{13} a _{32})=-a _{12} a _{33}+a _{13} a _{32}$

टिप्पणी उदाहरण 21 में निश्चायक $\Delta$ को $R_1$ के अनुसार विस्तारित करने पर, हम निम्नलिखित प्राप्त करते हैं:

$ \begin{aligned} \Delta & =(-1)^{1+1} a _{11}\begin{vmatrix} a _{22} & a _{23} \\ a _{32} & a _{33} \end{vmatrix}+(-1)^{1+2} a _{12}\begin{vmatrix} a _{21} & a _{23} \\ a _{31} & a _{33} \end{vmatrix}+(-1)^{1+3} a _{13}\begin{vmatrix}

a _{21} & a _{22} \\ a _{31} & a _{32} \end{vmatrix} \\ & =a _{11} A _{11}+a _{12} A _{12}+a _{13} A _{13} \text{, जहाँ } A _{i j} \text{ } a _{i j} \text{ के कोफैक्टर है } \\ & =\text{ } R_1 \text{ के तत्वों के उनके संगत कोफैक्टरों के गुणनफल का योग } \end{aligned} $

उतनी तरह, $\Delta$ को $R_2, R_3$, $C_1, C_2$ और $C_3$ के अनुसार अन्य पांच तरीकों से गणना किया जा सकता है।

इसलिए $\Delta$ = किसी भी पंक्ति (या स्तम्भ) के तत्वों के उनके संगत कोफैक्टरों के गुणनफल का योग है।

नोट यदि किसी पंक्ति (या स्तम्भ) के तत्वों को किसी अन्य पंक्ति (या स्तम्भ) के कोफैक्टरों से गुणा किया जाए, तो उनका योग शून्य होता है। उदाहरण के लिए,

$ \begin{aligned} \Delta & =a _{11} A _{21}+a _{12} A _{22}+a _{13} A _{23} \\ & =a _{11}(-1)^{1+1}\begin{vmatrix} a _{12} & a _{13} \\ a _{32} & a _{33} \end{vmatrix}+a _{12}(-1)^{1+2}\begin{vmatrix} a _{11} & a _{13} \\ a _{31} & a _{33} \end{vmatrix}+a _{13}(-1)^{1+3}\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} \\ a _{31} & a _{32} \end{vmatrix} \\ & =\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} & a _{13} \\ a _{11} & a _{12} & a _{13} \\ a _{31} & a _{32} & a _{33} \end{vmatrix}=0 \text{ क्योंकि } R_1 \text{ और } R_2 \text{ समान है } \end{aligned} $

उतनी तरह, हम अन्य पंक्तियों और स्तम्भों के लिए भी प्रयास कर सकते हैं।

उदाहरण 11 निर्णय के तत्वों के माइनर और कोफैक्टर ज्ञात कीजिए

$ \begin{vmatrix} 2 & -3 & 5 \\ 6 & 0 & 4 \\ 1 & 5 & -7 \end{vmatrix} \text{ और सत्यापित कीजिए कि } a _{11} A _{31}+a _{12} A _{32}+a _{13} A _{33}=0 $

हल हमें $M _{11}=\begin{vmatrix}0 & 4 \\ 5 & -7\end{vmatrix}=0-20=-20 ; A _{11}=(-1)^{1+1}(-20)=-20$

$M _{12}=\begin{vmatrix}6 & 4 \\ 1 & -7\end{vmatrix}=-42-4=-46 ; \quad A _{12}=(-1)^{1+2}(-46)=46$

$M _{13}=\begin{vmatrix}6 & 0 \\ 1 & 5\end{vmatrix}=30-0=30 ; \quad A _{13}=(-1)^{1+3}(30)=30$

$M _{21}=\begin{vmatrix}-3 & 5 \\ 5 & -7\end{vmatrix}=21-25=-4 ; \quad A _{21}=(-1)^{2+1}(-4)=4$

$M _{22}=\begin{vmatrix}2 & 5 \\ 1 & -7\end{vmatrix}=-14-5=-19 ; \quad A _{22}=(-1)^{2+2}(-19)=-19$

$M _{23}=\begin{vmatrix}2 & -3 \\ 1 & 5\end{vmatrix}=10+3=13 ; \quad A _{23}=(-1)^{2+3}(13)=-13$

$M _{31}=\begin{vmatrix}-3 & 5 \\ 0 & 4\end{vmatrix}=-12-0=-12 ; \quad A _{31}=(-1)^{3+1}(-12)=-12$

$M _{32}=\begin{vmatrix}2 & 5 \\ 6 & 4\end{vmatrix}=8-30=-22 ; \quad A _{32}=(-1)^{3+2}(-22)=22$

और $\quad M _{33}=\begin{vmatrix}2 & -3 \\ 6 & 0\end{vmatrix}=0+18=18 ; \quad A _{33}=(-1)^{3+3}(18)=18$

अब $\quad a _{11}=2, a _{12}=-3, a _{13}=5 ; A _{31}=-12, A _{32}=22, A _{33}=18$

इसलिए $\quad a _{11} A _{31}+a _{12} A _{32}+a _{13} A _{33}$

$=2(-12)+(-3)(22)+5(18)=-24-66+90=0$

4.5 आव्यूह के सहसंयोजक एवं व्युत्क्रम

पिछले पाठ में, हमने आव्यूह के व्युत्क्रम के बारे में अध्ययन किया है। इस अनुच्छेद में, हम आव्यूह के व्युत्क्रम के अस्तित्व के लिए शर्त के बारे में चर्चा करेंगे।

आव्यूह $A$ के व्युत्क्रम $A^{-1}$ खोजने के लिए, हम सबसे पहले आव्यूह के सहसंयोजक की परिभाषा देंगे।

4.5.1 आव्यूह का सहसंयोजक

परिभाषा 3 एक वर्ग आव्यूह $A=[a _{i j}] _{n \times n}$ का सहसंयोजक वह आव्यूह है जो $[A _{i j}] _{n \times n}$ के आव्यूह के ट्रांसपोज़ होता है, जहाँ $A _{i j}$ तत्व $a _{i j}$ के सहसंयोजक है। आव्यूह $A$ के सहसंयोजक को adj $A$ से दर्शाया जाता है।

मान लीजिए $ A=\begin{bmatrix} a _{11} & a _{12} & a _{13} \\ a _{21} & a _{22} & a _{23} \\ a _{31} & a _{32} & a _{33} \end{bmatrix} $

तो $\quad adj A=$ $\begin{bmatrix}A _{11} & A _{12} & A _{13} \\ A _{21} & A _{22} & A _{23} \\ A _{31} & A _{32} & A _{33}\end{bmatrix}$ के ट्रांसपोज़ होता है $=\begin{bmatrix}A _{11} & A _{21} & A _{31} \\ A _{12} & A _{22} & A _{32} \\ A _{13} & A _{23} & A _{33}\end{bmatrix}$

उदाहरण 12 $A=\begin{bmatrix}2 & 3 \\ 1 & 4\end{bmatrix}$ के लिए $adj A$ ज्ञात कीजिए।

हल हम जानते हैं $A _{11}=4, A _{12}=-1, A _{21}=-3, A _{22}=2$

इसलिए $ adj A=\begin{bmatrix} A _{11} & A _{21} \\ A _{12} & A _{22} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 4 & -3 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} $

टिप्पणी एक वर्ग आव्यूह के लिए, जो इस प्रकार है

$ A=\begin{bmatrix} a _{11} & a _{12} \\ a _{21} & a _{22} \end{bmatrix} $

$A$ के $a d j$ को भी $a _{11}$ और $a _{22}$ को आपस में बदलकर और $a _{12}$ और $a _{21}$ के चिन्ह बदलकर प्राप्त किया जा सकता है, अर्थात,

$\quad$ संकेत बदल $\qquad$ आपस में बदल

हम निम्नलिखित प्रमेय के बिना सिद्धता के रूप में देते हैं।

प्रमेय 1 यदि $A$ कोई भी दिया गया $n$ कोटि का वर्ग आव्यूह हो, तो

$$ A(adj A)=(adj A) A=|A| I, $$

जहाँ $I$ $n$ कोटि का तत्सम आव्यूह है

सत्यापन

मान लीजिए $\quad A=\begin{bmatrix}a _{11} & a _{12} & a _{13} \\ a _{21} & a _{22} & a _{23} \\ a _{31} & a _{32} & a _{33}\end{bmatrix}$, तो $adj A=\begin{bmatrix}A _{11} & A _{21} & A _{31} \\ A _{12} & A _{22} & A _{32} \\ A _{13} & A _{23} & A _{33}\end{bmatrix}$

क्योंकि किसी पंक्ति (या स्तम्भ) के तत्वों के उसके संगत सहखण्डों के गुणनफल का योग $|A|$ के बराबर होता है और अन्यथा शून्य होता है, हम निम्नलिखित प्राप्त करते हैं

$$ A(adj A)=\begin{bmatrix} |A| & 0 & 0 \\ 0 & |A| & 0 \\ 0 & 0 & |A| \end{bmatrix}=|A\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}=|A| I $$

इसी तरह, हम दिखा सकते हैं $(adj A) A=|A| I$

अतः $ A(adj A)=(adj A) A=|A| I$

परिभाषा 4 एक वर्ग आव्यूह $A$ को सिंगुलर कहा जाता है यदि $|A|=0$।

उदाहरण के लिए, आव्यूह $A=\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 4 & 8\end{bmatrix}$ के निर्णयक शून्य है

अतः $A$ एक सिंगुलर आव्यूह है।

परिभाषा 5 एक वर्ग आव्यूह $A$ को गैर-सिंगुलर कहा जाता है यदि $|A| \neq 0$

मान लीजिए $ A=\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix}$ तब $|A|=\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix}=4-6=-2 \neq 0 $

अतः $\mathrm{A}$ एक गैर-सिंगुलर आव्यूह है

हम निम्नलिखित प्रमेयों के बिना सिद्धता के रूप में देते हैं।

प्रमेय 2 यदि $A$ और $B$ एक ही कोटि के गैर-सिंगुलर आव्यूह हों, तो $AB$ और $BA$ भी एक ही कोटि के गैर-सिंगुलर आव्यूह होते हैं।

प्रमेय 3 आव्यूहों के गुणन के निर्णयक के बराबर उनके निर्णयक के गुणनफल होता है, अर्थात, $|AB|=|A||B|$, जहाँ $A$ और $B$ एक ही कोटि के वर्ग आव्यूह हों

टिप्पणी हम जानते हैं कि $ (\operatorname{adj} \mathrm{A}) \mathrm{A}=|\mathrm{A}| \mathrm{I} = \begin{bmatrix}|A| & 0 & 0 \\ 0 & |A| & 0 \\ 0 & 0 & |A|\end{bmatrix}$ ,$|A| \neq 0$

दोनों ओर के आव्यूहों के निर्णयक लिखने पर हम निम्नलिखित प्राप्त करते हैं

$ |(\operatorname{adj} \mathrm{A}) \mathrm{A}|=\begin{vmatrix} |A| & 0 & 0 \\ 0 & |A| & 0 \\ 0 & 0 & |A| \end{vmatrix} $

$ \text{i.e.,} \quad |(adj A)||A|=|A|^{3}\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \hspace{3cm}\text{(क्यों?)} $

$ \text{i.e.,} \quad |(\operatorname{adj} \mathrm{A})|| \mathrm{A}|=|A|^{3} (1) $

$ \text{i.e.,} \quad |(\operatorname{adj} \mathrm{A})|=|\mathrm{A}|^{2} $

सामान्य रूप से, यदि $A$ एक कोटि $n$ के वर्ग आव्यूह है, तो $|adj(A)|=|A|^{n-1}$।

प्रमेय 4 एक वर्ग आव्यूह $A$ उल्टा (invertible) होता है यदि और केवल यदि $A$ एक असिंगुलर (nonsingular) आव्यूह हो।

उपपत्ति मान लीजिए कि $A$ एक कोटि $n$ के उल्टा आव्यूह है और $I$ कोटि $n$ का एकइटी (identity) आव्यूह है।

तब, एक वर्ग आव्यूह $B$ की विद्यता होती है जो कोटि $n$ के हो जिसके लिए $AB=BA=I$

$ \text{अब} \quad AB=I \text{। इसलिए }|AB|=|I| \text{ या }|A||B|=1 \quad \text{ (क्योंकि }|I|=1,|AB|=|A||B| \text{ ) } $

इससे हमें $\quad|A| \neq 0$ प्राप्त होता है। अतः $A$ असिंगुलर है।

विलोम रूप से, मान लीजिए कि $A$ असिंगुलर है। तब $|A| \neq 0$

अब $\qquad A(adj A)=(adj A) A=|A| I$

$ \text{या} \quad A\left(\dfrac{1}{|A|} adj A)=(\dfrac{1}{|A|} adj A\right) A=I \hspace{3cm}\text{(प्रमेय 1)} $

या $\qquad AB=BA=I \text{, जहाँ } B=\dfrac{1}{|A|} adj A$

अतः $\qquad A$ उल्टा है और $A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}$ adj $A$

उदाहरण 13 यदि $A=\begin{bmatrix}1 & 3 & 3 \\ 1 & 4 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \end{bmatrix}$, तो सत्यापित कीजिए कि $A adj A=|A| I$। भी $A^{-1}$ ज्ञात कीजिए।

हल हमें $|A|=1(16-9)-3(4-3)+3(3-4)=1 \neq 0$

अब $A _{11}=7, A _{12}=-1, A _{13}=-1, A _{21}=-3, A _{22}=1, A _{23}=0, A _{31}=-3, A _{32}=0$, $A _{33}=1$

$\text{ अतः } \quad adj A=\begin{bmatrix} 7 & -3 & -3 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix} $

$\text{ अब } \quad A(adj A) =\begin{bmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 1 & 4 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 7 & -3 & -3 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix} $

$ =\begin{bmatrix} 7-3-3 & -3+3+0 & -3+0+3 \\ 7-4-3 & -3+4+0 & -3+0+3 \\ 7-3-4 & -3+3+0 & -3+0+4

\end{bmatrix} \\ $

$ =\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}=(1)\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}=|A| . I \\ $

$

\text{भी} \qquad A^{-1}=\dfrac{1}{|A|} \text{ adj } A =\dfrac{1}{1}\begin{bmatrix} 7 & -3 & -3 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 7 & -3 & -3 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix} $

उदाहरण 14 यदि $A=\begin{bmatrix}2 & 3 \\ 1 & -4\end{bmatrix}$ और $B=\begin{bmatrix}1 & -2 \\ -1 & 3\end{bmatrix}$, तो सत्यापित करें कि $(AB)^{-1}=B^{-1} A^{-1}$ है।

हल हमें $A B=\begin{bmatrix}2 & 3 \\ 1 & -4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & -2 \\ -1 & 3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1 & 5 \\ 5 & -14\end{bmatrix}$ मिलता है

क्योंकि, $|AB|=-11 \neq 0,(AB)^{-1}$ अस्तित्व में है और निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

$ (AB)^{-1}=\dfrac{1}{|AB|} adj(AB)=-\dfrac{1}{11}\begin{bmatrix} -14 & -5 \\ -5 & -1 \end{bmatrix}=\dfrac{1}{11}\begin{bmatrix} 14 & 5 \\ 5 & 1 \end{bmatrix} $

अतिरिक्त रूप से, $|A|=-11 \neq 0$ और $|B|=1 \neq 0$. अतः, $A^{-1}$ और $B^{-1}$ दोनों अस्तित्व में हैं और निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

$ A^{-1}=-\dfrac{1}{11} \begin{vmatrix} -4 & -3 \\ -1 & 2 \end{vmatrix}, B^{-1}=\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} $

$ \text{अतः} \quad \mathrm{B}^{-1} \mathrm{~A}^{-1}=-\dfrac{1}{11}\left|\begin{array}{ll} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{array}\right|\left|\begin{array}{cc} -4 & -3 \\ -1 & 2 \end{array}\right|=-\dfrac{1}{11}\left|\begin{array}{cc} -14 & -5 \\ -5 & -1 \end{array}\right|=\dfrac{1}{11}\left|\begin{array}{cc} 14 & 5 \\ 5 & 1 \end{array}\right| $

अतः $\qquad (AB)^{-1}=B^{-1} A^{-1}$

उदाहरण 15 दिखाएं कि आव्यूह $A=\begin{bmatrix}2 & 3 \\ 1 & 2\end{bmatrix}$ समीकरण $A^{2}-4 A+I=O$ को संतुष्ट करता है, जहाँ $I$ 2 × 2 तत्समक आव्यूह है और $O$ 2 × 2 शून्य आव्यूह है। इस समीकरण का उपयोग करके $A^{-1}$ ज्ञात करें।

हल हमें $A^{2}=A . A=\begin{bmatrix}2 & 3 \\ 1 & 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2 & 3 \\ 1 & 2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}7 & 12 \\ 4 & 7\end{bmatrix}$ मिलता है

अतः $ A^{2}-4 A+I=\begin{bmatrix}

7 & 12 \\ 4 & 7 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 8 & 12 \\ 4 & 8 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}=O $

अब $\qquad A^{2}-4 A+I=O$

इसलिए $\qquad A A-4 A=-I$

या $\qquad A(A^{-1})-4 AA^{-1}=-IA^{-1}$ (क्योंकि $|A| \neq 0$ के बाद $A^{-1}$ से गुणा कर रहे हैं )

या $\qquad A(A A^{-1})-4 I=-A^{-1}$

या $\qquad AI-4 I=-A^{-1}$

या $\qquad A^{-1}=4 I-A=\begin{bmatrix}4 & 0 \\ 0 & 4\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}2 & 3 \\ 1 & 2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2 & -3 \\ -1 & 2\end{bmatrix}$

$\text{ इसलिए }\qquad A^{-1}=\begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} $

4.6 सारणिक और आव्यूह के अनुप्रयोग

इस अनुच्छेद में, हम दो या तीन चर वाले रैखिक समीकरणों के तंत्र को हल करने और रैखिक समीकरणों के तंत्र के संगतता की जांच के लिए सारणिक और आव्यूह के अनुप्रयोग के बारे में चर्चा करेंगे।

संगत तंत्र एक समीकरण तंत्र को संगत कहा जाता है यदि इसका कम से कम एक हल उपलब्ध हो।

असंगत तंत्र एक समीकरण तंत्र को असंगत कहा जाता है यदि इसका कोई हल नहीं हो।

नोट इस कैप्चर में, हम केवल अद्वितीय हल वाले रैखिक समीकरण तंत्र के बारे में सीमित हैं।

4.6.1 आव्यूह के व्युत्क्रम का उपयोग करके रैखिक समीकरण तंत्र के हल

हम रैखिक समीकरण तंत्र को आव्यूह समीकरणों के रूप में व्यक्त करेंगे और गुणक आव्यूह के व्युत्क्रम का उपयोग करके उन्हें हल करेंगे। विचार करें निम्नलिखित समीकरण तंत्र:

$ \begin{aligned} & a_1 x+b_1 y+c_1 z=d_1 \\ & a_2 x+b_2 y+c_2 z=d_2 \\ & a_3 x+b_3 y+c_3 z=d_3 \end{aligned} $

मान लीजिए $\mathrm{A}=\begin{bmatrix}a _{1} & b _{1} & c _{1} \\ a _{2} & b _{2} & c _{2} \\ a _{3} & b _{3} & c _{3}\end{bmatrix}, \mathrm{X}=\begin{bmatrix}x \\ y \\ z\end{bmatrix}$ और $\mathrm{B}=\begin{bmatrix}d _{1} \\ d _{2} \\ d _{3}\end{bmatrix}$

तब, समीकरण तंत्र को लिखा जा सकता है, $AX=B$, अर्थात,

$ \begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} d_1 \\ d_2 \\ d_3 \end{bmatrix} $

केस I यदि $A$ एक असंगत आव्यूह है, तो इसका व्युत्क्रम अस्तित्व में होता है। अब

$ A X=B $

$ \text{ या } \qquad \mathrm{A}^{-1}(\mathrm{AX}) =\mathrm{A}^{-1} \mathrm{~B} \qquad \text{(} A^{-1} \text{ से प्रतिचित्रण)} $

$ \text{ या }\qquad \left(\mathrm{~A}^{-1} \mathrm{~A}\right) \mathrm{X} =\mathrm{A}^{-1} \mathrm{~B} \quad \text{(संक्रमण गुणधर्म द्वारा)} $

$ \text{ या }\qquad \mathrm{IX} =\mathrm{A}^{-1} \mathrm{~B} $

$ \text{ या } \qquad \mathrm{X} =\mathrm{A}^{-1} \mathrm{~B} $

इस आव्यूह समीकरण द्वारा दिए गए समीकरण निकाय के लिए अद्वितीय हल प्रदान किया जाता है क्योंकि आव्यूह का व्युत्क्रम अद्वितीय होता है। इस प्रकार समीकरण निकाय को हल करने की विधि को आव्यूह विधि के रूप में जाना जाता है।

केस II यदि $A$ एक संगत आव्यूह है, तो $|A|=0$ होता है।

इस स्थिति में, हम $(adj A) B$ की गणना करते हैं।

यदि $(adj A) B \neq O$, (जहाँ $O$ शून्य आव्यूह है), तो हल अस्तित्व में नहीं होता और समीकरण निकाय को असंगत कहा जाता है।

यदि $(adj A) B=O$, तो समीकरण निकाय या तो संगत या असंगत हो सकता है, जिसके अनुसार निकाय में अपरिमित रूप से अनेक हल हो सकते हैं या कोई हल न हो।

उदाहरण 16 समीकरण निकाय को हल करें

$ \begin{aligned} & 2 x+5 y=1 \\ & 3 x+2 y=7 \end{aligned} $

हल समीकरण निकाय को $AX = B$ के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ

$ A=\begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}, X=\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \text{ और } B=\begin{bmatrix} 1 \\ 7 \end{bmatrix} $

अब, $|A|=-11 \neq 0$, अतः $A$ एक असंगत आव्यूह है और इसलिए इसका अद्वितीय हल होता है।

$\text{ ध्यान दें कि }\qquad \begin{aligned}A^{-1} & =-\dfrac{1}{11} \begin{bmatrix} 2 & -5\\ -3 & 2 \end{bmatrix}\end{aligned}$

$ \text { अतः } \quad\quad\begin{aligned} X & =A^{-1} B=-\dfrac{1}{11}\begin{bmatrix} 2 & -5 & \\ -3 & 2 \end{bmatrix} \end{aligned}\dfrac{1}{7} $

$ \text { अर्थात } \quad \quad \begin{bmatrix}

x \\ y \end{bmatrix}=-\dfrac{1}{11}\begin{bmatrix} -33 \\ 11 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3\\ 1 \end{bmatrix} \end{aligned} $

अतः $\quad\quad$ $ x=3, y=-1 $

उदाहरण 17 निम्नलिखित समीकरणों के निकाय को आव्यूह विधि द्वारा हल करें।

$ \mathrm{A}=\left|\begin{array}{r} 3 x-2 y+3 z=8 \\ 2 x+y-z=1 \\ 4 x-3 y+2 z=4 \end{array}\right| $

हल समीकरणों के निकाय को $AX=B$ के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ

$ A=\begin{bmatrix} 3 & -2 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \\ 4 & -3 & 2 \end{bmatrix}, X=\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \text{ और } B=\begin{bmatrix} 8 \\ 1 \\ 4 \end{bmatrix} $

हम देखते हैं कि $\qquad |A|=3(2-3)+2(4+4)+3(-6-4)=-17 \neq 0$

अतः, $A$ असम्मित है और इसका व्युत्क्रम अस्तित्व में है। अब

$A _{11}=-1$, $\quad$ $A _{12}=-8$, $\quad$ $A _{13}=-10$

$A _{21}=-5$ $\quad$ $A _{22}=-6$, $\quad$ $A _{23}=1$

$A _{31}=-1$, $\quad$ $A _{32}=9$, $\qquad$ $A _{33}=7$

अतः $\quad \mathrm{A}^{-1}=-\dfrac{1}{17}\begin{bmatrix}-1 & -5 & -1 \\ -8 & -6 & 9 \\ -10 & 1 & 7\end{bmatrix}$

$ \text{इसलिए} \qquad X=A^{-1} B=-\dfrac{1}{17}\begin{bmatrix} -1 & -5 & -1 \\ -8 & -6 & 9 \\ -10 & 1 & 7 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 8 \\ 1 \\ 4 \end{bmatrix} $

$ \text{i.e.,} \quad \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}=-\dfrac{1}{17}\begin{bmatrix} -17 \\ -34 \\ -51 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} $

अतः $\quad x=1, y=2 \text{ और } z=3 \text{। }$

उदाहरण 18 तीन संख्याओं का योग 6 है। यदि हम तीसरी संख्या को 3 से गुणा कर दूसरी संख्या को जोड़ दें, हमें 11 प्राप्त होता है। पहली और तीसरी संख्याओं को जोड़ने से हमें दूसरी संख्या के दुगुना प्राप्त होता है। इसे बीजगणितीय रूप में प्रस्तुत करें और आव्यूह विधि का उपयोग करके संख्याओं को ज्ञात करें।

हल मान लीजिए पहली, दूसरी और तीसरी संख्याएँ क्रमशः $x, y$ और $z$ द्वारा निरूपित होती हैं। तब, दिए गए शर्तों के अनुसार हमें निम्नलिखित प्राप्त होता है,

$ \begin{aligned} & x+y+z =6 \\ & y+3 z =11 \\ & x+z =2 y \text{ या } x-2 y+z=0 \end{aligned} $

इस निकाय को $AX=B$ के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ

$ \mathrm{A}=\begin{bmatrix}

1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}, \mathrm{X}=\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \text { और } \mathrm{B}=\begin{bmatrix} 6 \\ 11 \\ 0 \end{bmatrix} $

यहाँ $|A|=1(1+6)-(0-3)+(0-1)=9 \neq 0$. अब हम $adj A$ खोजते हैं

$ \begin{array}{ccc} A _{11}=1(1+6)=7, & A _{12}=-(0-3)=3, & A _{13}=-1 \\ A _{21}=-(1+2)=-3, & A _{22}=0, & A _{23}=-(-2-1)=3 \\ A _{31}=(3-1)=2, & A _{32}=-(3-0)=-3, & A _{33}=(1-0)=1 \\ \end{array} $

इसलिए $\qquad \operatorname{adj} \mathrm{A}=\begin{bmatrix}7 & -3 & 2 \\ 3 & 0 & -3 \\ -1 & 3 & 1\end{bmatrix}$

$ \text{इसलिए} \qquad A^{-1}=\dfrac{1}{|A|} adj(A)=\dfrac{1}{9}\begin{bmatrix} 7 & -3 & 2 \\ 3 & 0 & -3 \\ -1 & 3 & 1 \end{bmatrix} $

$ \text{क्योंकि} \qquad X=A^{-1} B $

$ X=\dfrac{1}{9}\begin{bmatrix} 7 & -3 & 2 \\ 3 & 0 & -3 \\ -1 & 3 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 6 \\ 11 \\ 0 \end{bmatrix} $

$ \text{या} \qquad \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}=\dfrac{1}{9}\begin{bmatrix} 42-33+0 \\ 18+0+0 \\ -6+33+0 \end{bmatrix}=\dfrac{1}{9}\begin{bmatrix} 9 \\ 18 \\ 27 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} $

$ \text{इसलिए} \quad x=1, y=2, z=3 $

अतिरिक्त उदाहरण

उदाहरण 19 उत्पाद $\begin{bmatrix}1 & 1 & 2\\ 0 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 4 \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}2 & 0 & 1\\ 9 & 2 & 3 \\ 6 & 1 & 2 \end{bmatrix}$ का उपयोग करके समीकरण निकाय को हल करें

$ \begin{aligned} & x-y+2 z=1 \\ & 2 y-3 z=1 \\ & 3 x-2 y+4 z=2 \end{aligned} $

हल उत्पाद को ध्यान में रखें $\begin{bmatrix}1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -3 \\ 3 & -2 & 4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-2 & 0 & 1 \\ 9 & 2 & -3 \\ 6 & 1 & -2\end{bmatrix}$

$ =\begin{bmatrix} -2-9+12 & 0-2+2 & 1+3-4 \\ 0+18-18 & 0+4-3 & 0-6+6 \\ -6-18+24 & 0-4+4 & 3+6-8 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $

$ \text{इसलिए} \qquad

$$ \begin{bmatrix}1 & 1 & 2\\ 0 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 4 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}-2 & 0 & 1 \\ 9 & 2 & 3 \\ 6 & 1 & 2 \end{bmatrix} $$

अब, दी गई समीकरण प्रणाली को आगे लिखा जा सकता है, आव्यूह रूप में निम्नलिखित रूप में:

$$ \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -3 \\ 3 & -2 & 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} $$

$$ \begin{aligned} \text{या} \qquad & \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}=\begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -3 \\ 3 & -2 & 4 \end{bmatrix} ^{-1}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 9 & 2 & 3 \\ 6 & 1 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} \\ & =\begin{bmatrix} -2+0+2 \\ 9+2-6 \\ 6+1-4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 \\ 5 \\ 3 \end{bmatrix} \end{aligned} $$

$$ \text{इसलिए} \quad x=0, y=5 \text{ और } z=3 $$

सारांश

• आव्यूह $A=[a _{11}] _{1 \times 1}$ के निर्णयक को $|a _{11}|=a _{11}$ द्वारा दिया जाता है

• आव्यूह $A=\begin{vmatrix}a _{11} & a _{12} \\ a _{21} & a _{22}\end{vmatrix}$ के निर्णयक को निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

$$ \qquad |A|=\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} \\ a _{21} & a _{22} \end{vmatrix}=a _{11} a _{22}-a _{12} a _{21} $$

• आव्यूह $ |A|=\begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{bmatrix} $ के निर्णयक को ( $R_1$ के अनुदिश विस्तार करके ) निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

$$ \qquad |A|=\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}=a_1\begin{vmatrix} b_2 & c_2 \\ b_3 & c_3 \end{vmatrix}-b_1\begin{vmatrix} a_2 & c_2 \\ a_3 & c_3 \end{vmatrix}+c_1\begin{vmatrix} a_2 & b_2 \\ a_3 & b_3 \end{vmatrix} $$

$\quad$किसी वर्ग आव्यूह $\mathbf{A}$ के लिए, निर्णयक $|\mathbf{A}|$ निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करता है।

• बिंदु $(x_1, y_1),(x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

$ \qquad \Delta=\dfrac{1}{2}\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} $

• निश्चितक के तत्व $a _{i j}$ के छोटा (Minor) उस निश्चितक के विस्तार द्वारा प्राप्त किया जाता है जिसमें $i^{i^{h}}$ पंक्ति और $j^{\text{th }}$ स्तम्भ हटा दिए जाते हैं और इसे $M _{i j}$ से नोट किया जाता है।

• $a _{i j}$ के सहखण्ड (Cofactor) $A _{i j}=(-1)^{i+j} M _{i j}$ द्वारा दिया जाता है।

• एक आव्यूह A के निश्चितक के मान को एक पंक्ति (या स्तम्भ) के तत्वों के उत्पाद के योग द्वारा प्राप्त किया जाता है जिसके संगत सहखण्डों के साथ। उदाहरण के लिए,

$ \qquad |A|=a _{11} A _{11}+a _{12} A _{12}+a _{13} A _{13} . $

• यदि एक पंक्ति (या स्तम्भ) के तत्वों को किसी अन्य पंक्ति (या स्तम्भ) के तत्वों के सहखण्डों के गुणनफल के योग के रूप में गुणा किया जाता है, तो उनका योग शून्य होता है। उदाहरण के लिए, $a _{11} A _{21}+a _{12}$ $A _{22}+a _{13} A _{23}=0$

• यदि $A=\begin{vmatrix}a _{11} & a _{12} & a _{13} \\ a _{21} & a _{22} & a _{23} \\ a _{31} & a _{32} & a _{33}\end{vmatrix}$, तो $adj A=\begin{vmatrix}A _{11} & A _{21} & A _{31} \\ A _{12} & A _{22} & A _{32} \\ A _{13} & A _{23} & A _{33}\end{vmatrix}$, जहाँ $A _{i j}$ $a _{i j}$ का सहखण्ड है।

• $A(adj A)=(adj A) A=|A| I$, जहाँ $A$ कोटि $n$ के वर्ग आव्यूह है।

• एक वर्ग आव्यूह A को असंगत (singular) या गैर-असंगत (non-singular) कहा जाता है जब $|A|=0$ या $|A| \neq 0$ हो।

• यदि $AB=BA=I$, जहाँ $B$ एक वर्ग आव्यूह है, तो $B$ को $A$ के व्युत्क्रम कहा जाता है। इसके अलावा $A^{-1}=B$ या $B^{-1}=A$ और इसलिए $(A^{-1})^{-1}=A$ होता है।

• एक वर्ग आव्यूह $A$ के व्युत्क्रम केवल तभी मौजूद होता है जब $A$ गैर-असंगत हो।

• $A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}(adj A)$

• यदि $ \quad a_1 x+b_1 y+c_1 z=d_1$

$\qquad \qquad a_2 x+b_2 y+c_2 z=d_2 $

$ \qquad \qquad a_3 x+b_3 y+c_3 z=d_3, $

$\qquad$ तो ये समीकरण $AX=B$ के रूप में लिखे जा सकते हैं, जहाँ

$\qquad A=\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}, X=\begin{vmatrix}{l} x \\ y \\ z \end{vmatrix} \text{ and } B=\begin{vmatrix}{l} d_1 \\ d_2 \\ d_3 \end{vmatrix} $

• समीकरण $A X=B$ के अद्वितीय समाधान को $X=A^{-1} B$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $|A| \neq 0$।

• समीकरण के एक तंत्र के अनुसार इसके समाधान के अस्तित्व के अनुसार इसके संगत या असंगत होता है।

• एक वर्ग आव्यूह $A$ के लिए मैट्रिक्स समीकरण $AX=B$ के लिए

$\qquad$ (i) $|A| \neq 0$, एक अद्वितीय समाधान होता है

$\qquad$ (ii) $|A|=0$ और $(adj A) B \neq 0$, तो कोई समाधान नहीं होता

$\qquad$ (iii) $|A|=0$ और $(adj A) B=0$, तो तंत्र संगत या असंगत हो सकता है।

ऐतिहासिक टिप्पणी

कई रैखिक समीकरणों के अज्ञात के गुणांकों को गणना बोर्ड पर छड़ियों के उपयोग द्वारा प्रस्तुत करने की चीनी विधि ने सरल विलोपन विधि के खोज को प्राकृतिक रूप से जन्म दिया। छड़ियों के व्यवस्था के अंतर्गत सारणिक के संख्याओं की व्यवस्था बराबर थी। अतः चीनी ने एक बहुत पहले सारणिक के विचार को विकसित कर लिया। मिकामी, चीन, पृष्ठ 30, 93।

सेकी कोवा, सातवीं सदी के जापानी गणितज्ञों में सबसे बड़ा था, जिसने अपने कार्य ‘कै फुकुदै नो हो’ में 1683 में दिखाया कि उन्होंने सारणिक के विचार और उनके विस्तार के विचार को जानते थे। लेकिन उन्होंने इस उपकरण को केवल दो समीकरणों से एक राशि के विलोपन में ही उपयोग किया और एक साथ रैखिक समीकरणों के समाधान में सीधे उपयोग नहीं किया। टी. हयासी, “फकुदोई और सारणिक जापानी गणित में,” टोकियो गणित सामाज के प्रकाशन में, आगे बढ़ो।

वेंडरमोंड ने सारणिक को स्वतंत्र फंक्शन के रूप में पहले जानकारी ली। उन्हें रूपांतरण के जनक कहा जा सकता है। लैपलेस (1772) ने सारणिक के उपयोग के लिए उसके संपूरक छोटे आव्यूहों के अनुसार एक सामान्य विस्तार विधि दी। 1773 में लैग्रांज ने द्वितीय और तृतीय क्रम के सारणिक के बारे में बात की और उनका उपयोग समीकरणों के समाधान के बारे में बाहर के उद्देश्यों के लिए किया। 1801 में गॉस ने संख्या सिद्धांत में सारणिक का उपयोग किया।

अगले बड़े योगदानकर्ता जैक्स फिलिप जी एमारी बिनेट, (1812) थे, जिन्होंने $m$-स्तंभ और $n$-पंक्ति वाले दो मैट्रिक्स के गुणन के लिए एक प्रमेय को दिखाया, जो $m=n$ के विशिष्ट मामले में गुणन प्रमेय के रूप में घटता है।

समान दिन, कूची (1812) ने इसी विषय पर एक विधि प्रस्तुत की। उन्होंने शब्द ‘सारणिक’ के वर्तमान अर्थ में उपयोग किया। उन्होंने बिनेट की तुलना में अधिक संतोषजनक गुणन प्रमेय के प्रमाण को दिया।

सिद्धांत के सबसे बड़े योगदानकर्ता कार्ल गुस्ताव जैकोब जैकोबी थे, इसके बाद शब्द “determinant” ने अपनी अंतिम स्वीकृति प्राप्त कर ली।