“विज्ञान के सभी ज्ञान केवल दैनिक सोच का एक रूपांतर ही है।” - अल्बर्ट आइनस्टीन

5.1 परिचय

इस अध्याय के मुख्य उद्देश्य अठारहवीं कक्षा में फलनों के अवकलज के अध्ययन का एक आगे बढ़ाया अध्ययन है। हमने अवकलज करने वाले कुछ फलन जैसे बहुपदीय फलन और त्रिकोणमितीय फलन सीख चुके हैं। इस अध्याय में हम एक बहुत महत्वपूर्ण अवधारणा जैसे सततता, अवकलनीयता और उनके बीच संबंध को परिचय कराएंगे। हम व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलज के बारे में भी सीखेंगे। इसके अतिरिक्त, हम एक नए वर्ग के फलन के बारे में परिचय देंगे जिन्हें घातांकीय और लघुगणकीय फलन कहा जाता है। इन फलनों के कारण अवकलन के शक्तिशाली तकनीकों के विकास होता है। हम अवकलन के माध्यम से कुछ ज्यामितीय रूप से स्पष्ट शर्तों को दर्शाएंगे। इस प्रक्रिया में हम इस क्षेत्र में कुछ मूलभूत प्रमेयों के बारे में भी सीखेंगे।

5.2 सततता

हम इस अनुभाग को दो अनुमानित उदाहरणों से शुरू करते हैं ताकि सततता के बारे में एक अहसास हो सके। विचार करें फलन

$ f(x)=\begin{cases} 1, \text{ यदि } x \leq 0 \\ 2, \text{ यदि } x>0 \end{cases} $

इस फलन के वास्तविक संख्या रेखा के प्रत्येक बिंदु पर परिभाषित है। इस फलन के ग्राफ को चित्र 5.1 में दिखाया गया है। ग्राफ से हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि $x$-अक्ष पर निकट बिंदुओं के मान एक दूसरे से निकट होते हैं, बिंदु $x=0$ के अतिरिक्त। $x=0$ के बाईं ओर और निकट बिंदुओं, जैसे $-0.1,-0.01,-0.001$ पर फलन का मान 1 है। $x=0$ के दाईं ओर और निकट बिंदुओं, जैसे $0.1,0.01$,

0.001 पर फलन का मान 2 है। बाईं ओर और दाईं ओर सीमा के भाषा के माध्यम से हम कह सकते हैं कि $f$ के 0 पर बाईं ओर (क्रमशः दाईं ओर) सीमा 1 (क्रमशः 2) है। विशेष रूप से बाईं ओर और दाईं ओर सीमा एक दूसरे के बराबर नहीं है। हम यह भी देख सकते हैं कि फलन के मान $x=0$ पर बाईं ओर सीमा के साथ समान है। ध्यान दें कि जब हम ग्राफ बनाने की कोशिश करते हैं, तो हम एक रेखा के बिना बिंदुओं को बनाने में असमर्थ होते हैं, अर्थात, कागज के तल से पेन उठाए बिना इस फलन के ग्राफ को बनाना संभव नहीं है। वास्तव में, हम बाईं ओर से 0 पर पहुंचते हमें पेन को उठाना पड़ता है। यह एक उदाहरण है जहां फलन $x=0$ पर सतत नहीं है।

अब, निम्नलिखित फलन का विचार करें

$ f(x)=\begin{cases} & 1, \text{ यदि } x \neq 0 \\ & 2, \text{ यदि } x=0 \end{cases} $

इस फलन को प्रत्येक बिंदु पर परिभाषित किया गया है। $x=0$ पर बाई ओर और दाई ओर सीमा दोनों 1 के बराबर हैं। लेकिन फलन के मान $x=0$ पर 2 है जो बाई ओर और दाई ओर सीमा के उभयनिष्ठ मान से मेल नहीं खाता है। फिर भी, हम ध्यान दें कि हम बिना कलम उठाए इस फलन के ग्राफ को खींच नहीं सकते हैं। यह एक और उदाहरण है जहां फलन $x=0$ पर असतत है।

अप्रत्यक्ष रूप से, हम कह सकते हैं कि एक फलन एक निश्चित बिंदु पर सतत होता है यदि हम बिना कलम उठाए उस बिंदु के चारों ओर फलन के ग्राफ को खींच सकते हैं।

गणितीय रूप से, इसे निम्नलिखित रूप में सटीक रूप से बताया जा सकता है:

परिभाषा 1 मान लीजिए $f$ एक वास्तविक संख्या के एक उपसमुच्चय पर एक वास्तविक फलन है और $c$ फलन $f$ के डोमेन में एक बिंदु है। तब $f$ $c$ पर सतत होता है यदि

$ \lim _{x \to c} f(x)=f(c) $

अधिक विस्तार से, यदि बाई ओर सीमा, दाई ओर सीमा और फलन के मान $x=c$ पर अस्तित्व में हो और एक दूसरे के बराबर हों, तो $f$ कहलाता है कि $x=c$ पर सतत है। याद रखें कि यदि $x=c$ पर बाई ओर और दाई ओर सीमा एक दूसरे के बराबर हों, तो हम कहते हैं कि उभयनिष्ठ मान फलन के $x=c$ पर सीमा है। इसलिए हम निरंतरता की परिभाषा को निम्नलिखित रूप में फिर से बता सकते हैं: एक फलन $x=c$ पर सतत होता है यदि फलन $x=c$ पर परिभाषित हो और फलन के मान $x=c$ पर फलन के $x=c$ पर सीमा के बराबर हो। यदि $f$ $c$ पर असतत है, तो हम कहते हैं कि $f$ $c$ पर असतत है और $c$ को $f$ का असतत बिंदु कहा जाता है।

उदाहरण 1 फलन $f$ द्वारा दिया गया है $f(x)=2 x+3$ के लिए $x=1$ पर निरंतरता की जांच करें।

हल पहले ध्यान दें कि फलन दिए गए बिंदु $x=1$ पर परिभाषित है और इसका मान 5 है। फिर $x=1$ पर फलन की सीमा ज्ञात करें। स्पष्ट रूप से

$ \lim _{x \to 1} f(x)=\lim _{x \to 1}(2 x+3)=2(1)+3=5 $

इसलिए $\qquad \lim _{x \to 1} f(x)=5=f(1)$

अतः, $f$ $x=1$ पर अंतरालयुक्त है।

उदाहरण 2 फलन $f$ द्वारा $f(x)=x^{2}$ कि $x=0$ पर अंतरालयुक्त है यह जांच करें।

हल पहले यह ध्यान दें कि फलन दिए गए बिंदु $x=0$ पर परिभाषित है और इसका मान 0 है। फिर $x=0$ पर फलन के सीमा को खोजें। स्पष्ट रूप से

$ \lim _{x \rightarrow 0} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0} x^{2}=0^{2}=0 $

इसलिए $\qquad \lim _{x \rightarrow 0} f(x)=0=f(0)$

अतः, $f$ $x=0$ पर अंतरालयुक्त है।

उदाहरण 3 फलन $f$ द्वारा $f(x)=|x|$ कि $x=0$ पर अंतरालयुक्त है यह चर्चा करें।

हल परिभाषा के अनुसार

$ f(x)= \begin{cases}-x, & \text{ यदि } x<0 \\ x, & \text{ यदि } x \geq 0\end{cases} $

स्पष्ट रूप से फलन 0 पर परिभाषित है और $f(0)=0$ है। $f$ के 0 पर बाई ओर सीमा है

$ \lim _{x \to 0^{-}} f(x)=\lim _{x \to 0^{-}}(-x)=0 $

इसी तरह, $f$ के 0 पर सामने की ओर सीमा है

$ \lim _{x \to 0^{+}} f(x)=\lim _{x \to 0^{+}} x=0 $

इसलिए, $x=0$ पर बाई ओर सीमा, सामने की ओर सीमा और फलन का मान समान है। अतः, $f$ $x=0$ पर अंतरालयुक्त है।

उदाहरण 4 दिखाएं कि फलन $f$ द्वारा

$ f(x)= \begin{cases}x^{3}+3, & \text{ यदि } x \neq 0 \\ 1, & \text{ यदि } x=0\end{cases} $

$x=0$ पर अंतरालयुक्त नहीं है।

हल फलन $x=0$ पर परिभाषित है और इसका मान $x=0$ पर 1 है। जब $x \neq 0$ हो, तो फलन एक बहुपद द्वारा दिया गया है। अतः,

$ \lim _{x \to 0} f(x)=\lim _{x \to 0}(x^{3}+3)=0^{3}+3=3 $

क्योंकि $f$ के $x=0$ पर सीमा $f(0)$ के साथ मेल नहीं खाती है, अतः फलन $x=0$ पर अंतरालयुक्त नहीं है। ध्यान दें कि इस फलन के लिए $x=0$ अंतरालयुक्त के एकमात्र बिंदु है।

उदाहरण 5 स्थिर फलन $f(x)=k$ के अंतरालयुक्त बिंदुओं की जांच करें।

हल फलन सभी वास्तविक संख्याओं पर परिभाषित है और परिभाषा के अनुसार, किसी भी वास्तविक संख्या पर इसका मान $k$ है। मान लीजिए $c$ कोई भी वास्तविक संख्या है। तब

$ \lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c} k=k $

क्योंकि $f(c)=k=\lim _{x \to c} f(x)$ किसी भी वास्तविक संख्या $c$ के लिए, फलन $f$ सभी वास्तविक संख्याओं पर अंतरालयुक्त है।

उदाहरण 6 सांख्यिकीय संख्याओं पर एक पहचान फलन $f(x)=x$ कि सतत होने का साबित करें।

हल फलन प्रत्येक बिंदु पर स्पष्ट रूप से परिभाषित है और $f(c)=c$ प्रत्येक वास्तविक संख्या $c$ के लिए है।

इसके अतिरिक्त, $\lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c} x=c$

इसलिए, $\lim _{x \to c} f(x)=c=f(c)$ और इसलिए फलन प्रत्येक वास्तविक संख्या पर सतत है।

एक फलन के एक दिए गए बिंदु पर सतत होने की परिभाषा देने के बाद, अब हम इस परिभाषा के एक प्राकृतिक विस्तार के माध्यम से एक फलन के सतत होने के बारे में चर्चा करते हैं।

परिभाषा 2 एक वास्तविक फलन $f$ कहलाता है यदि यह अपने प्रांत के प्रत्येक बिंदु पर सतत हो।

इस परिभाषा के लिए थोड़ा विस्तार करना आवश्यक है। मान लीजिए $f$ एक बंद अंतराल $[a, b]$ पर परिभाषित फलन है, तो $f$ के सतत होने के लिए इसे $[a, b]$ के प्रत्येक बिंदु पर सतत होना चाहिए, जिसमें समापन बिंदु $a$ और $b$ भी शामिल हैं। $f$ के $a$ पर सतत होने का अर्थ है और $f$ के $a$ पर सतत होने का अर्थ है

$ \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=f(a) $

$ \lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)=f(b) $

ध्यान दें कि $\lim _{x \to a^{-}} f(x)$ और $\lim _{x \to b^{+}} f(x)$ अर्थ नहीं रखते। इस परिभाषा के कारण, यदि केवल एक बिंदु पर परिभाषित है, तो वहां सतत होता है, अर्थात यदि $f$ के प्रांत एकल बिंदु है, तो $f$ एक सतत फलन है।

उदाहरण 7 $f(x)=|x|$ द्वारा परिभाषित फलन एक सतत फलन है कि निश्चित रूप से?

हल हम $f$ को निम्नलिखित रूप में लिख सकते हैं

$ f(x)= \begin{cases}-x, & \text{ यदि } x<0 \\ x, & \text{ यदि } x \geq 0\end{cases} $

उदाहरण 3 के अनुसार, हम जानते हैं कि $f$ $x=0$ पर सतत है।

मान लीजिए $c$ एक वास्तविक संख्या है जो $c<0$ है। तब $f(c)=-c$ है। इसके अतिरिक्त

$\lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c}(-x)=-c$ $\hspace{3cm}\text{(क्यों?)}$

क्योंकि $\lim _{x \to c} f(x)=f(c), f$ नकारात्मक सभी वास्तविक संख्याओं पर सतत है।

अब, मान लीजिए $c$ एक वास्तविक संख्या है जो $c>0$ है। तब $f(c)=c$ है। इसके अतिरिक्त

$ \lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c} x=c \hspace{3cm}\text{(क्यों?)} $

क्योंकि $\lim _{x \to c} f(x)=f(c), f$ सभी धनात्मक वास्तविक संख्याओं पर सतत है। इसलिए, $f$ सभी बिंदुओं पर सतत है।

उदाहरण 8 फलन $f$ के सततता के बारे में चर्चा करें जो $f(x)=x^{3}+x^{2}-1$ द्वारा परिभाषित है।

हल स्पष्ट रूप से $f$ कोई भी वास्तविक संख्या $c$ पर परिभाषित है और $c$ पर इसका मान $c^{3}+c^{2}-1$ है। हम जानते हैं कि

$ \lim _{x \rightarrow c} f(x)=\lim _{x \rightarrow c}\left(x^{3}+x^{2}-1\right)=c^{3}+c^{2}-1 $

इसलिए $\lim _{x \to c} f(x)=f(c)$, और इसलिए $f$ कोई भी वास्तविक संख्या पर सतत है। इसका अर्थ है कि $f$ एक सतत फलन है।

उदाहरण 9 फलन $f$ के सततता के बारे में चर्चा करें जो $f(x)=\dfrac{1}{x}, x \neq 0$ द्वारा परिभाषित है।

हल कोई भी शून्य नहीं वाली वास्तविक संख्या $c$ चुन लें, हम देखते हैं कि

$ \lim _{x \rightarrow c} f(x)=\lim _{x \rightarrow c} \dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{c} $

इसके अलावा, क्योंकि $c \neq 0$ है, $f(c)=\dfrac{1}{c}$, हम देखते हैं कि $\lim _{x \to c} f(x)=f(c)$ और इसलिए, $f$ कोई भी बिंदु पर सतत है जहां $f$ का प्रांत है। इसलिए $f$ एक सतत फलन है।

हम इस अवसर का उपयोग करते हैं ताकि अनंतता के अवधारणा की व्याख्या करें। इसके लिए हम फलन $f(x)=\dfrac{1}{x}$ के $x=0$ के पास के व्यवहार का विश्लेषण करते हैं। इस विश्लेषण के लिए हम आम तौर पर वास्तविक संख्याओं के निकट शून्य के मान पर फलन के मान की गणना करने की विधि का उपयोग करते हैं। मूल रूप से हम $f$ के 0 पर दाएं हाथ की सीमा की खोज कर रहे हैं। हम इसे निम्नलिखित (तालिका 5.1) में सारांशित करते हैं।

तालिका 5.1

$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline\ x & 1 & 0.3 & 0.2 & 0.1=10^{-1} & 0.01=10^{-2} & 0.001=10^{-3} & 10^{-n} \\ \hline\ f(x) & 1 & 3.333\ldots & 5 & 10 & 100=10^{2} & 1000=10^{3} & 10^n \\ \hline \end{array} $

हम देखते हैं कि जब $x$ दाएं से 0 के पास जाता है, तो $f(x)$ का मान बहुत ऊपर जाता है। इसे इस तरह भी बताया जा सकता है: एक दिया गया संख्या के बड़े मान के लिए एक धनात्मक वास्तविक संख्या का चयन करके $f(x)$ का मान बड़ा किया जा सकता है। संकेतों में, हम लिखते हैं

$ \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=+\infty $

(इसे पढ़ें: 0 पर $f(x)$ के दाएं हाथ की सीमा प्लस अनंत है)। हम चाहते हैं कि आप ध्यान दें कि $+\infty$ एक वास्तविक संख्या नहीं है और इसलिए $f$ के 0 पर दाएं हाथ की सीमा एक वास्तविक संख्या के रूप में नहीं मौजूद है।

समान रूप से, $f$ के 0 पर बाएं हाथ की सीमा की खोज की जा सकती है। निम्नलिखित तालिका स्वयं स्पष्ट है।

सारणी 5.2

$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline\ x & -1 & -0.3 & -0.2 & -10^{-1} & -10^{-2} & -10^{-3} & -10^{-n} \\ \hline\ f(x) & -1 & -3.333\ldots & -5 & -10 & -10^2 & -10^3 & -10^n \\ \hline \end{array} $

सारणी 5.2 से हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि $f(x)$ का मान किसी भी दिए गए संख्या से छोटा किया जा सकता है जब हम एक वास्तविक संख्या को 0 के बहुत करीब चुनते हैं। संकेतों में, हम लिखते हैं

$ \lim _{x \to 0^{-}} f(x)=-\infty $

(इसे पढ़ें: $f(x)$ के 0 पर बाई ओर सीमा ऋण अपरिमित है)। फिर भी हम चाहते हैं कि $-\infty$ एक वास्तविक संख्या नहीं है और इसलिए $f$ के 0 पर बाई ओर सीमा (एक वास्तविक संख्या के रूप में) नहीं मौजूद है। आर्थिक फलन के ग्राफ जो आकृति 5.3 में दिया गया है, उपरोक्त तथ्यों का ज्यामितीय प्रतिनिधित्व है।

आकृति 5.3

उदाहरण 10 फलन $f$ के सततता के बारे में चर्चा करें जो निम्नलिखित द्वारा परिभाषित है

$ f(x)=\begin{cases} x+2, \text{ यदि } x \leq 1 \\ x-2, \text{ यदि } x1 > 1 \end{cases}. $

हल फलन $f$ वास्तविक संख्या के सभी बिंदुओं पर परिभाषित है।

केस 1 यदि $c<1$, तो $f(c)=c+2$। इसलिए, $\lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c}(x+2)=c+2$

इसलिए, $f$ सभी वास्तविक संख्याओं के लिए जो 1 से कम हैं, सतत है।

केस 2 यदि $c>1$, तो $f(c)=c-2$। इसलिए,

$ \lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c}(x-2)=c-2=f(c) $

इसलिए, $f$ सभी बिंदुओं $x>1$ पर सतत है।

केस 3 यदि $c=1$, तो $x=1$ पर $f$ के बाई ओर सीमा है

$ \lim _{x \to 1^{-}} f(x)=\lim _{x \to 1^{-}}(x+2)=1+2=3 $

$x=1$ पर $f$ के दाई ओर सीमा है

$ \lim _{x \to 1^{+}} f(x)=\lim _{x \to 1^{+}}(x-2)=1-2=-1 $

आकृति 5.4

क्योंकि $x=1$ पर $f$ के बाई ओर और दाई ओर सीमा एक दूसरे के बराबर नहीं है, $f$ $x=1$ पर सतत नहीं है। इसलिए $x=1$ $f$ का एकमात्र असतत बिंदु है। फलन के ग्राफ आकृति 5.4 में दिया गया है।

उदाहरण 11 फलन $f$ के सभी अवकलन बिंदुओं को खोजें जो निम्नलिखित द्वारा परिभाषित है:

$ f(x)=\begin{cases} x+2, \text{ यदि } x<1 \\ 0, \text{ यदि } \quad x=1 \\ x-2, \text{ यदि } x>1 \end{cases}. $

हल पिछले उदाहरण की तरह हम देखते हैं कि $f$ सभी वास्तविक संख्याओं $x \neq 1$ पर अवकलनीय है। $x=1$ पर $f$ का बाईं ओर सीमा है

$ \lim _{x \to 1^{-}} f(x)=\lim _{x \to 1^{-}}(x+2)=1+2=3 $

$x=1$ पर $f$ की दाईं ओर सीमा है

$ \lim _{x \to 1^{+}} f)=\lim _{x \to 1^{+}}(x-2)=1-2=-1 $

क्योंकि, $x=1$ पर $f$ की बाईं ओर और दाईं ओर सीमा बराबर नहीं है, $f$ $x=1$ पर अवकलनीय नहीं है। अतः $x=1$ $f$ का एकमात्र अवकलन बिंदु है। फलन का ग्राफ चित्र 5.5 में दिया गया है।

चित्र 5.5

उदाहरण 12 फलन के अवकलन के बारे में चर्चा करें जो निम्नलिखित द्वारा परिभाषित है:

$ f(x)=\begin{cases} x+2, \text{ यदि } x<0 \\ -x+2, \text{ यदि } x>0 \end{cases} $

हल ध्यान दें कि फलन सभी वास्तविक संख्याओं पर परिभाषित है बशर्ते कि $0$ छोड़ दिया जाए। इस फलन की परिभाषा क्षेत्र है

$ D_1 \cup D_2 \text{ जहां } D_1 ={x \in \mathbf{R}: x<0} \text{ और } $

$ D_2={x \in \mathbf{R}: x>0} $

केस 1 यदि $\lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c}(x+2) \text= c + 2 = f (c)$ और अतः $f$ $D_1$ में अवकलनीय है

केस 2 यदि $ c \in D_2, तो \lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c}(-x+2) =-c+2=f(c) $ और अतः $f$ $D_2$ में अवकलनीय है। क्योंकि $f$ अपने परिभाषा क्षेत्र के सभी बिंदुओं पर अवकलनीय है, हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $f$ अवकलनीय है। इस फलन का ग्राफ चित्र 5.6 में दिया गया है। ध्यान दें कि इस फलन का ग्राफ खोदने के लिए हमें कागज के तल से पेन उठाना पड़ता है, लेकिन हमें केवल उन बिंदुओं पर ऐसा करना पड़ता है जहां फलन परिभाषित नहीं है।

Fig 5.6

उदाहरण 13 फलन $f$ के सततता के बारे में चर्चा करें जो निम्नलिखित द्वारा दिया गया है

$ f(x)= \begin{cases}x, & \text { या } x \geq 0 \\ x^{2}, & \text { या } x<0\end{cases} $

हल स्पष्ट रूप से फलन कोई भी वास्तविक संख्या पर परिभाषित है। फलन के ग्राफ को चित्र 5.7 में दिया गया है। देखने से यह स्पष्ट होता है कि $f$ के प्रांत को वास्तविक रेखा के तीन अलग-अलग उपसमुच्चयों में विभाजित करना उचित होगा।

मान लीजिए $\quad D_1={x \in \mathbf{R}: x<0}, D_2={0} \text{ और }$

$ \qquad D_3={x \in \mathbf{R}: x>0}$

चित्र 5.7

केस 1 किसी भी बिंदु $D_1$ में, हमें $f(x)=x^{2}$ मिलता है और यहाँ इसके सततता को आसानी से देखा जा सकता है (उदाहरण 2 देखें)।

केस 2 किसी भी बिंदु $D_3$ में, हमें $f(x)=x$ मिलता है और यहाँ इसके सततता को आसानी से देखा जा सकता है (उदाहरण 6 देखें)।

केस 3 अब हम $x=0$ पर फलन के व्यवहार के बारे में विश्लेषण करते हैं। $0$ पर फलन का मान $f(0)=0$ है। $0$ पर $f$ का बाईं ओर सीमा है

$ \lim _{x \to 0^{-}} f(x)=\lim _{x \to 0^{-}} x^{2}=0^{2}=0 $

$0$ पर $f$ की दाईं ओर सीमा है

$ \lim _{x \to 0^{+}} f(x)=\lim _{x \to 0^{+}} x=0 $

इस प्रकार $\lim _{x \to 0} f(x)=0=f(0)$ और इसलिए $f$ $0$ पर सतत है। इसका अर्थ है कि $f$ अपने प्रांत के प्रत्येक बिंदु पर सतत है और इसलिए $f$ एक सतत फलन है।

उदाहरण 14 दिखाएं कि प्रत्येक बहुपद फलन सतत होता है।

हल याद रखें कि एक फलन $p$ एक बहुपद फलन होता है यदि यह $p(x)=a_0+a_1 x+\ldots+a_n x^{n}$ के रूप में परिभाषित होता है, जहाँ कोई भी प्राकृतिक संख्या $n$, $a_n \neq 0$ और $a_i \in \mathbf{R}$ हो। स्पष्ट रूप से यह फलन कोई भी वास्तविक संख्या पर परिभाषित है। एक निश्चित वास्तविक संख्या $c$ के लिए हमें

$ \lim _{x \to c} p(x)=p(c) $

परिभाषा के अनुसार, $p$ $c$ पर सतत है। क्योंकि $c$ कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है, $p$ कोई भी वास्तविक संख्या पर सतत है और इसलिए $p$ एक सतत फलन है।

उदाहरण 15 फलन $f(x)=[x]$ के सभी असतत बिंदुओं को ज्ञात करें, जहाँ $[x]$ वह बड़ी संख्या होती है जो $x$ से कम या बराबर होती है।

हल पहले देखें कि $f$ सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है। फलन के ग्राफ को आकृति 5.8 में दिया गया है। ग्राफ से यह दिखाई दे रहा है कि $f$ प्रत्येक पूर्णांक बिंदु पर असतत है। नीचे हम जांचेंगे कि यह क्या सच है।

आकृति 5.8

केस 1 मान लीजिए $c$ एक वास्तविक संख्या है जो कोई भी पूर्णांक नहीं है। ग्राफ से स्पष्ट है कि $c$ के आसपास के सभी वास्तविक संख्याओं के लिए फलन का मान $[c]$ के बराबर होता है; अर्थात $\lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c}[x]=[c]$. इसके अलावा $f(c)=[c]$ है और अतः फलन सभी वास्तविक संख्याओं के लिए सतत है जो कोई भी पूर्णांक नहीं है।

केस 2 मान लीजिए $c$ एक पूर्णांक है। तब हम एक पर्याप्त छोटी वास्तविक संख्या $r>0$ ज्ञात कर सकते हैं जैसे कि $[c-r]=c-1$ जबकि $[c+r]=c$ होता है।

इसके अनुसार सीमा के अर्थ में हम कह सकते हैं कि

$ \lim _{x \to c^{-}} f(x)=c-1, \lim _{x \to c^{+}} f(x)=c $

इन सीमाओं के बराबर नहीं हो सकते किसी भी $c$ के लिए, अतः फलन प्रत्येक पूर्णांक बिंदु पर असतत है।

5.2.1 सतत फलनों के बीजगणित

पिछली कक्षा में, सीमा की अवधारणा को समझ गए बाद, हमने कुछ सीमा के बीजगणित सीखे हैं। इसी तरह, अब हम सतत फलनों के बीजगणित के बारे में अध्ययन करेंगे। क्योंकि एक फलन के एक बिंदु पर सतत होना उस बिंदु पर फलन की सीमा के द्वारा पूरी तरह निर्धारित होता है, इसलिए सीमा के मामले में देखे गए परिणामों के अनुरूप परिणामों की उम्मीद करना उचित होता है।

प्रमेय 1 मान लीजिए $f$ और $g$ दो वास्तविक फलन हैं जो एक वास्तविक संख्या $c$ पर सतत हैं। तब

(1) $f+g$ $x=c$ पर सतत है।

(2) $f-g$ $x=c$ पर सतत है।

(3) $f . g$ $x=c$ पर सतत है।

(4) $\left(\dfrac{f}{g}\right)$ $x=c$ पर सतत है, (जबकि $g(c) \neq 0$ हो)।

उपपत्ति हम $x=c$ पर $(f+g)$ की सततता की जांच कर रहे हैं। स्पष्ट रूप से यह $x=c$ पर परिभाषित है। हम जानते हैं कि

$ \begin{aligned} \lim _{x \to c}(f+g)(x) & =\lim _{x \to c}[f(x)+g(x)] & &( \text{ by definition of} f+g) \\

$$ \begin{aligned} & =\lim _{x \to c} f(x)+\lim _{x \to c} g(x) & & \text{ (सीमा पर एक प्रमेय के अनुसार) } \\ & =f(c)+g(c) & & (\text{ क्योंकि } f \text{ और } g \text{ सतत हैं }) \\ & =(f+g)(c) & & (\text{ } f+g \text{ के परिभाषा के अनुसार}) \end{aligned} $$

$

इसलिए, $f+g$ $x=c$ पर सतत है।

अन्य भागों के प्रमाण इसके समान हैं और पाठक के अभ्यास के रूप में छोड़ दिए गए हैं।

टिप्पणियाँ

(i) ऊपरी (3) के एक विशेष मामले के रूप में, यदि $f$ एक स्थिर फलन है, अर्थात, कुछ वास्तविक संख्या $\lambda$ के लिए $f(x)=\lambda$, तो फलन $(\lambda . g)$, जो $(\lambda . g)(x)=\lambda . g(x)$ द्वारा परिभाषित है, भी सतत है। विशेष रूप से, यदि $\lambda=-1$, तो $f$ की सततता $-f$ की सततता को निहित करती है।

(ii) ऊपरी (4) के एक विशेष मामले के रूप में, यदि $f$ स्थिर फलन $f(x)=\lambda$ है, तो फलन $\dfrac{\lambda}{g}$, जो $\dfrac{\lambda}{g}(x)=\dfrac{\lambda}{g(x)}$ द्वारा परिभाषित है, भी जहाँ $g(x) \neq 0$ वहाँ सतत है। विशेष रूप से, $g$ की सततता $\dfrac{1}{g}$ की सततता को निहित करती है।

ऊपरी प्रमेय का उपयोग कई सतत फलनों के निर्माण में किया जा सकता है। वे यह निर्णय लेन में भी सहायता करते हैं कि कुछ फलन सतत हैं या नहीं। नीचे दिए गए उदाहरण इसकी व्याख्या करते हैं:

उदाहरण 16 प्रत्येक परिमेय फलन के सतत होने का प्रमाण दें।

हल प्रत्येक परिमेय फलन $f$ निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

$ f(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)}, q(x) \neq 0 $

जहाँ $p$ और $q$ बहुपदीय फलन हैं। $f$ की डोमेन वास्तविक संख्याओं के सभी बिंदुओं को शामिल करती है जहाँ $q$ शून्य नहीं होती। क्योंकि बहुपदीय फलन सतत होते हैं (उदाहरण 14), इसलिए $f$ द्वारा प्रमेय 1 के (4) के अनुसार सतत है।

5.3 अवकलनीयता

पिछली कक्षा से निम्नलिखित तथ्यों को याद रखें। हमने एक वास्तविक फलन के अवकलज को निम्नलिखित तरीके से परिभाषित किया था:

मान लीजिए $f$ एक वास्तविक फलन है और $c$ इसके डोमेन में एक बिंदु है। $f$ के $c$ पर अवकलज को निम्नलिखित द्वारा परिभाषित किया गया है:

$ \lim _{h \rightarrow 0} \dfrac{f(c+h)-f(c)}{h} $

इस अग्रिम अस्तित्व के अंतर्गत। $f$ के $c$ पर अवकलज को $f^{\prime}(c)$ या $\dfrac{d}{d x}(f(x))| _{c}$ द्वारा नोट किया जाता है। निम्नलिखित फलन द्वारा परिभाषित किया गया है:

$ f^{\prime}(x)=\lim _{h \rightarrow 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} $

जहां अग्रिम अस्तित्व है तब इसे $f$ के अवकलज के रूप में परिभाषित किया जाता है। $f$ के अवकलज को $f^{\prime}(x)$ या $\dfrac{d}{d x}(f(x))$ या यदि $y=f(x)$ तो $\dfrac{d y}{d x}$ या $y^{\prime}$ द्वारा नोट किया जाता है। एक फलन के अवकलज की खोज करने की प्रक्रिया को अवकलन कहा जाता है। हम भी व्यंजक differentiate $f(x)$ with respect to $x$ का उपयोग करते हैं जिसका अर्थ है find $f^{\prime}(x)$।

निम्नलिखित नियमों को अवकलज के बीजगणित के भाग के रूप में स्थापित किया गया था:

(1) $(u \pm v)^{\prime}=u^{\prime} \pm v^{\prime}$

(2) $(u v)^{\prime}=u^{\prime} v+u v^{\prime}$ (Leibnitz या गुणन नियम)

(3) $(\dfrac{u}{v})^{\prime}=\dfrac{u^{\prime} v-u v^{\prime}}{v^{2}}$, जहां $v \neq 0$ (भाग नियम)।

निम्नलिखित तालिका कुछ मानक फलन के अवकलज की सूची प्रदान करती है:

तालिका 5.3

$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline\ f(x) & x^n & \sin x & \cos x & \tan x \\ \hline\ f’(x) & nx^{n-1} & \cos x & -\sin x & \sec^2 x \\ \hline \end{array} $

प्रमेय 3 यदि एक फलन $f$ एक बिंदु $c$ पर अवकलनीय है, तो यह उस बिंदु पर अवकलनीय भी है।

उपपत्ति क्योंकि $f$ बिंदु $c$ पर अवकलनीय है, हम लिख सकते हैं

$ \lim _{x \rightarrow c} \dfrac{f(x)-f(c)}{x-c}=f^{\prime}(c) $

लेकिन $x \neq c$ के लिए हम लिख सकते हैं

$ f(x)-f(c)=\dfrac{f(x)-f(c)}{x-c} .(x-c) $

$ \text{अतः} \qquad \lim _{x \to c}[f(x)-f(c)] =\lim _{x \to c}\left[\dfrac{f(x)-f(c)}{x-c} \cdot(x-c)\right] $

$ \text{या} \qquad \lim _{x \to c}[f(x)]-\lim _{x \to c}[f(c)] =\lim _{x \to c}\left[\dfrac{f(x)-f(c)}{x-c}\right] \cdot \lim _{x \to c}[(x-c)] $

$ \qquad \quad =f^{\prime}(c) \cdot 0=0 $

$ \text{या} \qquad \lim _{x \to c} f(x) = f(c) $

अतः $f$ बिंदु $x=c$ पर अवकलनीय है।

उपप्रमेय 1 प्रत्येक अवकलनीय फलन अवकलनीय होता है।

हम ध्यान देते हैं कि उपरोक्त कथन का विलोम सही नहीं है। वास्तव में हम देख चुके हैं कि फलन $f(x)=|x|$ एक अवकलनीय फलन है। बाईं ओर सीमा को ध्यान में रखते हुए

$ \begin{aligned} \lim _{h \to 0^{-}} \dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}=\dfrac{-h}{h}=-1 \end{aligned} $

दाईं ओर सीमा

$ \begin{aligned} \lim _{h \to 0^{+}} \dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}=\dfrac{h}{h}=1 \end{aligned} $

क्योंकि उपरोक्त बाईं ओर और दाईं ओर की सीमा 0 पर बराबर नहीं है, तो $\lim _{h \to 0} \dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}$ अस्तित्व नहीं रखता और अतः $f$ 0 पर अवकलनीय नहीं है। इसलिए $f$ एक अवकलनीय फलन नहीं है।

5.3.1 संयोजित फलनों के अवकलज

संयोजित फलनों के अवकलज के अध्ययन के लिए हम एक उदाहरण से शुरू करते हैं। मान लीजिए हम $f$ के अवकलज की गणना करना चाहते हैं, जहां

$ f(x)=(2 x+1)^{3} $

एक तरीका है $(2 x+1)^{3}$ को द्विपद प्रमेय का उपयोग करके विस्तार करना और फिर एक बहुपद फलन के रूप में अवकलज निकालना जैसा नीचे दिखाया गया है।

$ \begin{aligned} \dfrac{d}{d x} f(x) & =\dfrac{d}{d x}[(2 x+1)^{3}] \\ & =\dfrac{d}{d x}(8 x^{3}+12 x^{2}+6 x+1) \\ & =24 x^{2}+24 x+6 \\ & =6(2 x+1)^{2} \end{aligned} $

अब, ध्यान दें कि $ f(x)=(h \circ g)(x) $

जहां $g(x)=2 x+1$ और $h(x)=x^{3}$. मान लीजिए $t=g(x)=2 x+1$. तो $f(x)=h(t)=t^{3}$.

$\text{ इसलिए }\dfrac{d f}{d x}=6(2 x+1)^{2}=3(2 x+1)^{2} \cdot 2=3 t^{2} \cdot 2=\dfrac{d h}{dt} \cdot \dfrac{d t}{d x}$

इस प्रकार के अवलोकन के लाभ यह है कि इससे (2 x+1)^{100} जैसे किसी फलन के अवकलज की गणना को सरल बना देता है। हम इस अवलोकन को निम्नलिखित प्रमेय में सूचित कर सकते हैं, जिसे शृंखला नियम कहते हैं।

प्रमेय 4 $\mathbf{(शृंखला नियम)}$ मान लीजिए $f$ एक वास्तविक मान फलन है जो दो फलन $u$ और $v$ के संयोजन से बना है; अर्थात, $f = v$ o $u$. मान लीजिए $t = u(x)$ और यदि दोनों $\dfrac{d t}{d x}$ और $\dfrac{d v}{d t}$ मौजूद हों, तो हम निम्नलिखित प्राप्त करते हैं:

$ \dfrac{d f}{d x}=\dfrac{d v}{d t} \cdot \dfrac{d t}{d x} $

इस प्रमेय के साबित करने को हम छोड़ देते हैं। शृंखला नियम को निम्नलिखित तरीके से विस्तारित किया जा सकता है। मान लीजिए $f$ एक वास्तविक मान फलन है जो तीन फलन $u, v$ और $w$ के संयोजन से बना है; अर्थात,

$ \begin{aligned} & f=(w \circ u) \circ v \text{. यदि } t=v(x) \text{ और } s=u(t), तो \\ & \dfrac{d f}{d x}=\dfrac{d}{d t}(w \circ u) \cdot \dfrac{d t}{d x}=\dfrac{d w}{d s} \cdot \dfrac{d s}{d t} \cdot \dfrac{d t}{d x} \end{aligned} $

प्रत्येक अवकलज के लिए यह आवश्यक है कि अवकलज मौजूद हों। पाठक को अधिक फलनों के संयोजन के लिए शृंखला नियम के नियम बनाने के लिए आमंत्रित किया जाता है।

उदाहरण 21 फलन $f(x)=\sin (x^{2})$ का अवकलज ज्ञात कीजिए।

हल दिया गया फलन दो फलनों के संयोजन से बना है। वास्तव में, यदि $t=u(x)=x^{2}$ और $v(t)=\sin t$, तो

$ f(x)=(\begin{matrix} v & \circ & u \end{matrix} )(x)=v(u(x))=v(x^{2})=\sin x^{2} $ $ t=u(x)=x^{2} $ रखें। ध्यान दें कि $\dfrac{d v}{d t}=\cos t$ और $\dfrac{d t}{d x}=2 x$ मौजूद हैं। अतः, शृंखला नियम से

$ \dfrac{d f}{d x}=\dfrac{d v}{d t} \cdot \dfrac{d t}{d x}=\cos t .2 x $

अंतिम परिणाम को केवल $x$ के अवकलज के रूप में व्यक्त करना सामान्य अभ्यास है। अतः

$ \dfrac{d f}{d x}=\cos t \cdot 2 x=2 x \cos x^{2} $

5.3.2 अस्पष्ट फलनों के अवकलज

हाल के समय तक हम विभिन्न फ़ंक्शनों के बारे में बात कर रहे हैं जो $y=f(x)$ के रूप में दिए गए हैं। लेकिन आवश्यक नहीं है कि फ़ंक्शन हमेशा इस रूप में व्यक्त किए जाएं। उदाहरण के लिए, नीचे दिए गए $x$ और $y$ के बीच के संबंधों में से एक का विचार करें:

$$ x-y-\pi =0 $$

$$ x+\sin x y-y =0 $$

पहले मामले में, हम $y$ के लिए हल कर सकते हैं और संबंध को $y=x-\pi$ के रूप में लिख सकते हैं। दूसरे मामले में, यह लगता है कि $y$ के लिए हल करना आसान नहीं है। फिर भी, दोनों मामलों में $y$ के $x$ पर निर्भर होने के बारे में कोई शंका नहीं है। जब $x$ और $y$ के बीच एक संबंध ऐसे रूप में व्यक्त किया जाता है जिससे $y$ के लिए हल करना आसान हो और $y=f(x)$ के रूप में लिखा जा सके, तो हम कहते हैं कि $y$ को $x$ के एक स्पष्ट फ़ंक्शन के रूप में दिया गया है। दूसरे मामले में, $y$ के $x$ पर निर्भर होने के बारे में अस्पष्ट रूप से बताया गया है और हम कहते हैं कि उपरोक्त दूसरे प्रकार के संबंध फ़ंक्शन के अस्पष्ट रूप में दिया गया है। इस उपबाब में, हम अस्पष्ट फ़ंक्शनों के अवकलज निकालने सीखेंगे।

उदाहरण 22 यदि $x-y=\pi$ हो, तो $\dfrac{d y}{d x}$ का मान ज्ञात कीजिए।

हल एक तरीका यह है कि $y$ के लिए हल करें और उपरोक्त को निम्नलिखित रूप में लिखें:

$$ y =x-\pi $$

फिर $\qquad\begin{aligned}\dfrac{d y}{d x} & =1\end{aligned}$

$\text{अलग-अलग}$, सीधे $x$ के संबंध के अवकलज के रूप में अवकलज लेने पर हमें प्राप्त होता है:

$$ \dfrac{d}{d x}(x-y)=\dfrac{d \pi}{d x} $$

याद रखें कि $\dfrac{d \pi}{d x}$ का अर्थ है कि हम एक नियत फ़ंक्शन के अवकलज को लेते हैं जो सभी स्थानों पर मान $\pi$ लेता है। इसलिए

$$ \dfrac{d}{d x}(x)-\dfrac{d}{d x}(y)=0 $$

जो कि निम्नलिखित का अर्थ है: $$ \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{d x}{d x}=1 $$

उदाहरण 23 यदि $y+\sin y=\cos x$ हो, तो $\dfrac{d y}{d x}$ का मान ज्ञात कीजिए।

हल हम एक तरीका अपनाते हैं जिसमें हम $x$ के संबंध के अवकलज के रूप में अवकलज लेते हैं, अर्थात,

$$ \dfrac{d y}{d x}+\dfrac{d}{d x}(\sin y)=\dfrac{d}{d x}(\cos x)$$

जो कि चैन नियम का उपयोग करते हुए निम्नलिखित का अर्थ है

$$\dfrac{d y}{d x}+\cos y \cdot \dfrac{d y}{d x}=-\sin x$$

$\text{इससे प्राप्त होता है} \quad \dfrac{d y}{d x}=-\dfrac{\sin x}{1+\cos y}$

$\text{जहां} \qquad \quad y \neq(2 n+1) \pi$

5.3.3 व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फ़ंक्शनों के अवकलज

हम यह टिप्पणी करते हैं कि व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन अंतराल फ़ंक्शन होते हैं, लेकिन हम इसका साबित नहीं करेंगे। अब हम चैन नियम का उपयोग करके इन फ़ंक्शनों के अवकलज निकालेंगे।

उदाहरण 24 मान लीजिए $f(x)=\sin ^{-1} x$ द्वारा प्रदत्त $f$ के अवकलज को ज्ञात कीजिए, मान लीजिए यह अस्तित्व में है।

हल मान लीजिए $y=\sin ^{-1} x$. तब, $x=\sin y$.

दोनों ओर के पक्ष का अवकलज $x$ के संदर्भ में लेने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ 1=\cos y \dfrac{d y}{d x} \\ $

$ \text{जो कि इसका अर्थ है} \qquad \Rightarrow \quad \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{1}{\cos y}=\dfrac{1}{\cos \left(\sin ^{-1} x\right)} $

ध्यान दें कि यह केवल $\cos y \neq 0$ के लिए परिभाषित है, अर्थात $\sin ^{-1} x \neq-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}$, अर्थात $x \neq-1,1$, अर्थात $x \in(-1,1)$।

इस परिणाम को थोड़ा अधिक आकर्षक बनाने के लिए हम निम्नलिखित अपवाद करते हैं। याद रखें कि $x \in(-1,1)$, $\sin (\sin ^{-1} x)=x$ और इसलिए $ \cos ^{2} y=1-(\sin y)^{2}=1-(\sin (\sin ^{-1} x))^{2}=1-x^{2} $

इसके अतिरिक्त, क्योंकि $y \in\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)$, $\cos y$ धनात्मक होता है और इसलिए $\cos y=\sqrt{1-x^{2}}$

अतः, $x \in(-1,1)$ के लिए,

$\dfrac{d y}{d x}=\dfrac{1}{\cos y}=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$

$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline\ f(x) & \sin^{-1} x & \cos^{-1} x & \tan^{-1} x \ \hline\ f’(x) & \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} & \dfrac{-1}{\sqrt{1-x^2}} & \dfrac{1}{1+x^2} \ \hline\ \text{Domain of } f’ & (-1,1) & (-1,1) & \mathbf{R} \ \hline \end{array} $

5.4 अपसारी और लघुगणक फलन

अब तक हमने कई प्रकार के फलनों के कुछ पहलूओं के बारे में जानकारी प्राप्त की है, जैसे बहुपदीय फलन, परिमेय फलन और त्रिकोणमितीय फलन। इस अनुच्छेद में हम एक नए वर्ग के (संबंधित) फलनों के बारे में जानेंगे, जिन्हें अपसारी फलन और लघुगणक फलन कहा जाता है। यह ध्यान देने योग्य है कि इस अनुच्छेद में कई कथन मोटिवेशनल हैं और इनके सटीक साबित करने के लिए इस पाठ के सीमा के बाहर है।

चित्र 5.9 में $y=f_1(x)=x$, $y=f_2(x)=x^{2}$, $y=f_3(x)=x^{3}$ और $y=f_4(x)$ $=x^{4}$ के चित्र का चित्र दिया गया है। ध्यान दें कि जैसे जैसे $x$ की घात बढ़ती जाती है, वक्र तीव्र बनते जाते हैं। तीव्र वक्र, विकास की दर तेज होती है। इसका अर्थ यह है कि $x(>1)$ के एक स्थिर वृद्धि के लिए, $x$ के मान के लिए $y=f_n(x)$ के मान में वृद्धि $n$ के बढ़ते होने के साथ बढ़ती जाती है, जहां $n$ $=1,2,3,4$ है। यह संभव है कि ऐसा कथन सभी धनात्मक मानों के लिए सत्य हो।

जहाँ $f_n(x)=x^{n}$ है। मूल रूप से, इसका अर्थ यह है कि $y=f_n(x)$ के ग्राफ के लिए $n$ बढ़ते हुए $y$-अक्ष की ओर झुकाव अधिक होता है। उदाहरण के लिए, $f_{10}(x)=x^{10}$ और $f_{15}(x)=x^{15}$ को विचार करें। यदि $x$ 1 से 2 तक बढ़ता है, तो $f_{10}$ 1 से $2^{10}$ तक बढ़ता है जबकि $f_{15}$ 1 से $2^{15}$ तक बढ़ता है। इस प्रकार, $x$ के समान वृद्धि के लिए, $f_{15}$, $f_{10}$ से तेजी से बढ़ता है।

चित्र 5.9

उपरोक्त विवरण का निष्कर्ष यह है कि बहुपदीय फलनों के विकास बहुपदीय फलन की डिग्री पर निर्भर करता है - उच्च डिग्री वाले बहुपदीय फलन अधिक विकास करते हैं। अगला प्राकृतिक प्रश्न है: क्या कोई फलन है जो किसी भी बहुपदीय फलन से तेजी से बढ़ता है? उत्तर हां है और ऐसे फलन का एक उदाहरण है

$ y=f(x)=10^{x} . $

हमारा दावा यह है कि यह फलन $f$ किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए $f_n(x)=x^{n}$ से तेजी से बढ़ता है। उदाहरण के लिए, हम सिद्ध कर सकते हैं कि $10^{x}$, $f_{100}(x)=x^{100}$ से तेजी से बढ़ता है। बड़े मान के $x$ के लिए जैसे $x=10^{3}$, ध्यान दें कि $f_{100}(x)=(10^{3})^{100}=10^{300}$ जबकि $f(10^{3})=10^{10^{3}}=10^{1000}$ है।

स्पष्ट रूप से $f(x)$, $f_{100}(x)$ से बहुत अधिक है। सभी $x>10^{3}$ के लिए $f(x)>f_{100}(x)$ सिद्ध करना आसान नहीं है। लेकिन हम यहाँ सिद्ध करने की कोशिश नहीं करेंगे। इसी तरह, बड़े मान के $x$ के चयन करके, हम सिद्ध कर सकते हैं कि $f(x)$ किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए $f_n(x)$ से तेजी से बढ़ता है।

परिभाषा 3 धनात्मक आधार $b>1$ के साथ एक घातांकीय फलन निम्नलिखित होता है

$y=f(x)=b^{x}$

$y=10^{x}$ के ग्राफ को चित्र 5.9 में दिया गया है।

पाठक को इस ग्राफ को विशेष मान $b$ के लिए जैसे 2, 3 और 4 के लिए खींचना चाहिए। घातांकीय फलनों के कुछ महत्वपूर्ण विशेषताएं निम्नलिखित हैं:

(1) घातांकीय फलन के प्रांत $\mathbf{R}$, सभी वास्तविक संख्याओं के समुच्चय है।

(2) अपरिमेय फलन के परिसर सभी धनात्मक वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है।

(3) बिंदु $(0,1)$ हमेशा अपरिमेय फलन के ग्राफ पर होता है (इसका अर्थ यह है कि किसी भी वास्तविक संख्या $b>1$ के लिए $b^{0}=1$ होता है)।

(4) अपरिमेय फलन हमेशा बढ़ता है; अर्थात, हम बाएँ से दाएँ जाते हैं, तो ग्राफ ऊपर जाता है।

(5) $x$ के बहुत बड़े नकारात्मक मानों के लिए, अपरिमेय फलन बहुत करीब 0 के बराबर होता है। अन्य शब्दों में, द्वितीय चतुर्थांश में ग्राफ $x$-अक्ष के निकट आता है (लेकिन इसे कभी नहीं मिलता है)।

आधार 10 के अपरिमेय फलन को सामान्य अपरिमेय फलन कहते हैं। कक्षा XI के अनुप्रस्थ अनुच्छेद A.1.4 में यह देखा गया था कि श्रेणी

$ 1+\dfrac{1}{1 !}+\dfrac{1}{2 !}+\ldots \text { } $

एक संख्या है जो 2 और 3 के बीच है और इसे $e$ से दर्शाया जाता है। इस $e$ को आधार के रूप में लेकर हम एक बहुत महत्वपूर्ण अपरिमेय फलन $y=e^{x}$ प्राप्त करते हैं।

इसे प्राकृतिक अपरिमेय फलन कहते हैं।

हम जानना दिलचस्प होगा कि अपरिमेय फलन के व्युत्क्रम के अस्तित्व के बारे में क्या है और इसका क्या सुंदर अर्थ हो सकता है। इस खोज के कारण निम्नलिखित परिभाषा के बारे में बात करते हैं।

परिभाषा 4 मान लीजिए $b>1$ एक वास्तविक संख्या है। तब हम कहते हैं कि $a$ का $b$ आधार पर लघुगणक $x$ है यदि $b^{x}=a$।

$a$ का $b$ आधार पर लघुगणक $\log _{b} a$ से दर्शाया जाता है। इसलिए $\log _{b} a=x$ यदि $b^{x}=a$। इसके बारे में थोड़ा अधिक जानकारी लेते हैं। हम जानते हैं $2^{3}=8$। लघुगणक के रूप में इसे लिखा जा सकता है $\log _2 8=3$। इसी तरह, $10^{4}=10000$ के बराबर है $\log _{10} 10000=4$। इसके अतिरिक्त, $625=5^{4}=25^{2}$ के बराबर है $\log _5 625=4$ या $\log _{25} 625=2$।

एक थोड़ा अधिक विपणन तौर पर, एक आधार $b>1$ निर्धारित करके, हम लघुगणक को धनात्मक वास्तविक संख्याओं से सभी वास्तविक संख्याओं तक के फलन के रूप में देख सकते हैं। इस फलन को लघुगणक फलन कहते हैं और इसे निम्नलिखित द्वारा परिभाषित किया जाता है:

$ \log _{b}: \mathbf{R}^{+} \to \mathbf{R} $

$ \quad \quad x \to \log _{b} x=y \text{ if } b^{y}=x $

जैसा कि पहले बताया गया है, यदि आधार $b=10$ है, तो हम इसे सामान्य लघुगणक कहते हैं और यदि $b=e$ है, तो हम इसे प्राकृतिक लघुगणक कहते हैं। अक्सर प्राकृतिक लघुगणक को ln से दर्शाया जाता है। इस अध्याय में, log x आधार e पर लघुगणक फलन को दर्शाता है , अर्थात, ln x को बस $\log x$ के रूप में लिखा जाएगा। चित्र 5.10 में आधार 2, $e$ और 10 के लघुगणक फलन के ग्राफ दिखाए गए हैं।

चित्र 5.10

कोई भी आधार $b>1$ के लघुगणक फलन के बारे में महत्वपूर्ण अवलोकन नीचे सूचीबद्ध हैं:

(1) हम गैर-सकारात्मक संख्याओं के लघुगणक के अर्थपूर्ण परिभाषा नहीं बना सकते और इसलिए लघुगणक फलन की प्रांत $\mathbf{R}^{+}$ है।

(2) लघुगणक फलन की परिसर सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है।

(3) बिंदु $(1,0)$ हमेशा लघुगणक फलन के ग्राफ पर होता है।

(4) लघुगणक फलन हमेशा बढ़ता है, अर्थात, हम बाएं से दाएं जाते हुए ग्राफ ऊपर जाता है।

(5) $x$ बहुत कम शून्य के पास हो तो $\log x$ का मान किसी भी दिए गए वास्तविक संख्या से कम बनाया जा सकता है। अन्य शब्दों में, चतुर्थ चतुर्थांश में ग्राफ $y$-अक्ष के निकट आता है (लेकिन इसे कभी नहीं मिलता है)।

(6) चित्र 5.11 में $y=e^{x}$ और $y=\ln x$ के ग्राफ का चित्र दिया गया है। दो वक्रों के बारे में ध्यान देने वाली बात यह है कि ये दोनों वक्र रेखा $y=x$ के संदर्भ में एक दूसरे के दर्पण प्रतिबिम्ब हैं।

‘लघुगणक’ फलन के दो गुणों के नीचे सिद्ध किया गया है:

(1) एक मानक आधार बदलने का नियम है जिसके माध्यम से $\log _{a} p$ को $\log _{b} p$ के रूप में लिखा जा सकता है। मान लीजिए $\log _{a} p=\alpha, \log _{b} p=\beta$ और $\log _{b} a=\gamma$। इसका अर्थ है $a^{\alpha}=p, b^{\beta}=p$ और $b^{\gamma}=a$।

तीसरे समीकरण को पहले समीकरण में बदलते हुए, हमें प्राप्त होता है

$ (b^{\gamma})^{\alpha}=b^{\gamma \alpha}=p $

इसे दूसरे समीकरण में उपयोग करते हुए, हमें प्राप्त होता है

$b^{\beta} =p=b^{\gamma \alpha}$

$ \text{जो कि } \quad \beta =\alpha \gamma \text { या } \alpha=\dfrac{\beta}{\gamma} \text{ बताता है } \text{ लेकिन फिर } $

$ \mathbf{\log _{a} p =\dfrac{\log _{b} p}{\log _{b} a}} $

(2) लघुगणक फलन के एक अन्य रोचक गुण उसके गुणनफल पर प्रभाव है। मान लीजिए $\log _{b} p q=\alpha$. तब $b^{\alpha}=p q$. यदि $\log _{b} p=\beta$ और $\log _{b} q=\gamma$, तो $b^{\beta}=p$ और $b^{\gamma}=q$। लेकिन फिर $b^{\alpha}=p q=b^{\beta} b^{\gamma}=b^{\beta+\gamma}$

जो कि $\alpha=\beta+\gamma$ के तुल्य है, अर्थात,

$ \mathbf{\log _{b} p q=\log _{b} p+\log _{b} q} $

इसका एक विशेष रूप से दिलचस्प और महत्वपूर्ण परिणाम जब $p=q$ होता है। इस स्थिति में उपरोक्त समीकरण को निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है:

$ \mathbf{\log _{b} p^{2}=\log _{b} p+\log _{b} p=2 \log p} $

इसका एक आसान सामान्यीकरण (एक्सरसाइज के रूप में छोड़ दिया गया है!) निम्नलिखित है:

$ \mathbf{\log _{b} p^{n}=n \log p} $

किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए। वास्तव में, यह सत्य है किसी भी वास्तविक संख्या $n$ के लिए, लेकिन हम इसका साबित करने की कोशिश नहीं करेंगे। इसी तरह के रूप में पाठक को यह सत्यापित करने के लिए आमंत्रित किया जाता है:

$ \mathbf{\log _{b} \dfrac{x}{y}=\log _{b} x-\log _{b} y} $

उदाहरण 25 क्या $x=e^{\log x}$ सभी वास्तविक $x$ के लिए सत्य है?

हल पहले, ध्यान दें कि लघुगणक फलन के प्रांत सभी धनात्मक वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। इसलिए उपरोक्त समीकरण धनात्मक नहीं वाली वास्तविक संख्याओं के लिए सत्य नहीं है। अब, मान लीजिए $y=e^{\log x}$. यदि $y>0$, तो हम लघुगणक लेने के लिए अनुमति दे सकते हैं जो हमें $\log y=\log (e^{\log x})=\log x \cdot \log e=\log x$ देता है। इसलिए $y=x$ है। अतः $x=e^{\log x}$ केवल $x$ के धनात्मक मानों के लिए सत्य है।

अवकलन के अवतरण में प्राकृतिक अपरिवर्तनीय फलन के एक विशिष्ट गुण के बारे में बात करते हैं, जो अवकलन की प्रक्रिया के दौरान बदलता नहीं है। इसको निम्नलिखित प्रमेय में दर्शाया गया है, जिसका साबित करना हम छोड़ देंगे।

प्रमेय 5*

(1) $e^{x}$ के संबंध में $x$ के संबंध में अवकलज $e^{x}$ होता है; अर्थात, $\dfrac{d}{d x}(e^{x})=e^{x}$।

(2) $\log x$ के संबंध में $x$ के संबंध में अवकलज $\dfrac{1}{x}$ होता है; अर्थात, $\dfrac{d}{d x}(\log x)=\dfrac{1}{x}$।

उदाहरण 26 निम्नलिखित को $x$ के संबंध में अवकलज निकालें:

(i) $e^{-x}$

(ii) $\sin (\log x), x>0$

(iii) $\cos ^{-1}(e^{x})$

(iv) $e^{\cos x}$

हल

(i) मान लीजिए $y=e^{-x}$. श्रृंखला नियम का उपयोग करते हुए, हमें प्राप्त होता है:

$ \dfrac{d y}{d x}=e^{-x} \cdot \dfrac{d}{d x}(-x)=-e^{-x} $

(ii) मान लीजिए $y=\sin (\log x)$. श्रृंखला नियम का उपयोग करते हुए, हमें प्राप्त होता है:

$ \dfrac{d y}{d x}=\cos (\log x) \cdot \dfrac{d}{d x}(\log x)=\dfrac{\cos (\log x)}{x} $

(iii) मान लीजिए $y=\cos ^{-1}(e^{x})$. श्रृंखला नियम का उपयोग करते हुए, हमें प्राप्त होता है:

$ \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{-1}{\sqrt{1-\left(e^{x}\right)^{2}}} \cdot \dfrac{d}{d x}\left(e^{x}\right)=\dfrac{-e^{x}}{\sqrt{1-e^{2 x}}} .

$

(iv) मान लीजिए $y=e^{\cos x}$. शॉर्ट नियम का उपयोग करते हुए, हमें प्राप्त होता है

$ \dfrac{d y}{d x}=e^{\cos x} \cdot(-\sin x)=-(\sin x) e^{\cos x} $[^0]

5.5 लघुगणकीय अवकलन

इस अनुच्छेद में, हम विशेष वर्ग के फलनों के अवकलज निकालने के बारे में सीखेंगे जो निम्नलिखित रूप में दिए गए होंगे

$ y=f(x)=[u(x)]^{v(x)} $

लघुगणक (आधार $e$ पर) लेकर ऊपरी व्यंजक को निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है

$ \log y=v(x) \log [u(x)] $

शॉर्ट नियम का उपयोग करते हुए इसका अवकलज निम्नलिखित रूप में होगा

$ \dfrac{1}{y} \cdot \dfrac{d y}{d x}=v(x) \cdot \dfrac{1}{u(x)} \cdot u^{\prime}(x)+v^{\prime}(x) \cdot \log [u(x)] $

जो कि निम्नलिखित रूप में बदल जाता है

$ \dfrac{d y}{d x}=y\left[\dfrac{v(x)}{u(x)} \cdot u^{\prime}(x)+v^{\prime}(x) \cdot \log [u(x)]\right] $

इस विधि में ध्यान देने वाला मुख्य बिंदु यह है कि $f(x)$ और $u(x)$ हमेशा धनात्मक होना चाहिए क्योंकि अन्यथा उनके लघुगणक निर्धारित नहीं हो सकते। इस अवकलन क्रिया को लघुगणकीय अवकलन कहा जाता है और नीचे दिए गए उदाहरणों द्वारा दिखाया गया है:

उदाहरण 27 $x$ के सापेक्ष $\sqrt{\dfrac{(x-3)(x^{2}+4)}{3 x^{2}+4 x+5}}$ का अवकलज निकालें।

हल मान लीजिए $y=\sqrt{\dfrac{(x-3)(x^{2}+4)}{(3 x^{2}+4 x+5)}}$

दोनों ओर लघुगणक लेने पर, हमें प्राप्त होता है

$ \log y=\dfrac{1}{2}[\log (x-3)+\log (x^{2}+4)-\log (3 x^{2}+4 x+5)] $

अब, $x$ के सापेक्ष दोनों ओर अवकलज लेने पर, हमें प्राप्त होता है

$ \dfrac{1}{y} \cdot \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{1}{(x-3)}+\dfrac{2 x}{x^{2}+4}-\dfrac{6 x+4}{3 x^{2}+4 x+5}\right] $

या $\qquad\dfrac{d y}{d x}=\dfrac{y}{2}\left[\dfrac{1}{(x-3)}+\dfrac{2 x}{x^{2}+4}-\dfrac{6 x+4}{3 x^{2}+4 x+5}\right]$

$ \qquad \qquad \quad =\dfrac{1}{2} \sqrt{\dfrac{(x-3)\left(x^{2}+4\right)}{3 x^{2}+4 x+5}}\left[\dfrac{1}{(x-3)}+\dfrac{2 x}{x^{2}+4}-\dfrac{6 x+4}{3 x^{2}+4 x+5}\right] $

उदाहरण 28 $x$ के सापेक्ष $a^{x}$ का अवकलज निकालें, जहाँ $a$ एक धनात्मक स्थिरांक है।

हल मान लीजिए $y=a^{x}$. तब

$ \log y=x \log a $

दोनों ओर $x$ के संदर्भ में अवकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है

$ \begin{aligned} & \dfrac{1}{y} \dfrac{d y}{d x}=\log a \\ \text{ या } \qquad & \dfrac{d y}{d x}=y \log a \\ \text{ इसलिए } \qquad & \dfrac{d}{d x}\left(a^x\right)=a^x \log a \\ \text { अलग-अलग } \qquad & \dfrac{d}{d x}\left(a^x\right) =\dfrac{d}{d x}\left(e^{x \log a}\right)=e^{x \log a} \dfrac{d}{d x}(x \log a) \\ & =e^{x \log a} \cdot \log a=a^x \log a \end{aligned} $

उदाहरण 29 $x^{\sin x}, x>0$ के संदर्भ में $x$ के संदर्भ में अवकलज निकालें।

हल मान लीजिए $y=x^{\sin x}$. दोनों ओर लघुगणक लेने पर, हमें प्राप्त होता है

$\log y =\sin x \log x $

$ \text{इसलिए} \quad \dfrac{1}{y} \cdot \dfrac{d y}{d x} =\sin x \dfrac{d}{d x}(\log x)+\log x \dfrac{d}{d x}(\sin x) $

$\text{या } \qquad \qquad \dfrac{1}{y} \dfrac{d y}{d x}=(\sin x) \dfrac{1}{x}+\log x \cos x$

$\text{या} \qquad \qquad \quad
\begin{aligned}\dfrac{d y}{d x} & =y\left[\dfrac{\sin x}{x}+\cos x \log x\right] \end{aligned} $

$ \qquad \qquad \qquad \quad =x^{\sin x}[\dfrac{\sin x}{x}+\cos x \log x] $

$ \qquad \qquad \qquad \quad =x^{\sin x-1} \cdot \sin x+x^{\sin x} \cdot \cos x \log x $

उदाहरण 30 यदि $y^{x}+x^{y}+x^{x}=a^{b}$, तो $\dfrac{d y}{d x}$ निकालें।

हल दिया गया है $y^{x}+x^{y}+x^{x}=a^{b}$.

मान लीजिए $u=y^{x}, v=x^{y}$ और $w=x^{x}$, तो हमें $u+v+w=a^{b}$ प्राप्त होता है

इसलिए $\qquad \dfrac{d u}{d x}+\dfrac{d v}{d x}+\dfrac{d w}{d x}=0 \qquad \qquad …(1)$

अब, $u=y^{x}$. दोनों ओर लघुगणक लेने पर, हमें प्राप्त होता है

$ \log u=x \log y $

दोनों ओर $x$ के संदर्भ में अवकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है

$ \begin{aligned} \dfrac{1}{u} \cdot \dfrac{d u}{d x} & =x \dfrac{d}{d x}(\log y)+\log y \dfrac{d}{d x}(x) \\ & =x \dfrac{1}{y} \cdot \dfrac{d y}{d x}+\log y \cdot 1 \\ \text{ इसलिए } \qquad \qquad \dfrac{d u}{d x} & =u(\dfrac{x}{y} \dfrac{d y}{d x}+\log y)=y^{x}[\dfrac{x}{y} \dfrac{d y}{d x}+\log y] \qquad \qquad …(2) \end{aligned} $

इसके अलावा $v=x^{y} $

दोनों ओर लघुगणक लेने पर, हमें प्राप्त होता है

$ \log v=y \log x $

दोनों ओर $x$ के संदर्भ में अवकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है

$ \begin{aligned} \dfrac{1}{v} \cdot \dfrac{d v}{d x} & =y \dfrac{d}{d x}(\log x)+\log x \dfrac{d y}{d x} \\ & =y \cdot \dfrac{1}{x}+\log x \cdot \dfrac{d y}{\text{d} x} \\ \text{ इसलिए } \qquad \qquad \dfrac{d v}{d x} & =v[\dfrac{y}{x}+\log x \dfrac{d y}{d x}] \\ & =x^{y}[\dfrac{y}{x}+\log x \dfrac{d y}{d x}] \qquad \qquad …(3) \end{aligned} $

$\text{फिर से}\qquad \qquad w=x^{x} $

दोनों ओर लघुगणक लेने पर, हमें प्राप्त होता है

$ \log w=x \log x $

दोनों ओर $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है

$ \begin{aligned} \dfrac{1}{w} \cdot \dfrac{d w}{d x} & =x \dfrac{d}{d x}(\log x)+\log x \cdot \dfrac{d}{d x}(x) \\ & =x \cdot \dfrac{1}{x}+\log x \cdot 1 \\ \end{aligned} $

$ \begin{aligned} \text{ अर्थात } \qquad \qquad \dfrac{d w}{d x} & =w(1+\log x) \\ & =x^{x}(1+\log x) \qquad \qquad …(4) \end{aligned} $

$(1)$, $(2)$, $(3)$, $(4)$ से, हमें प्राप्त होता है

$ y^{x}\left(\dfrac{x}{y} \dfrac{d y}{d x}+\log y\right)+x^{y}\left(\dfrac{y}{x}+\log x \dfrac{d y}{d x}\right)+x^{x}(1+\log x)=0 $

या $\qquad(x \cdot y^{x-1}+x^{y} \cdot \log x) \dfrac{d y}{d x}=-x^{x}(1+\log x)-y \cdot x^{y-1}-y^{x} \log y$

इसलिए $\qquad\qquad\qquad\qquad\hspace{1.5mm} \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{-[y^{x} \log y+y \cdot x^{y-1}+x^{x}(1+\log x)]}{x \cdot y^{x-1}+x^{y} \log x}$

5.6 पैरामेट्रिक रूपों में फलनों के अवकलज

कभी-कभी दो चरों के बीच संबंध न तो स्पष्ट रूप से होता है और न ही अप्रत्यक्ष रूप से, बल्कि दोनों चरों के साथ एक तीसरे चर के कुछ संबंध के कारण पहले दो चरों के बीच संबंध स्थापित हो जाता है। ऐसी स्थिति में, हम कहते हैं कि दो चरों के बीच संबंध तीसरे चर के माध्यम से व्यक्त किया गया है। तीसरा चर पैरामीटर कहलाता है। अधिक सटीक रूप से, दो चरों $x$ और $y$ के बीच एक संबंध $x=f(t), y=g(t)$ के रूप में व्यक्त किया गया है, जिसे $t$ के पैरामीटर के साथ पैरामेट्रिक रूप में कहा जाता है।

अत: $\quad \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{g^{\prime}(t)}{f^{\prime}(t)}(\text{ जबकि } \dfrac{d y}{d t}=g^{\prime}(t) \text{ और } \dfrac{d x}{d t}=f^{\prime}(t)) [\text{ जबकि } f^{\prime}(t) \neq 0]$

उदाहरण 31 यदि $x=a \cos \theta, y=a \sin \theta$ हो, तो $\dfrac{d y}{d x}$ ज्ञात कीजिए।

हल दिया गया है

$ x=a \cos \theta, y=a \sin \theta $

इसलिए $\quad \dfrac{d x}{d \theta}=-a \sin \theta, \dfrac{d y}{d \theta}=a \cos \theta$

अतः $\quad \quad \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{\dfrac{d y}{d \theta}}{\dfrac{d x}{d \theta}}=\dfrac{a \cos \theta}{-a \sin \theta}=-\cot \theta$

उदाहरण 32 यदि $x=a t^{2}, y=2 a t$ हो, तो $\dfrac{d y}{d x}$ ज्ञात कीजिए।

हल दिया गया है $x=a t^{2}, y=2 a t$

इसलिए $\qquad \qquad \dfrac{d x}{d t}=2 a t \text { या } \dfrac{d y}{d t}=2 a$

अतः $ \qquad \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{\dfrac{d y}{d t}}{\dfrac{d x}{d t}}=\dfrac{2 a}{2 a t}=\dfrac{1}{t}$

उदाहरण 33 यदि $x=a(\theta+\sin \theta), y=a(1-\cos \theta)$ हो, तो $\dfrac{d y}{d x}$ ज्ञात कीजिए।

हल हमें ज्ञात है $\dfrac{d x}{d \theta}=a(1+\cos \theta), \dfrac{d y}{d \theta}=a(\sin \theta)$

इसलिए $\qquad \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{\dfrac{d y}{d \theta}}{\dfrac{d x}{d \theta}}=\dfrac{a \sin\theta}{a(1+\cos \theta)}=\tan \dfrac{\theta}{2}$

ध्यान यहाँ ध्यान देने योग्य है कि $\dfrac{d y}{d x}$ केवल पैरामीटर के अनुसार व्यक्त किया गया है और मुख्य चर $x$ और $y$ के सीधे संबंध में नहीं है।

उदाहरण 34 यदि $x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}$ हो, तो $\dfrac{d y}{d x}$ ज्ञात कीजिए।

हल मान लीजिए $x=a \cos ^{3} \theta, y=a \sin ^{3} \theta$. तब

$ \begin{aligned} x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{3}{2}} & =\left(a \cos ^{3} \theta\right)^{\frac{2}{3}}+\left(a \sin ^{3} \theta\right)^{\frac{2}{3}} \\ & =a^{\frac{2}{3}}\left(\cos ^{2} \theta+\left(\sin ^{2} \theta\right)=a^{\frac{2}{3}}\right) $

\end{aligned} $

इसलिए, $x=a \cos ^{3} \theta, y=a \sin ^{3} \theta$ का $x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}$ का प्रामाणिक समीकरण है।

अब $\qquad \quad \dfrac{d x}{d \theta}=-3 a \cos ^{2} \theta \sin \theta \text{ और } \dfrac{d y}{d\theta}=3 a \sin ^{2} \theta \cos \theta$

इसलिए $\quad \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{\dfrac{d y}{d \theta}}{\dfrac{d x}{d \theta}}=\dfrac{3 a \sin ^{2} \theta \cos \theta}{-3 a \cos ^{2} \theta \sin \theta}=-\tan \theta=-\sqrt[3]{\dfrac{y}{x}}$

5.7 दूसरा क्रम के अवकलज

$ \begin{aligned} \text {मान लीजिए} \qquad y & =f(x) \text {. तब } \\ \dfrac{d y}{d x} & =f^{\prime}(x) \qquad \qquad\text{…(1)} \end{aligned} $

यदि $f^{\prime}(x)$ अवकलनीय है, तो हम (1) को $x$ के संदर्भ में फिर से अवकलज ले सकते हैं। तब, बायां पक्ष $\dfrac{d}{d x}(\dfrac{d y}{d x})$ बन जाता है, जिसे $y$ के संदर्भ में $x$ के दूसरे क्रम के अवकलज कहा जाता है और इसे $\dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}$ से नोट किया जाता है। $f(x)$ के दूसरे क्रम के अवकलज को $f^{\prime \prime}(x)$ से नोट किया जाता है। यह भी $D^{2} y$ या $y^{\prime \prime}$ या $y_2$ से नोट किया जा सकता है यदि $y=f(x)$ हो। हम यह टिप्पणी करते हैं कि उच्च क्रम के अवकलज इसी तरह परिभाषित किए जा सकते हैं।

उदाहरण 35 यदि $y=x^{3}+\tan x$ हो, तो $\dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}$ ज्ञात कीजिए।

हल दिया गया है कि $y=x^{3}+\tan x$। तब

$\begin{aligned} \dfrac{d y}{d x} & =3 x^{2}+\sec ^{2} x \\ \text{इसलिए} \qquad\dfrac{d^{2} y}{d x^{2}} & =\dfrac{d}{d x}\left(3 x^{2}+\sec ^{2} x\right) \\ & =6 x+2 \sec x \cdot \sec x \tan x=6 x+2 \sec ^{2} x \tan x\end{aligned}$

उदाहरण 36 यदि $y=A \sin x+B \cos x$ हो, तो सिद्ध कीजिए कि $\dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}+y=0$।

हल हम जानते हैं कि

$ \begin{aligned} \quad & \dfrac{d y}{d x}=\mathrm{A} \cos x-\mathrm{B} \sin x \\ \text{ और } \qquad & \dfrac{d^2 y}{d x^2} =\dfrac{d}{d x}(\mathrm{~A} \cos x-\mathrm{B} \sin x) \\

$$ \begin{aligned} & \qquad =-\mathrm{A} \sin x-\mathrm{B} \cos x=-y \\ \text{ अतः } \qquad & \dfrac{d^2 y}{d x^2}+y=0 \end{aligned} $$

उदाहरण 37 यदि $y=3 e^{2 x}+2 e^{3 x}$, सिद्ध कीजिए कि $\dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}-5 \dfrac{d y}{d x}+6 y=0$।

हल दिया गया है $y=3 e^{2 x}+2 e^{3 x}$. तब

$\qquad \qquad \qquad \dfrac{d y}{d x}=6 e^{2 x}+6 e^{3 x}=6\left(e^{2 x}+e^{3 x}\right)$

अतः $\qquad \dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}=12 e^{2 x}+18 e^{3 x}=6\left(2 e^{2 x}+3 e^{3 x}\right)$

$ \text{अतः} \qquad \quad \dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}-5 \dfrac{d y}{d x}+6 y=6\left(2 e^{2 x}+3 e^{3 x}\right) $

$ \qquad \qquad \quad -30\left(e^{2 x}+e^{3 x}\right)+6\left(3 e^{2 x}+2 e^{3 x}\right)=0 $

उदाहरण 38 यदि $y=\sin ^{-1} x$, सिद्ध कीजिए कि $(1-x^{2}) \dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}-x \dfrac{d y}{d x}=0$।

हल हमें $y=\sin ^{-1} x$ दिया गया है।

तब $\qquad \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{1}{\sqrt{\left(1-x^{2}\right)}}$

$ \text{या} \qquad \sqrt{\left(1-x^{2}\right)} \dfrac{d y}{d x}=1 $

$\text {या }\qquad \dfrac{d}{d x}\left(\sqrt{\left(1-x^{2}\right)} \cdot \dfrac{d y}{d x}\right)=0$

$\text {या }\qquad\sqrt{\left(1-x^{2}\right)} \cdot \dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}+\dfrac{d y}{d x} \cdot \dfrac{d}{d x}\left(\sqrt{\left(1-x^{2}\right)}\right)=0$

$ \text {या } \qquad \sqrt{\left(1-x^{2}\right)} \cdot \dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}-\dfrac{d y}{d x} \cdot \dfrac{2 x}{2 \sqrt{1-x^{2}}}=0 $

$ \text{अतः} \quad \left(1-x^{2}\right) \dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}-x \dfrac{d y}{d x}=0 $

अल्टरनेटिवली, दिया गया है $y=\sin ^{-1} x$, हमें

$ y_1=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \text{, अर्थात, }(1-x^{2}) y_1^{2}=1 $

तो $\qquad \qquad(1-x^{2}) \cdot 2 y_1 y_2+y_1^{2}(0-2 x)=0$

अतः $ \qquad \quad\left(1-x^{2}\right) y _{2}-x y _{1}=0$

विविध उदाहरण

उदाहरण 39 निम्नलिखित फलन के संदर्भ में $x$ के संदर्भ में अवकलज ज्ञात कीजिए:

(i) $\sqrt{3 x+2}+\dfrac{1}{\sqrt{2 x^{2}+4}}$

(ii) $\log _7(\log x)$

हल

(i) मान लीजिए $y=\sqrt{3 x+2}+\dfrac{1}{\sqrt{2 x^{2}+4}}=(3 x+2)^{\frac{1}{2}}+(2 x^{2}+4)^{-\frac{1}{2}}$

ध्यान दें कि यह फलन सभी वास्तविक संख्याओं $x>-\dfrac{2}{3}$ पर परिभाषित है। अतः

$ \begin{aligned} \dfrac{d y}{d x} & =\dfrac{1}{2}(3 x+2)^{\frac{1}{2}-1} \cdot \dfrac{d}{d x}(3 x+2)+(-\dfrac{1}{2})(2 x^{2}+4)^{-\frac{1}{2}-1} \cdot \dfrac{d}{d x}(2 x^{2}+4) \\ & =\dfrac{1}{2}(3 x+2)^{-\frac{1}{2}} \cdot(3)-\dfrac{1}{2}(2 x^{2}+4)^{-\frac{3}{2}} \cdot 4 x \\ & =\dfrac{3}{2 \sqrt{3 x+2}}-\dfrac{2 x}{(2 x^{2}+4)^{\frac{3}{2}}} \end{aligned} $

यह सभी वास्तविक संख्याओं $x>-\dfrac{2}{3}$ पर परिभाषित है। (ii) मान लीजिए $y=\log _7(\log x)=\dfrac{\log (\log x)}{\log 7}$ (आधार परिवर्तन सूत्र के द्वारा)।

फलन सभी वास्तविक संख्याओं $x>1$ पर परिभाषित है। अतः

$ \begin{aligned} \dfrac{d y}{d x} & =\dfrac{1}{\log 7} \dfrac{d}{d x}(\log (\log x)) \\ & =\dfrac{1}{\log 7} \dfrac{1}{\log x} \cdot \dfrac{d}{d x}(\log x) \\ & =\dfrac{1}{x \log 7 \log x} \end{aligned} $

उदाहरण 40 निम्नलिखित को $x$ के सापेक्ष अवकलन कीजिए।

(i) $\cos ^{-1}(\sin x)$

(ii) $\tan ^{-1}(\dfrac{\sin x}{1+\cos x})$

(iii) $\sin ^{-1}(\dfrac{2^{x+1}}{1+4^{x}})$

हल

(i) मान लीजिए $f(x)=\cos ^{-1}(\sin x)$. ध्यान दें कि यह फलन सभी वास्तविक संख्याओं पर परिभाषित है। हम इस फलन को इस प्रकार लिख सकते हैं:

$ \begin{aligned} f(x) & =\cos ^{-1}(\sin x) \\ & =\cos ^{-1} \left[\cos \left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)\right] \\ & =\dfrac{\pi}{2}-x \end{aligned} $

अतः $ f^{\prime}(x)=-1 \text{. } $

(ii) मान लीजिए $f(x)=\tan ^{-1}\left(\dfrac{\sin x}{1+\cos x}\right)$. ध्यान दें कि यह फलन सभी वास्तविक संख्याओं पर परिभाषित है, जहाँ $\cos x \neq-1$; अर्थात् सभी विषम गुणा $\pi$ के। हम इस फलन को इस प्रकार लिख सकते हैं:

$ \begin{aligned} f(x) & =\tan ^{-1}\left(\dfrac{\sin x}{1+\cos x}\right) \\ & =\tan ^{-1}\left[\dfrac{2 \sin \left(\dfrac{x}{2}\right) \cos \left(\dfrac{x}{2}\right)}{2 \cos ^{2} \dfrac{x}{2}}\right] \\ & =\tan ^{-1}\left[\tan \left(\dfrac{x}{2}\right)\right]=\dfrac{x}{2}

\end{aligned} $

ध्यान दें कि हम अंश और हर में $\cos \left(\dfrac{x}{2}\right)$ को खत्म कर सकते हैं क्योंकि यह शून्य नहीं है। इसलिए $f^{\prime}(x)=\dfrac{1}{2}$।

(iii) मान लीजिए $f(x)=\sin ^{-1}\left(\dfrac{2^{x+1}}{1+4^{x}}\right)$. इस फ़ंक्शन के प्रांत को खोजने के लिए हमें ऐसे सभी $x$ ज्ञात करने होंगे जहां $-1 \leq \dfrac{2^{x+1}}{1+4^{x}} \leq 1$। केंद्रीय मात्रा हमेशा धनात्मक होती है, इसलिए हमें ऐसे सभी $x$ ज्ञात करने होंगे जहां $\dfrac{2^{x+1}}{1+4^{x}} \leq 1$, अर्थात सभी $x$ जहां $2^{x+1} \leq 1+4^{ एक्स}$. हम इसे $2 \leq \dfrac{1}{2^{x}}+2^{x}$ के रूप में लिख सकते हैं जो सभी $x$ के लिए सत्य होता है। इसलिए फ़ंक्शन कोई भी वास्तविक संख्या पर परिभाषित है। $2^{x}=\tan \theta$ रखकर इस फ़ंक्शन को निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है:

$ \begin{aligned} f(x) & =\sin ^{-1}[\dfrac{2^{x+1}}{1+4^{x}}] \\ & =\sin ^{-1} \dfrac{2^{x} \cdot 2}{1+(2^{x})^{2}} \\ & =\sin ^{-1}[\dfrac{2 \tan \theta}{1+\tan ^{2} \theta}] \\ & =\sin ^{-1}[\sin 2 \theta] \\ & =2 \theta=2 \tan ^{-1}(2^{x}) \end{aligned} $

$ \begin{aligned} \text{इसलिए} \quad f^{\prime}(x) & =2 \cdot \dfrac{1}{1+(2^{x})^{2}} \cdot \dfrac{d}{d x}(2^{x}) \\ & =\dfrac{2}{1+4^{x}} \cdot(2^{x}) \log 2 \\ & =\dfrac{2^{x+1} \log 2}{1+4^{x}} \end{aligned} $

उदाहरण 41 यदि $f(x)=(\sin x)^{\sin x}$ हर $0 < x < \pi$ के लिए है, तो $f^{\prime}(x)$ ज्ञात कीजिए।

हल फ़ंक्शन $y=(\sin x)^{\sin x}$ सभी धनात्मक वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है। लघुगणक लेने पर हमें प्राप्त होता है:

$ \begin{aligned} \text{तब} \qquad \log y & =\log (\sin x)^{\sin x}=\sin x \log (\sin x) \\ \dfrac{1}{y} \dfrac{d y}{d x} & =\dfrac{d}{d x}(\sin x \log (\sin x)) \\ & =\cos x \log (\sin x)+\sin x \cdot \dfrac{1}{\sin x} \cdot \dfrac{d}{d x}(\sin x) \\ & =\cos x \log (\sin x)+\cos x \\ & =(1+\log (\sin x)) \cos x \end{aligned} $

$ \text{इसलिए} \qquad \dfrac{d y}{d x}=y((1+\log (\sin x)) \cos x)=(1+\log (\sin x))(\sin x)^{\sin x} \cos x $

उदाहरण 42 एक धनात्मक स्थिरांक $a$ के लिए $\dfrac{d y}{d x}$ ज्ञात कीजिए, जहां

$ y=a^{t+\dfrac{1}{t}}, \text{ और } x=(t+\dfrac{1}{t})^{a}

$

हल ध्यान दें कि $y$ और $x$ दोनों वास्तविक संख्या $t \neq 0$ के लिए परिभाषित हैं। स्पष्ट रूप से

$ \begin{aligned} \dfrac{d y}{d t}=\dfrac{d}{d t}\left(a^{t+\dfrac{1}{t}}\right) & =a^{t+\dfrac{1}{t}} \dfrac{d}{d t}\left(t+\dfrac{1}{t}\right) \cdot \log a \\ & =a^{t+\dfrac{1}{t}}\left(1-\dfrac{1}{t^{2}}\right) \log a \\ \text{ इसी तरह } \qquad \dfrac{d x}{d t} & =a\left[t+\dfrac{1}{t}\right]^{a-1} \cdot \dfrac{d}{d t}\left(t+\dfrac{1}{t}\right) \\ & =a\left[t+\dfrac{1}{t}\right]^{a-1} \cdot\left(1-\dfrac{1}{t^{2}}\right) \\ \dfrac{d x}{d t} & \neq 0 \text { केवल यदि } t \neq \pm 1 \text { इसलिए } t \neq \pm 1 \\ \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{d y}{\dfrac{d x}{d t}} & =\dfrac{a^{t+\dfrac{1}{t}}\left(1-\dfrac{1}{t^{2}}\right) \log a}{\left.a^{\left[t+\dfrac{1}{t}\right.}\right]^{a-1} \cdot\left(1-\dfrac{1}{t^{2}}\right)}\\ & =\dfrac{a^{t+\dfrac{1}{t}} \log a}{a\left(t+\dfrac{1}{t}\right)^{a-1}} \end{aligned} $

उदाहरण 43 $\sin ^{2} x$ को $e^{\cos x}$ के संदर्भ में अवकलज ज्ञात कीजिए।

हल मान लीजिए $u(x)=\sin ^{2} x$ और $v(x)=e^{\cos x}$. हमें $\dfrac{d u}{d v}=\dfrac{d u / d x}{d v / d x}$ ज्ञात करना है। स्पष्ट रूप से

$ \qquad \qquad \dfrac{d u}{d x}=2 \sin x \cos x \text{ और } \dfrac{d v}{d x}=e^{\cos x}(-\sin x)=-(\sin x) e^{\cos x} $

$ \text{इसलिए} \qquad \dfrac{d u}{d v}=\dfrac{2 \sin x \cos x}{-\sin x e^{\cos x}}=-\dfrac{2 \cos x}{e^{\cos x}} $

सारांश

• एक वास्तविक मान फलन अपने डोमेन में एक बिंदु पर अविच्छिन्न होता है यदि फलन के उस बिंदु पर सीमा फलन के उस बिंदु पर मान के बराबर हो। एक फलन अविच्छिन्न होता है यदि यह अपने डोमेन के सभी बिंदुओं पर अविच्छिन्न हो।

• अविच्छिन्न फलनों के योग, अंतर, गुणन और भाग भी अविच्छिन्न होते हैं। अर्थात, यदि $f$ और $g$ अविच्छिन्न फलन हैं, तो

$ \qquad (f \pm g)(x)=f(x) \pm g(x)$ अविच्छिन्न होता है।

$ \qquad (f . g)(x)=f(x) \cdot g(x)$ सतत है।

$ \qquad \left(\dfrac{f}{g}\right)(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$ (जहाँ $g(x) \neq 0)$ सतत है।

• प्रत्येक अवकलनीय फलन सतत होता है, लेकिन विलोम नहीं सत्य है।
• चैन नियम फलनों के संयोजन के अवकलज के नियम होता है। यदि $f=v$ o $u, t=u(x)$ और यदि दोनों $\dfrac{d t}{d x}$ और $\dfrac{d v}{d t}$ मौजूद हों तो

$ \qquad \dfrac{d f}{d x}=\dfrac{d v}{d t} \cdot \dfrac{d t}{d x} $

• निम्नलिखित कुछ मानक अवकलज हैं (उपयोग के उचित डोमेन में):

$ \qquad \begin{array}{ll} \dfrac{d}{d x}\left(\sin ^{-1} x\right)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} & \dfrac{d}{d x}\left(\cos ^{-1} x\right)=\dfrac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}} \\ \dfrac{d}{d x}(\tan^{-1}) = \dfrac{1}{1+x^{2}} \\ \dfrac{d}{d x}\left(\tan ^{-1} x\right)=\dfrac{1}{1+x^{2}} & \dfrac{d}{d x}(\log x)=\dfrac{1}{x} \end{array} $

• लघुगणकीय अवकलन एक शक्तिशाली तकनीक है जो $f(x)=[u(x)]^{v(x)}$ रूप के फलनों के अवकलज करने के लिए उपयोग की जाती है। इस तकनीक के लागू होने के लिए यहाँ दोनों $f(x)$ और $u(x)$ धनात्मक होने चाहिए।