“गणित के अध्ययन में अवकलन के उपयोग से प्रकृति के प्रवाह की व्याख्या करना संभव हो जाता है।” - व्हाइटहेड

6.1 परिचय

अध्याय 5 में, हमने यह सीखा है कि कैसे अवकलज यूनिट फलन, व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन, अप्रत्यक्ष फलन, घातांकीय फलन और लघुगणक फलन के लिए खोजा जा सकता है। इस अध्याय में, हम अवकलज के विभिन्न विषयों में अनुप्रयोग के बारे में अध्ययन करेंगे, जैसे कि इंजीनियरिंग, विज्ञान, सामाजिक विज्ञान और कई अन्य क्षेत्रों में। उदाहरण के लिए, हम यह सीखेंगे कि अवकलज का उपयोग कैसे किया जा सकता है (i) मात्राओं के परिवर्तन दर की निर्धारण के लिए, (ii) एक वक्र के एक बिंदु पर स्पर्शरेखा और अभिलम्ब के समीकरण खोजने के लिए, (iii) एक फलन के ग्राफ पर परिवर्तन बिंदुओं की खोज करने के लिए जो फलन के स्थानीय रूप से सबसे बड़े या सबसे छोटे मान के बिंदुओं की स्थिति निर्धारित करेंगे। हम अवकलज का उपयोग एक फलन के वह अंतरालों की खोज करने के लिए भी करेंगे जहां फलन बढ़ रहा है या घट रहा है। अंत में, हम अवक ज का उपयोग कुछ मात्राओं के अनुमानित मूल्य की खोज करने के लिए करेंगे।

6.2 मात्राओं के परिवर्तन दर

याद रखें कि अवकलज $ \dfrac{ds}{dt} $ का अर्थ दूरी $s$ के समय $t$ के संबंध में परिवर्तन दर होता है। एक समान तरह, जब एक मात्रा $y$ दूसरी मात्रा $x$ के संबंध में बदलती है, जो कुछ नियम $y=f(x)$ के अनुसार होती है, तो $\dfrac{d y}{d x}$ (या $f^{\prime}(x)$ ) $y$ के संबंध में $x$ के परिवर्तन दर का प्रतिनिधित्व करता है और $\left[\dfrac{d y}{d x}\right] _{x=x_0}($ या $.f^{\prime}(x_0))$ $x=x_0$ पर $y$ के संबंध में $x$ के परिवर्तन दर का प्रतिनिधित्व करता है।

इसके अलावा, यदि दो चर $x$ और $y$ एक अन्य चर $t$ के संबंध में बदलते हैं, अर्थात यदि $x=f(t)$ और $y=g(t)$, तो श्रेणी नियम के अनुसार

$ \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{d y}{d t} / \dfrac{d x}{d t}, \text{ यदि } \dfrac{d x}{d t} \neq 0 $

इस प्रकार, $y$ के संबंध में $x$ के परिवर्तन दर की गणना $y$ और $x$ के संबंध में $t$ के परिवर्तन दर के उपयोग द्वारा की जा सकती है।

हम कुछ उदाहरणों के साथ चर्चा करेंगे।

उदाहरण 1 एक वृत्त के क्षेत्रफल के परिवर्तन दर को ज्ञात करें जब त्रिज्या $r=5$ सेमी हो।

हल त्रिज्या $r$ वाले एक वृत्त का क्षेत्रफल $A$ निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है $A=\pi r^{2}$. अतः, वृत्त के क्षेत्रफल $A$ के अपने त्रिज्या $r$ के सापेक्ष परिवर्तन दर $\dfrac{d A}{d r}=\dfrac{d}{d r}(\pi r^{2})=2 \pi r$ होती है।

जब $r=5$ सेमी, $\dfrac{d A}{d r}=10 \pi$ होता है। अतः, वृत्त के क्षेत्रफल का परिवर्तन दर $10 \pi$ सेमी²/सेकंड होता है।

उदाहरण 2 एक घन के आयतन की दर 9 घन सेमी प्रति सेकंड हो रही है। जब एक किनारे की लंबाई 10 सेमी हो तो सतह क्षेत्रफल कितनी दर से बढ़ रहा है?

हल मान लीजिए $x$ एक किनारे की लंबाई है, $V$ आयतन और $S$ सतह क्षेत्रफल है। तब, $V=x^{3}$ और $S=6 x^{2}$, जहाँ $x$ समय $t$ के फ़ंक्शन है।

$ \text{अब} \qquad \quad \dfrac{d V}{d t}=9 cm^{3} / s \qquad(Given) $

$ \text{अतः} \qquad 9=\dfrac{d V}{d t}=\dfrac{d}{d t}(x^{3})=\dfrac{d}{d x}(x^{3}) \cdot \dfrac{d x}{d t} \quad(\text{ द्वारा शैन नियम })$

$ \qquad \qquad \qquad =3 x^{2} \cdot \dfrac{d x}{d t} $

$ \text{या} \qquad \qquad \dfrac{d x}{d t}=\dfrac{3}{x^{2}} $

$ \text{अब} \qquad \quad \dfrac{d S}{d t} =\dfrac{d}{d t}\left(6 x^{2}\right)=\dfrac{d}{d x}\left(6 x^{2}\right) \cdot \dfrac{d x}{d t} \qquad\text { (द्वारा शैन नियम) } $

$ \qquad \qquad \qquad \quad =12 x \cdot\left(\dfrac{3}{x^{2}}\right)=\dfrac{36}{x} \qquad \qquad \quad\text{ (उपयोग करते हुए (1) ) } $

$ \text{अतः, जब} \quad x=10 \mathrm{~cm}, \dfrac{d S}{d t}=3.6 \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s} $

उदाहरण 3 एक पत्थर शांत झील में गिराया जाता है और तरंगें 4 सेमी प्रति सेकंड की गति से वृत्त के रूप में फैलती हैं। जब वृत्त की त्रिज्या 10 सेमी हो तो घेरे गए क्षेत्रफल कितनी दर से बढ़ रहा है?

हल त्रिज्या $r$ वाले एक वृत्त का क्षेत्रफल $A$ निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है $A=\pi r^{2}$. अतः, क्षेत्रफल $A$ के समय $t$ के सापेक्ष परिवर्तन दर है

$ \dfrac{d \mathrm{A}}{d t}=\dfrac{d}{d t}\left(\pi r^{2}\right)=\dfrac{d}{d r}\left(\pi r^{2}\right) \cdot \dfrac{d r}{d t}=2 \pi r \dfrac{d r}{d t} \quad\text{(द्वारा शैन नियम)} $

दिया गया है कि $\qquad \qquad \quad \dfrac{d r}{d t}=4 \mathrm{~cm}$

इसलिए, $ r=10 \mathrm{~cm} $ $ \qquad \dfrac{d \mathrm{A}}{d t}=2 \pi(10)(4)=80 \pi $

इसलिए, घेरे गए क्षेत्रफल की दर $80 \pi cm^{2} / s$ है, जब $r=10 cm$ हो।

ध्यान दें $\dfrac{d y}{d x}$ धनात्मक होता है यदि $y$ के साथ $x$ बढ़ता है और ऋणात्मक होता है यदि $y$ के साथ $x$ घटता है।

उदाहरण 4 एक आयत की लंबाई $x$ 3 सेमी/मिनट की दर से घट रही है और चौड़ाई $y$ 2 सेमी/मिनट की दर से बढ़ रही है। जब $x=10$ सेमी और $y=6$ सेमी हो, तो आयत के (a) परिधि और (b) क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए।

हल लंबाई $x$ समय के सापेक्ष घट रही है और चौड़ाई $y$ बढ़ रही है, इसलिए हम लिख सकते हैं:

$ \dfrac{d x}{d t}=-3 \mathrm{~cm} / \mathrm{min} \qquad \text { और } \qquad \dfrac{d y}{d t}=2 \mathrm{~cm} / \mathrm{min} $

(a) आयत की परिधि $P$ निम्नलिखित द्वारा दी गई है:

$ \qquad \qquad \quad \mathrm{P}=2(x+y) $

इसलिए $ \quad \dfrac{d \mathrm{P}}{d t}=2\left(\dfrac{d x}{d t}+\dfrac{d y}{d t}\right)=2(-3+2)=-2 \mathrm{~cm} / \mathrm{min} $

(b) आयत का क्षेत्रफल $A$ निम्नलिखित द्वारा दिया गया है:

$ A=x \cdot y $

$ \begin{aligned} \text{इसलिए} \quad \dfrac{d \mathrm{~A}}{d t} & =\dfrac{d x}{d t} \cdot y+x \cdot \dfrac{d y}{d t} \\ & =-3(6)+10(2)(\text { जब } x=10 \mathrm{~cm} \text { और } y=6 \mathrm{~cm}) \\ & =2 \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{min} \end{aligned} $

उदाहरण 5 एक वस्तु के $x$ इकाइयों के उत्पादन से संबंधित कुल लागत $C(x)$ रुपये में निम्नलिखित द्वारा दी गई है:

$ C(x)=0.005 x^{3}-0.02 x^{2}+30 x+5000 $

जब 3 इकाइयों का उत्पादन किया जाता है, तो किसी भी उत्पादन स्तर पर कुल लागत के तात्कालिक परिवर्तन की दर (मार्जिनल लागत) ज्ञात कीजिए।

हल किसी भी उत्पादन स्तर पर कुल लागत के परिवर्तन की दर मार्जिनल लागत होती है, इसलिए हम लिख सकते हैं:

$ \begin{aligned} \text{ मार्जिनल } \qquad \mathrm{MC} & =\dfrac{d \mathrm{C}}{d x}=0.005\left(3 x^{2}\right)-0.02(2 x)+30 \\ \text{ जब } \qquad \mathrm{MC} & =0.015\left(3^{2}\right)-0.04(3)+30 \\ & =0.135-0.12+30=30.015

\end{aligned} $

अतः, आवश्यक सीमांत लागत ₹ 30.02 (लगभग) है।

उदाहरण 6 एक उत्पाद के $x$ इकाइयों के विक्रय से प्राप्त रुपये में कुल आय $R(x)=3 x^{2}+36 x+5$ द्वारा दी गई है। जब $x=5$ हो, तो सीमांत आय ज्ञात कीजिए, जहाँ सीमांत आय के अर्थ के अनुसार कुल आय के परिवर्तन दर को समय के अनुसार बेचे गए आइटम की संख्या के संदर्भ में दर्शाया जाता है।

हल क्योंकि सीमांत आय कुल आय के परिवर्तन दर को बेचे गए आइटम की संख्या के संदर्भ में दर्शाता है, हम निम्नलिखित प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} \text{ सीमांत आय } \quad (MR) & =\dfrac{d R}{d x}=6 x+36 \end{aligned} $

$ \begin{aligned} \text{ जब } \qquad \qquad \qquad \qquad x & =5, MR=6(5)+36=66 \end{aligned} $

अतः, आवश्यक सीमांत आय ₹ 66 है।

6.3 बढ़ते और घटते फलन

इस अनुच्छेद में, हम अवकलज का उपयोग करके जांच करेंगे कि एक फलन बढ़ता है या घटता है या न तो।

मान लीजिए फलन $f$ द्वारा दिया गया है $f(x)=x^{2}, x \in \mathbf{R}$. इस फलन के ग्राफ एक पराबोला है जैसा कि चित्र 6.1 में दिखाया गया है।

मूल के बाईं ओर के मान

$ \begin{array}{|c|c|} \hline\ x & f(x) = x^2 \\ \hline\ -2 & 4 \\ \hline\ -\dfrac{3}{2} & \dfrac{9}{4} \\ \hline\ -1 & 1 \\ \hline\ -\dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{4} \\ \hline\ 0 & 0 \\ \hline \end{array} $

हम बाईं ओर से दाईं ओर जाते हैं, तो ग्राफ की ऊंचाई घटती जाती है

मूल के दाईं ओर के मान

$ \begin{array}{|c|c|} \hline\ x & f(x) = x^2 \\ \hline\ 0 & 0 \\ \hline\ \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{4} \\ \hline\ 1 & 1 \\ \hline\ \dfrac{3}{2} & \dfrac{9}{4} \\ \hline\ 2 & 4 \\ \hline \end{array} $

हम बाईं ओर से दाईं ओर जाते हैं, तो ग्राफ की ऊंचाई बढ़ती जाती है

पहले आप आकृति (चित्र 6.1) को देखें जो मूल बिंदु के दाईं ओर है। ध्यान दें कि हम आकृति के बाईं ओर से दाईं ओर गति करते हैं, तो आकृति की ऊंचाई निरंतर बढ़ती जाती है। इस कारण, फलन कहा जाता है कि वास्तविक संख्याओं $x>0$ के लिए बढ़ता है।

अब आप मूल बिंदु के बाईं ओर आकृति को देखें और ध्यान दें कि हम आकृति के बाईं ओर से दाईं ओर गति करते हैं, तो आकृति की ऊंचाई निरंतर घटती जाती है। इसलिए, फलन कहा जाता है कि वास्तविक संख्याओं $x<0$ के लिए घटता है।

अब हम एक अंतराल पर बढ़ता या घटता फलन के लिए निम्नलिखित विश्लेषणात्मक परिभाषा देंगे।

परिभाषा 1 मान लीजिए I एक अंतराल है जो एक वास्तविक मान फलन $f$ के प्रांत में समाविष्ट है। तब $f$ कहलाता है

(i) I पर बढ़ता है यदि $ x_1 < x_2 $ $in$ $I$ $\Rightarrow$ $f(x_1) < f(x_2)$ सभी $ x_1, x_2 \in I $ के लिए।

(ii) I पर घटता है, यदि $x_1, x_2$ in $I \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$ सभी $x_1, x_2 \in I $ के लिए।

(iii) I पर स्थिर है, यदि $f(x)=c$ सभी $x \in I$ के लिए, जहां $c$ एक स्थिरांक है।

(iv) I पर घटता है यदि $x_1 < x_2$ in $I \Rightarrow f(x_1) \geq f(x_2)$ सभी $x_1, x_2 \in I $ के लिए।

(v) I पर सख्त रूप से घटता है यदि $x_1 < x_2$ in $I \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$ सभी $x_1, x_2 \in I $ के लिए।

ऐसे फलनों के ग्राफिकल प्रतिनिधित्व के लिए चित्र 6.2 देखें।

अब हम एक फलन के एक बिंदु पर बढ़ता या घटता होने की परिभाषा देंगे।

परिभाषा 2 मान लीजिए $x_0$ एक वास्तविक मान फलन $f$ के परिभाषा के प्रांत में एक बिंदु है। तब $f$ कहलाता है बढ़ता, घटता $x_0$ पर यदि एक खुला अंतराल I जो $x_0$ को समाविष्ट करता है, ऐसा हो कि $f$ क्रमशः I में बढ़ता, घटता हो।

हम बढ़ते फलन के मामले के लिए इस परिभाषा को स्पष्ट करेंगे।

उदाहरण 7 सिद्ध करें कि फलन $f(x)=7 x-3$ वास्तविक संख्याओं $\mathbf{R}$ पर बढ़ता है।

हल मान लीजिए $x_1$ और $x_2$ कोई भी दो वास्तविक संख्याएँ हैं। तब

$ \begin{aligned} x _{1} < x _{2} & \Rightarrow 7 x _{1} < 7 x _{2} & \Rightarrow 7 x _{1}-3 < 7 x _{2}-3 & \Rightarrow f\left(x _{1}\right) < f\left(x _{2}\right) \end{aligned} $

इसलिए, परिभाषा 1 के अनुसार, $f$ वास्तविक संख्याओं के समुच्चय $\mathbf{R}$ पर एक तेजी से बढ़ती फलन है।

अब हम बढ़ती और घटती फलनों के लिए पहला अवकलज परीक्षण देंगे।

इस परीक्षण के साबित करने के लिए अध्याय 5 में अध्ययन किए गए मध्यमूल प्रमेय की आवश्यकता होती है।

प्रमेय 1 मान लीजिए $f$ अंतराल $[a, b]$ पर सतत है और खुले अंतराल $(a, b)$ पर अवकलनीय है। तब

(a) यदि $f^{\prime}(x)>0$ प्रत्येक $x \in(a, b)$ के लिए है, तो $f$ अंतराल $[a, b]$ पर बढ़ती है

(b) यदि $f^{\prime}(x)<0$ प्रत्येक $x \in(a, b)$ के लिए है, तो $f$ अंतराल $[a, b]$ पर घटती है

(c) यदि $f^{\prime}(x)=0$ प्रत्येक $x \in(a, b)$ के लिए है, तो $f$ अंतराल $[a, b]$ पर एक स्थिर फलन है

साबित (a) मान लीजिए $x_1, x_2 \in[a, b]$ इस प्रकार कि $x_1 < x_2$ है।

तब, मध्यमूल प्रमेय (अध्याय 5 में प्रमेय 8) के अनुसार, $x_1$ और $x_2$ के बीच एक बिंदु $c$ ऐसा है कि

$ f\left(x _{2}\right)-f\left(x _{1}\right)=f^{\prime}(c)\left(x _{2}-x _{1}\right) $

अर्थात $\quad f\left(x _{2}\right)-f\left(x _{1}\right) > 0 \left(\text { दिया गया } f^{\prime}(c) > 0\right)$

अर्थात $\quad f(x_2) > f(x_1)$

इसलिए, हमें $x_1 < x_2 \quad f(x_1) \quad f(x_2), \text{ for all } x_1, x_2 \quad[a, b]$ मिलता है

इसलिए, $f$ अंतराल $[a, b]$ पर एक बढ़ती फलन है।

(b) और (c) के भाग के साबित करने के तरीके समान हैं। इसे पाठक के अभ्यास के रूप में छोड़ दिया गया है।

टिप्पणियाँ

एक अधिक सामान्य प्रमेय है, जो यह कहता है कि यदि $f \phi(x)>0$ अंतराल में $x$ के लिए है (अंत समाप्ति को छोड़कर) और $f$ अंतराल में सतत है, तो $f$ बढ़ती है। इसी तरह, यदि $f \phi(x)<0$ अंतराल में $x$ के लिए है (अंत समाप्ति को छोड़कर) और $f$ अंतराल में सतत है, तो $f$ घटती है।

उदाहरण 8 सिद्ध करें कि फलन $f$ द्वारा दिया गया है

$ f(x)=x^{3}-3 x^{2}+4 x, x \in \mathbf{R} $

वास्तविक संख्याओं के समुच्चय $\mathbf{R}$ पर बढ़ती है।

हल ध्यान दें कि

$ \begin{aligned} f^{\prime}(x) & =3 x^{2}-6 x+4 \\

& =3(x^{2}-2 x+1)+1 \\ & =3(x-1)^{2}+1>0, \text{ वास्तविक संख्या } \mathbf{R} \text{ के प्रत्येक अंतराल में} \end{aligned} $

इसलिए, फलन $f$ वास्तविक संख्या $\mathbf{R}$ पर बढ़ रहा है।

उदाहरण 9 सिद्ध कीजिए कि फलन $f(x)=\cos x$ द्वारा दिया गया है

(a) $(0, \pi)$ में घटता है

(b) $(\pi, 2 \pi)$ में बढ़ता है, और

(c) $(0,2 \pi)$ में न बढ़ता है न ही घटता है।

हल ध्यान दें कि $f^{\prime}(x)=-\sin x$

(a) क्योंकि प्रत्येक $x \in(0, \pi), \sin x>0$, हमें $f^{\prime}(x)<0$ मिलता है और इसलिए $f$ $(0, \pi)$ में घटता है।

(b) क्योंकि प्रत्येक $x \in(\pi, 2 \pi)$, $\sin x<0$, हमें $f^{\prime}(x)>0$ मिलता है और इसलिए $f$ $(\pi, 2 \pi)$ में बढ़ता है।

(c) स्पष्ट रूप से (a) और (b) के ऊपर, $f$ $(0,2 \pi)$ में न बढ़ता है न ही घटता है।

उदाहरण 10 फलन $f$ द्वारा दिया गया है $f(x)=x^{2}-4 x+6$ जिसमें फलन निम्नलिखित अंतरालों में

(a) बढ़ता है $\quad$ (b) घटता है

हल हम रखते हैं

$ \qquad \quad f(x)=x^{2}-4 x+6 $

$ या \qquad f^{\prime}(x)=2 x-4 $

चित्र 6.3

इसलिए, $f^{\prime}(x)=0$ देता है $x=2$. अब बिंदु $x=2$ वास्तविक रेखा को दो अलग-अलग अंतरालों में विभाजित करता है, अर्थात, $(-\infty, 2)$ और $(2, \infty)$ (चित्र 6.3). अंतराल $(-\infty, 2)$ में, $f^{\prime}(x)=2 x$ $-4<0$।

इसलिए, $f$ इस अंतराल में घटता है। अतः, अंतराल $(2, \infty)$ में, $f^{\prime}(x)>0$ और फलन $f$ इस अंतराल में बढ़ता है।

उदाहरण 11 फलन $f$ द्वारा दिया गया है $f(x)=4 x^{3}-6 x^{2}-72 x$ +30 जिसमें फलन (a) बढ़ता है (b) घटता है।

हल हम रखते हैं

$ \begin{aligned} f(x) & =4 x^{3}-6 x^{2}-72 x+30 \\ \text{ या } \quad f^{\prime}(x) & =12 x^{2}-12 x-72 \\ & =12(x^{2}-x-6) \\ & =12(x-3)(x+2) \end{aligned} $

इसलिए, $f^{\prime}(x)=0$ देता है $x=-2,3$. बिंदु $x=-2$ और $x=3$ वास्तविक रेखा को तीन अलग-अलग अंतरालों में विभाजित करते हैं, अर्थात, $(-\infty,-2),(-2,3)$ और $(3, \infty)$.

चित्र 6.4

अंतराल $(-\infty,-2)$ और $(3, \infty)$ में $f^{\prime}(x)$ धनात्मक है जबकि अंतराल $(-2,3)$ में $f^{\prime}(x)$ ऋणात्मक है। अतः, फलन $f$ अंतराल $(-\infty,-2)$ और $(3, \infty)$ में बढ़ रहा है जबकि अंतराल $(-2,3)$ में घट रहा है। हालांकि, $f$ कोई भी बढ़ रहा या घट रहा नहीं है $\mathbf{R}$ में।

$ \begin{array}{|c|c|c|} \hline\ \text{अंतराल} & \text{ } f’(x) \text{ का चिह्न} & \text{फलन } f \text{ की प्रकृति} \\ \hline\ (-\infty, -2) & (-)(-) > 0 & f \text{ बढ़ रहा है} \\ \hline\ (-2, 3) & (-)(+) < 0 & f \text{ घट रहा है} \\ \hline\ (3, \infty) & (+)(+) > 0 & f \text{ बढ़ रहा है} \\ \hline \end{array} $

उदाहरण 12 फलन $f(x)=\sin 3 x, x \in \left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]$ के अंतराल ज्ञात कीजिए जहां यह

(a) बढ़ रहा है $\quad$ (b) घट रहा है।

हल हमारे पास है

$\qquad f(x) =\sin 3 x $

या $\quad f(x) =3 \cos 3 x$

अतः, $f^{\prime}(x)=0$ द्वारा $\cos 3 x=0$ जो $3 x=\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3 \pi}{2}$ देता है (क्योंकि $x \in \left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]$ अर्थात $3 x \in\left[0, \dfrac{3 \pi}{2}\right]$ है)। अतः, $x=\dfrac{\pi}{6}$ और $\dfrac{\pi}{2}$. बिंदु $x=\dfrac{\pi}{6}$ अंतराल $\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]$ को दो अलग-अलग अंतराल $\left[0, \dfrac{\pi}{6}\right)$ और $\left(\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{2}\right]$ में विभाजित करता है।

चित्र 6.5

अब, $f^{\prime}(x)>0$ सभी $x \in[0, \dfrac{\pi}{6})$ के लिए है क्योंकि $0 \leq x<\dfrac{\pi}{6} \Rightarrow 0 \leq 3 x<\dfrac{\pi}{2}$ और $f^{\prime}(x)<0$ सभी $x \in(\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{2})$ के लिए है क्योंकि $\dfrac{\pi}{6} < x < \dfrac{\pi}{2} \Rightarrow \dfrac{\pi}{2}<3 x<\dfrac{3 \pi}{2}$.

इसलिए, $f$ अंतराल $[0, \dfrac{\pi}{6})$ में बढ़ रही है और $(\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{2})$ में घट रही है।

इसके अतिरिक्त, दी गई फलन $x=0$ और $x=\dfrac{\pi}{6}$ पर सतत है। अतः, प्रमेय 1 के अनुसार, $f$ अंतराल $ \left[0, \dfrac{\pi}{6}\right]$ पर बढ़ रही है और $\left[\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{2}\right]$ पर घट रही है।

उदाहरण 13 दी गई फलन $f$ के अंतराल ज्ञात कीजिए जहां

$ f(x)=\sin x+\cos x, 0 \leq x \leq 2 \pi $

बढ़ रही या घट रही है।

हल हम जानते हैं कि

$ \begin{array}{lrlr} & f(x) & =\sin x+\cos x, \\ \text{या }&f^{\prime}(x) & =\cos x-\sin x & \end{array} $

अब $f^{\prime}(x)=0$ द्वारा $\sin x=\cos x$ प्राप्त होता है जो $0 \leq x \leq 2 \pi$ के लिए $x=\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{5 \pi}{4}$ के बराबर होता है

अंतराल $x=\dfrac{\pi}{4}$ और $x=\dfrac{5 \pi}{4}$ अंतराल $[0,2 \pi]$ को तीन अलग-अलग अंतराल में विभाजित करते हैं,

अर्थात, $\left[0, \dfrac{\pi}{4}\right), \left(\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{5 \pi}{4}\right)$ और $\left(\dfrac{5 \pi}{4}, 2 \pi\right]$।

चित्र 6.6

ध्यान दें कि $f^{\prime}(x)>0$ यदि $x \in\left[0, \dfrac{\pi}{4}\right) \cup\left(\dfrac{5 \pi}{4}, 2 \pi\right]$

या $\quad f$ अंतराल $\left[0, \dfrac{\pi}{4}\right)$ और $\left(\dfrac{5 \pi}{4}, 2 \pi\right]$ में बढ़ रही है

इसके अतिरिक्त, $\quad f^{\prime}(x)<0$ यदि $x \in \left(\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{5 \pi}{4}\right)$

या $\quad f$ अंतराल $\left(\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{5 \pi}{4}\right)$ में घट रही है

$ \begin{array}{|c|c|c|} \hline\ \text{अंतराल} & \text{ } f’(x) \text{ का चिह्न} & \text{फलन की प्रकृति} \\ \hline\ \left[0, \frac{\pi}{4}\right) & >0 & f \text{ बढ़ रही है} \\ \hline\ \left(\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}\right) & <0 & f \text{ घट रही है} \\ \hline\ \left(\frac{5\pi}{4}, 2\pi\right] & >0 & f \text{ बढ़ रही है} \\ \hline \end{array} $

6.4 उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ

इस अनुच्छेद में, हम अवकलज की अवधारणा का उपयोग करके विभिन्न फलनों के उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ मान की गणना करेंगे। वास्तव में, हम एक फलन के ग्राफ के ‘पलटन बिंदु’ ज्ञात करेंगे और इस प्रकार ग्राफ के उच्चतम (या निम्नतम) स्थानीय मान बताएंगे। ऐसे बिंदुओं के ज्ञान के लाभ एक दिए गए फलन के ग्राफ के बनाने में बहुत उपयोगी होता है। इसके अतिरिक्त, हम एक फलन के अंतिम उच्चिष्ठ और अंतिम निम्निष्ठ भी ज्ञात करेंगे जो कई आवेग आधारित समस्याओं के समाधान के लिए आवश्यक होते हैं।

चलो हम दैनिक जीवन में उत्पन्न होने वाली निम्नलिखित समस्याओं के बारे में सोचें।

(i) एक नारंगी के बाग के लाभ को $P(x)=a x+b x^{2}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $a, b$ स्थिरांक हैं और $x$ एक एकड़ में नारंगी के पेड़ों की संख्या है। एक एकड़ में कितने पेड़ लाभ के उच्चिष्ट के लिए होंगे?

(ii) एक भवन से हवा में फेंके गए गेंद के पथ को $h(x)=60+x-\dfrac{x^{2}}{60}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $x$ भवन से क्षैतिज दूरी है और $h(x)$ गेंद की ऊंचाई है। गेंद के अधिकतम कितनी ऊंचाई पहुँचेगी?

(iii) दुश्मन के एक अपाचे हेलिकॉप्टर के पथ को वक्र $f(x)=x^{2}+7$ द्वारा दिया जाता है। एक सैनिक, बिंदु $(1,2)$ पर रखे गए, जब हेलिकॉप्टर उसके सबसे करीब होगा तब उसे गोली मारना चाहता है। सबसे करीब की दूरी क्या है?

उपरोक्त प्रत्येक समस्या में कुछ सामान्य बात है, अर्थात हम दिए गए फलन के अधिकतम या निम्नतम मान को ज्ञात करना चाहते हैं। इस तरह की समस्याओं के समाधान के लिए, हम सबसे पहले एक फलन के अधिकतम या निम्नतम मान को औपचारिक रूप से परिभाषित करेंगे, स्थानीय अधिकतम और निम्नतम बिंदुओं के बारे में और ऐसे बिंदुओं के निर्धारण के लिए परीक्षण करेंगे।

परिभाषा 3 मान लीजिए $f$ एक अंतराल $I$ पर परिभाषित एक फलन है। तब

(a) $f$ कहलाता है कि $I$ में एक अधिकतम मान है, यदि $I$ में एक बिंदु $c$ ऐसा हो कि $f(c) > f(x)$, सभी $x \in I$ के लिए।

संख्या $f(c)$ को $f$ के $I$ में अधिकतम मान कहा जाता है और बिंदु $c$ को $f$ के $I$ में अधिकतम मान के बिंदु कहा जाता है।

(b) $f$ कहलाता है कि $I$ में एक निम्नतम मान है, यदि $I$ में एक बिंदु $c$ ऐसा हो कि $f(c) < f(x)$, सभी $x \in I$ के लिए।

संख्या $f(c)$, इस मामले में, $f$ के $I$ में न्यूनतम मान कहलाती है और बिंदु $c$, इस मामले में, $f$ के $I$ में एक न्यूनतम मान बिंदु कहलाता है।

(c) $f$ कहा जाता है कि $I$ में एक उच्चिष्ठ मान है यदि $I$ में एक बिंदु $c$ ऐसा हो कि $f(c)$, $f$ के $I$ में एक उच्चिष्ठ मान या न्यूनतम मान हो।

इस मामले में संख्या $f(c)$, $f$ के $I$ में एक उच्चिष्ठ मान कहलाती है और बिंदु $c$ एक उच्चिष्ठ बिंदु कहलाता है।

टिप्पणी आकृति 6.7(a), (b) और (c) में हम दिखाते हैं कि कुछ विशिष्ट फलनों के ग्राफ हमें एक बिंदु पर उच्चिष्ठ मान और न्यूनतम मान खोजने में सहायता करते हैं। वास्तव में, ग्राफ के माध्यम से हम एक बिंदु पर फलन के उच्चिष्ठ/न्यूनतम मान खोज सकते हैं जहां फलन तकनीकी रूप से अवकलनीय भी नहीं हो सकता (उदाहरण 15)।

उदाहरण 14 फलन $f$ द्वारा दिया गया है $ f(x)=x^{2}, x \in \mathbf{R} . $

हल दिए गए फलन के ग्राफ (आकृति 6.8) से हम देख सकते हैं कि $f(x)=0$ यदि $x=0$। अतः $ f(x) \geq 0 \text{, सभी } x \in \mathbf{R} \text{ के लिए } \text{। } $

इसलिए, $f$ का न्यूनतम मान 0 है और $f$ के न्यूनतम मान बिंदु $x=0$ है। इसके अतिरिक्त, फलन के ग्राफ से यह देखा जा सकता है कि $f$ का उच्चिष्ठ मान नहीं है और इसलिए $f$ के उच्चिष्ठ मान बिंदु भी $\mathbf{R}$ में नहीं है।

आकृति 6.8

नोट यदि हम $f$ के डोमेन को केवल $[-2,1]$ के लिए सीमित कर दें, तो $f$ का उच्चिष्ठ मान $(-2)^{2}=4$ होगा जो $x=-2$ पर होगा।

उदाहरण 15 फलन द्वारा दिया गया है $f(x)=|x|, x \in \mathbf{R}$ के उच्चिष्ठ और न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।

हल दिए गए फलन के ग्राफ (आकृति 6.9) से ध्यान दें कि

$ f(x) \geq 0 \text{, सभी } x \in \mathbf{R} \text{ और } f(x)=0 \text{ यदि } x=0 \text{। }

$

इसलिए, फलन $f$ का न्यूनतम मान 0 है और $f$ के न्यूनतम मान के बिंदु $x=0$ है। इसके अलावा, ग्राफ स्पष्ट रूप से दिखाता है कि $f$ का कोई अधिकतम मान $\mathbf{R}$ में नहीं है और इसलिए $\mathbf{R}$ में कोई अधिकतम मान के बिंदु नहीं है।

चित्र 6.9

नोट

(i) यदि हम $f$ के डोमेन को केवल $[-2,1]$ के लिए सीमित कर दें, तो $f$ का अधिकतम मान $|-2|=2$ होगा।

(ii) एक ध्यान दें कि उदाहरण 27 में फलन $f$ $x=0$ पर अवकलनीय नहीं है।

उदाहरण 16 फलन $f(x)=x, x \in(0,1)$ के अधिकतम और न्यूनतम मान, यदि कोई हो, ज्ञात कीजिए।

हल दिया गया फलन दिए गए अंतराल $(0,1)$ में एक बढ़ते (सख्ती से) फलन है। फलन $f$ के ग्राफ (चित्र 6.10) से यह दिखाई देता है कि इसके दाएं ओर 0 के सबसे करीब बिंदु पर न्यूनतम मान होगा और बाएं ओर 1 के सबसे करीब बिंदु पर अधिकतम मान होगा। ऐसे बिंदु उपलब्ध हैं? निश्चित रूप से नहीं। ऐसे बिंदु खोजना संभव नहीं है। वास्तव में, यदि बिंदु $x_0$ 0 के सबसे करीब है, तो हम देखते हैं कि सभी $x_0 \in(0,1)$ के लिए $\dfrac{x_0}{2} < x_0$ है। इसके अलावा, यदि $x_1$ 1 के सबसे करीब है, तो सभी $x_1 \in(0,1)$ के लिए $\dfrac{x_1+1}{2} > x_1$ है।

चित्र 6.10

इसलिए, दिया गया फलन अंतराल $(0,1)$ में कोई अधिकतम मान और न्यूनतम मान नहीं है।

टिप्पणी पाठक ध्यान दे सकते हैं कि उदाहरण 16 में, यदि हम $f$ के डोमेन में बिंदु 0 और 1 शामिल कर दें, अर्थात यदि हम $f$ के डोमेन को $[0,1]$ तक विस्तारित कर दें, तो फलन $f$ का न्यूनतम मान 0 है जो $x=0$ पर है और अधिकतम मान 1 है जो $x=1$ पर है। वास्तव में, हम निम्नलिखित परिणाम प्राप्त करते हैं (इन परिणामों के साबित करने के लिए वर्तमान पाठ के बाहर बाहर जाना पड़ेगा):

प्रत्येक एक वर्ग फलन अपने परिभाषा के डोमेन के सिरों पर अपना अधिकतम/न्यूनतम मान लेता है।

एक अधिक सामान्य परिणाम है

किसी बंद अंतराल पर प्रत्येक अंतर्विष्ट फलन के एक अधिकतम और न्यूनतम मान होते हैं।

नोट एक अंतराल $I$ में एक एकल फलन $f$ के अर्थ में हम यह समझते हैं कि $f$ या तो $I$ में बढ़ती है या $I$ में घटती है।

एक बंद अंतराल पर परिभाषित फलन के अधिकतम और न्यूनतम मान के बारे में इस अनुच्छेद में बाद में चर्चा करेंगे।

अब हम चित्र 6.11 में दिखाए गए फलन के ग्राफ की जांच करें। ध्यान दें कि ग्राफ पर बिंदुओं $A, B, C$ और $D$ पर फलन घटते से बढ़ते या बढ़ते से घटते बदल जाता है। इन बिंदुओं को दिए गए फलन के पलटन बिंदु कहा जा सकता है। इसके अतिरिक्त, ध्यान दें कि पलटन बिंदुओं पर ग्राफ एक छोटा पहाड़ या एक छोटा घाट होता है। लगभग कहे बिना, फलन के प्रत्येक बिंदु $A$ और $C$ के क्षेत्र (अंतराल) में फलन के न्यूनतम मान होते हैं जो अपने क्रमानुसार घाटों के नीचे होते हैं। इसी तरह, फलन के बिंदुओं $B$ और $D$ के क्षेत्र में फलन के अधिकतम मान होते हैं जो अपने क्रमानुसार पहाड़ों के शीर्ष पर होते हैं। इस कारण, बिंदु $A$ और $C$ को फलन के स्थानीय न्यूनतम मान (या संबंधित न्यूनतम मान) के बिंदु के रूप में देखा जा सकता है और बिंदु $B$ और $D$ को फल के स्थानीय अधिकतम मान (या संबंधित अधिकतम मान) के बिंदु के रूप में देखा जा सकता है। फलन के स्थानीय अधिकतम मान और स्थानीय न्यूनतम मान को क्रमशः फलन के स्थानीय अधिकतम और स्थानीय न्यूनतम के रूप में संदर्भित किया जाता है।

चित्र 6.11

अब हम निम्नलिखित परिभाषा को औपचारिक रूप से देते हैं

परिभाषा 4 मान लीजिए $f$ एक वास्तविक मान फलन है और $c$ फलन $f$ के डोमेन में एक आंतरिक बिंदु है। तब

(a) $c$ को स्थानीय अधिकतम बिंदु कहा जाता है यदि कोई $h>0$ ऐसा हो कि

$ f(c) \geq f(x) \text{, जहां } x \text{ के लिए } (c-h, c+h) \text{ में } x \neq c $

मान $f(c)$ को फलन $f$ के स्थानीय अधिकतम मान कहा जाता है।

(b) $c$ को स्थानीय न्यूनतम बिंदु कहा जाता है यदि कोई $h>0$ ऐसा हो कि

$ f(c) \leq f(x) \text{, for all } x \text{ in }(c-h, c+h) $

मान लीजिए $f(c)$ को $f$ का स्थानीय न्यूनतम मान कहते हैं।

ज्यामितीय रूप से, उपरोक्त परिभाषा कहती है कि यदि $x=c$ फलन $f$ का स्थानीय उच्चिष्ठ बिंदु है, तो $c$ के आसपास $f$ के ग्राफ के रूप में आकृति 6.12(a) में दिखाया गया है। ध्यान दें कि फलन $f$ अंतराल $(c-h, c)$ में बढ़ रहा है (अर्थात $.f^{\prime}(x)>0)$ और अंतराल $(c, c+h)$ में घट रहा है (अर्थात $.f^{\prime}( x)<0)$।

इससे यह सुझाव देता है कि $f^{\prime}(c)$ शून्य होना चाहिए।

आकृति 6.12

उसी तरह, यदि $c$ फलन $f$ का स्थानीय न्यूनतम बिंदु है, तो $c$ के आसपास $f$ के ग्राफ के रूप में आकृति 6.14(b) में दिखाया गया है। यहाँ $f$ अंतराल $(c-h, c)$ में घट रहा है (अर्थात $.f^{\prime}(x)<0)$ और अंतराल $(c, c+h)$ में बढ़ रहा है (अर्थात $.f^{\prime}(x)>0)$। इस बात के फिर भी सुझाव देता है कि $f^{\prime}(c)$ शून्य होना चाहिए।

उपरोक्त चर्चा हमें निम्नलिखित प्रमेय के बारे में बताती है (उपपत्ति के बिना)।

प्रमेय 2 मान लीजिए $f$ एक खुले अंतराल $I$ पर परिभाषित एक फलन है। मान लीजिए $c \in I$ कोई भी बिंदु है। यदि $f$ का $x=c$ पर स्थानीय उच्चिष्ठ या स्थानीय न्यूनतम है, तो या तो $f^{\prime}(c)=0$ होता है या $f$ के $c$ पर अवकलनीय नहीं होता है।

टिप्पणी उपरोक्त प्रमेय के विलोम अवश्य सत्य नहीं हो सकता है, अर्थात जहाँ अवकलज शून्य होता है वहाँ आवश्यक रूप से स्थानीय उच्चिष्ठ या स्थानीय न्यूनतम बिंदु नहीं होता है। उदाहरण के लिए, यदि $f(x)=x^{3}$, तो $f^{\prime}(x)=3 x^{2}$ और इसलिए $f^{\prime}(0)=0$ होता है। लेकिन 0 न तो स्थानीय उच्चिष्ठ बिंदु है और न ही स्थानीय न्यूनतम बिंदु है (आकृति 6.13)।

ध्यान दें एक फलन $f$ के प्रांत में एक बिंदु $c$ जहाँ या तो $f^{\prime}(c)=0$ होता है या $f$ अवकलनीय नहीं होता है, उसे $f$ का क्रिटिकल बिंदु कहते हैं। ध्यान दें कि यदि $f$ के $c$ पर सतत हो और $f^{\prime}(c)=0$ हो, तो एक $h>0$ ऐसा मौजूद होता है जहाँ $f$ अंतराल $(c-h, c+h)$ में अवकलनीय होता है।

चित्र 6.13

अब हम एक कार्यात्मक नियम प्रस्तुत करेंगे जिसके द्वारा हम एक फलन के बिंदुओं के स्थानीय उच्चिष्ठ या स्थानीय निम्निष्ठ बिंदुओं को निर्धारित कर सकते हैं, जिसमें केवल पहले कोटि के अवकलज का उपयोग किया जाता है।

प्रमेय 3 (पहले अवकलज परीक्षण) मान लीजिए $f$ एक खुले अंतराल $I$ पर परिभाषित एक फलन है। मान लीजिए $f$ अंतराल $I$ के एक क्रिटिकल बिंदु $c$ पर सतत है। तब

(i) यदि $f^{\prime}(x)$ के मान $x$ के माध्यम से $c$ से गुजरते हुए धनात्मक से ऋणात्मक में बदलते हैं, अर्थात यदि $f^{\prime}(x)>0$ के मान $c$ के बाईं ओर और $c$ के पास एक छोटे बिंदु पर हों, और $f^{\prime}(x)<0$ के मान $c$ के दाईं ओर और $c$ के पास एक छोटे बिंदु पर हों, तो $c$ एक स्थानीय उच्चिष्ठ बिंदु है।

(ii) यदि $f^{\prime}(x)$ के मान $x$ के माध्यम से $c$ से गुजरते हुए ऋणात्मक से धनात्मक में बदलते हैं, अर्थात यदि $f^{\prime}(x)<0$ के मान $c$ के बाईं ओर और $c$ के पास एक छोटे बिंदु पर हों, और $f^{\prime}(x)>0$ के मान $c$ के दाईं ओर और $c$ के पास एक छोटे बिंदु पर हों, तो $c$ एक स्थानीय निम्निष्ठ बिंदु है।

(iii) यदि $x$ के माध्यम से $c$ से गुजरते हुए $f^{\prime}(x)$ के मान में कोई परिवर्तन नहीं होता है, तो $c$ न तो स्थानीय उच्चिष्ठ बिंदु है और न ही स्थानीय निम्निष्ठ बिंदु है। वास्तव में, ऐसे बिंदु को अपवर्तन बिंदु कहा जाता है (चित्र 6.13)।

ध्यातव्य यदि $c$ फलन $f$ का स्थानीय उच्चिष्ठ बिंदु है, तो $f(c)$ फलन $f$ का स्थानीय उच्चिष्ठ मान है। इसी तरह, यदि $c$ फलन $f$ का स्थानीय निम्निष्ठ बिंदु है, तो $f(c)$ फलन $f$ का स्थानीय निम्निष्ठ मान है।

चित्र 6.13 और 6.14 त्रिकोणमितीय रूप से प्रमेय 3 को समझाते हैं।

चित्र 6.14

उदाहरण 17 फलन $f$ द्वारा दिया गया है $f(x)=x^{3}-3 x+3$। सभी स्थानीय उच्चिष्ठ बिंदुओं और स्थानीय निम्निष्ठ बिंदुओं को ज्ञात कीजिए।

हल हम जानते हैं

$ \begin{array}{lrl} & f(x) & =x^3-3 x+3 \\ \text{ या } & f^{\prime}(x) & =3 x^2-3=3(x-1)(x+1) \\

\text{ या } & f^{\prime}(x) &=0 \text{ बिंदु } x=1 \text{ और } x=-1 पर \end{array} $

इसलिए, $x= \pm 1$ एकमात्र आलोक बिंदु हैं जो संभवतः $f$ के आलोक उच्चिष्ठ और/या आलोक निम्निष्ठ बिंदु हो सकते हैं। हम पहले बिंदु $x=1$ की जांच करते हैं।

ध्यान दें कि 1 के निकट और 1 के दाहिने तरफ, $f^{\prime}(x)>0$ होता है और 1 के निकट और 1 के बाईं तरफ, $f^{\prime}(x)<0$ होता है। इसलिए, पहले अवकलज परीक्षण के अनुसार, $x=1$ एक आलोक निम्निष्ठ बिंदु है और आलोक निम्निष्ठ मान $f(1)=1$ है। $x=-1$ के मामले में, ध्यान दें कि $f^{\prime}(x)>0$, -1 के निकट और -1 के बाईं तरफ होता है और $f^{\prime}(x)<0$, -1 के निकट और -1 के दाहिने तरफ होता है। इसलिए, पहले अवकलज परीक्षण के अनुसार, $x=-1$ एक आलोक उच्चिष्ठ बिंदु है और आलोक उच्चिष्ठ मान $f(-1)=5$ है।

$ \begin{array}{|c|c|c|} \hline\ & \text{ } x \text{ के मान } & \text{ } f’(x) \text{ का चिह्न } = 3(x-1)(x+1) \ \hline\ \text{1 के निकट} & \text{दाहिने तरफ (मान लीजिए 1.1 आदि)} & >0 \ \hline\ & \text{बाईं तरफ (मान लीजिए 0.9 आदि)} & <0 \ \hline\ \text{-1 के निकट} & \text{दाहिने तरफ (मान लीजिए -0.9 आदि)} & <0 \ \hline\ & \text{बाईं तरफ (मान लीजिए -1.1 आदि)} & >0 \ \hline \end{array} $

उदाहरण 18 फलन $f$ द्वारा दिए गए सभी आलोक उच्चिष्ठ और आलोक निम्निष्ठ बिंदुओं को ज्ञात कीजिए

$ f(x) =2 x^{3}-6 x^{2}+6 x+5 $

हल हमारे पास है

$ \begin{array}{lrl} & f(x) & =2 x^{3}-6 x^{2}+6 x+5 \\ \text{ या }& f^{\prime}(x) & =6 x^{2}-12 x+6=6(x-1)^{2} \\ \text{ या }& f^{\prime}(x) & =0 \quad \text{ बिंदु } \quad x=1 \end{array} $

इसलिए, $x=1$ एकमात्र आलोक बिंदु है। अब हम इस बिंदु की जांच करते हैं जो $f$ के आलोक उच्चिष्ठ और/या आलोक निम्निष्ठ बिंदु हो सकते हैं। ध्यान दें कि $f^{\prime}(x) \geq 0$, सभी $x \in \mathbf{R}$ के लिए होता है और विशेष रूप से $f^{\prime}(x)>0$, 1 के निकट और 1 के बाईं तरफ और दाहिने तरफ होता है। इसलिए, पहले अवकलज परीक्षण के अनुसार, बिंदु $x=1$ एक आलोक उच्चिष्ठ बिंदु नहीं है और एक आलोक निम्निष्ठ बिंदु भी नहीं है। इसलिए, $x=1$ एक वक्रता बिंदु है।

टिप्पणी ध्यान दें कि उदाहरण 30 में $f^{\prime}(x)$, $\mathbf{R}$ पर कभी अपने चिह्न को बदलता नहीं है, इसलिए $f$ के ग्राफ में कोई घुमाव बिंदु नहीं होता है और इसलिए कोई आलोक उच्चिष्ठ या आलोक निम्निष्ठ बिंदु नहीं होता है।

अब हम एक और परीक्षण देंगे जिसके माध्यम से दी गई फलन के स्थानीय उच्चिष्ठ और स्थानीय निम्निष्ठ की जांच की जा सकती है। यह परीक्षण पहले अवकलज परीक्षण की तुलना में अक्सर आसानी से लागू किया जा सकता है।

प्रमेय 4 (द्वितीय अवकलज परीक्षण) मान लीजिए $f$ एक अंतराल $I$ पर परिभाषित फलन है और $c \in I$। मान लीजिए $f$ बिंदु $c$ पर द्वितीय अवकलजीय है। तब

(i) $x=c$ स्थानीय उच्चिष्ठ बिंदु होगा यदि $f^{\prime}(c)=0$ और $f^{\prime \prime}(c)<0$

$\quad$ मान $f(c)$ फलन $f$ का स्थानीय उच्चिष्ठ मान है।

(ii) $x=c$ स्थानीय निम्निष्ठ बिंदु होगा यदि $f^{\prime}(c)=0$ और $f^{\prime \prime}(c)>0$

$\quad$ इस मामले में, $f(c)$ फलन $f$ का स्थानीय निम्निष्ठ मान है।

(iii) यदि $f^{\prime}(c)=0$ और $f^{\prime \prime}(c)=0$ तो परीक्षण विफल हो जाता है।

इस मामले में, हम पहले अवकलज परीक्षण के लिए वापस जाते हैं और जांच करते हैं कि $c$ स्थानीय उच्चिष्ठ बिंदु, स्थानीय निम्निष्ठ बिंदु या वक्रता परिवर्तन बिंदु है या नहीं।

नोट जैसे $f$ बिंदु $c$ पर द्वितीय अवकलजीय है, हमारा तात्पर्य है कि $f$ का द्वितीय अवकलज $c$ पर विद्यमान है।

उदाहरण 19 फलन $f$ द्वारा दिया गया है $f(x)=3+|x|, x \in \mathbf{R}$। स्थानीय निम्निष्ठ मान ज्ञात कीजिए।

हल ध्यान दें कि दिया गया फलन $x=0$ पर अवकलनीय नहीं है। इसलिए, द्वितीय अवकलज परीक्षण विफल हो जाता है। हम पहले अवकलज परीक्षण का प्रयोग करें। ध्यान दें कि 0, $f$ का एक क्रिटिकल बिंदु है। अब 0 के बाईं ओर, $f(x)=3-x$ और इसलिए $f^{\prime}(x)=-1<0$ है।

चित्र 6.15

साथ ही 0 के दाईं ओर, $f(x)=3+x$ और इसलिए $f^{\prime}(x)=1>0$ है। इसलिए, पहले अवकलज परीक्षण के अनुसार, $x=0$ फलन $f$ का स्थानीय निम्निष्ठ बिंदु है और फलन $f$ का स्थानीय निम्निष्ठ मान $f(0)=3$ है।

उदाहरण 20 फलन $f$ द्वारा दिया गया है

$ f(x)=3 x^{4}+4 x^{3}-12 x^{2}+12 $

हल हमारे पास

$f(x)=3 x^{4}+4 x^{3}-12 x^{2}+12$

या $\qquad f^{\prime}(x)=12 x^{3}+12 x^{2}-24 x=12 x(x-1)(x+2)$

या $\qquad f^{\prime}(x)=0$ बिंदु $x=0, x=1$ और $x=-2$ पर होता है।

अब $\quad f^{\prime \prime}(x)=36 x^{2}+24 x-24=12(3 x^{2}+2 x-2)$

$ \text{या} \qquad \left{\begin{array}{c} f^{\prime \prime}(0)=-24<0 \\ f^{\prime \prime}(1)=36>0 \\ f^{\prime \prime}(-2)=72>0 \end{array}\right. $

इसलिए, द्वितीय अवकलज परीक्षण के अनुसार, $x=0$ एक स्थानीय उच्चिष्ठ बिंदु है और $f$ के $x=0$ पर स्थानीय उच्चिष्ठ मान $f(0)=12$ है जबकि $x=1$ और $x=-2$ स्थानीय न्यूनतम बिंदु हैं और $x=-1$ और -2 पर $f$ के स्थानीय न्यूनतम मान क्रमशः $f(1)=7$ और $f(-2)=-20$ हैं।

उदाहरण 21 फलन $f$ द्वारा दिया गया है $f(x)=2 x^{3}-6 x^{2}+6 x+5$ सभी स्थानीय उच्चिष्ठ और स्थानीय न्यूनतम बिंदुओं को ज्ञात कीजिए।

हल हमारे पास है

$ \qquad f(x)=2 x^{3}-6 x^{2}+6 x+5 $

$ \text{या} \quad \begin{aligned} & \left{\begin{array}{l} f^{\prime}(x)=6 x^{2}-12 x+6=6(x-1)^{2} \\ f^{\prime \prime}(x)=12(x-1) \end{array}\right. \end{aligned} $

अब $f^{\prime}(x)=0$ द्वारा $x=1$ प्राप्त होता है। अतः $f^{\prime \prime}(1)=0$ भी है। इसलिए, द्वितीय अवकलज परीक्षण इस मामले में असफल रहता है। अतः हम पहले अवकलज परीक्षण के लिए वापस जाएंगे।

हम पहले उदाहरण 18 में देख चुके हैं कि, पहले अवकलज परीक्षण का उपयोग करके, $x=1$ न तो स्थानीय उच्चिष्ठ बिंदु है और न ही स्थानीय न्यूनतम बिंदु है और इसलिए यह एक वक्रता बिंदु है।

उदाहरण 22 दो धनात्मक संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योग 15 है और जिनके वर्गों का योग न्यूनतम है।

हल मान लीजिए एक संख्या $x$ है। तो दूसरी संख्या $(15-x)$ है। मान लीजिए $S(x)$ इन संख्याओं के वर्गों के योग को दर्शाता है। तो

$ S(x)=x^{2}+(15-x)^{2}=2 x^{2}-30 x+225 $

$ \text{या} \quad \begin{gathered} \left{\begin{array}{l} S^{\prime}(x)=4 x-30 \\ S^{\prime \prime}(x)=4 \end{array}\right. \end{gathered} $

अब $S^{\prime}(x)=0$ द्वारा $x=\dfrac{15}{2}$ प्राप्त होता है। अतः $S^{\prime \prime}(\dfrac{15}{2})=4>0$ भी है। इसलिए, द्वितीय अवकलज परीक्षण के अनुसार, $x=\dfrac{15}{2}$ $S$ के लिए स्थानीय न्यूनतम बिंदु है। अतः संख्याओं के वर्गों का योग न्यूनतम होता है जब संख्याएँ $\dfrac{15}{2}$ और $15-\dfrac{15}{2}=\dfrac{15}{2}$ होती हैं।

टिप्पणी उदाहरण 34 के अनुसार चले जाएँ तो यह साबित किया जा सकता है कि जो दो धनात्मक संख्याएँ हैं जिनका योग $k$ है और जिनके वर्गों का योग न्यूनतम है, वे $\dfrac{k}{2}$ और $\dfrac{k}{2}$ होती हैं।

उदाहरण 23 बिंदु $(0, c)$ के परवलय $y=x^{2}$ से न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए, जहाँ $\dfrac{1}{2} \leq c \leq 5$।

हल मान लीजिए $(h, k)$ परवलय $y=x^{2}$ पर कोई बिंदु है। मान लीजिए $D$ बिंदु $(h, k)$ और $(0, c)$ के बीच आवश्यक दूरी है। तब

$ \begin{aligned} \mathrm{D}=\sqrt{(h-0)^{2}+(k-c)^{2}}=\sqrt{h^{2}+(k-c)^{2}} \qquad \text{…(1)} \end{aligned} $

क्योंकि $(h, k)$ परवलय $y=x^{2}$ पर स्थित है, हमें $k=h^{2}$ मिलता है। इसलिए $(1)$ द्वारा

$ \qquad \quad \mathrm{D} \equiv \mathrm{D}(k)=\sqrt{k+(k-c)^{2}} $

$ \text{या} \qquad \qquad \mathrm{D}^{\prime}(k)=\dfrac{1+2(k-c)}{\sqrt{k+(k-c)^{2}}} $

$ \text{अब} \qquad \quad \mathrm{D}^{\prime}(k)=0 \text { से } k=\dfrac{2 c-1}{2} $

ध्यान दें कि जब $k<\dfrac{2 c-1}{2}$, तो $2(k-c)+1<0$, अर्थात $D^{\prime}(k)<0$। भी जब $k>\dfrac{2 c-1}{2}$, तो $D^{\prime}(k)>0$। इसलिए, पहले अवकलज परीक्षण से, $D(k)$ के न्यूनतम मान $k=\dfrac{2 c-1}{2}$ पर होता है।

इसलिए, आवश्यक न्यूनतम दूरी निम्नलिखित द्वारा दी जाती है

$ \mathrm{D}\left(\dfrac{2 c-1}{2}\right)=\sqrt{\dfrac{2 c-1}{2}+\left(\dfrac{2 c-1}{2}-c\right)^{2}}=\dfrac{\sqrt{4 c-1}}{2} \text { } $

नोट पाठक ध्यान दे सकते हैं कि उदाहरण 35 में हम पहले अवकलज परीक्षण के बजाए दूसरे अवकलज परीक्षण का उपयोग करते हैं क्योंकि पहला आसान और छोटा होता है।

उदाहरण 24 मान लीजिए $AP$ और $BQ$ बिंदुओं $A$ और $B$ पर क्रमशः दो ऊर्ध्वाधर खंड हैं। यदि $AP=16 m, BQ=22 m$ और $AB=20 m$, तो बिंदु $R$ की बिंदु $A$ से दूरी ज्ञात कीजिए जो $AB$ पर स्थित है ताकि $RP^{2}+RQ^{2}$ न्यूनतम हो।

हल मान लीजिए $R$ एक बिंदु है जो $AB$ पर स्थित है ताकि $AR=x m$। तब $RB=(20-x) m$ (क्योंकि $AB=20 m$)। चित्र 6.16 से हमें निम्नलिखित मिलता है

$ \qquad \qquad \mathrm{RP}^{2}=\mathrm{AR}^{2}+\mathrm{AP}^{2} $

$\text{और} \qquad R Q^{2}=R B^{2}+B Q^{2}$

चित्र 6.16

$ \text{इसलिए} \qquad \mathrm{RP}^{2}+\mathrm{RQ}^{2}=\mathrm{AR}^{2}+\mathrm{AP}^{2}+\mathrm{RB}^{2}+\mathrm{BQ}^{2} $

$

$ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \begin{aligned} & =x^{2}+(16)^{2}+(20-x)^{2}+(22)^{2} \\ & =2 x^{2}-40 x+1140 \end{aligned} $

$\text{मान लीजिए} \qquad \qquad \qquad S \equiv S(x)=RP^{2}+RQ^{2}=2 x^{2}-40 x+1140$

$ \text{इसलिए} \qquad \qquad \quad S^{\prime}(x)=4 x-40$

अब $S^{\prime}(x)=0$ द्वारा $x=10$ प्राप्त होता है। अतः $S^{\prime \prime}(x)=4>0$, सभी $x$ के लिए और इसलिए $S^{\prime \prime}(10)>0$। इसलिए, द्वितीय अवकलज परीक्षण के अनुसार, $x=10$ $S$ के स्थानीय न्यूनतम बिंदु है। अतः, $AB$ पर $A$ से $R$ की दूरी $AR=x=10$ मीटर है।

उदाहरण 25 यदि एक समलम्ब के तीन भुजाओं की लंबाई (आधार के अतिरिक्त) $10$ सेमी है, तो जब समलम्ब क्षेत्रफल अधिकतम हो तब इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल आवश्यक समलम्ब चित्र 6.17 में दिया गया है। $AB$ पर लंब खींचें $DP$ और $CQ$। मान लीजिए $AP=x$ सेमी। ध्यान दें कि $\triangle APD \sim \triangle BQC$। इसलिए, $QB=x$ सेमी। अतः, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, $DP=QC=\sqrt{100-x^{2}}$। मान लीजिए $A$ समलम्ब का क्षेत्रफल है। तब

चित्र 6.17

$ \begin{aligned} \mathrm{A} & \equiv \mathrm{A}(x) \\ & =\dfrac{1}{2} \text { (समांतर भुजाओं का योग) (ऊंचाई) } \\ & =\dfrac{1}{2}(2 x+10+10)\left(\sqrt{100-x^{2}}\right) \\ & =(x+10)\left(\sqrt{100-x^{2}}\right) \end{aligned} $

$ \begin{aligned} \text{या} \quad \mathrm{A}^{\prime}(x) & =(x+10) \dfrac{(-2 x)}{\sqrt{100-x^{2}}}+\left(\sqrt{100-x^{2}}\right) \\ & =\dfrac{-2 x^{2}-10 x+100}{\sqrt{100-x^{2}}} \end{aligned} $

अब $\quad A^{\prime}(x)=0$ द्वारा $2 x^{2}+10 x-100=0$, अर्थात् $x=5$ और $x=-10$ प्राप्त होता है।

क्योंकि $x$ दूरी को निरूपित करता है, इसलिए यह नकारात्मक नहीं हो सकता।

इसलिए, $\qquad x=5$। अब

$ \begin{aligned} A^{\prime \prime}(x) & =\dfrac{\sqrt{100-x^{2}}(-4 x-10)-(-2 x^{2}-10 x+100) \dfrac{(-2 x)}{2 \sqrt{100-x^{2}}}}{100-x^{2}} \\ & =\dfrac{2 x^{3}-300 x-1000}{(100-x^{2})^{\dfrac{3}{2}}} \text{ (सरलीकरण के बाद) } \\

A^{\prime \prime}(5) & =\dfrac{2(5)^{3}-300(5)-1000}{(100-(5)^{2})^{\dfrac{3}{2}}}=\dfrac{-2250}{75 \sqrt{75}}=\dfrac{-30}{\sqrt{75}}<0 \end{aligned} $

इसलिए, ट्रैपेजियम का क्षेत्रफल $x=5$ पर अधिकतम होता है और क्षेत्रफल निम्न द्वारा दिया जाता है

$ A(5)=(5+10) \sqrt{100-(5)^{2}}=15 \sqrt{75}=75 \sqrt{3} cm^{2} $

उदाहरण 26 सिद्ध कीजिए कि एक दिए गए शंकु में अंकित सबसे बड़े वक्र पृष्ठ क्षेत्र के अधिकतम वृताकार सिलेंडर की त्रिज्या शंकु की त्रिज्या के आधी होती है।

हल मान लीजिए $OC=r$ शंकु की त्रिज्या है और $OA=h$ इसकी ऊंचाई है। एक सिलेंडर जिसकी त्रिज्या $OE=x$ है, दिए गए शंकु में अंकित है (चित्र 6.18)। सिलेंडर की ऊंचाई $QE$ निम्न द्वारा दी गई है

$ \begin{array}{llll} \quad & \dfrac{QE}{OA} & =\dfrac{EC}{OC} \quad(\text{ क्योंकि } \Delta QEC \sim \Delta AOC) \\ \text{ या } & \dfrac{QE}{h} & =\dfrac{r-x}{r} \\ \text{ या } & QE & =\dfrac{h(r-x)}{r} \end{array} $

मान लीजिए $S$ दिए गए सिलेंडर के वक्र पृष्ठ क्षेत्रफल है। तब

$ \begin{aligned} & S \equiv S(x)=\dfrac{2 \pi x h(r-x)}{r}=\dfrac{2 \pi h}{r}\left(r x-x^{2}\right) \\ & \text{या} \qquad \left{\begin{array}{l} S^{\prime}(x)=\dfrac{2 \pi h}{r}(r-2 x) \\ S^{\prime \prime}(x)=\dfrac{-4 \pi h}{r} \end{array}\right. \end{aligned} $

अब $S^{\prime}(x)=0$ द्वारा $x=\dfrac{r}{2}$ प्राप्त होता है। क्योंकि $S^{\prime \prime}(x)<0$ सभी $x$ के लिए होता है, $S^{\prime \prime}(\dfrac{r}{2})<0$ होता है। इसलिए $x=\dfrac{r}{2}$ S के अधिकतम बिंदु है। अतः दिए गए शंकु में अंकित सबसे बड़े वक्र पृष्ठ क्षेत्र के अधिकतम वृताकार सिलेंडर की त्रिज्या शंकु की त्रिज्या के आधी होती है।

6.4.1 बंद अंतराल में फलन के अधिकतम और न्यूनतम मान

एक फलन $f$ को दिया गया है $f(x)=x+2, x \in(0,1)$

ध्यान दें कि फलन $(0,1)$ पर अंतराल में निरंतर है और न तो अधिकतम मान है और न ही न्यूनतम मान है। इसके अतिरिक्त, हम ध्यान दे सकते हैं कि फलन तो तकनीकी रूप से भी न तो अंतराल में अधिकतम मान है और न ही न्यूनतम मान है।

हालांकि, यदि हम $f$ के डोमेन को बंद अंतराल $[0,1]$ तक बढ़ा दें, तो $f$ अभी भी स्थानीय उच्चिष्ठ (निम्निष्ठ) मान नहीं रख सकता है, लेकिन यह निश्चित रूप से अंतराल $[0,1]$ पर $3 = f(1)$ के अधिकतम मान और $2 = f(0)$ के न्यूनतम मान रखता है। $f$ के $x = 1$ पर अधिकतम मान 3 को $f$ के अंतराल $[0,1]$ पर अंतराल उच्चिष्ठ मान (सार्वभौमिक उच्चिष्ठ या सबसे बड़ा मान) कहा जाता है। इसी तरह, $f$ के $x = 0$ पर न्यूनतम मान 2 को $f$ के अंतराल $[0,1]$ पर अंतराल निम्निष्ठ मान (सार्वभौमिक निम्निष्ठ या सबसे छोटा मान) कहा जाता है।

चित्र 6.19 में दिए गए एक अंतराल $[a, d]$ पर परिभाषित एक सतत फलन के ग्राफ को ध्यान में रखें। ध्यान दें कि फलन $f$ के $x = b$ पर एक स्थानीय निम्निष्ठ है और स्थानीय निम्निष्ठ मान $f(b)$ है। फलन भी $x = c$ पर एक स्थानीय उच्चिष्ठ है और स्थानीय उच्चिष्ठ मान $f(c)$ है।

चित्र 6.19

ग्राफ से स्पष्ट है कि $f$ के अंतराल $[a, d]$ पर अंतराल उच्चिष्ठ मान $f(a)$ और अंतराल निम्निष्ठ मान $f(d)$ है। आगे ध्यान दें कि $f$ के अंतराल उच्चिष्ठ (निम्निष्ठ) मान फलन $f$ के स्थानीय उच्चिष्ठ (निम्निष्ठ) मान से भिन्न होते हैं।

हम अब एक बंद अंतराल $I$ पर फलन के अंतराल उच्चिष्ठ और अंतराल निम्निष्ठ मान के बारे में दो परिणाम (उपपत्ति के बिना) कहेंगे।

प्रमेय 5 मान लीजिए कि $f$ एक अंतराल $I = [a, b]$ पर सतत फलन है। तब $f$ अंतराल उच्चिष्ठ मान रखता है और इसे कम से कम एक बार $I$ में प्राप्त करता है। इसके अलावा, $f$ अंतराल निम्निष्ठ मान रखता है और इसे कम से कम एक बार $I$ में प्राप्त करता है।

प्रमेय 6 मान लीजिए कि $f$ एक बंद अंतराल $I$ पर अवकलनीय फलन है और $c$ अंतराल $I$ के कोई भी आंतरिक बिंदु है। तब

(i) $f^{\prime}(c) = 0$ यदि $f$ अपने अंतराल उच्चिष्ठ मान को $c$ पर प्राप्त करता है।

(ii) $f^{\prime}(c) = 0$ यदि $f$ अपने अंतराल निम्निष्ठ मान को $c$ पर प्राप्त करता है।

उपरोक्त परिणामों के आधार पर, हम एक अंतराल $[a, b]$ में फलन के अंतराल उच्चिष्ठ और/या अंतराल निम्निष्ठ मान खोजने के लिए निम्नलिखित कार्य नियम देंगे।

कार्य नियम

स्टेप 1: अंतराल में $f$ के सभी महत्वपूर्ण बिंदुओं को खोजें, अर्थात खोजें ऐसे $x$ बिंदु जहां $f^{\prime}(x)=0$ या $f$ अवकलनीय नहीं हो।

स्टेप 2: अंतराल के सिरों को लें।

स्टेप 3: इन सभी बिंदुओं (स्टेप 1 और 2 में सूचीबद्ध) पर $f$ के मान की गणना करें।

स्टेप 4: स्टेप 3 में गणना किए गए मानों में से $f$ के अधिकतम और न्यूनतम मान की पहचान करें। इस अधिकतम मान को $f$ के अंतराल के अधिकतम (सबसे बड़ा) मान के रूप में और न्यूनतम मान को $f$ के अंतराल के न्यूनतम (सबसे छोटा) मान के रूप में लें।

उदाहरण 27 एक फ़ंक्शन $f$ के अधिकतम और न्यूनतम मान खोजें जो $f(x)=2 x^{3}-15 x^{2}+36 x+1$ द्वारा दिया गया है अंतराल $[1,5]$ पर।

हल हमारे पास है

$ \qquad \qquad \begin{aligned} f(x) & =2 x^{3}-15 x^{2}+36 x+1 \end{aligned} $

$ \begin{aligned} or \qquad \quad f^{\prime}(x) & =6 x^{2}-30 x+36=6(x-3)(x-2) \end{aligned} $

ध्यान दें कि $f^{\prime}(x)=0$ द्वारा $x=2$ और $x=3$ प्राप्त होते हैं।

अब हम इन बिंदुओं और अंतराल $[1,5]$ के सिरों पर $f$ के मान की गणना करेंगे, अर्थात $x=1, x=2, x=3$ और $x=5$ पर। इसलिए

$ \begin{aligned} & f(1)=2\left(1^{3}\right)-15\left(1^{2}\right)+36(1)+1=24 \\ & f(2)=2\left(2^{3}\right)-15\left(2^{2}\right)+36(2)+1=29 \\ & f(3)=2\left(3^{3}\right)-15\left(3^{2}\right)+36(3)+1=28 \\ & f(5)=2\left(5^{3}\right)-15\left(5^{2}\right)+36(5)+1=56 \end{aligned} $

इसलिए, हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $f$ के अंतराल $[1,5]$ पर अधिकतम मान 56 है, जो $x=5$ पर होता है, और न्यूनतम मान 24 है, जो $x=1$ पर होता है।

उदाहरण 28 एक फ़ंक्शन $f$ के अधिकतम और न्यूनतम मान खोजें जो $f(x)=12 x^{\frac{4}{3}}-6 x^{\frac{1}{3}}, x \in[-1,1]$ द्वारा दिया गया है।

हल हमारे पास है

$ \qquad \qquad \begin{aligned} & f(x)=12 x^{\frac{4}{3}}-6 x^{\frac{1}{3}} \end{aligned} $

$ \begin{aligned} or \qquad \quad & f^{\prime}(x)=16 x^{\frac{1}{3}}-\dfrac{2}{x^{\frac{2}{3}}}=\dfrac{2(8 x-1)}{x^{\frac{2}{3}}} \end{aligned} $

इसलिए, $f^{\prime}(x)=0$ द्वारा $x=\dfrac{1}{8}$ प्राप्त होता है। आगे ध्यान दें कि $f^{\prime}(x)$ $x=0$ पर परिभाषित नहीं होता। इसलिए, क्रिटिकल बिंदु $x=0$ और $x=\dfrac{1}{8}$ हैं। अब क्रिटिकल बिंदुओं $x=0, \dfrac{1}{8}$ और अंतराल के सिरों $x=-1$ और $x=1$ पर $f$ के मान की गणना करें, हमें प्राप्त होता है:

$ \begin{aligned} f(-1) & =12\left(-1\right)^{\frac{4}{3}}-6\left(-1\right)^{\frac{1}{3}}=18 \\ f(0) & =12(0)-6(0)=0 \\ f\left(\dfrac{1}{8}\right) & =12\left(\dfrac{1}{8}\right)^{\frac{4}{3}}-6\left(\dfrac{1}{8}\right)^{\frac{1}{3}}=\dfrac{-9}{4} \\ f(1) & =12\left(1\right)^{\frac{4}{3}}-6\left(1\right)^{\dfrac{1}{3}}=6 \end{aligned} $

इसलिए, हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $f$ का अंतिम अधिकतम मान 18 है जो $x=-1$ पर होता है और $f$ का अंतिम न्यूनतम मान $\dfrac{-9}{4}$ है जो $x=\dfrac{1}{8}$ पर होता है।

उदाहरण 29 दुश्मन के एक अपाचे हेलिकॉप्टर वक्र $y=x^{2}+7$ के अनुसार उड़ रहा है। एक सैनिक, बिंदु $(3,7)$ पर खड़ा है, जब हेलिकॉप्टर उसके सबसे करीब हो तब उसे हेलिकॉप्टर को गोली मारना है। सबसे करीब दूरी ज्ञात कीजिए।

हल प्रत्येक $x$ के मान के लिए हेलिकॉप्टर की स्थिति बिंदु $(x, x^{2}+7)$ पर होती है। इसलिए, बिंदु $(3,7)$ पर खड़े सैनिक और हेलिकॉप्टर के बीच दूरी है

$ \sqrt{(x-3)^{2}+(x^{2}+7-7)^{2}} \text{, अर्थात, } \sqrt{(x-3)^{2}+x^{4}} \text{। } $

$ मान लीजिए \qquad f(x)=(x-3)^{2}+x^{4} $

$ या \qquad f^{\prime}(x)=2(x-3)+4 x^{3}=2(x-1)\left(2 x^{2}+2 x+3\right) $

इसलिए, $f^{\prime}(x)=0$ द्वारा $x=1$ या $2 x^{2}+2 x+3=0$ प्राप्त होता है जिसके लिए कोई वास्तविक मूल नहीं है। इसके अतिरिक्त, कोई भी अंतराल के सीमा बिंदु जोड़े जाने के लिए जिनके लिए $f^{\prime}$ शून्य होता है, अर्थात, केवल एक बिंदु है, अर्थात, $x=1$। इस बिंदु पर $f$ का मान निम्नलिखित है $f(1)=(1-3)^{2}+(1)^{4}=5$। इसलिए, सैनिक और हेलिकॉप्टर के बीच दूरी $\sqrt{f(1)}=\sqrt{5}$ है।

ध्यान दें कि $\sqrt{5}$ या तो अधिकतम मान हो सकता है या न्यूनतम मान हो सकता है। क्योंकि

$ \sqrt{f(0)}=\sqrt{(0-3)^{2}+(0)^{4}}=3>\sqrt{5} \text { } $

इसलिए, $\sqrt{5}$ अंतर के लिए $\sqrt{f(x)}$ का न्यूनतम मान है। इसलिए, $\sqrt{5}$ सैनिक और हेलिकॉप्टर के बीच न्यूनतम दूरी है।

विविध उदाहरण

उदाहरण 30 एक कार समय $t=0$ सेकंड पर बिंदु $P$ से शुरू होती है और बिंदु $Q$ पर रुक जाती है। इसके द्वारा $t$ सेकंड में तय की गई दूरी $x$, मीटर में दी गई है

$ x=t^{2}\left(2-\dfrac{t}{3}\right) \text { } $

$Q$ तक पहुँचने में लगने वाला समय ज्ञात कीजिए तथा $P$ और $Q$ के बीच दूरी भी ज्ञात कीजिए।

हल मान लीजिए $v$ कार की गति $t$ सेकंड में है।

अब $ \qquad \quad \begin{aligned} & x=t^{2}\left(2-\dfrac{t}{3}\right) \end{aligned} $

इसलिए $ \qquad \begin{aligned} & v=\dfrac{d x}{d t}=4 t-t^{2}=t(4-t) \end{aligned} $

इस प्रकार, $v=0$ द्वारा $t=0$ और/या $t=4$ प्राप्त होता है।

अब $v=0$ $P$ और $Q$ दोनों पर होता है तथा $P$ पर $t=0$ है। अतः $Q$ पर $t=4$ है। इसलिए कार 4 सेकंड बाद $Q$ पर पहुँचेगी। अतः 4 सेकंड में तय की गई दूरी निम्नलिखित द्वारा दी गई है

$ [x] _{t=4}=4^{2}(2-\dfrac{4}{3})=16(\dfrac{2}{3})=\dfrac{32}{3} m $

उदाहरण 31 एक पानी के टैंक के आकार एक उलटे अधिक कोणीय शंकु के है जिसकी अक्ष ऊर्ध्वाधर है तथा शीर्ष नीचे है। इसका अर्ध-शीर्षीय कोण $\tan ^{-1}(0.5)$ है। पानी को इसमें 5 घन मीटर प्रति घंटा की नियत दर से डाला जाता है। जब टैंक में पानी की गहराई 4 मीटर हो तब पानी के स्तर के बढ़ते हुए दर की गणना कीजिए।

हल मान लीजिए $r, h$ और $\alpha$ चित्र 6.20 में दिए गए हैं। तब $\tan \alpha=\frac{r}{h}$।

$ \text{इसलिए} \qquad \alpha=\tan ^{-1}\left(\frac{r}{h}\right) $

$ \text{लेकिन } \quad \alpha=\tan ^{-1}(0.5) $ (दिया गया)

$ \begin{gathered} \text{या} \qquad \frac{r}{h}=0.5 \\ \text{या} \qquad r=\frac{h}{2} \end{gathered} $

चित्र 6.20

$ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \mathrm{V}=\dfrac{1}{3} \pi r^2 h=\dfrac{1}{3} \pi\left(\dfrac{h}{2}\right)^2 h=\dfrac{\pi h^3}{12} $

$ \text{इसलिए} \qquad \qquad \quad \dfrac{d \mathrm{~V}}{d t}=\dfrac{d}{d h}\left(\dfrac{\pi h^3}{12}\right) \cdot \dfrac{d h}{d t} \qquad \text{(चैन नियम द्वारा)} $

$ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad =\dfrac{\pi}{4} h^2 \dfrac{d h}{d t} $

अब आयतन के परिवर्तन दर, अर्थात $\dfrac{d \mathrm{~V}}{d t}=5 \mathrm{~m}^3 / \mathrm{h}$ तथा $h=4 \mathrm{~m}$ है।

$ \begin{aligned} \text{इसलिए} \qquad \qquad

5 & =\frac{\pi}{4}(4)^2 \cdot \frac{d h}{d t} \\ \end{aligned} $

$ \begin{aligned} \text{या} \qquad \qquad \qquad \quad \frac{d h}{d t} & =\frac{5}{4 \pi}=\frac{35}{88} \mathrm{~m} / \mathrm{h}\left(\pi=\frac{22}{7}\right) \end{aligned} $

इसलिए, पानी के स्तर के परिवर्तन की दर $\dfrac{35}{88} \mathrm{~m} / \mathrm{h}$ है।

उदाहरण 32 2 मीटर ऊँचे एक व्यक्ति 6 मीटर ऊँचे एक चौकी से $5 km / h$ की एक समान गति से दूर चल रहा है। उसकी छाया की लंबाई के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए।

हल चित्र 6.21 में, AB चौकी हो, चौकी के बिंदु B पर लैंप हो और एक विशिष्ट समय t पर MN व्यक्ति हो और AM = l मीटर हो। तब, MS व्यक्ति की छाया हो। छाया MS = s मीटर हो।

ध्यान दें कि $\triangle \mathrm{MSN} \sim \triangle \mathrm{ASB}$

या $\dfrac{\mathrm{MS}}{\mathrm{AS}}=\dfrac{\mathrm{MN}}{\mathrm{AB}}$

या $\mathrm{AS}=3 s$

चित्र 6.21

$ \mathrm{AS} = 3s - s $ क्योंकि $ (\mathrm{MN}=2 \mathrm{~m}$ और $\mathrm{AB}=6 \mathrm{~m} \qquad\text{(दिया गया)})$

$ \text{इसलिए}$ $\quad\mathrm{AM}=3 s-s=2 s$ है। परन्तु $\mathrm{AM}=l$

$\text{इसलिए} \quad l=2 s$

$\text{क्योंकि} \quad \dfrac{d l}{d t}=5 km / h$. इसलिए, छाया की लंबाई की दर $\dfrac{5}{2} km / h$ है।

उदाहरण 33 निम्नलिखित फलन द्वारा दिए गए अंतरालों में फलन को (a) बढ़ते होने वाला (b) घटते होने वाला ज्ञात कीजिए।

$ f(x)=\dfrac{3}{10} x^{4}-\dfrac{4}{5} x^{3}-3 x^{2}+\dfrac{36}{5} x+11 $

हल हमारे पास है

$ \qquad \qquad \qquad f(x)=\dfrac{3}{10} x^{4}-\dfrac{4}{5} x^{3}-3 x^{2}+\dfrac{36}{5} x+11 $

$ \begin{aligned} \text{इसलिए} \qquad f^{\prime}(x) & =\dfrac{3}{10}(4 x^{3})-\dfrac{4}{5}(3 x^{2})-3(2 x)+\dfrac{36}{5} \\ & =\dfrac{6}{5}(x-1)(x+2)(x-3) \quad \text{ (सरलीकरण के बाद) } \end{aligned} $

अब $f^{\prime}(x)=0$ देता है $x=1, x=-2$, या $x=3$. बिंदु $x=1,-2$, और 3 वास्तविक रेखा को चार अलग-अलग अंतरालों में विभाजित करते हैं, अर्थात, $(-\infty,-2),(-2,1),(1,3)$ और $(3, \infty)$ (चित्र 6.22)।

चित्र 6.22

अंतराल $(-\infty,-2)$, अर्थात जब $-\infty < x < -2$ के लिए विचार करें।

इस स्थिति में, हमें $x-1<0, x+2<0$ और $x-3<0$ मिलता है।

(विशेष रूप से, ध्यान दें कि जब $x=-3$ हो, तो $f^{\prime}(x)=(x-1)(x+2)(x-3)=(-4)(-1)(-6)<0)$

इसलिए, $\quad f^{\prime}(x)<0$ जब $-\infty < x < -2$ हो।

इसलिए, फलन $f$ अंतराल $(-\infty,-2)$ में घटता है।

अब अंतराल $(-2,1)$, अर्थात जब $-2 < x < 1$ के लिए विचार करें।

इस स्थिति में, हमें $x-1<0, x+2>0$ और $x-3<0$ मिलता है।

(विशेष रूप से, ध्यान दें कि जब $x=0$ हो, तो $f^{\prime}(x)=(x-1)(x+2)(x-3)=(-1)(2)(-3)$ $=6 > 0)$

$ \text{इसलिए} \qquad \quad f^{\prime}(x) > 0 \text{ जब }-2 < x < 1 \text{ हो। } $

$ \text{इसलिए,} \qquad f \text{ अंतराल }(-2,1) \text{ में बढ़ता है। } $

अब अंतराल $(1,3)$, अर्थात जब $1 < x < 3$ के लिए विचार करें। इस स्थिति में, हमें $x-1 > 0, x+2 > 0$ और $x-3 < 0$ मिलता है।

$ \text{इसलिए,} \qquad \quad f^{\prime}(x) < 0 \text{ जब } 1 < x < 3 \text{ हो। } $

$\text{इसलिए,} \qquad$ $f$ अंतराल $(1,3)$ में घटता है।

अंत में, अंतराल $(3, \infty)$, अर्थात जब $x>3$ के लिए विचार करें। इस स्थिति में, हमें $x-1>0$, $x+2>0$ और $x-3>0$ मिलता है। इसलिए $f^{\prime}(x)>0$ जब $x>3$ हो।

इसलिए, $f$ अंतराल $(3, \infty)$ में बढ़ता है।

उदाहरण 34 दिखाइए कि फलन $f$ जो द्वारा दिया गया है

$ f(x)=\tan ^{-1}(\sin x+\cos x), x>0 $

सदैव अंतराल $\left(0, \dfrac{\pi}{4}\right)$ में बढ़ता है।

हल हमें ज्ञात है कि

$ \begin{aligned} f(x) & =\tan ^{-1}(\sin x+\cos x), x>0 \\ \text{इसलिए} \qquad f^{\prime}(x) & =\dfrac{1}{1+(\sin x+\cos x)^{2}}(\cos x-\sin x) \\ & =\dfrac{\cos x-\sin x}{2+\sin 2 x} \qquad\qquad\text{(सरलीकरण के बाद)} \end{aligned} $

ध्यान दें कि $2+\sin 2 x > 0$ सभी $x$ के लिए अंतराल $0, \dfrac{\pi}{4}$ में।

$\text{इसलिए }\qquad f^{\prime}(x) > 0 \text{ यदि } \cos x-\sin x > 0$

$\text{या} \qquad \qquad \quad f^{\prime}(x) > 0 \text{ यदि } \cos x > \sin x \text{ या } \cot x > 1$

$\text{अब}\qquad\qquad \cot x > 1 \text{ यदि } \tan x < 1 \text{, अर्थात यदि } 0 < x < \dfrac{\pi}{4}$

$\text{इसलिए}\qquad \qquad f^{\prime}(x)>0 \text{ अंतराल } 0, \dfrac{\pi}{4}$ में

इसलिए $f$ अंतराल $\left(0, \dfrac{\pi}{4}\right)$ में एक बढ़ती फलन है।

उदाहरण 35 एक वृत्ताकार डिस्क जिसकी त्रिज्या $3 cm$ है, गरम कर रही है। विस्तार के कारण इसकी त्रिज्या $0.05 cm / s$ की दर से बढ़ रही है। जब त्रिज्या $3.2 cm$ हो तो क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है?

हल मान लीजिए $r$ दी गई डिस्क की त्रिज्या है और $A$ इसका क्षेत्रफल है। तब

$\qquad \qquad \mathrm{A}=\pi r^{2}$

$\text{या} \quad \qquad \dfrac{d A}{d t}=2 \pi r \dfrac{d r}{d t}$

अब त्रिज्या के बढ़ने की अनुमानित दर $=d r=\dfrac{d r}{d t} \Delta t=0.05 cm / s$।

इसलिए, क्षेत्रफल के बढ़ने की अनुमानित दर निम्नलिखित द्वारा दी जाती है

$ \begin{aligned} d A & =\dfrac{d A}{d t}(\Delta t)=2 \pi r(\dfrac{d r}{d t} \Delta t) \\ & =2 \pi(3.2)(0.05)=0.320 \pi cm^{2} / s \quad(r=3.2 cm) \end{aligned} $

उदाहरण 36 एक खुला टॉप बॉक्स बनाने के लिए 3 मीटर लंबा और 8 मीटर चौड़ा एल्यूमीनियम की आयताकार शीट से प्रत्येक कोने से समान वर्ग निकालकर तल के ओर बढ़ाया जाता है। ऐसे सबसे बड़े बॉक्स का आयतन ज्ञात कीजिए।

हल मान लीजिए $x$ मीटर निकाले गए वर्ग की भुजा की लंबाई है। तब, बॉक्स की ऊँचाई $x$, लंबाई $8-2 x$ और चौड़ाई $3-2 x$ है (चित्र 6.23)। यदि $V(x)$ बॉक्स का आयतन है, तो

चित्र 6.23

$ \qquad \qquad \begin{aligned} V(x) & =x(3-2 x)(8-2 x) \\ & =4 x^{3}-22 x^{2}+24 x \end{aligned} $

$\text{इसलिए}\qquad \begin{cases} V^{\prime}(x)=12 x^{2}-44 x+24=4(x-3)(3 x-2) \\ V^{\prime \prime}(x)=24 x-44 \end{cases}$

$\text{अब}\qquad V^{\prime}(x)=0 \text{ देता है } x=3, \dfrac{2}{3} \text{। लेकिन } x \neq 3 \text{ (क्यों?) }$

$\text{इसलिए, हमें }$ $x=\dfrac{2}{3}$ है। अब $V^{\prime \prime}(\dfrac{2}{3})=24(\dfrac{2}{3})-44=-28<0$।

इसलिए, $ x=\dfrac{2}{3} $ अधिकतम बिंदु है, अर्थात, यदि हम पतली के प्रत्येक कोने से $\dfrac{2}{3}$ मीटर के वर्ग को हटा दें और शेष पतली से एक बॉक्स बनाएं, तो इस प्रकार प्राप्त बॉक्स का आयतन सबसे अधिक होगा और यह निम्नलिखित द्वारा दिया गया है

$\mathrm{V}\left(\dfrac{2}{3}\right)=4\left(\dfrac{2}{3}\right)^{3}-22\left(\dfrac{2}{3}\right)^{2}+24\left(\dfrac{2}{3}\right)$

$=\dfrac{200}{27} \mathrm{~m}^{3}$

उदाहरण 37 निर्माता प्रति इकाई रुपये $\left(5-\dfrac{x}{100}\right)$ के दाम पर $x$ इकाइयों को बेच सकता है। $x$ इकाइयों का लागत मूल्य रुपये $\left(\dfrac{x}{5}+500\right)$ है। अधिकतम लाभ प्राप्त करने के लिए उसे कितनी इकाइयों को बेचना चाहिए?

हल मान लीजिए $S(x)$ $x$ इकाइयों के विक्रय मूल्य है और $C(x)$ $x$ इकाइयों का लागत मूल्य है। तब हमारे पास है

$ \qquad \qquad S(x)=\left(5-\dfrac{x}{100}\right) x=5 x-\dfrac{x^{2}}{100} $

और $\qquad \mathrm{C}(x)=\dfrac{x}{5}+500$

इसलिए, लाभ फ़ंक्शन $P(x)$ निम्नलिखित द्वारा दिया गया है

$\text{i.e.} \qquad \mathrm{P}(x)=\mathrm{S}(x)-\mathrm{C}(x)=5 x-\dfrac{x^{2}}{100}-\dfrac{x}{5}-500$

$\text{or} \qquad \mathrm{P}(x)=\dfrac{24}{5} x-\dfrac{x^{2}}{100}-500 $

अब $\qquad P^{\prime}(x)=0$ द्वारा $x=240$ प्राप्त होता है। अतः $P^{\prime \prime}(x)=\dfrac{-1}{50}$. इसलिए $ P^{\prime \prime}(240)=\dfrac{-1}{50}<0$

इसलिए, $x=240$ अधिकतम बिंदु है। अतः यदि वह 240 इकाइयों को बेचता है तो निर्माता अधिकतम लाभ प्राप्त कर सकता है।

सारांश

• यदि एक राशि $y$, दूसरी राशि $x$ के साथ बदलती है, जो कुछ नियम $y= f(x)$ के अनुसार हो, तो $ \dfrac{dy}{dx}or (f’(x)) $, $y$ के $x$ के सापेक्ष परिवर्तन दर को प्रकट करता है और $ \dfrac{dy}{dx} _{x=x0} or(f’(x_0)) $, $x=x_0$ पर $y$ के $x$ के सापेक्ष परिवर्तन दर को प्रकट करता है

• यदि दो चर $x$ और $y$, एक अन्य चर $t$ के सापेक्ष बदलते हैं, अर्थात, यदि $x=f(t)$ और $y=g(t)$, तो चैन नियम द्वारा

$\qquad \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{d y}{d t} / \dfrac{d x}{d t}, \text { if } \dfrac{d x}{d t} \neq 0 $

• एक फलन $f$ कहलाता है

$\qquad$(a) एक अंतराल $(a, b)$ पर बढ़ता है यदि $x_1 < x_2$ तो

$\qquad$ $(a, b) \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$ सभी $x_1, x_2 \in(a, b)$ के लिए।

$\qquad$ अलग-अलग, यदि $f^{\prime}(x) \geq 0$ प्रत्येक $x$ के लिए $(a, b)$ में

$\qquad$(b) एक अंतराल $(a, b)$ पर घटता है यदि

$\qquad x_1 < x_2 \text{ in }(a, b) \Rightarrow f(x_1) > f(x_2) \text{ for all } x_1, x_2 \in(a, b) \text{. } $

$\qquad$(c) एक अंतराल $(a, b)$ में स्थिर है, यदि $f(x)=c$ सभी $x \in(a, b)$ के लिए, जहां $c$ एक स्थिरांक है।

• एक बिंदु $c$ एक फलन $f$ के डोमेन में जहां या तो $f^{\prime}(c)=0$ है या $f$ अवकलनीय नहीं है, तो इसे $f$ का क्रिटिकल बिंदु कहा जाता है।

• प्रथम अवकलज परीक्षण मान लीजिए कि $f$ एक खुले अंतराल $I$ पर परिभाषित एक फलन है। मान लीजिए कि $f$ एक क्रिटिकल बिंदु $c$ पर सतत है। तब

$\qquad$(i) यदि $f^{\prime}(x)$ बढ़ते हुए $x$ के माध्यम से $c$ से धनात्मक से नकारात्मक में परिवर्तित होता है, अर्थात यदि $f^{\prime}(x) > 0$ बिंदु पर पर्याप्त रूप से करीब है और $c$ के बाईं ओर, और $f^{\prime}(x) < 0$ बिंदु पर पर्याप्त रूप से करीब है और $c$ के दाईं ओर, तो $c$ एक स्थानीय उच्चिष्ठ बिंदु है।

$\qquad$(ii) यदि $f^{\prime}(x)$ बढ़ते हुए $x$ के माध्यम से $c$ से नकारात्मक से धनात्मक में परिवर्तित होता है, अर्थात यदि $f^{\prime}(x) < 0$ बिंदु पर पर्याप्त रूप से करीब है और $c$ के बाईं ओर, और $f^{\prime}(x) > 0$ बिंदु पर पर्याप्त रूप से करीब है और $c$ के दाईं ओर, तो $c$ एक स्थानीय न्यूनतम बिंदु है।

$\qquad$(iii) यदि $f^{\prime}(x)$ बढ़ते हुए $x$ के माध्यम से $c$ से चिन्ह बदलता नहीं है, तो $c$ न तो स्थानीय उच्चिष्ठ बिंदु है और न ही स्थानीय न्यूनतम बिंदु है। वास्तव में, ऐसे बिंदु को अपसारी बिंदु कहा जाता है।

• द्वितीय अवकलज परीक्षण मान लीजिए कि $f$ एक अंतराल $I$ पर परिभाषित एक फलन है और $c \in I$। मान लीजिए कि $f$ $c$ पर द्विगुण अवकलनीय है। तब

$\qquad$(i) $x=c$ एक स्थानीय उच्चिष्ठ बिंदु है यदि $f^{\prime}(c)=0$ और $f^{\prime \prime}(c)<0$

$\qquad$ मूल्य $f(c)$ फलन $f$ का स्थानीय उच्चिष्ठ मूल्य है।

$\qquad$ (ii) $x=c$ एक लोकल मिनिमा बिंदु होता है यदि $f^{\prime}(c)=0$ और $f^{\prime \prime}(c)>0$

$\qquad$ इस स्थिति में, $f(c)$, $f$ का लोकल न्यूनतम मान होता है।

$\qquad$ (iii) यदि $f^{\prime}(c)=0$ और $f^{\prime \prime}(c)=0$ हो, तो परीक्षण विफल रहता है।

$\qquad$ इस स्थिति में, हम पहले अवकलज परीक्षण के लिए वापस जाते हैं और जांच करते हैं कि $c$ एक उच्चिष्ठ बिंदु, न्यूनिष्ठ बिंदु या वक्रता परिवर्तन बिंदु है या नहीं।

• अधिकतम और/या न्यूनतम मान खोजने के कामकाज नियम

चरण 1: $f$ के अंतराल में सभी क्रिटिकल बिंदुओं को खोजें, अर्थात, खोजें बिंदु $x$ जहां $f^{\prime}(x)=0$ या $f$ अवकलनीय नहीं हो।

चरण 2: अंतराल के सिरों को ले लें।

चरण 3: सभी बिंदुओं पर (चरण 1 और 2 में सूचीकृत) $f$ के मान की गणना करें।

चरण 4: चरण 3 में गणना किए गए मानों में से $f$ के अधिकतम और न्यूनतम मान की पहचान करें। इस अधिकतम मान को $f$ का अधिकतम मान और न्यूनतम मान को $f$ का न्यूनतम मान माना जाएगा।