उन व्यक्तियों के लिए विधियों की खोज करना जिनके मन में एक निश्चित समस्या नहीं होती, अधिकांशतः व्यर्थ होता है। - डॉ॰ डैविड हिल्बर्ट

9.1 परिचय

कक्षा $XI$ और इस पुस्तक के अध्याय $5$ में, हमने चर बराबरी के लिए एक दी गई फलन $f$ के अवकलज कैसे निकाले हैं, अर्थात, दी गई फलन $f$ के प्रत्येक $x$ के लिए $f^{\prime}(x)$ कैसे निकाले हैं, इसके बारे में चर्चा की है। इसके अतिरिक्त, समाकलन कलन के अध्याय में, हमने एक फलन $f$ कैसे निकाले हैं, जिसका अवकलज एक फलन $g$ होता है, जिसे इस प्रकार भी व्यक्त किया जा सकता है:

एक दी गई फलन $g$ के लिए, एक फलन $f$ ज्ञात करें जो निम्नलिखित समीकरण को संतुष्ट करता हो:

$ \dfrac{d y}{d x}=g(x) \text { जहाँ } y=f(x) \qquad\text{…(1)} $

हेन्री पॉइंकेर $(1854-1912)$

इस प्रकार की समीकरण $(1)$ को एक अवकल समीकरण कहा जाता है। एक औपचारिक परिभाषा बाद में दी जाएगी।

इन समीकरणों के विभिन्न अनुप्रयोगों में उत्पन्न होते हैं, जैसे कि भौतिक विज्ञान, रसायन विज्ञान, जीवविज्ञान, मानव विज्ञान, भूविज्ञान, अर्थशास्त्र आदि। इसलिए, अवकल समीकरणों के गहरे अध्ययन के महत्व आधुनिक वैज्ञानिक अनुसंधान में प्रमुख स्थान ले लिया है।

इस अध्याय में, हम अवकल समीकरण से संबंधित कुछ मूल अवधारणाओं, अवकल समीकरण के सामान्य और विशिष्ट समाधान, अवकल समीकरण के निर्माण, पहले क्रम-प्रथम डिग्री अवकल समीकरण के हल के कुछ विधियों और अवकल समीकरण के विभिन्न क्षेत्रों में अनुप्रयोगों के बारे में अध्ययन करेंगे।

9.2 मूल अवधारणाएं

हम पहले से ही निम्नलिखित प्रकार के समीकरणों के साथ परिचित हैं:

$ \begin{aligned} x^{2}-3 x+3=0 \quad\text{…(1)} \\ \sin x+\cos x=0 \quad\text{…(2)} \\ x+y=7 \quad\text{…(3)} \end{aligned} $

चलो हम निम्नलिखित समीकरण को ध्यान में लें:

$ \begin{aligned} x \dfrac{d y}{d x}+y=0 \hspace{3mm}\qquad\text{…(4)} \end{aligned}

$

हम देखते हैं कि समीकरण $(1)$, $(2)$ और $(3)$ केवल स्वापेद और/या अपेक्षित चर (चर) को शामिल करते हैं लेकिन समीकरण $(4)$ में चर तथा अपेक्षित चर $y$ के संबंध में अवकलज के अवकलज शामिल हैं। ऐसे समीकरण को अवकल समीकरण कहा जाता है।

सामान्य रूप से, एक अवकल समीकरण वह समीकरण होता है जिसमें अपेक्षित चर के संबंध में अवकलज (अवकलज) शामिल होते हैं।

एक अवकल समीकरण जो अपेक्षित चर के संबंध में केवल एक स्वापेद चर के अवकलज को शामिल करता है, एक साधारण अवकल समीकरण कहलाता है, उदाहरण के लिए,

$ 2 \dfrac{d^{2} y}{d x^{3}}+(\dfrac{d y}{d x})^{3}=0 \text{ एक साधारण अवकल समीकरण है } \hspace{3mm}\qquad\text{…(5)} $

स्पष्ट रूप से, अवकल समीकरण जो एक से अधिक स्वापेद चर के संबंध में अवकलज को शामिल करते हैं, आंशिक अवकल समीकरण कहलाते हैं लेकिन इस चरण पर हम साधारण अवकल समीकरण के अध्ययन की ओर ही सीमित रहेंगे। अब आगे, हम ‘अवकल समीकरण’ शब्द के लिए ‘साधारण अवकल समीकरण’ का उपयोग करेंगे।

नोट

1. हम अवकलज के लिए निम्नलिखित नोटेशन का उपयोग पसंद करेंगे:

$ \dfrac{d y}{d x}=y^{\prime}, \dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}=y^{\prime \prime}, \dfrac{d^{3} y}{d x^{3}}=y^{\prime \prime \prime} $

2. उच्च कोटि के अवकलज के लिए इतने डॉट का उपयोग करना असुविधाजनक होता है, इसलिए हम $y_n$ को $n$ वें कोटि के अवकलज $\dfrac{d^{n} y}{d x^{n}}$ के लिए उपयोग करते हैं।

9.2.1 अवकल समीकरण की कोटि

एक अवकल समीकरण की कोटि उस अवकलज की कोटि के बराबर होती है जो दिए गए अवकल समीकरण में अपेक्षित चर के संबंध में अपेक्षित चर के अवकलज के उच्चतम कोटि के अवकलज को शामिल करती है।

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को ध्यान में रखें:

$ \begin{aligned} & \dfrac{d y}{d x}=e^{x} \hspace{27mm}\text{…(6)}\\ & \dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}+y=0 \qquad\qquad\qquad\text{…(7)}\\ & \frac{d^{3} y}{d x^{3}}+x^{2}\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)^{3}=0 \qquad\text{…(8)}

\end{aligned} $

समीकरण $(6)$, $(7)$ और $(8)$ क्रमशः प्रथम, द्वितीय और तृतीय कोटि के उच्चतम अवकलज के साथ संबंधित हैं। इसलिए, इन समीकरणों के कोटि क्रमशः $1$, $2$ और $3$ हैं।

9.2.2 अवकल समीकरण की कोटि

एक अवकल समीकरण की कोटि के अध्ययन के लिए, मुख्य बिंदु यह है कि अवकल समीकरण अवकलजों के बहुपद समीकरण होना चाहिए, अर्थात $y^{\prime}, y^{\prime \prime}, y^{\prime \prime \prime}$ आदि। निम्नलिखित अवकल समीकरणों को ध्यान में लें:

$ \begin{aligned} \dfrac{d^{3} y}{d x^{3}}+2\left(\dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)^{2}-\dfrac{d y}{d x}+y & =0 \hspace{10mm}\text{…(9)}\\ \left(\dfrac{d y}{d x}\right)^{2}+\left(\dfrac{d y}{d x}\right)-\sin ^{2} y & =0 \hspace{10mm}\text{…(10)}\\ \dfrac{d y}{d x}+\sin \left(\dfrac{d y}{d x}\right) & =0 \hspace{10mm}\text{…(11)} \end{aligned} $

हम देखते हैं कि समीकरण (9) $y^{\prime \prime \prime}, y^{\prime \prime}$ और $y^{\prime}$ के बहुपद समीकरण है, समीकरण (10) $y^{\prime}$ के बहुपद समीकरण है (हालांकि $y$ के बहुपद समीकरण नहीं है)। ऐसे अवकल समीकरण की कोटि परिभाषित की जा सकती है। लेकिन समीकरण (11) $y^{\prime}$ के बहुपद समीकरण नहीं है और ऐसे अवकल समीकरण की कोटि परिभाषित नहीं की जा सकती है।

जब एक अवकल समीकरण अवकलजों के बहुपद समीकरण होता है, तो इसकी कोटि के अर्थ इस बात की उच्चतम घात (धनात्मक पूर्णांक सूचकांक) होती है जो दिए गए अवकल समीकरण में शामिल होती है।

उपरोक्त परिभाषा के आधार पर, हम देख सकते हैं कि अवकल समीकरण $(6)$, $(7)$, $(8)$ और $(9)$ प्रत्येक कोटि एक है, समीकरण $(10)$ की कोटि दो है जबकि अवकल समीकरण $(11)$ की कोटि परिभाषित नहीं है।

नोट एक अवकल समीकरण की कोटि और कोटि (यदि परिभाषित हो) हमेशा धनात्मक पूर्णांक होती है।

उदाहरण 1 निम्नलिखित प्रत्येक अवकल समीकरण की कोटि और कोटि (यदि परिभाषित हो) ज्ञात करें:

(i) $\dfrac{d y}{d x}-\cos x=0$

(ii) $x y \dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}+x\left(\dfrac{d y}{d x}\right)^{2}-y \dfrac{d y}{d x}=0$

(iii) $y^{\prime \prime \prime}+y^{2}+e^{y^{\prime}}=0$

हल

(i) अवकल समीकरण में उपस्थित सबसे ऊँचा अवकलज $\dfrac{d y}{d x}$ है, इसलिए इसका कोटि एक है। यह $y^{\prime}$ में एक बहुपद समीकरण है और $\dfrac{d y}{d x}$ के सबसे ऊँचा घात एक है, इसलिए इसका घात एक है।

(ii) दिए गए अवकल समीकरण में उपस्थित सबसे ऊँचा अवकलज $\dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}$ है, इसलिए इसका कोटि दो है। यह $\dfrac{d^{3} y}{d x^{3}}$ और $\dfrac{d y}{d x}$ में एक बहुपद समीकरण है और $\dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}$ के सबसे ऊँचा घात एक है, इसलिए इसका घात एक है।

(iii) अवकल समीकरण में उपस्थित सबसे ऊँचा अवकलज $y^{\prime \prime \prime}$ है, इसलिए इसका कोटि तीन है। दिए गए अवकल समीकरण अपने अवकलजों में एक बहुपद समीकरण नहीं है, इसलिए इसका घात परिभाषित नहीं है।

9.3 अवकल समीकरण के सामान्य और विशिष्ट हल

पिछली कक्षाओं में हमने निम्नलिखित प्रकार के समीकरणों को हल किया है:

$ \begin{aligned} x^{2}+1=0 \hspace{10mm}\text{…(1)} \\ \sin ^{2} x-\cos x=0 \hspace{10mm}\text{…(2)} \end{aligned} $

समीकरण $(1)$ और $(2)$ के हल संख्याएँ होती हैं, जो दिए गए समीकरण को संतुष्ट करती हैं, अर्थात जब इन संख्याओं को अज्ञात $x$ के स्थान पर रखा जाता है तो दिए गए समीकरण में $\text{L.H.S,}$ $\text{R.H.S}$ के बराबर हो जाता है।

अब अवकल समीकरण को ध्यान में रखें: $\dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}+y=0 \hspace{10mm}\text{…(3)}$

पहले दो समीकरणों के विपरीत, इस अवकल समीकरण के हल एक फलन $\phi$ होता है जो इसे संतुष्ट करता है, अर्थात जब फलन $\phi$ अज्ञात $y$ (परतंत्र चर) के स्थान पर रखा जाता है तो दिए गए अवकल समीकरण में $\text{L.H.S.}$ $\text{R.H.S.}$ के बराबर हो जाता है।

कक्षा $y=\phi(x)$ दिए गए अवकल समीकरण के हल वक्र (समकरण वक्र) कहलाता है। विचार करें फलन द्वारा दिया गया

$ \begin{aligned} y=\phi(x)=a \sin (x+b) \hspace{10mm}\text{…(4)} \end{aligned} $

जहाँ $a, b \in \mathbf{R}$. जब यह फलन और इसका अवकलज समीकरण (3) में समायोजित किया जाता है, तो $\text{L.H.S.}$ = $\text{R.H.S.}$. इसलिए यह अवकल समीकरण (3) का एक हल है।

मान लीजिए $a$ और $b$ को कुछ विशिष्ट मान दिए जाते हैं, जैसे $a=2$ और $b=\dfrac{\pi}{4}$, तो हमें फलन प्राप्त होता है

$ \begin{aligned} y=\phi _{1}(x)=2 \sin \left(x+\dfrac{\pi}{4}\right) \hspace{10mm}\text{…(5)} \end{aligned} $

जब यह फलन और इसका अवकलज समीकरण (3) में फिर से समायोजित किया जाता है, तो $\text{L.H.S.}$ = $\text{R.H.S. }$. इसलिए $\phi_1$ भी समीकरण (3) का एक हल है।

फलन $\phi$ में दो अस्थायी स्थिरांक (पैरामीटर) $a, b$ होते हैं और इसे दिए गए अवकल समीकरण का सामान्य हल कहा जाता है। जबकि फलन $\phi_1$ में कोई अस्थायी स्थिरांक नहीं होते हैं बल्कि पैरामीटर $a$ और $b$ के विशिष्ट मान होते हैं और इसलिए इसे दिए गए अवकल समीकरण का विशिष्ट हल कहा जाता है।

उस हल को जिसमें अस्थायी स्थिरांक होते हैं, अवकल समीकरण का सामान्य हल (मूल रूप) कहा जाता है।

उस हल को जिसमें अस्थायी स्थिरांक नहीं होते हैं, अर्थात अस्थायी स्थिरांक के विशिष्ट मान देकर सामान्य हल से प्राप्त किया गया हल, अवकल समीकरण का विशिष्ट हल कहा जाता है।

उदाहरण 2 सत्यापित करें कि फलन $y=e^{-3 x}$ अवकल समीकरण $\dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}+\dfrac{d y}{d x}-6 y=0$ का हल है।

हल दिया गया फलन $y=e^{-3 x}$ है। समीकरण के दोनों ओर $x$ के संदर्भ में अवकलन करने पर हमें प्राप्त होता है

$ \begin{aligned} \frac{d y}{d x}=3 e^{-3 x} \hspace{10mm}\text{…(1)} \end{aligned} $

अब, (1) को $x$ के संदर्भ में अवकलन करने पर हमें प्राप्त होता है

$ \dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}=9 e^{-3 x} $

दिए गए अवकल समीकरण में $\dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}, \dfrac{d y}{d x}$ और $y$ के मान को समायोजित करने पर हमें प्राप्त होता है

$\text{L.H.S.}$ $=9 e^{-3 x}+(-3 e^{-3 x})-6 . e^{-3 x}=9 e^{-3 x}-9 e^{-3 x}=0=$ R.H.S.

इसलिए, दी गई फलन दी गई अवकल समीकरण का एक समाधान है।

उदाहरण 3 सत्यापित करें कि फलन $y=a \cos x+b \sin x$, जहाँ, $a, b \in \mathbf{R}$, अवकल समीकरण $\dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}+y=0$ का एक समाधान है।

हल दिया गया फलन है

$ \begin{aligned} y=a \cos x+b \sin x \hspace{10mm}\text{…(1)} \end{aligned} $

समीकरण $(1)$ के दोनों ओर $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हुए, क्रमशः हमें प्राप्त होता है

$ \begin{aligned} \dfrac{d y}{d x} & =-a \sin x+b \cos x \\ \dfrac{d^{2} y}{d x^{2}} & =-a \cos x-b \sin x \end{aligned} $

दी गई अवकल समीकरण में $\dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}$ और $y$ के मान को प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है

$\text{L.H.S.}$ $=(-a \cos x-b \sin x)+(a \cos x+b \sin x)=0=$ R.H.S.

इसलिए, दिया गया फलन दिए गए अवकल समीकरण का एक समाधान है।

9.4 पहले कोटि और पहले डिग्री अवकल समीकरण के हल के तरीके

इस अनुच्छेद में हम पहले कोटि और पहले डिग्री अवकल समीकरण के तीन तरीकों के बारे में चर्चा करेंगे।

9.4.1 चर अलग-अलग होने वाले अवकल समीकरण

एक पहले कोटि और पहले डिग्री अवकल समीकरण के रूप में होता है

$ \begin{aligned} \frac{d y}{d x}=\mathrm{F}(x, y) \hspace{26mm}\text{…(1)} \end{aligned} $

यदि $F(x, y)$ को $x$ के फलन $g(x)$ और $y$ के फलन $h(y)$ के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सके, तो अवकल समीकरण $(1)$ को चर अलग-अलग प्रकार के अवकल समीकरण कहा जाता है। तब अवकल समीकरण $(1)$ के रूप में होता है

$ \begin{aligned} \frac{d y}{d x}=h(y) \cdot g(x) \hspace{21mm}\text{…(2)} \end{aligned} $

यदि $h(y) \neq 0$, तो चरों को अलग करते हुए, $(2)$ को निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है

$ \begin{aligned} \frac{1}{h(y)} d y=g(x) d x \hspace{20mm}\text{…(3)} \end{aligned} $

$(3)$ के दोनों ओर समाकलन करने पर हमें प्राप्त होता है

$ \begin{aligned} \int \frac{1}{h(y)} d y=\int g(x) d x \hspace{12mm}\text{…(4)}

\end{aligned} $

इसलिए, $(4)$ दिए गए अवकल समीकरण के हल को निम्नलिखित रूप में प्रदान करता है

$ \begin{aligned} \mathrm{H}(y)=\mathrm{G}(x)+\mathrm{C} \end{aligned} $

यहाँ, $H(y)$ और $G(x)$ क्रमशः $\dfrac{1}{h(y)}$ और $g(x)$ के प्रतिअवकलज हैं और $C$ एक अनुमानित स्थिरांक है।

उदाहरण 4 अवकल समीकरण $\dfrac{d y}{d x}=\dfrac{x+1}{2-y},(y \neq 2)$ का सामान्य हल ज्ञात कीजिए।

हल हमारे पास है

$ \begin{aligned} \frac{d y}{d x}=\frac{x+1}{2-y}(y \neq 2) \hspace{14mm}\text{…(1)} \end{aligned} $

समीकरण $(1)$ में चरों को अलग करने पर हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} (2-y) d y=(x+1) d x \hspace{10mm}\text{…(2)} \end{aligned} $

समीकरण $(2)$ के दोनों ओर समाकलन करने पर हम प्राप्त करते हैं

$ \int(2-y) d y=\int(x+1) d x $

$ \text{ या } \qquad 2 y-\dfrac{y^{2}}{2}=\dfrac{x^{2}}{2}+x+\mathrm{C} _{1} $

$ \text{ या } \qquad x^{2}+y^{2}+2 x-4 y+2 \mathrm{C} _{1}=0 $

$\text{ या } \qquad x^{2}+y^{2}+2 x-4 y+\mathrm{C}=0 \text { जहाँ } \mathrm{C}=2 \mathrm{C} _{1}$

जो समीकरण $(1)$ का सामान्य हल है।

उदाहरण 5 अवकल समीकरण $\dfrac{d y}{d x}=\dfrac{1+y^{2}}{1+x^{2}}$ का सामान्य हल ज्ञात कीजिए।

हल क्योंकि $1+y^{2} \neq 0$, अतः चरों को अलग करने पर दिए गए अवकल समीकरण को लिखा जा सकता है

$ \begin{aligned} \frac{d y}{1+y^{2}}=\frac{d x}{1+x^{2}} \hspace{15mm}\text{…(1)} \end{aligned} $

समीकरण $(1)$ के दोनों ओर समाकलन करने पर हम प्राप्त करते हैं

$ \int \dfrac{d y}{1+y^{2}}=\int \dfrac{d x}{1+x^{2}} $

$\text{ या }\qquad \tan ^{-1} y=\tan ^{-1} x+\mathrm{C} $

जो समीकरण $(1)$ का सामान्य हल है।

उदाहरण 6 अवकल समीकरण $\dfrac{d y}{d x}=-4 x y^{2}$ का विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए जबकि $y=1$, जब $x=0$ हो।

हल यदि $y \neq 0$, तो दिए गए अवकल समीकरण को लिखा जा सकता है

$ \qquad \begin{aligned} \frac{d y}{y^{2}}=-4 x d x \hspace{15mm}\text{…(1)} \end{aligned} $

समीकरण $(1)$ के दोनों ओर समाकलन करने पर हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} \int \frac{d y}{y^{2}} & =-4 \int x d x \\

$$ \frac{1}{y} & =-2 x^{2}+C \\ \text{ or } \quad y & =\frac{1}{2 x^{2}-C} \end{aligned} $

समीकरण (2) में $y=1$ और $x=0$ को प्रतिस्थापित करने पर, हमें $C=-1$ प्राप्त होता है।

अब समीकरण (2) में $C$ के मान को प्रतिस्थापित करने पर, दिए गए अवकल समीकरण के विशिष्ट समाधान के रूप में हमें $y=\dfrac{1}{2 x^{2}+1}$ प्राप्त होता है।

उदाहरण 7 बिंदु $(1,1)$ से गुजरने वाले वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए, जिसका अवकल समीकरण $x d y=(2 x^{2}+1) d x(x \neq 0)$ है।

हल दिया गया अवकल समीकरण निम्नलिखित रूप में व्यक्त किया जा सकता है

$ \qquad dy* $ $ =\left(\dfrac{2x^2+1}{x}\right) dx \\ \text{ or } \quad y =\left(2 x+\dfrac{1}{x}\right) d x \hspace{15mm}\text{…(1)}$

समीकरण (1) के दोनों ओर समाकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है

$ \qquad \int d y=\int\left(2 x+\dfrac{1}{x}\right) d x $

$ \begin{aligned} \text{ or }\qquad y=x^{2}+\log |x|+\mathrm{C} \hspace{9mm}\text{…(2)} \end{aligned} $

समीकरण (2) दिए गए अवकल समीकरण के समाधान वक्रों के परिवार को प्रस्तुत करता है, लेकिन हम एक विशिष्ट सदस्य के समीकरण की खोज कर रहे हैं जो बिंदु $(1,1)$ से गुजरता है। अतः समीकरण (2) में $x=1, y=1$ को प्रतिस्थापित करने पर, हमें $C=0$ प्राप्त होता है।

अब समीकरण (2) में $C$ के मान को प्रतिस्थापित करने पर हमें आवश्यक वक्र के समीकरण के रूप में $y=x^{2}+\log |x|$ प्राप्त होता है।

उदाहरण 8 बिंदु $(-2,3)$ से गुजरने वाले वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए, जिसके किसी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्शरेखा की ढलान $\dfrac{2 x}{y^{2}}$ है।

हल हम जानते हैं कि वक्र के स्पर्शरेखा की ढलान $\dfrac{d y}{d x}$ द्वारा दी जाती है।

$ \begin{aligned} \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{2 x}{y^{2}} \hspace{26mm}\text{…(1)} \end{aligned} $

चरों को अलग करने पर, समीकरण (1) को निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है

$ \begin{aligned} y^{2} d y=2 x d x \hspace{21mm}\text{…(2)} \end{aligned} $

समीकरण (2) के दोनों ओर समाकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है

$ \int y^{2} d y=\int 2 x d x $

$ \begin{aligned} \text{ or } \qquad \frac{y^{3}}{3}=x^{2}+\mathrm{C} \hspace{10mm}\text{…(3)} \end{aligned} $

• लेब्निज द्वारा प्रस्तुत $\dfrac{d y}{d x}$ के नोटेशन काफी लचीला और उपयोगी होता है, जहां हम $d y$ और $d x$ को सामान्य संख्याओं के रूप में ठीक तरह से बर्तन ले सकते हैं। $d x$ और $d y$ को अलग-अलग वस्तुओं के रूप में लेने से कई गणनाओं के लिए सुंदर व्यंजक प्राप्त होते हैं। संदर्भ: कैलकुलस का परिचय, आयतन-I, पृष्ठ 172, रिचर्ड करांट द्वारा, फ्रिट्ज जॉन, स्पिंगर - वर्ल न्यू यॉर्क।

$ x = -2, y = 3 $ के मान को समीकरण (3) में बदलकर, हमें $ C = 5 $ प्राप्त होता है।

$ C $ के मान को समीकरण (3) में बदलकर, हमें अभीष्ट वक्र का समीकरण निम्नलिखित रूप में प्राप्त होता है:

$ \dfrac{y^{3}}{3}=x^{2}+5 \quad \text{ या } \quad y=(3 x^{2}+15)^{\frac{1}{3}} $

उदाहरण 9 एक बैंक में, मूलधन वार्षिक 5% की दर से निरंतर बढ़ता है। 1000 रुपया कितने वर्षों में दुगुना हो जाएगा?

हल मान लीजिए $ P $ कोई भी समय $ t $ पर मूलधन है। दिए गए समस्या के अनुसार,

$ \begin{aligned} & \qquad \quad\dfrac{d \mathrm{P}}{d t}=\left(\frac{5}{100}\right) \times \mathrm{P} \\ & \text{या} \qquad \frac{d \mathrm{P}}{d t}=\frac{\mathrm{P}}{20} \hspace{41mm}\text{…(1)} \end{aligned} $

समीकरण (1) में चरों को अलग करके, हमें प्राप्त होता है

$ \begin{aligned} \qquad \quad \frac{d \mathrm{P}}{\mathrm{P}}=\frac{d t}{20} \hspace{41mm}\text{…(2)} \end{aligned} $

समीकरण (2) के दोनों ओर समाकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है

$ \begin{aligned} \text{ या } \qquad \log P & =\frac{t}{20}+C_1 \\ P & =e^{\frac{t}{20}} \cdot e^{C_1} \end{aligned} $

$ \begin{aligned} \text{ या } \qquad \hspace{6mm} \mathrm{P}=\mathrm{C} e^{\frac{t}{20}} \quad\left(\text { जहाँ } e^{\mathrm{C} _{1}}=\mathrm{C}\right) \hspace{4mm}\text{…(3)} \end{aligned} $

$\text{अब }\qquad \quad \mathrm{P}=1000, \quad \text { जब } t=0$

समीकरण (3) में $ P $ और $ t $ के मानों को बदलकर, हमें $ C=1000 $ प्राप्त होता है। अतः समीकरण (3) द्वारा,

$ P=1000 e^{\frac{t}{20}} $

मान लीजिए $ t $ वर्षों के लिए मूलधन दुगुना हो जाए। तब

$ 2000=1000 e^{\frac{t}{20}} \Rightarrow t=20 \log _{e} 2 $

9.4.2 समानुपाती अवकल समीकरण

$ x $ और $ y $ के निम्नलिखित फलनों को ध्यान में रखिए

$ \begin{matrix} F_1(x, y)=y^{2}+2 x y, & F_2(x, y)=2 x-3 y, \\ F_3(x, y)=\cos \left(\dfrac{y}{x}\right), & F_4(x, y)=\sin x+\cos y \end{matrix} $

यदि हम उपरोक्त फलनों में $ x $ और $ y $ को क्रमशः $ \lambda x $ और $ \lambda y $ से बदल दें, तो कोई भी गैर-शून्य नियतांक $ \lambda $ के लिए, हमें प्राप्त होता है

$ \begin{aligned} & F_1(\lambda x, \lambda y)=\lambda^{2}(y^{2}+2 x y)=\lambda^{2} F_1(x, y) \\ & F_2(\lambda x, \lambda y)=\lambda(2 x-3 y)=\lambda F_2(x, y) \\ & F_3(\lambda x, \lambda y)=\cos \left(\dfrac{\lambda y}{\lambda x}\right)=\cos \left(\dfrac{y}{x}\right)=\lambda^{0} \quad F_3(x, y) \\ & F_4(\lambda x, \lambda y)=\sin \lambda x+\cos \lambda y \neq \lambda^{n} F_4(x, y), \text{ for any } n \in \mathbf{N} \end{aligned} $

यहाँ हम देखते हैं कि फलन $F_1, F_2, F_3$ को रूप $F(\lambda x, \lambda y)=\lambda^{n} F(x, y)$ में लिखा जा सकता है लेकिन $F_4$ को इस रूप में नहीं लिखा जा सकता। इससे निम्नलिखित परिभाषा आती है:

एक फलन $F(x, y)$ डिग्री $n$ के होमोजीन फलन कहलाता है यदि $F(\lambda x, \lambda y)=\lambda^{n} F(x, y)$ किसी भी गैर-शून्य नियतांक $\lambda$ के लिए।

हम ध्यान देते हैं कि उपरोक्त उदाहरण में, $F_1, F_2, F_3$ क्रमशः डिग्री 2, 1, 0 के होमोजीन फलन हैं लेकिन $F_4$ एक होमोजीन फलन नहीं है।

हम भी देखते हैं कि

$ \begin{aligned} & \qquad F_1(x, y)=x^{2}\left(\frac{y^{2}}{x^{2}}+\frac{2 y}{x}\right)=x^{2} h_1\left(\frac{y}{x}\right) \\ &\text{या}\qquad F_1(x, y)=y^{2}\left(1+\dfrac{2 x}{y}\right)=y^{2} h_2\left(\dfrac{x}{y}\right) \\ & \qquad F_2(x, y)=x^{1}\left(2-\frac{3 y}{x}\right)=x^{1} h_3\left(\frac{y}{x}\right) \\ & \qquad F_2(x, y)=y^{1}\left(2 \frac{x}{y}-3\right)=y^{1} h_4\left(\frac{x}{y}\right) \\ & \qquad F_3(x, y)=x^{0} \cos \left(\frac{y}{x}\right)=x^{0} h_5\left(\frac{y}{x}\right) \\ & \qquad F_4(x, y) \neq x^{n} h _{6}\left(\frac{y}{x}\right), \text{ किसी भी } n \in \mathbf{N} \\ & \qquad F_4(x, y) \neq y^{n} h _{7}\left(\frac{x}{y}\right), \text{ किसी भी } n \in \mathbf{N} \end{aligned} $

$ \begin{aligned} & \text{या}\qquad\mathrm{F} _{4}(x, y) \neq x^{n} h _{6}\left(\frac{y}{x}\right), \text { किसी भी n } \in \mathbf{ N } \\ & \qquad \mathrm{F} _{4}(x, y) \neq y^{n} h _{7}\left(\frac{x}{y}\right), \text { किसी भी n } n \in \mathbf{N} \end{aligned} $

इसलिए, एक फलन $F(x, y)$ डिग्री $n$ के होमोजीन फलन कहलाता है यदि एक अवकल समीकरण के रूप $\dfrac{d y}{d x}=F(x, y)$ को होमोजीन कहा जाता है यदि $F(x, y)$ डिग्री शून्य के होमोजीन फलन हो।

To solve a homogeneous differential equation of the type

$ \mathrm{F}(x, y)=x^{n} g\left(\dfrac{y}{x}\right) \quad \text { or } \quad y^{n} h\left(\dfrac{x}{y}\right) $

$ \begin{aligned} \frac{d y}{d x}=\mathrm{F}(x, y)=g\left(\frac{y}{x}\right) \hspace{29mm}\text{…(1)} \end{aligned} $

We make the substitution $\qquad y=v \cdot x \hspace{10mm}\text{…(2)}$

Differentiating equation $(2)$ with respect to $x$, we get

$ \dfrac{d y}{d x}=v+x \dfrac{d v}{d x} \hspace{42mm}\text{…(3)} $

Substituting the value of $\dfrac{d y}{d x}$ from equation $(3)$ in equation $(1)$, we get or

$ v+x \dfrac{d v}{d x}=g(v) $

$ \begin{aligned} x \frac{d v}{d x}=g(v)-v \hspace{40mm}\text{…(4)} \end{aligned} $

Separating the variables in equation $(4)$, we get

$ \dfrac{d v}{g(v)-v}=\dfrac{d x}{x} \hspace{42mm}\text{…(5)} $

Integrating both sides of equation $(5)$, we get

$ \int \dfrac{d v}{g(v)-v}=\int \dfrac{1}{x} d x+C \hspace{27mm}\text{…(6)} $

Equation $(6)$ gives general solution (primitive) of the differential equation $(1)$ when we replace $v$ by $\dfrac{y}{x}$.

Note: यदि एक homogenous अवकल समीकरण रूप $\dfrac{d x}{d y}=F(x, y)$ में है जहाँ, $F(x, y)$ एक शून्य डिग्री का homogenous फंक्शन है, तो हम $\dfrac{x}{y}=v$ अर्थात $x=v y$ के रूप में प्रतिस्थापन करते हैं और ऊपर चर्चा किए गए तरीके से एक सामान्य समाधान खोजने के लिए आगे बढ़ते हैं लिखते हैं $\dfrac{d x}{d y}=F(x, y)=h\left(\dfrac{x}{y}\right)$.

उदाहरण 10 दिखाएं कि अवकल समीकरण $(x-y) \dfrac{d y}{d x}=x+2 y$ homogenous है और इसे हल करें।

हल दिया गया अवकल समीकरण निम्नलिखित रूप में व्यक्त किया जा सकता है

$ \begin{aligned} \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{x+2 y}{x-y} \hspace{30mm}\text{…(1)} \end{aligned} $

$ \text{मान लीजिए } \mathrm{F}(x, y)=\dfrac{x+2 y}{x-y} $

$ \text{अब } F(\lambda x, \lambda y)=\dfrac{\lambda(x+2 y)}{\lambda(x-y)}=\lambda^{0} \cdot f(x, y) $

इसलिए, $F(x, y)$ एक शून्य डिग्री का homogenous फंक्शन है। इसलिए, दिया गया अवकल समीकरण एक homogenous अवकल समीकरण है।

अथवा,

$ \dfrac{d y}{d x}=\left(\dfrac{1+\frac{2 y}{x}}{1-\frac{y}{x}}\right)=g\left(\dfrac{y}{x}\right) \hspace{15mm}\text{…(2)} $

अवकल समीकरण $(2)$ के दाहिना पक्ष रूप $g\left(\dfrac{y}{x}\right)$ के रूप में है और इसलिए इसका डिग्री शून्य के एक होमोजीन फ़ंक्शन है। अतः समीकरण $(1)$ एक होमोजीन अवकल समीकरण है। इसे हल करने के लिए हम विस्थापन करते हैं

$ y=v x \hspace{40mm}\text{…(3)} $

समीकरण $(3)$ को $x$ के संदर्भ में अवकलित करने पर हम प्राप्त करते हैं

$ \dfrac{d y}{d x}=v+x \dfrac{d v}{d x} \hspace{28mm}\text{…(4)} $

समीकरण $(1)$ में $y$ और $\dfrac{d y}{d x}$ के मान को प्रतिस्थापित करने पर हम प्राप्त करते हैं

$\qquad \qquad \hspace{5mm} v+x \dfrac{d v}{d x}=\dfrac{1+2 v}{1-v} $

$\text{ या }\qquad \qquad \hspace{6mm} x \dfrac{d v}{d x}=\dfrac{1+2 v}{1-v}-v $

$\text{ या }\qquad \qquad \hspace{6mm} x \dfrac{d v}{d x}=\dfrac{v^{2}+v+1}{1-v} $

$\text{ या }\qquad \dfrac{v-1}{v^{2}+v+1} d v=\dfrac{-d x}{x} $

समीकरण $(5)$ के दोनों ओर समाकलन करने पर हम प्राप्त करते हैं

$ \qquad \qquad \hspace{1mm} \int \dfrac{v-1}{v^{2}+v+1} d v=-\int \dfrac{d x}{x} $

$\text{ या }\qquad \dfrac{1}{2} \int \dfrac{2 v+1-3}{v^{2}+v+1} d v=-\log |x|+C_1 $

$ \text{ या }\qquad \dfrac{1}{2} \int \dfrac{2 v+1}{v^{2}+v+1} d v-\dfrac{3}{2} \int \dfrac{1}{v^{2}+v+1} d v=-\log |x|+C_1 $

$ \text{ या }\qquad \dfrac{1}{2} \log \left|v^{2}+v+1\right|-\dfrac{3}{2} \int \dfrac{1}{\left(v+\dfrac{1}{2}\right)^{2}+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}} d v=-\log |x|+C_1 $

$ \begin{aligned} \text{ या }\qquad & \dfrac{1}{2} \log |v^{2}+v+1|-\dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{2}{\sqrt{3}} \tan ^{-1}\left(\dfrac{2 v+1}{\sqrt{3}}\right)=-\log |x|+C_1 \\ \text{ या }\qquad & \dfrac{1}{2} \log |v^{2}+v+1|+\dfrac{1}{2} \log x^{2}=\sqrt{3} \tan ^{-1}\left(\dfrac{2 v+1}{\sqrt{3}}\right)+C_1 \end{aligned} $

$v$ को $\dfrac{y}{x}$ से प्रतिस्थापित करने पर हम प्राप्त करते हैं

$ \text{ या }\qquad \dfrac{1}{2} \log \left|\dfrac{y^{2}}{x^{2}}+\dfrac{y}{x}+1\right|+\dfrac{1}{2} \log x^{2}=\sqrt{3} \tan ^{-1}\left(\dfrac{2 y+x}{\sqrt{3} x}\right)+C_1 $

$

$ \text{ या }\qquad \dfrac{1}{2} \log \left|\left(\dfrac{y^{2}}{x^{2}}+\dfrac{y}{x}+1\right) x^{2}\right|=\sqrt{3} \tan ^{-1}\left(\dfrac{2 y+x}{\sqrt{3} x}\right)+C_1 $

$ \text{ या }\qquad \log |(y^{2}+x y+x^{2})|=2 \sqrt{3} \tan ^{-1}\left(\dfrac{2 y+x}{\sqrt{3} x}\right)+2 C_1 $

$ \text{ या }\qquad \log |(x^{2}+x y+y^{2})|=2 \sqrt{3} \tan ^{-1}\left(\dfrac{x+2 y}{\sqrt{3} x}\right)+C $

जो समीकरण (1) के अवकल समीकरण का सामान्य हल है

उदाहरण 11 सिद्ध कीजिए कि अवकल समीकरण $x \cos \left(\dfrac{y}{x}\right) \dfrac{d y}{d x}=y \cos \left(\dfrac{y}{x}\right)+x$ एक एकरूप समीकरण है और इसे हल कीजिए।

हल दिया गया अवकल समीकरण निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है

$ \dfrac{d y}{d x}=\frac{y \cos \left(\dfrac{y}{x}\right)+x}{x \cos \left(\dfrac{y}{x}\right)} \hspace{10mm}\text{…(1)} $

यह एक अवकल समीकरण के रूप $\dfrac{d y}{d x}=F(x, y)$ के रूप में है।

$ \text{यहाँ } \qquad F(x, y)=\dfrac{y \cos \left(\dfrac{y}{x}\right)+x}{x \cos \left(\dfrac{y}{x}\right)} $

$ x $ को $ \lambda x $ और $ y $ को $ \lambda y $ से प्रतिस्थापित करने पर हम प्राप्त करते हैं

$ \qquad \quad F(\lambda x, \lambda y)=\dfrac{\lambda[y \cos \left(\dfrac{y}{x}\right)+x]}{\lambda\left(x \cos \dfrac{y}{x}\right)}=\lambda^{0}[F(x, y)] $

इस प्रकार, $F(x, y)$ एक शून्य घात का समानुपाती फलन है।

इसलिए, दिया गया अवकल समीकरण एक समानुपाती अवकल समीकरण है। इसे हल करने के लिए हम प्रतिस्थापन करते हैं

$ y=v x \hspace{30mm}\text{…(2)} $

समीकरण (2) को $x$ के संदर्भ में अवकलित करने पर हम प्राप्त करते हैं

$ \dfrac{d y}{d x}=v+x \dfrac{d v}{d x} \hspace{19mm}\text{…(3)} $

समीकरण (1) में $y$ और $\dfrac{d y}{d x}$ के मान को प्रतिस्थापित करने पर हम प्राप्त करते हैं

$ \quad \hspace{2mm} \qquad \qquad v+x \dfrac{d v}{d x}=\dfrac{v \cos v+1}{\cos v} $

$\text{ या }\qquad \qquad \qquad x \dfrac{d v}{d x}=\dfrac{v \cos v+1}{\cos v}-v $

$\text{ या }\qquad \qquad \qquad x \dfrac{d v}{d x}=\dfrac{1}{\cos v} $

$\text{ या } \hspace{3mm} \qquad \qquad \cos v d v=\dfrac{d x}{x} $

$\text{ अतः } \hspace{3mm} `

$$ \int \cos v , d v=\int \dfrac{1}{x} , d x $$ $$ \text{ या } \qquad \qquad \qquad \sin v=\log |x|+\log |\mathrm{C}| $$ $$ \qquad \qquad \qquad \quad \hspace{2mm} \sin v=\log |\mathrm{C} x| $$

$ v $ को $ \dfrac{y}{x} $ से बदले जाने पर, हम प्राप्त करते हैं

$$ \qquad \qquad \qquad \hspace{2mm} \sin (\dfrac{y}{x})=\log |C x| $$

जो समीकरण $(1)$ के अवकल समीकरण का सामान्य हल है।

उदाहरण 12 सिद्ध करें कि अवकल समीकरण $2 y e^{\frac{x}{y}} d x+(y-2 x e^{\frac{x}{y}}) d y=0$ समानुपाती है और इसका विशिष्ट हल ज्ञात करें, जबकि $x=0$ जब $y=1$ है।

हल दिया गया अवकल समीकरण लिखा जा सकता है

$$ \qquad \qquad \qquad \begin{aligned} \frac{d x}{d y}=\dfrac{2 x e^{\frac{x}{y}}-y}{2 y e^{\frac{x}{y}}} \hspace{11mm}\text{…(1)} \end{aligned} $$

$$ \text{ मान लीजिए } \qquad \hspace{2mm} \mathrm{F}(x, y)=\frac{2 x e^{\frac{x}{y}}-y}{2 y e^{\frac{x}{y}}} $$

$$ \text { तब } \hspace{2mm} \mathrm{F}(\lambda x, \lambda y)=\frac{\lambda\left(2 x e^{\frac{x}{y}}-y\right)}{\lambda\left(2 y e^{\frac{x}{y}}\right)}=\lambda^{\circ}[\mathrm{F}(x, y)] $$

इसलिए, $F(x, y)$ एक शून्य डिग्री का समानुपाती फलन है। अतः दिया गया अवकल समीकरण एक समानुपाती अवकल समीकरण है।

इसे हल करने के लिए हम विस्थापन करते हैं

$$ x=v y \hspace{45mm}\text{…(2)} $$

समीकरण $(2)$ को $y$ के संदर्भ में अवकलित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$$ \dfrac{d x}{d y}=v+y \dfrac{d v}{d y} $$

समीकरण $(1)$ में $x$ और $\dfrac{d x}{d y}$ के मान को बदल देने पर, हम प्राप्त करते हैं

$$ \hspace{2mm} \begin{aligned} \qquad \qquad v+y \frac{d v}{d y} & =\frac{2 v e^{v}-1}{2 e^{v}} \\ \text{या} \qquad \qquad y \frac{d v}{d y} & =\frac{2 v e^{v}-1}{2 e^{v}}-v \\ \text{या} \qquad \qquad y \frac{d v}{d y} & =-\frac{1}{2 e^{v}} \end{aligned} $$

$$ \quad \hspace{1.75mm} \text{या} \hspace{12mm} 2 e^{v} d v =\dfrac{-d y}{y} $$

$$ \quad \hspace{1.75mm} \text{या} \hspace{6mm} \int 2 e^{v} \cdot d v =-\int \dfrac{d y}{y} $$

$$ \quad \hspace{1.75mm} \text{या} \qquad \hspace{9mm} 2 e^{v} =-\log |y|+C $$

और $v$ को $ \dfrac{x}{y} $ से बदले जाने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ 2 e^{\frac{x}{y}}+\log |y|=C \hspace{30mm}\text{…(3)} $

समीकरण $(3)$ में $x=0$ और $y=1$ को समान रूप से रखने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ 2 e^{0}+\log |1|=C \Rightarrow C=2 $

$C$ के मान को समीकरण $(3)$ में रखने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ 2 e^{\frac{x}{y}}+\log |y|=2 $

जो दी गई अवकल समीकरण के विशिष्ट समाधान है।

उदाहरण 13 सिद्ध कीजिए कि वक्रों के परिवार जिनके किसी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा का ढलान $\dfrac{x^{2}+y^{2}}{2 x y}$ होता है, $x^{2}-y^{2}=c x$ द्वारा दिया जाता है।

हल हम जानते हैं कि किसी वक्र पर किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा का ढलान $\dfrac{d y}{d x}$ होता है।

$ \begin{aligned} \text{ अतः, } \frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}+y^{2}}{2 x y} \text { या } \frac{d y}{d x}=\frac{1+\dfrac{y^{2}}{x^{2}}}{\dfrac{2 y}{x}} \hspace{10mm}\text{…(1)} \end{aligned} $

स्पष्ट रूप से, $(1)$ एक एकरूप समीकरण है। इसे हल करने के लिए हम प्रतिस्थापन करते हैं

$ y=v x $

$y=v x$ को $x$ के संदर्भ में अवकलित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \dfrac{d y}{d x}=v+x \dfrac{d v}{d x} $

$ \text { या } \qquad \qquad \qquad \hspace{1mm} v+x \dfrac{d v}{d x}=\dfrac{1+v^{2}}{2 v} $

$ \text { या } \qquad \qquad \qquad \quad \hspace{4mm} x \dfrac{d v}{d x}=\dfrac{1-v^{2}}{2 v} $

$ \qquad \qquad \qquad \quad \hspace{2.5mm} \dfrac{2 v}{1-v^{2}} d v=\dfrac{d x}{x} $

$ \text { या } \qquad \qquad \qquad \hspace{1mm} \dfrac{2 v}{v^{2}-1} d v=-\dfrac{d x}{x} $

$ \text{ अतः } \qquad \int \dfrac{2 v}{v^{2}-1} d v=-\int \dfrac{1}{x} d x $

$ \text{ या } \qquad \qquad \hspace{5mm} \log |v^{2}-1|=-\log |x|+\log |C_1| $

$ \text{ या } \qquad \quad \hspace{1mm} \log |(v^{2}-1)(x)|=\log |C_1| $

$ \text{ या } \qquad \qquad \qquad \hspace{1mm} (v^{2}-1) x= \pm C_1 $

$v$ को $\dfrac{y}{x}$ से बदल देने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ \qquad \qquad \qquad \hspace{2mm} \left(\dfrac{y^{2}}{x^{2}}-1\right) x= \pm C_1 $

$ \text{ या } \qquad \qquad \qquad \hspace{2mm} (y^{2}-x^{2})= \pm C_1 x \text{ या } x^{2}-y^{2}=C x $

9.4.3 रैखिक अवकल समीकरण

$ \dfrac{d y}{d x}+\mathrm{P} y=\mathrm{Q} $

जहाँ, $P$ और $Q$ $x$ के केवल अचर या फलन हैं, ऐसे अवकल समीकरण को प्रथम कोटि का रैखिक अवकल समीकरण कहा जाता है। प्रथम कोटि के रैखिक अवकल समीकरण के कुछ उदाहरण निम्नलिखित हैं:

$ \begin{aligned} \frac{d y}{d x}+y & =\sin x \\ \frac{d y}{d x}+\left(\frac{1}{x}\right) y & =e^{x} \\ \frac{d y}{d x}+\left(\frac{y}{x \log x}\right) & =\frac{1}{x} \end{aligned} $

प्रथम कोटि के रैखिक अवकल समीकरण के एक अन्य रूप है:

$\dfrac{d x}{d y}+\mathrm{P} _{1} x=\mathrm{Q} _{1}$

जहाँ, $\mathrm{P} _{1}$ और $\mathrm{Q} _{1}$ $y$ के केवल अचर या फलन हैं। इस प्रकार के अवकल समीकरण के कुछ उदाहरण निम्नलिखित हैं:

$ \begin{matrix} \hspace{4mm} \dfrac{d x}{d y}+x=\cos y \\ \dfrac{d x}{d y}+\dfrac{-2 x}{y}=y^{2} e^{-y} \end{matrix} $

प्रथम कोटि के रैखिक अवकल समीकरण के इस प्रकार के समीकरण को हल करने के लिए:

$ \begin{aligned} \dfrac{d y}{d x}+\mathrm{P} y=\mathrm{Q} \hspace{35mm}\text{…(1)} \end{aligned} $

समीकरण के दोनों ओर एक $x$ के फलन के गुणनफल के द्वारा गुणा करें, जैसे $g(x)$, तो:

$ \begin{aligned} g(x) \frac{d y}{d x}+\mathrm{P} \cdot g(x) y=\mathrm{Q} \cdot g(x) \hspace{11mm}\text{…(2)} \end{aligned} $

$g(x)$ को इस तरह चुनें कि दाहिने ओर एक फलन $y . g(x)$ के अवकलज बन जाए।

$ \text{ अर्थात } \qquad g(x) \dfrac{d y}{d x}+\mathrm{P} \cdot g(x) y=\dfrac{d}{d x}[y \cdot g(x)] $

$ \text{ या } \qquad \hspace{1.5mm} g(x) \dfrac{d y}{d x}+\mathrm{P} \cdot g(x) y=g(x) \dfrac{d y}{d x}+y g^{\prime}(x) $

$\Rightarrow \hspace{28mm} $ P. $g(x)=g^{\prime}(x)$

$ \text{ या } \qquad \hspace{28mm} \mathrm{P}=\dfrac{g^{\prime}(x)}{g(x)} $

दोनों ओर $x$ के संदर्भ में समाकलन करने पर हमें प्राप्त होता है:

$ \hspace{33.5mm} \int P d x =\int \dfrac{g^{\prime}(x)}{g(x)} d x $

$ \text{या} \hspace{27.5mm} \int P \cdot d x =\log (g(x)) $

$ \text{या} \hspace{33.5mm} g(x) =e^{\int P d x} $

समीकरण $(1)$ को $g(x)=e^{\int P d x}$ से गुणा करने पर, बाएं ओर के भाग को $x$ और $y$ के किसी फलन के अवकलज के रूप में प्राप्त होता है। यह फलन $g(x)=e^{\int P d x}$ दिए गए अवकल समीकरण के समाकलक गुणक $(I.F.)$ कहलाता है।

समीकरण (2) में $g(x)$ के मान को बदल दें, हम प्राप्त करते हैं

$ \qquad e^{\int P d x} \dfrac{d y}{d x}+P e^{\int P d x} y=Q \cdot e^{\int P d x} $

$ \text{या} \qquad \qquad \hspace{3mm} \dfrac{d}{d x}(y e^{\int P d x})=Q e^{\int P d x} $

$x$ के संदर्भ में दोनों ओर समाकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ \qquad \qquad \hspace{11mm} y \cdot e^{\int P d x} =\int(Q \cdot e^{\int P d x}) d x $

$ \text{या} \hspace{33.5mm} y =e^{-\int P d x} \cdot \int(Q \cdot e^{\int P d x}) d x+C $

जो अवकल समीकरण का सामान्य हल है।

प्रथम कोटि के रैखिक अवकल समीकरण को हल करने के कदम:

(i) दिए गए अवकल समीकरण को $\dfrac{d y}{d x}+P y=Q$ के रूप में लिखें, जहाँ $P, Q$ अचर हैं या केवल $x$ के फलन हैं।

(ii) समाकलन गुणक $(I.F)$ $=e^{\int P d x}$ ज्ञात करें।

(iii) दिए गए अवकल समीकरण के हल को इस रूप में लिखें

$ y(I . F)=\int(Q \times I . F) d x+C $

यदि, प्रथम कोटि के रैखिक अवकल समीकरण का रूप $\dfrac{d x}{d y}+P_1 x=Q_1$ हो, जहाँ $P_1$ और $Q_1$ अचर हैं या केवल $y$ के फलन हैं। तब I.F $=e^{P_1 d y}$ होगा और अवकल समीकरण के हल को इस रूप में दिया जाता है

$ x \cdot(I \cdot F)=\int(Q_1 \times I \cdot F) d y+C $

उदाहरण 14 अवकल समीकरण $\dfrac{d y}{d x}-y=\cos x$ का सामान्य हल ज्ञात कीजिए।

हल दिया गया अवकल समीकरण इस रूप में है

$ \dfrac{d y}{d x}+P y=Q \text{, जहाँ } P=-1 \text{ और } Q=\cos x $

$\text{इसलिए } \quad$ $\text{ I.F. }=e^{\int-1 d x}=e^{-x}$

समीकरण के दोनों ओर I.F से गुणा करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$\qquad \begin{aligned} e^{-x} \frac{d y}{d x}-e^{-x} y & =e^{-x} \cos x \\ \frac{d y}{d x}(y e^{-x}) & =e^{-x} \cos x \end{aligned} $

$x$ के संदर्भ में दोनों ओर समाकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} \qquad \qquad \qquad \hspace{2mm} y e^{-x}=\int e^{-x} \cos x d x+\mathrm{C} \hspace{10mm}\text{…(1)} \end{aligned} $

$ \begin{aligned} \text{ मान लीजिए }\qquad \qquad \qquad I & = \int e^{-x} \cos x d x \\ & = \cos x \left(\dfrac{e^{-x}}{-1}\right)-\int (-\sin x) (e^{-x}) d x \\

$$ \begin{aligned} & =-\cos x e^{-x}-\int \sin x e^{-x} d x \\ & =-\cos x e^{-x}-\left[\sin x(-e^{-x})-\int \cos x(-e^{-x}) d x\right] \\ & =-\cos x e^{-x}+\sin x e^{-x}-\int \cos x e^{-x} d x \\ \text{or }\hspace{21mm} I & =-e^{-x} \cos x+\sin x e^{-x}-I \\ \text{or }\hspace{19mm} 2 I & =(\sin x-\cos x) e^{-x} \\ \text{or }\hspace{20.5mm}I & =\frac{(\sin x-\cos x) e^{-x}}{2} \end{aligned} $$

$ I $ के मान को समीकरण (1) में रखने पर हम प्राप्त करते हैं,

$$ \begin{aligned} \hspace{23mm} y e^{-x} & =\left(\frac{\sin x-\cos x}{2}\right) e^{-x}+C \\ \text{ or }\qquad \qquad \qquad y & =\left(\frac{\sin x-\cos x}{2}\right)+C e^{x} \end{aligned} $$

जो दिए गए अवकल समीकरण का सामान्य हल है।

उदाहरण 15 अवकल समीकरण $x \dfrac{d y}{d x}+2 y=x^{2}(x \neq 0)$ का सामान्य हल ज्ञात कीजिए।

हल दिया गया अवकल समीकरण है

$$ x \dfrac{d y}{d x}+2 y=x^{2} \hspace{10mm}\text{…(1)} $$

समीकरण (1) के दोनों ओर $x$ से विभाजित करने पर हम प्राप्त करते हैं

$$ \dfrac{d y}{d x}+\dfrac{2}{x} y=x $$

जो $ \dfrac{d y}{d x}+P y=Q $ रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है, जहाँ $P=\dfrac{2}{x}$ और $Q=x$।

$$ \text{ इसलिए } \text{ I.F }=e^{\int \frac{2}{x} d x}=e^{2 \log x}=e^{\log x^{2}}=x^{2}[\text{ क्योंकि } e^{\log f(x)}=f(x)] $$

इसलिए, दिए गए समीकरण के हल को निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

$$ \begin{aligned} y \cdot x^{2}=\int(x)(x^{2}) d x+C=\int x^{3} d x+C \\ \text{or} \hspace{34.5mm} y=\dfrac{x^{2}}{4}+C x^{-2} \end{aligned} $$

जो दिए गए अवकल समीकरण का सामान्य हल है।

उदाहरण 16 अवकल समीकरण $y d x-(x+2 y^{2}) d y=0$ का सामान्य हल ज्ञात कीजिए।

हल दिया गया अवकल समीकरण निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है

$$ \dfrac{d x}{d y}-\dfrac{x}{y}=2 y $$

यह $ \dfrac{d x}{d y}+P_1 x=Q_1 $ रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है, जहाँ $P_1=-\dfrac{1}{y}$ और $Q_1=2 y$। इसलिए $I.F$ $=e^{\int-\frac{1}{y} d y}=e^{-\log y}=e^{\log (y)^{-1}}=\dfrac{1}{y}$

इसलिए, दिए गए अवकल समीकरण के हल को निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

$$

\begin{aligned} \text{ या }\qquad x \frac{1}{y} & =\int(2 y)\left(\frac{1}{y}\right) d y+C \\ \frac{x}{y} & =\int(2 d y)+C \\ \frac{x}{y} & =2 y+C \\ x & =2 y^{2}+C y \end{aligned} $

जो दिए गए अवकल समीकरण का सामान्य हल है।

उदाहरण 17 अवकल समीकरण

$ \dfrac{d y}{d x}+y \cot x=2 x+x^{2} \cot x(x \neq 0) $

का विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए, जबकि $y=0$ जब $x=\dfrac{\pi}{2}$ है।

हल दिया गया समीकरण एक रैखिक अवकल समीकरण है जिसके रूप $\dfrac{d y}{d x}+P y=Q$ है, जहाँ $P=\cot x$ और $Q=2 x+x^{2} \cot x$ है। अतः

$ \text{ I.F }=e^{\int \cot x d x}=e^{\log \sin x}=\sin x $

इसलिए, अवकल समीकरण के हल को निम्न द्वारा दिया जाता है

$ \hspace{7mm} y \cdot \sin x=\int(2 x+x^{2} \cot x) \sin x d x+C $

$ \begin{aligned} & \text{ या } \quad y \sin x=\int 2 x \sin x d x+\int x^{2} \cos x d x+C \\ & \text{ या } \quad y \sin x=\sin x\left(\frac{2 x^{2}}{2}\right)-\int \cos x\left(\frac{2 x^{2}}{2}\right) d x+\int x^{2} \cos x d x+C \\ & \text{ या } \quad y \sin x=x^{2} \sin x-\int x^{2} \cos x d x+\int x^{2} \cos x d x+C \\ & \text{ या } \quad y \sin x=x^{2} \sin x+C \end{aligned} $

समीकरण $(1)$ में $y=0$ और $x=\dfrac{\pi}{2}$ के मान को रखने पर हमें प्राप्त होता है

$ \qquad \qquad \hspace{3mm} 0=\left(\dfrac{\pi}{2}\right)^{2} \sin \left(\dfrac{\pi}{2}\right)+C $

$ \text{ या }\qquad \hspace{5mm} \mathrm{C}=\dfrac{-\pi^{2}}{4} $

$C$ के मान को समीकरण $(1)$ में रखने पर हमें प्राप्त होता है

$ \begin{aligned} y \sin x & =x^{2} \sin x-\frac{\pi^{2}}{4} \\ \text{ या }\qquad y & =x^{2}-\frac{\pi^{2}}{4 \sin x}(\sin x \neq 0) \end{aligned} $

जो दिए गए अवकल समीकरण का विशिष्ट हल है।

उदाहरण 18 एक वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिंदु $(0,1)$ से गुजरता है। यदि वक्र के किसी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की ढलान उस बिंदु के $x$ निर्देशांक (अक्षांश) और उस बिंदु के $x$ निर्देशांक और $y$ निर्देशांक (कोटि) के गुणनफल के योग के बराबर हो।

हल हम जानते हैं कि वक्र के स्पर्श रेखा की ढलान $\dfrac{d y}{d x}$ होती है।

$ \begin{aligned} \text{ अतः, }\qquad \frac{d y}{d x} & = x+x y \\ \text{ या } \hspace{10mm} \frac{d y}{d x}-x y&=x \hspace{30mm}\text{…(1)} \end{aligned} $

यह एक रैखिक अवकल समीकरण है $\dfrac{d y}{d x}+P y=Q$ के प्रकार का, जहाँ $P=-x$ और $Q=x$।

$ \text{ अतः, } \hspace{5mm} \text{ I. } F=e^{\int-x d x}=e^{\frac{-x^{2}}{2}} $

अतः, समीकरण के हल निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

$ \begin{aligned} \text{ मान लीजिए }\qquad y \cdot e^{\frac{-x^{2}}{2}}=\int(x)\left(e^{\frac{-x^{2}}{2}}\right) d x+\mathrm{C} \hspace{7mm}\text{…(2)} \end{aligned} $

$ \mathrm{I}=\int(x) e^{\frac{-x^{2}}{2}} d x $

$\text{मान लीजिए }\dfrac{-x^{2}}{2}=t$, तो $-x d x=d t$ या $x d x=-d t$।

$\text{अतः, }\quad I=-\int e^{t} d t=-e^{t}=-e^{\frac{-x^{2}}{2}}$

समीकरण $(2)$ में I के मान को प्रतिस्थापित करने पर हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} \text{ या } & y e^{\frac{-x^{2}}{2}}=-e^{\frac{-x^{2}}{2}}+\mathrm{C} \\ & y=-1+\mathrm{C} e^{\frac{x^{2}}{2}} \hspace{40mm}\text{…(3)} \end{aligned} $

अब $(3)$ परिवार के वक्र के समीकरण को प्रदर्शित करता है। लेकिन हम विशेष एक सदस्य की खोज कर रहे हैं जो $(0,1)$ से गुजरता है। समीकरण (3) में $x=0$ और $y=1$ को प्रतिस्थापित करने पर हम प्राप्त करते हैं

$ 1=-1+C \cdot e^{0} \text{ या } C=2 $

$C$ के मान को समीकरण (3) में प्रतिस्थापित करने पर हम प्राप्त करते हैं

$ y=-1+2 e^{\frac{x^{2}}{2}} $

जो आवश्यक वक्र के समीकरण है।

विविध उदाहरण

उदाहरण 19 सत्यापित करें कि फलन $y=c_1 e^{a x} \cos b x+c_2 e^{a x} \sin b x$, जहाँ $c_1, c_2$ अचर नियतांक हैं, अवकल समीकरण का हल है

$ \dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}-2 a \dfrac{d y}{d x}+(a^{2}+b^{2}) y=0 $

हल दिया गया फलन है

$ \begin{aligned} y=e^{a x}\left[c _{1} \cos b x+c _{2} \sin b x\right] \hspace{39mm}\text{…(1)} \end{aligned} $

समीकरण $(1)$ के दोनों ओर $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} & \frac{d y}{d x}=e^{a x}\left[-b c _{1} \sin b x+b c _{2} \cos b x\right]+\left[c _{1} \cos b x+c _{2} \sin b\right] e^{a x} \cdot a \\ & \frac{d y}{d x}=e^{a x}\left[\left(b c _{2}+a c _{1}\right) \cos b x+\left(a c _{2}-b c _{1}\right) \sin b x\right] \hspace{10mm}\text{…(2)} \end{aligned} $

समीकरण $(2)$ के दोनों ओर $x$ के संदर्भ में अवकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}= & e^{a x}[(b c_2+a c_1)(-b \sin b x)+(a c_2-b c_1)(b \cos b x)] + [(b c_2+a c_1) \cos b x+(a c_2-b c_1) \sin b x] e^{a x} \cdot a \\ = & e^{a x}[(a^{2} c_2-2 a b c_1-b^{2} c_2) \sin b x+(a^{2} c_1+2 a b c_2-b^{2} c_1) \cos b x] \end{aligned} $

दिए गए अवकलन समीकरण में $\dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}, \dfrac{d y}{d x}$ और $y$ के मान को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} \text{ L.H.S. }= & .e^{a x}[a^{2} c_2-2 a b c_1-b^{2} c_2) \sin b x+(a^{2} c_1+2 a b c_2-b^{2} c_1) \cos b x] -2 a e^{a x}[(b c_2+a c_1) \cos b x+(a c_2-b c_1) \sin b x] +(a^{2}+b^{2}) e^{a x}[c_1 \cos b x+c_2 \sin b x] \\ = & e^{a x} \begin{bmatrix} (a^{2} c_2-2 a b c_1-b^{2} c_2-2 a^{2} c_2+2 a b c_1+a^{2} c_2+b^{2} c_2) \sin b x \\ +(a^{2} c_1+2 a b c_2-b^{2} c_1-2 a b c_2-2 a^{2} c_1+a^{2} c_1+b^{2} c_1) \cos b x \end{bmatrix} \\ = & e^{a x}[0 \times \sin b x+0 \cos b x]=e^{a x} \times 0=0=\text{ R.H.S. } \end{aligned} $

इसलिए, दिए गए फ़ंक्शन दिए गए अवकलन समीकरण का एक समाधान है।

उदाहरण 20 अवकलन समीकरण $\log \left(\dfrac{d y}{d x}\right)=3 x+4 y$ का विशिष्ट समाधान ज्ञात कीजिए जबकि $y=0$ जब $x=0$ हो।

हल दिया गया अवकलन समीकरण लिखा जा सकता है

$ \qquad \qquad \hspace{16mm} \dfrac{d y}{d x}=e^{(3 x+4 y)} $

$ \text{या} \quad \qquad \hspace{16mm} \dfrac{d y}{d x}=e^{3 x} \cdot e^{4 y} \hspace{22mm}\text{…(1)} $

चरों को अलग करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ \qquad \qquad \hspace{16mm} \dfrac{d y}{e^{4 y}}=e^{3 x} d x $

$\text{इसलिए} \qquad \int e^{-4 y} d y=\int e^{3 x} d x $

$\text{या} \hspace{25mm}

\dfrac{e^{-4 y}}{-4}=\dfrac{e^{3 x}}{3}+C $

$\text{या} \hspace{3.5mm} 4 e^{3 x}+3 e^{-4 y}+12 C=0 \hspace{30mm}\text{…(2)} $

समीकरण (2) में $x=0$ और $y=0$ के मान को रखने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ 4+3+12 C=0 \text{ या } C=\dfrac{-7}{12} $

$C$ के मान को समीकरण (2) में रखने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ 4 e^{3 x}+3 e^{-4 y}-7=0 $

जो दिए गए अवकल समीकरण का एक विशिष्ट हल है।

उदाहरण 21 अवकल समीकरण को हल करें

$ (x d y-y d x) y \sin \left(\dfrac{y}{x}\right)=(y d x+x d y) x \cos \left(\dfrac{y}{x}\right) . $

हल दिया गया अवकल समीकरण निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है

$ \left[x y \sin \left(\dfrac{y}{x}\right)-x^{2} \cos \left(\dfrac{y}{x}\right)\right] d y=\left[x y \cos \left(\dfrac{y}{x}\right)+y^{2} \sin \left(\dfrac{y}{x}\right)\right] d x $

$\text{ या } \qquad \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{x y \cos \left(\dfrac{y}{x}\right)+y^{2} \sin \left(\dfrac{y}{x}\right)}{x y \sin \left(\dfrac{y}{x}\right)-x^{2} \cos \left(\dfrac{y}{x}\right)} $

$RHS$ पर अंश और हर को $x^{2}$ से विभाजित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ \hspace{12mm} \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{\dfrac{y}{x} \cos \left(\dfrac{y}{x}\right)+\left(\dfrac{y^{2}}{x^{2}}\right) \sin \left(\dfrac{y}{x}\right)}{\dfrac{y}{x} \sin \left(\dfrac{y}{x}\right)-\cos \left(\dfrac{y}{x}\right)} \hspace{10mm}\text{…(1)} $

स्पष्ट रूप से, समीकरण (1) एक एकरूपता अवकल समीकरण है जिसके रूप $\dfrac{d y}{d x}=g\left(\dfrac{y}{x}\right)$ है।

इसे हल करने के लिए हम विस्थापन करते हैं

$ \hspace{50mm} y=v x $

$ \text{ या } \hspace{43mm}
\dfrac{d y}{d x}=v+x \dfrac{d v}{d x} $

$ \text{ या } \hspace{35.5mm} v+x \dfrac{d v}{d x}=\dfrac{v \cos v+v^{2} \sin v}{v \sin v-\cos v} $

$ \text{ या } \hspace{42mm} x \dfrac{d v}{d x}=\dfrac{2 v \cos v}{v \sin v-\cos v} $

$ \text{ या } \hspace{17.5mm} \left(\dfrac{v \sin v-\cos v}{v \cos v}\right) d v=\dfrac{2 d x}{x} $

$ \text{ अतः } \quad \int\left(\dfrac{v \sin v-\cos v}{v \cos v}\right) d v=2 \int \dfrac{1}{x} d x $

$ \text{ या } \hspace{21.5mm} \int \tan v d v-\int \dfrac{1}{v} d v=2 \int \dfrac{1}{x} d x `

$

$ \text{ या } \hspace{21.5mm} \log |\sec v|-\log |v|=2 \log |x|+\log |C_1| $

$ \text{ या } \hspace{35mm} \log \left|\dfrac{\sec v}{v x^{2}}\right|=\log |C_1| $

$ \text{ या } \hspace{44mm} \dfrac{\sec v}{v x^{2}}= \pm C_1 $

समीकरण (3) में $v$ को $\dfrac{y}{x}$ से बदल देने पर, हम प्राप्त करते हैं

$\hspace{41.5mm} \dfrac{\sec \left(\dfrac{y}{x}\right)}{\left(\dfrac{y}{x}\right)\left(x^{2}\right)}=C \text{ जहाँ, } C= \pm C_1 $

$ \text{ या } \hspace{41mm} \sec \left(\frac{y}{x}\right)=C x y $

जो दिए गए अवकल समीकरण का सामान्य हल है।

उदाहरण 22 अवकल समीकरण को हल करें

$ (\tan ^{-1} y-x) d y=(1+y^{2}) d x \text{. } $

हल दिए गए अवकल समीकरण को लिखा जा सकता है

$ \quad \hspace{2mm} \dfrac{d x}{d y}+\dfrac{x}{1+y^{2}}=\dfrac{\tan ^{-1} y}{1+y^{2}} \hspace{25mm}\text{…(1)} $

अब (1) एक रैखिक अवकल समीकरण है जिसके रूप में $\dfrac{d x}{d y}+P_1 x=Q_1$ है,

जहाँ, $\quad P_1=\dfrac{1}{1+y^{2}}$ और $Q_1=\dfrac{\tan ^{-1} y}{1+y^{2}}$ है।

इसलिए, $\quad I . F=e^{\int \frac{1}{1+y^{2}} d y}=e^{\tan ^{-1} y}$

इसलिए, दिए गए अवकल समीकरण के हल को निम्नलिखित द्वारा प्राप्त किया जा सकता है

$ \begin{aligned} x e^{\tan ^{-1} y}=\int\left(\frac{\tan ^{-1} y}{1+y^{2}}\right) e^{\tan ^{-1} y} d y+\mathrm{C} \hspace{10mm}\text{…(2)} \end{aligned} $

$ \text{ मान लीजिए } \quad I=\int\left(\dfrac{\tan ^{-1} y}{1+y^{2}}\right) e^{\tan ^{-1} y} d y $

$\tan ^{-1} y=t$ रखने पर ताकि $\left(\dfrac{1}{1+y^{2}}\right) d y=d t$, हम प्राप्त करते हैं

$\qquad \quad I=\int t e^{t} d t=t e^{t}-\int 1 \cdot e^{t} d t=t e^{t}-e^{t}=e^{t}(t-1) $

$\text{या }\qquad I=e^{\tan ^{-1} y}(\tan ^{-1} y-1) $

$I$ के मान को समीकरण (2) में रखने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} & x \cdot e^{\tan ^{-1} y}=e^{\tan ^{-1} y}(\tan ^{-1} y-1)+C \\ \text{ या }\qquad x= & (\tan ^{-1} y-1)+C e^{-\tan ^{-1} y} \end{aligned} $

जो दिए गए अवकल समीकरण का सामान्य हल है।

सारांश

• स्वापेक्ष चर के संबंध में आश्रित चर के अवकलज शामिल एक समीकरण अवकल समीकरण कहलाता है।

• अवकल समीकरण की कोटि उसमें उपस्थित सबसे ऊँचे कोटि के अवकलज की कोटि होती है।

• अवकल समीकरण की डिग्री तभी परिभाषित होती है जब यह अपने अवकलजों के संबंध में एक बहुपद समीकरण हो।

• अवकल समीकरण की डिग्री (जब परिभाषित हो) उसमें उपस्थित सबसे ऊँचे कोटि के अवकलज की सबसे ऊँची घात (एक धनात्मक पूर्णांक) होती है।

• एक फलन जो दिए गए अवकल समीकरण को संतुष्ट करता है, उसके समाधान कहलाता है। जिस समाधान में अवकल समीकरण की कोटि के बराबर अस्पष्ट नियतांक होते हैं, उसे सामान्य समाधान कहते हैं और जिसमें अस्पष्ट नियतांक नहीं होते हैं, उसे विशिष्ट समाधान कहते हैं।

• ऐसे समीकरण के हल करने के लिए चरों के अलग करने की विधि का उपयोग किया जाता है जिनमें चरों को पूरी तरह से अलग किया जा सके, अर्थात् $y$ के पदों को $d y$ के साथ रखा जाए और $x$ के पदों को $d x$ के साथ रखा जाए।

• एक अवकल समीकरण जिसे $\dfrac{d y}{d x}=f(x, y)$ या $\dfrac{d x}{d y}=g(x, y)$ के रूप में व्यक्त किया जा सके, जहाँ $f(x, y)$ और $g(x, y)$ शून्य डिग्री के समान फलन हों, उसे समान डिग्री अवकल समीकरण कहते हैं।

• $\dfrac{d y}{d x}+P y=Q$ रूप के अवकल समीकरण, जहाँ $P$ और $Q$ अचर हों या केवल $x$ के फलन हों, एक प्रथम कोटि रैखिक अवकल समीकरण कहलाते हैं।

ऐतिहासिक टिप्पणी

विज्ञान की मुख्य भाषाओं में से एक अवकल समीकरण की भाषा है। दिलचस्प बात यह है कि अवकल समीकरण की जन्मतिथि 11 नवंबर, 1675 को मानी जाती है, जब गॉटफ्रेड विलहेम फ्राइहर लेब्निज (1646 - 1716) ने नीलाम और सफेद रंग में एकता $\int y d y=\dfrac{1}{2} y^{2}$ को पहली बार लिखा, जिससे दोनों $\int$ और $d y$ चिह्नों को परिचित किया गया। लेब्निज वास्तव में एक वक्र की खोज के समस्या में रुचि रखते थे जिसकी स्पर्शरेखा निर्धारित की गई थी। इसने उन्हें ‘चरों के अलग करने की विधि’ 1691 में खोजने में मदद की। एक साल बाद उन्होंने ‘समान डिग्री अवकल समीकरण के हल की विधि’ का विकास किया।

पहले कोटि के अवकल समीकरणों के बारे में बात करते हुए उन्होंने बहुत तेजी से एक ऐसे तरीके की खोज कर ली जिसे हम अब ‘पहले कोटि के रैखिक अवकल समीकरण के हल के तरीका’ कहते हैं। आश्चर्य की बात यह है कि सभी इन तरीकों के एक ही व्यक्ति द्वारा और अवकल समीकरणों के जन्म के 25 वर्ष के भीतर आए थे!

पुराने दिनों में, जो अब हम अवकल समीकरण के ‘हल’ कहते हैं, उसे अवकल समीकरण के ‘समाकल’ कहा जाता था। शब्द का उपयोग जेम्स बर्नूली (1654 - 1705) द्वारा 1690 में किया गया था। ‘हल’ शब्द का पहली बार उपयोग जोसेफ लुइस लग्रांज (1736 - 1813) द्वारा 1774 में किया गया था, जो अवकल समीकरणों के जन्म से लगभग सौ वर्ष बाद था। यह शब्द जुल्स एन्री पॉइंकेर (1854 - 1912) द्वारा बहुत तेजी से प्रचारित किया गया था और इसलिए आधुनिक शब्दावली में इस शब्द का उचित स्थान है। ‘चरों के विचलन के तरीका’ के नाम का श्रेय जॉन बर्नूली (1667 - 1748), जेम्स बर्नूली के छोटे भाई को जाता है।

ज्यामिति समस्याओं के अनुप्रयोग भी विचार किए गए थे। फिर भी जॉन बर्नूली ही अवकल समीकरणों की जटिल प्रकृति को पहली बार चर्चा में लाए। 1715 मई 20 के एक पत्र में लेब्निज को उन्होंने अवकल समीकरण

$ x^{2} y^{\prime \prime}=2 y $

के हलों के बारे में खुलासा किया, जो तीन प्रकार के वक्रों के निर्माण के लिए जिम्मेदार थे, अर्थात, परवलय, हाइपरबोला और एक वर्गीय वक्र के वर्ग। यह दिखाता है कि ऐसे नाम निम्न दिखाई देने वाले अवकल समीकरणों के हल कितने भिन्न हो सकते हैं। द्वितीय आधुनिक शताब्दी के आधे भाग से लेकर अवकल समीकरणों की इस जटिल प्रकृति के अध्ययन में ध्यान आकर्षित किया गया है, जिसे ‘अवकल समीकरणों का गुणात्मक विश्लेषण’ कहा जाता है। आजकल, यह बहुत महत्वपूर्ण बन गया है, जो लगभग सभी अनुसंधानों में आवश्यक है।