2.1 परिचय

गति बिलकुल सारे ब्रह्मांड में उपलब्ध है। हम चलते हैं, दौड़ते हैं और साइकिल चलाते हैं। भले ही हम सो रहे हों, हवा हमारे फेफड़ों में आती और जाती रहती है और रक्त धमनियों और नाड़ियों में प्रवाहित होता रहता है। हम पेड़ों से पत्ते गिरते देखते हैं और बांध से नीचे पानी बहता रहता है। ऑटोमोबाइल और विमान एक स्थान से दूसरे स्थान तक लोगों को ले जाते हैं। पृथ्वी प्रतिदिन 24 घंटे में एक बार घूमती है और एक वर्ष में सूर्य के चारों ओर एक बार घूमती है। सूर्य खगोलीय बर्फ के बर्फ बर्फ में भी गति में है, जो अपने स्थानीय गैलेक्सी समूह में भी गति में है।

गति किसी वस्तु के समय के साथ स्थिति में परिवर्तन होता है। समय के साथ स्थिति कैसे परिवर्तित होती है? इस अध्याय में हम जानेंगे कि गति कैसे वर्णित की जा सकती है। इसके लिए हम वेग और त्वरण के अवधारणा के विकास करेंगे। हम अपने ध्यान को सीधी रेखा में गति के अध्ययन पर सीमित कर लेंगे, जिसे भी सीधी रेखा में गति के रूप में जाना जाता है। सीधी रेखा में एक समान त्वरण के मामले में, एक सरल सेट के लिए विशेष रूप से विकसित किया गया है।

समीकरण प्राप्त किए जा सकते हैं। अंत में, गति के संपर्क के संबंधी प्रकृति को समझने के लिए, हम गति के संबंधी वेग की अवधारणा परिचय देते हैं।

हमारे विवादों में, हम गतिशील वस्तुओं को बिंदु वस्तुओं के रूप में लेंगे। यह सुमेलन तब तक वैध रहता है जब तक वस्तु के आकार को एक तर्कसंगत समय अंतराल में तय किए गए दूरी की तुलना में बहुत छोटा माना जा सके। वास्तविक जीवन के बहुत से स्थितियों में, वस्तुओं के आकार को नगण्य माना जा सकता है और उन्हें बिना बहुत त्रुटि के बिंदु वस्तुओं के रूप में माना जा सकता है। गति विज्ञान (Kinematics) में, हम गति के वर्णन के तरीकों के अध्ययन करते हैं बिना गति के कारणों के बारे में जानकारी देने के। इस अध्याय और अगले अध्याय में वर्णित गति के कारण चैप्टर 4 के विषय हैं।

2.2 तात्कालिक वेग और चाल

औसत वेग हमें एक दिए गए समय अंतराल में एक वस्तु कितनी तेजी से गति कर रही है बताता है, लेकिन उस अंतराल के विभिन्न क्षणों में वस्ेजी से कितनी गति कर रही है बताता नहीं। इसके लिए, हम तात्कालिक वेग या सरलता के लिए वेग v को एक क्षण t पर परिभाषित करते हैं।

समय के किसी भी क्षण पर वेग को औसत वेग के सीमा के रूप में परिभाषित किया जाता है जब समय अंतराल ${\Delta t}$ अत्यंत छोटा हो जाए। अन्य शब्दों में,

$ v =\lim \limits_{\Delta \mathrm{t} \rightarrow 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}\hspace{22mm}(2.1a) $

$ =\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t} \hspace{33mm} (2.1b)$

जहाँ प्रतीक lim ∆t→0 उस राशि पर लगाए गए सीमा के संचालन को दर्शाता है जो इसके दाईं ओर है। कलन की भाषा में, समीकरण (2.1a) के दाईं ओर वाली राशि x के संबंध में t के संबंध में अवकल गुणांक होती है और इसे $\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}$ (अनुसरण 2.1 देखें) द्वारा नोट किया जाता है। यह उस क्षण पर स्थिति के समय के संबंध में परिवर्तन दर होती है।

हम समीकरण (2.1a) का उपयोग करके किसी भी क्षण पर वेग का मान प्राप्त कर सकते हैं या तो ग्राफिकल रूप से या संख्यात्मक रूप से। मान लीजिए कि हम चाहते हैं कि ग्राफिकल रूप से वेग का मान प्राप्त करें जब समय t = 4 सेकंड (बिंदु P) हो। चाल के ग्राफ के लिए चित्र 2.1 में दिखाए गए गति के लिए। मान लीजिए कि हम लेते हैं ∆t = 2 सेकंड जो t = 4 सेकंड के केंद्र में हो। तब,

द्वारा औसत वेग की परिभाषा, रेखा $P_1P_2$ की ढलान $3$ सेकंड से $5$ सेकंड के अंतराल पर औसत वेग का मान देती है

चित्र 2.1 स्थिति-समय ग्राफ से वेग का निर्धारण। $t = 4$ सेकंड पर वेग उस समय के ग्राफ की स्पर्शरेखा की ढलान होती है।

अब, हम $\Delta t$ के मान को $2 \mathrm{~s}$ से $1$ सेकंड तक कम करते हैं। तब रेखा $\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$ $\mathrm{Q}_1 \mathrm{Q}_2$ बन जाती है और इसकी ढलान $3.5 \mathrm{~s}$ से $4.5 \mathrm{~s}$ के अंतराल पर औसत वेग का मान देती है। $\Delta t \rightarrow 0$ की सीमा में, रेखा $\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$ स्थिति-समय वक्र के बिंदु $\mathrm{P}$ पर स्पर्शरेखा बन जाती है और $t = 4 \mathrm{~s}$ पर वेग उस बिंदु पर स्पर्शरेखा की ढलान द्वारा दिया जाता है। इस प्रक्रिया को ग्राफिक रूप से दिखाना कठिन है। लेकिन यदि हम वेग के मान के लिए संख्यात्मक विधि का उपयोग करते हैं, तो सीमा प्रक्रिया का अर्थ स्पष्ट हो जाता है। चित्र 2.1 में दिखाए गए ग्राफ के लिए $x=0.08 t^3$ है। तालिका 2.1 में $\Delta t$ के मान $2.0 \mathrm{~s}$, $1.0 \mathrm{~s}$, $0.5 \mathrm{~s}$, $0.1 \mathrm{~s}$ और $0.01 \mathrm{~s}$ के लिए $t = 4.0 \mathrm{~s}$ के केंद्र पर $\Delta x / \Delta t$ के मान दिए गए हैं। दूसरा और तीसरा स्तम्भ $t_1 = \left(t - \frac{\Delta t}{2}\right)$ और $t_2 = \left(t + \frac{\Delta t}{2}\right)$ के मान देते हैं और चौथा और पांचवां स्तम्भ $x$ के संगत मान, अर्थात $x\left(t_1\right) = 0.08 t_1^3$ और $x\left(t_2\right) = 0.08 t_2^3$ देते हैं। छठा स्तम्भ $\Delta x = X\left(t_2\right) - X\left(t_1\right)$ के अंतर को सूचित करता है और अंतिम स्तम्भ $\Delta x$ और $\Delta t$ के अनुपात, अर्थात दिए गए $\Delta t$ के मान के लिए औसत वेग को देता है।

सारणी 2.1 $t=4 \mathrm{~s}$ पर $\frac{\Delta x}{\Delta t}$ का सीमांत मान

हम सारणी 2.1 से देख सकते हैं कि जब हम $\Delta t$ के मान को $2.0 \mathrm{~s}$ से $0.010 \mathrm{~s}$ तक कम करते हैं, तो औसत वेग का मान सीमांत मान $3.84 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ के निकट पहुँच जाता है, जो $t=4.0 \mathrm{~s}$ पर वेग का मान है, अर्थात, $t=4.0 \mathrm{~s}$ पर $\frac{d x}{d t}$ का मान है। इस प्रकार, हम गाड़ी के गति के लिए प्रत्येक क्षण पर वेग की गणना कर सकते हैं।

स्थिति-समय ग्राफ के आधार पर तात्कालिक वेग की निर्धारण के लिए ग्राफिक विधि हमेशा एक सुविधाजनक विधि नहीं होती। इसके लिए हमें स्थिति-समय ग्राफ को ध्यानपूर्वक खींचना आवश्यक होता है और $\Delta t$ के मान के छोटे छोटे होने के साथ-साथ औसत वेग के मान की गणना करनी पड़ती है। यदि हमें विभिन्न क्षणों पर स्थिति के डेटा या समय के फलन के लिए सटीक व्यंजक उपलब्ध हो, तो विभिन्न क्षणों पर वेग की गणना आसान हो जाती है। तब हम डेटा के आधार पर $\Delta t$ के मान को कम करते हुए $\Delta x / \Delta t$ की गणना करते हैं और जैसे हमने सारणी 2.1 में किया था उसी तरह सीमांत मान ज्ञात करते हैं या दिए गए व्यंजक के लिए अवकलन कलन का उपयोग करके विभिन्न क्षणों पर $\frac{d x}{d t}$ की गणना करते हैं, जैसा कि निम्नलिखित उदाहरण में किया गया है।

उदाहरण 2.1 x-अक्ष के अनुदिश गतिशील वस्तु की स्थिति x = a + bt² द्वारा दी गई है, जहाँ a = 8.5 मीटर, b = 2.5 मीटर $s^{–2}$ और t सेकंड में मापा जाता है। t = 0 सेकंड और t = 2.0 सेकंड पर वस्तु की चाल क्या होगी? t = 2.0 सेकंड और t = 4.0 सेकंड के बीच औसत चाल क्या होगी?

उत्तर अवकलन के नोटेशन में, चाल है

$ v=\frac{d x}{d t}=\frac{d}{d t}\left(a+b t^2\right)=2 b t=5.0 t \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} $

t = 0 सेकंड पर, V = 0 मीटर सेकंड⁻¹ और t = 2.0 सेकंड पर, v = 10 मीटर सेकंड⁻¹ होता है।

$ \text { औसत चाल }=\frac{x(4.0)-x(2.0)}{4.0-2.0} $

$\begin{array}{r}=\frac{a+16 b-a-4 b}{2.0}=6.0 \times b \\ =6.0 \times 2.5=15 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}\end{array}$

ध्यान दें कि समान गति के लिए, सभी क्षणों पर चाल औसत चाल के बराबर होती है।

स्थानीय चाल या सिर्फ चाल, वेग के परिमाण होती है। उदाहरण के लिए, +24.0 मीटर सेकंड⁻¹ के वेग और -24.0 मीटर सेकंड⁻¹ के वेग दोनों के संगत चाल 24.0 मीटर सेकंड⁻¹ होती है। ध्यान दें कि एक निश्चित समय अंतराल पर औसत चाल औसत वेग के परिमाण से अधिक या बराबर हो सकती है, लेकिन एक क्षण पर स्थानीय चाल उस क्षण के स्थानीय वेग के परिमाण के बराबर होती है। क्यों?

2.3 त्वरण

किसी वस्तु की चाल, सामान्यतः, अपने गति के मार्ग में बदलती रहती है। इस बदलाव को कैसे वर्णित किया जाए? क्या इसे दूरी के साथ चाल के परिवर्तन की दर के रूप में वर्णित किया जाए या समय के साथ चाल के परिवर्तन की दर के रूप में? यह समस्या गैलिलियो के समय भी थी। पहले यह सोचा गया था कि इस बदलाव को दूरी के साथ चाल के परिवर्तन की दर द्वारा वर्णित किया जा सकता है। लेकिन, आवर्त गिरती वस्तुओं की गति और झुके हुए सतह पर वस्तुओं की गति के अध्ययन के माध्यम से गैलिलियो ने निष्कर्ष निकाला कि समय के साथ चाल के परिव तन की दर सभी मुक्त गिरती वस्तुओं के लिए गति की एक अचर राशि होती है। दूसरी ओर, दूरी के साथ चाल के परिवर्तन की दर अचर नहीं होती – यह गिरावट की बढ़ती दूरी के साथ कम होती जाती है। इस तथ्य ने त्वरण के अवधारणा के विकास में सहायता की, जिसे समय के साथ चाल के परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया गया है।

किसी समय अंतराल में औसत त्वरण $\bar{a}$ को चाल के परिवर्तन को समय अंतराल से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है:

$\bar{a}=\frac{v_2-v_1}{t_2-t_1}=\frac{\Delta v}{\Delta t}\quad \quad \quad \quad \quad (2.2)$

जहाँ $v_2$ और $v_1$ समय $t_2$ और $t_1$ पर क्षणिक वेग या सरलता से वेग हैं। यह वेग के औसत परिवर्तन प्रति इकाई समय है। त्वरण की SI इकाई $\mathrm{m} \mathrm{s}^{-2}$ है।

वेग-समय ग्राफ पर, औसत त्वरण बिंदुओं $(v_2, t_2)$ और $(v_1, t_1)$ को जोड़ने वाली सीधी रेखा की ढलान है।

क्षणिक त्वरण की परिभाषा क्षणिक वेग के तरह है :

$$ a=\lim\limits_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t} \quad \quad \quad \quad \quad (2.3) $$

एक क्षण पर त्वरण, उस क्षण पर $v-t$ वक्र की स्पर्शरेखा की ढलान होती है।

क्योंकि वेग एक राशि है जिसमें आमाप और दिशा दोनों होते हैं, वेग में परिवर्तन आमाप या दिशा में एक या दोनों के परिवर्तन के कारण हो सकता है। अतः त्वरण आमाप में परिवर्तन, दिशा में परिवरन या दोनों में परिवर्तन के कारण हो सकता है। वेग के जैसे, त्वरण भी धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य हो सकता है। धनात्मक, ऋणात्मक और शून्य त्वरण वाले गति के स्थिति-समय ग्राफ चित्र 2.4 (a), (b) और (c) में दिखाए गए हैं। ध्यान दें कि धनात्मक त्वरण के लिए ग्राफ ऊपर की ओर घुमता है, ऋणात्मक त्वरण के लिए नीचे की ओर घुमता है और शून्य त्वरण के लिए यह एक सीधी रेखा होती है।

चित्र 2.2 गति के लिए स्थिति-समय ग्राफ जो (a) धनात्मक त्वरण, (b) नकारात्मक त्वरण और (c) शून्य त्वरण के साथ होता है।

हालांकि त्वरण समय के साथ बदल सकता है, लेकिन इस पाठ्यक्रम में हम नियत त्वरण के साथ गति के अध्ययन की ओर सीमित रहेंगे। इस स्थिति में, औसत त्वरण अंतराल के दौरान त्वरण के नियत मान के बराबर होता है। यदि किसी वस्तु की गति के आरंभिक समय $t = 0$ पर वेग $v_o$ है और समय $t$ पर वेग $v$ है, तो हम निम्नलिखित प्राप्त करते हैं:

$ \bar{a}=\frac{v-v_o}{t-0} $

$\text { या, } v=v_o+a t \hspace{25mm}(2.4) $

हम देखेंगे कि वेग-समय ग्राफ कैसा दिखता है कुछ सरल मामलों के लिए। चित्र 2.3 में नियत त्वरण के साथ गति के लिए वेग-समय ग्राफ दिखाया गया है निम्नलिखित मामलों के लिए:

चित्र 2.3 स्थिर त्वरण के गति के लिए वेग-समय ग्राफ। (a) धनात्मक दिशा में धनात्मक त्वरण के साथ गति, (b) धनात्मक दिशा में ऋणात्मक त्वरण के साथ गति, (c) ऋणात्मक दिशा में ऋणात्मक त्वरण के साथ गति, (d) समय $t_1$ पर दिशा बदलने वाले वस्तु की गति। समय 0 से $t_1$ के बीच यह धनात्मक x-दिशा में गति करती है और समय $t_1$ से $t_2$ के बीच विपरीत दिशा में गति करती है।

(a) एक वस्तु धनात्मक दिशा में धनात्मक त्वरण के साथ गति कर रही है।

(b) एक वस्तु धनात्मक दिशा में ऋणात्मक त्वरण के साथ गति कर रही है।

(c) एक वस्तु ऋणात्मक दिशा में ऋणात्मक त्वरण के साथ गति कर रही है।

(d) एक वस्तु समय $t_1$ तक धनात्मक दिशा में गति करती है, और फिर उसी ऋणात्मक त्वरण के साथ वापस लौट जाती है।

किसी भी गतिशील वस्तु के वेग-समय ग्राफ के एक दिलचस्प विशेषता यह है कि कक्षा के तल के नीचे क्षेत्रफल दिए गए समय अंतराल में विस्थापन को प्रस्तुत करता है। इस कथन की सामान्य साबिती के लिए कैलकुलस का उपयोग करना पड़ता है। हालांकि, हम देख सकते हैं कि यह एक सरल मामले में सत्य है जब एक वस्तु नियत वेग $u$ के साथ गति करती है। इसका वेग-समय ग्राफ चित्र 2.4 में दिखाया गया है।

चित्र 2.4 v–t वक्र के तल के अंतरगत क्षेत्रफल वस्तु के दिए गए समय अंतराल में विस्थापन के बराबर होता है।

v-t वक्र एक समय अक्ष के समानांतर सीधी रेखा होती है और इसके बीच t = 0 और t = T के बीच क्षेत्रफल ऊंचाई u और आधार T वाले आयत के क्षेत्रफल के बराबर होता है। इसलिए, क्षेत्रफल = u × T = uT जो इस समय अंतराल में विस्थापन होता है। इस स्थिति में क्षेत्रफल के एक दूरी के बराबर होने के कारण क्या है? चिंतन करें! दो निर्देशांक अक्षों पर मात्राओं के आयामों को ध्यान में रखें और आपको उत्तर मिल जाएगा।

ध्यान दें कि इस कृति में कई चित्रों में x-t, v-t और a-t ग्राफ में कुछ बिंदुओं पर तीखे कोने होते हैं जो इस बात को दर्शाते हैं कि फलन इन बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं होते। कोई भी वास्तविक स्थिति में फलन सभी बिंदुओं पर अवकलनीय होते हैं और ग्राफ सुगम होते हैं।

इसका भौतिक अर्थ यह है कि त्वरण और वेग किसी भी क्षण पर अचानक मान बदल नहीं सकते। परिवर्तन हमेशा निरंतर होते हैं।

2.4 समान त्वरण वाले गति के किनेमैटिक समीकरण

समान त्वरण वाले गति के लिए, हम विस्थापन $(x)$, समय $(t)$, प्रारंभिक वेग $\left(v_0\right)$, अंतिम वेग $(v)$ और त्वरण (a) के बीच संबंध बताने वाले कुछ सरल समीकरण निहित कर सकते हैं। समीकरण (2.4) पहले से प्राप्त किया गया है जो एक समान त्वरण $a$ वाले वस्तु के अंतिम और प्रारंभिक वेग $v$ और $v_0$ के बीच संबंध दर्शाता है:

$$ v=v_o+a t \hspace{38mm}(2.4) $$

इस संबंध को आकृति 2.5 में ग्राफिक रूप से प्रस्तुत किया गया है। इसके तल क्षेत्रफल निम्नलिखित है: समय के अंतराल 0 और $t=$ के बीच क्षेत्रफल = त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ का क्षेत्रफल + आयत $\mathrm{OACD}$ का क्षेत्रफल

$$ =\frac{1}{2}\left(v-v_0\right) t+v_0 t $$

चित्र 2.5 एक वस्तु के एकसमान त्वरण के लिए v-t वक्र के अंतर्गत क्षेत्रफल।

पिछले अनुच्छेद में बताए गए तरीके से, v-t वक्र के अंतर्गत क्षेत्रफल विस्थापन को प्रदर्शित करता है। इसलिए, वस्तु के विस्थापन x है :

$$ x=\frac{1}{2}\left(v-v_0\right) t+v_0 t \quad\quad \quad \quad \quad \quad (2.5) $$

लेकिन $\quad\quad \quad v-v _0=a t$

इसलिए, $\quad\quad x=\frac{1}{2} a t^2+v _0 t$

या, $\quad\quad \quad x=v_0 t+\frac{1}{2} a t^2 \hspace{39mm} (2.6)$

समीकरण (2.5) को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है

$$ \begin{align*} X & =\frac{V+v _{0}}{2} t \\ & =\bar{v} t \tag{2.7a} \\ where,\\ \bar{v} & =\frac{v+v _{0}}{2} \textbf { ( constant acceleration only) } \tag{2.7b} \end{align*} \quad $$

समीकरण (2.7a) और (2.7b) का अर्थ यह है कि वस्तु के विस्थापन $x$ के साथ औसत वेग आरंभिक और अंतिम वेग के अंकगणितीय औसत के बराबर है।

समीकरण (2.4) से, $t=\left(v-v_0\right) / a$। इसे समीकरण (2.7a) में प्रतिस्थापित करने पर हम प्राप्त करते हैं

$$ \begin{align*} x & =\bar{v} t=\left(\frac{v+v _{0}}{2}\right)\left( \frac{v-v _{0}}{a}\right)=\frac{v^{2}-v _{0}^{2}}{2 a} \\

v^{2} & =v _{0}^{2}+2 a x \tag{2.8} \end{align*} $$

इस समीकरण को भी एक बार फिर समीकरण (2.4) में t के मान को समीकरण (2.6) में रखकर प्राप्त किया जा सकता है। इस प्रकार हम तीन महत्वपूर्ण समीकरण प्राप्त करते हैं:

$$ \begin{gathered} v=v_0+a t \\ x=v_0 t+\frac{1}{2} a t^2 \\ \hspace{26mm} v^2=v_0^2+2 a x \hspace{20mm} (2.9a) \end{gathered} $$ जो पांच राशियों $v_0, v, a, t$ और $x$ को जोड़ते हैं। इन्हें एकसमान त्वरण के लिए सीधी रेखा में गति के किनेमैटिक समीकरण कहा जाता है।

समीकरण (2.9a) के सेट को $t=0$ पर कण की स्थिति, $x$ शून्य होने की धारणा के आधार पर प्राप्त किया गया है। हम एक अधिक सामान्य समीकरण प्राप्त कर सकते हैं यदि हम $t=0$ पर स्थिति निर्देशांक को शून्य नहीं लें, बल्कि एक अशून्य मान, जैसे $x_0$ लें। तब समीकरण (2.9a) को $x$ के स्थान पर $x - x_0$ लेकर संशोधित कर देंगे:

$$ \begin{align*} v & =v _{0}+a t \\ x & =x _{0}+v _{0} t+\frac{1}{2} a t^{2} \tag{2.9b} \\ v^{2} & =v _{0}^{2}+2 a\left(x-x _{0}\right) \tag{2.9c} \end{align*} $$

उदाहरण 2.2 कैलकुलस के विधि का उपयोग करके एकसमान त्वरण के गति के समीकरण प्राप्त कीजिए।

उत्तर परिभाषा के अनुसार

$$ \begin{aligned} & a=\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t} \\ & \mathrm{~d} v=a \mathrm{~d} t \end{aligned} $$

दोनों ओर समाकलन करने पर

$$ \begin{aligned} \int_{v_0}^v \mathrm{~d} v & =\int_0^t a \mathrm{~d} t \\ & =a \int_0^t \mathrm{~d} t \quad \quad \quad \quad \text{( a एक स्थिरांक है)}\\ v-v_0 & =a t \\ v & =v_0+a t \end{aligned} $$

अतः, $$ \begin{aligned} v & =\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t} \\ \mathrm{~d} x & =v \mathrm{~d} t \end{aligned} $$

दोनों ओर समाकलन करने पर $$ \begin{aligned} \int_{x_0}^x \mathrm{~d} x=\int_0^t v \mathrm{~d} t & =\int_0^t\left(v_0+a t\right) \mathrm{d} t \\ x-x_0 & =v_0 t+\frac{1}{2} a t^2 \\ x & =x_0+v_0 t+\frac{1}{2} a t^2 \end{aligned} $$

हम लिख सकते हैं

$$ \begin{aligned} & a=\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t}=\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} x} \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}=v \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} x} \\ \\ & \text { या, } v \mathrm{~d} v=a \mathrm{~d} x \end{aligned} $$

दोनों ओर समाकलन करने पर,

$$ \begin{aligned} & \int_{v_0}^v v \mathrm{~d} v=\int_{x_0}^x a \mathrm{~d} x \\ & \frac{v^2-v_0^2}{2}=a\left(x-x_0\right) \\ & v^2=v_0^2+2 a\left(x-x_0\right) \end{aligned} $$

इस विधि का लाभ यह है कि इसका उपयोग असमान त्वरण वाले गति के लिए भी किया जा सकता है।

अब, हम इन समीकरणों का उपयोग कुछ महत्वपूर्ण मामलों के लिए करेंगे।

उदाहरण 2.3 एक गेंद एक बहु-मंजिला इमारत के शीर्ष से 20 मी $s^{–1}$ के वेग से ऊपर की ओर फेंकी जाती है। गेंद के फेंके जाने वाले बिंदु से जमीन तक की ऊंचाई 25.0 मी है। (a) गेंद कितनी ऊँचाई तक जाएगी? और (b) गेंद जमीन पर पहुंचने से पहले कितना समय लगेगा? g = 10 मी $s^{–2}$ लें।

उत्तर (a) हम आकृति 2.6 में दिखाए गए अनुसार जमीन पर शून्य बिंदु वाले ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर लें $y$-अक्ष को।

$$ \begin{aligned} \text { अब } \quad v_o & =+20 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}, \\ a & =-g=-10 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}, \\ v & =0 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} \end{aligned} $$

यदि गेंद लॉन्च बिंदु से ऊंचाई $y$ तक जाती है, तो समीकरण का उपयोग करते हुए $\hspace{15mm}v^2=v_o^2+2 a\left(y-y_0\right)\\ हमें प्राप्त होता है\\ \hspace{18mm}0=(20)^2+2(-10)\left(y-y_0\right)$

$$ \text{हल करने पर,} \left(y-y_0\right)=20 \mathrm{~m}. $$

(b) हम इस समस्या के इस भाग को दो तरीकों से हल कर सकते हैं।

ध्यान दें कि कौन से तरीके उपयोग किए गए हैं।

चित्र 2.6

पहला तरीका : पहले तरीके में, हम पथ को दो भागों में बांटते हैं : ऊपर की गति (A से B) और नीचे की गति (B से C) और संगत समय $t_1$ और $t_2$ की गणना करते हैं। चूंकि B पर वेग शून्य है, हम निम्नलिखित प्राप्त करते हैं :

$$ \begin{aligned} & v=v_{\mathrm{o}}+a t \\ 0 & =20-10 t_1 \\ \text { या, } \quad \quad & t_1=2 \mathrm{~s} \end{aligned} $$

यह वह समय है जो A से B तक जाने में लगता है। B से, या अधिकतम ऊंचाई के बिंदु से, गेंद गुरुत्व त्वरण के कारण मुक्त रूप से गिरती है। गेंद नकारात्मक $y$ दिशा में गति कर रही है। हम निम्नलिखित समीकरण का उपयोग करते हैं $$ y=y_0+v_0 t+\frac{1}{2} a t^2

$$

हमने, $y_0=45 \mathrm{~m}, y=0, v_0=0, a=-g=-10 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}$

$$ 0=45+(1 / 2)(-10) t_2^2 $$

हल करने पर, हमें $\mathrm{t}_2=3 \mathrm{~s}$ मिलता है इसलिए, गेंद जमीन पर टकराने से पहले ली गई कुल समय $=t_1+t_2=2 \mathrm{~s}+3 \mathrm{~s}=5 \mathrm{~s}$ है।

दूसरा विधि : गेंद के आरंभिक और अंतिम स्थितियों के निर्देशांक को मूल बिंदु के संबंध में ध्यान में रखकर कुल समय की गणना भी की जा सकती है और समीकरण का उपयोग करके

$$ y=y_0+v_0 t+\frac{1}{2} a t^2 $$ $$ \begin{array}{ll} \text{अब} \quad \quad y_0=25 \mathrm{~m} & y=0 \mathrm{~m} \\ \quad \quad\quad \quad v_o=20 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}, & a=-10 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}, \quad t=? \end{array} $$

$$ \begin{array}{ll} & 0=25+20 t+(1 / 2)(-10) t^2 \\ \text { या, } & \quad 5 t^2-20 t-25=0 \end{array} $$

इस द्विघात समीकरण को $t$ के लिए हल करने पर, हमें प्राप्त होता है

$$ t=5 \mathrm{~s} $$

ध्यान दें कि दूसरा विधि बेहतर है क्योंकि हमें गति के पथ के बारे में चिंता करने की आवश्यकता नहीं होती क्योंकि गति नियत त्वरण के अंतर्गत होती है

उदाहरण 2.4 मुक्त गिरावट : एक वस्तु के मुक्त गिरावट के गति के बारे में चर्चा करें। हवा के प्रतिरोध को नगण्य मान लें।

उत्तर पृथ्वी के सतह के पास एक वस्तु को छोड़ने पर गुरुत्वाकर्षण बल के प्रभाव में वस्तु नीचे की ओर त्वरित होती है। गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण के परिमाण को g द्वारा प्रकट किया जाता है। यदि हवा के प्रतिरोध को नगण्य मान लिया जाए, तो वस्तु को मुक्त गिरावट में माना जाता है। यदि वस्तु के गिरने के लिए तय की गई ऊँचाई पृथ्वी की त्रिज्या की तुलना में छोटी हो, तो g को नियत मान लिया जा सकता है, जो 9.8 मी $s^{–2}$ के बराबर होता है। इस प्रकार मुक्त गिरावट एक समान त्वरण के गति का एक मामला है।

हम मान लेते हैं कि गति y-दिशा में होती है, अधिक सही बोले तो -y-दिशा में क्योंकि हम ऊपर की दिशा को धनात्मक चुनते हैं। चूंकि गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण हमेशा नीचे की ओर होता है, इसलिए यह नकारात्मक दिशा में होता है और हमारे पास है:

$$ a=-g=-9.8 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2} $$

वस्तु को $y=0$ पर शांति से छोड़ा जाता है। अतः $v_0=0$ और गति के समीकरण बन जाते हैं:

$$ \begin{array}{lll} v=0-g t & =-9.8 t &\mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} \\

$$ \begin{array}{lll} y=0-1 / 2 g t^2 & =-4.9 t^2 & \mathrm{~m} \\ v^2=0-2 g y & =-19.6 y &\mathrm{~m}^2 \mathrm{~s}^{-2} \end{array} $$

इन समीकरणों से समय के फलन के रूप में वेग और तय की गई दूरी के बारे में जानकारी मिलती है, तथा दूरी के साथ वेग के परिवर्तन के बारे में भी। त्वरण, वेग और दूरी के समय के साथ परिवर्तन को चित्र 2.7 (a), (b) और (c) में आलेखित किया गया है।

(a)

(b)

(c)

चित्र 2.7 मुक्त प्रसार के अंतर्गत एक वस्तु की गति।

(a) त्वरण के समय के साथ परिवर्तन।

(b) वेग के समय के साथ परिवर्तन।

(c) दूरी के समय के साथ परिवर्तन

उदाहरण 2.5 गैलीलियो का विषम संख्या के नियम: “एक वस्तु के आरंभिक वेग शून्य होने पर विस्थापन, समान समय अंतराल में, विषम संख्याओं के अनुपात में होता है [जैसे 1: 3: 5: 7…]।” इसे सिद्ध करें।

उत्तर एक वस्तु के मुक्त पारगमन के गति के समय अंतराल को बराबर अंतराल $\tau$ में विभाजित करें और अगले अंतराल में तय की गई दूरी की गणना करें। चूंकि आरंभिक वेग शून्य है, हम निम्नलिखित समीकरण का उपयोग कर सकते हैं:

$$ y = -\frac{1}{2} g t^2 $$

इस समीकरण का उपयोग करके, हम विभिन्न समय अंतराल, $0, \tau, 2 \tau, 3 \tau \ldots$ में वस्तु की स्थिति की गणना कर सकते हैं, जो तालिका 2.2 के दूसरे स्तम्भ में दिए गए हैं। यदि हम $(-1 / 2) g \tau^2$ को $y_0$ के रूप में लें, जो पहले समय अंतराल $\tau$ के बाद स्थिति निर्देशांक है, तो तीसरे स्तम्भ में $y_0$ के इकाई में स्थिति दी गई है। चौथे स्तम्भ में अगले $\tau$ के लिए तय की गई दूरी दी गई है। हम देखते हैं कि दूरियाँ सरल अनुपात $1: 3: 5: 7: 9: 11 \ldots$ में हैं, जो अंतिम स्तम्भ में दिखाए गए हैं। यह नियम गैलीलियो गैलीलियो (1564-1642) द्वारा स्थापित किया गया था, जो मुक्त पारगमन के वैज्ञानिक अध्ययन के लिए पहला व्यक्ति थे।

उदाहरण 2.6 वाहनों की रोकथाम दूरी: जब चलते हुए वाहन पर ब्रेक लगाए जाते हैं, तो वाहन के रुकने तक तय की गई दूरी को रोकथाम दूरी कहते हैं। यह रोड सुरक्षा के लिए एक महत्वपूर्ण कारक है और यह प्रारंभिक वेग $(v_0)$ और ब्रेकिंग क्षमता, या त्वरण के विपरीत, –a पर निर्भर करती है, जो ब्रेकिंग द्वारा कारण होता है। एक वाहन की रोकथाम दूरी के लिए $v_o$ और a के अनुसार एक सूत्र निर्माण करें।

तालिका 2.2

उत्तर वाहन के रुकने तक तय की गई दूरी को $d_s$ के रूप में मान लीजिए। तब, गति के समीकरण $v^2 = v_0^2 + 2 a x$ का उपयोग करते हुए और ध्यान रखते हुए कि $v = 0$, हम रोकने की दूरी को निम्नलिखित प्राप्त करते हैं:

$$ d_{\mathrm{s}} = \frac{-v_0^2}{2 a} $$

इस प्रकार, रोकने की दूरी प्रारंभिक वेग के वर्ग के समानुपाती होती है। प्रारंभिक वेग को दोगुना करने से रोकने की दूरी 4 गुना बढ़ जाती है (समान त्वरण के लिए)। एक विशिष्ट ब्रांड के गाड़ी के लिए ब्रेकिंग दूरी के लिए निम्नलिखित मापदंड पाए गए हैं: 11, 15, 20 और 25 मी/से के वेग के लिए ब्रेकिंग दूरी क्रमशः 10 मी, 20 मी, 34 मी और 50 मी है जो ऊपर दिए गए सूत्र के लगभग सामंजस्य में है।

रोकने की दूरी गति सीमा निर्धारण में महत्वपूर्ण कारक होती है, उदाहरण के लिए, स्कूल के क्षेत्र में।

उदाहरण 2.7 अभिक्रिया समय : जब कोई स्थिति हमारी तुरंत कार्यवाही की मांग करती है, तो हम वास्तव में प्रतिक्रिया करने से पहले कुछ समय लेते हैं। अभिक्रिया समय व्यक्ति के द्वारा अवलोकन, विचार और कार्य करने के लिए लिया गया समय होता है। उदाहरण के लिए, एक व्यक्ति ड्राइविंग करते हुए अचानक एक बच्चा रास्ते में आ जाता है, तो उसके ब्रेक के बटन दबाने से पहले ली गई समय अभिक्रिया समय होता है। अभिक्रिया समय स्थिति की जटिलता और व्यक्तिगत विशेषताओं पर निर्भर करता है।

आप एक सरल प्रयोग द्वारा अपने प्रतिक्रिया समय को माप सकते हैं। एक मापन करते हुए छड़ी लें और अपने दोस्त से अपने अंगूठे और इंगर बीच के खाली स्थान में उसे ऊर्ध्वाधर रूप से गिराने के लिए कहें (चित्र 2.8)। जब आप उसे पकड़ लेंगे, तो छड़ी द्वारा तय की गई दूरी $d$ को ज्ञात करें। एक विशिष्ट मामले में, $d$ का मान 21.0 सेमी पाया गया।

प्रतिक्रिया समय का अनुमान लगाएं।

चित्र 2.8 प्रतिक्रिया समय को मापना

उत्तर छड़ी मुक्त पात गिरती है। अतः $v_o=0$ और $a=-g=-9.8 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}$ होता है। तय की गई दूरी $d$ और प्रतिक्रिया समय $t_r$ निम्नलिखित संबंध द्वारा संबंधित होते हैं:

$$ d=-\frac{1}{2} g t_r^2 $$

या, $\quad t_r=\sqrt{\frac{2 d}{g}} \mathrm{~s}$

दिया गया है $d=21.0 \mathrm{~cm}$ और $g=9.8 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}$ तो प्रतिक्रिया समय है:

$$ t_r=\sqrt{\frac{2 \times 0.21}{9.8}} \mathrm{~s} \cong 0.2 \mathrm{~s} . $$

सारांश

1. एक वस्तु को गति में कहा जाता है यदि इसकी स्थिति समय के साथ बदलती रहती है। वस्तु की स्थिति एक आसानी से चुने गए मूल बिंदु के संदर्भ में निर्धारित की जा सकती है। सीधी रेखा में गति के लिए, मूल बिंदु के दाहिने ओर की स्थिति धनात्मक ली जाती है और बाएँ ओर की स्थिति ऋणात्मक ली जाती है।

प्रदत्त समय अंतराल में एक वस्तु की औसत गति उसकी औसत वेग के परिमाण के बराबर या उससे अधिक होती है।

2. क्षणिक वेग या सरलता से वेग को अंतराल ∆t अपरिमित छोटा हो जाने पर औसत वेग की सीमा के रूप में परिभाषित किया जाता है :

$$v=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \bar{v}=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}$$

एक विशिष्ट क्षण पर वेग उस क्षण पर अवस्थित अवस्था-समय ग्राफ पर खींचे गए स्पर्शरेखा के ढलान के बराबर होता है।

3. औसत त्वरण वेग के परिवर्तन को उस परिवर्तन के लिए लगने वाले समय अंतराल से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है :

$$ \bar{a}=\frac{\Delta v}{\Delta t} $$

4. क्षणिक त्वरण को अंतराल ∆t शून्य के निकट जाने पर औसत त्वरण की सीमा के रूप में परिभाषित किया जाता है :

$$ a=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \bar{a}=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t} $$

एक वस्तु के एक विशिष्ट समय पर त्वरण उस समय के वेग-समय ग्राफ के ढलान के बराबर होता है। समान गति के लिए त्वरण शून्य होता है और x - t ग्राफ समय अक्ष के सापेक्ष झुके हुए सीधी रेखा होती है और v - t ग्राफ समय अक्ष के समानांतर सीधी रेखा होती है। समान त्वरण के गति के लिए x - t ग्राफ एक परवलय होता है जबकि v - t ग्राफ समय अक्ष के सापेक्ष झुके हुए सीधी रेखा होती है।

5. गति-समय वक्र के तल के बीच समय $t_1$ और $t_2$ के बीच क्षेत्रफल, उस अंतराल में वस्तु के विस्थापन के बराबर होता है।

6. समान त्वरण वाली सीधी रेखा में गति करती वस्तुओं के लिए, विस्थापन $x$, समय $t$, प्रारंभिक वेग $v_0$, अंतिम वेग $v$ और त्वरण $a$ इन पांच मात्राओं के बीच सरल समीकरणों के सेट द्वारा संबंधित होते हैं, जिन्हें गति के गणितीय समीकरण कहते हैं :

$$ \begin{aligned} & v = v_o + a t \\ & x = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 \\ & v^2 = v_0^2 + 2 a x \end{aligned} $$

यदि समय $t=0$ पर वस्तु की स्थिति 0 हो, तो उपरोक्त समीकरणों में $x$ के स्थान पर $x - x_0$ लिया जाता है।

| (ब) तात्कालिक | $v$ | | | $=\lim \limits_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}$
एक आयाम में, इसका चिन्ह
दिशा को दर्शाता है। | |गति
(अ) औसत
(ब) तात्कालिक||$[LT^{-1}]$|$m s^{-1}$ |$=\frac{पथ\hspace{1mm} लंबाई} {समय\hspace{1mm} अंतराल}$

$=\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}$| |त्वरण
(अ) औसत
तात्कालिक||$[LT^{-2}]$|$m s^{-2}$|$=\frac{\Delta v}{\Delta t}$

$=\lim \limits_{\Delta t \rightarrow 0}\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t}$
एक आयाम में, इसका चिन्ह
दिशा को दर्शाता है।|

ध्यान देने वाले बिंदु

1. अक्ष के मूल बिंदु और धनात्मक दिशा चयन के अधिकार में हैं। आपको इस चयन को पहले निर्धारित करना चाहिए जब आप विस्थापन, वेग और त्वरण जैसी मात्राओं के चिन्ह निर्धारित करते हैं।

2. यदि एक कण तेजी से गति कर रहा है, तो त्वरण वेग की दिशा में होता है; यदि इसकी गति धीमी हो रही है, तो त्वरण वेग की दिशा के विपरीत दिशा में होता है। यह कथन मूल बिंदु और अक्ष के चयन से स्वतंत्र है।

3. त्वरण के चिह्न से हम यह नहीं बताया जा सकता कि कण की गति बढ़ रही है या घट रही है। त्वरण के चिह्न (जैसा कि बिंदु 3 में बताया गया है) अक्ष के धनात्मक दिशा के चयन पर निर्भर करता है। उदाहरण के लिए, यदि ऊर्ध्वाधर ऊपर की दिशा को अक्ष के धनात्मक दिशा के रूप में चुना जाता है, तो गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण नकारात्मक होता है। यदि एक कण गुरुत्वाकर्षण के कारण गिर रहा है, तो यह नकारात्मक त्वरण, हालांकि नकारात्मक है, गति में वृद्धि के कारण होता है। एक कण को ऊपर फेंकने पर, इसी नकारात्मक त्व रण (गुरुत्वाकर्षण के) के कारण गति कम होती है।

4. किसी भी क्षण में कण के शून्य वेग का अर्थ उसी क्षण में शून्य त्वरण का अर्थ नहीं होता। एक कण तंतु रूप से विराम में हो सकता है और वहां भी शून्य त्वरण नहीं होता। उदाहरण के लिए, एक कण को ऊपर फेंकने पर उसके उच्चतम बिंदु पर वेग शून्य होता है, लेकिन उस समय त्वरण गुरुत्वाकर्षण के कारण बरकरार रहता है।

5. गति के गणितीय समीकरणों [समीकरण (2.9)] में, विभिन्न मात्राएं बीजगणितीय होती हैं, अर्थात ये धनात्मक या ऋणात्मक हो सकती हैं। ये समीकरण सभी स्थितियों में लागू होते हैं (एक विमीय गति के लिए नियत त्वरण के साथ) जबकि विभिन्न मात्राओं के मान के अनुसार लागू किया जाता है।

मात्राएँ समीकरणों में उचित चिह्नों के साथ बदल दी जाती हैं।

6. तात्कालिक वेग और त्वरण के परिभाषा (समीकरण (2.1) और (2.3)) सटीक होती हैं और हमेशा सही होती हैं जबकि किनेमैटिक समीकरण (समीकरण (2.9)) केवल तब सत्य होती है जब गति के दौरान त्वरण के परिमाण और दिशा स्थिर रहते हैं।