3 सदिशों के समानता

दो सदिश A एवं B को समान माना जाता है, यदि एवं केवल यदि वे समान परिमाण एवं समान दिशा रखते हों।

चित्र 3.2 (a) दो बराबर सदिश A और B। (b) दो सदिश A और B एक दूसरे के बराबर हैं लेकिन वे एक ही लंबाई के हैं।

चित्र 3.2(a) में दो बराबर सदिश A और B दिखाए गए हैं। हम आसानी से उनकी बराबरी की जांच कर सकते हैं। B को अपने आप के समानांतर विस्थापित करें ताकि इसका ध्रुव Q, A के ध्रुव O के साथ संगत हो जाए, अर्थात Q, O के साथ संगत हो जाए। तब, इनके शिखर S और P भी संगत हो जाते हैं, इसलिए दोनों सदिशों को बराबर माना जाता है। सामान्यतः, बराबरी को A = B के रूप में दर्शाया जाता है। ध्यान दें कि चित्र 3.2(b) में, सदिश A′ और B′ के आयाम समान हैं लेकिन वे बराबर नहीं हैं क्योंकि उनके दिशा अलग हैं। यहां तक कि हम B′ को अपने आप के समानांतर विस्थापित कर दें ताकि इसका ध्रुव Q′, A′ के ध्रुव O′ के साथ संगत हो जाए, तो B′ के शिखर S′, A′ के शिखर P′ के साथ संगत नहीं होता है।

3.3 वास्तविक संख्या द्वारा सदिशों का गुणन

एक सदिश A को एक धनात्मक संख्या λ से गुणा करने पर एक सदिश प्राप्त होता है जिसका आयाम λ गुना हो जाता है लेकिन दिशा A के समान होती है:

$$ |\lambda \mathbf{A}|=\lambda|\mathbf{A}| \text { if } \lambda=0 $$

उदाहरण के लिए, यदि A को 2 से गुणा किया जाता है, तो परिणामी सदिश 2A A की दिशा में होता है और इसका मापदंड A के मापदंड के दुगुना होता है, जैसा कि चित्र 3.3(a) में दिखाया गया है। एक सदिश A को एक नकारात्मक संख्या −λ से गुणा करने पर एक अन्य सदिश प्राप्त होता है जिसकी दिशा A की दिशा के विपरीत होती है और जिसका मापदंड A के मापदंड के λ गुना होता है।

एक दिए गए सदिश A को नकारात्मक संख्याओं, जैसे –1 और –1.5 से गुणा करने पर चित्र 3.3(b) में दिखाए गए सदिश प्राप्त होते हैं। एक सदिश A को गुणा करने वाले गुणक λ के मान को एक अदिश राशि माना जा सकता है जिसके अपने भौतिक आयाम हो सकते हैं। तब, λA के आयाम के आयाम λ और A के आयाम के गुणनफल के बराबर होते हैं। उदाहरण के लिए, यदि हम एक नियत वेग सदिश को समय के अवधि से गुणा करते हैं, तो हमें एक विस्थापन सदिश प्राप्त होता है।

चित्र 3.3 (a) सदिश A और A को एक धनात्मक संख्या 2 से गुणा करने के बाद प्राप्त सदिश। (b) सदिश A और इसे एक नकारात्मक संख्या –1 और –1.5 से गुणा करने के बाद प्राप्त सदिश।

3.4 सदिशों के योग और घटाव — आरेखीय विधि

अनुच्छेद 4.2 में उल्लेख किया गया है कि सदिशों के परिभाषा के अनुसार, वे त्रिभुज नियम या बराबर तरह से समानांतर चतुर्भुज नियम का पालन करते हैं। अब हम इस योग के नियम का आरेखीय विधि के माध्यम से वर्णन करेंगे। मान लीजिए कि दो सदिश A और B चित्र 3.4(a) में दिखाए गए तल में स्थित हैं। इन सदिशों को प्रतिनिधित्व करने वाली रेखा खण्डों की लंबाई सदिशों के परिमाण के समानुपाती होती है। A + B के योग को खोजने के लिए, हम सदिश B को ऐसी तरह रखते हैं कि इसका शीर्ष सदिश A के शीर्ष पर हो, जैसा कि चित्र 3.4(b) में दिखाया गया है। फिर, हम सदिश A के शीर्ष को सदिश B के शीर्ष तक जोड़ते हैं। यह रेखा OQ एक सदिश R को प्रतिनिधित्व करती है, जो सदिश A और B के योग को दर्शाती है। इस प्रक्रिया में सदिशों को शीर्ष से शीर्ष तक रखा जाता है, इसलिए यह आरेखीय विधि शीर्ष-से-शीर्ष विधि के रूप में जानी जाती है। दो सदिश और उनके परिणामी तीन भुजाओं के एक त्रिभुज के रूप में बनाते हैं, इसलिए इस विधि को भी सदिश योग की त्रिभुज विधि के रूप में जाना जाता है। यदि हम चित्र 3.4(c) में दिखाए गए तरीके से B + A के परिणामी को खोजते हैं, तो एक ही सदिश R प्राप्त होता है। इसलिए, सदिश योग संवृत्ति गुणधर्म रखता है:

A + B = B + A $\quad \quad \quad\quad \quad \quad$ (3.1)

चित्र 3.4 (a) सदिश A और B। (b) सदिश A और B के ग्राफिकल जोड़ के बाद। (c) सदिश B और A के ग्राफिकल जोड़ के बाद। (d) सदिश जोड़ के साहचार नियम को दर्शाता है।

सदिशों के जोड़ में साहचार नियम भी मान्य होता है, जैसा कि चित्र 3.4(d) में दिखाया गया है। सदिश A और B के जोड़ के परिणाम के बाद सदिश C के जोड़ के परिणाम और सदिश B और C के जोड़ के परिणाम के बाद सदिश A के जोड़ के परिणाम समान होते हैं:

$$ \begin{equation*} (\mathbf{A}+\mathbf{B})+\mathbf{C}=\mathbf{A}+(\mathbf{B}+\mathbf{C}) \tag{3.2} \end{equation*} $$

दो समान और विपरीत सदिशों के जोड़ का परिणाम क्या होता है? चित्र 3.3(b) में दिखाए गए दो सदिश A और –A की बात करें। उनका योग A + (–A) होता है। क्योंकि दोनों सदिशों के परिमाण समान होते हैं, लेकिन दिशाएँ विपरीत होती हैं, इसलिए परिणामी सदिश का परिमाण शून्य होता है और इसे 0 द्वारा प्रदर्शित किया जाता है, जिसे शून्य सदिश या शून्य सदिश कहते हैं:

$$\mathbf{A}-\mathbf{A}=\mathbf{0} \qquad |\mathbf{0}|=0 \tag{3.3}$$

एक शून्य सदिश के परिमाण शून्य होता है, इसलिए इसकी दिशा निर्धारित नहीं की जा सकती। जब हम एक सदिश A को संख्या शून्य से गुणा करते हैं तो भी शून्य सदिश प्राप्त होता है। 0 के मुख्य गुण हैं :

$$ \begin{align*} & \mathbf{A}+\mathbf{0}=\mathbf{A} \\ & \lambda \mathbf{0}=\mathbf{0} \\ & 0 \mathbf{A}=\mathbf{0} \tag{3.4} \end{align*} $$

शून्य सदिश के भौतिक अर्थ क्या है? चित्र 3.1(a) में एक तल में स्थिति और विस्थापन सदिश की व्याख्या करें। अब मान लीजिए कि एक वस्तु समय t पर P पर होती है, फिर P′ तक चली जाती है और फिर P पर वापस आ जाती है। तब इसका विस्थापन क्या होगा? क्योंकि आरंभिक और अंतिम स्थिति समान है, विस्थापन एक “शून्य सदिश” होता है।

सदिशों के घटाव को सदिशों के जोड़ के आधार पर परिभाषित किया जा सकता है। हम दो सदिश A और B के अंतर को A और –B के योग के रूप में परिभाषित करते हैं :

$$ \begin{equation*} \mathbf{A}-\mathbf{B}=\mathbf{A}+(-\mathbf{B}) \tag{3.5} \end{equation*} $$

\end{equation*} $$

चित्र 3.5 में दिखाया गया है। सदिश $-\mathbf{B}$ को सदिश $\mathbf{A}$ के साथ जोड़ा जाता है ताकि $\mathbf{R} _{2}=(\mathbf{A}-\mathbf{B})$ प्राप्त हो। तुलना के लिए इसी चित्र में सदिश $\mathbf{R} _{1}=\mathbf{A}+\mathbf{B}$ को भी दिखाया गया है। हम दो सदिशों $\mathbf{A}$ और $\mathbf{B}$ के योग को खोजने के लिए समांतर चतुर्भुज विधि का उपयोग भी कर सकते हैं। मान लीजिए हमें दो सदिश $\mathbf{A}$ और $\mathbf{B}$ हैं। इन सदिशों को जोड़ने के लिए हम उनके शीर्षों को एक सामान उत्सर्जन $\mathrm{O}$ पर लाए जाते हैं जैसा कि चित्र 3.6(a) में दिखाया गया है। फिर हम $\mathbf{A}$ के शीर्ष से $\mathbf{B}$ के समानांतर एक रेखा खींचते हैं और $\mathbf{B}$ के शीर्ष से $\mathbf{A}$ के समानांतर एक अन्य रेखा खींचते हैं ताकि समांतर चतुर्भुज OQSP पूरा हो जाए। अब हम इन दो रेखाओं के प्रतिच्छेद बिंदु को उत्सर्जन O तक जोड़ते हैं। परिणामी सदिश R उत्सर्जन O से चतुर्भुज के विकर्ण (OS) के अनुदिश दिशा में होती है [चित्र 3.6(b)]। चित्र 3.6(c) में A और B के परिणामी को त्रिभुज नियम का उपयोग करके प्राप्त किया गया है और हम देखते हैं कि दोनों विधियाँ समान परिणाम देती हैं। इसलिए, दोनों विधियाँ तुलनीय हैं।

चित्र 3.5 (a) दो सदिश A और B, – B भी दिखाए गए हैं। (b) सदिश B को सदिश A से घटाने पर परिणाम $R_2$ होता है। तुलना के लिए, सदिश A और B के योग, अर्थात $R_1$ भी दिखाए गए हैं।

चित्र 3.6 (a) दो सदिश A और B जिनके शीर्ष एक सामान्य मूल बिंदु पर लाए गए हैं। (b) समानांतर चतुर्भुज विधि का उपयोग करके प्राप्त योग A + B। (c) सदिश योग के समानांतर चतुर्भुज विधि के त्रिभुज विधि के समान होती है।

उदाहरण 3.1 बरसात ऊर्ध्वाधर दिशा में 35 मी/से की गति से गिर रही है। कुछ समय बाद बात उत्तर से दक्षिण दिशा में 12 मी/से की गति से बहने लगती है। बस स्टॉप पर इंतजार कर रहे लड़के को अपना छात्र बरसात के लिए किस दिशा में रखना चाहिए?

उत्तर वर्षा के वेग और हवा के वेग को चित्र 3.7 में सदिश $\mathbf{v_r}$ और $\mathbf{v_w}$ द्वारा प्रदर्शित किया गया है और ये समस्या द्वारा निर्दिष्ट दिशा में हैं। सदिश जोड़ के नियम का उपयोग करके, हम देखते हैं कि $\mathbf{v_r}$ और $\mathbf{v_w}$ के परिणामी $\mathrm{R}$ है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। $\mathrm{R}$ के परिमाण के लिए

$$ R=\sqrt{v _{r}^{2}+v _{w}^{2}}=\sqrt{35^{2}+12^{2}} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}=37 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} $$

$\mathrm{R}$ के ऊर्ध्वाधर से बनाए गए कोण $\theta$ के लिए निम्नलिखित दिया गया है

$$ \tan \theta=\frac{v _{w}}{v _{r}}=\frac{12}{35}=0.343 $$

या, $\theta=\tan ^{-1}(0.343)=19^{\circ}$

इसलिए, लड़के को अपने छात्र को लगभग $19^{\circ}$ के कोण पर ऊर्ध्वाधर समतल में पूर्व की ओर रखना चाहिए।

3.5 सदिशों के वियोजन

मान लीजिए a और b कोई दो गैर-शून्य सदिश हैं जो एक तल में अलग-अलग दिशाओं में हैं और A एक अन्य सदिश है जो उसी तल में है (चित्र 3.8 में)। A को दो सदिशों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है — एक जो a को एक वास्तविक संख्या से गुणा करके प्राप्त किया जाता है और दूसरा जो b को एक अन्य वास्तविक संख्या से गुणा करके प्राप्त किया जाता है। इसे देखने के लिए, मान लीजिए O और P सदिश A के शीर्ष और अंत हैं। फिर, O से एक सीधी रेखा a के समानांतर खींचें और P से एक सीधी रेखा b के समानांतर खींचें। उनके प्रतिच्छेदन बिंदु Q होंगे। तब, हम देखते हैं कि

$$ \begin{equation*} \mathbf{A}=\mathbf{O P}=\mathbf{O} \mathbf{Q}+\mathbf{Q P} \tag{3.6} \end{equation*} $$

लेकिन क्योंकि OQ a के समानांतर है, और QP b के समानांतर है, हम लिख सकते हैं :

$$ \begin{equation*} \mathbf{O} \mathbf{Q}=\lambda \mathbf{a} \text { और } \mathbf{Q P}=\mu \mathbf{b} \tag{3.7} \end{equation*} $$

जहाँ λ और µ वास्तविक संख्याएँ हैं।

इसलिए,

$$\mathbf{A}=\lambda \mathbf{a}+\mu \mathbf{b}\tag{3.8}$$

चित्र 3.8 (a) दो असमानांतर वेक्टर a और b। (b) वेक्टर A को वेक्टर a और b के अनुसार वियोजित करते हुए।

हम कहते हैं कि A को a और b के अनुदिश दो घटक वेक्टर λ a और µ b में वियोजित कर दिया गया है। इस विधि का उपयोग करके एक दिया गया वेक्टर को दो घटक वेक्टर में वियोजित किया जा सकता है, जो दो वेक्टरों के समुच्चय के अनुदिश हों। सभी तीन वेक्टर एक ही तल में होते हैं। एक सामान्य वेक्टर को आयताकार निर्देशांक प्रणाली के अक्षों के अनुदिश वियोजित करना सुविधाजनक होता है। इन वेक्टरों के मापन 1 होता है। ये इकाई वेक्टर कहलाते हैं जिनके बारे में हम अब चर्चा करेंगे। एक इकाई वेक्टर एक इकाई मापन के वेक्टर होता है और एक विशिष्ट दिशा में इंगित करता है। इसके कोई आयाम और इकाई नहीं होती। इसका उपयोग केवल दिशा को निर्दिष्ट करने के लिए किया जाता है। आयताकार निर्देशांक प्रणाली के x-, y- और z-अक्ष के अनुदिश इकाई वेक्टर क्रमशः $\hat{\mathbf{i}}, \hat{\mathbf{j}} \text{ और }\hat{\mathbf{k}}$ द्वारा निरूपित किए जाते हैं, जैसा कि चित्र 3.9(a) में दिखाया गया है।

चूंकि ये इकाई वेक्टर हैं, हम निम्नलिखित लिख सकते हैं:

$$ \begin{equation*} |\hat{\mathbf{i}}|=\hat{\mathbf{j}}|=\hat{\mathbf{k}}|=1 \tag{3.9} \end{equation*} $$

इन इकाई वेक्टरों के बीच एक दूसरे से लंबवत होते हैं। इस पाठ में, वे अन्य वेक्टरों से अलग करने के लिए बोल्ड फेस में छापे जाते हैं और उनके शीर्ष पर (^) का चिह्न होता है। इस अध्याय में हम द्विविमीय गति के साथ काम कर रहे हैं, इसलिए हमें केवल दो इकाई वेक्टरों का उपयोग करना पड़ेगा। यदि हम एक इकाई वेक्टर, जैसे $\hat{\mathbf{n}}$ को एक अदिश संख्या से गुणा करते हैं, तो परिणाम एक वेक्टर $\lambda = \lambda\hat{\mathbf{n}}$ होता है। सामान्य रूप से, एक वेक्टर A को निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है:

$$ \begin{equ } \mathbf{A}=|\mathbf{A}| \hat{\mathbf{n}} \tag{3.10} \end{equation} $$

जहाँ $\hat{\mathbf{n}}$ वेक्टर A के अनुदिश एक इकाई वेक्टर है। अब हम वेक्टर A को इकाई वेक्टर $\hat{\mathbf{i}}$ और $\hat{\mathbf{j}}$ के अनुदिश घटक वेक्टरों के रूप में वियोजित कर सकते हैं। मान लीजिए कि एक वेक्टर A x-y तल में स्थित है जैसा कि चित्र 3.9(b) में दिखाया गया है। हम वेक्टर A के शीर्ष से निर्देशांक अक्षों के लंब रेखाएँ खींचते हैं जैसा कि चित्र 3.9(b) में दिखाया गया है, और वेक्टर $\mathbf{A_1}$ और $\mathbf{A_2}$ प्राप्त करते हैं जैसे कि $\mathbf{A_1} + \mathbf{A_2} = \mathbf{A}$. चूंकि $\mathbf{A_1}$, $\hat{\mathbf{i}}$ के समान्तर है और $\mathbf{A_2}$, $\hat{\mathbf{j}}$ के समान्तर है, हम निम्नलिखित प्राप्त करते हैं :

चित्र 3.9 (a) एकांक वेक्टर $\hat{\mathbf{i}}$ , $\hat{\mathbf{j}}$ और $\hat{\mathbf{k}}$ x-, y- और z-अक्षों के अनुदिश होते हैं। (b) एक वेक्टर A को x- और y- अक्षों के अनुदिश घटकों $A_x$ और $A_y$ में विभाजित किया जाता है। (c) $A_1$ और $A_2$ को $\hat{\mathbf{i}}$ और $\hat{\mathbf{j}}$ के अनुसार व्यक्त किया जाता है।

$$ \begin{equation*} \mathbf{A} _{1}=A _{x} \hat{\mathbf{i}}, \mathbf{A} _{2}=A _{y} \hat{\mathbf{j}} \tag{3.11} \end{equation*} $$

जहाँ $A_x$ और $A_y$ वास्तविक संख्याएँ हैं।

इसलिए, $\hspace{30mm}\mathbf{A}=A_x \dot{\hat{\mathbf{i}}}+A_y \hat{\mathbf{j}}\hspace{64mm} (3.12)$

इसका प्रतिनिधित्व चित्र 3.9(c) में किया गया है। मात्राएँ $A_x$ और $A_y$ वेक्टर A के x- और y- घटक कहलाते हैं। ध्यान दें कि $A_x$ खुद एक वेक्टर नहीं है, लेकिन $A_x \hat{\mathbf{i}}$ एक वेक्टर है और इसी तरह $A_y \hat{\mathbf{j}}$ भी एक वेक्टर है। सरल त्रिकोणमिति का उपयोग करके, हम वेक्टर $\mathbf{A}$ के परिमाण और इसके x-अक्ष के साथ बनाए गए कोण $\theta$ के अनुसार $A_x$ और $A_y$ को व्यक्त कर सकते हैं :

$$ \begin{align*} & A _{x}=A \cos \theta \\ & A _{y}=A \sin \theta \tag{3.13} \end{align*} $$

समीकरण (3.13) से स्पष्ट है कि एक सदिश के घटक धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य हो सकते हैं, जिसकी विशेषता $\theta$ के मान पर निर्भर करती है।

अब, हम एक समतल में एक सदिश $\mathbf{A}$ को दो तरीकों से निर्दिष्ट कर सकते हैं। यह निर्दिष्ट किया जा सकता है :

(i) इसके मान $A$ और इसके $x$-अक्ष के साथ बनाए गए कोण $\theta$; या

(ii) इसके घटक $A_x$ और $A_y$

यदि $\mathrm{A}$ और $\theta$ दिए गए हों, तो $A_x$ और $A_y$ समीकरण (3.13) का उपयोग करके प्राप्त किए जा सकते हैं। यदि $A_x$ और $A_y$ दिए गए हों, तो $A$ और $\theta$ निम्नलिखित तरीके से प्राप्त किए जा सकते हैं :

$$ \begin{equation*} A _{x}^{2}+A _{y}^{ 2}=A^{2} \cos ^{2} \theta+A^{2} \sin ^{2} \theta=A^{2} \tag{3.13} \end{equation*} $$

या, $ \quad \quad \quad A=\sqrt{A_x^2+A_y^2} \hspace{86mm} (3.14) $

और $ \quad \quad \quad \tan \theta=\frac{A_y}{A_x}, \quad \theta=\tan ^{-1} \frac{A_y}{A_x} \hspace{68mm} (3.15) $

हम अब तक एक सदिश के एक x-y तल में रहने के बारे में विचार कर चुके हैं। तीन विमाओं में एक सामान्य सदिश A को तीन घटकों में विभाजित करने के लिए इसी प्रक्रिया का उपयोग किया जा सकता है। यदि $\alpha$, $\beta$, और $\gamma$ क्रमशः A और x-, y-, और z-अक्ष के बीच के कोण हों [चित्र 3.9(d)] तो हमारे पास

चित्र 3.9 (d) एक सदिश A को x-, y- और z-अक्ष के अनुदिश घटकों में विभाजित करते हुए

$ \mathrm{A_x}=\mathrm{A} \cos \alpha, \mathrm{A_y}=\mathrm{A} \cos \beta, \mathrm{A_z}=\mathrm{A} \cos \gamma\hspace{42mm} \text { (3.16a) } $

आमतौर पर, हम निम्नलिखित रखते हैं

$ \hspace{20mm}\mathbf{A}=A_x \hat{\mathbf{i}}+A_y \hat{\mathbf{j}}+A_z \hat{\mathbf{k}} \hspace{50mm} \text { (3.16b) } $

सदिश $\mathbf{A}$ के परिमाण को

$ \hspace{20mm}A=\sqrt{A_x^2+A_y^2+A_z^2} \hspace{52mm} \text { (3.16c) } $

एक स्थिति सदिश $\mathbf{r}$ को निम्नलिखित रूप में व्यक्त किया जा सकता है

$ \hspace{20mm}\mathbf{r}=x \hat{\mathbf{i}}+y \hat{\mathbf{j}}+z \hat{\mathbf{k}} \hspace{59mm} \text { (3.17) } $

जहाँ $x, y$, और $z$ क्रमशः $x-, y-, z$-अक्ष के अनुदिश $\mathbf{r}$ के घटक हैं।

3.6 सदिशों का जोड़ - विश्लेषणात्मक विधि

हालांकि, सदिशों के जोड़ के ग्राफिकल विधि हमें सदिशों और परिणामी सदिश को देखने में सहायता करती है, लेकिन यह कभी-कभी बोरिंग हो सकती है और उसकी निश्चितता सीमित होती है। यह बहुत आसान हो जाता है अपने अनुकूल घटकों के साथ सदिशों को जोड़ना। मान लीजिए दो सदिश $\mathbf{A}$ और $\mathbf{B}$, $x-y$ तल में हैं जिनके घटक $A_x, A_y$ और $B_x, B_y$ हैं:

$ \hspace{10mm}\mathbf{A}=A_x \hat{\mathbf{i}}+A_y \hat{\mathbf{j}} \hspace{81mm}\text { (3.18) } $

$ \hspace{10,0}\mathbf{B}=B_x \hat{\mathbf{i}}+B_y \hat{\mathbf{j}} $

मान लीजिए $\mathbf{R}$ उनका योग है। हमारे पास है

$ \begin{aligned} \hspace{10mm}\mathbf{R} & =\mathbf{A}+\mathbf{B} \\ & =\left(A_x \hat{\mathbf{i}}+A_y \hat{\mathbf{j}}\right)+\left(B_x \hat{\mathbf{i}}+B_y \hat{\mathbf{j}}\right) \hspace{52mm} \text { (3.19a) } \end{aligned} $

चूंकि सदिश अदिश और साहचर्य के कानून पालन करते हैं, हम उपयोग के अनुसार समीकरण (3.19a) में सदिशों को व्यवस्थित और पुनर्गठित कर सकते हैं :

$$ \begin{equation*} \hspace{13mm}\mathbf{R}=\left(A _{x}+B _{x}\right) \hat{\mathbf{i}}+\left(A _{y}+B _{y}\right) \hat{\mathbf{j}} \hspace{45mm}(3.19b) \end{equation*} $$

चूंकि $\mathbf{R}=R_x \hat{\mathbf{i}}+R_y \hat{\mathbf{j}} \hspace{83mm}\text { (3.20) }$

हमारे पास, $R_x=A_x+B_x, R_y=A_y+B_y \hspace{57mm} \text { (3.21) }$

इस प्रकार, परिणामी सदिश $\mathbf{R}$ के प्रत्येक घटक, $\mathbf{A}$ और $\mathbf{B}$ के संगत घटकों के योग होते हैं।

तीन आयामों में हमारे पास है

$ \begin{aligned} &\hspace{20mm} \mathbf{A}=A_x \hat{\mathbf{i}}+A_y \hat{\mathbf{j}}+A_z \hat{\mathbf{k}} \\ & \hspace{20mm}\mathbf{B}=B_x \hat{\mathbf{i}}+B_y \hat{\mathbf{j}}+B_z \hat{\mathbf{k}} \\ & \hspace{30mm}\mathbf{R}=\mathbf{A}+\mathbf{B}=R_x \hat{\mathbf{i}}+R_y \hat{\mathbf{j}}+R_z \hat{\mathbf{k}} \end{aligned} $

$ \begin{aligned} \text{साथ ही}\quad & R_x=A_x+B_x \\ & R_y=A_y+B_y \\ & R_z=A_z+B_z \hspace{82mm} (3.22) \end{aligned} $

इस विधि को किसी भी संख्या के सदिशों के जोड़ और घटाव के लिए विस्तारित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि सदिश $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ और $\mathbf{c}$ निम्नलिखित रूप में दिए गए हैं

$ \begin{aligned} & \hspace{10mm}\mathbf{a}=a_x \hat{\mathbf{i}}+a_y \hat{\mathbf{j}}+a_z \hat{\mathbf{k}} \\ & \hspace{10mm}\mathbf{b}=b_x \hat{\mathbf{i}}+b_y \hat{\mathbf{j}}+b_z \hat{\mathbf{k}} \\ & \hspace{10mm}\mathbf{c}=c_x \hat{\mathbf{i}}+c_y \hat{\mathbf{j}}+c_z \hat{\mathbf{k}} \hspace{74mm} (3.23a) \end{aligned} $

तो, एक सदिश $\mathbf{T}=\mathbf{a}+\mathbf{b}-\mathbf{c}$ के घटक हैं :

$ \begin{aligned} & \hspace{10mm}T_x=a_x+b_x-c_x \\ & \hspace{10mm}T_y=a_y+b_y-c_y \hspace{77mm} (3.23b) \\ & \hspace{10.0mm}T_z=a_z+b_z-c_z . \end{aligned} $

उदाहरण 3.2 दो सदिशों A और B के परिणामी के परिमाण और दिशा को उनके परिमाण और उनके बीच कोण θ के अनुसार ज्ञात कीजिए

उत्तर मान लीजिए OP और OQ दो सदिशों A और B को निरूपित करते हैं जो कोण θ बनाते हैं (चित्र 4.10)। तब, सदिश जोड़ के समानांतर चतुर्भुज विधि का उपयोग करके, OS परिणामी सदिश R को निरूपित करता है :

$ \hspace{10mm}\mathbf{R}=\mathbf{A}+\mathbf{B} $

$S N$ $O P$ के लम्बवत है और $P M$ $O S$ के लम्बवत है। चित्र के ज्यामिति से,

$ \begin{aligned} &O S^2=O N^2+S N^2 \\ \text{लेकिन}\quad & O N=O P+P N=A+B \cos \theta \\ & S N=B \sin \theta \\ & O S^2=(A+B \cos \theta)^2+(B \sin \theta)^2 \end{aligned}

$

$ \text{या}\quad R^2=A^2+B^2+2 A B \cos \theta $

$ R=\sqrt{A^2+B^2+2 A B \cos \theta}\hspace{73mm}$ (3.24a)

$\Delta\mathrm{OSN},\quad$ $SN=OS \sin \alpha=R \sin \alpha$, $\ \Delta \mathrm{PSN},\quad\mathrm{SN}=P \mathrm{~S} \sin \theta=B \sin \theta$
इसलिए, $R \sin \alpha=B \sin \theta$

या, $\quad\frac{R}{\sin \theta}=\frac{B}{\sin \alpha} \hspace{91mm} $ (3.24b)

इसी तरह,

$ \mathrm{PM}=A \sin \alpha=B \sin \beta $

या, $\quad\frac{A}{\sin \beta}=\frac{B}{\sin \alpha} \hspace{91mm} $ (3.24c)

समीकरण (3.24b) और (3.24c) को मिलाने पर हम प्राप्त करते हैं

$ \quad\quad\frac{R}{\sin \theta}=\frac{A}{\sin \beta}=\frac{\mathrm{B}}{\sin \alpha} \hspace{82mm} (3.24d) $

समीकरण (3.24d) का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

$ \quad\quad\sin \alpha=\frac{B}{R} \sin \theta \hspace{87mm} (3.24e) $

जहाँ $R$ समीकरण (3.24a) द्वारा दिया गया है।

$ \text { या, } \tan \alpha=\frac{SN}{OP+PN}=\frac{B \sin \theta}{A+B \cos \theta} \hspace{70mm}$ (3.24f)

समीकरण (3.24a) परिणाम के परिमाण को देता है और समीकरण (3.24e) और (3.24f) इसकी दिशा को देते हैं। समीकरण (3.24a) को कोसाइन के नियम के रूप में जाना जाता है और समीकरण (3.24d) को साइन के नियम के रूप में जाना जाता है।

उदाहरण 3.3 एक मोटर बोट उत्तर की ओर 25 किमी/घंटा की गति से दौड़ रही है और उस क्षेत्र में जल धारा की गति 10 किमी/घंटा है जो 60° पूर्व के दक्षिण की ओर है। बोट की परिणामी गति ज्ञात कीजिए।

उत्तर मोटर बोट की गति को वेक्टर $\mathbf{v_b}$ और जल धारा की गति को वेक्टर $\mathbf{v_c}$ द्वारा प्रदर्शित किया गया है जो समस्या में दिए गए दिशाओं में चित्र 3.11 में दिखाए गए हैं। समान्तर चतुर्भुज विधि के अनुसार जोड़ का उपयोग करके, परिणामी $\mathbf{R}$ चित्र में दिखाए गए दिशा में प्राप्त किया जाता है।

हम $\mathbf{R}$ के परिमाण को कोसीन के नियम का उपयोग करके प्राप्त कर सकते हैं:

$ \begin{aligned} & \quad R=\sqrt{v_{\mathrm{b}}^2+v_{\mathrm{c}}^2+2 v_{\mathrm{b}} v_{\mathrm{c}} \cos 120^{\circ}} \\ \= & \sqrt{25^2+10^2+2 \times 25 \times 10(-1 / 2)} \cong 22 \mathrm{~km} / \mathrm{h} \end{aligned} $

दिशा के लिए हम त्रिकोणमिति के नियम का उपयोग करते हैं।

$ \begin{aligned} & \quad\quad\quad\frac{R}{\sin \theta}=\frac{v_c}{\sin \phi} \text { या, } \sin \phi=\frac{v_c}{R} \sin \theta \\ \& \quad\quad=\frac{10 \times \sin 120^{\circ}}{21.8}=\frac{10 \sqrt{3}}{2 \times 21.8} \equiv 0.397 \\ \& \quad\quad\quad\phi \equiv 23.4^{\circ} \end{aligned} $

3.7 समतल में गति

इस अनुच्छेद में हम द्वि-विमीय गति को सदिशों के माध्यम से कैसे वर्णित किया जा सकता है, इसकी व्याख्या करेंगे।

3.7.1 स्थिति सदिश और विस्थापन

एक तल में स्थित कण P के संदर्भ में मूल बिंदु के संबंध में स्थिति सदिश r निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है:

$\quad\quad\quad\quad\quad\mathbf{r} = x\mathbf{\hat{i}} + y \mathbf{\hat{j}}$

जहाँ x और y, r के x- और y- अक्ष के अनुदिश घटक हैं या बस वस्तु के निर्देशांक हैं।

चित्र 3.12 (a) स्थिति सदिश r। (b) विस्थापन ∆r और

औसत वेग v के कण के।

मान लीजिए एक कण चित्र में बताए गए बांध के अनुसार गति करता है और समय $t$ पर $\mathrm{P}$ बिंदु पर तथा समय $t^{\prime}$ पर $\mathrm{P}^{\prime}$ बिंदु पर होता है [चित्र 3.12(b)]। तब, विस्थापन है :

$\quad\quad\quad\quad\quad\Delta \mathbf{r}=\mathbf{r}^{\prime}-\mathbf{r} \hspace{80mm}$ (3.25)

जो $\mathrm{P}$ से $\mathrm{P}^{\prime}$ की ओर दिशा में होता है।

हम उपांग रूप में समीकरण (3.25) को लिख सकते हैं:

$ \begin{array}{r} \hspace{15mm}\Delta \mathbf{r}=\left(x^{\prime} \hat{\mathbf{i}}+y^{\prime} \hat{\mathbf{j}}\right)-(x \hat{\mathbf{i}}+y \hat{\mathbf{j}}) \ =\hat{\mathbf{i}} \Delta x+\hat{\mathbf{j}} \Delta y \end{array} $

जहाँ $\quad\quad\Delta x=x^{\prime}-x, \Delta y=y^{\prime}-y\hspace{60mm}$ (3.26)

वेग

किसी वस्तु का औसत वेग $(\overline{\mathbf{v}})$ विस्थापन और संगत समय अंतराल के अनुपात होता है :

$$ \begin{equation*} \overline{\mathbf{v}}=\frac{\Delta \mathbf{r}}{\Delta t}=\frac{\Delta x \hat{\mathbf{i}}+\Delta y \hat{\mathbf{j}}}{\Delta t}=\hat{\mathbf{i}} \frac{\Delta x}{\Delta t}+\hat{\mathbf{j}} \frac{\Delta y}{\Delta t} \hspace{44mm}(3.27)

$$ \end{equation*} $$

या, $\quad\quad \overline{\mathbf{v}}=\bar{v}_x \hat{\mathbf{i}}+\bar{v}_y \hat{\mathbf{j}}$

चूंकि $\overline{\mathbf{v}}=\frac{\Delta \mathbf{r}}{\Delta t}$, औसत वेग की दिशा $\Delta \mathbf{r}$ की दिशा के समान होती है (चित्र 3.12)। वेग (स्थानीय वेग) को वह सीमा माना जाता है जब समय अंतर शून्य के निकट आता है :

$$ \begin{equation*} \mathbf{v}=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \mathbf{r}}{\Delta t}=\frac{\mathrm{d} \mathbf{r}}{\mathrm{d} t}\hspace{70mm}(3.28) \end{equation*} $$

सीमा प्रक्रिया का अर्थ चित्र 3.13 (a) से (d) की सहायता से आसानी से समझा जा सकता है। इन चित्रों में, मोटी रेखा एक वस्तु के पथ को दर्शाती है, जो समय $t$ पर $\mathrm{P}$ पर होती है। $\mathrm{P}_1, \mathrm{P}_2$ और $\mathrm{P}_3$ वस्तु के उस समय के बाद के स्थान को दर्शाते हैं जबकि $\Delta t_1, \Delta t_2$ और $\Delta t_3$ के समय होते हैं। $\Delta \mathbf{r}_1, \Delta \mathbf{r}_2$ और $\Delta \mathbf{r}_3$ वस्तु के क्रमशः $\Delta t_1, \Delta t_2$ और $\Delta t_3$ समय में विस्थापन को दर्शाते हैं। औसत वेग $\overline{\mathbf{v}}$ की दिशा चित्र (a), (b) और (c) में तीन घटते हुए मानों $\Delta t$ के लिए दिखाई गई है, अर्थात $\Delta t_1, \Delta t_2$ और $\Delta t_3$ $\left(\Delta t_1>\Delta t_2>\Delta t_3\right)$. जब $\Delta t \rightarrow 0, \Delta \mathbf{r} { \rightarrow} 0$ और यह पथ के स्पर्शरेखा के अनुदिश होता है [चित्र 3.13(d)]। अतः, किसी वस्तु के पथ के किसी बिंदु पर वेग की दिशा उस बिंदु पर पथ के स्पर्शरेखा के अनुदिश होती है और गति की दिशा में होती है।

हम $\mathbf{v}$ को घटक रूप में व्यक्त कर सकते हैं :

चित्र 3.13 समय अंतराल ∆t शून्य के निकट आ जाने पर, औसत वेग $\mathbf{v}$ के निकट आ जाता है। $\overline {\mathbf{v}}$ की दिशा पथ के स्पर्शरेखा के समानांतर होती है।

$$ \begin{align*} \mathbf{v} & =\frac{\mathrm{d} \mathbf{r}}{\mathrm{d} t} \\ \& =\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \left( \frac{\Delta x}{\Delta t} \hat{\mathbf{i}}+\frac{\Delta y}{\Delta t} \hat{\mathbf{j}}\right) \hspace{55mm} (3.29) \\ \& =\hat{\mathbf{i}} \lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}+\hat{\mathbf{j}} \lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta t} \end{align*} $$

$\quad\quad $ या, $\quad\quad \mathbf{v}=\hat{\mathbf{i}} \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}+\hat{\mathbf{j}} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t}=v_x \hat{\mathbf{i}}+v_y \hat{\mathbf{j}}$.

$\quad\quad$ जहाँ $ \quad v_x=\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}, v_y=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t} \hspace{85mm} \text{(3.30a)}$

इसलिए, यदि निर्देशांक $x$ और $y$ के समय के फलन के रूप में ज्ञात हों, तो हम इन समीकरणों का उपयोग करके $v_x$ और $v_y$ ज्ञात कर सकते हैं।

$\mathbf{v}$ के परिमाण के लिए तो

$$ v=\sqrt{v_x^2+v_y^2} \hspace{77mm} \text{(3.30b)} $$

और $\mathbf{v}$ की दिशा को कोण $\theta$ द्वारा दिया जाता है :

$$ \tan \theta=\frac{v_y}{v_x}, \quad \theta=\tan ^{-1}\left(\frac{v_y}{v_x}\right) \hspace{52mm} \text{(3.30c)} $$

$V_x, V_y$ और कोण $\theta$ चित्र 3.14 में एक बिंदु $\mathbf{p}$ पर वेग सदिश $\mathbf{v}$ के लिए दिखाए गए हैं।

चित्र 3.14 वेग v के घटक $v_x$ और $v_y$ और इसके x-अक्ष के साथ बनाए गए कोण θ। ध्यान दें कि $v_x$ = v cos θ, $v_y$ = v sin θ।

त्वरण

औसत त्वरण $ \overline{\mathbf{a}} $ एक वस्तु के $ x-y $ तल में एक समय अंतराल $ \Delta t $ में गति के दौरान वेग में परिवर्तन को समय अंतराल से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है :

$$ \overline{\mathbf{a}}=\frac{\Delta \mathbf{v}}{\Delta \mathrm{t}}=\frac{\Delta\left(v_x \hat{\mathbf{i}}+v_y \hat{\mathbf{j}}\right)}{\Delta t}=\frac{\Delta v_x}{\Delta t} \hat{\mathbf{i}}+\frac{\Delta v_y}{\Delta t} \hat{\mathbf{j}} \hspace{32mm} \text{(3.31a)} $$

$\hspace{20mm} Or, \quad \quad\overline{\mathbf{a}}=a_x \hat{\mathbf{i}}+a_y \hat{\mathbf{j}}\hspace{77mm}\text{(3.31b)}$

$*$ $ x $ और $ y $ के संदर्भ में, $ a_x $ और $ a_y $ को निम्नलिखित रूप में व्यक्त किया जा सकता है :

$$ a_x=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}\right)=\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{~d} t^2}, a_y=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t}\right)=\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} t^2}\hspace{55mm} $$

त्वरण (स्थानीय त्वरण) वह सीमांत मान है जो औसत त्वरण के रूप में देखा जाता है जब समय अंतराल शून्य के निकट आता है :

$$ \begin{equation*} \mathbf{a}=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \mathbf{v}}{\Delta t}\hspace{79mm} (3.32a) \end{equation*} $$

क्योंकि $\Delta \boldsymbol{v}=\Delta v_x \hat{\mathbf{i}}+\Delta v_y \hat{\mathbf{j}}$, हमारे पास है

$$ \mathbf{a}=\hat{\mathbf{i}} \lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta v_x}{\Delta t}+\hat{\mathbf{j}} \lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta v_y}{\Delta t}\hspace{66mm} $$

$ \hspace{20mm}या, $ $$ \begin{equation*}

\mathbf{a}=\hat{\mathbf{i}} a _{x}+\hat{\mathbf{j}} a _{y}\hspace{79mm}(3.32b) \end{equation*} $$

$ \hspace{15mm}जहाँ, $ $$a_x=\frac{\mathrm{d} v_x}{\mathrm{~d} t}, a_y=\frac{\mathrm{d} v_y}{\mathrm{~d} t} \hspace{70mm} \text{(3.32c)}$$

चाल के मामले में जैसे, हम ग्राफ पर वस्तु के गति के पथ को दर्शाने वाले ग्राफ में तय करने के लिए उपयोग किए गए सीमा प्रक्रिया को ग्राफिकल रूप से समझ सकते हैं। यह चित्र 3.15 (a) से (d) में दिखाया गया है। $\mathrm{P}$ समय $t$ पर वस्तु की स्थिति को दर्शाता है और $\mathrm{P}_1, \mathrm{P}_2, \mathrm{P}_3$ क्रमशः समय $\Delta t_1, \Delta t_2$, $\Delta t_3$ के बाद की स्थिति को दर्शाते हैं $\left(\Delta t_1>\Delta t_2>\Delta t_3\right)$. चित्र 3.15 (a), (b) और (c) में बिंदु $\mathrm{P}, \mathrm{P}_1, \mathrm{P}_2, \mathrm{P}_3$ पर वेग सदिश भी दिखाए गए हैं। प्रत्येक मामले में $\Delta t$ के लिए, $\Delta \mathbf{v}$ को सदिश जोड़ के त्रिकोण नियम का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है। परिभाषा के अनुसार, औसत त्वरण की दिशा $\Delta \mathbf{v}$ के समान होती है। हम देखते हैं कि जैसे $\Delta t$ कम होता जाता है, $\Delta \mathbf{v}$ की दिशा बदल जाती है और इसलिए, त्वरण की दिशा भी बदल जाती है। अंत में, सीमा $\Delta t \rightarrow 0$ [चित्र 3.15(d)] में, औसत त्वरण के रूप में तात्कालिक त्वरण बन जाता है और दिशा जैसे दिखाया गया है।

चित्र 3.15 तीन समय अंतरालों $(a) ∆t_1 , (b) ∆t_2 , और (c) ∆t_3 , (∆t_1> ∆t_2> ∆t_3 ) के औसत त्वरण, (d) जब $∆t\rightarrow 0,$ तो औसत त्वरण त्वरण बन जाता है

ध्यान दें कि एक आयाम में, वस्तु की चाल और त्वरण हमेशा एक ही सीधी रेखा में होती है (या एक ही दिशा में या विपरीत दिशा में)। हालांकि, दो या तीन आयामों में गति के लिए, वेग और त्वरण के सदिश के बीच कोण 0° और 180° के बीच कोई भी हो सकता है।

उदाहरण 3.4 एक कण की स्थिति निम्नलिखित द्वारा दी गई है

$$ \mathbf{r}=3.0 t \hat{\mathbf{i}}+2.0 t^2 \hat{\mathbf{j}}+5.0 \hat{\mathbf{k}} $$

जहाँ $t$ सेकंड में है और गुणांक $\mathbf{r}$ के मीटर में होने के लिए उचित इकाई रखते हैं। (a) कण के $\mathbf{v}(t)$ और $\mathbf{a}(t)$ ज्ञात कीजिए। (b) $t=1.0 \mathrm{~s}$ पर $\mathbf{v}(t)$ के परिमाण और दिशा ज्ञात कीजिए।

उत्तर

$$ \begin{aligned} \mathbf{v}(t) & =\frac{\mathrm{d} \mathbf{r}}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(3.0 t \hat{\mathbf{i}}+2.0 t^{2} \hat{\mathbf{j}}+5.0 \hat{\mathbf{k}}\right) \\ & =3.0 \hat{\mathbf{i}}+4.0 t \hat{\mathbf{j}} \\ \mathbf{a}(t) & =\frac{\mathrm{d} \mathbf{v}}{\mathrm{d} t}=4.0 \hat{\mathbf{j}} \\ a & =4.0 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2} \text{ लंबवत } y\text{-दिशा में} \\ At\quad t & =1.0 \mathrm{~s}\quad \mathbf{v}=3.0 \hat{\mathbf{i}}+4.0 \hat{\mathbf{j}} \end{aligned} $$

इसका परिमाण $v=\sqrt{3^2+4^2}=5.0 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ है और दिशा है

$\theta=\tan ^{-1}\left(\frac{v_y}{v_x}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{4}{3}\right) \cong 53^{\circ} \text { x-अक्ष के साथ }.$

3.8 स्थिर त्वरण के साथ तल में गति

मान लीजिए कि एक वस्तु $x-y$ तल में गति कर रही है और इसका त्वरण $\mathbf{a}$ स्थिर है। समय के किसी अंतराल में औसत त्वरण इस स्थिर मान के बराबर होगा। अब, मान लीजिए कि वस्तु के वेग को $t=0$ के समय $\mathbf{v}_0$ और $t$ के समय $\mathbf{v}$ है। तब, परिभाषा के अनुसार

$$\mathbf{a}=\frac{\mathbf{v}-\mathbf{v_0}}{t-0}=\frac{\mathbf{v}-\mathbf{v_0}}{t} \hspace{90mm} $$

$\hspace{30mm}$ या, $\quad \mathbf{v}=\mathbf{v}_{\mathbf{0}}+\mathbf{a} t \hspace{65mm} \text(3.33a)$

अक्षों के संदर्भ में :

$$ \begin{aligned} & v_x=v_{a x}+a_x t \\ & v_y=v_{\text {oy }}+a_y t \hspace{60mm} \text(3.33b) \end{aligned} $$

अब हम अपने समय के साथ स्थिति $\mathbf{r}$ कैसे बदलती है इसकी खोज करेंगे। हम एक विमीय मामले में उपयोग किए गए विधि का अनुसरण करेंगे। मान लीजिए $\mathbf{r}_0$ और $\mathbf{r}$ कण के समय 0 और $t$ पर स्थिति सदिश हैं और इन समय बिंदुओं पर वेग $\mathbf{v}_0$ और $\mathbf{v}$ हैं। तब, इस समय अंतराल $t$ में औसत वेग $\left(\mathbf{v}_0+\mathbf{v}\right) / 2$ है। विस्थापन औसत वेग के समय अंतराल से गुणा होता है :

$$ \begin{aligned} \mathbf{r}-\mathbf{r_0} & =\left(\frac{\mathbf{v}+\mathbf{v_0}}{2}\right) t=\left(\frac{\left(\mathbf{v_0}+\mathbf{a} t\right)+\mathbf{v_0}}{2}\right) t \\ & =\mathbf{v_0} t+\frac{1}{2} \mathbf{a} t^2

\end{aligned} $$

या, $\quad \mathbf{r}=\mathbf{r}_0+\mathbf{v}_0 t+\frac{1}{2} \mathbf{a} t^2\quad \quad \quad \quad \text{3.34a}$

इसकी आसानी से जांच की जा सकती है कि समीकरण (3.34a) का अवकलज, अर्थात $\frac{\mathrm{d} \mathbf{r}}{\mathrm{d} t}$, समीकरण (3.33a) को देता है और यह भी शर्त को संतुष्ट करता है कि $t=0$ पर $\mathbf{r}=\mathbf{r_0}$ हो। समीकरण (3.34a) को घटक रूप में लिखा जा सकता है जैसा कि नीचे दिखाया गया है:

$$ \begin{aligned} & x=x_0+v_{o x} t+\frac{1}{3} a_x t^2 \\ & y=y_0+v_{o y} t+\frac{1}{2} a_y t^2\hspace{53mm} \text(3.34b) \end{aligned} $$

समीकरण (3.34b) की एक तुरंत व्याख्या यह है कि x- और y- दिशाओं में गति एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से विचार की जा सकती है। अर्थात, एक तल (द्वि-विमाओं) में गति को दो स्वतंत्र एवं एक विमाओं की गति के रूप में विचार किया जा सकता है, जहां दो लंबवत दिशाओं में नियत त्वरण हो। यह एक महत्वपूर्ण परिणाम है और द्वि-विमाओं में वस्तुओं की गति के विश्लेषण में उपयोगी है। तीन विमाओं के लिए भी एक समान परिणाम लागू होता है। अनेक भौतिक स्थितियों में लंबवत दिशाओं के चयन करना आसान होता है, जैसा कि अनुच्छेद 3.9 में प्रक्षेप्य गति के अध्ययन में देखा जाएगा।

उदाहरण 3.5 एक कण $t=0$ पर मूल बिंदु से चलना शुरू करता है और वेग $5.0 \mathrm{i} \quad \mathrm{m } / \mathrm{s}$ होता है तथा $x-y$ तल में गति करता है तथा एक बल के कारण एकसमान त्वरण $(3.0 \hat{\mathbf{i}}+2.0 \hat{\mathbf{j}}) \mathrm{m} / \mathrm{s}^2$ उत्पन्न करता है। (a) जब कण के $x$-निर्देशांक $84 \mathrm{~m}$ होता है तब कण के $y$-निर्देशांक क्या होगा? (b) इस समय कण की चाल क्या होगी?

उत्तर समीकरण (3.34a) से $\mathbf{r}_0=0$ के लिए कण की स्थिति निम्नलिखित द्वारा दी गई है

$$ \begin{aligned} & \mathbf{r}(t)=\mathbf{v}_0 t+\frac{1}{2} \mathbf{a} t^2 \\ & =5.0 \hat{\mathbf{i}} t+(1 / 2)(3.0 \hat{\mathbf{i}}+2.0 \hat{\mathbf{j}}) t^2 \end{aligned} $$

$$ =\left(5.0 t+1.5 t^2\right) \hat{\mathbf{i}}+1.0 t^2 \hat{\mathbf{j}} $$

$ \begin{aligned}\hspace{40mm} \text{इसलिए, }\ \quad & x(t)=5.0 t+1.5 t^2 \\ & y(t)=+1.0 t^2 \end{aligned} $

$ \begin{aligned}\hspace{40mm} \text{दिया गया है }& x(t)=84 \mathrm{~m}, t=? \\ & 5.0 t+1.5 t^2=84 \Rightarrow t=6 \mathrm{~s}

\end{aligned} $

$\hspace{40mm}$ $t=6 \mathrm{~s}$ पर, $y=1.0(6)^2=36.0 \mathrm{~m}$

$\hspace{40mm}$ अब, वेग $\mathbf{v}=\frac{\mathrm{d} \mathbf{r}}{\mathrm{d} t}=(5.0+3.0 t) \hat{\mathbf{i}}+2.0 t \hat{\mathbf{j}}$

$\hspace{40mm}$ $t=6 \mathbf{s}$ पर, $\mathbf{v}=23.0 \hat{\mathbf{i}}+12.0 \hat{\mathbf{j}}$

$\hspace{40mm} \text { चाल }=|\mathbf{v}|=\sqrt{23^2+12^2} \cong 26 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} \text {. }$

3.9 प्रक्षेप्य गति

पिछले अनुच्छेदों में विकसित विचारों के एक अनुप्रयोग के रूप में, हम प्रक्षेप्य की गति को विचार करते हैं। एक वस्तु जो फेंके या प्रक्षेपित होने के बाद उड़ रही हो, को प्रक्षेप्य कहा जाता है। ऐसा प्रक्षेप्य एक फुटबॉल, क्रिकेट बॉल, बेसबॉल या कोई अन्य वस्तु हो सकती है। प्रक्षेप्य की गति को दो अलग-अलग, एक साथ होने वाले गति के घटकों के परिणाम के रूप में समझा जा सकता है। एक घटक क्षैतिज दिशा में बिना किसी त्वरण के होता है और दूसरा ऊर्ध्वाधर दिशा में गुरुत्वाकर्षण बल के कारण नियत त्वरण के साथ होता है। यह गैलीलियो ने अपने बड़े विश्व प्रणालियों के संवाद (1632) में पहले इस तथ्य को बताया था कि प्रक्षेप्य गति के क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटक स्वतंत्र होते हैं।

हमारे विवाद में, हम मान लेंगे कि हवा के प्रतिरोध का प्रक्षेप्य के गति पर कोई नगण्य प्रभाव नहीं होता। मान लीजिए कि प्रक्षेप्य को वेग $\mathbf{v} _0$ से छोड़ा जाता है जो $x$-अक्ष के साथ $\theta _{\text {a }}$ का कोण बनाता है जैसा कि चित्र 3.16 में दिखाया गया है।

प्रक्षेपण के बाद, वस्तु पर कार्य करने वाला त्वरण गुरुत्वाकर्षण के कारण होता है जो ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर दिशा में होता है:

$$ \begin{array}{ll} & \mathbf{a}=-g \hat{\mathbf{j}} \\ \text { या, } \quad & a_x=0, a_y=-g \hspace{48mm} \text(3.35) \end{array} $$

आरंभिक वेग $\mathbf{v}_{\mathrm{o}}$ के घटक हैं :

$$ \begin{aligned}\quad\quad\quad & V_{a x}=V_o \cos \theta_o \\ & V_{o y}=V_o \sin \theta_o \hspace{55mm} \text(3.36) \end{aligned} $$

यदि हम मान लें कि आरंभिक स्थिति संदर्भ फ्रेम के मूल बिंदु है जैसा कि चित्र 3.16 में दिखाया गया है, तो हमारे पास है :

$$ x_o=0, y_o=0 $$

तब, समीकरण (3.34b) बन जाता है :

$$ \begin{align*} & x=v _{o x} t=\left(v _{0} \cos \theta _{0}\right) t \\ \text{ और, }& y=\left(v _{0} \sin \theta _{0}\right) t-\frac{1}{2} g t^{2} \hspace{61mm}\text (3.37)

\end{align*} $$

समय $t$ पर वेग के घटकों को समीकरण (3.33b) का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है :

$$ \begin{aligned} & V_x=V_{a x}=V_o \cos \theta_o \\ & V_y=V_o \sin \theta_o-g t & \hspace{70mm}\text (3.38) \end{aligned} $$

चित्र 3.16 वेग $\mathbf {v_o}$ के साथ कोण $\theta_o$ पर एक वस्तु के गति का चित्र ।

समीकरण (3.37) एक प्रक्षेप्य के समय $t$ पर स्थिति के $x$- और $y$-निर्देशांक को प्रारंभिक वेग $v_{\mathrm{o}}$ और प्रक्षेपण कोण $\theta_0$ के दो पैरामीटरों के अनुसार देता है। ध्यान दें कि प्रक्षेप्य गति के विश्लेषण के लिए परस्पर लंबवत $x{\text{-, और }} y$- दिशाओं के चयन ने एक सरलीकरण के रूप में योगदान दिया है। वेग के एक घटक, अर्थात $x$- घटक, गति के समान समय तक स्थिर रहता है और केवल $y$- घटक बदलता है, जैसे कि एक वस्तु ऊर्ध्वाधर दिशा में मुक्त गिर रही हो। यह चित्र 3.17 में कुछ क्षणों में ग्राफिकल रूप से दिखाया गया है। ध्यान दें कि उच्चतम ऊंचाई के बिंदु पर $v_y=0$ होता है और इसलिए,

$ \theta=\tan ^{-1} \frac{v_y}{v_x}=0 $

प्रक्षेप्य के पथ का समीकरण

प्रक्षेप्य द्वारा अनुसरित पथ का आकार क्या है? इसे देखने के लिए, समीकरण (3.37) में दिए गए x और y के व्यंजकों में समय को बरकरार रखकर उन्हें आपस में बराबर कर देना होगा। हम प्राप्त करते हैं:

$y=\left(\tan \theta_{\mathrm{o}}\right) x-\frac{g}{2\left(v_{\mathrm{o}} \cos \theta_{\mathrm{o}}\right)^2} x^2 \hspace{70mm}\text{(3.39)}$

अब, क्योंकि $g, \theta_o$ और $v_0$ स्थिरांक हैं, इसलिए समीकरण (3.39) के रूप में $y=a x+b x^2$ है, जहाँ $a$ और $b$ स्थिरांक हैं।

यह एक परवलय का समीकरण है, अर्थात प्रक्षेप्य के पथ के रूप में एक परवलय है (चित्र 3.17)।

चित्र 3.17 प्रक्षेप्य के पथ एक परवलय है।

अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने के लिए समय

प्रक्षेप्य को अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने में कितना समय लगता है? मान लीजिए इस समय को $t_{\mathrm{m}}$ से दर्शाया जाता है। इस बिंदु पर, $v_y=0$ होता है, इसलिए समीकरण (3.38) से हम प्राप्त करते हैं:

$$ \begin{align*} & v _{\mathrm{y}}=v _{0} \sin \theta _{0}-g t _{\mathrm{m}}=0 \\ \text{या, } \qquad& t _{m}=v _{o} \sin \theta _{o} / g \tag{3.40a} \end{align*} $$

प्रक्षेप्य के उड़ान के दौरान कुल समय $T_f$ निकालने के लिए समीकरण (3.37) में $y=0$ रखा जाता है। हम प्राप्त करते हैं :

$$ T_f=2\left(v_o \sin \theta_o\right) / g \hspace{40mm}\text{(3.40b)} $$

$T_f$ को प्रक्षेप्य के उड़ान काल के रूप में जाना जाता है। हम ध्यान देते हैं कि $T_f=2 t_m$, जो वृत्तीय पथ के सममिति के कारण अपेक्षित है।

प्रक्षेप्य की अधिकतम ऊँचाई

प्रक्षेप्य द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $h_m$ की गणना समीकरण (3.37) में $t=t_m$ रखकर की जा सकती है :

$$ \begin{aligned} y=h_m & =\left(v_0 \sin \theta_0\right)\left(\frac{v_0 \sin \theta_0}{g}\right)-\frac{g}{2}\left(\frac{v_0 \sin \theta_0}{g}\right)^2 \ \text { या, } \quad h_m & =\frac{\left(v_0 \sin \theta_0\right)^2}{2 g}\hspace{40mm}(3.41) \end{aligned} $$

प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास

प्रक्षेप्य के आरंभिक स्थिति (x = y = 0) से अपने गिरते हुए बिंदु पर y = 0 पार करते हुए तय की गई क्षैतिज दूरी को क्षैतिज परास, R कहा जाता है। यह उड़ान काल $T_f$ के दौरान तय की गई दूरी है। अतः, परास R उड़ान काल $T_f$ के दौरान तय की गई दूरी है। अतः परास R है

$$ \begin{aligned} R & =\left(v_o \cos \theta_o\right)\left(T_f\right) \\ & =\left(v_o \cos \theta_o\right)\left(2 v_o \sin \theta_o\right) / g \\ \text { या, } \quad R & =\frac{v_O^2 \sin 2 \theta_0}{g} \hspace{40mm} \text{(3.42a)} \end{aligned} $$

समीकरण (3.42a) दर्शाता है कि एक दिए गए प्रक्षेपण वेग $v_0$ के लिए, $R$ का मान जब $\sin$ $2 \theta_0$ अधिकतम होता है, तब अधिकतम होता है, अर्थात जब $\theta_0=45^{\circ}$ होता है। इसलिए, अधिकतम क्षैतिज परास है,

$$ R_m=\frac{v_O^2}{g} \quad\quad\quad\quad \text{(3.42b)} $$

उदाहरण 3.6 गैलीलियो अपनी किताब “दो नए विज्ञान” में लिखते हैं कि “जो ऊंचाई बराबर राशि से 45° से अधिक या कम होती है, उनके परास समान होते हैं।” इस कथन को सिद्ध करें।

उत्तर एक प्रक्षेप्य को वेग $\mathbf{v}_0$ के साथ कोण $\theta_0$ पर छोड़े जाने पर, परास निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है:

$$ R=\frac{v_0^2 \sin 2 \theta_0}{g} $$

अब, कोणों $(45+\alpha)$ और $(45-\alpha)$ के लिए, $2 \theta_0$ क्रमशः $(90+2 \alpha)$ और $(90-2 \alpha)$ होता है। $\sin (90+2 \alpha)$ और $\sin (90-2 \alpha)$ के मान समान होते हैं, जो $\cos 2 \alpha$ के मान के बराबर होते हैं। अतः, जो ऊंचाई 45° से बराबर राशि से अधिक या कम होती है, उनके परास समान होते हैं।

उदाहरण 3.7 एक चोटी के किनारे पर खड़े एक यात्री एक पत्थर को धरती के 490 मीटर ऊपर एक चोटी के किनारे पर खड़े एक यात्री एक पत्थर को धरती के 490 मीटर ऊपर एक सीधी रेखा में 15 मीटर/सेकंड के आरंभिक वेग के साथ फेंकता है। हवा के प्रतिरोध को नगण्य मानते हुए, पत्थर धरती पर पहुंचने में लगा समय और धरती पर पहुंचते समय उसकी गति ज्ञात कीजिए। (g = 9.8 मीटर/सेकंड² लें)।

उत्तर हम चोटी के किनारे पर x- और y- अक्ष के मूल बिंदु को चुनते हैं और t = 0 सेकंड को उस समय को चुनते हैं जब पत्थर फेंका जाता है। x- अक्ष की धनात्मक दिशा को आरंभिक वेग की दिशा में और y- अक्ष की धनात्मक दिशा को ऊर्ध्वाधर ऊपर की दिशा में चुनते हैं। गति के x- और y- घटक आपस में स्वतंत्र रूप से विचार किए जा सकते हैं। गति के समीकरण हैं:

$$ \begin{aligned} & x(t)=x _{0}+v _{o x} t \\ & y(t)=y _{0}+v _{o y} t+(1 / 2) a _{y} t^{2} \end{aligned} $$ यहाँ, $ \quad x _{\mathrm{o}}=y _{\mathrm{o}}=0, v _{\mathrm{oy}}=0, a _{y}=-g=-9.8 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}$

$$ v _{\mathrm{ox}}=15 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}

$$

जब $y(t)=-490 \mathrm{~m}$, तब चट्टान जमीन पर पहुँचती है।

$$ \therefore -490 \mathrm{~m}=-(1 / 2)(9.8) t^2 \text {. } $$

इससे $t=10 \mathrm{~s}$ प्राप्त होता है।

चट्टान के वेग घटक $v_x=v_{o x}$ और

$$v_y=v_{a y}-g t $$

होते हैं, ताकि जब चट्टान जमीन पर पहुँचती है:

$$ \begin{aligned} & V_{a x}=15 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} \\ & V_{a y}=0-9.8 \quad 10=-98 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} \end{aligned} $$

इसलिए, चट्टान की गति की चाल है

$$ \sqrt{v_x^2+v_y^2}=\sqrt{15^2+98^2}=99 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} $$

उदाहरण 3.8 एक क्रिकेट गेंद $28 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ के वेग से 30 डिग्री के कोण पर क्षैतिज से ऊपर फेंकी जाती है। गेंद के (a) अधिकतम ऊंचाई, (b) गेंद के एक ही स्तर पर वापस आने में लगने वाला समय, और (c) फेंकने वाले व्यक्ति से गेंद के एक ही स्तर पर वापस आने वाले बिंदु तक की दूरी की गणना कीजिए।

उत्तर (a) अधिकतम ऊंचाई द्वारा दी जाती है

$$ \begin{aligned} h_m & =\frac{\left(v_o \sin \theta_o\right)^2}{2 g}=\frac{\left(28 \sin 30^{\circ}\right)^2}{2(9.8)} \mathrm{m} \\

$$ & =\frac{14 \times 14}{2 \times 9.8}=10.0 \mathrm{~m} \end{aligned} $$

(b) एक ही स्तर पर वापस आने के लिए लिया गया समय है

$$ \begin{aligned} & T_f=\left(2 v_{\mathrm{o}} \sin \theta_{\mathrm{o}}\right) / g=\left(\begin{array}{lll} 2 & 28 & \sin 30 \end{array}\right) / 9.8 \\ & =28 / 9.8 \mathrm{~s}=2.9 \mathrm{~s} \\ & \end{aligned} $$

(c) फेंकने वाले के से गेंद एक ही स्तर पर वापस आने वाले बिंदु तक की दूरी है

$$ R=\frac{\left(v_{\mathrm{o}}^2 \sin 2 \theta_{\mathrm{o}}\right)}{g}=\frac{28 \times 28 \times \sin 60^{\circ}}{9.8}=69 \mathrm{~m} $$

3.10 समान वृत्तीय गति

जब कोई वस्तु एक निश्चित गति के साथ वृत्ताकार पथ का अनुसरण करती है, तो वस्तु की गति को समान वृत्तीय गति कहा जाता है। शब्द “समान” गति के संदर्भ में है, जो गति के दौरान स्थिर (स्थिर) रहती है। मान लीजिए कि एक वस्तु चित्र 3.18 में दिखाए गए त्रिज्या R के एक वृत्त में समान गति v के साथ गति कर रही है। क्योंकि वस्तु के वेग के दिशा में निरंतर परिवर्तन होता है, वस्तु त्वरण का अनुभव करती है। हम इस त्वरण के परिमाण और दिशा को खोजेंगे।

चित्र 3.18 एक समान वृत्तीय गति में एक वस्तु की वेग और त्वरण। समय अंतराल ∆t (a) से (c) तक कम होता जाता है, जहाँ यह शून्य हो जाता है। त्वरण, पथ के प्रत्येक बिंदु पर वृत्त के केंद्र की ओर दिशा में होता है।

मान लीजिए $\mathbf{r}$ और $\mathbf{r}^{\prime}$ वस्तु के स्थिति सदिश हैं और $\mathbf{v}$ और $\mathbf{v}^{\prime}$ वस्तु के वेग हैं जब वह चित्र 3.18(a) में बिंदु $P$ और $P^{\prime}$ पर होती है। परिभाषा के अनुसार, एक बिंदु पर वेग उस बिंदु की स्पर्श रेखा के अनुदिश गति की दिशा में होता है। वेग सदिश $\mathbf{v}$ और $\mathbf{v}^{\prime}$ चित्र 3.18(a1) में दिखाए गए हैं। $\Delta \mathbf{v}$ को वेक्टर जोड़ के त्रिकोण नियम का उपयोग करके चित्र 3.18 (a2) में प्राप्त किया जाता है। क्योंकि पथ वृत्ताकार है, $\mathbf{v}$ $\mathbf{r}$ के लंबवत होता है और इसी तरह $\mathbf{v}^{\prime}$ $\mathbf{r}^{\prime}$ के लंबवत होता है। अतः $\Delta \mathbf{v}$ $\Delta \mathbf{r}$ के लंबवत होता है। औसत त्वरण $\Delta \mathbf{v}$ के अनुदिश होता है ($\overline{\mathbf{a}}=\frac{\Delta \mathbf{v}}{\Delta t}$), अतः औसत त्वरण $\overline{\mathbf{a}}$ $\Delta \mathbf{r}$ के लंबवत होता है। यदि हम $\Delta \mathbf{v}$ को $\mathbf{r}$ और $\mathbf{r}^{\prime}$ के बीच कोण के आधार रेखा पर रखते हैं, तो हम देख सकते हैं कि यह वृत्त के केंद्र की ओर दिशा में होता है। चित्र 3.18(b) में छोटे समय अंतराल के लिए इसी राशियों को दिखाया गया है। $\Delta \mathbf{v}$ और इसलिए $\overline{\mathbf{a}}$ फिर से वृत्त के केंद्र की ओर दिशा में होता है। चित्र 3.18(c) में, $\Delta t \rightarrow 0$ और औसत त्वरण तात्कालिक त्वरण में बदल जाता है। यह वृत्त के केंद्र की ओर दिशा में होता है। अतः हम जानते हैं कि एक समान वृत्तीय गति में एक वस्तु के त्वरण हमेशा वृत्त के केंद्र की ओर दिशा में होता है। अब हम त्वरण के परिमाण की गणना करें। $\mathbf{a}$ के परिमाण को परिभाषा के अनुसार निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

$$ |\mathbf{a}|=\lim\limits_{\Delta \mathrm{t} \to 0} \frac{|\Delta \mathbf{v}|}{\Delta t} $$

मान लीजिए स्थिति सदिशों $\mathbf{r}$ और $\mathbf{r}^{\prime}$ के बीच कोण $\Delta \theta$ है। क्योंकि वेग सदिश $\mathbf{v}$ और $\mathbf{v}^{\prime}$ सदैव स्थिति सदिशों के लंबवत होते हैं, इनके बीच कोण भी $\Delta \theta$ है। अतः, स्थिति सदिशों द्वारा बनाए गए त्रिभुज $\mathrm{CPP}^{\prime}$ और वेग सदिश $\mathbf{v}, \mathbf{v}^{\prime}$ और $\Delta \mathbf{v}$ द्वारा बनाए गए त्रिभुज GHI समरूप हैं (चित्र 3.18a)। अतः, एक त्रिभुज के आधार की लंबाई और भुजा की लंबाई के अनुपात के बराबर दूसरे त्रिभुज के अनुपात होता है। अर्थात :

$$ \begin{aligned} & \frac{|\Delta \mathbf{v}|}{v}=\frac{|\Delta \mathbf{r}|}{R} \\ \text{अथवा,} \quad& |\Delta \mathbf{v}|=v \frac{|\Delta \mathbf{r}|}{R} \end{aligned} $$

अतः,

$$ |\mathbf{a}|=\lim\limits_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{|\Delta \mathbf{v}|}{\Delta t}=\lim\limits_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{v|\Delta \mathbf{r}|}{\mathrm{R} \Delta t}=\frac{v}{\mathrm{R}} \lim\limits_{t \rightarrow 0} \frac{|\Delta \mathbf{r}|}{\Delta t} $$

$$

यदि $\Delta t$ छोटा है, तो $\Delta \theta$ भी छोटा होगा और तब चाप $P P^{\prime}$ को लगभग $|\Delta \mathbf{r}|$ के रूप में लिया जा सकता है :

$$ \begin{aligned} & |\Delta \mathbf{r}| \cong v \Delta t \\ & \frac{|\Delta \mathbf{r}|}{\Delta t} \cong v \end{aligned} $$

अथवा, $\quad\quad \lim\limits_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{|\Delta \mathbf{r}|}{\Delta t}=v$

इसलिए, केंद्राप्रसार त्वरण $a_c$ है :

$a_{\mathrm{c}}=\left(\frac{v}{R}\right) v=v^2 / R \quad \quad \quad \quad \quad \text{(3.43)}$

इस प्रकार, एक वस्तु जो त्रिज्या $R$ के एक वृत्त में चाल $v$ से गति कर रही है, उसके त्वरण के परिमाण $v^2 / R$ होता है और यह हमेशा केंद्र की ओर दिशा में होता है। इस कारण इस त्वरण को **केंद्राप्रसार त्वरण कहा जाता है (एक शब्द जो न्यूटन द्वारा प्रस्तावित किया गया था)। केंद्राप्रसार त्वरण के एक गहरे विश्लेषण के लिए पहली बार 1673 में डच वैज्ञानिक क्रिस्टियान ह्यूगेन्स (1629-1695) द्वारा प्रकाशित किया गया था, लेकिन यह न्यूटन के लिए भी कुछ वर्ष पहले जान बस रहा था। “केंद्राप्रसार” एक ग्रीक शब्द से आया है जिसका अर्थ है ‘केंद्र की ओर जाना। चूंकि $v$ और $R$ स्थिर हैं, इसलिए केंद्राप्रसार त्वरण के परिमाण भी स्थिर होता है। हालांकि, दिशा बदलती रहती है जो हमेशा केंद्र की ओर बिंदु करती है। इसलिए, केंद्राप्रसार त्व एक स्थिर सदिश नहीं होता।

हम एक वस्तु के समान वृत्तीय गति में वेग और त्वरण का एक अन्य तरीका बता सकते हैं। जब वस्तु $\mathrm{P}$ से $\mathrm{P}^{\prime}$ तक $\Delta t\left(=t^{\prime}-t\right)$ समय में गति करती है, तो रेखा $\mathrm{CP}$ (चित्र 3.18) चित्र में दिखाए गए अनुसार कोण $\Delta \theta$ द्वारा घूम जाती है। $\Delta \theta$ को कोणीय दूरी कहते हैं। हम कोणीय चाल $\omega$ (ग्रीक अक्षर ओमेगा) को कोणीय विस्थापन के समय दर के रूप में परिभाषित करते हैं:

$$ \omega=\frac{\Delta \theta}{\Delta t} \hspace{40mm} \text{(3.44)} $$

अब, यदि समय $\Delta t$ में वस्तु द्वारा तय की गई दूरी $\Delta \mathrm{s}$ है, अर्थात $P P^{\prime}$ की दूरी $\Delta \mathrm{s}$ है, तो :

$$ v=\frac{\Delta s}{\Delta t} $$

लेकिन $\Delta s=R \Delta \theta$ है। अतः :

$$ \begin{aligned} v=R \frac{\Delta \theta}{\Delta t}=\mathrm{R} \omega \\ V=R \omega &\hspace{35mm} \text{(3.45)} \end{aligned} $$

हम केंद्राप्रस्थ त्वरण $a_c$ को कोणीय चाल के रूप में व्यक्त कर सकते हैं :

$$ \begin{aligned}

$$ \begin{aligned} & a_c=\frac{v^2}{R}=\frac{\omega^2 R^2}{R}=\omega^2 R \\ & a_c=\omega^2 R & \quad \quad \quad \quad \text{(3.46)} \end{aligned} $$

किसी वस्तु द्वारा एक परिक्रमा पूर्ण करने में लगा समय उसका समय अवधि $T$ कहलाता है और एक सेकंड में किए गए परिक्रमाओं की संख्या उसकी आवृत्ति $v(=1 / T)$ कहलाती है। हालांकि, इस समय दौरान वस्तु द्वारा तय की गई दूरी $s=2 \pi R$ होती है।

इसलिए, $v=2 \pi R / T=2 \pi R v\hspace{67mm} \text{(3.47)}$

आवृत्ति $v$ के अनुसार, हम लिख सकते हैं

$$ \begin{aligned} \omega=2 \pi v \\ v=2 \pi R v \\ a_c=4 \pi^3 v^2 R & \hspace{40mm} \text{(3.48)} \end{aligned} $$

उदाहरण 3.9 एक कीड़ा एक वृत्ताकार ग्रीवे में फंसा हुआ है जिसकी त्रिज्या $12 \mathrm{~cm}$ है और वह ग्रीवे के अनुसार निरंतर गति करता है और $100 \mathrm{~s}$ में 7 परिक्रमा पूर्ण करता है। (a) गति की कोणीय चाल और रेखीय चाल क्या है? (b) त्वरण सदिश एक स्थिर सदिश है या नहीं? इसके परिमाण क्या है?

उत्तर यह एक समान वृत्तीय गति का उदाहरण है। यहाँ $R=12 \mathrm{~cm}$ है। कोणीय चाल $\omega$ द्वारा दिया गया है

$$ \omega=2 \pi / T=2 \pi \quad 7 / 100=0.44 \mathrm{rad} / \mathrm{s} $$

लीनियर गति $v$ है :

$$ V=\omega R=0.44 \mathrm{~s}^{-1} \quad 12 \mathrm{~cm}=5.3 \mathrm{~cm} \mathrm{~s}^{-1} $$

गति की दिशा $v$ प्रत्येक बिंदु पर वृत्त के स्पर्शरेखा के अनुदिश होती है। त्वरण केंद्र की ओर दिशा में होता है। क्योंकि इसकी दिशा निरंतर बदलती रहती है, त्वरण यहाँ एक निरंतर सदिश नहीं है। हालांकि, त्वरण के परिमाण के निरंतर होते हैं:

$$ \begin{aligned} & a=\omega^2 R=\left(0.44 \mathrm{~s}^{-1}\right)^2(12 \mathrm{~cm}) \\ & =2.3 \mathrm{~cm} \mathrm{~s}^{-2} \end{aligned} $$

सारांश

1. अदिश राशियाँ वे राशियाँ होती हैं जिनमें केवल परिमाण होता है। उदाहरण दूरी, चाल, द्रव्यमान और तापमान हैं।

2. वेक्टर राशियाँ वे राशियाँ होती हैं जिनमें परिमाण और दिशा दोनों होती हैं। उदाहरण विस्थापन, वेग और त्वरण हैं। वे वेक्टर बीजगणित के विशेष नियमों का पालन करते हैं।

3. एक वेक्टर A को एक वास्तविक संख्या $\lambda$ से गुणा करने पर एक वेक्टर भी प्राप्त होता है, जिसका परिमाण वेक्टर $\mathbf{A}$ के परिमाण के $\lambda$ गुना होता है और जिसकी दिशा धनात्मक या ऋणात्मक $\lambda$ पर निर्भर करती है।

4. दो सदिश $\mathbf{A}$ और $\mathbf{B}$ को सिर-सिर के विधि या समानांतर चतुर्भुज विधि का उपयोग करके ग्राफ़िकल रूप से जोड़ा जा सकता है।

5. सदिश जोड़ना आविष्कारी होता है:

$$ \mathbf{A}+\mathbf{B}=\mathbf{B}+\mathbf{A} $$

इसके अलावा, यह साहचर्य कानून का पालन करता है : $$ (\mathbf{A}+\mathbf{B})+\mathbf{C}=\mathbf{A}+(\mathbf{B}+\mathbf{C}) $$

6. शून्य या शून्य सदिश एक ऐसा सदिश है जिसका परिमाण शून्य होता है। क्योंकि परिमाण शून्य है, हमें इसकी दिशा को निर्दिष्ट करने की आवश्यकता नहीं होती। इसके गुण हैं : $$ \begin{aligned} \mathbf{A}+\mathbf{0} & =\mathbf{A} \\ \lambda \mathbf{0} & =\mathbf{0} \\ 0 \mathbf{A} & =\mathbf{0} \end{aligned} $$

7. सदिश $\mathbf{A}$ से सदिश $\mathbf{B}$ के घटाव को $\mathbf{A}$ और $-\mathbf{B}$ के योग के रूप में परिभाषित किया जाता है :

$$ \mathbf{A}-\mathbf{B}=\mathbf{A}+(-\mathbf{B}) $$

8. एक सदिश $\mathbf{A}$ को दो दिए गए सदिश $\mathbf{a}$ और $\mathbf{b}$ के अनुदिश वियोजित किया जा सकता है जो एक ही तल में स्थित होते हैं :

जहाँ $\lambda$ और $\mu$ वास्तविक संख्याएँ हैं।

$$ \mathbf{A}=\lambda \mathbf{a}+\mu \mathbf{b} $$

$$

9. एक सदिश $\mathbf{A}$ से संबंधित एक एकक सदिश के परिमाण 1 होता है और यह सदिश $\mathbf{A}$ के अनुदिश होता है :

$$ \hat{\mathbf{n}}=\frac{\mathbf{A}}{|\math, A|} $$

एकक सदिश i, j, k एकक परिमाण के सदिश होते हैं और ये क्रमशः x-, y- और z- अक्ष की दिशा में बिंदु बिंदु दिखाते हैं, एक दाएं हाथ प्रणाली में।

10. एक सदिश $\mathbf{A}$ को निम्नलिखित रूप में व्यक्त किया जा सकता है

$$ \mathbf{A}=A_x \hat{\mathbf{i}}+A_y \hat{\mathbf{j}} $$ जहाँ $A_x, A_y$ इसके $x$- और $y$- अक्ष के अनुदिश घटक हैं। यदि सदिश $\mathbf{A}$, $x$- अक्ष के साथ कोण $\theta$ बनाता है, तो $A_x=A \cos \theta, A_y=A \sin \theta$ और $A=|\mathbf{A}|=\sqrt{A_x^2+A_y^2}, \tan \theta=\frac{A_y}{A_x}$।

11. सदिशों को विश्लेषणात्मक विधि के माध्यम से सुविधाजनक रूप से जोड़ा जा सकता है। यदि दो सदिश $\mathbf{A}$ और $\mathbf{B}$, जो $x-y$ तल में स्थित होते हैं, का योग $\mathbf{R}$ हो, तो : $$ \mathbf{R}=R_x \hat{\mathbf{i}}+R_y \hat{\mathbf{j}} \text {, जहाँ, } R_x=A_x+B_x \text {, और } R_y=A_y+B_y $$

12. $x-y$ तल में एक वस्तु के स्थिति सदिश को $\mathbf{r}=x \hat{\mathbf{i}}+y \hat{\mathbf{j}}$ द्वारा दिया जाता है और स्थिति $\mathbf{r}$ से स्थिति $\mathbf{r}$ ’ तक की विस्थापन को निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

$$ \begin{aligned} & \Delta \mathbf{r}=\mathbf{r}^{\prime}-\mathbf{r} \ & =\left(x^{\prime}-x\right) \hat{\mathbf{i}}+\left(y^{\prime}-y\right) \hat{\mathbf{j}} \ & =\Delta x \hat{\mathbf{i}}+\Delta y \hat{\mathbf{j}} \end{aligned} $$

13. यदि कोई वस्तु समय $\Delta t$ में विस्थापन $\Delta \mathbf{r}$ करती है, तो उसकी औसत चाल $\mathbf{v}=\frac{\Delta \mathbf{r}}{\Delta t}$ द्वारा दी जाती है। वस्तु के समय $t$ पर वेग औसत चाल के सीमांत मान होता है जब $\Delta t$ शून्य की ओर बढ़ता है :

$\mathbf{v}=\lim\limits_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \mathbf{r}}{\Delta t}=\frac{\mathrm{d} \mathbf{r}}{\mathrm{dt}}$.

इसे एकक वेक्टर रूप में लिखा जा सकता है :

$\mathbf{v}=v_x \hat{\mathbf{i}}+v_y \hat{\mathbf{j}}+v_z \hat{\mathbf{k}}$ जहाँ $v_x=\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}, v_y=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t}, v_z=\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} t}$

जब किसी वस्तु की स्थिति एक निर्देशांक प्रणाली पर आलेखित की जाती है, तो $\mathbf{v}$ वस्तु के पथ को निरूपित करने वाले वक्र के स्पर्शरेखा के समानुपाती होता है।

14. यदि किसी वस्तु के वेग का मान $\mathbf{v}$ से $\mathbf{v}^{\prime}$ में $\Delta t$ समय में परिवर्तित हो जाता है, तो उसका औसत त्वरण निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है: $\overline{\mathbf{a}}=\frac{\mathbf{v}-\mathbf{v}^{\prime}}{\Delta t}=\frac{\Delta \mathbf{v}}{\Delta t}$ किसी समय $t$ पर त्वरण a निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है:

$$ \mathbf{a}=\lim\limits_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \mathbf{v}}{\Delta t}=\frac{\mathrm{d} \mathbf{v}}{\mathrm{d} t} $$

अवयव रूप में, हम निम्नलिखित प्राप्त करते हैं :

$\mathbf{a}=a_x \hat{\mathbf{i}}+a_y \hat{\mathbf{j}}+a_z \hat{\mathbf{k}}$

जहाँ,

$a_x=\frac{d v_x}{d t}, a_y=\frac{d v_y}{d t}, a_z=\frac{d v_z}{d t}$

15. यदि कोई वस्तु तल में गति कर रही है तथा इसका नियत त्वरण $a=|\mathbf{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}$ है तथा इसका स्थिति सदिश समय $t=0$ पर $\mathbf{r}_0$ है, तो किसी अन्य समय $t$ पर इसकी स्थिति निम्नलिखित द्वारा दी गई होती है:

$$ \mathbf{r}=\mathbf{r_o}+\mathbf{v_o} t+\frac{1}{2} \mathbf{a} t^2 $$

तथा इसका वेग निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है :

$$ \mathbf{v}=\mathbf{v}_0+\mathbf{a} t $$

जहाँ $\mathbf{v}_{\mathrm{o}}$ समय $t=0$ पर वेग है

अवयव रूप में :

$$ \begin{aligned} & x=x_o+v_{o x} t+\frac{1}{2} a_x t^2 \\ & y=y_0+v_{o y} t+\frac{1}{2} a_y t^2 \\ & v_x=v_{o x}+a_x t \\ & v_y=v_{o y}+a_y t \end{aligned} $$

एक तल में गति को दो स्वतंत्र एक-विमीय गतियों के अध्ययन के योग के रूप में अध्ययन किया जा सकता है।

16. एक वस्तु जो एक बिंदु से फेंके जाने के बाद उड़ रही है, एक प्रोजेक्टाइल कहलाती है। यदि एक वस्तु को आरंभिक वेग $\mathbf{v_o}$ से फेंका जाता है, जो $x$-अक्ष के साथ कोण $\theta_0$ बनाता है और हम मान लें कि इसकी आरंभिक स्थिति समन्वय तंत्र के मूल बिंदु के साथ संगत है, तो समय $t$ पर प्रोजेक्टाइल की स्थिति और वेग निम्नलिखित होते हैं :

$$ \begin{gathered} x=\left(v_o \cos \theta_o\right) t \\ y=\left(v_o \sin \theta_o\right) t-(1 / 2) g t^2 \\ v_x=v_{a x}=v_o \cos \theta_o \\ v_y=v_o \sin \theta_o-g t \end{gathered} $$

प्रोजेक्टाइल के पथ के आकार परबोलिक होता है और इसके द्वारा दिया गया समीकरण निम्नलिखित है :

$$ y=\left(\tan \theta_0\right) x-\frac{g x^2}{2\left(v_o \cos \theta_o\right)^2} $$ एक प्रक्षेप्य द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊंचाई इस प्रकार होती है : $$ h_m=\frac{\left(v_o \sin \theta_o\right)^2}{2 g} $$

इस ऊंचाई तक पहुंचने में लगने वाला समय है :

$$ t_m=\frac{v_o \sin \theta_o}{g} $$

एक प्रक्षेप्य के अपने प्रारंभिक स्थान से गिरते हुए $y=0$ के स्थान पर पहुंचने तक तय की गई क्षैतिज दूरी को इसकी परास, $R$ कहते हैं। यह है : $$ R=\frac{v_o^2}{g} \sin 2 \theta_o $$

17. जब कोई वस्तु नियत चाल के साथ वृत्ताकार पथ पर गति करती है, तो इस गति को समान वृत्तीय गति कहते हैं। इसके त्वरण के परिमाण $a_c=v^2 / R$ होता है। $a_c$ की दिशा हमेशा वृत्त के केंद्र की ओर होती है। कोणीय चाल $\omega$, कोणीय दूरी के परिवर्तन की दर होती है। इसे वेग $v$ द्वारा $v=\omega R$ संबंध द्वारा संबंधित किया जाता है। त्वरण $a_c=\omega^2 R$ होता है। यदि $T$ वृत्तीय गति में वस्तु के चक्रण काल है और $v$ इसकी आवृत्ति है, तो हमें $\omega=2 \pi v, v=2 \pi v \mathrm{R}, a_c=4 \pi^2 v^2 R$ मिलता है।

| (c) क्षैतिज परास | $R$ | [L] | $\mathrm{m}$ | $=\frac{v_0^2 \sin 2 \theta_0}{g}$ | | वृत्तीय गति
(a) कोणीय वेग | $\omega$ | $\left[\mathrm{T}^{-1}\right]$ | $\mathrm{rad} / \mathrm{s}$ | $=\frac{\Delta \theta}{\Delta t}=\frac{v}{r}$ | | (b) केंद्राप्रस्थ त्वरण
| $a_e$ | $\left[\mathrm{LT}^{-2}\right]$ | $\mathrm{m} \mathrm{s}^{-2}$ | $=\frac{v^2}{r}$ |

ध्यान देने वाले बिंदु

1. दो बिंदुओं के बीच एक वस्तु द्वारा तय की गई पथ लंबाई, सामान्यतः विस्थापन के परिमाण के बराबर नहीं होती। विस्थापन केवल अंतिम बिंदुओं पर निर्भर करता है; पथ लंबाई (जैसा कि नाम से स्पष्ट है) वास्तविक पथ पर निर्भर करती है। दोनों राशियाँ केवल गति के दौरान वस्तु के दिशा परिवर्तन नहीं होने पर ही बराबर होती हैं। सभी अन्य स्थितियों में, पथ लंबाई विस्थापन के परिमाण से अधिक होती है।

2. उपरोक्त बिंदु 1 के आधार पर, किसी दिए गए समय अंतराल में एक वस्तु की औसत गति उसकी औसत वेग के परिमाण से अधिक या बराबर होती है। दोनों राशियाँ केवल तब बराबर होती हैं जब पथ लंबाई विस्थापन के परिमाण के बराबर हो।

3. सदिश समीकरण (3.33a) और (3.34a) कोई अक्ष के चयन के बिना हैं। निश्चित रूप से, आप हमेशा इन्हें किसी भी दो स्वतंत्र अक्षों के अनुदिश विभाजित कर सकते हैं।

4. समान त्वरण के लिए गति समीकरण एक समान वृत्तीय गति के मामले में लागू नहीं होते क्योंकि इस मामले में त्वरण के परिमाण स्थिर होता है लेकिन इसकी दिशा बदलती रहती है।

5. दो वेग $\mathbf{v}_1$ और $\mathbf{v}_2$ के अधीन एक वस्तु के परिणामी वेग $\mathbf{v}=\mathbf{v}_1+\mathbf{v}2$ होता है। इसे वस्तु 1 के वेग के संपर्क में वस्तु 2 के वेग से अंतर के रूप में अलग बर्बाद करें। $\mathbf{v}{12}=\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2$। यहाँ $\mathbf{v}_1$ और $\mathbf{v}_2$ कोई एक सामान्य संदर्भ फ्रेम के संदर्भ में वेग हैं।

6. वृत्तीय गति करती वस्तु के परिणामी त्वरण केंद्र की ओर होता है केवल तभी जब चाल स्थिर हो।

7. वस्तु के गति के पारिस्थितिक रेखा के आकार केवल त्वरण द्वारा निर्धारित नहीं होता बल्कि गति के प्रारंभिक स्थिति (प्रारंभिक स्थान और प्रारंभिक वेग) पर भी निर्भर करता है। उदाहरण के लिए, गुरुत्वाकर्षण के कारण एक ही त्वरण के अधीन गति करती वस्तु की पारिस्थितिक रेखा एक सीधी रेखा या एक परबोला हो सकती है, जो प्रारंभिक स्थिति पर निर्भर करती है।