12.1 भूमिका

कक्षा IX से, आप कुछ ठोसों जैसे घनाभ, शंकु, बेलन और गोले से परिचित हैं (चित्र 12.1 देखें)। आपने उनके पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन ज्ञात करना भी सीखा है।

चित्र 12.1

हमारे दैनिक जीवन में, हम ऊपर दिखाए गए मूल ठोसों में से दो या अधिक के संयोजन से बने कई ठोसों के संपर्क में आते हैं।

आपने पीछे एक कंटेनर लगी हुई एक ट्रक अवश्य देखी होगी (चित्र 12.2 देखें), जो एक स्थान से दूसरे स्थान तक तेल या पानी ले जाती है। क्या यह ऊपर वर्णित चार मूल ठोसों में से किसी के आकार की है? आप अनुमान लगा सकते हैं कि यह एक बेलन से बना है जिसके दोनों सिरे अर्धगोले हैं।

चित्र 12.2

इसी प्रकार, आपने चित्र 12.3 में दिखाई गई वस्तु देखी होगी। क्या आप इसका नाम बता सकते हैं? एक टेस्ट ट्यूब, सही! आपने अपने विज्ञान प्रयोगशाला में इसका उपयोग किया होगा। यह ट्यूब भी एक बेलन और एक अर्धगोले का संयोजन है। इसी तरह, यात्रा करते समय, आपने कुछ बड़ी और सुंदर इमारतें या स्मारक देखे होंगे जो ऊपर वर्णित ठोसों के संयोजन से बने हैं।

यदि किसी कारण से आप ऐसी वस्तुओं के पृष्ठीय क्षेत्रफल, या आयतन, या धारिता ज्ञात करना चाहते हैं, तो आप यह कैसे करेंगे? हम इन्हें आपके द्वारा पहले से अध्ययन किए गए किसी भी ठोस के अंतर्गत वर्गीकृत नहीं कर सकते।

चित्र 12.3

इस अध्याय में, आप देखेंगे कि ऐसी वस्तुओं के पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन कैसे ज्ञात किए जाते हैं।

12.2 ठोसों के संयोजन का पृष्ठीय क्षेत्रफल

आइए हम चित्र 12.2 में देखे गए कंटेनर पर विचार करें। हम ऐसे ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करते हैं? अब, जब भी हम किसी नई समस्या के संपर्क में आते हैं, हम पहले यह देखने का प्रयास करते हैं कि क्या हम इसे छोटी-छोटी समस्याओं में तोड़ सकते हैं, जिन्हें हमने पहले हल किया है। हम देख सकते हैं कि यह ठोस एक बेलन से बना है जिसके दोनों सिरों पर दो अर्धगोले चिपके हुए हैं। जब हम सभी टुकड़ों को एक साथ जोड़ देंगे, तो यह चित्र 12.4 में दिखाई गई वस्तु जैसा दिखेगा।

चित्र 12.4

यदि हम नवगठित वस्तु की सतह पर विचार करते हैं, तो हम केवल दोनों अर्धगोलों के वक्र पृष्ठ और बेलन के वक्र पृष्ठ को ही देख पाएंगे।

अतः, नए ठोस का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल प्रत्येक व्यक्तिगत भाग के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफलों का योग है। इससे प्राप्त होता है,

नए ठोस का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $=$ एक अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + दूसरे अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

जहाँ कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल और वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल क्रमशः ‘Total Surface Area’ और ‘Curved Surface Area’ के लिए हैं।

आइए अब एक अन्य स्थिति पर विचार करते हैं। मान लीजिए हम एक अर्धगोले और एक शंकु को एक साथ जोड़कर एक खिलौना बना रहे हैं। आइए हम उन चरणों को देखें जिनसे हम गुजरेंगे।

सबसे पहले, हम एक शंकु और एक अर्धगोला लेंगे और उनके समतल फलकों को एक साथ जोड़ेंगे। यहाँ, निश्चित रूप से, हम शंकु की आधार त्रिज्या को अर्धगोले की त्रिज्या के बराबर लेंगे, क्योंकि खिलौने की सतह चिकनी होनी चाहिए। अतः, चरण चित्र 12.5 में दिखाए गए अनुसार होंगे।

चित्र 12.5

हमारे प्रयास के अंत में, हमें एक अच्छा गोल तली वाला खिलौना मिल गया है। अब यदि हम यह जानना चाहते हैं कि इस खिलौने की सतह को रंगने के लिए हमें कितना पेंट चाहिए, तो हमें क्या जानने की आवश्यकता होगी? हमें खिलौने के पृष्ठीय क्षेत्रफल की आवश्यकता होगी, जिसमें अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल शामिल है।

अतः, हम कह सकते हैं:

खिलौने का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $=$ अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

अब, आइए कुछ उदाहरणों पर विचार करते हैं।

उदाहरण 1 : रशीद को अपने जन्मदिन पर एक लट्टू (खिलौना) उपहार में मिला, जिस पर आश्चर्यजनक रूप से कोई रंग नहीं था। वह इसे अपने क्रेयॉन से रंगना चाहता था। लट्टू एक शंकु के आकार का है जिसके ऊपर एक अर्धगोला रखा हुआ है (चित्र 12.6 देखें)। पूरे लट्टू की ऊँचाई $5 \mathrm{~cm}$ है और लट्टू का व्यास $3.5 \mathrm{~cm}$ है। उसे रंगने के लिए आवश्यक क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। ($\pi=\dfrac{22}{7}$ लीजिए)

चित्र 12.6

हल : यह लट्टू ठीक उसी वस्तु के समान है जिसकी हमने चित्र 12.5 में चर्चा की है। अतः, हम वहाँ प्राप्त परिणाम का सुविधापूर्वक उपयोग कर सकते हैं। अर्थात्:

$ \text { खिलौने का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल }=\text { अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल }+ \text { शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल } $

अब, अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $=\dfrac{1}{2}\left(4 \pi r^{2}\right)=2 \pi r^{2}$

$$ =\left(2 \times \dfrac{22}{7} \times \dfrac{3.5}{2} \times \dfrac{3.5}{2}\right) \mathrm{cm}^{2} $$

साथ ही, शंकु की ऊँचाई = लट्टू की ऊँचाई - अर्धगोलाकार भाग की ऊँचाई (त्रिज्या)

$$ =\left(5-\dfrac{3.5}{2}\right) \mathrm{cm}=3.25 \mathrm{~cm} $$

अतः, शंकु की तिर्यक ऊँचाई $(l)=\sqrt{r^{2}+h^{2}}=\sqrt{\left(\dfrac{3.5}{2}\right)^{2}+(3.25)^{2}} \mathrm{~cm}=3.7 \mathrm{~cm}$ (लगभग)

इसलिए, शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $=\pi r l=\left(\dfrac{22}{7} \times \dfrac{3.5}{2} \times 3.7\right) \mathrm{cm}^{2}$

इससे लट्टू का पृष्ठीय क्षेत्रफल प्राप्त होता है

$$ \begin{aligned} & =\left(2 \times \dfrac{22}{7} \times \dfrac{3.5}{2} \times \dfrac{3.5}{2}\right) \mathrm{cm}^{2}+\left(\dfrac{22}{7} \times \dfrac{3.5}{2} \times 3.7\right) \mathrm{cm}^{2} \\ & =\dfrac{22}{7} \times \dfrac{3.5}{2}(3.5+3.7) \mathrm{cm}^{2}=\dfrac{11}{2} \times(3.5+3.7) \mathrm{cm}^{2}=39.6 \mathrm{~cm}^{2} \text { (approx.) } \end{aligned} $$

आप ध्यान दें कि ‘लट्टू का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल’ शंकु और अर्धगोले के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफलों का योग नहीं है।

उदाहरण 2 : चित्र 12.7 में दिखाया गया सजावटी ब्लॉक दो ठोसों - एक घन और एक अर्धगोले से बना है। ब्लॉक का आधार एक घन है जिसकी कोर $5 \mathrm{~cm}$ है, और ऊपर लगे अर्धगोले का व्यास $4.2 \mathrm{~cm}$ है। ब्लॉक का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। ($\pi=\dfrac{22}{7}$ लीजिए)

चित्र 12.7

हल : घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $=6 \times(\text { edge })^{2}=6 \times 5 \times 5 \mathrm{~cm}^{2}=150 \mathrm{~cm}^{2}$.

ध्यान दें कि घन का वह भाग जहाँ अर्धगोला जुड़ा हुआ है, पृष्ठीय क्षेत्रफल में शामिल नहीं है।

अतः, ब्लॉक का पृष्ठीय क्षेत्रफल $=$ घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल - अर्धगोले के आधार का क्षेत्रफल + अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

$$ \begin{aligned} & =150-\pi r^{2}+2 \pi r^{2}=\left(150+\pi r^{2}\right) \mathrm{cm}^{2} \\ & =150 \mathrm{~cm}^{2}+\left(\dfrac{22}{7} \times \dfrac{4.2}{2} \times \dfrac{4.2}{2}\right) \mathrm{cm}^{2} \\ & =(150+13.86) \mathrm{cm}^{2}=163.86 \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} $$

उदाहरण 3 : एक लकड़ी का खिलौना रॉकेट एक शंकु के आकार का है जो एक बेलन पर स्थापित है, जैसा कि चित्र 12.8 में दिखाया गया है। पूरे रॉकेट की ऊँचाई $26 \mathrm{~cm}$ है, जबकि शंक्वाकार भाग की ऊँचाई $6 \mathrm{~cm}$ है। शंक्वाकार भाग के आधार का व्यास $5 \mathrm{~cm}$ है, जबकि बेलनाकार भाग के आधार का व्यास $3 \mathrm{~cm}$ है। यदि शंक्वाकार भाग को नारंगी रंग से और बेलनाकार भाग को पीले रंग से रंगना है, तो रॉकेट के प्रत्येक रंग से रंगे जाने वाले भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। ($\pi=3.14$ लीजिए)

चित्र 12.8

हल : शंकु की त्रिज्या को $r$ से, शंकु की तिर्यक ऊँचाई को $l$ से, शंकु की ऊँचाई को $h$ से, बेलन की त्रिज्या को $r^{\prime}$ से और बेलन की ऊँचाई को $h^{\prime}$ से निरूपित करते हैं। तब $r=2.5 \mathrm{~cm}, h=6 \mathrm{~cm}, r^{\prime}=1.5 \mathrm{~cm}$, $h^{\prime}=26-6=20 \mathrm{~cm}$ और

$$ l=\sqrt{r^{2}+h^{2}}=\sqrt{2.5^{2}+6^{2}} \mathrm{~cm}=6.5 \mathrm{~cm} $$

यहाँ, शंक्वाकार भाग का वृत्तीय आधार बेलन के आधार पर टिका हुआ है, लेकिन शंकु का आधार बेलन के आधार से बड़ा है। अतः, शंकु के आधार का एक भाग (एक वलय) रंगा जाना है।

अतः, नारंगी रंग से रंगा जाने वाला क्षेत्रफल $=$ शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + शंकु के आधार का क्षेत्रफल - बेलन के आधार का क्षेत्रफल

$$ \begin{aligned} & =\pi r l+\pi r^{2}-\pi\left(r^{\prime}\right)^{2} \\ & =\pi\left[(2.5 \times 6.5)+(2.5)^{2}-(1.5)^{2}\right] \mathrm{cm}^{2} \\ & =\pi[20.25] \mathrm{cm}^{2}=3.14 \times 20.25 \mathrm{~cm}^{2} \\ & =63.585 \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} $$

अब, पीले रंग से रंगा जाने वाला क्षेत्रफल $=$ बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + बेलन के एक आधार का क्षेत्रफल

$$ \begin{aligned} & =2 \pi r^{\prime} h^{\prime}+\pi\left(r^{\prime}\right)^{2} \\ & =\pi r^{\prime}\left(2 h^{\prime}+r^{\prime}\right) \\ & =(3.14 \times 1.5)(2 \times 20+1.5) \mathrm{cm}^{2} \\ & =4.71 \times 41.5 \mathrm{~cm}^{2} \\ & =195.465 \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} $$

उदाहरण 4 : मयंक ने अपने बगीचे के लिए एक पक्षी स्नानागार बनाया, जो एक बेलन के आकार का है जिसके एक सिरे पर एक अर्धगोलाकार गड्ढा है (चित्र 12.9 देखें)। बेलन की ऊँचाई $1.45 \mathrm{~m}$ है और इसकी त्रिज्या $30 \mathrm{~cm}$ है। पक्षी स्नानागार का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। ($\pi=\dfrac{22}{7}$ लीजिए)

चित्र 12.9

हल : मान लीजिए $h$ बेलन की ऊँचाई है, और $r$ बेलन और अर्धगोले की उभयनिष्ठ त्रिज्या है। तब, पक्षी स्नानागार का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $=$ बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

$$ \begin{aligned} & =2 \pi r h+2 \pi r^{2}=2 \pi r(h+r) \\ & =2 \times \dfrac{22}{7} \times 30(145+30) \mathrm{cm}^{2} \\ & =33000 \mathrm{~cm}^{2}=3.3 \mathrm{~m}^{2} \end{aligned} $$

12.3 ठोसों के संयोजन का आयतन

पिछले अनुभाग में, हमने चर्चा की है कि दो मूल ठोसों के संयोजन से बने ठोसों का पृष्ठीय क्षेत्रफल कैसे ज्ञात किया जाता है। यहाँ, हम देखेंगे कि उनके आयतन की गणना कैसे की जाती है। यह ध्यान दिया जा सकता है कि पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना में, हमने दोनों घटकों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों को नहीं जोड़ा है, क्योंकि उन्हें जोड़ने की प्रक्रिया में पृष्ठीय क्षेत्रफल का कुछ भाग लुप्त हो गया है। हालाँकि, आयतन की गणना करते समय ऐसा नहीं होगा। दो मूल ठोसों को जोड़कर बने ठोस का आयतन वास्तव में घटकों के आयतनों का योग होगा, जैसा कि हम नीचे दिए गए उदाहरणों में देखते हैं।

उदाहरण 5 : शांता एक शेड में एक उद्योग चलाती है, जो एक घनाभ के आकार का है जिसके ऊपर एक अर्धबेलन रखा हुआ है (चित्र 12.12 देखें)। यदि शेड के आधार का विमा $7 \mathrm{~m} \times 15 \mathrm{~m}$ है, और घनाभाकार भाग की ऊँचाई $8 \mathrm{~m}$ है, तो शेड में समा सकने वाली हवा का आयतन ज्ञात कीजिए। इसके अलावा, मान लीजिए कि शेड में मशीनरी कुल $300 \mathrm{~m}^{3}$ स्थान घेरती है, और वहाँ 20 श्रमिक हैं, जिनमें से प्रत्येक औसतन लगभग $0.08 \mathrm{~m}^{3}$ स्थान घेरता है। तब, शेड में कितनी हवा है? ($\pi=\dfrac{22}{7}$ लीजिए)

चित्र 12.12

हल : शेड के अंदर की हवा का आयतन (जब कोई व्यक्ति या मशीनरी नहीं है) घनाभ के अंदर और अर्धबेलन के अंदर की हवा के आयतन के योग से दिया जाता है।

अब, घनाभ की लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः $15 \mathrm{~m}, 7 \mathrm{~m}$ और $8 \mathrm{~m}$ हैं। साथ ही, अर्धबेलन का व्यास $7 \mathrm{~m}$ है और इसकी ऊँचाई $15 \mathrm{~m}$ है।

अतः, अभीष्ट आयतन $=$ घनाभ का आयतन $+\dfrac{1}{2}$ अर्धबेलन का आयतन

$$ =\left[15 \times 7 \times 8+\dfrac{1}{2} \times \dfrac{22}{7} \times \dfrac{7}{2} \times \dfrac{7}{2} \times 15\right] \mathrm{m}^{3}=1128.75 \mathrm{~m}^{3} $$

अगला, मशीनरी द्वारा घेरा गया कुल स्थान $=300 \mathrm{~m}^{3}$

और श्रमिकों द्वारा घेरा गया कुल स्थान $=20 \times 0.08 \mathrm{~m}^{3}=1.6 \mathrm{~m}^{3}$

इसलिए, जब मशीनरी और श्रमिक हैं, तो हवा का आयतन

$$ =1128.75-(300.00+1.60)=827.15 \mathrm{~m}^{3} $$

उदाहरण 6 : एक जूस विक्रेता गिलासों का उपयोग करके अपने ग्राहकों को जूस परोस रहा था, जैसा कि चित्र 12.13 में दिखाया गया है। बेलनाकार गिलास का आंतरिक व्यास $5 \mathrm{~cm}$ था, लेकिन गिलास के तले में एक अर्धगोलाकार उभरा हुआ भाग था जिसने गिलास की धारिता कम कर दी। यदि गिलास की ऊँचाई $10 \mathrm{~cm}$ थी, तो गिलास की प्रत्यक्ष धारिता और उसकी वास्तविक धारिता ज्ञात कीजिए। ($\pi=3.14$ का उपयोग कीजिए।)

चित्र 12.13

हल : चूँकि गिलास का आंतरिक व्यास $=5 \mathrm{~cm}$ और ऊँचाई $=10 \mathrm{~cm}$ है, गिलास की प्रत्यक्ष धारिता $=\pi r^{2} h$

$$ =3.14 \times 2.5 \times 2.5 \times 10 \mathrm{~cm}^{3}=196.25 \mathrm{~cm}^{3} $$

लेकिन गिलास की वास्तविक धारिता गिलास के आधार पर स्थित अर्धगोले के आयतन से कम है।

अर्थात, $\quad$ यह $\dfrac{2}{3} \pi r^{3}=\dfrac{2}{3} \times 3.14 \times 2.5 \times 2.5 \times 2.5 \mathrm{~cm}^{3}=32.71 \mathrm{~cm}^{3}$ से कम है

अतः, गिलास की वास्तविक धारिता $=$ गिलास की प्रत्यक्ष धारिता - अर्धगोले का आयतन

$$ \begin{aligned} & =(196.25-32.71) \mathrm{cm}^{3} \\ & =163.54 \mathrm{~cm}^{3} \end{aligned} $$

उदाहरण 7 : एक ठोस खिलौना एक अर्धगोले के ऊपर एक लंब वृत्तीय शंकु के रूप में है। शंकु की ऊँचाई $2 \mathrm{~cm}$ है और आधार का व्यास $4 \mathrm{~cm}$ है। खिलौने का आयतन ज्ञात कीजिए। यदि एक लंब वृत्तीय बेलन खिलौने के चारों ओर परिबद्ध है, तो बेलन और खिलौने के आयतनों का अंतर ज्ञात कीजिए। ($\pi=3.14$ लीजिए)

चित्र 12.14

हल : मान लीजिए BPC अर्धगोला है और ABC शंकु अर्धगोले के आधार पर खड़ा है (चित्र 12.14 देखें)। अर्धगोले (साथ ही शंकु) की त्रिज्या BO $=\dfrac{1}{2} \times 4 \mathrm{~cm}=2 \mathrm{~cm}$ है।

अतः, खिलौने का आयतन $=\dfrac{2}{3} \pi r^{3}+\dfrac{1}{3} \pi r^{2} h$

$$ =\left[\dfrac{2}{3} \times 3.14 \times(2)^{3}+\dfrac{1}{3} \times 3.14 \times(2)^{2} \times 2\right] \mathrm{cm}^{3}=25.12 \mathrm{~cm}^{3} $$

अब, मान लीजिए लंब वृत्तीय बेलन EFGH दिए गए ठोस को परिबद्ध करता है। लंब वृत्तीय बेलन के आधार की त्रिज्या $=\mathrm{HP}=\mathrm{BO}=2 \mathrm{~cm}$ है, और इसकी ऊँचाई है

$$ \mathrm{EH}=\mathrm{AO}+\mathrm{OP}=(2+2) \mathrm{cm}=4 \mathrm{~cm} $$

अतः, अभीष्ट आयतन $=$ लंब वृत्तीय बेलन का आयतन - खिलौने का आयतन

$$ \begin{aligned} & =\left(3.14 \times 2^{2} \times 4-25.12\right) \mathrm{cm}^{3} \\ & =25.12 \mathrm{~cm}^{3} \end{aligned} $$

अतः, दोनों आयतनों का अभीष्ट अंतर $=25.12 \mathrm{~cm}^{3}$ है।

12.4 सारांश

इस अध्याय में, आपने निम्नलिखित बिंदुओं का अध्ययन किया है:

1. घनाभ, शंकु, बेलन, गोला और अर्धगोला अर्थात् किन्हीं दो मूल ठोसों को मिलाकर बनी वस्तु के पृष्ठीय क्षेत्रफल का निर्धारण करना।

2. घनाभ, शंकु, बेलन, गोला और अर्धगोला में से किन्हीं दो को मिलाकर बनी वस्तुओं का आयतन ज्ञात करना।