अध्याय 13 दोलन

13.1 परिचय#

हमारे दैनिक जीवन में हम विभिन्न प्रकार के गतियों के साथ आते हैं। आप इनमें से कुछ गतियों के बारे में पहले से ही जानते हैं, जैसे कि सीधी रेखा में गति और प्रोजेक्टाइल की गति। इन दोनों गतियाँ अप्रतियोगी होती हैं। हमने एकसमान वृत्तीय गति और सौर मंडल में ग्रहों की कक्षीय गति के बारे में भी सीखा है। इन मामलों में, गति एक निश्चित समय अंतराल के बाद दोहराई जाती है, अर्थात यह आवर्ती होती है। आपके बचपन में आप एक बाल्टी में झूलते हुए अथवा एक झूला झूलते हुए खुश रहते होंगे। ये दोनों गतियाँ पुनरावर्ती प्रकृति की होती हैं लेकिन ग्रह के आवर्ती गति से भिन्न होती हैं। यहाँ, वस्तु औसत स्थिति के आसपास आगे और पीछे गति करती है। दीवार के घड़ी के दोलन एक ऐसी गति करते हैं। ऐसी आवर्ती आगे और पीछे गति के उदाहरण बहुत अधिक हैं: एक नदी में ऊपर और नीचे झूलती हुई नाव, एक स्टीम इंजन में पिस्टन आगे और पीछे जाता है, आदि। ऐसी गति को दोलन गति कहा जाता है। इस अध्याय में हम इस गति के बारे में अध्ययन करेंगे।

अनुनादी गति के अध्ययन भौतिकी के आधार है; इसके अवधारणाओं के उपयोग अनेक भौतिक घटनाओं के समझने के लिए आवश्यक हैं। संगीत यंत्रों, जैसे सितार, गिटार या विलन, में हम विभिन्न तारों के झूलते हुए विस्थापन के द्वारा सुखद ध्वनियाँ उत्पन्न होती हैं। ड्रम के झिल्ली और टेलीफोन और स्पीकर प्रणाली के डिस्पोज़ल अपने माध्य स्थिति के आसपास आगे और पीछे झूलते हैं। हवा के अणुओं के झूलने से ध्वनि के प्रसार की संभावना होती है। ठोस में, परमाणु अपने संतुलन स्थिति के आसपास झूलते हैं, औसत ऊर्जा तापमान के समानुपाती होती है। AC विद्युत आपूर्ति वोल्टेज के रूप में औसत मान (शून्य) के आसपास धनात्मक और ऋणात्मक दोनों दिशाओं में विस्थापित होती है।

एक आवर्त गति के वर्णन, सामान्य रूप से, और विशेष रूप से अनुनादी गति के वर्णन के लिए कुछ मूल अवधारणाओं की आवश्यकता होती है, जैसे कि आवर्तकाल, आवृत्ति, विस्थापन, आयाम और चरण। ये अवधारणाएँ अगले अनुच्छेद में विकसित की गई हैं।

13.2 आवर्त और अनुनादी गतियाँ#

चित्र 13.1 कुछ आवर्त गतियों को दर्शाता है। मान लीजिए एक कीड़ा ढलान पर चढ़ता है और नीचे गिरता है, यह प्रारंभिक बिंदु पर वापस आता है और प्रक्रिया को एक जैसे दोहराता है। अगर आप इसकी भूमि से ऊंचाई के विरुद्ध समय के ग्राफ को बनाएंगे, तो यह चित्र 13.1 (a) के जैसा दिखाई देगा। एक बच्चा एक स्टेप पर चढ़ता है, नीचे आता है और प्रक्रिया को एक जैसे दोहराता है, तो भूमि से ऊंचाई के विरुद्ध समय के ग्राफ चित्र 13.1 (b) के जैसा दिखाई देगा। जब आप एक गेंद को भूमि के साथ अपने हाथ के बीच उछालने के खेल खेलते हैं, तो भूमि से ऊंचाई के विरुद्ध समय के ग्राफ चित्र 13.1 (c) के जैसा दिखाई देगा। ध्यान दें कि चित्र 13.1 (c) में दोनों वक्र भाग न्यूटन के गति के समीकरण (अनुच्छेद 2.6 देखें) द्वारा दिए गए परबोला के खंड हैं,

$h=u t+\frac{1}{2} g t^{2}$ नीचे की गति के लिए, और

$h=u t-\frac{1}{3} g t^{2}$ ऊपर की गति के लिए,

प्रत्येक मामले में $u$ के अलग-अलग मान होते हैं। ये चक्रीय गति के उदाहरण हैं। इसलिए, एक गति जो समान समय अंतराल में दोहराई जाती है, चक्रीय गति कहलाती है।

चित्र 13.1 चक्रीय गति के उदाहरण। प्रत्येक मामले में चक्र काल $T$ दिखाया गया है।

बहुत सारी बार, चक्रीय गति कर रहे शरीर के कोई संतुलन बिंदु अपनी पथ के भीतर कहीं होता है। जब शरीर इस स्थिति में होता है, तो इस पर कोई शुद्ध बाह्य बल नहीं कार्य करता। इसलिए, यदि इसे शांति स्थिति में छोड़ दिया जाए, तो यह अपनी जगह पर अनंत तक रहता है। यदि शरीर को इस स्थिति से थोड़ा विस्थापन दिया जाए, तो एक बल उत्पन्न होता है जो शरीर को संतुलन बिंदु तक वापस लाने की कोशिश करता है, जिससे कम्पन या विपर्यय के रूप में उत्पन्न होता है। उदाहरण के लिए, एक गेंद एक बाउल में रखी जाए तो वह बाउल के नीचे संतुलन में होती है। यदि इसे थोड़ा विस्थापित कर दिया जाए, तो यह बाउल में कम्पन करती है। प्रत्येक कम्पन गति चक्रीय होती है, लेकिन प्रत्येक चक्रीय गति कम्पन गति नहीं होती। वृत्तीय गति एक चक्रीय गति है, लेकिन यह कम्पन गति नहीं है।

कोई भी उत्तेजना और आवर्त गति के बीच कोई महत्वपूर्ण अंतर नहीं होता। यह लगता है कि जब आवृत्ति छोटी होती है, तो हम इसे उत्तेजना (जैसे, एक पेड़ के शाखा की उत्तेजना) कहते हैं, जबकि जब आवृत्ति उच्च होती है, तो हम इसे आवर्त गति (जैसे, एक संगीत यंत्र के स्ट्रिंग की आवर्त गति) कहते हैं।

सरल आवर्त गति आवर्त गति के सबसे सरल रूप है। यह गति उत्पन्न होती है जब आवर्त गति कर रहे शरीर पर बल उसके माध्य स्थिति से विस्थापन के सीधे अनुपाती होता है, जो एक साथ संतुलन स्थिति भी होती है। इसके अतिरिक्त, इस गति के किसी भी बिंदु पर यह बल माध्य स्थिति की ओर दिशा लेता है।

अभ्यास में, आवर्त गति कर रहे शरीर अंततः अपनी संतुलन स्थिति में रुक जाते हैं क्योंकि घर्षण और अन्य विस्तार वाले कारणों के कारण ध्वनि होती है। हालांकि, वे कुछ बाहरी आवर्त एजेंसी के माध्यम से आवर्त गति के रूप में बने रह सकते हैं। हम बाद में इस अध्याय में ध्वनि और बल आवर्त गति के घटनाओं के बारे में चर्चा करेंगे।

कोई भी पदार्थ माध्यम को एक बड़ी संख्या में जुड़े आवर्त गति करने वाले उत्पादकों के संग्रह के रूप में चित्रित किया जा सकता है। एक माध्यम के घटकों की संगठित आवर्त गति तरंगों के रूप में व्यक्त होती है। तरंगों के उदाहरण जल तरंगें, भूकंपीय तरंगें, विद्युत चुंबकीय तरंगें हैं। हम अगले अध्याय में तरंग घटना के बारे में अध्ययन करेंगे।

13.2.1 अवधि और आवृत्ति#

हम देख चुके हैं कि कोई गति जो समय के नियमित अंतराल में दोहराई जाती है, आवर्त गति कहलाती है। गति के दोहराने के लिए सबसे छोटा समय अंतराल इसकी अवधि कहलाती है। इसे हम चिन्ह $T$ से नोट करते हैं। इसका SI इकाई सेकंड होती है। आवर्त गतियों के लिए, जो सेकंड के मापदंड पर बहुत तेज या बहुत धीमी होती हैं, अन्य सुविधाजनक समय इकाइयों का उपयोग किया जाता है। क्वार्ट्ज क्रिस्टल के झंकार की अवधि माइक्रोसेकंड ($10^{-6} \mathrm{~s}$) में व्यक्त की जाती है, जिसे $\mu \mathrm{s}$ के रूप में संक्षिप्त किया जाता है। दूसरी ओर, ग्रह मर्करी की कक्षीय अवधि 88 पृथ्वी दिन है। हैली के उपग्रह के प्रत्येक 76 वर्ष बाद दिखाई देता है।

$T$ के व्युत्क्रम इकाई समय में दोहराए गए पुनरावृति की संख्या देता है। इस मात्रा को आवर्त गति की आवृत्ति कहते हैं। इसे चिन्ह $v$ से नोट करते हैं। $v$ और $T$ के बीच संबंध है:

$$ \begin{equation*} v=1 / T \tag{13.1} \end{equation*} $$

इसलिए $v$ की इकाई $\mathrm{s}^{-1}$ होती है। रेडियो तरंगों के खोजकर्ता, हाइन्रिच रुडोल्फ हर्ट्ज (1857-1894) के नाम पर आवृत्ति की इकाई के लिए एक विशिष्ट नाम दिया गया है। इसे हर्ट्ज (संक्षिप्त रूप में $\mathrm{Hz}$) कहते हैं। इसलिए,

1 हर्ट्ज $=1 \mathrm{~Hz}=1$ सेकंड में एक दोलन $=1 \mathrm{~s}^{-1}$

ध्यान दें कि आवृत्ति, $v$, आवश्यक रूप से एक पूर्णांक नहीं हो सकती।

उदाहरण 13.1 औसतन, मनुष्य के दिल के धडकन की गणना 1 मिनट में 75 बार की जाती है। इसकी आवृत्ति और आवर्तकाल की गणना कीजिए।

उत्तर दिल की धड़कन की आवृत्ति $=75 /(1 \mathrm{~min})$

$$ \begin{aligned} & =75 /(60 \mathrm{~s}) \\ & =1.25 \mathrm{~s}^{-1} \\ & =1.25 \mathrm{~Hz} \\ \text { समय आवर्तकाल } T \quad & =1 /\left(1.25 \mathrm{~s}^{-1}\right) \\ & =0.8 \mathrm{~s} \end{aligned} $$

13.2.2 विस्थापन#

अनुभाग 3.2 में, हम एक कण के विस्थापन को इसके स्थिति सदिश में परिवर्तन के रूप में परिभाषित करते हैं। इस कैपिटर में, हम विस्थापन शब्द का एक अधिक सामान्य अर्थ में उपयोग करते हैं। यह किसी भी अध्ययन के भौतिक गुणधर्म में समय के साथ परिवर्तन को संदर्भित करता है। उदाहरण के लिए, एक स्टील गेंद के सीधी रेखा में गति के मामले में, शुरुआती बिंदु से दूरी के समय के फलन को इसके स्थिति विस्थापन के रूप में ले सकते हैं। मूल बिंदु के चयन के लिए आवश्यकता आराम के लिए हो सकती है। एक ब्लॉक के जो एक स्प्रिंग के साथ जुड़ा है, जिसका दूसरा सिरा एक कठोर दीवार के साथ जुड़ा है [चित्र 13.2(a) देखें]। आमतौर पर, शरीर के विस्थापन को इसके संतुलन स्थिति से मापना आसान होता है। एक दोलन करते हुए सरल लोलक के मामले में, समय के फलन में ऊर्ध्वाधर से कोण को एक विस्थापन चर के रूप में ले सकते हैं [चित्र 13.2(b) देखें]। विस्थापन शब्द के अर्थ केवल स्थिति के संदर्भ में ही नहीं हो सकता। विस्थापन चर के अनेक अन्य प्रकार हो सकते हैं। एक कैपेसिटर के सिरों पर वोल्टेज, जो एक $\mathrm{AC}$ परिपथ में समय के साथ बदलता है, एक विस्थापन चर हो सकता है। इसी तरह, ध्वनि तरंग के प्रसार में समय के साथ दबाव परिवर्तन, एक प्रकाश तरंग में बदलते विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र विस्थापन के अलग-अलग संदर्भों में उदाहरण हैं। विस्थापन चर धनात्मक और ऋणात्मक दोनों मान ले सकता है। दोलन के प्रयोगों में, विस्थापन के लिए विभिन्न समयों की गणना की जाती है।

चित्र 13.2 (a) एक ब्लॉक जो एक स्प्रिंग से जुड़ा है, जिसका दूसरा सिरा एक कठोर दीवार से जुड़ा है। ब्लॉक एक घर्षणरहित सतह पर गति करता है। ब्लॉक की गति को उसकी संतुलन स्थिति से दूरी या विस्थापन x के अनुसार वर्णित किया जा सकता है।

चित्र 13.2 (b) एक दोलन करता सरल लोलक; इसकी गति को ऊर्ध्वाधर से कोणीय विस्थापन θ के अनुसार वर्णित किया जा सकता है।

विस्थापन को समय के एक गणितीय फलन के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है। दोलन गति के मामले में, यह फलन समय के अनुसार आवर्ती होता है। सबसे सरल आवर्ती फलन निम्नलिखित है:

$$ \begin{equation*} f(t)=A \cos \omega t \tag{13.3a} \end{equation*}

$$

यदि इस फ़ंक्शन का तर्क, $\omega t$, को $2 \pi$ रेडियन के पूर्णांक गुणक द्वारा बढ़ा दिया जाए, तो फ़ंक्शन का मान बदलता नहीं रहता। फ़ंक्शन $f(t)$ तब आवर्ती होता है और इसका आवर्तकाल, $T$, निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

$$ \begin{equation*} T=\frac{2 \pi}{\omega} \tag{13.3b} \end{equation*} $$

इस प्रकार, फ़ंक्शन $f(t)$ आवर्ती होता है और आवर्तकाल $T$ होता है,

$$ f(t)=f(t+T) $$

एक साइन फ़ंक्शन, $f(t)=A \sin \omega t$ के बारे में विचार करने पर भी यही परिणाम स्पष्ट रूप से सही होता है। इसके अतिरिक्त, एक साइन और कोसाइन फ़ंक्शन के रूप में एक रैखिक संयोजन, जैसे,

$$ \begin{equation*} f(t)=A \sin \omega t+B \cos \omega t \tag{13.3c} \end{equation*} $$

समान आवर्तकाल $T$ के साथ भी एक आवर्ती फ़ंक्शन होता है। यदि हम लें,

$$ A=D \cos \phi \text { और } B=D \sin \phi $$

तो समीकरण (13.3c) को लिखा जा सकता है,

$$ \begin{equation*} f(t)=D \sin (\omega t+\phi), \tag{13.3d} \end{equation*} $$

यहाँ $D$ और $\phi$ नियतांक हैं जो निम्नलिखित द्वारा दिए जाते हैं

$$ D=\sqrt{A^{2}+B^{2}} \text { और } \varphi=\tan ^{-1} \frac{B}{A} $$

आवर्ती साइन और कोसाइन फ़ंक्शन के बहुत बड़े महत्व के कारण एक फ़्रेंच गणितज्ञ, जीन बैप्टिस्ट जोसेफ फूरियर (1768-1830) द्वारा एक अद्भुत परिणाम के कारण है: कोई भी आवर्ती फ़ंक्शन विभिन्न समय आवर्तकाल वाले साइन और कोसाइन फ़ंक्शन के उपर आधारित एक सुमेलन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जिनके लिए उपयुक्त गुणांक हों।

उदाहरण 13.2 निम्नलिखित समय के फलनों में से कौन-कौन (a) आवर्ती और (b) अनावर्ती गति का प्रतिनिधित्व करते हैं? प्रत्येक आवर्ती गति के मामले में आवर्तकाल दें [$\omega$ कोई भी धनात्मक नियतांक है]

(i) $\sin \omega t+\cos \omega t$

(ii) $\sin \omega t+\cos 2 \omega t+\sin 4 \omega t$

(iii) $\mathrm{e}^{-\omega t}$

(iv) $\log (\omega t)$

उत्तर

(i) $\sin \omega t+\cos \omega t$ एक आवर्ती फलन है, इसे भी लिखा जा सकता है $\sqrt{2} \sin (\omega t+\pi / 4)$।

अब $\sqrt{2} \sin (\omega t+\pi / 4)=\sqrt{2} \sin (\omega t+\pi / 4+2 \pi)$

$$=\sqrt{2} \sin [\omega(\mathrm{t}+2 \pi / \omega)+\pi / 4]$$

फलन का आवर्तकाल $2 \pi / \omega$ है।

(ii) यह एक आवर्ती गति का उदाहरण है। ध्यान दें कि प्रत्येक पद एक अलग कोणीय आवृत्ति के आवर्ती फलन का प्रतिनिधित्व करता है। क्योंकि आवर्तकाल वह न्यूनतम समय अंतर है जिसके बाद एक फलन अपने मान को दोहराता है, $\sin \omega t$ का आवर्तकाल $T_0=2 \pi / \omega ; \cos 2 \omega t$ का आवर्तकाल $\pi / \omega=T_o / 2$; और $\sin 4 \omega t$ का आवर्तकाल $2 \pi / 4 \omega=T_o / 4$ है। पहले पद का आवर्तकाल अंतिम दो पदों के आवर्तकाल के गुणज है। अतः, तीन पदों के योग के लिए न्यूनतम समय अंतर $T_0$ है, और इसलिए, योग एक आवर्ती फलन है जिसका आवर्तकाल $2 \pi / \omega$ है।

(iii) फलन $e^{-\omega t}$ आवर्ती नहीं है, यह समय के बढ़ने के साथ एक निरंतर घटता है और $t \rightarrow \infty$ के बराबर होने पर शून्य की ओर बढ़ता है और इसलिए, अपने मान को कभी दोहराता नहीं है।

(iv) फलन $\log (\omega t)$ समय $t$ के बढ़ने के साथ एक निरंतर बढ़ता है। इसलिए, यह कभी अपने मान को दोहराता नहीं है और एक गैर-आवर्ती फलन है। ध्यान दें कि $t \rightarrow \infty$ के बराबर होने पर $\log (\omega t)$ अपरिमित रूप से बढ़ता है। इसलिए, यह कोई भी भौतिक विस्थापन को प्रस्तुत नहीं कर सकता।

13.3 सरल आवर्त गति#

एक कण को मूल बिंदु के आसपास $x$-अक्ष के बीच $+A$ और $-A$ के बीच आगे-पीछे गति करते हुए देखा जाता है, जैसा कि चित्र 13.3 में दिखाया गया है। यह आवर्त गति सरल आवर्त गति कहलाती है यदि कण के मूल बिंदु से विस्थापन $x$ समय के साथ निम्न रूप में बदलता है :

$$ \begin{equation*} x(t)=A \cos (\omega t+\phi) \tag{13.4} \end{equation*} $$

चित्र 13.3 एक कण x-अक्ष के मूल बिंदु के चारों ओर +A और –A के बीच आवर्त गति करता है।

जहाँ $A, \omega$ और $\phi$ स्थिरांक हैं।

इस प्रकार, सरल आवर्त गति (SHM) केवल कोई आवर्त गति नहीं होती, बल्कि वह गति है जिसमें विस्थापन समय के एक ज्यावक्रीय फलन होता है। चित्र 13.4 में एक कण के SHM में विभिन्न समय मानों पर स्थिति को दिखाया गया है, जहाँ प्रत्येक समय अंतर $T / 4$ होता है, जहाँ $T$ गति की आवर्तकाल है। चित्र 13.5 में $x$ और $t$ के बीच ग्राफ को दिखाया गया है, जो समय के एक बरत फलन के रूप में विस्थापन के मानों को दिखाता है। एक दिए गए SHM के विशिष्ट रूप से विशिष्ट राशियाँ $A$, $\omega$ और $\phi$ हैं, जो चित्र 13.6 में सारांशित किए गए हैं। इन राशियों को समझने के लिए हम अब चर्चा करेंगे।

चित्र 13.4 SHM में कण के विभिन्न समय मानों t = 0, T/4, T/2, 3T/4, T, 5T/4 पर स्थिति को दिखाया गया है। गति के दोहराने के लिए आवश्यक समय T है। T निर्धारित रहेगा, चाहे आप किसी भी स्थिति को प्रारंभिक (t = 0) स्थिति के रूप में चुन लें। विस्थापन शून्य होने पर वेग अधिकतम होता है (x = 0 पर) और गति के अंतिम बिंदुओं पर वेग शून्य होता है।

The amplitutde $A$ of SHM is the magnitude of maximum displacement of the particle. [Note, $A$ can be taken to be positive without any loss of generality]

Fig. 13.5 Displacement as a continuous function of time for simple harmonic motion.

Fig. 13.6 The meaning of standard symbols in Eq. (13.4)

As the cosine function of time varies from +1 to -1 , the displacement varies between the extremes $A$ and $-A$. Two simple harmonic motions may have same $\omega$ and $\phi$ but different amplitudes $A$ and $B$, as shown in Fig. 13.7 (a).

चित्र 13.7 (a) एक ग्राफ जो समय के साथ विस्थापन के फलन के रूप में प्राप्त किया गया है, जो समीकरण (14.4) से प्राप्त किया गया है जहाँ φ = 0 है। वक्र 1 और 2 दो अलग-अलग आयाम A और B के लिए हैं।

जब आयाम $A$ एक दिए गए एकसमान विस्थापन गति (SHM) के लिए निश्चित होता है, तो कण के कोई भी समय $t$ पर गति की स्थिति (स्थान और वेग) को कोसाइन फलन में तर्ग द्वारा $(\omega t+\phi)$ निर्धारित किया जाता है। इस समय-संवेदी राशि, $(\omega t+\phi)$ को गति के चरण कहा जाता है। $t=0$ पर चरण का मान $\phi$ होता है और इसे चरण स्थिरांक (या चरण कोण) कहा जाता है। यदि आयाम ज्ञात हो, तो $t=0$ पर विस्थापन से $\phi$ का मान निर्धारित किया जा सकता है। दो सरल आवर्त गतियों के लिए एक ही $A$ और $\omega$ हो सकते हैं लेकिन अलग-अलग चरण कोण $\phi$ हो सकते हैं, जैसा कि चित्र 13.7 (b) में दिखाया गया है।

अंत में, राशि $\omega$ को गति के आवर्तकाल $T$ के साथ संबंधित देखा जा सकता है। सरलता के लिए, समीकरण (13.4) में $\phi=0$ लेते हुए, हम निम्नलिखित प्राप्त करते हैं:

चित्र 13.7 (b) समीकरण (13.4) से प्राप्त एक ग्राफ है। वक्र 3 और 4 क्रमशः φ = 0 और -π/4 के लिए हैं। दोनों ग्राफ के लिए आयाम A समान है।

$$ \begin{equation*} x(t)=A \cos \omega t \tag{13.5} \end{equation*} $$

चूंकि गति की आवृत्ति $T$ है, $x(t)$ के लिए $x(t+T)$ के बराबर होता है। अर्थात,

$$ \begin{equation*} A \cos \omega t=A \cos \omega(t+T) \tag{13.6} \end{equation*} $$

अब, कोसाइन फलन $2 \pi$ की आवृत्ति के साथ आवर्ती होता है, अर्थात जब तक तर्क में $2 \pi$ की परिवर्तन हो जाए तब यह पहली बार दोहराया जाता है। अतः,

$$ \omega(t+T)=\omega t+2 \pi $$

$$ \text{अर्थात } \quad \omega=2 \pi / T \tag{13.7}$$

$\omega$ को सरल आवर्त गति की कोणीय आवृत्ति कहते हैं। इसका S.I. मात्रक सेकंड प्रति रेडियन होता है। चूंकि आवर्त गति की आवृत्ति बस $1 / \mathrm{T}$ होती है, इसलिए $\omega$ आवर्त गति की आवृत्ति के $2 \pi$ गुना होती है। दो सरल आवर्त गतियों के लिए एक ही $\mathrm{A}$ और $\phi$ हो सकते हैं, लेकिन अलग-अलग $\omega$ हो सकती है, जैसा कि चित्र 13.8 में दिखाया गया है। इस ग्राफ में वक्र (b) के लिए आवर्तकाल आधा होता है और आवृत्ति वक्र (a) की तुलना में दोगुनी होती है।

चित्र 13.8 समीकरण (13.4) के आलेख जहाँ φ = 0 और दो अलग-अलग आवर्तकाल के लिए।

उदाहरण 13.3 निम्नलिखित समय के फलनों में से कौन-से (a) सरल आवर्त गति का प्रतिनिधित्व करते हैं और (b) आवर्त लेकिन सरल आवर्त नहीं? प्रत्येक मामले के लिए आवर्तकाल बताइए।

(1) $\sin \omega t-\cos \omega t$

(2) $\sin ^{2} \omega t$

उत्तर

(a) $\sin \omega t-\cos \omega t$

$$ \begin{aligned} &= \sin \omega t-\sin (\pi / 2-\omega t) \\ &= 2 \cos (\pi / 4) \sin (\omega t-\pi / 4) \\ &=\sqrt{ } 2 \sin (\omega t-\pi / 4) \end{aligned} $$

इस फलन को एक सरल आवर्त गति के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है जिसका आवर्तकाल $T=2 \pi / \omega$ है और जिसका अपवाह अंग $(-\pi / 4)$ या $(7 \pi / 4)$ है।

(b) $\sin ^{2} \omega t\=1 / 2-1 / 2 \cos 2 \omega t$

इस फलन को आवर्त गति के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है जिसका आवर्तकाल $T=\pi / \omega$ है। यह एक आवर्त गति का प्रतिनिधित्व करता है जहाँ संतुलन बिंदु $1 / 2$ पर होता है न कि शून्य पर।

13.4 सरल वृत्तीय गति और समान वृत्तीय गति#

इस अनुच्छेद में हम दिखाएंगे कि एक वृत्त के व्यास पर समान वृत्तीय गति का प्रक्षेप एक सरल आवर्त गति के अनुरूप होता है। एक सरल प्रयोग (चित्र 13.9) हमें इस संबंध को देखने में सहायता करता है। एक गेंद को एक रस्सी के एक सिरे से बांध दें और इसे एक निश्चित बिंदु के चारों ओर एक स्थिर कोणीय चाल के साथ क्षैतिज समतल में गति कराएं। तब गेंद एक क्षैतिज समतल में समान वृत्तीय गति करेगी। गेंद को ओर से या आगे से देखते हुए अपना ध्यान गति के समतल में रखें। गें दिखाई देगी कि वह एक क्षैतिज रेखा पर आगे-पीछे गति कर रही है जिसका मध्य बिंदु घूर्णन के बिंदु होगा। आप एक अलग तरीके से भी गेंद की छाया को एक दीवार पर देख सकते हैं जो वृत्त के समतल के लंबवत हो। इस प्रक्रिया में हम देख रहे हैं कि गेंद के वृत्त के व्यास पर गति हो रही है जो देखने की दिशा के लंबवत है।

चित्र 13.9 एक वृत्त के तल में एक गेंद के वृत्तीय गति को किनारे से देखने पर यह सरल आवर्त गति है।

चित्र 13.10 में इसी स्थिति का गणितीय वर्णन दिया गया है। मान लीजिए एक कण $\mathrm{P}$, त्रिज्या $A$ के एक वृत्त पर एकसमान गति से गति कर रहा है तथा इसकी कोणीय चाल $\omega$ है। घूर्णन की दिशा वामावर्त है। कण के प्रारंभिक स्थिति सदिश, अर्थात वृत्त के केंद्र $\mathrm{O}$ से कण $\mathrm{P}$ के सदिश $\overline{\mathbf{O P}}$ के लिए $t = 0$ पर धनात्मक $x$-अक्ष की दिशा से $\phi$ कोण बनाता है। समय $t$ में यह एक अतिरिक्त कोण $\omega t$ तय करेगा तथा इसके स्थिति सदिश के धनात्मक $x$-अक्ष की दिशा से बना कोण $\omega t + \phi$ होगा। अब, इस स्थिति सदिश $\overline{\mathbf{O P}}$ के $x$-अक्ष पर प्रक्षेप की गणना करें। यह $\mathrm{OP}^{\prime}$ होगा। जब कण $\mathrm{P}$ वृत्त पर गति करता है, तो इसके $x$-अक्ष पर स्थिति $\mathrm{P}^{\prime}$ द्वारा दी गई गणना निम्नलिखित है:

चित्र 13.10

$$ x(t)=A \cos (\omega t+\phi) $$

जो सरल आवर्त गति (SHM) की परिभाषात्मक समीकरण है। यह दिखाता है कि यदि $\mathrm{P}$ एक वृत्त पर समान गति से गति करता है, तो इसका प्रक्षेप $\mathrm{P}^{\prime}$ वृत्त के व्यास पर सरल आवर्त गति करता है। कण $\mathrm{P}$ और इसके गति के वृत्त को कभी-कभी संदर्भ कण और संदर्भ वृत्त के रूप में संदर्भित किया जाता है।

हम $\mathrm{P}$ की गति के किसी भी व्यास पर, उदाहरण के लिए $y$-अक्ष पर, प्रक्षेप को ले सकते हैं। इस स्थिति में, $y$-अक्ष पर $\mathrm{P}^{\prime}$ की विस्थापन $y(t)$ निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है:

$$ y=A \sin (\omega t+\phi) $$

जो $x$-अक्ष पर प्रक्षेप के तुलनात्मक आयाम के समान एक सरल आवर्त गति है, लेकिन इसमें एक अतिरिक्त चरण $\pi / 2$ होता है।

इसके बावजूद वृत्तीय गति और सरल आवर्त गति के बीच इस संबंध के बावजूद, एक कण के रेखीय सरल आवर्त गति में कार्य करने वाले बल केंद्रापसारक बल से बहुत अलग होता है, जो एक कण को समान वृत्तीय गति में रखने के लिए आवश्यक होता है।

उदाहरण 13.4 नीचे दिया गया चित्र दो वृत्तीय गतियों को दर्शाता है। वृत्त की त्रिज्या, घूर्णन काल, प्रारंभिक स्थिति और घूर्णन की दिशा चित्रों में दिखाए गए हैं। प्रत्येक स्थिति में घूमते कण $\mathrm{P}$ के विस्थापन वृत्त के $x$-प्रक्षेप के सरल आवर्त गति को प्राप्त कीजिए।

उत्तर

(a) $t=0$ के समय, OP, x-अक्ष (धनात्मक दिशा में) के साथ $45^{\circ}=\pi / 4 \mathrm{rad}$ का कोण बनाता है। समय $t$ के बाद, यह वृत्तीय गति के विपरीत दिशा में $\frac{2 \pi}{T} t$ कोण तय करता है और x-अक्ष के साथ $\frac{2 \pi}{T} t+\frac{\pi}{4}$ का कोण बनाता है।

समय $t$ पर OP के x-अक्ष पर प्रक्षेप निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है,

$ x(t)=A \cos \left(\frac{2 \pi}{T} t+\frac{\pi}{3}\right) $

जब $T=4 \mathrm{~s}$ हो,

$ x(t)=A \cos \left(\frac{2 \pi}{4} t+\frac{\pi}{4}\right) $

जो आयाम $A$, आवर्तकाल $4 \mathrm{~s}$ और प्रारंभिक कलन $\frac{\pi}{4}$ के साथ एक सरल आवर्त गति (SHM) है।

(b) इस स्थिति में $t=0$ के समय, OP, x-अक्ष के साथ $90^{\circ}=\frac{\pi}{2}$ का कोण बनाता है। समय $t$ के बाद, यह वृत्तीय गति के घड़ी की दिशा में $\frac{2 \pi}{T} t$ कोण तय करता है और x-अक्ष के साथ $\left(\frac{\pi}{2}-\frac{2 \pi}{T} t\right)$ का कोण बनाता है। समय $t$ पर OP के x-अक्ष पर प्रक्षेप निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

$ \begin{array}{r} x(t)=B \cos \left(\frac{\pi}{2}-\frac{2 \pi}{T} t\right) \\ =B \sin \left(\frac{2 \pi}{T} t\right) \end{array} $

$T=30 \mathrm{~s}$ के लिए,

$$ x(t)=B \sin \left(\frac{\pi}{15} t\right) $$

इसे $x(t)=B \cos \left(\frac{\pi}{15} t-\frac{\pi}{2}\right)$ के रूप में लिखा जा सकता है, और समीकरण (13.4) के साथ तुलना करते हुए, हम जानते हैं कि यह एक सरल आवर्त गति (SHM) को दर्शाता है, जिसका आयाम $B$, आवर्तकाल $30 \mathrm{~s}$ है, और आरंभिक कोण $-\frac{\pi}{2}$ है।

• कोण की प्राकृतिक इकाई रेडियन होती है, जो चाप और त्रिज्या के अनुपात द्वारा परिभाषित होती है। कोण एक विमाही राशि होती है। इसलिए, हमें जब भी π, इसके गुणज या भिन्न का उपयोग करते हैं, तब ‘रेडियन’ इकाई के उल्लेख करना आवश्यक नहीं होता। रेडियन और डिग्री के बीच आपसी परिवर्तन एसे नहीं होता जैसे मीटर और सेंटीमीटर या मील के बीच होता है। यदि एक त्रिकोणमितीय फलन के तर्क में इकाई के रूप में कोई इकाई नहीं दी गई हो, तो इसे रेडियन के रूप में समझा जाता है। दूसरी ओर, यदि डिग्री को कोण की इकाई के रूप में उपयोग करना हो, तो इसे स्पष्ट रूप से दर्शाया जाना चाहिए। उदाहरण के लिए, sin(150) का अर्थ 15 डिग्री के साइन होता है, लेकिन sin(15) का अर्थ 15 रेडियन के साइन होता है। अब आगे चलकर, हम अक्सर ‘रेडियन’ इकाई के उल्लेख को छोड़ देंगे, और यह समझ लेंगे कि जब कोई संख्यात्मक मान कोण के रूप में दिया जाता है और इकाई के बिना, तब इसे रेडियन के रूप में लेना चाहिए।

13.5 सरल आवर्त गति में वेग और त्वरण#

समान वृत्तीय गति में एक कण का वेग $v$ उसके कोणीय वेग $\omega$ के बराबर होता है और वृत्त की त्रिज्या $A$ के गुणनफल के बराबर होता है।

$$ \begin{equation*} V=\omega A \tag{13.8} \end{equation*} $$

एक समय $t$ पर वेग $\overline{\mathbf{v}}$ की दिशा वृत्त के उस बिंदु पर स्पर्शरेखा के अनुदिश होती है जहां कण वहां स्थित होता है। चित्र 13.11 के ज्यामिति से स्पष्ट है कि समय $t$ पर प्रकाशित कण $\mathrm{P}^{\prime}$ का वेग है

$$ \begin{equation*} v(t)=-\omega A \sin (\omega t+\phi) \tag{13.9} \end{equation*} $$

चित्र 13.11 कण P′ का वेग, $v (t)$, संदर्भ कण P के वेग $\overline{\mathbf{v}}$ के प्रकाशन है।

जहां ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि $v(\mathrm{t})$ की दिशा $x$-अक्ष की धनात्मक दिशा के विपरीत होती है। समीकरण (13.9) एक कण के आवर्त गति में तात्कालिक वेग को दर्शाता है, जहां विस्थापन समीकरण (13.4) द्वारा दिया गया है। हम ज्यामितीय तर्क के बिना भी इस समीकरण को अवकलज करके प्राप्त कर सकते हैं (समीकरण 13.4 के संदर्भ में):

$$ \begin{equation*} v(t)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} x(t) \tag{13.10} \end{equation*} $$

संदर्भ वृत्त के विधि का उपयोग एक कण के दोलन गति (SHM) में तात्कालिक त्वरण के प्राप्ति के लिए भी इसी तरह किया जा सकता है। हम जानते हैं कि एक समान वृत्तीय गति में एक कण $\mathrm{P}$ के केंद्रापगामी त्वरण के परिमाण $v^{2} / \mathrm{A}$ या $\omega^{2} \mathrm{~A}$ होता है, और यह केंद्र की ओर दिशा में होता है, अर्थात दिशा PO के अनुदिश होती है। तात्कालिक त्वरण के प्रक्षेपित कण $\mathrm{P}^{\prime}$ के लिए तब (चित्र 13.12 देखें)

$$ \begin{align*} a(t) & =-\omega^{2} A \cos (\omega t+\phi) \\ & =-\omega^{2} x(t) \tag{13.11} \end{align*} $$

चित्र 13.12 कण P′ के त्वरण, a(t), संदर्भ कण P के त्वरण a के प्रक्षेपण के बराबर है

समीकरण (13.11) एक कण के दोलन गति में त्वरण को देता है। इसी समीकरण को फिर से समीकरण (13.9) द्वारा दिए गए वेग $v(t)$ के संबंध में समय के सापेक्ष अवकलन करके प्राप्त किया जा सकता है:

$$ \begin{equation*} a(t)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} v(t) \tag{13.12} \end{equation*} $$

हम इकvation (13.11) से यह महत्वपूर्ण गुण ध्यान में रखते हैं कि SHM में कण के त्वरण विस्थापन के अनुपातिक होता है। $\mathrm{x}(t)>0$ के लिए $a(t)<0$ और $x(t)<0$ के लिए $a(t)>0$ होता है। इसलिए, चाहे $x$ का मान $-A$ और $A$ के बीच किसी भी मान पर हो, त्वरण $a(t)$ हमेशा केंद्र की ओर दिशा में होता है।

सरलता के लिए, हम $\phi=0$ लें और $x(t), v(t)$ और $a(t)$ के व्यंजक लिखें:

$x(t)=A \cos \omega t, v(t)=-\omega A \sin \omega t, a(t)=-\omega^{2} A \cos \omega t$ संगत ग्राफ चित्र 13.13 में दिखाए गए हैं। सभी राशियाँ समय के साथ वृत्तीय रूप से बदलती हैं; केवल उनके अधिकतम मान अलग होते हैं और विभिन्न ग्राफ अलग-अलग चरण में होते हैं। $x$ का मान $-A$ से $A$ तक बदलता है; $v(t)$ का मान $-\omega A$ से $\omega A$ तक बदलता है और $a(t)$ का मान $-\omega^{3} A$ से $\omega^{2} A$ तक बदलता है। विस्थापन ग्राफ के संबंध में वेग ग्राफ में $\pi / 2$ के चरण अंतर होता है और त्वरण ग्राफ में $\pi$ के चरण अंतर होता है।

चित्र 13.13 सरल अथवा वृत्तीय गति में एक कण के विस्थापन, वेग और त्वरण के एक ही आवर्तकाल T होता है, लेकिन उनके अपने अपने चरण होते हैं।

उदाहरण 13.5 एक वस्तु निम्नलिखित समीकरण के अनुसार सरल आवर्त गति (SHM) में आवर्त गति करती है (SI इकाई में),

$$ x=5 \cos [2 \pi t+\pi / 4] . $$

$ t=1.5 \mathrm{~s} $ पर, वस्तु के (a) विस्थापन, (b) वेग और (c) त्वरण की गणना कीजिए।

उत्तर वस्तु की कोणीय आवृत्ति $ \omega =2 \pi \mathrm{s}^{-1} $ है और इसका समय आवर्तकाल $ T=1 \mathrm{~s} $ है।

$ t=1.5 \mathrm{~s} $ पर

(a) विस्थापन $=(5.0 \mathrm{~m}) \cos \left[\left(2 \pi \mathrm{s}^{-1}\right) \times\right.$ $1.5 \mathrm{~s}+\pi / 4]$

$$ \begin{aligned} & =(5.0 \mathrm{~m}) \cos [(3 \pi+\pi / 4)] \\ & =-5.0 \times 0.707 \mathrm{~m} \\ & =-3.535 \mathrm{~m} \end{aligned} $$

(b) समीकरण (13.9) का उपयोग करके वस्तु के वेग की गणना

$$ \begin{aligned} & =-(5.0 \mathrm{~m})\left(2 \pi \mathrm{~s}^{-1}\right) \sin \left[\left(2 \pi \mathrm{~s}^{-1}\right) \times 1.5 \mathrm{~s}\right. \ & +\pi / 4] \ & =-(5.0 \mathrm{~m})\left(2 \pi \mathrm{~s}^{-1}\right) \sin [(3 \pi+\pi / 4)] \ \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} & =10 \pi \times 0.707 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} \ & =22 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} \end{aligned} $$

(c) समीकरण (13.10) का उपयोग करके, वस्तु के त्वरण का

$$ \begin{aligned} & =-\left(2 \pi \mathrm{~s}^{-1}\right)^2 \times \text { विस्थापन } \ & =-\left(2 \pi \mathrm{~s}^{-1}\right)^2 \times(-3.535 \mathrm{~m}) \ & =140 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2} \end{aligned} $$

13.6 सरल आवर्त गति के लिए बल का नियम#

न्यूटन के द्वितीय गति के नियम और एक कण के सरल आवर्त गति (SHM) में त्वरण के व्यंजक (समीकरण 13.11) का उपयोग करके, द्रव्यमान $m$ के एक कण पर लगने वाले बल का

$$ \begin{align*} F(t) & =m a \\ & =-m \omega^{2} x(t) \end{align*} $$

$$ \text{i.e.,} \quad F(t)=-k x(t) \tag{13.13}$$

$$ \text{where} \quad k=m \omega^{2} \tag{13.14a}$$

$$ \text{or} \quad \omega=\sqrt{\frac{k}{m}} \tag{13.14b}$$

त्वरण की तरह, बल हमेशा माध्य स्थिति की ओर दिशा में होता है-इसलिए इसे आवर्त गति में कभी-कभी बहाव बल के रूप में भी कहा जाता है। अब तक के विवरण को सारांशित करते हुए, सरल आवर्त गति को दो समान तरीकों से परिभाषित किया जा सकता है, या तो विस्थापन के लिए समीकरण (13.4) या बल के नियम के लिए समीकरण (13.13) द्वारा। समीकरण (13.4) से समीकरण (13.13) तक पहुंचने के लिए हमें दो बार अवकलन करना पड़ता है। इसी तरह, बल के नियम के समीकरण (13.13) को दो बार समाकलन करके हम समीकरण (13.4) प्राप्त कर सकते हैं।

ध्यान दें कि समीकरण (13.13) में बल $x(t)$ के रूप में रैखिक रूप से समानुपाती है। ऐसे बल के अंतर्गत आवर्त गति करने वाले कण को रैखिक सरल दोलनकारी कहा जाता है। वास्तविक दुनिया में, बल में $x^{2}, x^{3}$, आदि के साथ छोटे अतिरिक्त पद हो सकते हैं। ऐसे बल के अंतर्गत आवर्त गति करने वाले कण को गैर-रैखिक दोलनकारी कहा जाता है।

उदाहरण 13.6 दो समान बर्फ के बल नियतांक $k$ वाले स्प्रिंग एक द्रव्यमान $m$ के ब्लॉक और निश्चित समर्थनों के साथ जुड़े हैं, जैसा कि चित्र 13.14 में दिखाया गया है। दिखाइए कि जब द्रव्यमान अपने संतुलन स्थिति से दोनों ओर से विस्थापित होता है, तो यह सरल दोलन करता है। दोलन की आवृत्ति काल ज्ञात कीजिए।

चित्र 13.14

उत्तर मान लीजिए कि द्रव्यमान को संतुलन स्थिति के दाईं ओर एक छोटी दूरी $x$ तक विस्थापित कर दिया जाता है, जैसा कि चित्र 13.15 में दिखाया गया है। इस स्थिति में बाईं ओर के स्प्रिंग की लंबाई $x$ के बराबर बढ़ जाती है और दाईं ओर के स्प्रिंग की लंबाई उतनी ही कम हो जाती है। द्रव्यमान पर कार्य करने वाले बल निम्नलिखित हैं,

चित्र 13.15

$F _{1}=-k x$ (बाएँ ओर बल द्वारा द्रव्यमान को मध्य स्थिति की ओर खींचने का प्रयास करता है)

$F _{2}=-k x$ (दाएँ ओर बल द्वारा द्रव्यमान को मध्य स्थिति की ओर धकेलने का प्रयास करता है)

द्रव्यमान पर कार्य करने वाला संयोजित बल, $F$, निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है,

$ F=-2 k x $

इसलिए, द्रव्यमान पर कार्य करने वाला बल विस्थापन के अनुपाती होता है और इसकी दिशा मध्य स्थिति की ओर होती है; अतः द्रव्यमान द्वारा अंतर्गत गति सरल अथवा वृत्तीय गति होती है। इस गति के दोलन काल के लिए,

$ T=2 \pi \sqrt{\frac{m}{2 k}} $

13.7 सरल अथवा वृत्तीय गति में ऊर्जा#

सरल अथवा वृत्तीय गति में एक कण की गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा शून्य और अधिकतम मान के बीच बदलती रहती है।

अनुच्छेद 13.5 में हम देख चुके हैं कि एक कण की गति जो सरल अथवा वृत्तीय गति में होती है, समय के चक्रीय फलन होती है। इसकी गति विस्थापन के अतिरिक्त स्थितियों पर शून्य होती है। अतः ऐसे कण की गतिज ऊर्जा (K), जो निम्नलिखित द्वारा परिभाषित की जाती है,

$$ \begin{align*} K =\frac{1}{2} m v^{2} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} & =\frac{1}{2} m \omega^{2} A^{2} \sin ^{2}(\omega t+\phi) \end{align*} $$

$$ \begin{align*} & =\frac{1}{2} k A^{2} \sin ^{2}(\omega t+\phi) \tag{13.15} \end{align*} $$

समय के एक आवर्ती फलन भी है, जब विस्थापन अधिकतम होता है तो यह शून्य होता है और जब कण मध्य स्थिति पर होता है तो यह अधिकतम होता है। ध्यान दें, क्योंकि $v$ के चिह्न $K$ में महत्वहीन है, $K$ का आवर्तकाल $T / 2$ होता है।

सरल आवर्त गति में एक कण की संभावन ऊर्जा $(U)$ क्या होती है? अध्याय 6 में हम देख चुके हैं कि संभावन ऊर्जा की अवधारणा केवल संरक्षित बलों के लिए ही संभव होती है। बल $F=-k x$ एक संरक्षित बल है, जिसके संगत संभावन ऊर्जा है

$$ \begin{equation*} U=\frac{1}{2} k x^{2} \tag{13.16} \end{equation*} $$

अतः सरल आवर्त गति में एक कण की संभावन ऊर्जा है,

$$ \begin{align*} & U(x)=\frac{1}{2} k x^{2} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} & =\frac{1}{2} k A^{2} \cos ^{2}(\omega t+\phi) \tag{13.17} \end{align*} $$

\end{align*} $$

इस प्रकार, एक कण के सरल अथवा वृत्तीय गति में संभावना ऊर्जा भी आवर्ती होती है, आवर्तकाल $T / 2$ होता है, औसत स्थिति पर शून्य होती है और अतिरिक्त विस्थापन पर अधिकतम होती है।

समीकरण (13.15) और (13.17) से यह निष्कर्ष निकलता है कि प्रणाली की कुल ऊर्जा, $E$, है,

$ E=U+K $

$ \begin{aligned} & =\frac{1}{2} k A^{2} \cos ^{2}(\omega t+\phi)+\frac{1}{2} k A^{2} \sin ^{2}(\omega t+\phi) \\ & =\frac{1}{2} k A^{2}\left[\cos ^{2}(\omega t+\phi)+\sin ^{2}(\omega t+\phi)\right] \end{aligned} $

परिचित त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग करते हुए, ब्रैकेट में व्यंजक का मान एक होता है। इसलिए,

$$ \begin{equation*} E=\frac{1}{2} k A^{2} \tag{13.18} \end{equation*} $$

इस प्रकार, एक अवाप्त आवर्ती गति के यांत्रिक कुल ऊर्जा समय के अनुपात में स्वतंत्र होती है, जैसा कि कोई भी संरक्षित बल के अंतर्गत गति के लिए अपेक्षित होता है। एक रैखिक सरल अथवा वृत्तीय गति के संभावना और गतिज ऊर्जा के समय और विस्थापन निर्भरता को चित्र 13.16 में दिखाया गया है।

चित्र 13.16 एक दोलन गति में कण के समय के फलन के रूप में किनेटिक ऊर्जा, स्थितिज ऊर्जा और कुल ऊर्जा [ (a) में दिखाया गया है] और विस्थापन के फलन के रूप में [ (b) में दिखाया गया है]। किनेटिक ऊर्जा और स्थितिज ऊरजा दोनों एक आवर्तकाल T/2 के बाद दोहराई जाती है। कुल ऊर्जा सभी समय t या x पर स्थिर रहती है।

ध्यान दें कि चित्र 13.16 में दोलन गति में किनेटिक ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा दोनों हमेशा धनात्मक दिखाई देती है। किनेटिक ऊर्जा निश्चित रूप से नकारात्मक नहीं हो सकती, क्योंकि यह वेग के वर्ग के समानुपाती होती है। स्थितिज ऊर्जा के अनिर्धारित स्थिरांक के चयन के कारण धनात्मक होती है। दोलन गति के प्रत्येक आवर्तकाल में किनेटिक ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा दो बार अपने उच्चिष्ठ बिंदु पर पहुँचती है। $x=0$ पर ऊर्जा किनेटिक होती है; अतिरिक्त बिंदुओं $x= \pm A$ पर यह सभी स्थितिज ऊर्जा होती है। इन सीमाओं के बीच गति के दौरान किनेटिक ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा के खर्च पर बढ़ती है या विपरीत।

उदाहरण 13.7 एक ब्लॉक जिसका द्रव्यमान $1 \mathrm{~kg}$ है, एक स्प्रिंग से जुड़ा है। स्प्रिंग के बल नियतांक $50 \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-1}$ है। ब्लॉक को एक घर्षण रहित सतह पर अपने संतुलन स्थिति $x=0$ से शुरू करते हुए $t=0$ पर विराम में एक दूरी $x=10 \mathrm{~cm}$ तक खींच लिया जाता है। ब्लॉक के औसत स्थिति से $5 \mathrm{~cm}$ दूर जब यह गति करता है तब इसकी किनेटिक, स्थितिज और कुल ऊर्जा की गणना कीजिए।

उत्तर

ब्लॉक एक सरल आवर्त गति (SHM) में चल रहा है, इसकी कोणीय आवृत्ति, समीकरण (13.14b) द्वारा दी गई, है

$ \begin{aligned} \omega & =\sqrt{k / m} \\ & =\sqrt{\frac{50 \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-1}}{1 \mathrm{~kg}}}\\ \\ & =7.07 \mathrm{rad} \hspace{1mm}\mathrm{s}^{-1} \text { }\\ \end{aligned} $

इसके अतः किसी समय $t$ पर विस्थापन द्वारा दिया गया है,

$$ x(t)=0.1 \cos (7.07 t) $$

इसलिए, जब कण मध्य स्थिति से $5 \mathrm{~cm}$ दूर होता है, तो हमें प्राप्त होता है

$$ 0.05=0.1 \cos (7.07 t) $$

या $\cos (7.07 t)=0.5$ और इसलिए

$\sin (7.07 t)=\frac{\sqrt{3}}{2}=0.866$

तब, $x=5 \mathrm{~cm}$ पर ब्लॉक की चाल है

$$ \begin{aligned} & =0.1 \times 7.070 .866 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} \\ & =0.61 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} \end{aligned} $$

इसलिए, ब्लॉक की कार्य ऊर्जा (K.E.) है,

$$ \begin{aligned} & =\frac{1}{2} m v^{2} \\ & =1 / 2\left[1 \mathrm{~kg} \times\left(0.6123 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}\right)^{2}\right] \\ & =0.19 \mathrm{~J} \end{aligned} $$

ब्लॉक की स्थितिज ऊर्जा (P.E.), है,

$$ \begin{aligned}

$$ \begin{aligned} & =\frac{1}{2} k x^{2} \\ & =1 / 2\left(50 \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-1} \times 0.05 \mathrm{~m} \times 0.05 \mathrm{~m}\right) \\ & =0.0625 \mathrm{~J} \end{aligned} $$

$5 \mathrm{~cm}$ के विस्थापन पर ब्लॉक की कुल ऊर्जा,

$$ =\text { किण्वन ऊर्जा + स्थितिज ऊर्जा } $$ $$ =0.25 \mathrm{~J} $$

हम यह भी जानते हैं कि अधिकतम विस्थापन पर किण्वन ऊर्जा शून्य होती है और इसलिए प्रणाली की कुल ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा के बराबर होती है। अतः प्रणाली की कुल ऊर्जा,

$$ \begin{aligned} & =1 / 2\left(50 \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-1} \times 0.1 \mathrm{~m} \times 0.1 \mathrm{~m}\right) \\ & =0.25 \mathrm{~J} \end{aligned} $$

जो $5 \mathrm{~cm}$ के विस्थापन पर दोनों ऊर्जाओं के योग के समान है। यह ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के साथ संगत है।

13.8 सरल लोलक#

यह कहा जाता है कि गैलीलियो एक मंदिर में झूलते चैंबर के आवर्तकाल को अपने धड़कन द्वारा मापते थे। उन्होंने देखा कि चैंबर की गति आवर्त होती है। यह प्रणाली एक प्रकार का लोलक है। आप अपना लोलक बना सकते हैं एक लंबे खिंचे नहीं जाने वाले रस्सी के एक खंड को बांधकर, लगभग $100 \mathrm{~cm}$ लंबा। अपना लोलक एक उपयुक्त समर्थन से लटकाएं ताकि यह आवर्त गति कर सके। एक ओर एक छोटी दूरी तक खंड को विस्थापित करें और छोड़ दें। खंड एक आगे-पीछे गति करता है, यह लगभग दो सेकंड के आवर्तकाल के साथ आवर्त होती है।

चित्र 13.17 (a) एक बोब अपनी माध्य स्थिति के चारों ओर आवर्ती गति कर रही है। (b) तालाबंद बल T-mg cosθ केंद्रापाश बल प्रदान करता है लेकिन समर्थन के संबंध में कोई आघूर्ण नहीं प्रदान करता है। तालाबंद बल mg sinθ वापस ले जाने वाला आघूर्ण प्रदान करता है।

हम दिखाएंगे कि यह आवर्ती गति अपनी माध्य स्थिति से छोटे विस्थापनों के लिए सरल अथवा आवर्त गति होती है। सरल लोलक के बारे में विचार करें - एक छोटे बोब के द्रव्यमान $m$ एक बेशक द्रव्यमान रहित अविस्तार निष्प्रभाव तार के लंबाई $L$ के बंधे होते हैं। तार का दूसरा सिरा एक अस्थायी समर्थन के साथ बांध दिया गया है। बोब एक तल में एक ऊर्ध्वाधर रेखा के बारे में आवर्ती गति करता है। चित्र 13.17(a) इस प्रणाली को दर्शाता है। चित्र 13.17(b) सरल लोलक के एक प्रकार का ‘मुक्त शरीर’ चित्र है जो बोब पर कार्य कर रहे बलों को दर्शाता है।

मान लीजिए $\theta$ तार के ऊर्ध्वाधर से बनाए गए कोण है। जब बोब माध्य स्थिति में होता है, $\theta=0$

केवल दो बल बोब पर कार्य कर रहे हैं; स्ट्रिंग के अनुदिश तनाव $\mathrm{T}$ और गुरुत्वाकर्षण के कारण ऊर्ध्वाधर बल (=mg)। बल $m g$ को तनाव के अनुदिश घटक $m g \cos \theta$ और इसके लंबवत घटक $m g \sin \theta$ में विभाजित किया जा सकता है। चूंकि बोब की गति बिंदु के केंद्र के चारों ओर एक वृत्त के अनुदिश होती है, बोब के त्रिज्या त्वरण $\left(\omega^{2} L\right)$ और एक अपरिवर्ती त्वरण भी होता है; दूसरा त्वरण उत्पन्न होता है क्योंकि वृत्त के चाप के अनुदिश गति समान नहीं होती। त्रिज्या त्वरण त्रिज्या दिशा में नेट बल $\mathrm{T}-m g \cos \theta$ द्वारा प्रदान किया जाता है, जबकि अपरिवर्ती त्वरण बल $m g \sin \theta$ द्वारा प्रदान किया जाता है। बिंदु के संबंध में बल के आघूर्ण के साथ काम करना अधिक आसान होता है क्योंकि त्रिज्या बल आघूर्ण देता है। बिंदु के संबंध में आघूर्ण $\tau$ पूरी तरह से बल के अपरिवर्ती घटक द्वारा प्रदान किया जाता है

$$ \begin{equation*} \tau=-L(m g \sin \theta) \tag{13.19} \end{equation*} $$

यह एक पुनर्स्थापन आघूर्ण है जो कोणीय विस्थापन को कम करने की कोशिश करता है - इसलिए ऋणात्मक चिह्न है। न्यूटन के घूर्णन गति के नियम के अनुसार,

$$ \begin{equation*} \tau=I \alpha \tag{13.20} \end{equation*} $$

जहाँ $I$ प्रणाली के संपोषण के संबंध में जड़त्व आघूर्ण है और $\alpha$ कोणीय त्वरण है। इसलिए,

$$ \begin{equation*} I \alpha=-m g \sin \theta \quad L \tag{13.21} \end{equation*} $$

या,

$$ \begin{equation*} \alpha=-\frac{m g L}{I} \sin \theta \tag{13.22} \end{equation*} $$

हम यदि मान लें कि विस्थापन $\theta$ छोटा है, तो समीकरण (13.22) को सरल किया जा सकता है। हम जानते हैं कि $\sin \theta$ को निम्नलिखित रूप में व्यक्त किया जा सकता है,

$$ \begin{equation*} \sin \theta=\theta-\frac{\theta^{3}}{3 !}+\frac{\theta^{5}}{5 !} \pm \ldots \tag{13.23} \end{equation*} $$

जहाँ $\theta$ रेडियन में है।

अब यदि $\theta$ छोटा है, तो $\sin \theta$ को $\theta$ द्वारा अनुमानित किया जा सकता है और समीकरण (13.22) को निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है,

$$ \begin{equation*} \alpha=-\frac{m g L}{I} \theta \tag{13.24} \end{equation*} $$

तालिका 13.1 में, हमने कोण $\theta$ को डिग्री में, इसके रेडियन में समतुल्य, और फलन $\sin \theta$ के मान को सूचित किया है। इस तालिका से यह देखा जा सकता है कि जब $\theta$ 20 डिग्री तक हो, तो $\sin \theta$ रेडियन में व्यक्त किए गए $\theta$ के लगभग समान है।

तालिका 13.1 $\sin \theta$ को कोण $\theta$ के फ़ंक्शन के रूप में

$\theta$ (डिग्री)	$\theta$ (रेडियन)	$\sin \theta$
0	0	0
5	0.087	0.087
10	0.174	0.174
15	0.262	0.259
20	0.349	0.342

समीकरण (13.24) गणितीय रूप से समीकरण (13.11) के समान है, बस इसमें चर घूर्णन विस्थापन है। इसलिए हम निरूपित कर चुके हैं कि छोटे q के लिए बोब की गति सरल आवर्त गति होती है। समीकरण (13.24) और (13.11) से,

$$ \omega=\sqrt{\frac{m g L}{I}} $$

और

$$ \begin{equation*} T=2 \pi \sqrt{\frac{I}{m g L}} \tag{13.25} \end{equation*} $$

अब क्योंकि सरल लोलक की स्ट्रिंग द्रव्यमानहीन होती है, तो जड़त्व आघूर्ण $I$ बस $\mathrm{mL}^{2}$ होता है। इसलिए समीकरण (13.25) सरल लोलक के आवर्तकाल के लिए परिचित सूत्र देता है।

$$ \begin{equation*} T=2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}} \tag{13.26} \end{equation*} $$

उदाहरण 13.8 सेकंड के टिकने वाले सरल लोलक की लंबाई क्या होती है?

उत्तर समीकरण (13.26) से, सरल लोलक के आवर्तकाल को दिया जाता है,

$$ T=2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}} $$

इस संबंध से, निम्नलिखित प्राप्त होता है,

$$ L=\frac{g T^{2}}{4 \pi^{2}} $$

एक सरल लोलक के समय अवधि, जो सेकंड गिनती करता है, $2 \mathrm{~s}$ होती है। अतः, $g=9.8 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}$ और $T=2 \mathrm{~s}$ के लिए, $L$ है

$$ \begin{aligned} & =\frac{9.8\left(\mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}\right) \times 4\left(\mathrm{~s}^{2}\right)}{4 \pi^{2}} \ & =1 \mathrm{~m} \end{aligned} $$

सारांश#

1. जो गति अपनी दोहराई जाती है, उसे आवर्त गति कहते हैं।

2. आवर्तकाल $T$ एक पूर्ण दोलन या चक्र के लिए आवश्यक समय होता है। इसका आवृत्ति $v$ से संबंध होता है,

$$ T=\frac{1}{v} $$

आवर्त या दोलन गति की आवृत्ति $v$ इकाई समय में दोलन की संख्या होती है। SI में, यह हर्ट्ज में मापी जाती है :

$$ 1 \text { हर्ट्ज }=1 \mathrm{~Hz}=1 \text { दोलन प्रति सेकंड }=1 \mathrm{~s}^{-1} $$

3. सरल अवधि गति (SHM) में, एक कण के संतुलन स्थिति से विस्थापन $x(t)$ द्वारा दिया जाता है,

$$

x(t)=A \cos (\omega t+\phi) \quad \text { (विस्थापन) } $$

जिसमें $A$ विस्थापन का आयाम है, राशि $(\omega t+\phi)$ गति का चरण है, और $\phi$ चरण स्थिरांक है। कोणीय आवृत्ति $\omega$ गति के आवर्तकाल और आवृत्ति के साथ संबंधित है,

$$ \omega=\frac{2 \pi}{T}=2 \pi v \quad (कोणीय आवृत्ति). $$

4. सरल आवर्त गति को एकसमान वृत्तीय गति के वृत्त के व्यास पर प्रक्षेपण के रूप में भी देखा जा सकता है।

5. सरल आवर्त गति के दौरान कण के वेग और त्वरण के समय के फलन निम्नलिखित हैं,

$$ \begin{aligned} v(t) & =-\omega A \sin (\omega t+\phi) & \text { (वेग) } \ a(t) & =-\omega^2 A \cos (\omega, t+\phi) & \ & =-\omega^2 x(t) & \text { (त्वरण), } \end{aligned} $$

इस प्रकार हम देखते हैं कि सरल आवर्त गति करते एक वस्तु के वेग और त्वरण दोनों आवर्त फलन हैं, जिनके वेग आयाम $v_m=\omega A$ और त्वरण आयाम $a_m=\omega^2 A$ होते हैं।

6. सरल वृत्तीय गति में बल विस्थापन के अनुपातिक होता है और यह हमेशा गति के केंद्र की ओर दिशा में होता है।

7. एक कण जो सरल वृत्तीय गति में गति कर रहा है, किसी भी समय किनेटिक ऊर्जा $K=1 / 2 m v^2$ और स्थितिज ऊर्जा $U=1 / 2 \mathrm{kx}^2$ के साथ होता है। यदि घर्षण नहीं हो तो प्रणाली की यांत्रिक ऊर्जा, $E=K+U$ समय के साथ बदलते हुए $K$ और $U$ के बावजूद हमेशा स्थिर रहती है।

8. द्रव्यमान $m$ के एक कण जो हुक के नियम के बल के प्रभाव में आवर्त गति कर रहा है जो $F=-k x$ द्वारा दिया गया है, सरल वृत्तीय गति करता है जिसमें

$$ \begin{array}{ll} \omega=\sqrt{\frac{k}{m}} & \text { (कोणीय आवृत्ति) } \ T=2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}} & \text { (आवर्तकाल) } \end{array} $$

ऐसी प्रणाली को एक रैखिक आवर्तक निर्माण भी कहा जाता है।

9. छोटे कोणों के माध्यम से झूलते हुए सरल दोलन की गति लगभग सरल वृत्तीय गति के समान होती है। आवर्त गति के आवर्तकाल को निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है,

$$ T=2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}} $$

| भौतिक राशि | प्रतीक | विमाएँ | इकाई | टिप्पणी |

| :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | | अवधि | $T$ | $[\mathrm{~T}]$ | $\mathrm{s}$ | गति के दोहराने के लिए सबसे कम समय | | आवृत्ति | $v(o r f)$ | $\left[\mathrm{T}^{-1}\right]$ | $\mathrm{s}^{-1}$ | $v=\frac{1}{T}$ | | कोणीय आवृत्ति | $\omega$ | $\left[\mathrm{T}^{-1}\right]$ | $\mathrm{s}^{-1}$ | $\omega=2 \pi v$ | | चरण स्थिरांक | $\phi$ | विमाहीन | रेडियन | सरल आवर्त गति में विस्थापन के चरण का प्रारंभिक मान | | बल स्थिरांक | $k$ | $\left[\mathrm{MT}^{-2}\right]$ | $\mathrm{N} \mathrm{m}^{-1}$ | सरल आवर्त गति
$F=-k x$ |

ध्यान दें#

1. अवधि $T$ वह सबसे कम समय है जिसके बाद गति दोहराई जाती है। इसलिए, गति $n T$ के बाद दोहराई जाती है जहाँ $n$ एक पूर्णांक है।

2. प्रत्येक आवर्त गति सरल आवर्त गति नहीं होती। केवल उन आवर्त गतियों के लिए जो बल कानून $F=-k x$ द्वारा नियंत्रित होती है, सरल आवर्त गति होती है।

3. वृत्तीय गति एक व्युत्क्रम वर्ग बल कानून (जैसे ग्रहों की गति में) के कारण भी उत्पन्न हो सकती है, तथा दो आयामों में सरल आवर्त बल के कारण भी, जो इस प्रकार होता है: $-m \omega^2 r$। इस दूसरे मामले में, दो लंबकर्म दिशाओं ( $x$ और $y$ ) में गति के चरण एक दूसरे से $\pi / 2$ अंतर रखते हैं। उदाहरण के लिए, एक कण जो बल $-m \omega^2 r$ के अंतर्गत है और आरंभिक स्थिति ( 0 , $A)$ और वेग ( $\omega A, 0$ ) है, तो एक त्रिज्या $A$ के वृत्त में समान गति करता है।

4. दिए गए $\omega$ के लिए रेखीय सरल अपसारी गति के लिए दो प्रारंभिक स्थितियाँ पूर्ण गति को निर्धारित करने के आवश्यक और पर्याप्त होती हैं। प्रारंभिक स्थितियाँ हो सकती हैं (i) प्रारंभिक स्थिति और प्रारंभिक वेग या (ii) आयाम और चरण या (iii) ऊर्जा और चरण।

5. उपरोक्त बिंदु 4 से, दिए गए आयाम या ऊर्जा के लिए गति का चरण प्रारंभिक स्थिति या प्रारंभिक वेग द्वारा निर्धारित किया जाता है।

6. दो अस्थिर अपसारी गतियों के संयोजन, जिनके आयाम और चरण अस्थिर हो सकते हैं, आवर्ती नहीं होते हैं। यह आवर्ती होता है केवल जब एक गति की आवृत्ति दूसरी गति की आवृत्ति का पूर्ण गुणक हो। हालांकि, एक आवर्ती गति को हमेशा उपयुक्त आयामों के साथ असंख्य अपसारी गतियों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

7. एसएचएम के आवर्तकाल आयाम, ऊर्जा या चरण नियतांक पर निर्भर नहीं करता है। इसकी तुलना गुरुत्वाकर्षण के अंतरग्रहीय कक्षाओं के आवर्तकालों (केप्लर के तीसरे नियम) के साथ की जा सकती है।

8. एक सरल दोलक की गति छोटे कोणीय विस्थापन के लिए सरल अपसारी होती है।

9. कण के गति को सरल अथवा वृत्तीय गति कहा जाए, तो इसका विस्थापन $x$ निम्नलिखित रूपों में से किसी एक के रूप में व्यक्त किया जाना चाहिए:

$$ \begin{aligned} & x=A \cos \omega t+B \sin \omega t \ & x=A \cos (\omega t+\alpha), x=B \sin (\omega t+\beta) \end{aligned} $$

इन तीन रूप पूर्णतः तुलनीय हैं (कोई एक रूप अन्य दो रूपों में व्यक्त किया जा सकता है)।

इसलिए, अपस्थापित सरल अथवा वृत्तीय गति वास्तव में सरल अथवा वृत्तीय गति नहीं होती। यह केवल उन समय अंतरालों में लगभग सरल अथवा वृत्तीय गति होती है जो $2 m / b$ से कहीं कम हों, जहाँ $b$ अपस्थापन के गुणांक है।