अध्याय 2 स्थिर विद्युत क्षमता और धारिता

उत्तर

दो आवेश हैं,

$q_{1}=5 \times 10^{-8} \mathrm{C}$

$q_{2}=-3 \times 10^{-8} \mathrm{C}$

दोनों आवेशों के बीच की दूरी, $d=16 \mathrm{~cm}=0.16 \mathrm{~m}$

दोनों आवेशों को जोड़ने वाली रेखा पर $\mathrm{P}$ बिंदु मानते हैं, जैसा दिया गया आकृति में है।

$r=$ बिंदु $\mathrm{P}$ की आवेश $q_{1}$ से की दूरी

बिंदु $\mathrm{P}$ पर विद्युत क्षमता $(V)$ शून्य है मानते हैं।

बिंदु $\mathrm{P}$ पर क्षमता आवेश $q_{1}$ और $q_{2}$ द्वारा उत्पन्न क्षमताओं का योग है।

$\therefore V=\frac{q_{1}}{4 \pi \in_{0} r}+\frac{q_{2}}{4 \pi \in_{0}(d-r)}$

जहाँ,

$\in_{0}=$ खादी अंतराल की अनुमति

$V=0$ के लिए, समीकरण (i) इस प्रकार घटता है

$$ \begin{aligned} & \frac{q_{1}}{4 \pi \in_{0} r}=-\frac{q_{2}}{4 \pi \in_{0}(d-r)} \\ & \frac{q_{1}}{r}=\frac{-q_{2}}{d-r} \\ & \frac{5 \times 10^{-8}}{r}=-\frac{\left(-3 \times 10^{-8}\right)}{(0.16-r)} \\ & \frac{0.16}{r}-1=\frac{3}{5} \\ & \frac{0.16}{r}=\frac{8}{5} \\ & \therefore r=0.1 \mathrm{~m}=10 \mathrm{~cm} \end{aligned} $$

इस प्रकार, दोनों आवेशों के बीच धनात्मक आवेश से $10 \mathrm{~cm}$ दूरी पर क्षमता शून्य है।

बिंदु $\mathrm{P}$ को दो आवेशों के सिस्टम के बाहर $s$ आवेश से दूरी पर मानते हैं, जहाँ क्षमता शून्य है, जैसा निम्नलिखित आकृति में दिखाया गया है।

इस व्यवस्था के लिए, क्षमता द्वारा दी गई है,

$$ \begin{equation*} V=\frac{q_{1}}{4 \pi \epsilon_{0} s}+\frac{q_{2}}{4 \pi \in_{0}(s-d)} \tag{ii} \end{equation*} $$

$V=0$ के लिए, समीकरण (ii) इस प्रकार घटता है

$$ \frac{q_{1}}{4 \pi \in_{0} s}=-\frac{q_{2}}{4 \pi \in_{0}(s-d)} $$

$\frac{q_{1}}{s}=\frac{-q_{2}}{s-d}$

$\frac{5 \times 10^{-8}}{s}=-\frac{\left(-3 \times 10^{-8}\right)}{(s-0.16)}$

$1-\frac{0.16}{s}=\frac{3}{5}$

$\frac{0.16}{s}=\frac{2}{5}$

$\therefore s=0.4 \mathrm{~m}=40 \mathrm{~cm}$

इस प्रकार, आवेशों के सिस्टम के बाहर धनात्मक आवेश से $40 \mathrm{~cm}$ दूरी पर क्षमता शून्य है।

उत्तर

दी गई आकृति छः बराबर मात्रा में आवेश $q$, छःशीर्ष के शीर्षों पर दिखाती है।

जहाँ,

आवेश, $q=5 \mu \mathrm{C}=5 \times 10^{-6} \mathrm{C}$

छःशीर्ष की भुजा, $l=\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CD}=\mathrm{DE}=\mathrm{EF}=\mathrm{FA}=10 \mathrm{~cm}$

प्रत्येक शीर्ष के केंद्र से की दूरी $\mathrm{O}, d=10 \mathrm{~cm}$

बिंदु $\mathrm{O}$ पर विद्युत क्षमता,

$$ V=\frac{6 \times q}{4 \pi \epsilon_{0} d} $$

जहाँ,

$$ \in_{0}=\text { Permittivity of free space } $$

$$ \begin{aligned} & \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}}=9 \times 10^{9} \mathrm{~N} \mathrm{C}^{-2} \mathrm{~m}^{-2} \\ & \therefore V=\frac{6 \times 9 \times 10^{9} \times 5 \times 10^{-6}}{0.1} \\ & \quad=2.7 \times 10^{6} \mathrm{~V} \end{aligned} $$

इस प्रकार, छःशीर्ष के केंद्र पर क्षमता $2.7 \times 10^{6} \mathrm{~V}$ है।

उत्तर

दी गई आकृति में परिस्थिति दर्शाई गई है।

समक्षमान पृष्ठ वह पृष्ठ है जहाँ सम्पूर्ण क्षमता हर जगह शून्य है। यह पृष्ठ रेखा $\mathrm{AB}$ के सामने है। आवेशों की परिमाण एक समान होने के कारण यह पृष्ठ रेखा $\mathrm{AB}$ के मध्य बिंदु पर स्थित है।

इस पृष्ठ पर हर बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की दिशा पृष्ठ के सामने $\mathrm{AB}$ की दिशा में है।

उत्तर

आर्कुशारी प्रतिबिंब की त्रिज्या, $r=12 \mathrm{~cm}=0.12 \mathrm{~m}$

प्रतिबिंब पर आवेश समान रूप से वितरित है, $q=1.6 \times 10^{-7} \mathrm{C}$

आर्कुशारी प्रतिबिंब के अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य है। यह इसलिए है क्योंकि यदि प्रतिबिंब के अंदर क्षेत्र होता है, तो आवेश उसे समाप्त करने के लिए चल देंगे।

बिक्री के ठीक बाहर विद्युत क्षेत्र $E$ द्वारा दी गई है समीकरण,

$$ E=\frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} r^{2}} $$

जहाँ,

$$ \epsilon_{0}=\text { Permittivity of free space } $$

$\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}}=9 \times 10^{9} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{2} \mathrm{C}^{-2}$

$\therefore E=\frac{1.6 \times 10^{-7} \times 9 \times 10^{-9}}{(0.12)^{2}}$

$=10^{5} \mathrm{~N} \mathrm{C}^{-1}$

इस प्रकार, गोली के ठीक बाहर विद्युत क्षेत्र $10^{5} \mathrm{~N} \mathrm{C}^{-1}$ है।

गोली के केंद्र से $18 \mathrm{~m}$ दूर किसी बिंदु $=E_{1}$

केंद्र से बिंदु की दूरी, $d=18 \mathrm{~cm}=0.18 \mathrm{~m}$

$$ \begin{aligned} E_{1} & =\frac{q}{4 \pi \in_{0} d^{2}} \\ & =\frac{9 \times 10^{9} \times 1.6 \times 10^{-7}}{\left(18 \times 10^{-2}\right)^{2}} \\ & =4.4 \times 10^{4} \mathrm{~N} / \mathrm{C} \end{aligned} $$

इस प्रकार, गोली के केंद्र से $18 \mathrm{~cm}$ दूर किसी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र $4.4 \times 10^{4} \mathrm{~N} / \mathrm{C}$ है

समानांतर प्लेट के धारिता, $\mathrm{C}=8 \mathrm{pF}$

प्रारंभिक रूप से, समानांतर प्लेटों के बीच की दूरी $d$ थी और यह हवा से भरी थी। हवा का डाइएलेक्ट्रिक गुणांक, $k=1$

धारिता, $C$, सूत्र द्वारा दी गई है,

$$ \begin{align*} C & =\frac{k \in_{0} A}{d} \\ & =\frac{\in_{0} A}{d} \tag{i} \end{align*} $$

जहाँ,

$A=$ प्रत्येक प्लेट का क्षेत्र

$$ \epsilon_{0}=\text { Permittivity of free space } $$

यदि प्लेटों के बीच की दूरी आधी हो जाए, तो नई दूरी, $d=\frac{d}{2}$

प्लेटों के बीच भरी गई द्रव का डाइएलेक्ट्रिक गुणांक, $k^{\prime}=6$

इस प्रकार, धारिता का प्रतिबिंब धारिता $$ \begin{equation*} C^{\prime}=\frac{k^{\prime} \in_{0} A}{d^{\prime}}=\frac{6 \in_{0} A}{\frac{d}{2}} \tag{ii} \end{equation*} $$ द्वारा दी गई है

$$ \begin{aligned} C^{\prime} & =2 \times 6 C \\ & =12 C \\ & =12 \times 8=96 \mathrm{pF} \end{aligned} $$ के अनुपात को धारिता (i) और (ii) के अनुपात पर लेते हुए, हम प्राप्त करते हैं

इस प्रकार, प्लेटों के बीच धारिता $96 \mathrm{pF}$ है।

उत्तर

तीन धारिताओं की प्रत्येक $C=9 \mathrm{pF}$

धारिताओं के संयोजन की समतुल्य धारिता $\left(C^{\prime}\right)$ समीकरण द्वारा दी गई है,

$$ \begin{aligned} \frac{1}{C^{\prime}} & =\frac{1}{C}+\frac{1}{C}+\frac{1}{C} \\ & =\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3} \end{aligned} $$

$\therefore C^{\prime}=3 \mu \mathrm{F}$

इस प्रकार, संयोजन की कुल धारिता $3 \mu \mathrm{F}$ है।

आपूर्ति विद्युताभ $V=100 \mathrm{~V}$

प्रत्येक धारिता पर विद्युत उत्परिवर्तन आपूर्ति विद्युताभ के एक-तिहाई समान है।

$$ \therefore V^{\prime}=\frac{V}{3}=\frac{120}{3}=40 \mathrm{~V} $$

इस प्रकार, प्रत्येक धारिता पर विद्युत उत्परिवर्तन $40 \mathrm{~V}$ है।

उत्तर

दिए गए धारिताओं की $$ \begin{aligned} & C_{1}=2 \mathrm{pF} \\ & C_{2}=3 \mathrm{pF} \\ & C_{3}=4 \mathrm{pF} \end{aligned} $$ है

धारिताओं के समानांतर संयोजन के लिए, समतुल्य धारिता $C^{\prime}$ बीचकारी योग द्वारा दी गई है,

$$ C^{\prime}=2+3+4=9 \mathrm{pF} $$

इस प्रकार, संयोजन की कुल धारिता $9 \mathrm{pF}$ है।

आपूर्ति विद्युताभ, $V=100 \mathrm{~V}$

$=V=100 \mathrm{~V}$ के तीन धारिताओं के बीच विद्युताभ समान है

$C$ की धारिता $V$ विद्युताभ के आवेश द्वारा दिया गया है समीकरण,

$q=V C \ldots$ (i)

$\mathrm{C}=2 \mathrm{pF}$ के लिए,

आवेश $=V C=100 \times 2=200 \mathrm{pC}=2 \times 10^{-10} \mathrm{C}$

$\mathrm{C}=3 \mathrm{pF}$ के लिए,

आवेश $=V C=100 \times 3=300 \mathrm{pC}=3 \times 10^{-10} \mathrm{C}$

$\mathrm{C}=4 \mathrm{pF}$ के लिए,

आवेश $=V C=100 \times 4=200 \mathrm{pC}=4 \times 10^{-10} \mathrm{C}$

उत्तर

समानांतर प्लेट धारिता के प्रत्येक प्लेट का क्षेत्र, $A=6 \times 10^{-3} \mathrm{~m}^{2}$

प्लेटों के बीच की दूरी, $d=3 \mathrm{~mm}=3 \times 10^{-3} \mathrm{~m}$

आपूर्ति विद्युताभ, $V=100 \mathrm{~V}$

समानांतर प्लेट धारिता की धारिता $C$ द्वारा दी गई है,

$C=\frac{\in_{0} A}{d}$

जहाँ,

$$ \epsilon_{0}=\text { Permittivity of free space } $$

$=8.854 \times 10^{-12} \mathrm{~N}^{-1} \mathrm{~m}^{-2} \mathrm{C}^{-2}$

$$ \begin{aligned} \therefore C & =\frac{8.854 \times 10^{-12} \times 6 \times 10^{-3}}{3 \times 10^{-3}} \\ & =17.71 \times 10^{-12} \mathrm{~F} \\ & =17.71 \mathrm{pF} \end{aligned} $$

विद्युताभ $V$ आवेश $q$ और धारिता $C$ के साथ संबंधित है

$$ \begin{aligned} & V=\frac{q}{C} \\ & \therefore q=V C \\ & =100 \times 17.71 \times 10^{-12} \\ & =1.771 \times 10^{-9} \mathrm{C} \end{aligned} $$

इस प्रकार, धारिता की धारिता $17.71 \mathrm{pF}$ है और प्रत्येक प्लेट पर आवेश $1.771 \times$ $10^{-9} \mathrm{C}$ है।

उत्तर

माइका पत्ती का डाइएलेक्ट्रिक गुणांक, $k=6$

प्रारंभिक धारिता, $C=1.771 \times 10^{-11} \mathrm{~F}$

नई धारिता, $C^{\prime}=k C=6 \times 1.771 \times 10^{-11}=106 \mathrm{pF}$

आपूर्ति विद्युताभ, $V=100 \mathrm{~V}$

नया आवेश, $q^{\prime}=C^{\prime} V=6 \times 1.771 \times 10^{-9}=1.06 \times 10^{-8} \mathrm{C}$

प्लेटों के बीच विद्युताभ $100 \mathrm{~V}$ रहता है।

डाइएलेक्ट्रिक गुणांक, $k=6$

प्रारंभिक धारिता, $C=1.771 \times 10^{-11} \mathrm{~F}$

नई धारिता, $C^{\prime}=k C=6 \times 1.771 \times 10^{-11}=106 \mathrm{pF}$

यदि आपूर्ति विद्युताभ को अलग कर दिया जाए, तो प्लेटों पर आवेश की मात्रा पर कोई प्रभाव नहीं पड़ेगा।

आवेश $=1.771 \times 10^{-9} \mathrm{C}$

प्लेटों के बीच विद्युताभ द्वारा दिया गया है,

$$ \begin{aligned} \therefore V^{\prime} & =\frac{q}{C^{\prime}} \\ & =\frac{1.771 \times 10^{-9}}{106 \times 10^{-12}} \\ & =16.7 \mathrm{~V} \end{aligned} $$

उत्तर

धारिता की धारिता, $C=12 \mathrm{pF}=12 \times 10^{-12} \mathrm{~F}$

विद्युत उत्परिवर्तन, $V=50 \mathrm{~V}$

धारिता में स्थिर विद्युत ऊर्जा द्वारा दी गई है समीकरण,

$$ \begin{aligned} E & =\frac{1}{2} C V^{2} \\ & =\frac{1}{2} \times 12 \times 10^{-12} \times(50)^{2} \\ & =1.5 \times 10^{-8} \mathrm{~J} \end{aligned} $$

इस प्रकार, धारिता में स्थिर विद्युत ऊर्जा $1.5 \times 10^{-8} \mathrm{~J}$ है।

उत्तर

धारिता की धारिता, $C=600 \mathrm{pF}$

विद्युत उत्परिवर्तन, $V=200 \mathrm{~V}$

धारिता में स्थिर विद्युत ऊर्जा द्वारा दी गई है,

$$ \begin{aligned} E & =\frac{1}{2} C V^{2} \\ & =\frac{1}{2} \times\left(600 \times 10^{-12}\right) \times(200)^{2} \\ & =1.2 \times 10^{-5} \mathrm{~J} \end{aligned} $$

यदि आपूर्ति को धारिता से अलग कर दिया जाए और $C=600$ $\mathrm{pF}$ की धारिता के अन्य धारिता से जुड़ा जाए, तो संयोजन की समतुल्य धारिता $(C)$ द्वारा दी गई है,

$$ \begin{aligned} & \frac{1}{C^{\prime}}=\frac{1}{C}+\frac{1}{C} \\ & \quad=\frac{1}{600}+\frac{1}{600}=\frac{2}{600}=\frac{1}{300} \\ & \therefore C^{\prime}=300 \mathrm{pF} \end{aligned} $$

नई स्थिर विद्युत ऊर्जा की गणना की जा सकती है

$$ \begin{aligned} E^{\prime} & =\frac{1}{2} \times C^{\prime} \times V^{2} \\ & =\frac{1}{2} \times 300 \times(200)^{2} \\ & =0.6 \times 10^{-5} \mathrm{~J} \end{aligned} $$

स्थिर विद्युत ऊर्जा $=E-E^{\prime}$

$$ \begin{aligned} & =1.2 \times 10^{-5}-0.6 \times 10^{-5} \\ & =0.6 \times 10^{-5} \\ & =6 \times 10^{-6} \mathrm{~J} \end{aligned} $$

इस प्रकार, प्रक्रिया में स्थिर विद्युत ऊर्जा $6 \times 10^{-6} \mathrm{~J}$ खोई जाती है।