नीट सॉल्व्ड पेपर 2015 प्रश्न 13
प्रश्न: केप्लर का तीसरा नियम कहता है कि किसी ग्रह की सूर्य के चारों ओर चक्कर लगाने की आवर्तकाल (T) का वर्ग, सूर्य और ग्रह के बीच औसत दूरी r के घन के समानुपाती होता है अर्थात् $ T^{2}=Kr^{3}, $ यहाँ K एक नियतांक है। यदि सूर्य और ग्रह के द्रव्यमान क्रमशः M और m हैं, तो न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण नियम के अनुसार उनके बीच आकर्षण बल $ F=\frac{GMm}{r^{2}} $ होता है, यहाँ G गुरुत्वाकर्षण नियतांक है। G और K के बीच का सम्बन्ध इस प्रकार है
विकल्प:
A) $ GK=4{{\pi }^{2}} $
B) $ GMK=4{{\pi }^{2}} $
C) $ K=G $
D) $ K=\frac{l}{G} $
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उत्तर:
सही उत्तर: B
हल:
ग्रह और सूर्य के बीच गुरुत्वाकर्षण बल अभिकेन्द्रीय बल प्रदान करता है
अर्थात् $ \frac{GMm}{r^{2}}=\frac{mv^{2}}{r}\Rightarrow v=\sqrt{\frac{GM}{r}} $
ग्रह की आवर्तकाल होगी $ T=\frac{2\pi r}{v} $
$ \Rightarrow T^{2}=\frac{4{{\pi }^{2}}r^{2}}{\frac{Gm}{r}}=\frac{4{{\pi }^{2}}r^{3}}{GM} $ ..(i)
केप्लर के तीसरे नियम से भी $ T^{2}=Kr^{3} $ ..(ii)
समीकरण (i) और (ii) से, हम पाते हैं $ \frac{4{{\pi }^{2}}r^{3}}{GM}=Kr^{3}\Rightarrow GMK=4{{\pi }^{2}} $
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