वेक्टरों का परिचय

टॉपर्स की विस्तृत नोट्स: वेक्टरों का परिचय#

1. वेक्टर की परिभाषा

• परिभाषा: वेक्टर एक ज्यामितिक वस्तु है जिसमें परिमाण (या लंबाई) और दिशा दोनों होते हैं। इसे तीर द्वारा दर्शाया जाता है, जहाँ तीर की लंबाई वेक्टर के परिमाण को दर्शाती है और तीर की दिशा वेक्टर की दिशा को दर्शाती है।

• NCERT से उदाहरण:

  • प्रवाहण: एक वस्तु का एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक स्थान में परिवर्तन
  • वेग: समय के सापेक्ष प्रवाहण की दर में परिवर्तन।
  • त्वरण: समय के सापेक्ष वेग की दर में परिवर्तन।
  • बल: एक इंटरैक्शन जो एक वस्तु की गति को बदल सकता है।

2. वेक्टर बैलेंस

• वेक्टर जोड़ना: दो वेक्टरों का योग एक वेक्टर होता है जिसकी दिशा पहले वेक्टर के समान होती है और परिमाण दोनों वेक्टरों के परिमाणों के योग होता है।

• वेक्टर घटाना: दो वेक्टरों के अंतर एक वेक्टर होता है जिसकी दिशा पहले वेक्टर के समान होती है और परिमाण दोनों वेक्टरों के परिमाणों के अंतर होता है।

• स्केलर गुणनफल: स्केलर और वेक्टर का गुणनफल एक वेक्टर होता है जिसकी दिशा वेक्टर के समान होती है और परिमाण स्केलर और वेक्टर के परिमाण के गुणनफल होता है।

• वेक्टर गुणनफल: दो वेक्टरों का क्रॉस गुणनफल एक वेक्टर होता है जो दोनों वेक्टरों के लंबवत होता है और परिमाण दोनों वेक्टरों के परिमाण और उनके बीच कोण के साइन के गुणनफल होता है। दो वेक्टरों का डॉट गुणनफल एक स्केलर राशि होती है जो दोनों वेक्टरों के परिमाण और उनके बीच कोण के कोसाइन के गुणनफल होता है।

• NCERT से उदाहरण:

  • वेक्टरों का जोड़ना और घटाना: एक गैर-समानुपाती वेग से गतिशील होने वाली कण का प्रवाहण।
  • वेक्टरों का स्केलर गुणनफल: एक स्थिर बल द्वारा कण पर किया गया कार्य।
  • वेक्टर (क्रॉस) गुणनफल: कोणीय वेग, कोणीय क्रिया, टोर्क।
  • वेक्टर (डॉट) गुणनफल: एक वेक्टर का दूसरे वेक्टर पर प्रक्षेपण।

3. वेक्टरों के गुण

• संयुक्तता: वेक्टर जोड़ने का क्रम मायने नहीं रखता, अर्थात् a + b = b + a।

• संयोजकता: एक योग में वेक्टरों का समूहीकरण मायने नहीं रखता, अर्थात् (a + b) + c = a + (b + c)।

• वितरकता: एक वेक्टर को स्केलर द्वारा गुणन किया जा सकता है और इसे वेक्टर जोड़ने पर वितरित किया जा सकता है, अर्थात् k(a + b) = ka + kb।

• परिमाण और दिशा: एक वेक्टर का परिमाण एक गैर-नकारात्मक वास्तविक संख्या है, और एक वेक्टर की दिशा एक यूनिट वेक्टर है जो वेक्टर के समान दिशा में इंगित करता है।

• NCERT से उदाहरण:

  • यूनिट वेक्टरों के योग का परिमाण हमेशा 2 से कम या बराबर होगा।
  • दो लंबवत यूनिट वेक्टरों का योग एक यूनिट वेक्टर होता है।
  • दो समानुपाती वेक्टरों के वेक्टर गुणनफल का परिमाण शून्य होता है।

4. यूनिट वेक्टर

• परिभाषा: यूनिट वेक्टर वह वेक्टर है जिसका परिमाण 1 होता है।

• यूनिट वेक्टर खोजना: एक दिए गए वेक्टर के खुद को यूनिट वेक्टर खोजने के लिए, वेक्टर को उसके परिमाण से विभाजित करें।

• NCERT से उदाहरण:

  • X-अक्ष के साथ एक यूनिट वेक्टर का प्रतिनिधित्व $$ \hat{i} = \frac { \vec{A}}{| \vec{A}|} $$ जहाँ $$\vec{A} $$ x-अक्ष के साथ कोई गैर-शून्य वेक्टर है।

5. स्थिति वेक्टर

• परिभाषा: स्थिति वेक्टर वह वेक्टर है जो एक निश्चित मूल से सापेक्ष स्थान के बिंदु का प्रतिनिधित्व करता है।

• स्थिति वेक्टर पर ऑपरेशन: स्थान के अन्य बिंदुओं को खोजने के लिए स्थिति वेक्टरों को जोड़ा जा सकता है, घटाया जा सकता है और स्केलर द्वारा गुणन किया जा सकता है।

• NCERT से उदाहरण:

  • मूल o के सापेक्ष बिंदु P का स्थिति वेक्टर $$\overrightarrow{OP}=x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}$$ है जहाँ x, y और z P के निर्देशांक हैं।

6. समरूपी और समतलीय वेक्टर

• समरूपी वेक्टर: दो वेक्टर समरूपी हैं अगर वे एक ही रेखा पर हों या अगर एक वेक्टर दूसरे वेक्टर का गुणनफल हो।

• समतलीय वेक्टर: तीन या अधिक वेक्टर समतलीय हैं अगर वे एक ही स्थानीय में हों या अगर उन्हें जोड़कर या घटाकर समतलीय किया जा सके।

• NCERT से उदाहरण:

  • अगर वेक्टर a, b और c समानुपाती हैं तो a X ( b X c) = 0।
  • अगर वेक्टर a, b और c समतलीय हैं तो $$ a.( b X c) = 0 $$

7. वेक्टरों के अनुप्रयोग

• भौतिकी: भौतिकी में वेक्टर बल, वेग, त्वरण, क्रिया और ऊर्जा जैसे अवधारणाओं का वर्णन करने के लिए प्रयुक्त होते हैं।

• अभियांत्रिकी: अभियांत्रिकी में वेक्टर अवस्थाएँ, मशीनों और प्रणालियों की डिज़ाइन और विश्लेषण के लिए प्रयुक्त होते हैं।

• कंप्यूटर ग्राफिक्स: कंप्यूटर ग्राफिक्स में वेक्टर 3D मॉडल, एनिमेशन और वर्चुअल रियलिटी परिवेश बनाने के लिए प्रयुक्त होते हैं।

• NCERT से उदाहरण:

  • प्रक्षेपी गति।
  • वृत्तीय गति।
  • स्थैतिक के बलों का विघटन।
  • बल द्वारा किया गया कार्य।

8. स्केलर और वेक्टर राशि

• स्केलर राशि: स्केलर राशि वे राशि हैं जिनमें केवल परिमाण होता है, जैसे द्रव्यमान, तापमान और समय।

• वेक्टर राशि: वेक्टर राशि वे राशि हैं जिनमें परिमाण और दिशा दोनों होते हैं, जैसे वेग, त्वरण और बल।

• NCERT से उदाहरण:

  • गति, द्रव्यमान और तापमान स्केलर राशि हैं।
  • वेग, प्रवाहण और बल वेक्टर राशि हैं।

9. वेक्टरों का विघटन

• परिभाषा: एक वेक्टर का विघटन वह प्रक्रिया है जिसमें एक दिए गए अक्षों के साथ वेक्टर के घटकों को खोजा जाता है।

• परिणामी वेक्टर खोजना: एक समूह वेक्टरों का परिणामी वेक्टर वह वेक्टर है जो वेक्टरों के योग के बराबर है।

• NCERT से उदाहरण:

  • बल के घटकों में विघटन।
  • प्रवाहण के घटकों में विघटन।

10. भौतिकी में अनुप्रयोग

• बल: बल एक वेक्टर राशि है जो एक वस्तु की गति को बदल सकती है। बल का परिमाण उस बल की राशि है जो लागू किया जा रहा है, और बल की दिशा वह दिशा है जिसकी ओर बल लागू किया जा रहा है।

• वेग: वेग एक वेक्टर राशि है जो वस्तु की गति की दर का वर्णन करती है। एक वेग का परिमाण वस्तु की गति है, और एक वेग की दिशा वह दिशा है जिसकी ओर वस्तु गति कर रही है।

• त्वरण: त्वरण एक वेक्टर राशि है जो वस्तु के वेग में परिवर्तन की दर का वर्णन करता है। एक त्वरण का परिमाण वह राशि है जिसके अनुसार वस्तु का वेग प्रति इकाई समय में परिवर्तित होता है, और एक त्वरण की दिशा वह दिशा है जिसके अनुसार वस्तु का वेग परिवर्तित होता है।

• क्रिया: क्रिया एक वेक्टर राशि है जो वस्तु की गति की राशि का वर्णन करती है। एक क्रिया का परिमाण वस्तु के द्रव्यमान और वेग का गुणनफल है, और एक क्रिया की दिशा वस्तु के वेग की दिशा के समान है।

• NCERT से उदाहरण:

  • सीधी रेखा में गति।
  • प्रक्षेपी गति।
  • वृत्तीय गति।

11. ज्यामिति में अनुप्रयोग

• रेखाएँ: एक रेखा को एक वेक्टर द्वारा दर्शाया जा सकता है जो रेखा के समानुपाती है और जिसका परिमाण रेखा की लंबाई के बराबर है।

• स्थानीय: एक स्थानीय को एक वेक्टर द्वारा दर्शाया जा सकता है जो स्थानीय के लंबवत है और जिसका परिमाण मूल से स्थानीय तक की दूरी के बराबर है।

• कोण: दो वेक्टरों के बीच कोण को वेक्टरों के डॉट गुणनफल का प्रयोग करके खोजा जा सकता है।

• NCERT से उदाहरण:

  • सीधी रेखा का वेक्टर समीकरण।
  • स्थानीय का वेक्टर समीकरण।
  • दो वेक्टरों के बीच कोण।