डिपोल और निरंतर आवेश वितरण के लिए क्षेत्र

शीर्ष छात्रों की डिपोल और निरंतर आवेश वितरण के विषय पर नोट्स#

1. डिपोल के लिए विद्युत क्षेत्र:#

• डिपोल की परिभाषा और अवधारणा:

  • डिपोल दो बराबर और विपरीत आवेशों का एक ही छोटी दूरी पर विच्छेद किया गया होता है।
  • डिपोल की धारा डिपोल की ताकत का माप है और इसे आवेशों के बीच दूरी के गुणक के रूप में परिभाषित किया जाता है।

• डिपोल के लिए विद्युत क्षेत्र का अनुकरण विभिन्न बिंदुओं पर:

  • डिपोल ध्रुव पर एक बिंदु पर डिपोल के लिए विद्युत क्षेत्र द्वारा दिया गया है:

$$|\overrightarrow{E}| = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{2qs}{r^3}$$

• डिपोल ध्रुव के लंबवत एक बिंदु पर डिपोल के लिए विद्युत क्षेत्र द्वारा दिया गया है:

$$|\overrightarrow{E}| = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2}$$

• डिपोल के लिए विद्युत क्षमता:
  • डिपोल के लिए एक बिंदु पर विद्युत क्षमता द्वारा दिया गया है

$$\phi = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r}\cos\theta$$

2. निरंतर आवेश वितरण के लिए क्षेत्र:#

• रेखीय आवेश वितरण: वैश्विक आवेश Q के साथ लंबाई L के पतले, समान रूप से आवेशित लाइन के लिए विद्युत क्षेत्र द्वारा दिया गया है: E = (kQ)/(L²) [sin(θ₁) + sin(θ₂)] जहां θ₁ और θ₂ लाइन के अंत द्वारा चुनी गई बिंदु के साथ बनाए गए कोण हैं।

$$|\overrightarrow{E}| = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{2Q}{L}\ln\left(\frac{x+L}{x}\right)$$

• पतले, समान रूप से आवेशित लाइन के लिए विद्युत क्षमता द्वारा दिया गया है:

$$V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{2Q}{L}\ln\left(\frac{x+L}{x}\right)$$

• पृष्ठीय आवेश वितरण:
  • त्रिज्या R और पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma$ के समान रूप से आवेशित प्लेट डिस्क के लिए विद्युत क्षेत्र द्वारा दिया गया है:

$$|\overrightarrow{E}| = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\sigma}{2}\left(1+\frac{z}{R}\right)$$

• समान रूप से आवेशित प्लेट डिस्क के लिए विद्युत क्षमता द्वारा दिया गया है:

$$V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\sigma\left(z+\sqrt{z^2 + R^2}\right)$$

• आयतन आवेश वितरण:
  • त्रिज्या R और कुल आवेश Q के समान रूप से आवेशित गोलाई के लिए विद्युत क्षेत्र द्वारा दिया गया है:

$$|\overrightarrow{E}| = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r^2}\text{ for }r\geq R$$

$$|\overrightarrow{E}| = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Qr}{R^3}\text{ for }r<R$$

• समान रूप से आवेशित गोलाई के लिए विद्युत क्षमता द्वारा दिया गया है:

$$V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{r}\text{ for }r \geq R$$

$$V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Qr}{R^2}\text{ for }r<R$$

3. गौस का नियम:#

• गौस के नियम के बयान और गणितीय रूप:
• गौस का नियम कहता है कि एक बंद सतह के माध्यम से कुल विद्युत प्रवाह आवेश के समावेशी के प्रति समानुपाती है।
• गणितीय रूप से, गौस का नियम द्वारा व्यक्त किया गया है:

$$\oint \overrightarrow{E}\cdot\hat{n}dA = \frac{Q_{enc}}{\varepsilon_0}$$

• जहां $\overrightarrow{E}$ विद्युत क्षेत्र है, $\hat{n}$ सतह के लंबवत एक इकाई सामान्य संख्या के साथ एक बिंदु पर एक छोटी क्षेत्रफल घटक है, $Q_{enc}$ सतह द्वारा आवेश के कुल आवेश है, $\epsilon_0$ मुक्त अंतरिक्ष की परावर्तनता है।

• विद्युत क्षेत्र की गणना के लिए गौस के नियम के अनुप्रयोग:

• गौस का नियम समान रूप से आवेशित गोलाई, एक प्रवाहित गोलाई और एक आवेशित अनंत प्लेन के विद्युत क्षेत्र की गणना के लिए प्रयोग किया जा सकता है।

• एक सतह द्वारा आवेश की गणना के लिए गौस के नियम का प्रयोग:

• गौस का नियम एक सतह द्वारा आवेश की गणना के लिए प्रयोग किया जा सकता है जहां सतह के माध्यम से कुल विद्युत प्रवाह की गणना करके।

4. स्थिर विद्युत धाराओं के अनुप्रयोग:#

• स्थिर विद्युत क्षमता ऊर्जा
• बिंदु आवेशों के एक प्रणाली की स्थिर विद्युत क्षमता ऊर्जा द्वारा दिया गया है

$$U_e=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=i+1}^N\frac{q_iq_j}{r_{ij}}$$

• पर्यावरण और पर्यावरण

• पर्यावरण एक प्रणाली की अस्थायी आवेश भंडारण की क्षमता है।

• पर्यावरण की पर्यावरण द्वारा दिया गया है $$C=\frac{Q}{V}$$

• डायलेक्ट्रिक और परावर्तन

• डायलेक्ट्रिक सामग्री गैर-प्रवाहित सामग्री हैं जो एक विद्युत क्षेत्र में रखने पर परावर्तित हो सकती हैं।

• परावर्तन प्रक्रिया है जिसके दौरान एक डायलेक्ट्रिक सामग्री के भीतर आवेशों को एक विद्युत क्षेत्र के अधीन स्थानांतरित किया जाता है।

• पर्यावरण में भंडारण ऊर्जा

• पर्यावरण में भंडारण ऊर्जा द्वारा दिया गया है $$U_e=\frac{1}{2}QV=\frac{1}{2}CV^2=\frac{Q^2}{2C}$$

• स्थिर विद्युत मशीन

• स्थिर विद्युत मशीन उच्च वोल्टेज उत्पन्न करने के लिए स्थिर विद्युत सिद्धांतों का प्रयोग करने वाले उपकरण हैं।

• स्थिर विद्युत मशीनों के उदाहरणों में वैन डी ग्राफ जनरेटर और विम्शर्स्ट मशीन शामिल हैं।

5. स्थिर विद्युत क्षमता:#

• स्थिर विद्युत क्षमता की परिभाषा और अवधारणा:

  • एक बिंदु पर स्थिर विद्युत क्षमता उस बिंदु पर एक इकाई आवेश के लिए ऊर्जा की रक्षा की रक्षा है जो आसपास के आवेशों के कारण है।

• बिंदु आवेशों, डिपोल और निरंतर आवेश वितरण के लिए स्थिर विद्युत क्षमता की गणना:

  • एक बिंदु आवेश Q के लिए एक दूरी r पर स्थिर विद्युत क्षमता द्वारा दिया गया है

$$\phi = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r}$$

• एक दूरी r और एक कोण $\theta$ के साथ डिपोल के लिए स्थिर विद्युत क्षमता द्वारा दिया गया है

$$\phi = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{r^2}(\overrightarrow{p}\cdot\hat{r})$$

• निरंतर आवेश वितरण के लिए स्थिर विद्युत क्षमता की गणना एकीकरण का प्रयोग करके की जा सकती है।

• समान क्षमता पृष्ठ और उनकी गुण:

  • समान क्षमता पृष्ठ वे पृष्ठ हैं जहां स्थिर विद्युत क्षमता स्थिर है।
  • समान क्षमता पृष्ठ हमेशा विद्युत क्षेत्र रेखाओं के लंबवत होते हैं।
  • एक समान क्षमता पृष्ठ के साथ एक आवेश को स्थानांतरित करने में कोई काम नहीं किया जाता है।

• विद्युत क्षेत्र और स्थिर विद्युत क्षमता के बीच संबंध:

  • विद्युत क्षेत्र स्थिर विद्युत क्षमता के ऋणात्मक ग्रेडिएंट है, अर्थात्

$$\overrightarrow{E}=-\nabla\phi$$

6. सीमा स्थितियाँ:#

• विद्युत क्षेत्र और विद्युत क्षमता के लिए सीमा स्थितियाँ सीमाओं पर:
  • एक दो डायलेक्ट्रिक के बीच एक सीमा पर विद्युत क्षेत्र का स्पर्शी घटक संतुलित रहता है।
  • एक दो डायलेक्ट्रिक के बीच एक सीमा पर विद्युत विस्तार क्षेत्र का लंबवत घटक संतुलित रहता है।
  • एक दो डायलेक्ट्रिक के बीच एक सीमा पर विद्युत क्षमता संतुलित रहती है।

7. छवि की विधि:#

• छवि की विधि के सिद्धांत और अनुप्रयोग:
  • छवि की विधि एक तकनीक है जिसका प्रयोग प्रवाहित सतहों के साथ स्थिर विद्युत समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है।
  • छवि की विधि एक ऐसे अक्षय आवेशों को रखने के साथ एक प्रक्रिया है जिसके दौरान सीमा स्थितियाँ संतुष्ट होती हैं।

8. लैप्लास का समीकरण:#

• लैप्लास के समीकरण की परिभाषा और गुण:
  • लैप्लास का समीकरण एक द्वितीय क्रम का एक आंशिक अंतरक्रियात्मक समीकरण है जो एक आवेश मुक्त क्षेत्र में स्थिर विद्युत क्षमता द्वारा संतुष्ट किया जाता है।

$$\nabla^2\phi=0$$

• विभिन्न निर्देशाओं में लैप्लास के समीकरण के समाधान:
  • लैप्लास के समीकरण को अलग - अलग निर्देशाओं में अलग - अलग चरों के साथ समाधान किया जा सकता है।

9. बहुधारा विस्तार:#

• बहुधारा विस्तार की अवधारणा:

  • बहुधारा विस्तार एक तकनीक है जिसका प्रयोग एक आवेश वितरण के स्थिर विद्युत क्षमता को एक संख्या के साथ एक श्रेणी के रूप में प्रतिनिधित करने के लिए किया जाता है।

• बहुधारा धारा (डिपोल धारा, क्वाड्रूपोल धारा आदि):

  • बहुधारा धारा स्थिर विद्युत क्षमता के बहुधारा विस्तार में गुणांक हैं।
  • डिपोल धारा पहली बहुधारा धारा है और आवेश वितरण की कुल परिवेश का प्रतिनिधित करती है।
  • क्वाड्रूपोल धारा दूसरी बहुधारा धारा है और आवेश वितरण के एक शुद्ध गोलाई से विचलन का प्रतिनिधित करती है।

10. स्थिर विद्युत ऊर्जा:#

• बिंदु आवेशों की प्रणाली की ऊर्जा $$U_e=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=i+1}^N\frac{q_iq_j}{r_{ij}}$$
• स्थिर विद्युत क्षमता ऊर्जा $$U=q_0V(\overrightarrow{r}_0)$$
• एक विद्युत क्षेत्र में एक आवेश को स्थानांतरित करने में किया गया काम $$W=q_0\phi$$