LC दोलन

LC दोलन#

1. बुनियादी अवधारणाएँ:#

• परिचय:

  • LC सर्किट एक इंडक्टर और एक कैपेसिटर के बीच श्रृंखला या समानांतर में जुड़े होते हैं।
  • जब कैपेसिटर को चार्ज किया जाता है और सर्किट बंद हो जाता है, तो भंडारित विद्युत ऊर्जा इंडक्टर और कैपेसिटर के बीच स्थानांतरित होती है, जिससे दोलन होता है।

• इंडक्टेंस और कैपेसिटेंस:

  • इंडक्टेंस (L): एक प्रवाह में परिवर्तनों को विरोध करने की एक प्रवाह की गुणवत्ता, हेनरी (H) में मापी जाती है।
  • कैपेसिटेंस (C): एक प्रवाह की विद्युत आवेश को भंडारित करने की क्षमता, फाराड (F) में मापी जाती है।

• भंडारित ऊर्जा:

  • इंडक्टर में भंडारित ऊर्जा: (E_L = 1/2 LI^2)
  • कैपेसिटर में भंडारित ऊर्जा: (E_C = 1/2 CV^2)

2. LC दोलनों का अवकल समीकरण:#

• व्युत्पादन:

  इंडक्टर और कैपेसिटर में प्रवाह और बिजली के बीच संबंधों के साथ किरचॉफ के बिजली के नियम का उपयोग करके, हम अवकल समीकरण प्राप्त करते हैं:

  $$L\frac{d^2q}{dt^2}+\frac{q}{C}=0$$

• समाधान:

  इस समीकरण के समाधान साइनोसाइडल फ़ंक्शन हैं:

  $$q(t) = Q_{max} \cos(\omega t + \phi)$$

  जहाँ (Q_{max}) अधिकतम आवेश है, $\omega$ कोणीय आवृत्ति है, और $\phi$ चरण कोण है।

• कोणीय आवृत्ति और समय अवधि:

  कोणीय आवृत्ति: (\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}) समय अवधि: (T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{LC} )

3. LC दोलनों में ऊर्जा संरक्षण:#

• सिद्धांत:

  सर्किट में कुल ऊर्जा (विद्युत और चुंबकीय ऊर्जा का योग) दोलनों के दौरान स्थिर रहती है।

• प्रमाण:

  $$E_{total} = E_L + E_C = \frac{1}{2}LI^2 + \frac{1}{2}CV^2$$

समय के साथ अवकलज लेने और अवकल समीकरण का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं:

$$\frac{dE_{total}}{dt} = LI\frac{dI}{dt} + CV\frac{dV}{dt} = 0$$

इस प्रकार, कुल ऊर्जा स्थिर रहती है।

4. चरण अंतर और आवृत्ति:#

• चरण अंतर:

  LC सर्किट में प्रवाह (I) और बिजली (V) 90 डिग्री के चरण में अलग होते हैं। जब प्रवाह अधिकतम होता है, तब बिजली शून्य होती है, और इसके विपरीत।

• आवृत्ति:

अधिकतम प्रवाह आवृत्ति: (I_{max} = \frac{Q_{max}}{\sqrt{L}}) अधिकतम बिजली आवृत्ति: (V_{max} = Q_{max}\sqrt{\frac{1}{C}})

5. गुणवत्ता कारक:#

• परिभाषा:

  गुणवत्ता कारक (Q) दोलन के प्रति ऊर्जा हानि का प्रतिनिधित्व करता है। $$Q = \frac{\omega_0L}{R}$$ जहाँ $\omega_0$ ध्रुवीय आवृत्ति है और R सर्किट में प्रतिरोध है।

• महत्व:

  अधिक Q अधिक कम ऊर्जा हानि और अधिक जीवंत दोलन दर्शाता है।

6. घटी LC दोलन:#

• कारण:

  सर्किट में प्रतिरोध के कारण ऊर्जा हानि दोलनों को घटाती है।

• अवकल समीकरण: $$L\frac{d^2q}{dt^2}+R\frac{dq}{dt}+\frac{q}{C}=0$$

• समाधान: ( q(t) = Q_0 e^{-\alpha t} \cos(\omega ’ t + \phi) )

  जहाँ (Q_0) प्रारंभिक आवेश है, $\alpha$ घट कारक है, $\omega ‘$ घटी कोणीय आवृत्ति है, और $\phi$ चरण कोण है।

• घट कारक और लघुगणकीय घट:

  घट कारक: (\alpha = \frac{R}{2L}) लघुगणकीय घट: (\delta = \frac{2\pi \alpha}{T})

7. LC सर्किट में ध्रुवीयता:#

• स्थिति:

  ध्रुवीयता LC सर्किट की प्राकृतिक कोणीय आवृत्ति के समान लगाई गई बिजली की कोणीय आवृत्ति के समान होने पर होती है: (\omega = \omega_0).

• तीव्रता:

  ध्रुवीयता की तीव्रता गुणवत्ता कारक (Q) द्वारा वर्णित होती है। अधिक Q अधिक तीव्र ध्रुवीयता दर्शाता है।

• बैंडविड्थ और चयनितता:

  बैंडविड्थ (BW): ध्रुवीय आवृत्ति के आसपास आवृत्ति श्रेणी जहाँ आवृत्ति अधिकतम आवृत्ति के (1/\sqrt{2}) तक घट जाती है। चयनितता: सर्किट की क्षमता विभिन्न आवृत्तियों के साथ संकेतों को अलग करने। अधिक Q अधिक चयनितता दर्शाता है।

8. जुड़े LC सर्किट:#

• परिचय:

  दो या दोनों LC सर्किट जो परस्पर इंडक्टेंस के माध्यम से इंटरैक्ट करते हैं जुड़े LC सर्किट के रूप में जाने जाते हैं।

• जुड़ाव का कोईफिशिएंट:

  कोयलों के बीच चुंबकीय जुड़ाव की प्रमाणित करता है। (0\le k\le 1).

• ऊर्जा स्थानांतरण:

  ऊर्जा जुड़े सर्किटों के बीच दोलन करती है, जिसकी आवृत्ति और आवृत्ति जुड़ाव कोईफिशिएंट पर निर्भर करती है।

• सामान्य दोलन के मोड:

  जुड़े सर्किट अलग-अलग आवृत्तियों पर दोलन करते हैं।

9. LC दोलनों के अनुप्रयोग:#

• LC ओसिलेटर:

  विभिन्न इलेक्ट्रॉनिक उपकरणों में साइनोसाइडल दोलन उत्पन्न करते हैं।

• ट्यूनिंग सर्किट:

  रेडियो और टीवी में वृद्धि चुनने के लिए उपयोग किए जाते हैं।

• फिल्टर:

  इलेक्ट्रॉनिक सर्किट में कुछ आवृत्ति बैंड को जारी करने या अस्वीकार करने के लिए उपयोग किए जाते हैं।

• ऊर्जा भंडारण उपकरण:

  कैपेसिटर और इंडक्टर LC सर्किट में विद्युत ऊर्जा भंडारित कर सकते हैं।