PYQ NEET- चक्रीय गति में प्लेन L-4

प्रश्न: एक परिमाण द्वारा त्रिज्या $R$ के एक वृत्त में समान गति से घूर्णन कर रहा है और एक पूर्ण चक्र पूरा करने में $T$ का समय लेता है। यदि इस परिमाण को उसी गति से समतल की ओर $\theta$ की अक्षांश $\theta$ के साथ प्रक्षेपित किया जाता है, तो इसकी अधिकतम ऊँचाई $4 R$ के बराबर होती है। तो प्रक्षेपण की अक्षांश $\theta$ द्वारा दी गई है#

A) $\theta=\cos ^{-1}\left(\frac{g T^2}{\pi^2 R}\right)^{\frac{1}{2}}$

B) $\theta=\cos ^{-1}\left(\frac{\pi^2 R}{g T^2}\right)^{\frac{1}{2}}$

C) $\theta=\sin ^{-1}\left(\frac{\pi^2 R}{g T^2}\right)^{\frac{1}{2}}$

D) $\theta=\sin ^{-1}\left(\frac{2 g T^2}{\pi^2 R}\right)^{\frac{1}{2}}$

उत्तर: $\theta=\sin ^{-1}\left(\frac{2 g T^2}{\pi^2 R}\right)^{\frac{1}{2}}$#

समाधान:#

दिया गया, वृत्तीय पथ की त्रिज्या $=R$

परिमाण द्वारा एक पूर्ण चक्र पूरा करने में लिया गया समय $=T$

जब परिमाण उसी गति से प्रक्षेपित किया जाता है (जिस गति से वह वृत्तीय कक्ष में घूर्णन कर रहा है) $\theta$ की अक्षांश $\theta$ के साथ समतल की ओर, अधिकतम ऊँचाई जिसे वह प्राप्त करता है, इसके बराबर है

$$ \begin{aligned} & H_{\max }=\frac{u^2 \sin ^2 \theta}{2 g} \ & H_{\max }=4 R \end{aligned} $$
(दिया गया)
इसके अतिरिक्त, हम जानते हैं कि, परिमाण की वृत्तीय पथ में गति,
$$ u=\frac{2 \pi R}{T} $$

मानों को समीकरण (i) में डालकर, हम प्राप्त करते हैं
$$ \begin{aligned} & 4 R & =\frac{\left(\frac{2 \pi R}{T}\right)^2 \sin ^2 \theta}{2 g} \ \Rightarrow \quad & \sin \theta & =\left(\frac{2 g T^2}{\pi^2 R}\right)^{1 / 2} \ \Rightarrow \quad & \theta & =\sin ^{-1}\left(\frac{2 g T^2}{\pi^2 R}\right)^{1 / 2} \end{aligned} $$