PYQ NEET- घूर्णी गति L-1

प्रश्न: एक द्रव्यमान $M$ और त्रिज्या $R$ वाले एक ठोस गोले की अपने अक्ष के चारों ओर के गुणात्मक त्रिज्या का एक पतली खोली गोले के उसी द्रव्यमान $M$ और त्रिज्या $R$ के अक्ष के चारों ओर के गुणात्मक त्रिज्या के बीच अनुपात है :-#

A) $5: 3$

B) $2: 5$

C) $\sqrt{5}: \sqrt{3}$

D) $\sqrt{3}: \sqrt{5}$

उत्तर: $\sqrt{3}: \sqrt{5}$#

समाधान:#

इस समस्या को हल करने के लिए, हमें एक ठोस गोले $\left(\mathrm{K}_1\right)$ के गुणात्मक त्रिज्या का एक पतली खोली गोले $\left(\mathrm{K}_2\right)$ के उसी द्रव्यमान $M$ और त्रिज्या $R$ के गुणात्मक त्रिज्या के अनुपात ज्ञात करना होगा।

एक ठोस गोले के अपने अक्ष के चारों ओर के कोणीय क्षेत्रफल (I) द्वारा दिया गया है: $$ I_{\text {solid }}=\frac{2}{5} M R^2 $$

गुणात्मक त्रिज्या $(\mathrm{K})$ को कोणीय क्षेत्रफल $(\mathrm{I})$ और द्रव्यमान $(\mathrm{M})$ द्वारा संबंधित सूत्र द्वारा दिया गया है: $$ I=M K^2 $$

इसलिए, ठोस गोले के लिए, हम $\mathrm{K}1$ का उपयोग करके ज्ञात कर सकते हैं: $$ \begin{aligned} & K_1^2=\frac{I{\text {solid }}}{M}=\frac{2}{5} R^2 \ & K_1=R \sqrt{\frac{2}{5}} \end{aligned} $$

अब, एक पतली खोली गोले के लिए, अक्ष के चारों ओर के कोणीय क्षेत्रफल द्वारा दिया गया है: $$ I_{\text {hollow }}=\frac{2}{3} M R^2 $$

हम $\mathrm{K}2$ का उपयोग करके ज्ञात कर सकते हैं: $$ K_2^2=\frac{I{\text {hollow }}}{M}=\frac{2}{3} R^2 $$ $$ K_2=R \sqrt{\frac{2}{3}} $$

अब, हमें अनुपात $K_1: K_2$ ज्ञात करना है: $$ \frac{K_1}{K_2}=\frac{R \sqrt{\frac{2}{5}}}{R \sqrt{\frac{2}{3}}} $$

R अवयव शेष रहते हैं, और हमें शेष रहते हैं: $$ \frac{K_1}{K_2}=\frac{\sqrt{\frac{2}{5}}}{\sqrt{\frac{2}{3}}} $$

अंश के वर्गमूल लेकर सरल बनाएं: $$ \frac{K_1}{K_2}=\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{5} \sqrt{2}} $$

अब, 2 अवयव के वर्गमूल शेष रहते हैं, जिससे हमें मिलता है: $$ \frac{K_1}{K_2}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} $$