आधुनिक भौतिकी में समस्या समाधान

प्रश्न 1:

एक धातु की सतह को 400 nm वैशाखीय प्रकाश से प्रकाशित किया गया है। धातु का कार्य फ़ंक्शन 2.1 eV है। सतह से निकलने वाले फोटोइलेक्ट्रॉनों की अधिकतम भौतिकीय ऊर्जा क्या है? (दिया गया: $h = 6.63 \times 10^{-34} , \text{J s}$, $c = 3 \times 10^8 , \text{m/s}$, $1 , \text{eV} = 1.6 \times 10^{-19} , \text{J}$)

• (1) 0.5 eV
• (2) 1.0 eV
• (3) 1.5 eV
• (4) 2.0 eV

समाधान 1:

आवृत्त फोटॉन की ऊर्जा द्वारा दी गई है: $$E = hf = \frac{hc}{\lambda}$$ जहाँ $h$ प्लैंक का संतुलन है, $c$ प्रकाश की गति है, और $\lambda$ प्रकाश की वैशाखीय लंबाई है।

दिया गया $\lambda = 400 , \text{nm} = 400 \times 10^{-9} , \text{m}$, $h = 6.63 \times 10^{-34} , \text{J s}$, और $c = 3 \times 10^8 , \text{m/s}$। $$E = \frac{(6.63 \times 10^{-34} , \text{J s}) \times (3 \times 10^8 , \text{m/s})}{400 \times 10^{-9} , \text{m}}$$ $$E = \frac{19.89 \times 10^{-26}}{4 \times 10^{-7}} , \text{J} = 4.9725 \times 10^{-19} , \text{J}$$

इस ऊर्जा को इलेक्ट्रॉन वॉल्ट (eV) में परिवर्तित करने के लिए, हम एक इलेक्ट्रॉन के आवेश को ($1.6 \times 10^{-19} , \text{J/eV}$) भाग देते हैं: $$E (\text{in eV}) = \frac{4.9725 \times 10^{-19} , \text{J}}{1.6 \times 10^{-19} , \text{J/eV}} \approx 3.1 , \text{eV}$$

आइनस्टाइन के फोटोइलेक्ट्रिक समीकरण के अनुसार: $$K_{max} = E - \phi$$ जहाँ $K_{max}$ निकलने वाले फोटोइलेक्ट्रॉनों की अधिकतम भौतिकीय ऊर्जा है, $E$ आवृत्त फोटॉन की ऊर्जा है, और $\phi$ धातु का कार्य फ़ंक्शन है।

दिया गया $\phi = 2.1 , \text{eV}$, हमारे पास है: $$K_{max} = 3.1 , \text{eV} - 2.1 , \text{eV} = 1.0 , \text{eV}$$

इसलिए, सही उत्तर है (2) 1.0 eV।

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प्रश्न 2:

एक इलेक्ट्रॉन को शांत स्थिति से 100 V के वोल्टेज के माध्यम से तेजी ली गई। इस इलेक्ट्रॉन के साथ जुड़ा डी ब्रॉगले वैशाखीय प्रकाश क्या है? (दिया गया: $h = 6.63 \times 10^{-34} , \text{J s}$, $m_e = 9.1 \times 10^{-31} , \text{kg}$, $e = 1.6 \times 10^{-19} , \text{C}$)

• (1) 1.23 Å
• (2) 0.123 Å
• (3) 12.3 Å
• (4) 123 Å

समाधान 2:

जब एक इलेक्ट्रॉन को वोल्टेज $V$ के माध्यम से तेजी ली जाती है, तो इलेक्ट्रॉन द्वारा जुड़ी गतिक ऊर्जा $eV$ होती है, जहाँ $e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है। $$K.E. = eV$$दिया गया $V = 100 , \text{V}$ और $e = 1.6 \times 10^{-19} , \text{C}$,$$K.E. = (1.6 \times 10^{-19} , \text{C}) \times (100 , \text{V}) = 1.6 \times 10^{-17} , \text{J}$$

एक पारिस्थितिकीय ऊर्जा $\lambda$ के एक पारिस्थितिकीय ऊर्जा $p$ के साथ जुड़ा डी ब्रॉगले वैशाखीय प्रकाश द्वारा दिया गया है: $$\lambda = \frac{h}{p}$$ जहाँ $h$ प्लैंक का संतुलन है। पारिस्थितिकीय ऊर्जा $p$ भौतिकीय ऊर्जा से जुड़ा है $K.E. = \frac{p^2}{2m_e}$, इसलिए $p = \sqrt{2m_e K.E.}$।

दिया गया $m_e = 9.1 \times 10^{-31} , \text{kg}$ और $K.E. = 1.6 \times 10^{-17} , \text{J}$, $$p = \sqrt{2 \times (9.1 \times 10^{-31} , \text{kg}) \times (1.6 \times 10^{-17} , \text{J})}$$ $$p = \sqrt{29.12 \times 10^{-48}} , \text{kg m/s} \approx 5.4 \times 10^{-24} , \text{kg m/s}$$

अब, हम डी ब्रॉगले वैशाखीय प्रकाश की जानकारी पा सकते हैं: $$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34} , \text{J s}}{5.4 \times 10^{-24} , \text{kg m/s}} \approx 1.23 \times 10^{-10} , \text{m}$$

चूंकि $1 , \text{Å} = 10^{-10} , \text{m}$, डी ब्रॉगले वैशाखीय प्रकाश लगभग $1.23 , \text{Å}$ है।

इसलिए, सही उत्तर है (1) 1.23 Å।