शॉर्टकट विधियाँ

संख्यात्मक समस्याओं के लिए शॉर्टकट और ट्रिक्स:#

1. सोने के एटम (अणु संख्या 79 और द्रव्यमान संख्या 197) के न्यूक्लियस त्रिज्या की गणना करें:

• न्यूक्लियस त्रिज्या के लिए सूत्र है: $$R = k * A^{1/3}$$
  जहाँ:
• (R) है न्यूक्लियस त्रिज्या फर्मी (fm) में।
• (A) है एटम की द्रव्यमान संख्या।
• (k) एक फिजिकल फैक्टर है जो लगभग 1.2 fm के बराबर होता है।
  $$R = 1.2 \text{ fm} \times (197)^{1/3}$$
  $$R \approx 7.41 \text{ fm}$$

2. मैग्नीशियम-24 में प्रोटॉन्स, न्यूट्रॉन्स और इलेक्ट्रॉन्स की संख्या निर्धारित करें:

• मैग्नीशियम की अणु संख्या 12 है, जिसका अर्थ है कि इसमें 12 प्रोटॉन्स हैं।
• मैग्नीशियम-24 की द्रव्यमान संख्या 24 है, जिसका अर्थ है कि यह 24 न्यूक्लॉन्स (प्रोटॉन्स + न्यूट्रॉन्स) का समूह बनाता है।
• प्रोटॉन्स की संख्या को कुल न्यूक्लॉन्स से घटाने पर न्यूट्रॉन्स की संख्या मिलती है:
  $$24 - 12 = 12 \text{ neutrons}$$
• क्योंकि एटम तटस्थ है, इलेक्ट्रॉन्स की संख्या प्रोटॉन्स के बराबर होती है:
  $$12 \text{ electrons}$$

3. हाइड्रोजन एटम में इलेक्ट्रॉन के n = 3 से n = 2 तक के स्थानांतरण के दौरान उत्सर्जित फोटॉन की लंबाई कोणना करें:

• राइडबर्ग सूत्र का उपयोग करें:
  $$\frac{1}{\lambda} = R_H \left(\frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2}\right)$$
  जहाँ:
• (\lambda) है उत्सर्जित फोटॉन की लंबाई मीटर (m) में।
• (R_H) है हाइड्रोजन के लिए राइडबर्ग फैक्टर (लगभग 1.0973731 × 10^7 m⁻¹)।
• (n_f) है अंतिम ऊर्जा स्तर (2)।
• (n_i) है प्रारंभिक ऊर्जा स्तर (3)।
  $$ \frac{1}{\lambda} = (1.0973731 \times 10^7 \text{ m}^{-1}) \left(\frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2}\right)$$
  $$ \lambda \approx 656.3 \text{ nm}$$

4. लिथियम एटम में इलेक्ट्रॉन के n = 4 से n = 2 तक के स्थानांतरण के दौरान उत्सर्जित प्रकाश की आवृत्ति निर्धारित करें:

• उत्सर्जित प्रकाश की आवृत्ति के लिए सूत्र है:
  $$f = \frac{c}{\lambda}$$
  जहाँ:
• (f) है आवृत्ति हर्ट्ज (Hz) में।
• (c) है प्रकाश की गति (2.998 × 10^8 m/s)।
• (\lambda) है उत्सर्जित प्रकाश की लंबाई (मीटर में)।
• हमने पहले ही (\lambda) को 656.3 nm, जो (656.3 \times 10^{-9} \text{ m}) है, की गणना की है।
  $$ f = \frac{2.998 \times 10^8 \text{ m/s}}{656.3 \times 10^{-9} \text{ m}}$$
  $$f \approx 4.570 \times 10^{14} \text{ Hz}$$

5. सोडियम एटम की बाहरी शेल से इलेक्ट्रॉन निकालने के लिए आवश्यक ऊर्जा कोणना करें:

• आयनीज़ेशन ऊर्जा सूत्र का उपयोग करें:
  $$E = h c R_H \left(\frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2}\right)$$
  जहाँ:
• (E) है आयनीज़ेशन के लिए आवश्यक ऊर्जा जूल (J) में।
• (h) है प्लैंक के फैक्टर (6.626 × 10⁻³⁴ Js)।
• (c) है प्रकाश की गति (2.998 × 10^8 m/s)।
• (R_H) है हाइड्रोजन के लिए राइडबर्ग फैक्टर (1.0973731 × 10^7 m⁻¹)।
• (n_f) है अंतिम ऊर्जा स्तर (∞, क्योंकि इलेक्ट्रॉन एटम से निकाला जाता है)।
• (n_i) है प्रारंभिक ऊर्जा स्तर (1, क्योंकि यह बाहरी शेल है)।
  $$E = (6.626 \times 10^{-34} \text{ Js}) \times (2.998 \times 10^8 \text{ m/s}) \times (1.0973731 \times 10^7 \text{ m}^{-1}) \left(\frac{1}{\infty^2} - \frac{1}{1^2}\right)$$
  $$E = 5.14 \times 10^{-19} \text{ J}$$

6. हेलियम एटम की आयनीज़ेशन ऊर्जा निर्धारित करें, जिसकी ऊर्जा आवश्यकता 2372 kJ/mol है:

• प्रति एटम ऊर्जा निर्धारित की जाती है:
  $$ E = \frac { Energy \ required }{Avogadro’s \ Number} $$
  $$ E = \frac {2372 kJ/mol}{ 6.022 \times 10^{23} mol^{-1}} $$
  $$ Eatom = 3.94 \times 10^{-19} \text {J} $$
• अब आम आयनीज़ेशन ऊर्जा सूत्र के लिए $$ R_H $$ को हल करें
  $$ E = h c R_H \left(\frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2}\right)$$
  $$ R_H = \frac { E}{h c} (\frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2})$$
  $$ R_H = \frac{3.94 \times 10^{-19} J}{(6.626 \times 10^{-34} Js) (2.998 \times 10^8 ms^{-1}) } (\frac{1}{\infty^2} - \frac{1}{1^2})$$
  $$ R_h = 1.097 \times 10^7 m^{-1}$$

7. प्रायोगिक डेटा से राइडबर्ग फैक्टर कोणना करें:

• राइडबर्ग फैक्टर का उपयोग करके गणना की जा सकती है:
  $$R_H = \frac{1}{\lambda_{\text{measured}}} - \frac{1}{\lambda_{\text{calculated}}}$$
  जहाँ:
• (R_H) है राइडबर्ग फैक्टर मीटर⁻¹ में।
• (\lambda_{\text{measured}}) है प्रायोगिक रूप से मापी गई उत्सर्जित फोटॉन की लंबाई मीटर में।
• (\lambda_{\text{calculated}}) है गणनात्मक लंबाई जो ज्ञात मानों के साथ सूत्र का उपयोग करके मिलती है।

8. एक तत्व की अणु संख्या निर्धारित करें यदि उसके उत्सर्जित प्रकाश की लंबाई 656.3 nm है और राइडबर्ग फैक्टर ज्ञात है:

• राइडबर्ग सूत्र का उपयोग करें:
  $$\frac{1}{\lambda} = R_H \left(\frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2}\right)$$
  जहाँ:
• (\lambda) है उत्सर्जित प्रकाश की लंबाई (दिया गया है 656.3 nm या (656.3\times10^{-9} \text{m}))।
• (R_H) है राइडबर्ग फैक्टर (दिया गया या मापा गया)।
• (n_f) है अंतिम ऊर्जा स्तर (2)।
• (n_i) है प्रारंभिक ऊर्जा स्तर (अज्ञात)।

सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करके (n_i) को हल करें:
$$n_i = \sqrt{\frac{1}{R_H \lambda} + \frac{1}{4}}$$
$$n_i = \sqrt{\frac{1}{(1.0973731 \times 10^7 \text{ m}^{-1}) (656.3\times10^{-9} \text{m})} + \frac{1}{4}}$$
$$n_i \approx 3$$

क्योंकि (n_i) इलेक्ट्रॉन के स्थानांतरण से पहले के ऊर्जा स्तर को दर्शाता है, तत्व की अणु संख्या 3 है, जो लिथियम (Li) के अनुरूप है।

9. कार्बन-12 एटम के द्रव्यमान अभाव को कोणना करें:

• द्रव्यमान अभाव है वास्तविक द्रव्यमान और इसके प्रोटॉन्स और न्यूट्रॉन्स के द्रव्यमानों के योग के बीच का अंतर।
• वास्तविक द्रव्यमान (12.000 \text{ amu}) और प्रोटॉन्स और न्यूट्रॉन्स के द्रव्यमानों के योग (12.011 \text{ amu}) दिया गया है:
  $$ \Delta m = 12.000 \text{ amu} - 12.011 \text{ amu} = -0.011 \text{ amu} $$
• नकारात्मक मान द्रव्यमान अभाव को दर्शाता है, जिसका अर्थ है कि कार्बन-12 एटम का वास्तविक द्रव्यमान इसके व्यक्तिगत न्यूक्लॉन्सों के योग से कम है।

10. यूरेनियम-238 एटम की प्रति न्यूक्लॉन बाइंडिंग ऊर्जा निर्धारित करें:

• प्रति न्यूक्लॉन बाइंडिंग ऊर्जा की गणना की जाती है: $$E_b =