शॉर्टकट विधियाँ
ट्रिक्स और शॉर्टकट्स
1. बाइनोमियल प्रमेय
1. सूत्र:
$$(a+b)^n=\sum_{r=0}^n {}^nC_r a^{n-r}b^{r}$$
- (n) चुनें (r), जहाँ (n\ge r), या,
$${}^n C_r=\frac{n!}{r!(n-r)!}$$
2. बाइनोमियल गुणांक:
$${}^nC_r= {}^nC_{n-r} $$
$${}^nC_0 = {}^nC_n=1$$
- यदि n = 2k, मध्य गुणांक है
$$= ^{n}C_{k} = \frac {(2k)!} {(k!)^2}$$
##3. योग/समीकरण
$$\sum_{i=0}^n {}^nC_i = 2^n$$
$$\sum_{i=0}^n {}^nC_i r^i = (1+r)^n$$
$$\sum_{i=0}^n{}^nC_ir^{n-i}=(1+r)^n$$
- दो बाइनोमियल का गुणन:
$$ (a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd $$
4. अनुक्रम नियम
- ((x + y)^n) के विस्तार के किसी भी भाग में (x) और (y) के अनुक्रमों का योग = n
5. मध्य भाग के गुण:
- विस्तार के मध्य भाग(गण) $(a + b)^n$ के मान द्वारा निर्धारित होते हैं। यदि $n$ सम है, तो एक मध्य भाग होगा; यदि $n$ विषम है, तो दो मध्य भाग होंगे।
जब n सम है: दो मध्य भाग होंगे, अर्थात्, ((^{n/2}C_{n/2-1}a^{n/2-1}b^{n/2})) और ((^{n/2}C_{n/2}a^{n/2}b^{n/2-1}))
जब n विषम है: एक मध्य भाग होगा, अर्थात् $$^{n}C_{(n+1)/2}a^{(n-1)/2}b^{(n+1)/2}$$
6. अंतिम भाग
- विस्तार का अंतिम भाग $(a+b)^n$ = $b^n$
7. सामान्य भाग:
- $(a + b)^n$ के विस्तार में $(r+1)$या भाग: $$ T_{r+1} = {}^nC_r a^{n-r} b^r$$
अभ्यास समस्याएँ
1. ((x + \frac {a}{x})^n) के विस्तार में मध्य भाग 12870 है, तो n ज्ञात कीजिए।
समाधान:
बाइनोमियल विस्तार के मध्य भाग के गुण का उपयोग करते हुए, $$T_{\frac {n}{2}+1}= {}^{n} C_{\frac {n} {2}}x^{n-{n \over 2}+1}\left ( \frac{a}{x} \right )^{\frac {n}{2}-1}$$
$$Rightarrow \space 12870 = {}^n C_{ {n \over 2}-1} x^{{n \over 2}+1} a^{ {n \over 2}-1}$$
$$Rightarrow 12870= \frac {n!} {{({n \over 2}-1)!({n \over 2}+1)!} } x^2 a^{n \over 2}-1 $$
यहाँ हम $n = 12$ का उपयोग समीकरण को संतुष्ट करने के लिए कर सकते हैं।
इस प्रकार, n का मान 12 है।
2. यदि बाइनोमियल विस्तार के प्रथम, तीसरे और छठे भागों के मान क्रमशः a, b और c हैं, तो नवां भाग ज्ञात कीजिए।
समाधान: बाइनोमियल विस्तार का सामान्य भाग:
$$T_{r+1} = {}^nC_r a^{n-r}b^r$$
दिया गया है:
-
(T_1 = a = {}^nC_0a^n)
-
(T_3 = b = {}^nC_2a^{n-2}b^2)
-
$T_6 = c = {}^nC_6a^{n-6}b^6$
-
(T_9=?)
-
से $$T_3 = {}^nC_2a^{n-2}b^2 = b^2$$
$$Rightarrow b= {}^nC_2a^{n-2}b$$
$$ \Rightarrow \space \frac {b^2}{a^{n-2}} = {}^nC_2 = \frac {n(n-1)}{2a^{n-2}}$$
- इसी प्रकार, $$T_6 = {}^nC_5 a^{n-5}b^5= c$$
से हम प्राप्त करते हैं,
$$\Rightarrow \space \frac {c^5}{a^{n-5}b^5} = {}^nC_5 = \frac {n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{5!}$$
समीकरण 2 को समीकरण 1 से भाग करना:
$$\frac {\frac {c^5}{a^{n-5}b^5}} {\frac {b^2}{a^{n-2}}} =\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{5!}\cdot \frac {2}{n(n-1)}$$
$$ \frac {c^5 b^2 a^3} {a^3 b^8} =\frac {2(n-2)(n-3)(n-4)}{5!}$$
$$\Rightarrow \space c =\frac {2(n-2)(n-3)(n-4)}{5!} b = 2\times \frac {(n-2)(n-3)(n-4)}{3\cdot 2!} b\dots (1)$$
फिर से समीकरण 1 से,
$$ \frac {b^2}{a^{n-2}} = \frac {n(n-1)}{2}a^{2}$$
$$ \Rightarrow \space a^{n-2} =\frac {2b^2}{n(n-1)}$$
$$ \Rightarrow \space a^3 = \frac {2b^3}{n(n-1)}$$
$$ \Rightarrow \space a =\sqrt[3]{\frac {2b^3}{n(n-1)}}$$
(a) के मान को समीकरण (1) में डालकर, हम प्राप्त करते हैं $9^\text{th}$ भाग,
$$T_9 = {}^nC_8 a^{n-8}b^8 $$ $$= {}^nC_8\left (\sqrt[3]{\frac {2b^3}{n(n-1)}} \right )^{n-8}b^8$$
समीकरण से ({}^nC_r) के मान को डालकर,
$${}^nC_8 = {}^nC_{n-8} = \frac {n!}{(n-8)!8!} = \frac {n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)(n-7)}{8!}$$
$$T_9 =\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)(n-7)}{8!} \left (\sqrt[3]{\frac {2b^3}{n(n-1)}} \right )^{n-8} b^8$$
सरल करने पर, हम प्राप्त करते हैं
$$T_9 = \frac {(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)(n-7)}{3\times 4!} b^5 = \frac {(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)(n-7)b^5}{72}$$
3. ((3x^2 – \frac {1}{2x})^n) के बाइनोमियल विस्तार में बारह भाग हैं। (x) के किसी भी भाग में अधिकारियों के सभी संभावित गुणनों का योग ज्ञात कीजिए।
समाधान:
$(3x^2 - \frac {1} {2x})^n$ का बाइनोमियल विस्तार केवल तभी मान्य है $n$ एक सकारात्मक पूर्णांक है।
$$(3x^2 - \frac {1} {2x})^n = \sum_{r=0}^n {}^nC_r (3x^2)^{n-r} (-\frac {1} {2x})^r$$
$$= \sum_{r=0}^n {}^nC_r 3^{n-r}(-1)^r x^{2n-3r}2^{-r} $$
दिए गए शर्त द्वारा,
$$2n - 2r -r = 11 \Rightarrow r= \frac{13}{3} \notin N$$
जिसका अर्थ है कि n एक भिन्न संख्या होना चाहिए (पूर्णांक नहीं)! इसका मतलब है कि दिया गया विस्तार एक सीमित बाइनोमियल विस्तार के रूप में मौजूद नहीं है। विस्तार
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