शंकु अनुभाग

शंकु के अनुच्छेद

मान लीजिए $ l $ एक निश्चित ऊर्ध्वाधर रेखा है और $ m $ एक अन्य रेखा है जो इसे एक निश्चित बिंदु V पर काटती है और इस पर $ \alpha $ कोण पर झुकी हुई है।

मान लीजिए हम रेखा $ m $ को रेखा $ l $ के चारों ओर इस प्रकार घुमाते हैं कि कोण $ \alpha $ स्थिर रहे। तब उत्पन्न होने वाली सतह एक द्वि-नैप वाला लंबवृत्तीय खोखला शंकु होता है, जिसे आगे ‘शंकु’ कहा जाएगा और जो दोनों दिशाओं में अनिश्चित रूप से फैला होता है।

बिंदु V को शीर्ष कहा जाता है; रेखा $ l $ शंकु की अक्ष है। घूर्णनशील रेखा $ m $ को शंकु का जनक कहा जाता है। शीर्ष शंकु को दो भागों में विभाजित करता है जिन्हें नैप कहा जाता है।

यदि हम एक समतल और एक शंकु का प्रतिच्छेद लें, तो प्राप्त अनुच्छेद को शंकु-अनुच्छेद कहा जाता है। इस प्रकार, शंकु-अनुच्छेद वे वक्र होते हैं जो एक लंबवृत्तीय शंकु को एक समतल द्वारा काटने पर प्राप्त होते हैं।

हम शंकु-अनुच्छेदों के विभिन्न प्रकार प्राप्त करते हैं, जो कि प्रतिच्छेदन समतल की स्थिति और शंकु की ऊर्ध्वाधर अक्ष के साथ इसके द्वारा बनाए गए कोण पर निर्भर करते हैं। मान लीजिए $ \beta $ वह कोण है जो प्रतिच्छेदन समतल शंकु की ऊर्ध्वाधर अक्ष के साथ बनाता है।

समतल का शंकु के साथ प्रतिच्छेदन या तो शंकु के शीर्ष पर हो सकता है या नैप के किसी अन्य भाग पर, चाहे वह शीर्ष के नीचे हो या ऊपर।

जब तल शंकु के नैप (शीर्ष के अतिरिक्त) को काटता है, तो हमें निम्नलिखित स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:

(a) जब ( \beta=90^{\circ} ), काट एक वृत्त होता है।

(b) जब ( \alpha<\beta<90^{\circ} ), काट एक दीर्घवृत्त होता है।

(c) जब ( \beta=\alpha ); काट एक परवलय होता है।

(उपरोक्त तीनों स्थितियों में, तल शंकु के एक नैप को पूरी तरह से पार करता है)।

(d) जब ( 0 \leq \beta<\alpha ); तल दोनों नैपों को काटता है और प्रतिच्छेदन वक्र एक अतिपरवलय होता है।

वास्तव में ये वक्र आजकल बाह्य अंतरिक्ष की खोज और परमाणु कणों के व्यवहार के शोध के लिए महत्वपूर्ण उपकरण हैं।

हम शांकवीय प्रतिच्छेदन को समतलीय वक्र मानते हैं। इस उद्देश्य के लिए, यह समतुल्य परिभाषा का उपयोग करना सुविधाजनक होता है जो केवल उस तल की ओर संकेत करती है जिसमें वक्र स्थित होता है, और इस तल में विशेष बिंदुओं और रेखाओं की ओर संकेत करती है जिन्हें फोकस और डायरेक्ट्रिक्स कहा जाता है। इस दृष्टिकोण के अनुसार, परवलय, दीर्घवृत्त और अतिपरवलय को एक निश्चित बिंदु (जिसे फोकस कहा जाता है) और निश्चित रेखा (जिसे डायरेक्ट्रिक्स कहा जाता है) के संदर्भ में परिभाषित किया जाता है।

यदि S फोकस है और ( l ) डायरेक्ट्रिक्स है, तो तल में सभी बिंदुओं का समुच्चय जिनकी S से दूरी एक नियत अनुपात ( e ) (जिसे उत्केंद्रता कहा जाता है) बनाती है उनकी ( l ) से दूरी से, एक शांकवीय प्रतिच्छेदन होता है।

दीर्घवृत्त के एक विशेष प्रकार के रूप में, हम वृत्त प्राप्त करते हैं जिसके लिए ( e=0 ) होता है और इसलिए हम इसे भिन्न रूप से अध्ययन करते हैं।

वृत्त:

एक वृत्त समतल के उन सभी बिंदुओं का समुच्चय होता है जो समतल के एक निश्चित बिंदु से निश्चित दूरी पर स्थित होते हैं। वह निश्चित बिंदु वृत्त का केंद्र कहलाता है और केंद्र से वृत्त के किसी भी बिंदु की दूरी वृत्त की त्रिज्या कहलाती है।

त्रिज्या $ r $ और केंद्र $ (h, k) $ वाले वृत्त का समीकरण $ (x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2} $ द्वारा दिया जाता है।

वृत्त का सामान्य समीकरण $ x^{2}+y^{2}+2 g x+2 f y+c=0 $ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $ g, f $ और $ c $ स्थिरांक हैं।

(a) इस वृत्त का केंद्र $ (-g,-f) $ है।

(b) वृत्त की त्रिज्या $ \sqrt{g^{2}+f^{2}-c} $ है।

मूल बिंदु से गुज़रने वाले वृत्त का सामान्य समीकरण $ x^{2}+y^{2}+2 g x+2 f y=0 $ द्वारा दिया जाता है।

द्वितीय घात का सामान्य समीकरण अर्थात् $ a x^{2}+2 h x y+b y^{2}+2 g x+2 f y+c=0 $ एक वृत्त को निरूपित करता है यदि (i) $ x^{2} $ का गुणांक $ y^{2 }$ के गुणांक के बराबर हो, अर्थात् $ a=b \neq 0 $ और (ii) $ x y $ का गुणांक शून्य हो, अर्थात् $ h=0 $।

वृत्त $ x^{2}+y^{2}=r^{2 }$ के प्राचल समीकरण $ x=r \cos \theta, y=r \sin \theta $ द्वारा दिए जाते हैं जहाँ $ \theta $ प्राचल है और वृत्त $ (x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2 }$ के प्राचल समीकरण

$ x-h=r \cos \theta, y-k=r \sin \theta $

या

$ x=h+r \cos \theta, y=k+r \sin \theta $

द्वारा दिए जाते हैं।

नोट: वृत्त का सामान्य समीकरण तीन अचरों को सम्मिलित करता है जिससे यह निहित है कि किसी वृत्त को अद्वितीय रूप से निर्धारित करने के लिए कम-से-कम तीन शर्तों की आवश्यकता होती है।

परवलय

परवलय बिंदुओं P का समुच्चय है जिनकी समतल में एक निश्चित बिंदु $ F $ से दूरियाँ समतल में एक निश्चित रेखा $ l $ से उनकी दूरियों के बराबर होती हैं। निश्चित बिंदु $ F $ को फोकस तथा निश्चित रेखा $ l $ को परवलय की डायरेक्ट्रिक्स कहा जाता है।

परवलय के मानक समीकरण

परवलय के चार सम्भावित रूप नीचे (a) से (d) तक दिखाए गए हैं
परवलय का लेटस रेक्टम एक रेखाखंड है जो परवलय की अक्ष के लम्बवत्, फोकस से होकर जाता है और जिसके सिरे परवलय पर स्थित होते हैं।

परवलय के मुख्य तथ्य

बिंदु की फोकल दूरी

मान लीजिए परवलय का समीकरण $ y^{2}=4 a x $ है और $ \mathrm{P}(x, y) $ इस पर स्थित एक बिंदु है। तब बिंदु P की फोकस $ (a, 0) $ से दूरी को उस बिंदु की फोकल दूरी कहा जाता है, अर्थात्

$ \begin{aligned} \mathrm{FP} & =\sqrt{(x-a)^{2}+y^{2}} \ & =\sqrt{(x-a)^{2}+4 a x} \ & =\sqrt{(x+a)^{2}} \ & =|x+a| \end{aligned} $

दीर्घवृत्त

एक दीर्घवृत्त उस बिंदु समूह को कहते हैं जिसमें एक समतल में स्थित किसी बिंदु की दो निश्चित बिंदुओं से दूरियों का योग स्थिर हो। वैकल्पिक रूप से, एक दीर्घवृत्त उन सभी बिंदुओं का समूह है जिनकी समतल में स्थित एक निश्चित बिंदु से दूरी, समतल में स्थित एक निश्चित रेखा से उनकी दूरी की तुलना में एक स्थिर अनुपात (जो 1 से कम हो) बनाती है। निश्चित बिंदु को फोकस, निश्चित रेखा को निर्देशिका और स्थिर अनुपात (e) को दीर्घवृत्त की उत्केन्द्रता कहा जाता है।

हमारे पास दीर्घवृत्त के दो मानक रूप हैं, अर्थात्

(i) $ \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1 \quad $ और

(ii) $ \dfrac{x^{2}}{b^{2}}+\dfrac{y^{2}}{a^{2}}=1 $,

दोनों स्थितियों में $ a>b $ और $ b^{2}=a^{2}\left(1-e^{2}\right), e<1 $ है। (i) में प्रमुख अक्ष $ x $-अक्ष के अनुदिश और लघु अक्ष $ y $-अक्ष के अनुदिश है और (ii) में प्रमुख अक्ष $ y $-अक्ष के अनुदिश और लघु अक्ष $ x $-अक्ष के अनुदिश है जैसा कि क्रमशः (a) और (b) में दिखाया गया है।

दीर्घवृत्त के मुख्य तथ्य

फोकस दूरी

दीर्घवृत्ट $ \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1 $ पर स्थित बिंदु $ (x, y) $ की फोकस दूरी

निकटतर फोकस से $ a-e|x| $ दूरस्थ फोकस से $ a+e|x| $

दीर्घवृत्त पर किसी भी बिंदु की फोकस दूरियों का योग स्थिर होता है और यह प्रमुख अक्ष की लंबाई के बराबर होता है।

अतिशयोक्ति (Hyperbola): अतिशयोक्ति तल में स्थित सभी बिंदुओं का समुच्चय है, जिनकी दो निश्चित बिंदुओं से दूरियों का अंतर नियत होता है। वैकल्पिक रूप से, अतिशयोक्ति तल में स्थित सभी बिंदुओं का समुच्चय है, जिनकी तल में स्थित एक निश्चित बिंदु से दूरियाँ उनकी तल में स्थित एक निश्चित रेखा से दूरियों से 1 से बड़े नियत अनुपात में होती हैं। निश्चित बिंदु को फोकस, निश्चित रेखा को निर्देशिका और नियत अनुपात को $ e $ द्वारा दर्शाया जाता है, जो अतिशयोक्ति की उत्केन्द्रता (eccentricity) कहलाता है।

हमारे पास अतिशयोक्ति के दो मानक रूप हैं, अर्थात्,

(i) $ \dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1 $ और

(ii) $ \dfrac{y^{2}}{a^{2}}-\dfrac{x^{2}}{b^{2}}=1 $

यहाँ $ b^{2}=a^{2}\left(e^{2}-1\right), e>1 $.

(i) में अनुप्रस्थ अक्ष $ x $-अक्ष के अनुदिश तथा संयुज अक्ष $ y $-अक्ष के अनुदिश है, जबकि (ii) में अनुप्रस्थ अक्ष $ y $-अक्ष के अनुदिश तथा संयुज अक्ष $ x $-अक्ष के अनुदिश है।

अतिशयोक्ति के मुख्य तथ्य

फोकस दूरी

अतिशयोक्ति $ \dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1 $ पर स्थित किसी बिंदु $ (x, y) $ की फोकस दूरी

निकटतर फोकस से $ e|x|-a $

दूरतम फोकस से $ e|x|+a $

अतिशयोक्ति पर स्थित किसी बिंदु की फोकस दूरियों का अंतर नियत होता है और यह अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई के बराबर होता है।

शांकवों के प्राचलिक समीकरण

शांकव	प्राचलिक समीकरण
(i) परवलय: $ y^{2}=4 a x $	$x=a t^{2}, y=2 a t ;-\infty<t<\infty$
(ii) दीर्घवृत्त : $ \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1 $	$x=a \cos \theta, y=b \sin \theta ; 0 \leq \theta \leq 2 \pi$
(iii) अतिपरवलय: $ \dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1 $	$ x=a \sec \theta, y=b \tan \theta $, जहाँ
	$-\dfrac{\pi}{2}<\theta<\dfrac{\pi}{2} ; \dfrac{\pi}{2}<\theta<\dfrac{3 \pi}{2}$

JEE के लिए यह क्यों महत्वपूर्ण है#

यह अवधारणा शांकव खंडों के विषय को समझने के लिए महत्वपूर्ण है, जो JEE परीक्षाओं में बार-बार आता है। इस विषय में महारत हासिल करने से निम्नलिखित में मदद मिलती है:

• मौलिक सिद्धांतों को समझने में
• जटिल समस्याओं को हल करने में
• वैचारिक स्पष्टता निर्मित करने में

टालने योग्य सामान्य गलतियाँ#

• किनारे के मामलों की अनदेखी
• गणनाओं में जल्दबाज़ी
• इकाइयों और आयामों की जाँच न करना
• यह मान लेना कि समान दिखने वाली अवधारणाएँ समान हैं
• वैचारिक समझ को छोड़ना

याद रखने योग्य प्रमुख अवधारणाएँ#

• पहले संपूर्ण अवधारणा को पढ़ें
• अंतर्निहित सिद्धांत की पहचान करें
• उदाहरणों को चरण-दर-चरण हल करें
• समस्या के रूपांतरों के साथ अभ्यास करें
• वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोगों से जोड़ें

संबंधित विषय#

• फलन अवधारणाएँ
• समाकलन तकनीकें
• समस्या-समाधान रणनीतियाँ