शॉर्टकट विधियाँ

NEET

1. एक कर्व और x-अक्ष द्वारा सीमित क्षेत्रफल का ज्ञात करना:

   • सूत्र का उपयोग करें, Area = ∫[a,b] f(x) dx, जहाँ a और b समाकलन की सीमाएँ हैं और f(x) कर्व का प्रतिनिधित्व करने वाली फलन है।
   • क्षेत्रफल को सरल क्षेत्रों में विभाजित करें और प्रत्येक क्षेत्र का अलग-अलग समाकलन करें।

2. एक ठोस घूर्णन का आयतन ज्ञात करना:

   • सूत्र का उपयोग करें, Volume = ∫[a,b] πf(x)^2 dx, जहाँ a और b समाकलन की सीमाएँ हैं, f(x) घूर्णित करने वाले कर्व का प्रतिनिधित्व करने वाली फलन है, और π फि (pi) का एक स्थिरांक (लगभग 3.14) है।
   • वैकल्पिक रूप से, आप आयतन ज्ञात करने के लिए Disk Method या Shell Method का उपयोग कर सकते हैं।

3. अपूर्ण समाकलनों का मूल्यांकन करना:

   • यदि फलन f(x) a या b पर अनंत विसंगति रखता है, या यदि समाकलन की सीमा अनंत है, तो समाकलन को अपूर्ण माना जाता है।
   • अपूर्ण समाकलनों का मूल्यांकन करने के लिए निश्चित समाकलन की सीमा परिभाषा का उपयोग करें।

4. भौतिकी और अभियांत्रिकी के समस्याओं में निश्चित समाकलनों का अनुप्रयोग:

   • एक विशिष्ट दूरी पर एक बल द्वारा किए गए कार्य को ज्ञात करने के लिए एक चर बल द्वारा किए गए कार्य के संकेत का उपयोग करें।
   • दिए गए वस्तु या प्रणाली के केंद्र द्रव्यमान को ज्ञात करने के लिए केंद्र द्रव्यमान के संकेत का उपयोग करें।

NEET

1. त्रिकोणमितीय फलनों के साथ निश्चित समाकलन:

   • समाकलन को सरल बनाने के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करें और फिर मानक सूत्रों का उपयोग करके समाकलन करें।
   • त्रिकोणमितीय फलनों के साथ समाकलनों का मूल्यांकन करने के लिए निश्चित समाकलन गुणों का उपयोग करें।

2. व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों के साथ निश्चित समाकलन:

   • समाकलन को त्रिकोणमितीय फलनों के साथ समाकलन में परिवर्तित करने के लिए प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करें।
   • फिर मानक सूत्रों का उपयोग करके समाकलन करें।

3. लघुगणक फलनों के साथ निश्चित समाकलन:

   • समाकलन को प्राकृतिक लघुगणक (ln) के साथ समाकलन में परिवर्तित करने के लिए प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करें।
   • फिर समाकलन को श्रम सूत्र के अनुसार समाकलित करें।

4. घातांकीय फलनों के साथ निश्चित समाकलन:

   • समाकलन को प्राकृतिक लघुगणक (ln) के साथ समाकलन में परिवर्तित करने के लिए प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करें।
   • फिर श्रम सूत्र के अनुसार समाकलित करें।

CBSE क्लास 12:

1. एक कर्व और x-अक्ष द्वारा सीमित क्षेत्रफल का ज्ञात करना:

   • NEET में उसी दृष्टिकोण का पालन करें, सूत्र Area = ∫[a,b] f(x) dx का उपयोग करके।

2. एक ठोस घूर्णन का आयतन ज्ञात करना:

   • NEET में उसी दृष्टिकोण का पालन करें, सूत्र Volume = ∫[a,b] πf(x)^2 dx, Disk Method, या Shell Method का उपयोग करके।

3. अपूर्ण समाकलनों का मूल्यांकन करने के लिए निश्चित समाकलनों का उपयोग:

   • NEET में उसी दृष्टिकोण का पालन करें, निश्चित समाकलन की सीमा परिभाषा का उपयोग करके।