अवदान (Determinants):#

• छोटे अवदान (Minors):
  • 2x2 मैट्रिक्स के लिए, किसी तत्व का छोटा अवदान वह उप-मैट्रिक्स का अवदान है जिसमें उस तत्व को शामिल करने वाली पंक्ति और स्तंभ को हटा दिया गया है।
  • 3x3 मैट्रिक्स के लिए, किसी तत्व का छोटा अवदान वह उप-मैट्रिक्स का अवदान है जिसमें उस तत्व को शामिल करने वाली पंक्ति और स्तंभ को हटा दिया गया है, जिसे चिह्न कारक $(-1)^{i+j}$ से गुणा किया जाता है, जहाँ (i) तत्व का पंक्ति सूचकांक है और (j) स्तंभ सूचकांक है।
  • 4x4 मैट्रिक्स के लिए, किसी तत्व का छोटा अवदान वह उप-मैट्रिक्स का अवदान है जिसमें उस तत्व को शामिल करने वाली पंक्ति और स्तंभ को हटा दिया गया है, जिसे चिह्न कारक $(-1)^{i+j+k}$ से गुणा किया जाता है, जहाँ (i) पंक्ति सूचकांक है, (j) स्तंभ सूचकांक है, और (k) पंक्ति/स्तंभ विस्तार में छोटे अवदान की सूचकांक है (जैसे, पहली पंक्ति विस्तार में पहले छोटे अवदान के लिए 1, पहली पंक्ति विस्तार में दूसरे छोटे अवदान के लिए 2, और इसके जैसे)।
• सह-अवदान (Cofactors):
  • मैट्रिक्स के किसी तत्व का सह-अवदान वह तत्व का चिह्नित छोटा अवदान है। चिह्न चिह्न कारक $(-1)^{i+j}$ द्वारा निर्धारित किया जाता है, जहाँ (i) तत्व का पंक्ति सूचकांक है और (j) स्तंभ सूचकांक है।
• किसी भी पंक्ति/स्तंभ के द्वारा विस्तार:
  • मैट्रिक्स का अवदान किसी भी पंक्ति या स्तंभ के द्वारा विस्तार करके गणना किया जा सकता है। इसमें चुनी गई पंक्ति/स्तंभ के प्रत्येक तत्व को उसके संबंधित सह-अवदान से गुणा करना और परिणामों का योग करना शामिल है।
• लैप्लास के विस्तार का उपयोग करके मूल्यांकन:
  • लैप्लास का विस्तार मैट्रिक्स का अवदान गणना करने की एक विधि है जहाँ बार-बार पंक्ति/स्तंभ विस्तार लागू किए जाते हैं। इसमें गणना के आव्हान को कम करने के लिए उस पंक्ति/स्तंभ का चयन किया जाता है जिसमें बहुत से शून्य या छोटे मान होते हैं।
• त्रिकोणीय मैट्रिक्स का अवदान:
  • त्रिकोणीय मैट्रिक्स (निचला या ऊपरी त्रिकोणीय) का अवदान बस उसके विकर्ण तत्वों के गुणनफल है।
• विकर्ण मैट्रिक्स का अवदान:
  • विकर्ण मैट्रिक्स का अवदान उसके विकर्ण तत्वों के गुणनफल है।
• एकल और गैर-एकल मैट्रिक्स:
  • एक वर्ग मैट्रिक्स एकल है अगर उसका अवदान शून्य है, और गैर-एकल है अगर उसका अवदान शून्य नहीं है।
  • एकल मैट्रिक्स का प्रतिलोम नहीं मिलता, जबकि गैर-एकल मैट्रिक्स का प्रतिलोम मिलता है।
• अवदानों का गुणन:
  • दो मैट्रिक्स के गुणन का अवदान उनके अवदानों के गुणनफल के बराबर है।
• अवदानों का उपयोग करके मैट्रिक्स का प्रतिलोम (क्रमर की नियम):
  • क्रमर की नियम वर्ग मैट्रिक्स का प्रतिलोम अवदानों का उपयोग करके खोजा जा सकता है। इसमें मैट्रिक्स का अवदान और प्रत्येक स्तंभ को अज्ञात चरों की स्तंभ वेक्टर से बदलकर प्राप्त मैट्रिक्सों के अवदान की गणना शामिल है।
• रैखिक समीकरणों की समस्याओं को हल करने में अनुप्रयोग:
  • रैखिक समीकरणों की समस्याओं को हल करने के लिए अवदानों का उपयोग उन्हें मैट्रिक्स समीकरणों में घटित करके और समाधान खोजने के लिए क्रमर की नियम का उपयोग करके किया जाता है।
• ज्यामिति में अनुप्रयोग:
  • ज्यामिति में अवदानों का उपयोग शीर्षों के निर्देशांक को प्रतिनिधित्व करने वाली मैट्रिक्स का अवदान गणना करके समानांतर आयत/समानांतर पिप के क्षेत्रफल/आयताकार आयताकार का ज्ञात करने के लिए किया जाता है।

संख्यात्मक समस्याएँ:#

• अवदानों के मान ज्ञात करना: निम्नलिखित मैट्रिक्सों के अवदान गणना करें:

$$A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}, \quad C = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 9 & 10 & 11 & 12 \\ 13 & 14 & 15 & 16 \end{bmatrix}. $$

• अवदानों का उपयोग करके समीकरणों को हल करना: क्रमर की नियम का उपयोग करके निम्नलिखित रैखिक समीकरणों की समस्या हल करें:

$$3x + 2y = 5$$

$$2x - y = 3$$

• ज्यामिति में अवदानों का अनुप्रयोग: शीर्ष (A(1, 2), B(3, 4), C(6, 5), ) और (D(4, 3)) वाले समानांतर आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करें।