अवकल समीकरण
1. अवकल समीकरण का निर्माण
फलनों से ODE बनाने के लिए निम्न चरणों का पालन करें:
- प्राचल को समाप्त करने के लिए चर $x$, $y$ के सापेक्ष अवकलन का प्रयोग करें।
- अवकलज के गुणधर्मों का उपयोग करके सरल करें।
2. अवकल समीकरण की कोटि और घात
- उपस्थित उच्चतम कोटि के अवकलज की कोटि गिनें।
- उच्चतम कोटि के अवकलज की जिस उच्चतम घात में घातांकिता है, उसे घात कहें।
उदाहरण: निम्नलिखित प्रत्येक अवकल समीकरण की कोटि और घात, यदि परिभाषित हो, ज्ञात करें:
(i) $\dfrac{d y}{d x}-\cos x=0$
हल:
अवकल समीकरण में उपस्थित उच्चतम कोटि का अवकलज $\dfrac{d y}{d x}$ है, इसलिए इसकी कोटि एक है। यह $y^{\prime}$ में एक बहुपद समीकरण है और $\dfrac{d y}{d x}$ की उच्चतम घात एक है, इसलिए इसकी घात एक है।
(ii) $y^{\prime \prime}+y^2+e^{y^{\prime}}=0$
हल:
अवकल समीकरण में उपस्थित उच्चतम कोटि का अवकलज $y^{\prime \prime}$ है, इसलिए इसकी कोटि दो है। दिया गया अवकल समीकरण इसके अवकलजों में बहुपद समीकरण नहीं है, इसलिए इसकी घात परिभाषित नहीं है।
5. रैखिक अवकल समीकरण
(1) यदि अवकल समीकरण इस रूप का हो
$ \dfrac{d y}{d x}+\mathrm{P} y=\mathrm{Q} $
तब
(i) $\text{I.F.}= e^{\int pdx}$ ज्ञात करें
(ii) अवकल समीकरण का हल $y \times \text{I.F.} = \int Q \times \text{I.F.} dx+C$
उदाहरण अवकल समीकरण $x \dfrac{d y}{d x}+2 y=x^2(x \neq 0)$ का व्यापक हल ज्ञात करें।
हल दी गई अवकल समीकरण है
$ x \dfrac{d y}{d x}+2 y=x^2 $
समीकरण के दोनों पक्षों को $x$ से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है
$ \dfrac{d y}{d x}+\dfrac{2}{x} y=x $
जो कि एक रैखिक अवकल समीकरण है प्रकार $\dfrac{d y}{d x}+\mathrm{P} y=\mathrm{Q}$ की, जहाँ $\mathrm{P}=\dfrac{2}{x}$ और $\mathrm{Q}=x$ है।
अतः, $ \quad \mathrm{I} . \mathrm{F}=e^{\int \dfrac{2}{x} d x}=e^{2 \log |x|}=e^{\log x^2}=x^2\left[\text { क्योंकि } e^{\log f(x)}=f(x)\right] $
इसलिए, दी गई समीकरण का हल निम्नलिखित द्वारा दिया गया है
$ \begin{aligned} y \cdot x^2=\int(x)\left(x^2\right) d x+\mathrm{C} & =\int x^3 d x+\mathrm{C} \ y & =\dfrac{x^2}{4}+\mathrm{C} x^{-2} \end{aligned} $
जो कि दी गई अवकल समीकरण का व्यापक हल है।
(2) यदि अवकल समीकरण प्रकार $\dfrac{dx}{dy}+Px= Q$ की हो
तब,
(i) $\text{I.F.} = e^{\int Pdy}$ ज्ञात कीजिए
(ii) अवकल समीकरण का हल $x \times \text{I.F.} = \int Q \cdot \text{I.F.} dy+C$
उदाहरण 22 अवकल समीकरण को हल कीजिए
$ \left(\tan ^{-1} y-x\right) d y=\left(1+y^2\right) d x $
हल दी गई अवकल समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है
$ \dfrac{d x}{d y}+\dfrac{x}{1+y^2}=\dfrac{\tan ^{-1} y}{1+y^2} $
अब (1) एक रैखिक अवकल समीकरण है प्रकार $\dfrac{d x}{d y}+\mathrm{P}_1 x=\mathrm{Q}_1$ की, जहाँ, $\quad \mathrm{P}_1=\dfrac{1}{1+y^2}$ और $\mathrm{Q}_1=\dfrac{\tan ^{-1} y}{1+y^2}$ है।
इसलिए, I.F $=e^{\int \dfrac{1}{1+y^2} d y}=e^{\tan ^{-1} y}$
इस प्रकार, दी गई अवकल समीकरण का हल है
$ x e^{\tan ^{-1} y}=\int\left(\dfrac{\tan ^{-1} y}{1+y^2}\right) e^{\tan ^{-1} y} d y+\mathrm{C} $
माना, $ \quad \mathrm{I}=\int\left(\dfrac{\tan ^{-1} y}{1+y^2}\right) e^{\tan ^{-1} y} d y $
प्रतिस्थापन करते हुए $\tan ^{-1} y=t$ ताकि $\left(\dfrac{1}{1+y^2}\right) d y=d t$, हम प्राप्त करते हैं
$ \begin{aligned} &\Rightarrow \quad \mathrm{I}=\int t e^t d t=t e^t-\int 1 \cdot e^t d t=t e^t-e^t=e^t(t-1) \ & \mathrm{I}=e^{\tan ^{-1} y\left(\tan ^{-1} y-1\right)} \end{aligned} $
समीकरण (2) में I का मान रखने पर, हम प्राप्त करते हैं
$ x \cdot e^{\tan ^{-1} y}=e^{\tan ^{-1} y}\left(\tan ^{-1} y-1\right)+\mathrm{C} $
$ \Rightarrow \quad x=\left(\tan ^{-1} y-1\right)+C e^{-\tan ^{-1} y} $
जो दी गई अवकल समीकरण का व्यापक हल है।
6. समघातीय अवकल समीकरण
समघातीय फलन:
एक फलन $\mathrm{F}(x, y)$ को n घात का समघातीय फलन कहा जाता है यदि $\mathrm{F}(\lambda x, \lambda y)=\lambda^n \mathrm{~F}(x, y)$ किसी भी अशून्य स्थिरांक $\lambda$ के लिए।
उदाहरण: फलनों को समघातीय है या नहीं जांचना।
(i) $\mathrm{F}(x, y)=\cos \left(\dfrac{y}{x}\right)$
हल:
$\mathrm{F}(\lambda x, \lambda y)=\cos \left(\dfrac{\lambda y}{\lambda x}\right)=\cos \left(\dfrac{y}{x}\right)=\lambda^0 \mathrm{~F}(x, y)$
(ii) $\mathrm{F}(x, y)=\sin x+\cos y$
हल:
$\mathrm{F}(\lambda x, \lambda y)=\sin \lambda x+\cos \lambda y \neq \lambda^n \mathrm{~F}(x, y)$, किसी $n \in \mathbf{N}$ के लिए
समघात अवकल समीकरण:
(1) यदि दिया गया अवकल समीकरण इस रूप में हो
$\dfrac{d y}{d x}=\mathrm{F}(x, y)=g\left(\dfrac{y}{x}\right) \quad $
जहाँ $F(x,y)$ समघात फलन है
तो $y=vx$ प्रतिस्थापित करें और व्यापक हल ज्ञात करें।
उदाहरण अवकल समीकरण $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x^2+y^2}{2xy}$ को हल कीजिए
हल दिया गया अवकल समीकरण
$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x^2+y^2}{2xy}$
दिया गया अवकल समीकरण इस रूप में है $\dfrac{d y}{d x}=\mathrm{F}(x, y)=g\left(\dfrac{y}{x}\right) \quad $
इसे हल करने के लिए हम प्रतिस्थापन करते हैं
$ y=v x $
$y=v x$ को $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, हम पाते हैं
$ \Rightarrow \quad v+x \dfrac{d v}{d x}=\dfrac{1+v^2}{2 v} $
$ \Rightarrow \quad x \dfrac{d v}{d x}=\dfrac{1-v^2}{2 v} $
$ \dfrac{2 v}{1-v^2} d v=\dfrac{d x}{x} $
$ \Rightarrow \quad \dfrac{2 v}{v^2-1} d v=-\dfrac{d x}{x} $
इसलिए
$ \Rightarrow \quad \log \left|v^2-1\right|=-\log |x|+\log \left|C_1\right| $
$ \Rightarrow \quad \log \left|\left(v^2-1\right)(x)\right|=\log \left|C_1\right| $
$ \Rightarrow \quad \left(v^2-1\right) x= \pm \mathrm{C}_1 $
$v$ को $\dfrac{y}{x}$ से प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं
$ \left(\dfrac{y^2}{x^2}-1\right) x= \pm \mathrm{C}_1 $
$ \Rightarrow \quad \left(y^2-x^2\right)= \pm \mathrm{C}_1 x \text { या } x^2-y^2=\mathrm{C} x $
(2) यदि समघातीय अवकल समीकरण $\dfrac{d x}{d y}=\mathrm{F}(x, y)$ के रूप में है, जहाँ $\mathrm{F}(x, y)$ शून्य घात की समघातीय फलन है, तो हम प्रतिस्थापन $x=v y$ करते हैं और आगे बढ़कर व्यापक समाधान खोजते हैं।
JEE के लिए यह क्यों महत्वपूर्ण है
यह अवधारणा अवकल समीकरण विषय को समझने के लिए महत्वपूर्ण है, जो JEE परीक्षाओं में बार-बार आता है। इस विषय में निपुणता से मदद मिलती है:
- मूलभूत सिद्धांतों को समझने में
- जटिल समस्याओं को हल करने में
- संकल्पनात्मक स्पष्टता बनाने में
टालने योग्य सामान्य गलतियाँ
- किनारे के मामलों को अनदेखा करना
- गणनाओं में जल्दबाज़ी करना
- इकाइयों और आयामों की जाँच न करना
- समान दिखने वाली अवधारणाओं को समान मान लेना
- संकल्पनात्मक समझ को छोड़ना
याद रखने योग्य प्रमुख अवधारणाएँ
- पहले सम्पूर्ण अवधारणा को पढ़ें
- अंतर्निहित सिद्धांत की पहचान करें
- उदाहरणों को क्रमबद्ध तरीके से हल करें
- समस्या के रूपांतरों के साथ अभ्यास करें
- वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोगों से जोड़ें
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