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अपवर्तन पर संख्यात्मक प्रश्न#

NEET संख्यात्मक

1. समस्या: 600 nm दर्ज की छड़ी की चाल की प्रकाश की धुरी चौड़ाई 0.5 mm वाली एकल खण्ड पर प्रवेश करती है। प्रकाश अपवर्तन पैटर्न में केंद्रीय अधिभाग की कोणीय चौड़ाई की गणना करें।

समाधान:

• दिया है:

  • चाल, (\lambda) = 600 nm = (6 \times 10^{-7}) m
  • खण्ड चौड़ाई, (a) = 0.5 mm = (5 \times 10^{-4}) m

• केंद्रीय अधिभाग की कोणीय चौड़ाई द्वारा दी जाती है:
  $$\theta = \frac{2\lambda}{a}$$

• मानों का प्रतिस्थापन करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
  $$\theta = \frac{2 \times 6 \times 10^{-7} \text{ m} }{5 \times 10^{-4} \text{ m}}$$
  $$\theta = 2.4 \times 10^{-3}\text{ radians}$$
  $$\theta = 1.37 \degree$$

अतः, केंद्रीय अधिभाग की कोणीय चौड़ाई (1.37\degree) है।

2. समस्या: 500 nm दर्ज की छड़ी की चाल वाली समानांतर धुरी चित्राकार छिद्र के व्यास 0.02 mm पर पड़ती है। प्रकाश अपवर्तन पैटर्न में पहली गहरी वृत्त की त्रिज्या की गणना करें।

समाधान:

• दिया है:

  • चाल, (\lambda) = 500 nm = (5 \times 10^{-7}) m
  • छिद्र व्यास, (d) = 0.02 mm = (2 \times 10^{-5}) m

• पहली गहरी वृत्त की त्रिज्या द्वारा दी जाती है:
  $$r_{dark} = \frac{1.22 \times \lambda}{d}$$

• मानों का प्रतिस्थापन करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
  $$r_{dark} = \frac{1.22. \times 5 \times 10^{-7} \text{ m} }{2 \times 10^{-5} \text{ m}}$$
  $$r_{dark} = 3.05 \times 10^{-5}\text{ m}$$

अतः, पहली गहरी वृत्त की त्रिज्या (3.05 \times 10^{-5}) m है।

3. समस्या: 500 रेखाओं प्रति mm वाली एक ग्रेडिंग के लिए, 600 nm दर्ज की छड़ी की चाल वाले प्रकाश के लिए प्रथम अवकाश के अपवर्तन अधिभाग को देखने के लिए कोण की गणना करें।

समाधान:

• दिया है:

  • ग्रेडिंग रेखाएँ, (N) = 500 रेखाएँ/mm
  • चाल, (\lambda) = 600 nm = (6 \times 10^{-7}) m

• प्रथम अवकाश के अपवर्तन अधिभाग को देखने के लिए कोण (\theta_1) द्वारा दी जाती है:
  $$\sin \theta_1 = \frac{\lambda}{d}$$
  जहाँ (d) ग्रेडिंग अंतराल है।

• ग्रेडिंग अंतराल (d) द्वारा दी जाती है:
  $$d = \frac{1}{N}$$

• (d) के मान को पहली समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
  $$\sin \theta_1 = \lambda N$$
  $$\theta_1 = \sin^{-1}(\lambda N)$$

• मानों का प्रतिस्थापन करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
  $$\theta_1 = \sin^{-1}(6 \times 10^{-7} \text{ m} \times 500 \text{ lines/mm})$$
  $$\theta_1 = 18.43\degree$$

अतः, प्रथम अवकाश के अपवर्तन अधिभाग को देखने के लिए कोण (18.43\degree) है।

4. समस्या: 650 nm दर्ज की छड़ी की चाल वाली धुरी 200 रेखाओं प्रति mm वाली एक ग्रेडिंग पर प्रवेश करती है। ग्रेडिंग से 1 m दूर एक स्क्रीन रखे गए हैं। स्क्रीन पर देखे गए चमकीले भागों की संख्या की गणना करें।

समाधान:

• दिया है:

  • चाल, (\lambda) = 650 nm = (6.5 \times 10^{-7}) m
  • ग्रेडिंग रेखाएँ, (N) = 200 रेखाएँ/mm
  • ग्रेडिंग से स्क्रीन तक की दूरी, (D) = 1 m

• प्रत्येक चमकीले भाग की कोणीय चौड़ाई (\theta) द्वारा दी जाती है:
  $$\theta = \frac{\lambda}{d}$$
  जहाँ (d) ग्रेडिंग अंतराल है।

• ग्रेडिंग अंतराल (d) द्वारा दी जाती है:
  $$d = \frac{1}{N}$$

• (d) के मान को पहली समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
  $$\theta = \lambda N$$

• स्क्रीन पर देखे गए कुल चमकीले भागों की संख्या द्वारा दी जाती है:
  $$m = \frac{D}{\tan \theta}$$
  जहाँ (m) चमकीले भागों की संख्या है और (D) ग्रेडिंग से स्क्रीन तक की दूरी है।

• मानों का प्रतिस्थापन करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
  $$m = \frac{1 \text{ m}}{\tan (6.5 \times 10^{-7} \text{ m} \times 200 \text{ lines/mm})}$$
  $$m = 4.4$$

अतः, स्क्रीन पर देखे गए चमकीले भागों की संख्या (4) है।

5. समस्या: 550 nm दर्ज की छड़ी की चाल वाली समानांतर धुरी चौड़ाई 0.01 mm और अलगाव 0.02 mm पर पड़ती है। प्रकाश अपवर्तन पैटर्न में दो केंद्रीय अधिभागों के बीच कोणीय अलगाव की गणना करें।

समाधान:

• दिया है:

  • चाल, (\lambda) = 550 nm = (5.5 \times 10^{-7}) m
  • खण्ड चौड़ाई, (a) = 0.01 mm = (1 \times 10^{-5}) m
  • खण्ड अलगाव, (d) = 0.02 mm = (2 \times 10^{-5}) m

• दो केंद्रीय अधिभागों के बीच कोणीय अलगाव (\theta) द्वारा दी जाती है:
  $$\theta = \frac{\lambda d}{a}$$

• मानों का प्रतिस्थापन करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
  $$\theta = \frac{5.5 \times 10^{-7} \text{ m} \times 2 \times 10^{-5} \text{ m}}{1 \times 10^{-5} \text{ m}}$$
  $$\theta = 1.1 \times 10^{-1}\text{ radians}$$
  $$\theta = 6.34\degree$$

अतः, दो केंद्रीय अधिभागों के बीच कोणीय अलगाव (6.34\degree) है।

CBSE बोर्ड परीक्षा संख्यात्मक

1. समस्या: 600 nm दर्ज की छड़ी की चाल वाली समानांतर धुरी चौड़ाई 0.01 mm वाली एकल खण्ड पर प्रवेश करती है। पहली गहरी भाग के रूप में बनने के लिए कोण की गणना करें।

समाधान:

• दिया है:

  • चाल, (\lambda) = 600 nm = (6 \times 10^{-7}) m
  • खण्ड चौड़ाई, (a) = 0.01 mm = (1 \times 10^{-5}) m

• पहली गहरी भाग के रूप में बनने के लिए कोण (\theta) द्वारा दी जाती है:
  $$\sin \theta = \frac{\lambda}{a}$$

• मानों का प्रतिस्थापन करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
  $$\sin \theta = \frac{6 \times 10^{-7} \text{ m} }{1 \times 10^{-5} \text{ m}}$$
  $$\theta = \sin^{-1}(6 \times 10^{-2})$$
  $$\theta = 3.43\degree$$

अतः, पहली गहरी भाग के रूप में बनने के लिए कोण (3.43\degree) है।

2. समस्या: 600 nm दर्ज की छड़ी की चाल वाली एक एकल रंग प्रकाश चित्राकार छिद्र के व्यास 0.02 mm पर प्रवेश करती है। प्रकाश अपवर्तन पैटर्न में केंद्रीय चमकीले छोटे स्थान के व्यास की गणना करें।

समाधान:

• दिया है:

  • चाल, (\lambda) = 600 nm = (6 \times 10^{-7}) m
  • छिद्र व्यास, (d) = 0.02 mm = (2 \times 10^{-5}) m

• केंद्रीय चमकीले छोटे स्थान के व्यास द्वारा दी जाती है:
  $$D = \frac{2.44\lambda f}{d}$$

  जहाँ (f) ध्रुवीय लेंस की फोकसल दूरी है जिसका उपयोग प्रकाश अपवर्तन पैटर्न को देखने के लिए किया गया है।

• (f) बहुत बड़ा होने की अपेक्षा करने पर (लेंस एक बड़ी दूरी पर रखा गया है), केंद्रीय छोटे स्थान के व्यास की अनुमानित गणना की जा सकती है:
  $$D \approx 2.44 \times \lambda$$

• (\lambda) के मान का प्रतिस्थापन करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
  $$D \approx 2.44 \times 6 \times 10^{-7} \text{ m}$$
  $$D \approx 1.464 \times 10^{-6}\text{ m}$$

**अतः, केंद्रीय चमकीले छोटे स्थान के व्यास के लगभग (1.46 \times 10