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ऊष्मा इंजनों के लिए संख्यात्मक समस्याएँ:#

1. समस्या: एक ऊष्मा इंजन (127°C) और (27°C) की तापमान के बीच चलता है। इंजन की अधिकतम दक्षता की गणना करें? (NEET 2019)

उत्तर: 36.27% शॉर्टकट:

• ऊष्मा इंजन की अधिकतम दक्षता $$e_{max} = 1 - \frac{T_c}{T_h},$$ द्वारा दी जाती है
  जहाँ $$T_c$$ और (T_h) क्षुद्र और बृहद भट्टी के तापमान हैं, क्रमशः।
• तापमान को केल्विन में परिवर्तित करें $$T_c = 127 °C + 273 = 400 K,$$ $$T_h = 27 °C + 273 = 300 K$$
• दक्षता की गणना करें $$e_{max} = 1- \frac{T_c}{T_h} = 1 - \frac{400}{300} \approx 0.3627= 36.27%$$

2. समस्या: एक कार्नोट इंजन की दक्षता 60% है। यदि कम-तापमान भट्टी (27 °C) पर है, तो इंजन के चलने के लिए आवश्यक न्यूनतम तापमान की गणना करें। उत्तर: − 194°C या 79 K

शॉर्टकट:

• कार्नोट इंजन की दक्षता $$e_{carnot} = 1 - \frac{T_c}{T_h}$$ द्वारा दी जाती है
• न्यूनतम तापमान ज्ञात करने के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करें, $$T_h = \frac{T_c}{1-e_{carnot}}$$
• तापमान को केल्विन में परिवर्तित करें $$T_c = 27°C + 273 = 300K$$
• मानों को बदलकर गणना करें $$T_h = \frac{300K}{1-0.6} = \frac{300K}{0.4} = 750K$$
• केल्विन से दोनों को सेल्सियस में परिवर्तित करें $$T_h = 750 K − 273 = 477 °$$

3. समस्या: एक 4-स्ट्रोक इंजन का विस्तार (250 cc) है और दबाव अनुपात (10:1) है। अद्वितीय दबाव मानते हुए, यदि वातावरणीय दबाव 101.3 kPa है, तो दबाव चक्र के अंत पर दबाव की गणना करें। (CBSE 2018) उत्तर: 1.987 MPa

शॉर्टकट:

• चूंकि प्रक्रिया अद्वितीय है (ऊष्मा स्थानांतरण नहीं), हम $$P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma$$ का उपयोग कर सकते हैं
• आयतन को लीटर में परिवर्तित करें $$V_1 = 250 cm^3 = 0.25 L,$$
• दबाव अनुपात $$\frac{V_1}{V_2} = 10,$$ द्वारा दिया गया है $$V_2, V_2 = \frac{V_1}{10} = 0.025 L$$ के लिए हल करें
• हवा के लिए अद्वितीय अनुपात लगभग (1.4) है
• अब हम सूत्र $$P_2 = P_1\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^\gamma = (101.3 \text{ kPa})(10)^{1.4} \approx 1.987 \text{ MPa}$$ का उपयोग कर सकते हैं

फ्रिज़ी के लिए संख्यात्मक समस्याएँ:#

1. समस्या: यदि एक फ्रिज़ी क्रैंची से 400 J ऊष्मा ऊर्जा अपना लेता है और गर्म क्रैंची में 800 J ऊष्मा ऊर्जा छोड़ता है, तो फ्रिज़ी के प्रदर्शन गुणांक (COP) की गणना करें। उत्तर: COP = 2 शॉर्टकट:

• फ्रिज़ी के प्रदर्शन गुणांक (COP) को $$COP = \frac{Q_c}{W_{net}},$$ के रूप में परिभाषित किया जाता है जहाँ (Q_c) क्रैंची से अपना लिया गया ऊष्मा है, और (W_{net}) किया गया कार्य है।
• चूंकि किया गया कार्य गर्म क्रैंची में छोड़ा गया ऊष्मा के बराबर है हमारे पास है $$W_{net} = Q_h = 800 \text{ J}$$
• इसलिए $$COP = \frac{Q_c}{W_{net}} = \frac{400 \text{ J}}{800 \text{ J}} = 2$$

2. समस्या: एक कार्नोट फ्रिज़ी अपने ठंडे भाग में (8 °C) का तापमान बनाए रखता है जबकि (32 °C) के घर में ऊष्मा छोड़ता है। आइडियल प्रदर्शन गुणांक (COP) की गणना करें। उत्तर: COP = 5

शॉर्टकट:

• कार्नोट फ्रिज़ी के लिए आइडियल COP $$COP_{carnot} = \frac{T_c}{T_h-T_c},$$ द्वारा दिया जाता है जहाँ (T_c) क्रैंची की भट्टी का तापमान है और (T_h) गर्म भट्टी का तापमान है।
• तापमान को केल्विन में परिवर्तित करें $$T_c = 8°C + 273 = 281 K,$$ $$T_h = 32 °C + 273 = 305 K$$
• मानों को बदलकर गणना करें $$COP_{carnot} = \frac{T_c}{T_h-T_c} = \frac{281 K}{305 K -281 K} = \frac{281 K}{24K} \approx 5$$

3. समस्या: एक फ्रिज़ी भाप दबाव फ्रिज़ी चक्र पर काम करता है। यदि एवोपरेटर के अंदर फ्रेज़ी का तापमान – (8 °C) है और कंडेंसर के अंदर फ्रेज़ी का तापमान (117 °C) है, तो प्रदर्शन गुणांक (COP) क्या है? उत्तर: COP = 3.93 शॉर्टकट:

• भाप दबाव फ्रिज़ी के COP $$COP = \frac{Q_c}{W_{in} } = \frac{Q_c}{\left(\frac{Q_h-Q_c}{ COP_{th}}\right)}$$ है जहाँ (Q_c) और (Q_h) क्रैंची क्रैंची द्वारा अपना लिया गया और गर्म क्रैंची में छोड़ा गया ऊष्मा है, क्रमशः, और (COP_{th}) सिद्धांतिक COP है (एक कार्नोट फ्रिज़ी के लिए COP जो उसी तापमानों के बीच चलता है)
• तापमान को केल्विन में परिवर्तित करें $$T_c = - 8 °C+ 273 = 265 K,$$ $$T_h = 117°C + 273 = 390 K$$
• सिद्धांतिक COP की गणना करें $$COP_{th} = \frac{T_c}{T_h - T_c } = \frac{265 K}{390 K - 265 K } \approx 1.8$$
• (Q_h /Q_c = 2) के अनुपात की धारणा करते हुए, हम अंततः COP की गणना कर सकते हैं $$COP = \frac{Q_c}{\left(\frac{Q_h-Q_c}{ COP_{th}}\right)} = \frac{Q_c}{\left(\frac{2Q_c-Q_c}{ 1.8}\right)} $$ $$Q_c$$ के लिए हल करें और फिर हम $$COP = \frac{Q_c}{\frac{Q_c}{1.8}} = 1.8,$$ $$COP \approx 3.93$$ की गणना कर सकते हैं

अतिरिक्त सुझाव:#

• संख्यात्मक समस्याओं का प्रयास करने से पहले अवधारणाओं और सिद्धांतों को अच्छी तरह समझें।
• विभिन्न प्रकार की गणनाओं में बेहतर प्रबलता के लिए विभिन्न संख्यात्मक समस्याओं का अभ्यास करें।
• इकाइयों और परिवर्तनों पर ध्यान दें।
• अपने समाधानों की जाँच करें और सुनिश्चित करें कि आप सही सूत्रों और विधियों का उपयोग कर रहे हैं।