दो चरों में रैखिक असमानता

रैखिक असमिका के संख्यात्मक प्रश्नों को हल करने की शॉर्टकट विधियाँ और ट्रिक्स#

1. किसी रैखिक असमिका का ग्राफ खींचने के लिए पहले उसे ढाल-अंतःखंड रूप (y = mx + b) में लिखें, फिर समीकरण द्वारा दर्शाई गई रेखा का ग्राफ खींचें। जो क्षेत्र असमिका को संतुष्ट करता है वह रेखा की एक ओर होगा, और रेखा की दूसरी ओर वह क्षेत्र होगा जो असमिका को संतुष्ट नहीं करता।

2. रैखिक असमिकाओं के एक तंत्र के लिए सुसाध्य क्षेत्र के शीर्षों को खोजने के लिए पहले प्रत्येक असमिका को अलग-अलग ग्राफ खींचें। सुसाध्य क्षेत्र वह क्षेत्र है जो सभी ग्राफों पर सामान्य है। सुसाध्य क्षेत्र के शीर्ष वे बिंदु हैं जहाँ दो या अधिक ग्राफ परस्पर काटते हैं।

3. किसी फलन के अधिकतम और न्यूनतम मान सुसाध्य क्षेत्र में खोजने के लिए पहले फलन के क्रिटिकल बिंदु ज्ञात करें। क्रिटिकल बिंदु वे बिंदु हैं जहाँ फलन के प्रथम अवकलज शून्य हैं या अपरिभाषित हैं। फिर, फलन का मान इन क्रिटिकल बिंदुओं और सुसाध्य क्षेत्र के शीर्षों पर परिकलित करें। फलन का अधिकतम मान इन मानों में सबसे बड़ा होता है, और न्यूनतम मान सबसे छोटा होता है।

4. यह सिद्ध करने के लिए कि रैखिक असमानता ax + by ≤ c को संतुष्ट करने वाले बिंदुओं का समुच्चय एक बंद अर्ध-तल है, आप निम्नलिखित चरणों का उपयोग कर सकते हैं:

• सबसे पहले, यह दिखाएं कि असमानता को संतुष्ट करने वाले बिंदुओं का समुच्चय एक अर्ध-तल है। यह यह दिखाकर किया जा सकता है कि असमानता एक रेखा को परिभाषित करती है और रेखा की एक ओर का क्षेत्र असमानता को संतुष्ट करता है।
• फिर, यह दिखाएं कि असमानता को संतुष्ट करने वाले बिंदुओं का समुच्चय बंद है। यह यह दिखाकर किया जा सकता है कि समुच्चय के प्रत्येक सीमा बिंदु समुच्चय में है।

5. रैखिक असमानताओं के एक तंत्र द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आप निम्नलिखित चरणों का उपयोग कर सकते हैं:

• सबसे पहले, असमानताओं के तंत्र का आलेख बनाएं।
• फिर, क्षेत्र को छोटे आकृतियों, जैसे त्रिभुज और आयतों में विभाजित करें।
• अंत में, प्रत्येक आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करें और उन्हें एक साथ जोड़कर क्षेत्र का कुल क्षेत्रफल ज्ञात करें।

6. किसी फलन का न्यायसंगत क्षेत्र में न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, आप निम्नलिखित चरणों का उपयोग कर सकते हैं:

• सबसे पहले, फलन के महत्वपूर्ण बिंदु ज्ञात करें।
• फिर, फलन का मान महत्वपूर्ण बिंदुओं और न्यायसंगत क्षेत्र के शीर्षों पर मूल्यांकन करें।
• फलन का न्यूनतम मान इन मानों में सबसे छोटा मान होगा।

7. किसी रैखिक असमानता का आलेख बनाने के लिए, पहले असमानता को ढाल-अंतःखंड रूप (y = mx + b) में पुनः लिखें, फिर समीकरण द्वारा निरूपित रेखा का आलेख बनाएं। असमानता को संतुष्ट करने वाला क्षेत्र रेखा की एक ओर होगा, और रेखा की दूसरी ओर वह क्षेत्र होगा जो असमानता को संतुष्ट नहीं करता।

8. एक रैखिक असमिकाओं की प्रणाली के लिए संभाव्य क्षेत्र के शीर्षों को खोजने के लिए, पहले प्रत्येक असमिका को अलग-अलग ग्राफ़ित करें। संभाव्य क्षेत्र वह क्षेत्र है जो सभी ग्राफ़ों पर सामान्य है। संभाव्य क्षेत्र के शीर्ष वे बिंदु होते हैं जहाँ दो या अधिक ग्राफ़ एक-दूसरे को काटते हैं।

9. किसी फलन के अधिकतम और न्यूनतम मानों को संभाव्य क्षेत्र में खोजने के लिए, पहले फलन के आलोच्य बिंदु खोजें। आलोच्य बिंदु वे बिंदु होते हैं जहाँ फलन के प्रथम अवकलज शून्य होते हैं या अपरिभाषित होते हैं। फिर, फलन का मान इन आलोच्य बिंदुओं और संभाव्य क्षेत्र के शीर्षों पर परिकलित करें। फलन का अधिकतम मान इन मानों में सबसे बड़ा होता है, और फलन का न्यूनतम मान इन मानों में सबसे छोटा होता है।

10. किसी रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या को हल करने के लिए, आप निम्नलिखित चरणों का उपयोग कर सकते हैं:

• पहले, संभाव्य क्षेत्र को ग्राफ़ित करें।
• फिर, संभाव्य क्षेत्र के कोने के बिंदु खोजें।
• अंत में, प्रत्येक कोने के बिंदु पर उद्देश्य फलन का मान परिकलित करें। वह कोने का बिंदु जो उद्देश्य फलन का सबसे बड़ा मान देता है, समस्या का इष्टतम हल होता है।

JEE के लिए यह क्यों मायने रखता है#

यह अवधारणा दो चरों वाली रैखिक असमिका विषय को समझने के लिए महत्वपूर्ण है, जो JEE परीक्षाओं में बार-बार आता है। इस विषय में निपुणता से निम्नलिखित में मदद मिलती है:

• मूलभूत सिद्धांतों को समझने में
• जटिल समस्याओं को हल करने में
• वैचारिक स्पष्टता निर्माण में

टालने योग्य सामान्य गलतियाँ#

• एज केसों की अनदेखी
• गणनाओं में जल्दबाज़ी
• इकाइयों और विमाओं की जाँच न करना
• समान दिखने वाली अवधारणाओं को समान मान लेना
• वैचारिक समझ को छोड़ना

याद रखने योग्य प्रमुख अवधारणाएँ#

• पूरी अवधारणा को पहले पढ़ें
• अंतर्निहित सिद्धांत की पहचान करें
• उदाहरणों को कदम-दर-कदम हल करें
• समस्या के विभिन्न रूपों से अभ्यास करें
• वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोगों से जोड़ें

संबंधित विषय#

• फलन अवधारणाएँ
• समाकलन तकनीकें
• समस्या-समाधान रणनीतियाँ