रैखिक प्रोग्रामिंग समस्याएं

कोने की बिंदु विधि/आलेखीय विधि#

1. रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या का सुसंगत क्षेत्र खोजें और इसके कोने के बिंदुओं (शीर्षों) को या तो निरीक्षण द्वारा या उस बिंदु पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं के दो समीकरणों को हल करके निर्धारित करें।

2. प्रत्येक कोने के बिंदु पर उद्देश्य फलन $Z = ax + by$ का मूल्यांकन करें। माना M और $m$ क्रमशः इन बिंदुओं के सबसे बड़े और सबसे छोटे मानों को दर्शाते हैं।

3. (i) जब सुसंगत क्षेत्र सीमित होता है, तो $M$ और $m$ क्रमशः $Z$ के अधिकतम और न्यूनतम मान होते हैं।

   (ii) यदि सुसंगत क्षेत्र असीमित हो, तो हमें:

4. (a) M, $Z$ का अधिकतम मान है, यदि $ax + by > M$ द्वारा निर्धारित खुला अर्धतल सुसंगत क्षेत्र के साथ कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं रखता है। अन्यथा, $Z$ का कोई अधिकतम मान नहीं होता है।

   (b) इसी प्रकार, $m$, $Z$ का न्यूनतम मान है, यदि $ax + by < m$ द्वारा निर्धारित खुला अर्धतल सुसंगत क्षेत्र के साथ कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं रखता है। अन्यथा, $Z$ का कोई न्यूनतम मान नहीं होता है।

उदाहरण 1 निम्नलिखित रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या को आलेखीय रूप से हल कीजिए:

अधिकतम करें $\mathrm{Z}=4 x+y \quad \ldots (i)$

बंदिशों के अधीन:

$x+y \leq 50 \quad \ldots (ii)$

$3 x+y \leq 90 \quad \ldots (iii)$

$x \geq 0, y \geq 0 \quad \ldots (iv)$

हल आकृति में छायांकित क्षेत्र बंदिशों (ii) से (iv) के तंत्र द्वारा निर्धारित सुसंगत क्षेत्र है। हम देखते हैं कि सुसंगत क्षेत्र OABC सीमित है। इसलिए, हम अब $Z$ के अधिकतम मान को निर्धारित करने के लिए कोने की बिंदु विधि का उपयोग करते हैं।

कोने के बिंदुओं $\mathrm{O}, \mathrm{A}, \mathrm{B}$ और C के निर्देशक क्रमशः $(0,0),(30,0),(20,30)$ और $(0,50)$ हैं। अब हम प्रत्येक कोने के बिंदु पर Z का मूल्यांकन करते हैं।

$ \begin{array}{|l|l|} \hline \text { कोने का बिंदु } & \begin{array}{c} \text { Z का संगत } \\ \text { मान } \end{array} \\ \hline(0,0) & 0 \\ (30,0) & \mathbf{1 2 0} \ (\text{अधिकतम} )\\ (20,30) & 110 \\ (0,50) & 50 \\ \hline \end{array} $

अतः, Z का अधिकतम मान 120 बिंदु $(30,0)$ पर है।

उदाहरण 4 उद्देश्य फलन का न्यूनतम मान आलेखीय रूप से निर्धारित कीजिए

$\mathrm{Z}=-50 x+20 y \quad \ldots (i)$

व्यवरोधों के अधीन:

$ 2 x-y \geq-5 \quad \ldots (ii)$

$ 3 x+y \geq 3 \quad \ldots (iii)$

$ 2 x-3 y \leq 12 \quad \ldots (iv)$

$ x \geq 0, y \geq 0 \quad \ldots (v)$

हल सर्वप्रथम, आइए असमिकाओं (ii) से (v) के तंत्र के सुसंगत क्षेत्र को आलेखित करें। सुसंगत क्षेत्र (छायांकित) चित्र में दिखाया गया है। ध्यान दीजिए कि सुसंगत क्षेत्र असीमित है।

अब हम कोने के बिंदुओं पर $Z$ का मूल्यांकन करते हैं।

$ \begin{array}{|l|l|} \hline \text { कोने का बिंदु } & \mathrm{Z}=-50 x+20 y \\ \hline(0,5) & 100 \\ (0,3) & \mathbf{6 0} \\ (1,0) & \mathbf{- 5 0} \\ (6,0) & \mathbf{- 3 0 0} \ \text{(न्यूनतम)} \\ \hline \end{array} $

इस सारणी से हम पाते हैं कि -300, Z का न्यूनतम मान कोने के बिंदु $(6,0)$ पर है। लेकिन यहाँ हम देखते हैं कि साध्य क्षेत्र असीमित है। इसलिए, -300, Z का न्यूनतम मान हो भी सकता है और नहीं भी। इस विषय को तय करने के लिए, हम असमिका

$-50 x+20 y<-300$ (कोने के बिंदु विधि का चरण 3(ii) देखें)

अर्थात् $\quad-5 x+2 y<-30$

का आलेख खींचते हैं और जाँच करते हैं कि परिणामी खुला अर्धतल साध्य क्षेत्र के साथ कोई बिंदु साझा करता है या नहीं। यदि इसमें साझा बिंदु हैं, तो $-300$, Z का न्यूनतम मान नहीं होगा। अन्यथा, $-300$, Z का न्यूनतम मान होगा।

जैसा कि चित्र में दिखाया गया है, इसमें साझा बिंदु हैं। इसलिए, दी गई सीमाओं के अधीन $\mathrm{Z}=-50 x+20 y$ का कोई न्यूनतम मान नहीं है।

जेईई के लिए यह क्यों महत्वपूर्ण है#

यह अवधारणा रैखिक प्रोग्रामिंग समस्याओं के विषय को समझने के लिए महत्वपूर्ण है, जो जेईई परीक्षाओं में बार-बार आता है। इस विषय में निपुणता से निम्न में मदद मिलती है:

• मूलभूत सिद्धांतों को समझने में
• जटिल समस्याओं को हल करने में
• वैचारिक स्पष्टता निर्मित करने में

टालने योग्य सामान्य गलतियाँ#

• किनारे के मामलों की अनदेखी
• गणनाओं में जल्दबाज़ी
• इकाइयों और आयामों की जाँच न करना
• यह मान लेना कि समान दिखने वाली अवधारणाएँ समान हैं
• वैचारिक समझ को छोड़ना

याद रखने योग्य प्रमुख अवधारणाएँ#

• पहले सम्पूर्ण अवधारणा को पढ़ें
• अंतर्निहित सिद्धांत की पहचान करें
• उदाहरणों को चरणबद्ध तरीके से हल करें
• समस्या के रूपांतरों के साथ अभ्यास करें
• वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोगों से जोड़ें

संबंधित विषय#

• फलन की अवधारणाएँ
• समाकलन की तकनीकें
• समस्या-समाधान की रणनीतियाँ