शॉर्टकट विधियाँ

NEET

• log10(2018!) - log10(2017!) का मान ज्ञात कीजिए।

शॉर्टकट विधि:

• log10(n!) = log10(1×2×3…n) = log10(1) + log10(2) + log10(3) + … + log10(n) के ध्यान में रखें।
• इसलिए, log10(2018!) - log10(2017!) = [log10(1) + log10(2) + log10(3) + … + log10(2018)] - [log10(1) + log10(2) + log10(3) + … + log10(2017)] = log10(2018)।

ट्रिक:

• ध्यान दें कि पहले 2017 पूर्णांकों का योग फॉर्मूल द्वारा दिया गया है: 1+2+3+4+…+2017= 2017×(2018)/2 = 2035896।
• इसलिए, log10(2018!) - log10(2017!) = log10(2018) - log10(2035896) = log10(2018/2035896) = log10(1/1016) = -3।

• समीकरण log2(x+2) + log2(x-2) = 3 को हल कीजिए।

शॉर्टकट विधि:

• समीकरण के वाम पक्ष में दो लॉगरिदमों को एक साथ करने के लिए लॉगरिदमों के गुणों का उपयोग करें: log2(x+2) + log2(x-2) = log2((x+2)(x-2)) = 3।
• अब द्विघात समीकरण (x+2)(x-2) = 2^3 को हल करें: x^2 - 4 = 8 x^2 = 12 x = ±√12 = ±2√3

ट्रिक:

• ध्यान दें कि अभिव्यक्ति (x+2)(x-2) को x > 2 पर सकारात्मक होता है और x < 2 पर नकारात्मक होता है।
• इसलिए, समीकरण log2(x+2) + log2(x-2) = 3 के दो हल हैं, x = 2 + 2√3 और x = 2 - 2√3।

• कर्व्स y = log2(x), y = 0, और x = 4 द्वारा सीमित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

शॉर्टकट विधि:

• कर्व्स y = log2(x), y = 0, और x = 4 द्वारा सीमित क्षेत्र का क्षेत्रफल x के सापेक्ष log2(x) के समाकलन द्वारा x = 1 से x = 4 तक दिया गया है: ∫1^4 log2(x) dx
• u = log2(x) के u-सबसबस्टिशन का उपयोग करें। तो du = (1/x ln2) dx और x = 2^u।
• समाकलन में प्रतिस्थापन करने पर, हमें मिलता है: ∫1^4 log2(x) dx = ∫0^2 u (2^u ln2) du = ln2 ∫0^2 u 2^u du = ln2 [u 2^u - 2^u]0^2 = ln2 (4 - 4) = 0।

ट्रिक:

• ध्यान दें कि फलन y = log2(x) का आलेख एक उत्तल ऊपर का फलन है।
• इसलिए, कर्व्स y = log2(x), y = 0, और x = 4 द्वारा सीमित क्षेत्र का क्षेत्रफल बिंदुओं (1, 0), (4, 2), और (4, 0) द्वारा बनाए गए त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर है।
• इस क्षेत्रफल द्वारा दिया गया है: क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊँचाई = ½ × 3 × 2 = 3 वर्ग इकाइयाँ।

---

CBSE बोर्ड परीक्षाएँ

---

• log10(100) + log10(0.01) का मान ज्ञात कीजिए।

शॉर्टकट विधि:

• लॉगरिदमों के नियमों का उपयोग करके अभिव्यक्ति को सरल करें: log10(100) + log10(0.01) = log10(100 × 0.01) = log10(1) = 0।

ट्रिक:

• ध्यान दें कि 100 = 10^2 और 0.01 = 10^-2।
• इसलिए, log10(100) + log10(0.01) = log10(10^2) + log10(10^-2) = 2 - (-2) = 4।

• समीकरण logx25 = 2 को हल कीजिए।

शॉर्टकट विधि:

• लॉगरिदमों की परिभाषा का उपयोग करके समीकरण को घातांकीय समीकरण के रूप में दोहराएं: logx25 = 2 ⇔ 25 = x^2।

-अब द्विघात समीकरण x^2 = 25 को हल करें: x = ±√25 = ±5। -इसलिए, x = 5 समीकरण logx25 = 2 का एकमात्र हल है।

ट्रिक:

• ध्यान दें कि 25 का 5 का वर्ग है। -इसलिए, समीकरण logx25 = 2 समीकरण x = 5 के बराबर है।

• फलन logy(2x-1) का डोमेन और रेंज ज्ञात कीजिए।

शॉर्टकट विधि:

• लॉगरिदम के तर्क, 2x-1, को लॉगरिदम को परिभाषित करने के लिए 0 से अधिक होना चाहिए। -इसलिए, फलन का डोमेन {x | x > 1/2} है।
• फलन की रेंज सभी वास्तविक संख्याओं के हैं क्योंकि लॉगरिदम फलन को कोई भी वास्तविक मान ले सकता है।

ट्रिक:

• ध्यान दें कि फलन logy(2x-1) एक बढ़ता हुआ फलन है। -इसलिए, फलन की रेंज अंतराल (-∞, ∞) है।