शॉर्टकट विधियाँ

NEET#

1. एक पदार्थ के गुणन को (5^{\sqrt{3}}) और (5^{-\frac{1}{2}}) के गुणन के रूप में दर्शाएं, जहाँ x एक परिमेय संख्या है।#

शॉर्टकट विधि: घातांकों के नियमों का प्रयोग करें: $$5^{\sqrt{3}}\times5^{-\frac{1}{2}}=5^{\sqrt{3}-\frac{1}{2}}=5^{\frac{2\sqrt{3}-1}{2}}$$ इस प्रकार, (x = \frac{2\sqrt{3}-1}{2}).

2. मान ज्ञात कीजिए (\log_{2} 32 - 2\log_{2} 8 + \log_{2} 4).#

शॉर्टकट विधि: लघुगणक के नियमों का प्रयोग करें: (\log_{2} 32 - 2\log_{2} 8 + \log_{2} 4) (= \log_{2} 2^5 - 2\log_{2} 2^3 + \log_{2} 2^2) (= \log_{2} 2^2) (= 2).

3. सरल कीजिए (\log_{10} \frac{1}{100} + \log_{10} 100 - \log_{10} 10).#

शॉर्टकट विधि: लघुगणक के नियमों का प्रयोग करें: (\log_{10} \frac{1}{100} + \log_{10} 100 - \log_{10} 10) (= \log_{10} 100\cdot\frac{1}{100} + \log_{10} 100 - \log_{10} 10) (= \log_{10} 1 + \log_{10} 100 - \log_{10} 10) (= 0).

4. यदि (\log_{a} b = 2) और (\log_{a} c = 3), तो (\log_{a} \frac{b^3c^2}{a^5}) का मान ज्ञात कीजिए।#

शॉर्टकट विधि: लघुगणक के नियमों का प्रयोग करें: (\log_{a} \frac{b^3c^2}{a^5}) (= \log_{a} b^3 + \log_{a} c^2 - \log_{a} a^5) (= 3\log_{a} b + 2\log_{a} c - 5\log_{a} a) (= 3(2) + 2(3) - 5(1)) (= 6 + 6 - 5). (= 7).

5. दिखाइए कि (\log_{a} b = \frac{1}{\log_{b} a}) किसी भी धनात्मक संख्या a और b के लिए।#

सिद्धांत: चूँकि (x = \log_{a} b). तो, (a^x = b). इस समीकरण के दोनों पक्षों पर आधार b के साथ लघुगणक लगाने पर, हम प्राप्त करते हैं: (\log_{b} a^x = \log_{b} b) (x\log_{b} a = 1) (\log_{a} b = \frac{1}{\log_{b} a}).

CBSE बोर्ड परीक्षाएँ#

1. मान ज्ञात कीजिए (2\log_{3} 9 - 3\log_{3} 4).#

शॉर्टकट विधि: लघुगणक के नियमों का प्रयोग करें: (2\log_{3} 9 - 3\log_{3} 4) (= \log_{3} 9^2 - \log_{3} 4^3) (= \log_{3} \frac{9^2}{4^3}) (= \log_{3} \frac{81}{64}) (= \log_{3} \left(\frac{3}{2}\right)^4) (= 4\log_{3} \left(\frac{3}{2}\right)) (= 4\left(\log_{3} 3 - \log_{3} 2\right)) (= 4(1 - \log_{3} 2)) (= 4 - 4\log_{3} 2).

2. (\frac{\sqrt[3]{8}}{2\sqrt[4]{16}}) के भाग को एकल लघुगणक के रूप में व्यक्त कीजिए।#

शॉर्टकट विधि: लघुगणक के नियमों का प्रयोग करें: (\frac{\sqrt[3]{8}}{2\sqrt[4]{16}}) (= \frac{2^{3/3}}{2\cdot 2^{4/4}}) (= \frac{2^{1}}{2^{1}}) (= 1) (\log_{a} b^c = c\log_{a} b) (\log_{2} 1 = 0).

3. सरल कीजिए (\log_{5} 25 - \log_{5} 5).#

शॉर्टकट विधि: लघुगणक के नियमों का प्रयोग करें: (\log_{5} 25 - \log_{5} 5) (= \log_{5} \frac{25}{5}) (= \log_{5} 5) (= 1)

4. मान ज्ञात कीजिए (\log_{10} 0.0001).#

शॉर्टकट विधि: (\log_{10} 0.0001=\log_{10}(10^{-4})) (\log_{10}0.0001=-4).

5. दिखाइए कि (\log_{a} (ab) = 1 + \log_{a} b) किसी भी धनात्मक संख्या a और b के लिए।#

सिद्धांत: चूँकि (x = \log_{a} (ab)). तो, (a^x = ab). इस समीकरण के दोनों पक्षों को (a) से विभाजित करने पर, हम प्राप्त करते हैं: (\frac{a^x}{a} = \frac{ab}{a}) (a^{x-1} = b) इस समीकरण के दोनों पक्षों पर आधार a के साथ लघुगणक लगाने पर, हम प्राप्त करते हैं: (\log_{a} a^{x-1} = \log_{a} b) (x-1 = \log_{a} b) (\log_{a} (ab) = 1 + \log_{a} b).

सामान्य संख्यात्मक मान#

• (\log_{10} 2 = 0.3010)
• (\log_{10} 3 = 0.4771)
• (\log_{10} 5 = 0.6990)
• (\log_{2} 10 = 3.3219)
• (\log_{2} 20 = 4.3219)