शॉर्टकट विधियाँ

NEET/उन्नत#

1. 5 अलग-अलग रंग के बॉलों को एक पंक्ति में कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है?

शॉर्टकट विधि: पारिश्रमिक सूत्र का उपयोग करें: $$nPr = \frac{n!}{(n-r)!}$$ जहाँ n कुल वस्तुओं की संख्या है और r चुनी जाने वाली वस्तुओं की संख्या है। इस मामले में, n = 5 और r = 5। $$5P5 = \frac{5!}{(5-5)!} = \frac{5!}{0!} = 5! = 120$$ इस प्रकार, 5 अलग-अलग रंग के बॉलों को एक पंक्ति में 120 तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।

2. 10 छात्रों को एक पंक्ति में व्यवस्थित किए जाने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए यदि 2 विशेष छात्र हमेशा एक साथ बैठें।

शॉर्टकट विधि: उन 2 छात्रों को एक इकाई के रूप में मान लें जो हमेशा एक साथ बैठते हैं। इस प्रकार, हमारे पास 9 छात्र और 1 इकाई व्यवस्थित करने के लिए है। $$9P10 = \frac{9!}{(9-10)!} = \frac{9!}{-1!} = 0$$ इस प्रकार, 2 विशेष छात्र हमेशा एक साथ बैठें तो 10 छात्रों को एक पंक्ति में व्यवस्थित करने का कोई तरीका नहीं है।

3. शब्द ‘MATHEMATICS’ के अक्षरों में से 6 अक्षरों को कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है?

शॉर्टकट विधि: पारिश्रमिक सूत्र का उपयोग करें। $$6P6 = \frac{6!}{(6-6)!} = \frac{6!}{0!} = 6! = 720$$ इस प्रकार, शब्द ‘MATHEMATICS’ के अक्षरों में से 6 अक्षरों को 720 तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।

4. 4 लड़कों और 3 लड़कियों को एक पंक्ति में व्यवस्थित किए जाने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए यदि लड़कियों को एक साथ बैठना हो।

शॉर्टकट विधि: 3 लड़कियों को एक इकाई के रूप में मान लें। इस प्रकार, हमारे पास 4 लड़के और 1 इकाई व्यवस्थित करने के लिए है $$5P5 = \frac{5!}{(5-5)!} = \frac{5!}{0!} = 5! = 120$$ इस प्रकार, 4 लड़कों और 3 लड़कियों को एक पंक्ति में व्यवस्थित किए जाने के 120 तरीके हैं यदि लड़कियों को एक साथ बैठना हो।

5. 0, 1, 2, 3, 4, 5 के अंकों का उपयोग करके बनाए जा सकने वाली 4-अंकीय संख्याओं की संख्या ज्ञात कीजिए यदि अंकों का पुनरावृत्ति नहीं की जाने दी जाती है।

शॉर्टकट विधि:

• पहले अंक के लिए 6 विकल्प हैं (0 को छोड़कर)।

• दूसरे अंक के लिए 5 विकल्प हैं (पहले अंक के लिए चुने गए अंक को छोड़कर)।

• तीसरे अंक के लिए 4 विकल्प हैं (पहले और दूसरे अंक के लिए चुने गए अंकों को छोड़कर)।

• चौथे अंक के लिए 3 विकल्प हैं (पहले, दूसरे और तीसरे अंक के लिए चुने गए अंकों को छोड़कर)।

$$6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$$

इस प्रकार, किसी भी अंक को दोहराने के बिना 4-अंकीय संख्या बनाने के 360 तरीके हैं।

CBSE क्लास 11 और क्लास 12 बोर्ड परीक्षाएं#

1. शब्द ‘APPLE’ के अक्षरों में से 3 अक्षर चुनने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए।

शॉर्टकट विधि: संयोजन सूत्र का उपयोग करें: $$nCr = \frac{n!}{r!(n-r)!}$$ जहाँ n कुल वस्तुओं की संख्या है और r चुनी जाने वाली वस्तुओं की संख्या है। इस मामले में, n = 5 और r = 3। $$5C3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4 \times 3!}{3!2!} = 10$$ इस प्रकार, शब्द ‘APPLE’ के अक्षरों में से 3 अक्षर चुनने के 10 तरीके हैं।

2. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 के अंकों में से 4 अंक चुनने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए यदि अंकों का पुनरावृत्ति की जाने दी जाती है।

शॉर्टकट विधि:

• पहले अंक के लिए 8 विकल्प हैं।
• दूसरे अंक के लिए 8 विकल्प हैं।
• तीसरे अंक के लिए 8 विकल्प हैं।
• चौथे अंक के लिए 8 विकल्प हैं।

$$8 \times 8 \times 8 \times 8 = 4096$$

इस प्रकार, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 के अंकों में से 4 अंक चुनने के 4096 तरीके हैं यदि अंकों का पुनरावृत्ति की जाने दी जाती है।

3. 10 छात्रों के समूह में से 5 छात्रों को एक समिति बनाने के लिए चुनने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए यदि 2 विशेष छात्रों को शामिल नहीं किया जाना चाहिए।

शॉर्टकट विधि:

• पहले छात्र के लिए 10 विकल्प हैं।
• दूसरे छात्र के लिए 9 विकल्प हैं।
• तीसरे छात्र के लिए 8 विकल्प हैं।
• चौथे छात्र के लिए 7 विकल्प हैं।
• पांचवें छात्र के लिए 6 विकल्प हैं।

2 विशेष छात्रों को एक समूह में शामिल करने के तरीकों की संख्या घटाएं जो = $$2 C2 = 1$$

$$10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 -1 = 15119$$

इस प्रकार, 10 छात्रों के समूह में से 5 छात्रों को एक समिति बनाने के लिए चुनने के 15119 तरीके हैं यदि 2 विशेष छात्रों को शामिल नहीं किया जाना चाहिए।

4. एक शैली पर 6 पुस्तकों को व्यवस्थित किए जाने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए यदि 2 विशेष पुस्तकें हमेशा एक साथ रखी जानी चाहिए।

शॉर्टकट विधि: 2 विशेष पुस्तकों को एक इकाई के रूप में मान लें। इस प्रकार, हमारे पास 5 पुस्तकें और 1 इकाई व्यवस्थित करने के लिए है। $$5P2 = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{5!}{3!} = 5 \times 4 \times 3! = 120$$ इस प्रकार, 2 विशेष पुस्तकों को हमेशा एक साथ रखी जानी चाहिए तो एक शैली पर 6 पुस्तकों को व्यवस्थित किए जाने के 120 तरीके हैं।

5. 1, 2, 3, 4, 5 के अंकों का उपयोग करके बनाए जा सकने वाली 3-अंकीय संख्याओं की संख्या ज्ञात कीजिए यदि अंकों का पुनरावृत्ति नहीं की जाने दी जाती है।

शॉर्टकट विधि:

• पहले अंक के लिए 5 विकल्प हैं।
• दूसरे अंक के लिए 4 विकल्प हैं।
• तीसरे अंक के लिए 3 विकल्प हैं।

$$5 \times 4 \times 3 = 60$$

इस प्रकार, 1, 2, 3, 4, 5 के अंकों का उपयोग करके बनाए जा सकने वाली 3-अंकीय संख्याओं के 60 तरीके हैं यदि अंकों का पुनरावृत्ति नहीं की जाने दी जाती है।