संख्यात्मक समस्याएँ#

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1) कार्य फ़ंक्शन और अधिकतम वैज्ञानिक लंबाई $$λ_{max}=\frac{hc}{\phi}$$ जहाँ,

• $$λ_{max}$$ प्रकाश की अधिकतम वैज्ञानिक लंबाई मीटर (m) में है।
• $$h$$ प्लैंक का धारक ($$6.626 × 10^{−34}Js$$) है।
• $$c$$ प्रकाश की गति ($$3 × 10^8 m/s$$) है।
• $$\phi$$ कार्य फ़ंक्शन जूल (J) में है।

दिया गया:

• कार्य फ़ंक्शन, $$\phi = 4.2 eV = (4.2 eV)(1.6 × 10^{−19}J/eV) = 6.72 × 10^{−19} J$$

गणनाएँ $$λ_{max}=\frac{(6.626 × 10^{−34}Js)(3 × 10^8m/s)}{6.72 × 10^{−19}J}=\boxed{292 nm}$$

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2) कार्य फ़ंक्शन और रोकथाम वोल्टेज $$eV_s=hf-\phi$$ जहाँ,

• $$eV_s$$ रोकथाम वोल्टेज ऊर्जा जूल (J) में है।
• $$h$$ प्लैंक का धारक ($$6.626 × 10^{−34}Js$$) है।
• $$f$$ आवृत्त प्रकाश की आवृत्ति हर्ट्ज (Hz) में है।
• $$\phi$$ कार्य फ़ंक्शन जूल (J) में है।

दिया गया:

• प्रकाश की वैज्ञानिक लंबाई, $$λ = 400 nm = 400 × 10^{−9}m$$
• रोकथाम वोल्टेज, $$V_s = 0.5 V = 0.5 J/C$$

गणनाएँ पहले, सूत्र का उपयोग करके प्रकाश की आवृत्ति की गणना करें: $$f=\frac{c}{λ}=\frac{3 × 10^8 m/s}{400 × 10^{−9}m}=7.5 × 10^{14} Hz$$

अब, कार्य फ़ंक्शन की गणना करें: $$eV_s=hf-\phi$$ $$\phi=hf−eV_s=(6.626×10^{−34}Js)(7.5×10^{14}Hz)−(0.5J)$$ $$\phi=4.97×10^{−19}J−0.5J=−0.000498J=\boxed(−0.31 eV)$$

इस प्रकार, धातु का कार्य फ़ंक्शन 0.31 eV है (नकारात्मक मान इंगित करता है कि दी गई वैज्ञानिक लंबाई थ्रेशोल्ड वैज्ञानिक लंबाई से कम है)।

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3) आवृत्ति पर रोकथाम वोल्टेज का प्रभाव $$eV_{s1}=hf_1−\phi$$ $$eV_{s2}=hf_2−\phi$$

दूसरे समीकरण को पहले समीकरण से भाग करना:

$$\frac{eV_{s2}}{eV_{s1}}=\frac{hf_2−\phi}{hf_1−\phi}$$

चूंकि $$\phi$$ दोनों आवृत्तियों के लिए समान है:

$$\frac{V_{s2}}{V_{s1}}=\frac{f_2}{f_1}$$ दिया गया:

• आवृत्ति $$f_1, V_{s1} = 2V$$ के लिए रोकथाम वोल्टेज
• प्रकाश की आवृत्ति दुगनी की गई, $$f_2 = 2f_1$$

गणनाएँ: $$\frac{V_{s2}}{2V}=\frac{2f_1}{f_1}=2$$ $$V_{s2}=2(2V)=\boxed{4V}$$

इस प्रकार, प्रकाश की आवृत्ति दुगनी करने पर रोकथाम वोल्टेज 4V हो जाएगा।

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4) रोकथाम वोल्टेज और प्रकाश तीव्रता $$V_s\propto I$$

जहाँ,

• $$V_s$$ रोकथाम वोल्टेज वॉल्ट (V) में है।
• $$I$$ प्रकाश की तीव्रता है।

दिया गया:

• स्रोत 1 से प्रकाश की तीव्रता, $$I_1$$
• स्रोत 2 से प्रकाश की तीव्रता, $$I_2 = 2I_1$$
• स्रोत 1 के लिए रोकथाम वोल्टेज, $$V_{s1}$$

गणनाएँ जैसे-जैसे प्रकाश की तीव्रता बढ़ती है, रोकथाम वोल्टेज भी बढ़ता है। चूंकि स्रोत 2 से प्रकाश की तीव्रता स्रोत 1 से प्रकाश की तीव्रता की दुगनी है:

$$\frac{V_{s2}}{V_{s1}}=\frac{I_2}{I_1}=\frac{2I_1}{I_1}=2$$

इस प्रकार, रोकथाम वोल्टेज का अनुपात 2 है, जो इंगित करता है कि स्रोत 2 के लिए रोकथाम वोल्टेज स्रोत 1 के लिए रोकथाम वोल्टेज की दुगनी है।

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5) निकाले गए फोटोइलेक्ट्रॉनों की अधिकतम भौतिक गति $$K_{max}=hf−\phi$$

जहाँ,

• $$K_{max}$$ निकाले गए इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम भौतिक गति जूल (J) में है।
• $$h$$ प्लैंक का धारक ($$6.626 × 10^{−34}Js$$) है।
• $$f$$ आवृत्त प्रकाश की आवृत्ति हर्ट्ज (Hz) में है।
• $$\phi$$ कार्य फ़ंक्शन जूल (J) में है।

दिया गया:

• प्रकाश की वैज्ञानिक लंबाई, $$\lambda = 300 nm = 300 × 10^{−9}m$$
• कार्य फ़ंक्शन, $$\phi = 2.5 eV = (2.5 eV)(1.6 × 10^{−19}J/eV) = 4.0 × 10^{−19} J$$

गणनाएँ पहले, सूत्र का उपयोग करके प्रकाश की आवृत्ति की गणना करें: $$f=\frac{c}{λ}=\frac{3 × 10^8 m/s}{300 × 10^{−9}m}=10^{15} Hz$$ अब, अधिकतम भौतिक गति की गणना करें: $$K_{max}=hf−\phi=(6.626×10^{−34}Js)(10^{15}Hz)−4.0×10^{−19}J=\boxed{2.63×10^{−19}J}$$

इस प्रकार, निकाले गए फोटोइलेक्ट्रॉनों की अधिकतम भौतिक गति $$2.63 × 10^{−19}J$$ है

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6) फोटॉनों की संख्या $$n=\frac{I}{hf}$$ जहाँ,

• $$n$$ प्रति सेकंड फोटॉनों की संख्या है।
• $$I$$ प्रकाश की तीव्रता वाट (W) में है।
• $$h$$ प्लैंक का धारक ($$6.626 × 10^{−34}Js$$) है।
• $$f$$ आवृत्त प्रकाश की आवृत्ति हर्ट्ज (Hz) में है।

दिया गया:

• प्रकाश की तीव्रता, $$I=1\mu A=10^{−6}A$$
• प्रकाश की वैज्ञानिक लंबाई, $$\lambda = 550 nm = 550 × 10^{−9}m$$
• कार्य फ़ंक्शन, $$\phi = 1.8 eV = (1.8 eV)(1.6 × 10^{−19}J/eV) = 2.88 × 10^{−19} J$$

गणनाएँ पहले, सूत्र का उपयोग करके प्रकाश की आवृत्ति की गणना करें: $$f=\frac{c}{λ}=\frac{3 × 10^8 m/s}{550 × 10^{−9}m}=5.45 × 10^{14} Hz$$

अब, प्रति सेकंड फोटॉनों की संख्या की गणना करें: $$n=\frac{I}{hf}=\frac{10^{−6}W}{(6.626 × 10^{−34}Js)(5.45 × 10^{14} Hz)}$$ $$n=\boxed{2.94 × 10^{13}\text{ photons/s}}$$

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7) निकाले गए इलेक्ट्रॉनों की डी ब्रॉगली वैज्ञानिक लंबाई $$\lambda=\frac{h}{p}=\frac{h}{\sqrt{2m_ek_{max}}}$$ जहाँ,

• $$\lambda$$ निकाले गए इलेक्ट्रॉनों की डी ब्रॉगली वैज्ञानिक लंबाई मीटर (m) में है।
• $$h$$ प्लैंक का धारक ($$6.626 × 10^{−34}Js$$) है।
• $$m_e$$ इलेक्ट्रॉन की द्रव्यमान ($$9.109 × 10^{−31} kg$$) है।
• $$K_{max}$$ निकाले गए इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम भौतिक गति जूल (J) में है।

दिया गया:

• आवृत्त प्रकाश की वैज्ञानिक लंबाई, $$\lambda = 250 nm = 250 × 10^{−9}m$$
• कार्य फ़ंक्शन, $$\phi = 4.5 eV = (4.5 eV)(1.6 × 10^{−19}J/eV) = 7.2 × 10^{−19} J$$

गणनाएँ पहले, सूत्र का उपयोग करके निकाले गए इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम भौतिक गति की गणना करें: $$K_{max}=hf−\phi= \frac{hc}{\lambda}-\phi