प्रायिकता

1. प्रायिकता की मूल बातें:

• किसी घटना $A$ की प्रायिकता $P(A)=\frac{\text { अनुकूल परिणामों की संख्या }}{\text { कुल परिणामों की संख्या }}$ द्वारा दी जाती है।
• निश्चित घटना की प्रायिकता 1 होती है, और असंभव घटना की प्रायिकता 0 होती है।

2. पूरक घटनाएँ:

• यदि $A$ एक घटना है, तो $A$ का पूरक (नहीं $A$) $A^{\prime}$ है।
• $P\left(A^{\prime}\right)=1-P(A)$।

3. योग नियम:

• दो घटनाओं $A$ और $B$ के लिए: $$ P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B) $$
• यदि A, B, C एक यादृच्छिक प्रयोग से संबद्ध तीन घटनाएँ हैं, $$ \begin{aligned} \mathrm{P}(\mathrm{~A} \cup \mathrm{~B} \cup \mathrm{C}) & =\mathrm{P}(\mathrm{~A})+\mathrm{P}(\mathrm{~B})+\mathrm{P}(\mathrm{C})-\mathrm{P}(\mathrm{~A} \cap \mathrm{~B})-\mathrm{P}(\mathrm{~A} \cap \mathrm{C}) \ & -\mathrm{P}(\mathrm{~B} \cap \mathrm{C})+\mathrm{P}(\mathrm{~A} \cap \mathrm{~B} \cap \mathrm{C}) \end{aligned} $$
• यदि $A$ और $B$ परस्पर अपवर्जी हैं, तो $P(A \cap B)=0$।

4. सशर्त प्रायिकता:

• $P(A \mid B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$, बशर्ते $P(B)>0$।

5. स्वतंत्र घटनाएँ:

• दो घटनाएँ $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं यदि $P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B)$।

उदाहरण: एक पासा फेंका जाता है। यदि $A$ घटना है ‘आने वाली संख्या 3 का गुणज है’ और $B$ घटना है ‘आने वाली संख्या सम है’ तो बताएँ कि क्या A और B स्वतंत्र हैं?

हल: हम जानते हैं कि प्रतिदर्श समष्टि $S={1,2,3,4,5,6}$ है

अब $$ \mathrm{A}={3,6}, \mathrm{B}={2,4,6} \text{ और } \mathrm{A} \cap \mathrm{~B}={6} $$

तब $$ P(A)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}, P(B)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} \text{ और } P(A \cap B)=\frac{1}{6} $$

स्पष्टतः $$ P(\mathrm{A} \cap \mathrm{~B})=\mathrm{P}(\mathrm{A}) \cdot \mathrm{P}(\mathrm{~B}) $$

अतः $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं।

6. बेयज़ प्रमेय:

• किसी घटना की प्रायिकता ज्ञात करने के लिए प्रयोग किया जाता है जब अन्य संबंधित घटनाओं की प्रायिकताएँ दी हों। $$ P(A \mid B)=\frac{P(B \mid A) \cdot P(A)}{P(B)} $$

उदाहरण : यदि $\mathrm{P}(\mathrm{A})=\frac{7}{13}, \mathrm{P}(\mathrm{B})=\frac{9}{13}$ और $\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})=\frac{4}{13}$, तो $\mathrm{P}(\mathrm{A} \mid \mathrm{B})$ का मूल्यांकन कीजिए।

हल: हमारे पास $\mathrm{P}(\mathrm{A} \mid \mathrm{B})=\frac{\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})}{\mathrm{P}(\mathrm{B})}=\frac{\frac{4}{13}}{\frac{9}{13}}=\frac{4}{9}$

7.महत्वपूर्ण सूत्र

• क्रमचय और संचय:

• $P(n, r)=\frac{n!}{(n-r)!}$

• $C(n, r)=\frac{n!}{r!(n-r)!}$

• द्विपद प्रायिकता सूत्र: $$ P(X=k)=C(n, k) \cdot p^k \cdot(1-p)^{n-k} $$ जहाँ $n$ प्रयासों की संख्या है, $p$ सफलता की प्रायिकता है, और $k$ सफलताओं की संख्या है।

• यदि A और B दो स्वतंत्र घटनाएँ हैं, तो A और B में से कम से कम एक के घटित होने की प्रायिकता $1-P\left(A^{\prime}\right) P\left(B^{\prime}\right)$ द्वारा दी जाती है

JEE के लिए यह क्यों मायने रखता है#

यह अवधारणा प्रायिकता विषय को समझने के लिए महत्वपूर्ण है, जो जेईई परीक्षाओं में बार-बार आता है। इस विषय में महारत हासिल करने से निम्नलिखित में मदद मिलती है:

• मूलभूत सिद्धांतों को समझना
• जटिल समस्याओं को हल करना
• अवधारणात्मक स्पष्टता निर्मित करना

टालने योग्य सामान्य गलतियाँ#

• किनारे के मामलों की अनदेखी
• गणनाओं में जल्दबाज़ी
• इकाइयों और विमाओं की जाँच न करना
• समान दिखने वाली अवधारणाओं को समान मान लेना
• अवधारणात्मक समझ को छोड़ना

याद रखने योग्य प्रमुख अवधारणाएँ#

• पहले संपूर्ण अवधारणा को पढ़ें
• अंतर्निहित सिद्धांत की पहचान करें
• उदाहरणों को क्रमबद्ध रूप से हल करें
• समस्या के रूपांतरों के साथ अभ्यास करें
• वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोगों से जोड़ें

संबंधित विषय#

• फलन अवधारणाएँ
• समाकलन तकनीकें
• समस्या-समाधान रणनीतियाँ