मैट्रिक्स की समस्या

1. किसी आव्यूह का प्रतिलोम ज्ञात करने के लिए आप सहखंडज सूत्र का प्रयोग कर सकते हैं। किसी आव्यूह का सहखंडज उसके सहखंड आव्यूह का स्थानांतरण होता है। दिए गए आव्यूह $ A$ के लिए, सहखंडज है: $ A^{adj} = \begin{bmatrix} 3 & -6 & 3 \\ -4 & 8 & -4 \\ 1 & -2 & 1 \end{bmatrix}$ इसलिए, $ A$ का प्रतिलोम है: $ A^{-1} = \frac{A^{adj}}{|A|}$ जहाँ $ \det(A) $ आव्यूह $ A$ का सारणिक है। इस स्थिति में, सारणिक $ \det(A) = 0 $ है, इसलिए आव्यूह प्रतिलोम योग्य नहीं है।

२. किसी मैट्रिक्स के eigenvalues और eigenvectors खोजने के लिए आप विशेषता बहुपद (characteristic polynomial) का उपयोग कर सकते हैं। मैट्रिक्स $ A$ का विशेषता बहुपद है: $ p(x) = det(A - xI) = (1-x)(4-x)-2(3-x) = x^2 - 5x + 6$ विशेषता बहुपद के मूल मैट्रिक्स के eigenvalues होते हैं। इस मामले में eigenvalues हैं: $ \lambda_1 = 1, \quad \lambda_2 = 2.$ Eigenvectors खोजने के लिए आप प्रत्येक eigenvalue के लिए रैखिक समीकरणों की प्रणाली $(A - \lambda I)x = 0$ हल कर सकते हैं। $\lambda_1 = 1$ के लिए हमारे पास है: $ \begin{bmatrix} 0 & 2 & 3 \\ 4 & 4 & 6 \\ 7 & 8 & 8 \end{bmatrix}x = 0$ इस प्रणाली का निम्नलिखित हल है: $ x_1 = -2t, \quad x_2 = t, \quad x_3 = 0$ जहाँ $ t$ एक स्वतंत्र पैरामीटर है। इसलिए $\lambda_1$ से संगत eigenvector है: $ \mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} -2t \\ t \\ 0 \end{bmatrix}$ इसी प्रकार, $\lambda_2 = 2$ के लिए हमारे पास है: $ \begin{bmatrix} -1 & 2 & 3 \\ 4 & 3 & 6 \\ 7 & 8 & 7 \end{bmatrix}x = 0$ इस प्रणाली का निम्नलिखित हल है: $ x_1 = t, \quad x_2 = -t, \quad x_3 = 0$ जहाँ $ t$ एक स्वतंत्र पैरामीटर है। इसलिए $\lambda_2$ से संगत eigenvector है: $ \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} t \\ -t \\ 0 \end{bmatrix}$

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३. रैखिक समीकरणों की प्रणाली हल करने के लिए आप निम्नलिखित सूत्र $ X = A^{−1}B$ का उपयोग कर सकते हैं

यहाँ (A) का व्युत्क्रम संभव नहीं है क्योंकि मैट्रिक्स का सारणिक शून्य है।

$ A^{−1} = \frac{A^{adj}}{|A|}$

मैट्रिक्स A का सारणिक $ =\lbrace 1(5 - 6) - 2(4 - 8) + 3(32 - 40) \rbrace$

$ = -1+8-24=-17 \ne 0$

$ A^{−1} = \frac{A^{adj}}{|A|}$

$ = \frac{1}{(-17)} \begin{bmatrix} -3 & 6 & -3 \\ 10 & -16 & 10 \\ -14 & 24 & -14 \end{bmatrix}$

$ X = \frac{1}{-17} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$

हम देखते हैं कि प्राप्त उत्तर पूर्णांक नहीं हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि 1/17 एक परिमेय संख्या है।

$ X = \frac{1}{-17} \begin{bmatrix} (1×1) + (2×4) + (3×7) \\ (1×2) + (2×5) + (3×8) \\ (1×3) + (2×6) + (3×9) \end{bmatrix}$

$ X =\frac{1}{-17} \begin{bmatrix} 19 \\ 32 \\ 45 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{19}{17} \\ - \frac{32}{17} \\ -\frac{45}{17} \end{bmatrix}$

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किसी आव्यूह की रैंक ज्ञात करने के लिए आप पंक्ति न्यूनीकरण का उपयोग कर सकते हैं। पंक्ति न्यूनीकरण एक ऐसी प्रक्रिया है जिसमें किसी आव्यूह को एक समतुल्य आव्यूह में बदला जाता है जिसमें मुख्य विकर्ण के नीचे सभी अवयव शून्य होते हैं और मुख्य विकर्ण पर अवयव अशून्य होते हैं। $ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}$

$ =\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & -6 \\ 0 & -6 & -12 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_2+3R_1 \rightarrow R_2} $

$ =\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -6 & -12 \end{bmatrix} \xrightarrow{6R_2+R_3 \rightarrow R_3}$

$ =\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $ आव्यूह की रैंक अपघटित पंक्ति इकलौनी रूप में अशून्य पायव स्थितियों की संख्या होती है। इस स्थिति में रैंक 2 है।

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५. किसी आव्यूह का सारणिक (डिटरमिनेंट) निकालने के लिए आप लाप्लास विस्तार का उपयोग कर सकते हैं। लाप्लास विस्तार एक ऐसी विधि है जिससे किसी आव्यूह का सारणिक उसे किसी पंक्ति या स्तंभ के साथ विस्तार करके निकाला जाता है। दिए गए आव्यूह $ A$ के लिए सारणिक है: $ \begin{align*} |A| &= \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} \\ &= 1 \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} + 3 \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix} \\ &= 1(45 - 48) - 2(36 - 42) + 3(32 - 35) \\ &= -3 - 12 - 9 \\ &= -24 \end{align*}$

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CBSE बोर्ड परीक्षाएँ (विज्ञान)#

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१. किसी आव्यूह का प्रतिलोम (इनवर्स) निकालने के लिए आप सूत्र का उपयोग कर सकते हैं: $ A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ जहाँ $ |A|$ आव्यूह $ A$ का सारणिक है और $ A^{adj}$ आव्यूह $ A$ का सहचार (अजॉइंट) है।

दिए गए आव्यूह $ A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}$ के लिए सारणिक है: $ |A| = (2)(5) - (3)(4) = 10 - 12 = -2$

और सहचार है: $ A^{adj} = \begin{bmatrix} 5 & -3 \\ -4 & 2 \end{bmatrix}$

इसलिए, आव्यूह $ A$ का प्रतिलोम है: $ A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{bmatrix} 5 & -3 \\ -4 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{5}{2} & \frac{3}{2} \\ 2 & -1 \end{bmatrix}$

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२. किसी मैट्रिक्स के eigenvalues और eigenvectors खोजने के लिए आप विशेषता बहुपद (characteristic polynomial) का उपयोग कर सकते हैं: $ p(x) = det(A - xI) = 0$ जहाँ $ I$ एक इकाई मैट्रिक्स है। दी गई मैट्रिक्स $ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}$ के लिए विशेषता बहुपद है: $ p(x) = det\begin{bmatrix} 1-x & 2 & 3 \\ 4 & 5-x & 6 \\ 7 & 8 & 9-x \end{bmatrix}$

$ \Rightarrow p(x) = $

$ (1-x)\lbrace (5-x)(9-x) - (48 - x) \rbrace - 2 \lbrace 4(9-x) - 6(7) \rbrace + $

$ (3)\lbrace 4(5-x) - (48-x) \rbrace$

$(x-1){(5-x)(9-x)$

JEE के लिए यह क्यों महत्वपूर्ण है#

यह अवधारणा मैट्रिक्स विषय की समस्या को समझने के लिए महत्वपूर्ण है, जो JEE परीक्षाओं में बार-बार आती है। इस विषय में महारत हासिल करने से निम्नलिखित में मदद मिलती है:

• मौलिक सिद्धांतों को समझना
• जटिल समस्याओं को हल करना
• वैचारिक स्पष्टता का निर्माण

टालने योग्य सामान्य गलतियाँ#

• किनारे के मामलों की अनदेखी
• गणनाओं में जल्दबाज़ी
• इकाइयों और आयामों की जाँच न करना
• यह मान लेना कि समान दिखने वाली अवधारणाएँ समान हैं
• वैचारिक समझ को छोड़ना

याद रखने योग्य प्रमुख अवधारणाएँ#

• पहले पूरी अवधारणा को पढ़ें
• अंतर्निहित सिद्धांत की पहचान करें
• उदाहरणों को कदम-दर-कदम हल करें
• समस्या के विभिन्न रूपों के साथ अभ्यास करें
• वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोगों से जोड़ें

संबंधित विषय#

• फलन अवधारणाएँ
• समाकलन तकनीकें
• समस्या-समाधान रणनीतियाँ