द्विघात समीकरणों पर समस्या
JEE और CBSE बोर्ड परीक्षा की तैयारी के दौरान द्विघात समीकरणों पर विशिष्ट संख्यात्मक प्रश्न
- हल: $$x^2 - 5x + 6 = 0$$
यहाँ, $$(x - 2)(x - 3) = 0$$
$$ \therefore x = 2, 3$$
उत्तर: मूल = 2, 3
- हल: $$x^2 - 4x - 21 = 0$$
यहाँ, $$(x + 3)(x - 7) = 0$$
$$\therefore x = - 3, 7$$
उत्तर: मूल = 7, -3
- हल: $$x^2 + kx - 5 = 0$$
दी गई समीकरण को मानक द्विघात समीकरण $$ax^2 + bx + c = 0$$ से तुलना करने पर हमें प्राप्त होता है: $$a = 1, b = k, \ \text{और} \ c = -5$$
अब, समान मूलों के लिए, हमें होना चाहिए: $$b^2 - 4ac = 0$$ $$\Rightarrow k^2 - 4 \times 1\times (-5) = 0 $$ $$\Rightarrow k^2 + 20 = 0 $$ $$\Rightarrow k^2 = -20$$
उत्तर: कोई वास्तविक हल नहीं
- हल: दी गई समीकरणें: $$x^2 + px + q = 0$$
मानक द्विघात समीकरण $$ax^2 + bx + c = 0$$ से तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है $$a = 1, b = p, \ \text{और }c = q$$
चूँकि, $$\alpha + \beta = 10,$$ $$ \alpha\beta = 24$$
इस प्रकार वियेटा के संबंध लागू करते हुए, हमें है $$\alpha + \beta = \frac{-b}{a} \Rightarrow 10 = \frac{-p}{1}$$ $$\Rightarrow p = -10$$
$$\alpha\beta = \frac{c}{a} \Rightarrow 24 = \frac{q}{1}$$ $$q= 24$$
उत्तर: p = -10 और q = 24
- हल: $$(x - 1)(x + 3) = 12$$ $$x^2 + 3x - x- 3 = 12$$ $$x^2 + 2x - 3 -12=0$$ $$x^2 +2x - 15 = 0$$
यहाँ, $$(x + 5)(x - 3)= 0$$
$$ \therefore x= -5, 3$$
उत्तर: मूल = 3 , -5
- हल: $$2x^2 + mx + 1 = 0$$ $$D = b^2 - 4ac$$ $$= m^2 - 4 \times 2 \times 1$$ $$= m^2 - 8$$
वास्तविक और असमान मूलों के लिए D>0 अर्थात् $$m^2 - 8 > 0$$ $$(m - 2\sqrt{2})(m + 2\sqrt{2}) > 0$$ $$\therefore m > 2\sqrt{2} \ या \ m < -2\sqrt{2}$$
उत्तर: $$ m>2\sqrt2$$
- हल: दिए गए बिंदु हैं: $$(1,4), (2,11), (3,20)$$
मान लीजिए परवलय का समीकरण है $$y = ax^2 + bx + c$$
बिंदुओं के मान रखने पर, हम प्राप्त करते हैं 4 = a + b + c ….. (i) 11 = 4a + 2b + c ….. (ii) 20 = 9a + 3b + c ….. (iii)
(ii) में से (i) घटाने पर, हम प्राप्त करते हैं $$7 = 3a + b$$ $$3a + b = 7….. (iv)$$
(iii) में से (ii) घटाने पर, हम प्राप्त करते हैं 9 = 5a + b $$5a+ b = 9 ….. (v)$$
(iv) में से (v) घटाने पर, हम प्राप्त करते हैं $$2a= 2$$ $$\Rightarrow a =1$$
(iv) में a का मान रखने पर हम प्राप्त करते हैं
$$3a+b=7$$ $$3 \times 1+ b=7$$ $$3+b =7$$ $$\therefore b =4$$
(i) में a और b के मान रखने पर हम प्राप्त करते हैं 4 = a + b + c $$4 = 1 +4 + c$$ $$c=-1$$
$$\therefore $$ $$परवलय का समीकरण:$$ y = x^2 + 4x -1$$
- हल: दिए गए समीकरण: $$(a - b)x^2 + (b - c)x + (c - a) = 0$$
इसे मानक द्विघात समीकरण $$ax^2 + bx + c = 0$$ से तुलना करने पर हम प्राप्त करते हैं: $$a = a - b, b = b - c, \ \text{और }c = c - a$$
मूलों का योग: $$\alpha + \beta = \frac{-b}{a} = \frac{- (b - c)}{a - b} = \frac{c - b}{b-a}$$ $$= \frac{(a-b)-(c-b)}{a-b} $$ $$= \frac{a-c}{a-b}$$
उत्तर: $$a - c$$
- हल: दिया गया समीकरण: $$(p + q)x^2 + (q + r)x + (r + p) = 0$$
मानक द्विघात समीकरण से तुलना करने पर हमें प्राप्त होता है: $$a = p + q, b = q + r, a \ \text{और }c = r + p$$
मूलों का गुणनफल: $$\alpha\beta = \frac{c}{a} = \frac{r + p}{p + q}$$
उत्तर: $$(r+p)/(p+q)$$
- हल: $$x^4 - 2x^2 + 1 = 0$$
$$x^2 = y$$ प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है $$y^2 - 2y + 1 = 0$$
यह एक मानक द्विघात समीकरण है।
$$\therefore y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \times 1 \times 1}}{2 \times 1}$$ $$= \frac{2 \pm 0 }{2}$$ $$= 1$$
$$y = x^2$$ प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है $$x^2 = 1$$ $$ \therefore x=\pm 1$$
उत्तर: $$x=\pm 1$$
JEE के लिए यह क्यों महत्वपूर्ण है
यह अवधारणा द्विघात समीकरण विषय पर आधारित समस्याओं को समझने के लिए महत्वपूर्ण है, जो JEE परीक्षाओं में बार-बार आते हैं। इस विषय में महारत हासिल करने से निम्न में मदद मिलती है:
- मौलिक सिद्धांतों को समझने में
- जटिल समस्याओं को हल करने में
- अवधारणात्मक स्पष्टता निर्मित करने में
सामान्य गलतियाँ जिनसे बचना चाहिए
- किनारे के मामलों की अनदेखी
- गणना में जल्दबाजी
- इकाइयों और आयामों की जाँच न करना
- समान दिखने वाली अवधारणाओं को समान मान लेना
- अवधारणात्मक समझ को छोड़ना
याद रखने योग्य प्रमुख अवधारणाएँ
- पहले संपूर्ण अवधारणा को पढ़ें
- अंतर्निहित सिद्धांत की पहचान करें
- उदाहरणों को चरणबद्ध तरीके से हल करें
- समस्या के रूपांतरों के साथ अभ्यास करें
- वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोगों से जोड़ें
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