Sequence Series

परिचय

एक अनुक्रम से हमारा तात्पर्य संख्याओं के ऐसे क्रमबद्ध arrangement से है जो किसी नियम के अनुसार निश्चित क्रम में रखा गया हो। हम अनुक्रम की पदों को $ a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots $ आदि से दर्शाते हैं, यहां निचला अंक पद की स्थिति को दर्शाता है।

उपरोक्त के आधार पर समुच्चय $ X $ में एक अनुक्रम को एक मैपिंग या फलन $ f: \mathbf{N} \rightarrow \mathrm{X} $ के रूप में देखा जा सकता है जो इस प्रकार परिभाषित है

$ f(n)=t_{n} \forall n \in \mathbf{N} $

$ f $ का डोमेन प्राकृत संख्याओं का समुच्चय या उसका कोई उपसमुच्चय होता है जो पद की स्थिति को दर्शाता है। यदि इसका रेंज, जो पदों के मान को दर्शाता है, $ \mathbf{R }$ वास्तविक संख्याओं का उपसमुच्चय हो तो इसे वास्तविक अनुक्रम कहा जाता है।

एक अनुक्रम या तो सीमित होता है या अनंत, यह इस बात पर निर्भर करता है कि अनुक्रम में कितने पद हैं। हमें यह अपेक्षा नहीं करनी चाहिए कि इसके पद अनिवार्यतः किसी विशेष सूत्र द्वारा दिए जाएंगे।

हालांकि, हम पदों को उत्पन्न करने के लिए एक सैद्धांतिक योजना या नियम की अपेक्षा करते हैं।

मान लीजिए $ a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots $, अनुक्रम है, तो व्यंजक $ a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots $ को दिए गए अनुक्रम से संबद्ध श्रेणी कहा जाता है। श्रेणी सीमित या अनंत होती है जैसा कि दिया गया अनुक्रम सीमित या अनंत होता है।

टिप्पणी जब श्रेणी शब्द का प्रयोग किया जाता है, तो यह संकेतित योग को दर्शाता है न कि स्वयं योग को। कुछ निश्चित पैटर्नों का अनुसरण करने वाले अनुक्रमों को प्रायः प्रगति कहा जाता है। प्रगतियों में हम देखते हैं कि प्रत्येक पद, पहले को छोड़कर, एक निश्चित ढंग से आगे बढ़ता है।

समांतर श्रेणी (A.P.) एक ऐसी श्रेणी है जिसमें प्रत्येक पद को पहले पद को छोड़कर, पिछले पद में एक निश्चित संख्या (धनात्मक या ऋणात्मक) जोड़कर प्राप्त किया जाता है।

इस प्रकार कोई भी अनुक्रम $ a_{1}, a_{2}, a_{3} \ldots a_{n}, \ldots $ को समांतर श्रेणी कहा जाता है यदि $ a_{n+1}=a_{n}+d, n \in \mathbf{N} $, जहाँ $ d $ को A.P. का सार्व अंतर कहा जाता है, आमतौर पर हम A.P. के पहले पद को $ a $ और अंतिम पद को $ l $ द्वारा दर्शाते हैं

A.P. का व्यापक पद या $ \boldsymbol{n}^{\text {th }} $ पद इस प्रकार दिया गया है

$ a_{n}=a+(n-1) d $

अंत से $n^{th}$ पद इस प्रकार दिया गया है

$ a_{n}=l-(n-1) d $

किसी A.P. के पहले $ n $ पदों का योग $ \mathrm{S}_{n} $ इस प्रकार दिया गया है

$S_n = \dfrac{n}{2}[2a + (n-1)d] = \dfrac{n}{2}(a+l)$ जहाँ $ l=a+(n-1) d $ A.P. का अंतिम पद है, और व्यापक पद इस प्रकार दिया गया है $ a_{n}=\mathrm{S}_ {n}-\mathrm{S}_ {n-1} $

किसी $ n $ धनात्मक संख्याओं $ a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots a_{n} $ के लिए समांतर माध्य इस प्रकार दिया गया है

$ \text { A.M. }=\dfrac{a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}}{n} $

यदि $ a, \mathrm{~A} $ और $ b $ समांतर श्रेणी में हैं, तो A को संख्याओं $ a $ और $ b $ का समांतर माध्य कहा जाता है और अर्थात्

$ \mathrm{A}=\dfrac{a+b}{2} $

यदि किसी A.P. के पदों को एक ही नियतांक से बढ़ाया, घटाया, गुणा या विभाजित किया जाए, तो वे अभी भी समांतर श्रेणी में रहते हैं।

यदि $ a_{1}, a_{2}, a_{3} \ldots $ सार्व अंतर $ d $ के साथ समांतर श्रेणी में हैं, तो

(i) $ a_{1} \pm k, a_{2} \pm k, a_{3} \pm k, \ldots $ भी सार्व अंतर $ d $ के साथ समांतर श्रेणी में हैं।

(ii) $ a_{1} k, a_{2} k, a_{3} k, \ldots $ भी समांतर श्रेणी में हैं जिसका सार्वअंतर $ d k(k \neq 0) $ है। और $ \dfrac{a_{1}}{k}, \dfrac{a_{2}}{k}, \dfrac{a_{3}}{k} \ldots $ भी समांतर श्रेणी में हैं जिसका सार्वअंतर $ \dfrac{d}{k}(k \neq 0) $ है।

यदि $ a_{1}, a_{2}, a_{3} \ldots $ और $ b_{1}, b_{2}, b_{3} \ldots $ दो समांतर श्रेणियाँ हैं, तो

(i) $ a_{1} \pm b_{1}, a_{2} \pm b_{2}, a_{3} \pm b_{3}, \ldots $ भी समांतर श्रेणी में हैं

(ii) $ a_{1} b_{1}, a_{2} b_{2}, a_{3} b_{3}, \ldots $ और $ \dfrac{a_{1}}{b_{1}}, \dfrac{a_{2}}{b_{2}}, \dfrac{a_{3}}{b_{3}}, \ldots $ समांतर श्रेणी में नहीं हैं।

यदि $ a_{1}, a_{2}, a_{3} \ldots $ और $ a_{n} $ समांतर श्रेणियों में हैं, तो

(i) $ a_{1}+a_{n}=a_{2}+a_{n-1}=a_{3}+a_{n-2}=\ldots $

(ii) $ \quad a_{r}=\dfrac{a_{r-k}+a_{r+k}}{2} \forall k, 0 \leq k \leq n-r $

(iii) यदि किसी अनुक्रम का $ n^{\text {th }} $ पद $ n $ में रैखिक व्यंजक है, तो वह अनुक्रम एक समांतर श्रेणी है।

(iv) यदि किसी अनुक्रम के $ n $ पदों का योग $ n $ में द्विघात व्यंजक है, तो वह अनुक्रम एक समांतर श्रेणी है।

एक गुणोत्तर श्रेणी (G.P.) वह अनुक्रम है जिसमें प्रत्येक पद (सबसे पहले को छोड़कर) को पिछले पद से एक अशून्य स्थिरांक, जिसे सार्वअनुपात कहा जाता है, से गुणा करके प्राप्त किया जाता है। आइए हम एक गुणोत्तर श्रेणी पर विचार करें जिसका पहला अशून्य पद $ a $ है और सार्वअनुपात $ r $ है, अर्थात्

$ a, a r, a r^{2}, \ldots, a r^{n-1}, \ldots $

यहाँ, सार्वअनुपात $ r=\dfrac{a r^{n-1}}{a r^{n-2}} $

गुणोत्तर श्रेणी का व्यापक पद या $ \boldsymbol{n}^{\text {th }} $ पद $ a_{n}=a r^{n-1 }$ द्वारा दिया गया है।

अंतिम पद $ l $ एक G.P. का $ n^{\text {th }} $ पद के समान होता है और इसे $ l=a r^{n-1 }$ द्वारा दिया जाता है।

और अंत से $ n^{\text {th }} $ पद को $ a_{n}=\dfrac{l}{r^{n-1}} $ द्वारा दिया जाता है

पहले $ n $ पदों का योग $ \mathrm{S}_{n} $ इस प्रकार दिया जाता है

$ \begin{array}{ll} \mathrm{S}{n}=\dfrac{a\left(r^{n}-1\right)}{r-1}, & \text { यदि } r \neq 1 \ \mathrm{~S}{n}=n a & \text { यदि } r=1 \end{array} $

यदि $ a, \mathrm{G} $ और $ b $ G.P. में हैं, तो G को संख्याओं $ a $ और $ b $ का गुणोत्तर माध्य कहा जाता है और इसे इस प्रकार दिया जाता है

$ \mathrm{G}=\sqrt{a b} $

(i) यदि G.P. के पदों को एक ही अशून्य स्थिरांक $ (k \neq 0) $ से गुणा या विभाजित किया जाता है, तो वे अभी भी G.P. में रहते हैं।

यदि $ a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots $, G.P. में हैं, तो $ a_{1} k, a_{2} k, a_{3} k, \ldots $ और $ \dfrac{a_{1}}{k}, \dfrac{a_{2}}{k}, \dfrac{a_{3}}{k}, \ldots $ भी G.P. में होते हैं समान सार्व अनुपात के साथ, विशेष रूप से यदि $ a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots $ G.P. में हैं, तो $ \dfrac{1}{a_{1}}, \dfrac{1}{a_{2}}, \dfrac{1}{a_{3}}, \ldots $ भी G.P. में हैं।

(ii) यदि $ a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots $ और $ b_{1}, b_{2}, b_{3}, \ldots $ दो G.P. हैं, तो $ a_{1} b_{1}, a_{2} b_{2}, a_{3} b_{3}, \ldots $ और $ \dfrac{a_{1}}{b_{1}}, \dfrac{a_{2}}{b_{2}}, \dfrac{a_{3}}{b_{3}}, \ldots $ भी G.P. में हैं।

(iii) यदि $ a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots $ A.P. में हैं $ \left(a_{i}>0 \forall i\right) $, तो $ x^{a_{1}}, x^{a_{2}}, x^{a_{3}}, \ldots $, G.P. में हैं $ (\forall x>0) $

(iv) यदि $ a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{n} $ गुणोत्तर श्रेणी में हैं, तो $ a_{1} a_{n}=a_{2} a_{n-1}=a_{3} a_{n-2}=\ldots $

विशेष श्रेणियों के योग पर महत्वपूर्ण परिणाम

(i) प्रथम $ n$ प्राकृत संख्याओं का योग:

$ \sum n=1+2+3+\ldots+n=\dfrac{n(n+1)}{2} $

(ii) प्रथम $ n$ प्राकृत संख्याओं के वर्गों का योग।

$ \sum n^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots+n^{2}=\dfrac{n(n+1)(2 n+1)}{6} $

(iii) प्रथम $ n$ प्राकृत संख्याओं के घनों का योग:

$ \sum n^{3}=1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots+n^{3}=\left[\dfrac{n(n+1)}{2}\right]^{2} $

JEE के लिए यह क्यों महत्वपूर्ण है#

यह अवधारणा अनुक्रम श्रेणी विषय को समझने के लिए महत्वपूर्ण है, जो JEE परीक्षाओं में बार-बार आता है। इस विषय में महारत हासिल करने से निम्न में मदद मिलती है:

• मौलिक सिद्धांतों को समझना
• जटिल समस्याओं को हल करना
• संकल्पनात्मक स्पष्टता निर्माण

टालने योग्य सामान्य गलतियाँ#

• किनारे के मामलों की उपेक्षा
• गणनाओं में जल्दबाज़ी
• इकाइयों और आयामों की जाँच न करना
• समान दिखने वाली अवधारणाओं को समान मान लेना
• संकल्पनात्मक समझ को छोड़ना

याद रखने योग्य प्रमुख अवधारणाएँ#

• पहले सम्पूर्ण अवधारणा को पढ़ें
• अंतर्निहित सिद्धांत की पहचान करें
• उदाहरणों को चरणबद्ध तरीके से हल करें
• समस्या के रूपांतरों के साथ अभ्यास करें
• वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोगों से जोड़ें

संबंधित विषय#

• फलन अवधारणाएँ
• समाकलन तकनीकें
• समस्या-समाधान रणनीतियाँ