आंकड़े

प्रसरण के मापक

(क) परास

प्रसरण का वह मापक जिसे समझना और परिकलित करना सबसे आसान है, परास है। परास को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

परास $ = $ सबसे बड़ा प्रेक्षण - सबसे छोटा प्रेक्षण

(ख) माध्य विचलन

(i) असमूहित आँकड़ों के लिए माध्य विचलन:

$ n $ प्रेक्षणों $ x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} $ के लिए, उनके माध्य $ \bar{x} $ के परितः माध्य विचलन इस प्रकार दिया गया है

$ \operatorname{M.D}(\bar{x})=\dfrac{\left|x_{i}-\bar{x}\right|}{n} $

उनके माध्यिका M के परितः माध्य विचलन इस प्रकार दिया गया है

$ \operatorname{M.D}(\mathrm{M})=\dfrac{\left|x_{i}-\mathrm{M}\right|}{n} $

(ii) विविक्त बारंबारता बंटन के लिए माध्य विचलन

मान लीजिए दिए गए आँकड़े विविक्ट प्रेक्षणों $ x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} $ से बने हैं जो क्रमशः बारंबारताओं $ f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{n} $ के साथ घटित होते हैं। इस स्थिति में

$ \begin{array}{l} \operatorname{M.D}(\bar{x})=\dfrac{f_{i}\left|x_{i}-\bar{x}\right|}{f_{i}}=\dfrac{f_{i}\left|x_{i}-\bar{x}\right|}{\mathrm{N}} \ \operatorname{M.D}(\mathrm{M})=\dfrac{f_{i}\left|x_{i}-\mathrm{M}\right|}{\mathrm{N}} \end{array} $

जहाँ $ \mathrm{N}=f_{i} $ है।

(iii) सतत बारंबारता बंटन (समूहित आँकड़े) के लिए माध्य विचलन।

$ \begin{aligned} \operatorname{M.D}(\bar{x}) & =\dfrac{f_{i}\left|x_{i}-\bar{x}\right|}{\mathrm{N}} \ \operatorname{M.D}(\mathrm{M}) & =\dfrac{f_{i}\left|x_{i}-\mathrm{M}\right|}{\mathrm{N}} \end{aligned} $

जहाँ $ x_{i} $ वर्गों के मध्य-बिंदु हैं, $ \bar{x} $ और M क्रमशः बंटन का माध्य और माध्यिका हैं।

(c) प्रसरण : मान लीजिए $ x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} $, $ n $ प्रेक्षण हैं जिनका माध्य $ \bar{x} $ है। प्रसरण, जिसे $ \sigma^{2} $ द्वारा दर्शाया जाता है, निम्न प्रकार से दिया जाता है

$ \sigma^{2}=\dfrac{1}{n} \quad\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2} $

(d) मानक विचलन: यदि $ \sigma^{2} $ प्रसरण है, तो $ \sigma $, जिसे मानक विचलन कहा जाता है, निम्न प्रकार से दिया जाता है

$ \sigma=\sqrt{\dfrac{1}{n} \quad\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}} $

(e) एक विविक्त बारंबारता बंटन के लिए मानक विचलन निम्न प्रकार से दिया जाता है

$ \sigma=\sqrt{\dfrac{1}{\mathrm{~N}} \quad f_{i}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}} $

जहाँ $ f_{i} $, $ x_{i} $ की बारंबारताएँ हैं और $ \mathrm{N}={ }{i=1}^{n} f{i} $ है।

(f) एक सतत बारंबारता बंटन (समूहीकृत आँकड़े) का मानक विचलन निम्न प्रकार से दिया जाता है

$ \sigma=\sqrt{\dfrac{1}{\mathrm{~N}} \quad f_{i}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}} $

जहाँ $ x_{i} $ वर्गों के मध्य-बिंदु हैं और $ f_{i} $ उनकी संगत बारंबारताएँ हैं। सूत्र (10) इसके समान है

$ \sigma=\dfrac{1}{\mathrm{~N}} \sqrt{\mathrm{~N} \quad f_{i} x_{i}^{2}-\left(f_{i} x_{i}\right)^{2}} $

(g) मानक विचलन के लिए एक अन्य सूत्र :

$ \sigma_{x}=\dfrac{h}{\mathrm{~N}} \sqrt{\mathrm{~N} \quad f_{i} y_{i}^{2}-\left(f_{i} y_{i}\right)^{2}} $

जहाँ $ h $ वर्ग अंतराल की चौड़ाई है और $ y_{i}=\dfrac{x_{i}-\mathrm{A}}{h} $ तथा A अभिगृहीत माध्य है।

परिवर्तन गुणांक

कभी-कभी विचरण को वर्णित करना उपयोगी होता है जबकि हम मानक विचरण को माध्य के अनुपात के रूप में, सामान्यतः प्रतिशत के रूप में, व्यक्त करते हैं। इसका प्रतिशत के रूप में सूत्र है

$ \text { परिवर्तन गुणांक }=\dfrac{\text { मानक विचरण }}{\text { माध्य }} \times 100 $

सांख्यिकी सूत्र पत्रक

माध्य	$\bar x=\dfrac{\sum x}{n}$	$x = \text{दिए गए प्रेक्षण, } $
		$n = \text{कुल प्रेक्षणों की संख्या}$
माध्यिका	$\begin{aligned}\text{यदि } n \text{ विषम है, तो } M = \left(\dfrac{n+1}{2}\right) \text{वाँ पद}\end{aligned}$	$n = \text{कुल प्रेक्षणों की संख्या}$
	$\begin{aligned}\text{यदि } n \text{ सम है, तो } M = \dfrac{\left(\dfrac{n}{2}\right) \text{वाँ पद} + \left(\dfrac{n}{2} + 1\right) \text{वाँ पद}}{2}\end{aligned}$
बहुलक	$\text{वह मान जो सबसे अधिक बार आता है}$
प्रसरण	$\sigma^2 = \dfrac{\sum (x - \bar{x})^2}{n}$	$x = \text{दिए गए प्रेक्षण, } \bar{x} = \text{माध्य, } $
		$n = \text{कुल प्रेक्षणों की संख्या}$
मानक विचरण	$S = \sigma = \sqrt{\dfrac{\sum (x - \bar{x})^2}{n}}$	$x = \text{दिए गए प्रेक्षण, } \bar{x} = \text{माध्य,}$
		$n=\text{कुल प्रेक्षणों की संख्या}$

JEE के लिए यह क्यों महत्वपूर्ण है#

यह संकल्पना सांख्यिकी विषय को समझने के लिए महत्वपूर्ण है, जो JEE परीक्षाओं में प्रायः आता है। इस विषय में निपुणता आपकी सहायता करती है:

• मूलभूत सिद्धांतों को समझने में
• जटिल समस्याओं को हल करने में
• संकल्पनात्मक स्पष्टता निर्मित करने में

टालने योग्य सामान्य गलतियाँ#

• किनारे के मामलों की अनदेखी
• गणनाओं में जल्दबाज़ी
• इकाइयों और विमाओं की जाँच न करना
• समान दिखने वाली अवधारणाओं को समान मान लेना
• वैचारिक समझ को छोड़ना

याद रखने योग्य प्रमुख अवधारणाएँ#

• पहले संपूर्ण अवधारणा को पढ़ें
• अंतर्निहित सिद्धांत की पहचान करें
• उदाहरणों को क्रमबद्ध रूप से हल करें
• समस्या के विभिन्न रूपों के साथ अभ्यास करें
• वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोगों से जोड़ें

संबंधित विषय#

• फलन की अवधारणाएँ
• समाकलन की तकनीकें
• समस्या समाधान की रणनीतियाँ